TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
17 QUANG TRUNG
Địa chỉ: 17 Quang Trung – Xuân Khánh – Ninh Kiều – Cần Thơ
Điện thoại: 0939.922.727 – 0915.684.278 – (07103)751.929
Cần Thơ 2013
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang 1
ĐƯỜNG THẲNG
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1 : x 7y 17 0 ,
d 2 : x y 5 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d1 , d 2
một tam giác cân tại giao điểm của d1 ,d 2 .
Câu 1.
Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là:
x 7y 17
12 (7) 2
x y 5
12 12
x 3y 13 0 (1 )
3x y 4 0 ( 2 )
Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với 1 hoặc 2 .
KL: x 3y 3 0 và 3x y 1 0
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng
d1 : 2x y 5 0 . d 2 : 3x 6y – 7 0 . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm
P(2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác
cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2.
Ta có d1 VTCP a1 (2; 1) ; d2 VTCP a 2 (3;6)
Vì a1.a 2 2.3 1.6 0 nên d1 d 2 và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là
đường thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình:
Câu 2.
d : A(x 2) B(y 1) 0 Ax By 2A B 0
Do d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một
góc 450
2A B
A 3B
cos 450 3A 2 8AB 3B2 0
A 2 B2 22 ( 1) 2
B 3A
* Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3x y 5 0
* Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x 3y 5 0
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán:
d : 3x y 5 0 hoặc d : x 3y 5 0 .
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x y 5 0 , d 2 : 3x y 1 0
và điểm I(1; 2) . Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt d1 ,d 2 lần lượt tại
Câu 3.
A và B sao cho AB 2 2 .
Giả
sử
IA (a 1; 3a 3); IB (b 1; 3b 1)
A(a; 3a 5) d1 ; B(b; 3b 1) d 2 ;
b 1 k(a 1)
Do I, A, B thẳng hàng IB kIA
3b 1 k( 3a 3)
+ Nếu a 1 thì b 1 AB = 4 (không thoả).
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang 2
+ Nếu a 1 thì 3b 1
b 1
(3a 3) a 3b 2
a 1
2
AB (b a) 2 3(a b) 4 2 2 t 2 (3t 4) 2 8 (với t a b ).
5t 2 12t 4 0 t 2; t
2
5
- Với t 2 a b 2 b 0, a 2 : x y 1 0
- Với t
2
2
4
2
ab
b , a : 7x y 9 0
5
5
5
5
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x y 1 0 ,
d 2 : 2x – y – 1 0 . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và
(d2) tương ứng tại A và B sao cho 2MA MB 0 .
Câu 4.
Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1).
Từ điều kiện 2MA MB 0 tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường
thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng d1 : x y 1 0, d 2 : x – 2y 2 0 lần
lượt tại A, B sao cho MB = 3MA.
A (d1 )
A(a; 1 a) MA (a 1; 1 a)
Ta có
.
B(2b 2;b) MB (2b 3;b)
B (d 2 )
Từ A, B, M thẳng hàng và MB 3MA MB 3MA (1) hoặc MB 3MA (2)
Câu 5.
2 1
A ;
(1) 3 3 (d) : x 5y 1 0
B(4; 1)
A 0; 1
(2)
(d) : x y 1 0
B(4;3)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Lập phương trình đường
thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng d1 : 3x y 5 0, d 2 : x y 4 0 lần
lượt tại A, B sao cho 2MA – 3MB 0 .
Câu 6.
Giả sử A(a;3a 5) d1 , B(b;4 b) d 2 .
2MA 3MB
Vì A, B, M thẳng hàng và 2MA 3MB nên
2MA 3MB
(1)
(2)
5
2(a 1) 3(b 1)
a
5 5
Từ (1)
2 A ; , B(2;2) . Suy ra d : x y 0 .
2 2
2(3a 6) 3(3 b)
b 2
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang 3
2(a 1) 3(b 1)
a 1
Từ (2)
A(1; 2), B(1;3) . Suy ra d : x 1 0 .
2(3a 6) 3(3 b)
b 1
Vậy có d : x y 0 hoặc d : x 1 0 .
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1). Viết phương trình đường
thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA 3OB) nhỏ nhất.
Câu 7.
PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b):
M(3; 1) d 1
x y
1 (a,b>0)
a b
3 1 Côsi 3 1
2 . ab 12 .
a b
a b
Mà OA 3OB a 3b 2 3ab 12
(OA 3OB) min
a 3b
a 6
12 3 1 1
b 2
a b 2
Phương trình đường thẳng d là:
x y
1 x 3y 6 0
6 2
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua
điểm M(4;1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng
OA OB nhỏ nhất.
Câu 8.
ĐS: x 2y 6 0
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua
9
4
điểm M(1; 2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho
2
OA
OB2
nhỏ nhất.
Câu 9.
Đường thẳng (d) đi qua M(1;2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O, nên
x y
A(a;0);B(0;b) với a.b 0 Phương trình của (d) có dạng 1.
a b
Vì (d) qua M nên
1 2
1 . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có :
a b
2
2
9
4
9
2 1 9
4
1 2 1 3
1 . 1. 1 2 2 2 2
a
b 10
b 9 a
b
a b 3 a
9
4
9
.
2
2
OA
OB 10
Dấu bằng xảy ra khi
1 3
2
1 2
20
: 1: và 1 a 10, b
3 a
b
a b
9
d : 2x 9y 20 0 .
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang 4
Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua
điểm M(3;1) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân
tại A với A(2;–2).
ĐS: x 3y 6 0; x y 2 0
Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng d qua
M(2;1) và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng S 4 .
Gọi A(a;0), B(0;b) (a, b 0) là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: d :
x y
1 .
a b
2 1
2b a ab
1
Theo giả thiết, ta có: a b
.
ab 8
ab 8
+ Khi ab 8 thì 2b a 8 . Nên: b 2;a 4 d1 : x 2y 4 0 .
+ Khi ab 8 thì 2b a 8 . Ta có: b 2 4b 4 0 b 2 2 2 .
Với b 2 2 2 d : 1 2 x 2 1 2 y 4 0
Với b 2 2 2 d : 1 2 x 2 1 2 y 4 0 .
Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có
phương trình 2x – y 3 0 . Lập phương trình đường thẳng () qua A và tạo với d
1
một góc α có cosα
.
10
PT đường thẳng () có dạng:
a(x – 2) b(y 1) 0 ax by – 2a b 0 (a 2 b 2 0)
Ta có: cos
2a b
2
2
5(a b )
1
7a2 – 8ab + b2 = 0.
10
Chọn a = 1 b = 1; b = 7 (1): x + y – 1 = 0 và (2): x + 7y + 5 = 0
Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng
d : 2x 3y 4 0 . Lập phương trình đường thẳng đi qua A và tạo với đường
thẳng d một góc 450 .
PT đường thẳng () có dạng:
a(x – 2) b(y 1) 0 ax by – (2a b) 0 (a 2 b 2 0) .
Ta có: cos 450
2a 3b
13. a 2 b 2
a 5b
5a 2 24ab 5b 2 0
5a b
+ Với a 5b . Chọn a 5, b 1 Phương trình : 5x y 11 0 .
+ Với 5a b . Chọn a 1, b 5 Phương trình : x 5y 3 0 .
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang 5
Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x y 2 0 và điểm
I(1;1) . Lập phương trình đường thẳng cách điểm I một khoảng bằng
với đường thẳng d một góc bằng 450 .
10 và tạo
Giả sử phương trình đường thẳng có dạng: ax by c 0 (a 2 b 2 0) .
Vì (d,
) 450 nên
2a b
a 2 b2 . 5
a 3b
1
2
b 3a
Với a 3b : 3x y c 0 .
Mặt khác d(I; ) 10
c 6
10
10
c 14
4c
Với b 3a : x 3y c 0 .
Mặt khác d(I; ) 10
c 8
10
10
c 12
2 c
Vậy các đường thẳng cần tìm: 3x y 6 0; 3x y 14 0 ; x 3y 8 0;
x 3y 12 0 .
Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d1 ,
d 2 có phương trình lần lượt là 3x y 2 0 và x 3y 4 0 . Gọi A là giao điểm
của d1 và d 2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d1 và
1
1
d 2 lần lượt tại B , C ( B và C khác A ) sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
2
AB AC2
Ta có A d1 d 2 A(1;1) . Ta có d1 d 2 . Gọi là đường thẳng cần tìm. H là
1
1
1
1
hình chiếu vuông góc của A trên . ta có:
(không đổi)
2
2
2
AB AC
AH
AM 2
1
1
1
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
khi H M, hay là đường thẳng đi
2
2
AB AC
AM 2
qua M và vuông góc với AM. Phương trình : x y 2 0 .
Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : x – 3y – 4 0 và
đường tròn (C) : x 2 y2 – 4y 0 . Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng
đối xứng qua điểm A(3; 1).
M (d) M(3b+4; b) N(2 – 3b; 2 – b)
N (C) (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = 0 b 0; b
6
5
38 6
8 4
Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc M ; , N ;
5 5
5 5
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang 6
Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đường thẳng :
2x 3y 4 0 . Tìm điểm B thuộc đường thẳng sao cho đường thẳng AB và
hợp với nhau góc 450 .
x 1 3t
có PTTS:
và VTCP u ( 3;2) .
y 2 2t
1
AB.u
1
Giả sử B(1 3t; 2 2t) . (AB, ) 45 cos(AB;u)
AB. u
2
2
0
15
t 13
2
169t 156t 45 0
t 3
13
.
32 4
22 32
Vậy các điểm cần tìm là: B1 ; , B2 ; .
13 13
13 13
Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x 3y 6 0 và điểm
N(3;4) . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc
15
tọa độ) có diện tích bằng .
2
Ta có ON (3;4) , ON = 5, PT đường thẳng ON: 4x 3y 0 .
Giả sử M(3m 6; m) d .
Khi đó ta có SONM
2S
1
d(M, ON).ON d(M, ON) ONM 3
2
ON
4.(3m 6) 3m
13
3 9m 24 15 m 1; m
5
3
+ Với m 1 M(3; 1)
+ Với m
13
13
M 7;
3
3
Oxy, cho điểm A(0;2)
và đường thẳng
d : x 2y 2 0 . Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC
vuông ở B và AB = 2BC .
Câu 19. Trong mặt phẳng toạ độ
Giả sử B(2b 2;b),C(2c 2;c) d .
2 6
Vì ABC vuông ở B nên AB d AB.u d 0 B ;
5 5
AB
2 5
5
BC
5
5
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang 7
c 1 C(0;1)
1
5
2
BC
125c 300c 180 =
c 7 C 4 ; 7
5
5
5
5 5
d1 : x y 3 0 ,
d 2 : x y 9 0 và điểm A(1;4) . Tìm điểm B d1 , C d 2 sao cho tam giác ABC
vuông cân tại A.
Gọi B(b;3 b) d1 , C(c;9 c) d 2 AB (b 1; 1 b) , AC (c 1;5 c) .
AB.AC 0
ABC vuông cân tại A
AB AC
Câu 20. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng
(b 1)(c 1) (b 1)(5 c) 0
(*)
2
2
2
2
(b 1) (b 1) (c 1) (5 c)
Vì c 1 không là nghiệm của (*) nên
(b 1)(5 c)
b 1
c 1
(*)
2
(b 1) 2 (5 c) (b 1) 2 (c 1) 2 (5 c) 2
(c 1) 2
(1)
(2)
b c 2
Từ (2) (b 1)2 (c 1) 2
.
b c
+ Với b c 2 , thay vào (1) ta được c 4, b 2 B(2;1), C(4;5) .
+ Với b c , thay vào (1) ta được c 2, b 2 B(2;5), C(2;7) .
Vậy: B(2;1), C(4;5) hoặc B(2;5), C(2;7) .
Câu 21. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(0; 1) B(2; –1) và các đường thẳng
có phương trình:
d1 : (m – 1)x (m – 2)y 2 – m 0 ; d 2 : (2 – m)x (m – 1)y 3m – 5 0 .
Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau. Gọi P = d1 d 2. Tìm m sao cho PA PB lớn nhất.
(m 1)x (m 2)y m 2
Xét Hệ PT:
.
(2 m)x (m 1)y 3m 5
m 1 m 2
2
3 1
Ta có D
2 m 0, m
2 m m 1
2 2
d1 ,d 2 luôn cắt nhau. Ta có: A(0;1) d1 , B(2; 1) d 2 , d1 d 2 APB vuông
tại P P nằm trên đường tròn đường kính AB.
Ta có: (PA PB) 2 2(PA 2 PB2 ) 2AB2 16
PA PB 4 . Dấu "=" xảy ra PA = PB P là trung điểm của cung AB
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang 8
P(2; 1) hoặc P(0; –1) m 1 hoặc m 2 .
Vậy PA PB lớn nhất m 1 hoặc m 2 .
Câu 22. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (): x – 2y – 2 0 và hai điểm
A(1;2) , B(3;4) . Tìm điểm M () sao cho 2MA 2 MB2 có giá trị nhỏ nhất.
Giả sử M M(2t 2; t) AM (2t 3; t 2), BM (2t 1; t 4)
2
26 2
Ta có: 2AM 2 BM 2 15t 2 4t 43 f (t) min f (t) f M ;
15
15 15
Câu 23. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x y 3 0 và 2 điểm
A(1;0), B(2;1) . Tìm điểm M trên d sao cho MA MB nhỏ nhất.
Ta có: (2x A y A 3).(2x B y B 3) 30 0 A, B nằm cùng phía đối với d.
Gọi A là điểm đối xứng của A qua d A( 3;2)
Phương trình AB : x 5y 7 0 .
Với mọi điểm M d, ta có: MA MB MA MB AB .
Mà MA MB nhỏ nhất A, M, B thẳng hàng M là giao điểm của AB với d.
8 17
Khi đó: M ; .
11 11
ĐƯỜNG TRÒN
Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng
(d): 2x – y – 5 0 và đường tròn (C’): x 2 y 2 20x 50 0 . Hãy viết phương
trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1).
A(3; 1), B(5; 5) (C): x 2 y 2 4x 8y 10 0
3
,
2
A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm của ABC nằm trên đường thẳng d : 3x – y – 8 0 .
Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.
Câu 25. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng
Tìm được C (1; 1) , C 2 (2; 10) .
1
+ Với C1 (1; 1) (C): x 2 y 2
11
11
16
x y 0
3
3
3
+ Với C 2 (2; 10) (C): x 2 y 2
91
91
416
x y
0
3
3
3
Câu 26. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1 : 2x y 3 0 ,
d 2 : 3x 4y 5 0 , d 3 : 4x 3y 2 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc
d1 và tiếp xúc với d 2 và d3.
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang 9
Gọi tâm đường tròn là I(t;3 2t) d1.
Khi đó: d(I,d 2 ) d(I, d3 )
3t 4(3 2t) 5 4t 3(3 2t) 2
t 2
5
5
t 4
Vậy có 2 đường tròn thoả mãn:
(x 2)2 (y 1)2
49
9
và (x 4) 2 (y 5) 2
.
25
25
Câu 27. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng : x 3y 8 0 ,
' :3x 4y 10 0 và điểm A(–2; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc
đường thẳng , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng .
Giả sử tâm I(3t 8; t) .. Ta có: d(I, ) IA
3( 3t 8) 4t 10
2
3 4
2
( 3t 8 2) 2 (t 1) 2 t 3 I(1; 3), R 5
PT đường tròn cần tìm: (x 1) 2 (y 3)2 25 .
Câu 28. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng : 4x 3y 3 0 và
' : 3x 4y 31 0 . Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng
tại điểm có tung độ bằng 9 và tiếp xúc với '. Tìm tọa độ tiếp điểm của (C) và ' .
Gọi I(a;b) là tâm của đường tròn (C). (C) tiếp xúc với tại điểm M(6;9) và (C)
tiếp xúc với nên
54 3a
4a 3b 3 3a 4b 31
d(I, ) d(I, ')
3 6a 85
4a 3
4
5
5
IM u (3;4)
3(a 6) 4(b 9) 0
3a 4b 54
25a 150 4 6a 85
a 10; b 6
54 3a
a 190; b 156
b 4
Vậy: (C) : (x 10)2 (y 6)2 25 tiếp xúc với ' tại N(13;2)
hoặc (C) : (x 190) 2 (y 156) 2 60025 tiếp xúc với ' tại N(43; 40)
Câu 29. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua
A(2; 1) và tiếp xúc với các trục toạ độ.
(x a) 2 (y a) 2 a 2
Phương trình đường tròn có dạng:
2
2
2
(x a) (y a) a
(a)
(b)
a) a 1; a 5
b) vô nghiệm.
Kết luận: (x 1)2 (y 1)2 1 và (x 5) 2 (y 5) 2 25 .
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang 10
Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : 2x y 4 0 . Lập
phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng
(d).
Gọi I(m;2m 4) (d) là tâm đường tròn cần tìm.
Ta có: m 2m 4 m 4, m
+ m
4
.
3
4
thì phương trình đường tròn là:
3
2
2
4
4 16
x y .
3
3
9
+ m 4 thì phương trình đường tròn là: (x 4)2 (y 4)2 16 .
Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng
(): 3x – 4y 8 0 . Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường
thẳng ().
Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực d của đoạn AB
d qua M(1; 2) có VTPT là AB (4;2) d: 2x + y – 4 = 0 Tâm I(a;4 – 2a)
a 3
Ta có IA = d(I,D) 11a 8 5 5a 10a 10 2a – 37a + 93 = 0
31
a
2
2
2
+ Với a = 3 I(3;–2), R = 5 (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25
31
65
31
+ Với a =
I ; 27 , R =
(C):
2
2
2
2
31
4225
2
x (y 27)
2
4
Câu 32. Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d : x 2y 3 0 và : x 3y 5 0 .
Lập phương trình đường tròn có bán kính bằng
2 10
, có tâm thuộc d và tiếp xúc
5
với .
Tâm I d I(2a 3;a) . (C) tiếp xúc với nên:
d(I, ) R
a2
10
a 6
2 10
5
a 2
(C): (x 9)2 (y 6)2
8
8
hoặc (C): (x 7)2 (y 2) 2 .
5
5
2
2
Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y 4 3x 4 0 .
Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C), bán kính R = 2 và tiếp xúc
ngoài với (C) tại A.
(C) có tâm I(2 3;0) , bán kính R= 4; A(0; 2). Gọi I là tâm của (C).
x 2 3t
PT đường thẳng IA :
, I' IA I(2 3t; 2t 2) .
y 2t 2
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang 11
1
AI 2IA t I'( 3;3) (C): (x 3) 2 (y 3) 2 4
2
2
2
Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y – 4y – 5 0 .
Hãy viết phương trình đường tròn (C) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm
4 2
M ;
5 5
(C) có tâm I(0;2), bán kính R = 3. Gọi I’ là điểm đối xứng của I qua M
8 6
I ; (C):
5 5
2
2
8
6
x y 9
5
5
Câu 35. Trong
mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):
x y 2x 4y 2 0 . Viết phương trình đường tròn (C) tâm M(5; 1) biết (C)
2
2
cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB 3 .
(C) có tâm I(1; –2), bán kính R 3 . PT đường thẳng IM: 3x 4y 11 0 .
AB 3 .
Gọi H(x; y) là trung điểm của AB.
1
29
x
;
y
H IM
3x 4y 11 0
5
10
Ta có:
3
9
2
2
2
2
x 11 ; y 11
IH R AH 2
(x 1) (y 2) 4
5
10
1 29
11 11
H ; hoặc H ; .
5 10
5 10
1 29
+ Với H ; . Ta có :
5 10
R 2 MH 2 AH 2 43 PT (C): (x 5) 2 (y 1)2 43 .
11 11
+ Với H ; . Ta có :
5 10
R 2 MH 2 AH 2 13 PT (C): (x 5) 2 (y 1) 2 13 .
2
2
Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x 1) (y 2) 4
và điểm K(3; 4) . Lập phương trình đường tròn (T) có tâm K, cắt đường tròn (C) tại
hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I là tâm của đường tròn
(C).
(C) có tâm I(1;2) , bán kính R 2 . SIAB lớn nhất IAB vuông tại I
AB 2 2 .
Mà IK 2 2 nên có hai đường tròn thoả YCBT.
+ (T1 ) có bán kính R 1 R 2 (T1 ) : (x 3) 2 (y 4) 2 4
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang 12
+ (T2 ) có bán kính R 2 (3 2) 2 ( 2) 2 2 5 (T1 ) : (x 3) 2 (y 4) 2 20 .
Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam
1
giác ABC với các đỉnh: A(–2;3), B ;0 , C(2;0) .
4
1
Điểm D(d;0) d 2 thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A
4
2
2
9
1
3
d
DB AB
4 4
khi và chỉ khi
4d 1 6 3d d 1.
2
2
DC AC
2d
4 3
Phương trình
AD:
x 2 y3
x 2 y3
x y 1 0 ; AC:
3x 4y 6 0
3
3
4
3
Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b. Khi đó hoành độ là 1 b và
bán kính cũng bằng b. Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta có:
4
b 3 5b b
31 b 4b 6
3
b b 3 5b
32 4 2
b 3 5b b 1
2
Rõ ràng chỉ có giá trị b
1
là hợp lý.
2
2
Vậy, phương trình của đường tròn nội tiếp ABC là:
2
1
1
1
x y
2
2
4
Câu 38. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): 4x 3y 12 0 và (d2):
4x 3y 12 0 . Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh
nằm trên (d1), (d2) và trục Oy.
Gọi A d1 d 2 , B d1 Oy,C d 2 Oy A(3;0), B(0; 4), C(0;4) ABC
cân đỉnh A và AO là phân giác trong của góc A. Gọi I, R là tâm và bán kính đường
4
4
tròn nội tiếp ABC I ;0 , R .
3
3
Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x y 1 0 và hai
đường tròn có phương trình:
(C1): (x 3) 2 (y 4)2 8 , (C2): (x 5) 2 (y 4) 2 32 .
Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2).
Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2). Giả sử
I(a;a – 1) d .
(C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang 13
II1 R R 1 , II 2 R R 2 II1 – R 1 II 2 – R 2
(a 3)2 (a 3) 2 2 2 (a 5) 2 (a 5)2 4 2 a = 0
I(0; –1), R =
2
Phương trình (C): x 2 (y 1) 2 2 .
Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5),
C(–5; 9), M(–2; –7). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường
tròn ngoại tiếp ABC.
ĐS: y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0.
2
2
Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C : x y 2x 0 . Viết phương
trình tiếp tuyến của C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30 .
(C) : (x 1)2 y 2 1 I( 1;0);R 1 . Hệ số góc của tiếp tuyến () cần tìm là 3 .
PT () có dạng 1 : 3x y b 0 hoặc 2 : 3x y b 0
+ 1 : 3x y b 0 tiếp xúc (C) d(I, 1 ) R
b 3
1 b 2 3 .
2
Kết luận: ( 1 ) : 3x y 2 3 0
+ ( 2 ) : 3x y b 0 tiếp xúc (C) d(I, 2 ) R
b 3
1 b 2 3 .
2
Kết luận: ( 2 ) : 3x y 2 3 0 .
Câu 42. Trong
mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C):
x y 6x 2y 5 0 và đường thẳng (d): 3x y 3 0 . Lập phương trình tiếp
tuyến với đường tròn (C), biết tiếp tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường
thẳng (d) một góc 450 .
2
2
(C) có tâm I(3; 1), bán kính R =
5.
Giả sử (): ax by c 0 (c 0) .
d(I, ) 5
a 2, b 1, c 10
: 2x y 10 0
Từ:
2 a 1, b 2,c 10 : x 2y 10 0 .
cos(d, )
2
2
2
Câu 43. Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn (C) : (x 1) (y 1) 10 và đường
thẳng d : 2x y 2 0 . Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C) , biết
tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc 450 .
(C) có tâm I(1;1) bán kính R 10 .
Gọi n (a;b) là VTPT của tiếp tuyến (a 2 b 2 0) ,
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang 14
Vì (
,d) 450 nên
2a b
a 2 b2 . 5
a 3b
1
2
b 3a
+ Với a 3b : 3x y c 0 .
Mặt khác d(I; ) R
c 6
10
10
c 14
4c
+ Với b 3a : x 3y c 0 .
Mặt khác d(I; ) R
c 8
10
10
c 12
2 c
Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm:
3x y 6 0; 3x y 14 0 ; x 3y 8 0; x 3y 12 0 .
Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai
đường tròn (C1): x 2 y 2 – 2x – 2y – 2 0 , (C2): x 2 y 2 – 8x – 2y 16 0 .
(C1) có tâm I1 (1; 1) , bán kính R1 = 2; (C2) có tâm I 2 (4; 1) , bán kính R2 = 1.
Ta có: I1I 2 3 R1 R 2
(C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)
(C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3
song song Oy.
Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: ( ) : y ax b ( ) :ax y b 0 ta có:
a b 1
2
2
2
2
a
a
2
d(I1; ) R1
a b
4
4
hay
d(I 2 ; ) R 2
4a b 1 1
b 4 7 2
b 4 7 2
a 2 b2
4
4
Vậy, có 3 tiếp tuyến chung:
( 1 ) : x 3, ( 2 ) : y
2
47 2
2
47 2
x
, ( 3 ) y
x
4
4
4
4
Câu 45. Trong
mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C):
(x 2) (y 3) 2 2 và (C’): (x 1) 2 (y 2) 2 8 . Viết phương trình tiếp tuyến
chung của (C) và (C’).
2
(C) có tâm I(2; 3) và bán kính R 2 ; (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R ' 2 2 .
Ta có: II ' 2 R R (C) và (C) tiếp xúc trong Tọa độ tiếp điểm M(3; 4).
Vì (C) và (C) tiếp xúc trong nên chúng có duy nhất một tiếp
tuyến chung là đường
thẳng qua điểm M(3; 4), có véc tơ pháp tuyến là II (1; 1) PTTT:
x y7 0
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang 15
Câu 46. Trong
mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn
(C1 ) : x y 2 2y 3 0 và (C2 ) : x 2 y 2 8x 8y 28 0 . Viết phương trình tiếp
tuyến chung của (C1 ) và (C2 ) .
2
(C1 ) có tâm I1 (0;1) , bán kính R 1 2 ; (C2 ) có tâm I 2 (4; 4) , bán kính R 2 2 .
Ta có: I1I 2 5 4 R1 R 2 (C1 ),(C2 ) ngoài nhau. Xét hai trường hợp:
+ Nếu d // Oy thì phương trình của d có dạng: x c 0 .
Khi đó: d(I1 ,d) d(I 2 , d) c 4 c c 2 d : x 2 0 .
+ Nếu d không song song với Oy thì phương trình của d có dạng: d : y ax b .
d(I ,d) 2
Khi đó: 1
d(I1 ,d) d(I 2 , d)
1 b
a2 1
1 b
a2 1
3
7
a
;
b
4
2
2
3
3
a ;b
4
2
4a 4 b
a2 1
a 7 ;b 37
24
12
d : 3x 4y 14 0 hoặc d : 3x 4y 6 0 hoặc d : 7x 24y 74 0 .
Vậy: d : x 2 0 ; d : 3x 4y 14 0 ; d : 3x 4y 6 0 ; d : 7x 24y 74 0 .
Câu 47. Trong
mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn
(C1 ) : x y 2 4y 5 0 và (C2 ) : x 2 y 2 6x 8y 16 0 . Viết phương trình tiếp
tuyến chung của (C1 ) và (C2 ) .
2
(C1 ) có tâm I1 (0;1) , bán kính R 1 3 ; (C2 ) có tâm I 2 (3; 4) , bán kính R 2 3 .
Giả sử tiếp tuyến chung của (C1 ), (C2 ) có phương trình:
ax by c 0 (a 2 b 2 0) .
là tiếp tuyến chung của (C1 ), (C2 )
2b c 3 a 2 b 2
d(I1 , ) R 1
d(I 2 , ) R 2
3a 4b c 3 a 2 b 2
Từ (1) và (2) suy ra a 2b hoặc c
(1)
(2)
3a 2b
.
2
+ TH1: Với a 2b . Chọn b 1 a 2, c 2 3 5 : 2x y 2 3 5 0
a 0
3a 2b
2
2
+ TH2: Với c
. Thay vào (1) ta được: a 2b 2 a b
.
a 4 b
2
3
: y 2 0 hoặc : 4x 3y 9 0 .
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang 16
2
2
Câu 48. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x y 4 3x 4 0 . Tia Oy cắt
(C) tại điểm A. Lập phương trình đường tròn (T) có bán kính R = 2 sao cho (T) tiếp
xúc ngoài với (C) tại A.
(C) có tâm I(2 3;0) , bán kính R 4 . Tia Oy cắt (C) tại A(0;2) .
Gọi J là tâm của (T).
x 2 3t
Phương trình IA:
. Giả sử J(2 3t;2t 2) (IA) .
y 2t 2
1
(T) tiếp xúc ngoài với (C) tại A nên AI 2JA t J( 3;3) .
2
Vậy: (T) : (x 3) 2 (y 3) 2 4 .
2
2
Câu 49. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x y 1 và phương trình:
x 2 y 2 – 2(m 1)x 4my – 5 0 (1). Chứng minh rằng phương trình (1) là phương
trình của đường tròn với mọi m. Gọi các đường tròn tương ứng là (Cm). Tìm m để
(Cm) tiếp xúc với (C).
(Cm) có tâm I(m 1; 2m) , bán kính R ' (m 1) 2 4m 2 5 ,
(C) có tâm O(0; 0) bán kính R = 1, OI (m 1)2 4m2 , ta có OI < R
Vậy (C) và (Cm) chỉ tiếp xúc trong.
3
R – R = OI ( vì R’ > R) m 1; m .
5
Câu 50. Trong
mặt
phẳng Oxy, cho các đường tròn có phương trình
1
(C1 ) : (x 1)2 y 2
và (C2 ) : (x 2) 2 (y 2) 2 4 . Viết phương trình đường
2
thẳng d tiếp xúc với (C1 ) và cắt (C2 ) tại hai điểm M, N sao cho MN 2 2 .
(C1 ) có tâm I1 (1;0) , bán kính R 1
1
; (C2 ) có tâm I1 (2;2) , bán kính R 2 2 . Gọi
2
2
MN
H là trung điểm của MN d(I2 ,d) I 2 H R
2
2
2
2
Phương trình đường thẳng d có dạng: ax by c 0 (a 2 b 2 0) .
1
2 a c a 2 b 2
d(I1 , d)
2
Ta có:
.
2a 2b c 2 a 2 b 2
d(I ,d) 2
2
Giải hệ tìm được a, b, c.
Vậy: d : x y 2 0; d : x 7y 6 0 ; d : x y 2 0 ; d : 7x y 2 0
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang 17
2
2
Câu 51. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y – 6x 5 0 .
Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc
giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600 .
(C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2. Gọi M(0; m) Oy
600 (1)
AMB
Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB
1200 (2)
AMB
nên:
Vì MI là phân giác của AMB
= 300 MI
(1) AMI
IA
MI = 2R m 2 9 4 m 7
sin 300
IA
2 3
4 3
MI =
R m2 9
Vô nghiệm
0
sin 60
3
3
Vậy có hai điểm M1(0; 7 ) và M2(0; 7 )
= 600 MI
(2) AMI
Câu 52. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng định
bởi: (C) : x 2 y 2 4x 2y 0; : x 2y 12 0 . Tìm điểm M trên sao cho từ
M vẽ được với (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 600.
Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính R 5 .
Gọi A, B là hai tiếp điểm. Nếu hai tiếp tuyến này lập với nhau một góc 60 0 thì IAM
là nửa tam giác đều suy ra IM 2R=2 5 .
Như thế điểm M nằm trên đường tròn (T) có phương trình: (x 2) 2 (y 1) 2 20 .
Mặt khác, điểm M nằm trên đường thẳng , nên tọa độ của M nghiệm đúng hệ
(x 2) 2 (y 1)2 20
(1)
phương trình:
(2)
x 2y 12 0
Khử x giữa (1) và (2) ta được:
y 3
2y 10 y 1 20 5y 42y 81 0 27
y
5
2
2
2
6 27
Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: M 6;3 hoặc M ;
5 5
2
2
Câu 53. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x 1) (y 2) 9
và đường thẳng d : x y m 0 . Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một
điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai
tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.
(C) có tâm I(1; –2), R = 3. ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 IA 3 2
m 5
3 2 m 1 6
2
m 7
m 1
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang 18
2
2
Câu 54. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x 1) (y 2) 9
và đường thẳng d : 3x 4y m 0 . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ
đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (C) (A, B là hai tiếp điểm)
sao cho PAB là tam giác đều.
(C) có tâm I(1; 2) , bán kính R 3 . PAB đều PI 2AI 2R 6 P nằm trên
đường tròn (T) có tâm I, bán kính r 6 . Do trên d có duy nhất một điểm P thoả
m 19
11 m
YCBT nên d là tiếp tuyến của (T) d(I, d) 6
6
.
5
m 41
Câu 55. Trong
mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn
(C) : x y 18x 6y 65 0 và (C) : x 2 y 2 9 . Từ điểm M thuộc đường tròn
(C) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C), gọi A, B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ
điểm M, biết độ dài đoạn AB bằng 4,8 .
2
2
(C’) có tâm O 0;0 , bán kính R OA 3 . Gọi H AB OM H là trung điểm
12
9
OA 2
2
2
của AB AH . Suy ra: OH OA AH và OM
5.
5
5
OH
Giả sử M(x; y) .
x 2 y 2 18x 6y 65 0
M (C)
x 4 x 5
Ta có:
2
2
y 3 y 0
OM 5
x y 25
Vậy M(4;3) hoặc M(5;0) .
2
2
Câu 56. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x 1) (y 2) 4 .
M là điểm di động trên đường thẳng d : y x 1 . Chứng minh rằng từ M kẻ được
hai tiếp tuyến MT1 , MT2 tới (C) (T1, T2 là tiếp điểm) và tìm toạ độ điểm M, biết
đường thẳng T1T2 đi qua điểm A(1; 1) .
(C) có tâm I(1; 2) , bán kính R 2 . Giả sử M(x 0 ; x 0 1) d .
IM (x 0 1) 2 (x 0 3) 2 2(x 0 1) 2 8 2 R M nằm ngoài (C) qua M
kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C).
x 1 x 1
Gọi J là trung điểm IM J 0 ; 0
. Đường tròn (T) đường kính IM có tâm
2
2
IM
J bán kính R 1
có phương trình
2
2
2
x0 1
x0 1
(x 0 1) 2 (x 0 3) 2
(T) : x
y
2
2
4
0
Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MT1, MT2 đến (C) IT
1M IT2 M 90 T1 ,T2 (T)
{T1 , T2 } (C) (T) toạ độ T1 , T2 thoả mãn hệ:
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang 19
x0 1 2
x 0 1 2 (x 0 1) 2 (x 0 3)2
(x
)
(y
)
2
2
4
(x 1)2 (y 2) 2 4
(1 x 0 )x (3 x 0 )y x 0 3 0 (1)
Toạ độ các điểm T1 , T2 thoả mãn (1), mà qua 2 điểm phân biệt xác định duy nhất 1
đường thẳng nên phương trình T1T2 là x(1 x 0 ) y(3 x 0 ) x 0 3 0 .
A(1; 1) nằm trên T1T2 nên 1 x 0 (3 x 0 ) x 0 3 0 x 0 1 M(1;2) .
2
2
Câu 57. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1) (y 1) 25
và điểm M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại hai điểm A,
B phân biệt sao cho MA = 3MB.
PM/(C) 27 0 M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5.
Mặt khác:
PM/(C) MA.MB 3MB2 MB 3 BH 3 IH R 2 BH 2 4 d[M,(d)]
Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0).
d[M,(d)] 4
a 0
4
.
2
2
a 12 b
a b
5
6a 4b
Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0.
Câu 58. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm
A(1; 2) và cắt đường tròn (C) có phương trình (x 2) 2 (y 1) 2 25 theo một dây
cung có độ dài bằng l 8 .
Ta có d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0 ax + by – a – 2b = 0 ( a2 + b2 > 0)
Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài l 8 nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C)
đến d bằng 3.
d I, d
2a b a 2b
a 2 b2
2
3 a 3b 3 a b
2
a 0
8a 6ab 0
a 3 b
4
2
+ a = 0: chọn b = 1 d: y – 2 = 0
3
+ a = b : chọn a = 3, b = – 4 d: 3x – 4 y + 5 = 0.
4
Câu 59. Trong
mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) :
x y 2x 8y 8 0 . Viết phương trình đường thẳng song song với đường
thẳng d : 3x y 2 0 và cắt đường tròn (C) theo một dây cung có độ dài l 6 .
2
2
(C) có tâm I(–1; 4), bán kính R = 5.
PT đường thẳng có dạng: 3x y c 0, c 2 .
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang 20
- Xem thêm -
.PDF 
73 
70 
79 
