Xét tính liên tục của hàm số

  • Số trang: 6 |
  • Loại file: DOCX |
  • Lượt xem: 91 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại một điểm xo -B1: Tìm tập xác định của hàm số. -B2: Xét sự tồn tại của f(xo) lim f ( x ) -B3: Xét sự tồn tại của x � xo lim f ( x) x � xo -B4: So sánh và f(xo) �g ( x) nêu x �x o f ( x)  � �h( x) nêu x = x o Nếu hàm số có dạng  lim f ( x)  lim g ( x) x � xo x � xo thì tìm lim f ( x )  f  x o  � x �xo Nếu  hàm số liên tục tại xo. lim f ( x) �f  x o  � x �xo Nếu  hàm số gián đoạn tại xo. �lim f ( x)  lim g ( x) x �xo �x �xo � f ( x)  lim h( x) �xlim  x � xo ��xo �g ( x) nêu x �x o f ( x)  � �h( x ) nêu x < x o  Nếu hàm số có dạng VD: Xét tính liên tục của các hàm số sau: �x 2  16 nêu x �4 � f ( x)  �x  4 �x  4 nêu x  4 � a) tại x = 4 2 �x  4 x  4 nêu x �1 f ( x)  �2 nêu x < 1 �x c) tại x= 1 a) Tập xác định: thì tìm f ( x)  b) x2  2 x  1 x tại x = 0 Giải D=R Ta có: f(4) = 8 lim x 2−16  l ℑ f ( x )= x→ 4 x→ 4 x−4 lim ( x−4 ) ( x+ 4 ) = x →4 x−4 =lim ( x+ 4 )=8 x →4 � lim f ( x)  f (4) x �4 Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 4. b) Tập xác định: ¿ D=R {0¿ ¿ Ta có hàm số f ( x ) không xác định tại x = 0 nên không tồn tại f ( 0 ) Vậy hàm số f ( x ) không liên tục tại x= 0. c) Tập xác định: Ta có: D=R f ( 1) = 1 (1)  x → 1+¿ ( x2 + 4 x−4 ) =1 x → 1+¿ f ( x )=l ℑ ¿ lℑ ¿  x → 1−¿ x 2=1 x → 1−¿ f ( x )=l ℑ ¿ lℑ ¿ x →1−¿ f ( x ) =1 x → 1+¿ f ( x )=l ℑ ¿ ⇒l ℑ ¿ ⇒ l ℑ f ( x )=1(2) x →1 lim f ( x)  f (1) x �1 Từ (1) và (2) ta có Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 1. Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên một khoảng (một đoạn)  Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x0  (a; b)  f(x) liên tục trên (a; b) lim f ( x)  f ( a), lim f ( x)  f (b)  Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x0  (a; b) và x �a  x �b  f(x) liên tục trên [a; b] 2 VD : Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó: Giải. Tập xác định: D=R x −5 x + 6 khi x > 3 x −3 2 x + 1 khi x ≤3 ¿ f ( x )= ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ 2 - Với x >3: f(x) = x −5 x+6 x−3 2 - do đó hàm số ¿ R {3 ¿ ¿  f(x) liên tục trên (3; +) (1) Với x < 3: f(x) = 2x+1 là hàm số đa thức nên có tập xác định là R do đó hàm số f(x)= 2x+1 liên tục trên R f(x) = - x −5 x+6 x−3 là hàm phân thức hữu tỉ nên có tập xác định là ¿ R {3 ¿ ¿ liên tục trên  f(x) liên tục trên (Với x = 3: ∞ ;3) . 2 * ( x−3 )( x−2) x −5 x +6 lim f ( x )=lim = lim = lim ( x−2)=1 + + + x−3 x−3 x → 3+ x →3 x→3 x→ 3 lim f ( x )=lim ( 2 x +1)=7 x → 3− − x→ 3 * lim f ( x )≠lim f ( x ) Vì x → 3+ − x →3 nên hàm số đã cho không có giới hạn hữu hạn khi x Do đó nó không liên tục tại x = 3. → 3. Vấn đề 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM. Phương pháp: Dùng định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm. √ 3 x +4 −1 khi x ≠−1 x +1 m khi x =−1 ¿ f ( x )=¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ VD1:Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục tại x= -1: Giải.Tập xác định: D=R Ta có: f (−1 )=m lim f ( x )= lim x →−1 √3 x+4−1 = lim x →−1 3 x +4−1 3 3 = lim = x →−1 ( x+1 )( √ 3 x +4 +1) x →−1 √ 3 x +4 +1 2 x+1 ⇔ lim f ( x )=f (−1)⇔m= Hàm số trên liên tục tại x = -1 VD2: Định a để hàm số liên tục: Tập xác định: - x →−1 3 2 �5  ax 2 nêu x > 2 f ( x)  � �x  1 nêu x �2 trên R Giải D=R 2 Với x >2: f ( x )=5−a x là hàm đa thức nên có tập xác định là R do đó hàm số f ( x )=5−a x 2 liên tục trên R  f(x) liên tục trên (2; +) (1) - Với x < 2: f(x) = x+1 là hàm số đa thức nên có tập xác định là -  f(x) liên tục trên (Với x =2: f(2) = 3 ∞ ;2) R do đó hàm số f(x) = x+1 liên tục trên R (2) lim f ( x)  lim (5  ax 2 )  5  4a x �2  x �2 lim f ( x)  lim (x + 1)  2  1  3 x �2  x �2 Từ (1) và (2)  Hàm số f(x) liên tục trên R\{2} (f(x) liên tục trên R  f(x) liên tục tại x = 2 � lim f ( x)  lim f ( x)  f (2) x �2 x �2 � 5  4a  3 � 4a  2 � a  1 2 1 2 Vậy a = thì f(x) liên tục trên R. Vấn đề 4: Chứng minh phương trình có nghiệm trên đoạn [a; b] -B1: Biến đổi để vế phải là số 0. Đặt f(x) là vế trái. -B2: Tìm tập xác định của f(x). Chứng tỏ f(x) là hàm số liên tục trên [a; b]. -B3: Tìm 2 số c, d thuộc [a; b] (c < d) sao cho f(c).f(d)<0.  có xo  (c; d): f(xo) = 0. Kết luận phương trình có nghiệm thuộc [a; b].  Chú ý: Muốn chứng minh f(x) = 0 có 2, 3, … nghiệm trên [a; b] thì cần tìm 2, 3, …khoảng rời nhau mà trên mỗi khoảng f(x) = 0 đều có nghiệm. o Để chứng minh phương trình có nghiệm, cần tìm hai số a và b sao cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0. o Nếu phương trình chứa tham số,thì chọn a và b sao cho: + Các giá trị f(a),f(b) không chứa tham số,hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi. + Hoặc cả f(a) và f(b) đều chứa tham số nhưng tích f(a).f(b)<0. o Để chứng minh phương trình có ít nhất k nghiệm, cần tìm được k cặp số ai và bi sao cho các khoảng (ai;bi) rời nhau, f(ai).f(bi)<0 và hàm số y = f(x) liên tục trên tất cả các đoạn [ai;bi]. VD1: Chứng tỏ phương trình a) 3x4 + 4x3 – x2 + 2x – 1 = 3x +4 có nghiệm thuộc (-1; 3) b) x4 – x2 + 4x = 2x2 + 6 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2) Giải a) Ta có: 3x4 + 4x3 – x2 + 2x – 1 = 3x +4  3x4 + 4x3 – x2 – x – 2 = 0 Đặt f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 – x – 2 - TXĐ: D=R Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R  f(x) liên tục trên [-1; 3] Ta lại có: f(0) = 2 ; f(1) = 3  f(0).f(1) = - 6 < 0  f(x) có nghiệm xo  (0; 1). Vậy phương trình có nghiệm thuộc (-1;3) b) Ta có: x4 – x2 + 4x = 2x2 + 6  x4 – 3x2 + 4x – 6 = 0 Đặt f(x) = x4 – 3x2 + 4x – 6 - TXĐ: D=R Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R  f(x) liên tục trên [1; 2] Ta lại có: f(1) = - 4 ; f(2) = 6  f(1).f(2) =- 24 < 0  f(x) có nghiệm xo  (1; 2). Vậy phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1; 2) VD2: Chứng minh rằng phương trình 2x3 – 3x2 – 3x + 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2) Giải: Đặt f(x) = 2x3 – 3x2 – 3x + 2 - TXĐ: D=R Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R f(x) liên tục trên các đoạn [-2;0], [0;1], [1; 2]. Ta lại có: f(- 2) = - 19; f(0) = 3; f(1) = - 1; f(2) = 1 nên f(-2).f(0) = -57 < 0  f(x) có nghiệm x1  (-2; 0) f(0).f(1) = -3 < 0  f(x) có nghiệm x2  (0; 1) f(1).f(2) = -1 < 0  f(x) có nghiệm x3  (1; 2) Vậy phương trình 2x3 – 3x2 – 3x + 2= 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2). VD3: CMR phương trình: 2x3- 5x2 +x +1=0 có ít nhất hai nghiệm. Giải: Xét hàm số f(x)= 2x3-5x2+x+1. - TXĐ: D=R Ta có f(x) liên tục trên R,suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [0;1] và [1;3]. Ta lại có: f(0)=1; f(1)= -1; f(3)=13. Do đó f(0).f(1)<0  f(x) có nghiệm x1  0; 1) f(1).f(3)<0  f(x) có nghiệm x2  (1; 3) Vậy phương trình: 2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm. VD4. Chứng minh phương trình sau có nghiệm: (m2- 4)(x-1)6+ 5x2 -7x+1=0 Giải. Xét hàm số f(x)=(m2-4)(x-1)6+5x2-7x+1. Ta có f(x) liên tục trên R, suy ra f(x) liên tục trên [1;2]. Ta có f(1)= -1; f(2) = m2+3. Do đó f(1).f(2)<0 Vậy phương trình (m2-4)(x-1)6+5x2-7x+1= 0 có một nghiệm thuộc khoảng (1;2), nghĩa là có nghiệm. BÀI TẬP x2+ 4 x +3 khi x >−3 x +3 A . x −1 khi x ≤−3 ¿ f ( x )= ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ Bài 1. Phải chọn A bằng bao nhiêu để hàm số sau liên tục trên R. 2 x + 3 x +2 khi x >−1 x+ 1 1 khi x ≤−1 ¿ f ( x )=¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó. Bài 3.Chứng minh rằng phương trình: a) 2x5 +3x4 +3x2 -1= 0 có ít nhất 3 nghiệm. c) 2x3 +3x2 +10x +200= 0 luôn có nghiệm. 4 2 b) 4x +2x –x -28= 0 luôn có nghiệm � 3x  1  2 � f  x   � x 1 � ax  3 � Bài 4 khi x �1 khi x  1 :Cho hàm số . Tìm a để hàm số liên tục tại x 3 . �x 2  1 � f ( x )  �x  1 khi x  1 � mx  2 khi x �1 � Bài 5: Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = –1 �x 3  1 � f ( x )  �x  1 khi x �1 � 2m  1 khi x  1 � Bài 6: Cho hàm số f(x) = . Xác định m để hàm số liên tục trên R.. �x 2  5 x  6 � f (x)  � x  3 � 2x  5 � x0  3 Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số sau tại khi x �3 khi x  3 : Bài 8: Xét tính liên tục của các hàm số sau: �x 2  4 � f ( x )  �x  2 �4 � voi x �2 voi x  2 1, tại x = -2 2, f(x) = Bài 9: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng { 1− √1− x x f (x )= 1 2 tại x = 3 �x 2  x  2 � f  x  � x  2 � 5 x � , x≠0 , x=0 a) khi x > 2 khi x �2 b) � x 7 3 � f ( x)  � x  2 � a 1 � khi x �2 khi x  2 Bài 10: Tìm điều kiện của số thực a sao cho hàm số sau liên tục tại x 0. với x0 = 2 2 x  10 x  7  0 3 Bài 11:a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: x 3  1000 x  0,1  0 b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2). d) Chứng minh phương trình x 2 sin x  x cos x  1  0 có ít nhất một nghiệm x0 � 0;   . m  x  1 e) Chứng minh phương trình 3  x  2  2x  3  0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
- Xem thêm -