Tài liệu

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ MỸ LƯƠNG VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ MỸ LƯƠNG VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU MẠNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Danh sách ký hiệu iv Danh sách hình vẽ 1 Mở đầu 2 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 3 Bài toán cân bằng 15 2.1 Phát biểu bài toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Thuật toán giải bài toán cân bằng đơn điệu mạnh 25 3.1 Thuật toán với tốc độ hội tụ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Thuật toán không cần điều kiện kiểu Lipschitz . . . . . . . . . . . . 28 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 ii Lời cam đoan Luận văn thạc sỹ: "Về sự tồn tại nghiệm và phương pháp chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu mạnh" được thực hiện bởi tác giả Phạm Thị Mỹ Lương - học viên lớp Cao học Toán Ứng Dụng 2014 - 2016, cùng sự hướng dẫn của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu - Viện Toán học - Viện Hàm lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, không trùng với bất kỳ nghiên cứu nào khác. Thái Nguyên, ngày 24 tháng 11 năm 2015 Học viên Phạm Thị Mỹ Lương iii Lời cảm ơn Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và sự chỉ bảo nghiêm khắc của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy. Trong quá trình học tập, tôi đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và sự giảng dạy nhiệt tình của PGS. Lê Thị Thanh Nhàn, PSG Tạ Duy Phượng, GS. Trần Vũ Thiệu, TS. Nguyễn Thị Thu Thủy cùng các thày, cô giáo tham gia giảng dạy khóa học 2014 - 2016, những người đã tâm huyết giảng dạy và trang bị cho tôi nhiều kiến thức cơ sở. Xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Thị Thu Thủy đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong sướt quá trình học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn các anh chị, các bạn học viên cao học, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và quá trình làm luận văn. Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp quý báu của các thày, cô cùng bạn đọc. Thái Nguyên, 2015 Phạm Thị Mỹ Lương Học viên Cao học Toán K7Y, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên iv Danh sách ký hiệu R không gian số thực H không gian Hilbert thực NC (x) nón pháp tuyến tại điểm x trên tập C F ix(S) tập điểm bất động của ánh xạ S PC (x) phép chiếu trực giao của điểm x trên tập C hx, yi tích vô hướng của hai vectơ x và y δC (.) hàm chỉ trên C kxk chuẩn của vectơ x xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn * x dãy {xn } hội tụ yếu tới x x := y x được gán bằng y ∀x mọi x ∃x tồn tại x ∅ tập rỗng 1 Danh sách hình vẽ 2.1 Hình vẽ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1 Hình vẽ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 Mở đầu Cho H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng <.,.> và chuẩn k.k. Giả sử C là tập lồi, đóng, khác rỗng và f : C × C → R sao cho f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Đối tượng của luận văn cao học này là bài toán cân bằng (còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan). Bài toán được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C : f (x∗ , y) > 0, ∀y ∈ C (EP ) Bài toán (EP) là một bài toán tổng quát với ý nghĩa là các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa, bài toán điểm bất động Kakutani, mô hình cân bằng Nash cho trò chơi không hợp tác,... như là các trường hợp đặc biệt của nó. Khi f là hàm lồi và khả vi dưới theo biến thứ 2 trên tập C thì từ phương pháp giải bài toán tối ưu ta có thể phát triển để giải bài toán (EP). Trong những năm gần đây, phương pháp giải bài toán (EP) đã thu hút nghiên cứu. Một trong những phương pháp phổ biến nhất là phương pháp điểm gần kề. Phương pháp này được Martinet giới thiệu đầu tiên cho bất đẳng thức biến phân và sau đó đó đã được mở rộng bởi Rockafellar cho việc tìm kiếm các không điểm của một toán tử đơn điệu cực đại. Moudafi và Konnov tiếp tục mở rộng phương pháp điểm gần kề cho bài toán (EP) với song hàm f đơn điệu và đơn điệu yếu. Một phương pháp giải khác cho bài toán (EP) là nguyên lý bài toán phụ. Nguyên lý này đã được Cohen giới thiệu đầu tiên cho bài toán tối ưu và sau đó mở rộng cho bất đẳng thức biên phân. Gần đây, Mastreni tiếp tục mở rộng nguyên lý bài toán phụ cho bài toán (EP) khi song hàm f đơn điệu mạnh thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz. Còn Noor sử dụng nguyên lý bài toán phụ để phát triển các thuật toán lặp giải bài toán 3 (EP) với song hàm f đơn điệu mạnh từng phần. Các phương pháp bó, đạo hàm mở rộng là những phương pháp phát triển trong ngành toán học, bất đẳng thức biến phân mới gần đây đã được mở rộng cho bài toán (EP). Mục đích của luận văn là trình bày những kiến thức cơ bản nhất và bài toán cân bằng (EP). Đặc biệt, luận văn đi sâu vào trình bày sự tồn tại nghiệm và phương pháp chiếu giải bài toán (EP) trong trường hợp song hàm đơn điệu mạnh. Bản luận văn này gồm những nội dung sau: - Giới thiệu những điểm cơ bản nhất về bài toán cân bằng: • Phát biểu bài toán • Các trường hợp riêng • Định lý tồn tại nghiệm tổng quát - Trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng đơn điệu - Giới thiệu hai thuật toán để giải bài toán cân bằng đơn điệu mạnh. Dù đã nghiêm túc nghiên cứu và rất cố gắng thực hiện luận văn, nhưng với trình độ hạn chế cùng nhiều lý do khác, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong sự góp ý của các Thầy Cô, các bạn và các anh chị đồng nghiệp để luận văn này hoàn chỉnh và nhiều ý nghĩa hơn. Thái Nguyên, ngày 24 tháng 11 năm 2015 Phạm Thị Mỹ Lương Học viên Cao học Toán lớp Y, khóa 2013-2015 Chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: [email protected] 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản nhất về: không gian Hilbert; tập lồi, hàm lồi và một số ví dụ. Các kiến thức trong chương này được trích từ tài liệu [1 − 4]. 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1. Không gian định chuẩn thực gọi là không gian tuyến tính thực X nếu với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số kxk (được gọi là chuẩn của x), thỏa mãn các điều kiện: i) kxk > 0 với mọi x 6= 0, kxk = 0 ⇔ x = 0, ii) kx + yk 6 kxk + kyk với mọi x, y ∈ X, iii) kαxk 6 |α| · kxk với mọi x ∈ X, mọi α ∈ R. Định nghĩa 1.1.2. Cho H là không gian tuyến tính thực và H × H → R thỏa mãn (x,y)7→hx,yi các điều kiện: i) hx, xi > 0 với mọi x ∈ H, hx, xi = 0 ⇔ x = 0, ii) hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H, iii) hλx, yi = λ hx, yi với mọi x, y ∈ H, λ ∈ R, iv) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H. 5 Khi đó cặp (H, < . >) được gọi là không gian tiền Hilbert. Định nghĩa 1.1.3. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. Trong suốt luận văn này, ta luôn kí hiệu H là không gian Hilbert. Ví dụ 1.1.1. (Không gian Euclide n chiều) Xét không gian véc tơ Cn = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) : x1 , x2 , ..., xn ∈ C} với tích vô n P hướng hx, yi = xj yj , x = (x1 , x2 , ..., xn ) , y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Cn và chuẩn j=1 kxk = n P ! 21 |xj | 2 = p hx, xi là một không gian Hilbert. j=1 Ví dụ 1.1.2. Kí hiệu L2[a,b] là không gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b] với Rb f ∈ Ł2[a,b] sao cho f 2 (x) dx < +∞. a Khi đó, L2[a,b] là một không gian Hilbert với tích vô hướng:hf, gi = ! 12 b R 2 f (x) dx và chuẩn kf kL2 = [a,b] Rb f (x) g (x) dx a a Định nghĩa 1.1.4. Xét dãy {xn }n>0 và x thuộc H. Khi đó: • Dãy {xn } được gọi là hội tụ mạnh tới x (kí hiệu: xn → x) nếu lim kxn − xk = 0, n→+∞ • Dãy {xn } được gọi là hội tụ yếu tới x (kí hiệu: xn * x) nếu lim hy, xn i = hy, xi , ∀y ∈ H. n→+∞ Mệnh đề 1.1.1. • Nếu dãy {xn } hội tụ mạnh tới x thì dãy {xn } cũng hội tu yếu tới x, • Mọi dãy hội tụ mạnh (hội tụ yếu) đều bị chặn và giới hạn theo sự hội tụ mạnh (hội tụ yếu) nếu tồn tại là duy nhất, • Nếu H là không gian hữu hạn chiều thì sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu là tương đương nhau, 6 • Nếu dãy {xn }n>0 là một dãy bị chặn trong H thì ta trích ra được một dãy con hội tụ yếu, • Nếu dãy {xn }n>0 là một dãy bị chặn trong H hữu hạn chiều thì ta trích ra được một dãy con hội tụ mạnh. 1.2 Tập lồi và hàm lồi Định nghĩa 1.2.1. Tập C trong H được gọi là một tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C, mọi λ ∈ [0, 1] thì λx + (1 − λ)y ∈ C. Ví dụ 1.2.1. Các tập sau đây đều là các tập lồi: a) Các nửa không gian đóng, các nửa không gian mở. b) Hình cầu đóng B (a, r) = {x ∈ Rn : kx − ak 6 r} và hình cầu mở B (a, r) = {x ∈ Rn : kx − ak < r} , với a ∈ Rn , r > 0. Định nghĩa 1.2.2. Cho C là một tập con bất kì của không gian Hilbert thực H.Khi đó: i) Điểm a được gọi là điểm biên của C nếu mọi lân cận của a đều có điểm thuộc C và điểm không thuộc C, ii) Tập hợp C được gọi là tập đóng nếu C chứa mọi điểm biên của nó, iii) Tập hợp C được gọi là tập compact yếu nếu C là tập đóng và bị chặn. Định nghĩa 1.2.3. Cho C là một tập lồi trong H và một điểm x ∈ C.Khi đó: i) Tập NC (x) = {z ∈ H : hz, y − xi 6 0, ∀y ∈ C} được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x. 7 ii) Tập −NC (x) = {z ∈ H : hz, y − xi > 0, ∀y ∈ C} được gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x. Định nghĩa 1.2.4. Cho hàm f : H → R ∪ {+∞}. Khi đó: i) Hàm f được gọi là hàm lồi trên H nếu f (λx + (1 − λ)y) 6 λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1) ii) Hàm f được gọi là hàm lồi chặt trên H nếu f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x 6= y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1) iii) Hàm f được gọi là hàm lồi mạnh trên H với hệ số η > 0 nếu f (λx+(1−λ)y) 6 λf (x)+(1−λ)f (y)−η· λ (1 − λ) 2 kx − yk , ∀x 6= y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1). 2 Nhận xét 1.2.1. Mọi hàm lồi chặt đều là hàm lồi, nhưng điều ngược lại không đúng. Ví dụ 1.2.2. Một số hàm lồi quen thuộc: p 1. Hàm chuẩn Euclide: kxk = hx, xi, x ∈ H  0 nếu x ∈ C 2. Hàm chỉ của C: δC (x) =  +∞ nếu x ∈ /C 3. Hàm khoảng cách: Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong H. Hàm khoảng cách từ điểm x thuộc H tới C, kí hiệu dC (x) được định nghĩa: dC (x) = inf ka − xk a∈C là một hàm lồi. Thật vậy, đặt z = λx + (1 − λ)y, với mọi x, y ∈ H và λ ∈ (0, 1) bất kì.   lim kx − xn k = dC (x) n→∞ Khi đó tồn tại các dãy {xn } , {yn } trong C sao cho:   lim ky − yn k = dC (y) n→∞ Do C là tập lồi nên zn = λxn + (1 − λ) yn ∈ C. Ta có: dC (z) 6 kz − zn k 8 = kλ (x − xn ) + (1 − λ) (y − yn )k 6 λ k(x − xn )k + (1 − λ) k(y − yn )k Khi n → ∞ ta thu được dC (z) 6 dC (x) + (1 − λ) dC (y) . Do đó, dC là hàm lồi. Ví dụ 1.2.3. (Hàm Affine) Hàm f (x) = aT x + b, trong đó a ∈ Rn , b ∈ R là hàm lồi thỏa mãn: f (λx + (1 − λ) y) = λf (x) + (1 − λ) f (y) , với mọi x, y ∈ H, λ ∈ (0, 1). Do đó nó là một hàm lồi nhưng không lồi chặt. Nhận xét 1.2.2. Nếu tồn tại π ∈ C sao cho kπ − xk = dC (x) thì π được gọi là hình chiếu khoảng cách của x trên C. Ta kí hiệu hình chiếu khoảng cách của x trên C là PC (x), thì π = PC (x). Mệnh đề 1.2.1. Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong H. Khi đó: i) Với mọi x ∈ H và π ∈ C thì hai tính chất sau đây là tương đương: a) π = PC (x), b) x − π ∈ NC (π) ⇔ hx − π, y − πi 6 0, ∀y ∈ C. ii) Với mọi x ∈ H, luôn tồn tại và duy nhất hình chiếu PC (x) của x trên C iii) Nếu x ∈ / C thì hPC (x) − x, y − PC (x)i = 0 là siêu phẳng tựa của C tại PC (x) và tách hẳn x khỏi C, tức là: hPC (x) − x, y − PC (x)i > 0, với mọi y thuộc C 9 và hPC (x) − x, y − PC (x)i < 0. iv) Ánh xạ x 7→ PC (x) thỏa mãn các tính chất: a) Tính không giãn: kPC (x) − PC (y)k 6 kx − yk, b) Tính đồng bức (hoặc đơn điệu mạnh ngược): 2 hPC (x) − x, y − PC (x)i > kPC (x) − PC (y)k . Chứng minh i) Với mọi x ∈ H và π ∈ C sao cho π = PC (x), nghĩa là π là hình chiếu của x trên C. Với y ∈ C, ta đặt: yλ = λy + (1 − λ) π. Vì C là tập lồi cho nên yλ ∈ C, với mọi λ ∈ (0, 1). Từ định nghĩa về hình chiếu ta có: kπ − xk 6 kx − yλ k , suy ra 2 2 kπ − xk 6 kx − yλ k = k(π − x) + λ (y − π) k2 hay 2 λky − πk + 2 hy − π, π − xi > 0, với mọi y ∈ C, λ ∈ (0, 1). Cho λ → 0 ta được hy − π, π − xi > 0, với mọi y ∈ C. Do đó, x − π ∈ NC (π). Với mọi x ∈ H và π ∈ C sao cho x − π ∈ NC (π). Khi đó với mọi y ∈ C: 2 kx − yk = k(x − π) + (π − y)k 2 10 2 2 2 2 = kx − πk + kπ − yk + 2 hx − π, π − yi > kx − πk + kπ − yk 2 > kx − πk . Do đó, π là hình chiếu của x trên C. ii) Do dC (x) = inf ka − xk nên theo định nghĩa của infimum, tồn tại dãy {xn } ∈ C a∈C sao cho lim kxn − xk = dC (x) < +∞. n Suy ra dãy {xn } bị chặn. Do đó, ta trích ra được một dãy con {xnk } hội tụ đến π. Mặt khác, vì C đóng nên dC (x) ∈ C. Ta có kπ − xk = lim kxnk − xk k = lim kxn − xk n = dC (x) Vậy π là hình chiếu của x trên C. Hơn nữa, π là hình chiếu duy nhất của x trên C. Thật vậy, giả sử π và π 0 là hai hình chiếu của x trên C. Khi đó: x − π ∈ NC (π) và x − π 0 ∈ NC (π 0 ) . Chọn y = π 0 , theo phần trên ta có: hx − π, π 0 − πi 6 0 hay hx − π 0 , π − π 0 i 6 0. Suy ra 2 kπ − π 0 k 6 0. Vậy π = π 0 . 11 iii) Vì x − π ∈ NC (π) nên hπ − x, y − πi > 0, với mọi y ∈ C. Do đó hπ − x, yi = hπ − x, πi là một siêu phẳng tựa của C tại π, siêu phẳng này tách x khỏi C. Vì x 6= π nên 2 hπ − x, x − πi = −kπ − xk < 0. iv) a) Theo phần ii) ánh xạ x 7→ PC (x) xác định khắp nơi. Vì z − PC (z) ∈ NC (PC (z)), với mọi z nên hx − PC (x) , PC (y) − PC (x)i 6 0 và hy − PC (y) , PC (x) − PC (y)i 6 0. Cộng hai bất đẳng thức trên ta được: hPC (y) − PC (x) , PC (y) − PC (x) + x − yi 6 0 Kết hợp với bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta được: kPC (x) − PC (y)k 6 kx − yk. b) Áp dụng tính chất b) của i) lần lượt với PC (x) và PC (y) ta có: hPC (x) − x, PC (x) − PC (y)i 6 0 và hy − PC (y) , PC (x) − PC (y)i 6 0. Suy ra hPC (x) − PC (y) + y − x, PC (x) − PC (y)i = hPC (x) − PC (y) , y − xi 12 + kPC (x) − PC (y)k 2 6 0. Do đó 2 hPC (x) − PC (y) , x − yi > kPC (x) − PC (y)k . Định nghĩa 1.2.5. Cho hàm f : H → R ∪ {+∞} và x∗ ∈ H. Ta nói x∗ là dưới đạo hàm của f tại x nếu hx∗ , y − xi + f (x) 6 f (y) , với mọi y ∈ H. Ký hiệu tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là ∂f (x). f được gọi là khả dưới vi phân trên một tập nếu nó khả dưới vi phân tại mọi điểm trên tập đó. Trong trường hợp ∂f (x) 6= ∅ thì ta nói hàm f khả dưới vi phân tại điểm x. Mệnh đề 1.2.2. Nếu hàm f : H → R là hàm lồi thì ∂f (x) 6= ∅, với mọi x ∈ X hay f là khả dưới vi phân khắp nơi. Trong định nghĩa sau ta xét C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thực H. Định nghĩa 1.2.6. Một song hàm f : C × C → R được gọi là: i) Đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0, nếu 2 f (x, y) + f (y, x) 6 −βkx − yk , với mọi x, y ∈ C, ii) Đơn điệu chặt trên C, nếu f (x, y) + f (y, x) < 0, với mọi x, y ∈ C, x 6= y, iii) Đơn điệu trên C, nếu f (x, y) + f (y, x) 6 0, với mọi x, y ∈ C, 13 iv) Liên tục có tính chất kiểu Lipschitz trên C với hằng số L1 , L2 > 0, nếu 2 2 f (x, y) + f (y, z) > f (x, z) − L1 kx − yk L2 kx − yk , với mọi x, y, z ∈ C. Định nghĩa 1.2.7. Ánh xạ F : C → H được gọi là: i) Đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0, nếu 2 hF (x) − F (y) , x − yi > βkx − yk , ∀x, y ∈ C ii) Đơn điệu chặt trên C, nếu hF (x) − F (y) , x − yi > 0, ∀x, y ∈ C, iii) Đơn điệu trên C, nếu hF (x) − F (y) , x − yi > 0, ∀x, y ∈ C, iv) Liên tục L-Lipschitz trên C nếu kF (x) − F (y)k 6 L kx − yk , ∀x, y ∈ C. Nhận xét 1.2.3. Nếu F : C → H là Lipschitz trên C với hằng số L > 0 thì với mỗi x, y ∈ C, f (x, y) = hF (x) , y − xi thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz. Hơn nữa, F đơn điệu (đơn điệu mạnh, đơn điệu chặt) khi và chỉ khi f (x, y) = hF (x) , y − xi đơn điệu (đơn điệu mạnh, đơn điệu chặt). Chứng minh • Ta có: f (x, y) + f (y, z) − f (x, z) = hF (x) , y − xi + hF (y) , z − yi − hF (x) , z − xi = − hF (y) − F (x) , y − zi > − kF (x) − F (y)k ky − zk 14 > −L kx − yk ky − zk >− Lµ L 2 2 kx − yk − ky − zk , 2 2µ với µ > 0 bất kì. Vậy f là hàm liên tục thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz. • Với f (x, y) = hF (x) , y − xi và f (y, x) = hF (y) , x − yi , ta có: f (x, y) + f (y, x) = hF (x) , y − xi + hF (y) , x − yi = hF (x) , y − xi + h−F (y) , y − xi = hF (x) − F (y) , y − xi = − hF (x) − F (y) , x − yi Nếu F là đơn điệu thì hF (x) − F (y) , x − yi > 0, ∀x, y ∈ C. Tương tự, ta chứng minh được F đơn điệu mạnh (đơn điệu chặt) khi và chỉ khi f đơn điệu mạnh (đơn điệu chặt).