Tài liệu Xây dựng và sử dụng phương tiện trực quan nhằm giúp học sinh phát huy tính tự học và tự rèn luyện kỹ năng trong quá trình giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít

Mở đầu I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Thực hiện chủ trương của Đảng, của Bộ giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu phát triển mới của xã hội, quá trình dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng đã có nhiều sự thay đổi. Một trong những hướng quan trọng của sự phát triển phương pháp hiện đại trong dạy học toán là xây dựng các phương tiện dạy học và chỉ dẫn phương pháp sử dụng chúng trong các giờ toán, nhằm hình thành ở học sinh các hình ảnh cảm tính của đối tượng nghiên cứu, gợi cho học sinh các tình huống có vấn đề, tạo nên sự hứng thú trong các giờ học toán. Trong thời gian gần đây dưới ảnh hướng của sự tiến bộ khoa học kỹ thuật và sự phát triển lý luận dạy học, nhiều dạng phương tiện dạy học đã xuất hiện ở trường phổ thông. Nó không chỉ là nguồn kiến thức, cho hình ảnh minh họa mà còn là phương tiện tổ chức, điều khiển hoạt động nhận thức của học sinh, là phương tiện tổ chức khoa học lao động sư phạm của giáo viên và học sinh. Thực tế dạy học ở nhà trường Trung học phổ thông nước ta cho thấy học sinh thường gặp không ít khó khăn khi lĩnh hội khái niệm hàm số mũ, hàm số logarít, nhiều học sinh có thể nhớ các biểu thức, học thuộc khái niệm, nhưng không giải thích được đầy đủ ý nghĩa và bản chất của nó, từ đó dẫn tới việc vận dụng một cách máy móc, hoặc không biết hướng vận dụng. Do vậy việc sử dụng các phương tiện trực quan vào quá trình dạy học là việc làm cần thiết và phù hợp với xu thế đổi mới phương pháp dạy học hiện nay ở trường phổ thông. Từ nhận thức ấy tôi chọn đề tài của mình với tiêu đề: Xây dựng và sử dụng phương tiện trực quan nhằm giúp học sinh phát huy tính tự học và tự rèn luyện kỹ năng trong quá trình giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít 1 II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Xác định một số dạng phương tiện dạy học trực quan cần thiết Giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Hình thành các yêu cầu sư phạm của các dạng phương tiện trực quan trong dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít và thể hiện cụ thể qua một số dạng phương tiện trực quan tương ứng với các hoạt động chủ yếu trong dạy học. IV. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Trên cơ sở chương trình sách giáo khoa,chúng tôi cho rằng nếu xây dựng được các phương tiện dạy học trực quan và có chỉ dẫn phương pháp sử dụng hợp lý thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Nghiên cứu lý luận Nghiên cứu các tài liệu về cơ sở tâm lý học, giáo dục học, phương pháp dạy học toán và sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo có liên quan đến đề tài nghiên cứu. Nghiên cứu các bài báo về khoa học toán học, các luận văn, luận án, các công trình nghiên cứu liên quan trực tiếp đến đề tài. 2. Quan sát Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh về hàm số mũ, hàm số logarít có sử dụng các phương tiện dạy học trực quan. Phân tích những khó khăn và sai lầm của học sinh khi học phần hàm số mũ, hàm số logarít làm cơ sở cho việc xây dựng và sử dụng các phương tiện dạy học trực quan. Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN. 1. Tính hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng phương tiện trực quan. 2 2. Đặc điểm yêu cầu và thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít ở trường phổ thông. 3.Kết luận chương I. Chương 2 Xõy dựng và sử dụng phương tiện trực quan nhằm giúp học sinh phát huy tính tự học và tự rèn luyện kỹ năng trong quá trình giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN. I. TÍNH HIỆU QUẢ CỦA QUÁ TRÌNH HỌC TẬP NHỜ SỬ DỤNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN Khi xây dựng và sử dụng đúng đắn các phương tiện trực quan phục vụ cho việc dạy học theo một chủ đề thì vừa đạt được mục đích dạy học nói chung, vừa đạt được mục đích dạy học một chủ đề nói riêng, đồng thời phải góp phần nâng cao hiệu quả của quá trình dạy học. Việc phân tích đánh giá hiệu quả của quá trình dạy học theo một chủ đề, không chỉ thể hiện ở việc đánh giá kết quả học tập nhất thời của học sinh mà còn phải xem xét việc lựa chọn phương tiện và cả quá trình sử dụng phương tiện của thầy cô và trò ở lớp. Nếu đã lựa chọn phương tiện dạy một cách thích hợp thì khi sử dụng nó có thể khai thác được các chức năng của phương tiện nhằm đạt được yêu cầu đặt ra cho nó và như thế sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy học. 1. Các yêu cầu của việc lựa chọn và sử dụng phương tiện trong quá trình dạy học a) Thông tin được trình bày trong phương tiện dạy học phải hướng vào mục đích giáo dục toàn diện. Những thông tin này vừa đảm bảo tính khoa học, 3 phù hợp với chương trình môn học tạo điều kiện hình thành có hiệu quả những tri thức cơ bản phát triển năng lực nhận thức và khả năng công tác tự lập. b) Phương tiện dạy học phải kích thích và tạo điều kiện sử dụng những phương pháp dạy học đa dạng và có hiệu quả. c) Phương tiện dạy học phải đảm bảo việc tổ chức hợp lý lao động sư phạm của giáo viên và học sinh, các phương tiện phải hấp dẫn, phù hợp về hình dáng, kích thước… d) Phương tiện dạy học phải đảm bảo những yêu cầu về kinh tế, kỹ thuật đòi hỏi phương tiện dạy học phải có chất lượng phản ánh cao. 2. Hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng phương tiện trực quan Kết quả của việc giảng dạy khi sử dụng phương tiện trực quan phụ thuộc vào việc lựa chọn đúng đắn các phương tiện trực quan và việc sử dụng đúng đắn các phương tiện đó trong quá trình dạy học toán Thực tiễn dạy học cho thấy rằng nếu có ý thức và kỹ năng sử dụng các phương tiện trực quan một cách hợp lý thì sẽ góp phần: - Tạo điều kiện thuận lợi cho hoạt động dạy học. - Cung cấp cho học sinh những kiến thức bền vững, chính xác trong dạng ngắn gọn, rèn luyện những kỹ năng, kỹ xảo cần thiết cho lao động sản xuất và đời sống Có thể nói rằng: Giảng dạy trực quan có nghĩa là giảng dạy dựa trên các hình tượng hiểu biết của học sinh. Vận dụng đúng đắn nguyên tắc trực quan trong quá trình giảng dạy là đảm bảo sự chuyển từ “Trực quan sinh động sang tư duy trừu tượng”. Do đặc thù của môn toán đòi hỏi phải đạt tới một trình độ trừu tượng, khái quát cao hơn so với các môn học khác. Vì thế, nếu sử dụng hợp lý các phương tiện trực quan sẽ góp phần vào việc phát triển tư duy trừu tượng, nâng cao hiệu quả của quá trình dạy và học 4 II. ĐẶC ĐIỂM, YÊU CẦU VÀ THỰC TIỄN DẠY HỌC PHẦN HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARÍT Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Xuất phát từ mục tiêu đào tạo của trường Trung học phổ thông chúng tôi phân tích đặc điểm, yêu cầu dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít nhằm xác định các nhiệm vụ và yêu cầu sư phạm của phương tiện trực quan trong quá trình dạy và học. 1. Đặc điểm, yêu cầu dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít Mục đích, nội dung, phương pháp, phương tiện và hình thức dạy học vốn gắn bó chặt chẽ với nhau, trong đó mục đích dạy học giữ vai trò chi phối, quyết định sự liên hệ giữa các thành phần được thể hiện ở các đặc điểm sau. a) Về phương diện mục đích dạy học: Dự thảo chương trình cải cách môn toán đã chỉ rõ: Cung cấp cho học sinh một hệ thống vững chắc những tri thức, kỹ năng phương pháp toán phổ thông, cơ bản, hiện đại, tương đối hoàn chỉnh, thiết thực, sát thực tế Việt Nam, theo tinh thần giáo dục kỹ thuật tổng hợp Khi dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít có thể, thể hiện tinh thần giáo dục kỹ thuật tổng hợp ở những điểm sau: Làm cho học sinh nắm vững chắc những khái niệm về hàm số mũ, hàm số logarít, các tính chất, định lý, các dạng đồ thị, các phương trình, bất phương trình mũ, logarít. Giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa hàm số mũ với hàm số logarít, chỉ ra các ứng dụng thực tế của hàm số mũ và hàm số logarít (trong các ngành kỹ thuật, trong hóa học, trong âm nhạc) và giải các bài toán thích hợp . Rèn luyện những kỹ năng, kỹ xảo cần thiết cho lao động sản xuất và đời sống. Thông qua việc giảng dạy phần hàm số mũ, hàm số logarít theo tinh thần giáo dục kỹ thuật tổng hợp sẽ làm cho khả năng tư duy, nhận thức của học sinh phát triển cao hơn. Đồng thời góp phần hướng nghiệp cho các em, bởi vì một trong những nguyên tắc hướng nghiệp là “Bảo đảm tính chất giáo dục kỹ thuật tổng hợp trong hướng nghiệp”. 5 Việc dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít có mục đích chủ yếu là cung cấp cho học sinh các khái niệm về hàm số mũ, hàm số logarít, các phương pháp suy đồ thị, giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình theo tinh thần giáo dục tổng hợp. Các phương tiện dạy học trực quan phải thể hiện được đặc điểm này của việc dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít. b) Về phương diện nội dung dạy học: Nội dung chương trình phần hàm số mũ, hàm số logarít được xây dựng bằng phương pháp tổng hợp, nhằm cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản về hàm số mũ, hàm số ngược, hàm số logarít với những nội dung chính sau: - Mở rộng khái niệm về số mũ của các lũy thừa. - Hàm số mũ, các tính chất hàm số mũ, khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ, so sánh các dạng lũy thừa, tìm giới hạn của hàm số mũ, các phép suy đồ thị, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình mũ. - Hàm số ngược. Trong quá trình giảng dạy phần hàm số mũ, hàm số logarít về mặt phương diện nội dung dạy học, cần đạt mức độ và yêu cầu sau: * Về mặt lý thuyết: Xây dựng khái niệm hàm số mũ y = ax (a > 0) với tập xác định là toàn bộ R, đó là một hàm số liên tục, đồng biến khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1 và luôn luôn có giá trị dương... Việc học hàm số mũ có tác dụng quan trọng là chuẩn bị cho việc học hàm số logarít, để dẫn tới logarít là một vấn đề có ý nghĩa về mặt thực tiễn. Bằng việc sử dụng các phương tiện trực quan hợp lý khi giảng dạy giáo viên phải làm cho học sinh thấy được ý nghĩa lý thuyết và thực tế, tác dụng giáo dục của toàn chương, nắm vững khái niệm, tính chất, các định lý về logarít và ý nghĩa của định lý đó. Trên cơ sở đó học sinh mới có ý thức trong việc rèn luyện kỹ năng sử dụng logarít vào việc giải các bài toán và thực tiễn. * Về phương diện bài tập: 6 Hệ thống hóa bài tập trong sách giáo khoa phần hàm số mũ, hàm số logarít được lựa chọn nhằm mục đích: Củng cố kiến thức cơ bản, rèn luyện tư duy lôgíc, khả năng trừu tượng hóa và bổ sung một số kiến thức không đề cập trong sách giáo khoa. Bằng các hình ảnh minh họa trực quan cần rèn luyện cho học sinh đạt được những kỹ năng sau đây: Giúp học sinh biết lập luận có căn cứ, trình bày lời giải một cách mạch lạc, biết vận dụng công thức một cách sáng tạo khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và logarít. Biết khai thác các ứng dụng của hàm mũ và hàm số logarít vào thực tiễn, đồng thời rèn luyện các phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tự kiểm tra đánh giá... c) Về phương diện phương pháp dạy học: Tất cả các tính chất của hàm số mũ, hàm số logarít không chứng minh vì phép chứng minh phần lớn vượt ra ngoài chương trình toán bậc phổ thông; vì thế các em không khỏi băn khoăn ngờ vực, thậm chí thiếu niềm tin vào tính đúng đắn của nội dung các tính chất. Điều đó sẽ cản trở học sinh lĩnh hội chúng một cách tự giác, học sinh sẽ thiếu cơ sở để tiến hành lập luận có căn cứ. Nếu thừa nhận rằng dạy toán là dạy “hoạt động toán học” theo cách nói của A.A. Xtoliar, thì theo ông giai đoạn đầu tiên, giai đoạn tích lũy các sự kiện nhờ quan sát, quy nạp, tương tự, khái quát hóa là cơ sở cho giai đoạn tiếp theo. Việc giảng dạy phần hàm số mũ, hàm số logarít cần coi trọng đặc biệt giai đoạn đầu. Có thể giải quyết vấn đề này bằng việc sử dụng hợp lý các phương tiện trực quan, đồng thời làm chỗ dựa vững chắc cho việc hình thành các khái niệm và tính chất, lập luận có căn cứ. Tóm lại, bằng phương pháp trực quan, các phương tiện trực quan khi dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít có thể tạo điều kiện thuận lợi cho cho hoạt động dạy học, kích thích quá trình học tập, cung cấp cho học sinh những kiến thức bền vững, chính xác. 7 Sự phân tích các đặc điểm nêu trên cho phép kết luận rằng: Yêu cầu sư phạm của việc xây dựng và sử dụng phương tiện trực quan dùng cho việc dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít phải góp phần: - Tạo ra các hình ảnh ban đầu, các biểu tượng về đối tượng nghiên cứu - Tái tạo lại nội dung các vấn đề nghiên cứu trong dạng ngắn gọn, nhằm giúp học sinh củng cố ghi nhớ, áp dụng kiến thức. - Hướng dẫn học sinh lập luận có căn cứ. - Tạo điều kiện cho quá trình suy diễn trừu tượng phát triển thuận lợi. 2. Thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít ở trường Trung học phổ thông Việc phân tích thực tế dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít là việc làm rất cần thiết. Điều đó cho chúng tôi có thêm cơ sở xác định đúng đắn các yêu cầu sư phạm đối với các phương tiện dạy học trực quan. Thực tiễn dạy học ở trường Trung học phổ thông cho thấy chất lượng dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít chưa cao, học sinh nắm kiến thức một cách hình thức, lẫn lộn giữa đẳng thức định nghĩa với định lý. Chẳng hạn cho rằng lý luận dẫn đến định nghĩa số mũ 0, a0 = 1(a  0 ) là một chứng minh. Nhiều học sinh còn mơ hồ hoặc là không nắm được các tính chất, không hiểu được bản chất của các định lý về hàm số mũ, hàm số logarít. Chẳng hạn: “4 3 nghĩa là gì” thì câu trả lời của đa số học sinh còn thiếu chính xác. Bên cạnh đó, do việc không nắm chắc các giả thiết, định lý, các công thức… nhiều học sinh còn phạm phải sai lầm. Ví dụ như cho rằng: +) logaA.B = log a A.logbB (A,B > 0 và a,b  1) +) loga(A+B) = logaA + logaB +) log2-8 = -3 (họ lý giải rằng (-2)3 = - 8) 8 +) logax = logax; n a. m a = m n a …. Trước hết phải thấy rằng do học sinh nắm kiến thức thiếu vững chắc dẫn tới việc vận dụng vào các bài toán cụ thể thường mắc sai lầm. giáo viên lại không có biện pháp thích hợp để khắc phục. Thực tế đó giúp ta hiểu rằng càng phải chuẩn bị cho giáo viên những điều kiện cần thiết, trong đó có việc hướng dẫn giáo viên tạo ra và sử dụng các phương tiện dạy học một cách thích hợp, để họ có thể dạy tốt phần hàm số mũ, hàm số logarít theo yêu cầu của chương trình sách giáo khoa. 1.5. KẾT LUẬN CHƯƠNG I Từ sự phân tích cơ sở lý luận và thực tiễn dạy học toán ở trường phổ thông đối chiếu với những quan điểm đổi mới phương pháp dạy toán trong giai đoạn hiện nay, chúng tôi cho rằng: Để giáo dục toán cho học sinh ở trường Trung học phổ thông qua dạy học toán cần quan tâm tới phương pháp dạy học trực quan, để từ đó thông qua việc tổ chức hoạt động toán học, học sinh tự giác tìm tòi kiến thức mới. CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN NHẰM GIÚP HỌC SINH PHÁT HUY TÍNH TỰ HỌC VÀ TỰ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TRONG QUÁ TRÌNH GIẢI TOÁN PHẦN HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARÍT XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN NHẰM GIÚP HỌC SINH VẬN DỤNG TRI THỨC VÀ KỸ NĂNG TRONG QUÁ TRÌNH GIẢI TOÁN PHẦN HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARÍT 9 Trên cơ sở phân tích các nguyên tắc ở mục chương 1. Để đạt được kết quả nhất định trong việc giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít theo hướng vận dụng các phương tiện dạy học trực quan chúng tôi đề xuất một số biện pháp sau: Biện pháp 1: Sử dụng hợp lý các phương tiện trực quan nhằm giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức. Đồng thời rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng vận dụng các phương tiện trực quan trong quá trình giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít. Do đặc điểm của môn toán, phương pháp trực quan rất cần thiết trong dạy học bộ môn giúp học sinh khắc phục khó khăn ban đầu, tiếp thu vận dụng được các khái niệm tính chất và suy luận trừu tượng trong quá trình giải toán. Các dạng trực quan bao gồm: Trực quan tĩnh và trực quan động - Trực quan động thường dựa vào máy tính được xây dựng từ các phần mềm dạy học (gọi là trực quan ảo). - Trực quan tĩnh thường là hình ảnh vật chất, hình biểu diễn, sơ đồ, ký hiệu… Hình thức trực quan được sử dụng rộng rãi nhất trong môn toán là trực quan tượng trưng (hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, công thức…) ([3]). Trong quá trình giải toán phần hàm số mũ và hàm số logarít việc sử dụng hợp lý các phương tiện trực quan tượng trưng sẽ giúp học sinh tìm ra hướng giải quyết bài toán đỡ khó khăn hơn, cách lập luận sẽ có căn cứ xác đáng hơn, rèn luyện được kỹ năng nhiều hơn, những sai sót trong tính toán sẽ ít mắc phải hơn... Thực tiễn sư phạm cho thấy đa số học sinh khi giải các phương trình và bất phương trình mũ, logarít không gặp nhiều khó khăn lắm khi vận dụng các phương pháp - Phương pháp đưa về cùng cơ số - Phương pháp logarit hóa và mũ hoá - Phương pháp đặt ẩn phụ 10 - Phương pháp đánh giá Nhưng đối với một số dạng phương trình đặc biệt là các bài toán có chứa tham số học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn, bằng việc sử dụng hợp lý các phương tiện trực quan sẽ làm cho học sinh hiểu rõ các vấn đề và mấu chốt của bài toán Chẳng hạn ta xét các bài toán sau: Bài toán 1. Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1 22x = m (1) Bằng việc kết hợp giữa suy diễn và mô hình trực quan là đồ thị Giáo viên hướng dẫn học sinh: đặt 2x = t với điều kiện t > 0, rồi yêu cầu học sinh đưa phương trình về hệ t2 + m2 = 1 t >0 (I) Có thể hỏi học sinh như sau: Cứ giả sử rằng phương trình (1) là có nghiệm khi đó hiển nhiên m phải có điều kiện gì ? (m  0) nếu m < 0 phương trình (1) vô nghiệm t2 + m 2 = 1 Hệ (I)  m0 (II) t>0 Bài toán sẽ trở nên đơn giản nếu học sinh biết biểu diễn miền nghiệm của t2 + m2 = 1 là đường tròn tâm 0(0,0) bán kính R = 1 xét trong hệ tọa độ vuông góc t0m. Dựa vào hình vẽ bằng trực quan học sinh sẽ dễ dàng phát hiện: các điểm M(t,m) thỏa mãn (II) được biểu diễn bằng đường đậm trong hình (cung tròn AB, bỏ điểm B). 11 Vậy: 0  m < 1 phương trình có nghiệm duy nhất m< Phương trình vô nghiệm 0 m1 Giáo viên yêu cầu học sinh giải bài toán tương m 1B 00 A t 1 tự. 2 2 log(x +y )= 1 2(m+1) Bài toán 2. Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm. (x+y)2 = 4 Giáo viên yêu cầu học sinh tìm tập xác định của hệ phương trình: m >-1 Điều kiện: Hệ phương trình mx2 + y2 = 2(m + 1) (1) (x + y)2 = 4 (2) Đối với hệ phương trình trên bằng cách đưa về hệ đối xứng loại 1 học sinh có thể biện luận được để hệ phương trình có nghiệm, nhưng học sinh dễ bị thiếu sót các trường hợp, hoặc lầm lẫn trong tính toán, bằng sự mô tả trên đồ thị học sinh sẽ phát hiện vấn đề một cách rõ ràng trực quan hơn. 12 Giáo viên gợi ý để học sinh biểu diễn các tập nghiệm của (1) và (2) lên mặt phẳng tọa độ 0xy. Gọi X1, X2 lần lượt là tập nghiệm của (1) và (2) Tâm 0(0,0) Bán kính R = - X1 là tập các điểm trên đường tròn (c) - X2 là tập hợp các điểm trên các đường thẳng (d 1): x + y + 2 = 0 và (d 2): x + y - 2 = 0. Bằng sự minh họa trực quan theo hình vẽ y học sinh dễ dàng tìm được điều kiện để hệ phương 2 trình có nghiệm, bao gồm các trường hợp: Trường hợp 1: (d1) và (d2) cùng là tiếp tuyến của đường tròn (C)  R = 2( m  1)  2 2  -2  m = 0 khi đó hệ phương Trường hợp 2: (d1) và (d2) cùng cắt (C)  2( m  1) > 2 x x + y –2 = 0 -2 trình có 2 nghiệm phân biệt. tại hai điểm phân biệt  R > 02 0 2 2 x+y+2=0 2  m > 0 khi đó hệ phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Tóm lại, hệ phương trình có nghiệm khi m  0. Giáo viên có thể ra cho học sinh làm các bài toán tương tự sau: Bài tập ôn luyện 1. Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất 13 x x  5  1  5  1    a   2   2  1     Hướng dẫn: Ta có     5  1   2  5  1  1  2  x  5  1  t Đặt   2   Đưa phương trình về với ẩn t rồi dùng các phương tiện trực quan là đồ thị để suy ra điều kiện của a 2. Tìm a để bất phương trình sau đúng  x  R 25x + (m +1)5x – 2m + 3  0 Hướng dẫn: Sử dụng bài toán 1.3 3. Tìm m để hệ phương trình log2(x+y)(x 2 +y2) = 1 (x +y)2 = m có 2 nghiệm Hướng dẫn: Sử dụng bài toán 1.4 4. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1- 22x = m –2x Hướng dẫn: Đặt 2x = t, điều kiện t > 0, đưa phương trình về hệ rồi biện luận tương tự bài toán 1.1. 5. Cho phương trình 4| x | - m.2| x | + 1 + 2 = 0 a. Giải phương trình với m = 3 b. Tìm m để phương trình có nghiệm Hướng dẫn: đặt 2| x | = t điều kiện t  1, sử dụng các phương tiện trực quan là đồ thị để suy ra điều kiện của m. 14 Biện pháp 2: Việc sử dụng các phương tiện trực quan có thể khai thác tiềm năng logíc bên trong của vấn đề được trình bày trong SGK, nhờ đó học sinh nắm vững bản chất vấn đề, tạo điều kiện giải quyết vấn đề đó rõ ràng hơn, mạch lạc hơn. Ta biết rằng, mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định, đó là những hoạt động đã được tiến hành trong quá trình hình thành vận dụng nội dụng đó. Khi đứng trước một vấn đề, nếu thường xuyên quan tâm đến việc khai thác tiềm năng từ logíc bên trong để nắm được các thuộc tính bản chất thì chúng ta sẽ phát hiện được những hoạt động tiềm tàng trong mỗi vấn đề, nghĩa là lúc đó về thực chất chúng ta đã vạch ra được con đường, cách thức giải quyết vấn đề. Bài toán 1. Với giá trị nào của a thì phương trình 4x - 2x + a = 0 (1) có nghiệm. Cách 1: giáo viên yều cầu học sinh đặt 2 x = t điều kiện t > 0 rồi đưa phương trình về dạng t2- t = -a (t > 0). - Yêu cầu học sinh vẽ parabol: y = t2-t và đường thẳng y = -a trên cùng hệ trục tọa độ t0y. Để phương trình (2) có nghiệm t y > 0 thì -a phải là một giá trị của hàm số y = t2 - t với tập xác định là (0, +) Từ đồ thị học sinh sẽ suy ra được: phương trình (2) có nghiệm t y = -a > 0 thì 1 2 đường thẳng y = -a phải cắt đồ thị hàm số 1 0 4 f(t) = t2 – t trên (0,+)  -a  - 1 4 a 1 t 1 4 15 Qua bài toán trên giáo viên có thể yêu cầu học sinh phát biểu mệnh đề tổng quát: để giải và biện luận phương trình f(x ) = g(m) (1) Ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Lập luận: Số nghiệm của (1) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x ) và đường thẳng (d): y = g(m). Bước 2: Xét hàm số y = f(x ) Tìm miền xác định (D) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Bước 3: Kết luận: Phương trình có nghiệm  min f(x )  g(m)  max f(x ) D D Nếu biện luận phương trình trên thì có thể tùy thuộc vào số giao điểm của đồ thị y = f(x) và đường thẳng y = g(m) Bài toán 2. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất. 22x +22y+2y+1  m-1 22y+22x + 2x+1  m-1 Giải: giáo viên gợi ý: vế trái của hệ luôn luôn dương vậy để hệ phương trình có nghiệm thì tham số m phải thỏa mãn điều kiện gì ? (m-1 0  m  1) Yêu cầu học sinh đặt: u = 2x điều kiện u,v > 0 hệ tương v = 2y đương u2 +(v+1)2  m(1) v2 + (u+1)2  m (2) 16 Bài toán sẽ trở nên đơn giản nếu học sinh v phát hiện ra rằng: Gọi X1, X2 lần lượt là tập nghiệm của (1) và (2) u X1 là tập các điểm trong hình tròn (C1) I1 Tâm I1(0,-1) Bán kính R1 = 0 I2 m X2 là tập các điểm trong hình tròn (C2) Tâm I1(-1, 0) Bán kính R2 = Giáo viên có thể hỏi: từ các đồ thị trên hãy tìm điều kiện để hai đường tròn trên tiếp xúc với nhau? Bằng trực quan học sinh sẽ nhận ra rằng hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất khi (C1) tiếp xúc với (C2).  I1 I2 = R1 + R2  Kết luận: với m = 1 2 2 = 2 m m= 1 2 thỏa mãn điều kiện đầu bài Bằng cách lập luận tương tự bài toán 2. giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải bài toán sau: Bài toán 3. Tìm m để hệ phương trình: log(x2+y2) = 1 có 2 nghiệm 2 (x+y) = m 17 Bài toán 4. Cho hệ phương trình 22x+ (2y+1)2 = m (2x+1)2+22y = 4 Tìm m để hệ có nghiệm, khi đó hãy khẳng định rằng hệ có nghiệm duy nhất. Hướng dẫn: u = 2x Đặt: v = 2y điều kiện u,v >0 Yêu cầu học sinh vẽ đồ thị của 2 đường tròn (C 1) và (C2), đối với (C1) ta chỉ lấy cung AB (trên góc phần tư thứ nhất). Hệ  u2+(v +1)2 = m (1) (u+1)2 +v2 = 4 (2) Phương trình (1) là đường tròn (C1) Tâm I1(0,-1) có Tâm I2(- Phương trình (2) là đường tròn (C2) Bán kính:R1 = 1,0) R2 = 2 có Đối với (C2) chỉ lấy cung CD (trong góc phần tư thứ nhất). Vậy hệ có nghiệm khi cung AB và cung CD giao nhau khác rỗng  I1C < R1 < I1D   2 < m < 4 +2 2 < m < 1+ 3 3 và khi đó vì cung AB và cung CD giao nhau tại điểm {M} nên hệ có nghiệm duy nhất. Vậy 2 < m < 4+2 3 hệ có nghiệm duy nhất. y 4 y=m Bài toán 5. Tùy theo m biện luận số nghiệm của phương trình lg (m-x2) = lg (x2 –3x +2) 7 8 18 0 1 2 x Phân tích lời giải: Biến đổi phương trình về dạng x< 1 x >2 x2-3x+2>0  2 2 m-x = x -3x+2 (I) 2x2-3x+2 = m Để biện luận hệ phương trình (I) bằng các định lý đảo của tam thức bậc 2 thì học sinh sẽ Hình 17 phải phân chia làm rất nhiều các trường hợp, sẽ không tránh khỏi khó khăn và sai sót. Khi học sinh đã biết kiến thức về đồ thị hàm số: f(x) = ax2 + bx + c (a0) ở lớp 10, bài toán sẽ trở nên đơn giản, bằng sự mô tả đồ thị học sinh dễ dàng phát hiện số nghiệm của phương trình là số giao điểm y = m với đồ thị hàm số y = 2x 2-3x+2 trên miền (-,1)  của đường thẳng (2,+). Biện luận: Với m < 7 8 có một nghiệm, 7 8 phương trình vô nghiệm, m = 7 8  1  m  4 phương trình < m < 1  m > 4 phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài toán 6. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm logm2 1[x3 + (m - 3)x2 - mx - m2 + 2m + 1] > logm2 1(1 - x2) Với các bất phương trình logarít có chứa tham số là một dạng toán gây nhiều khó khăn đối với học sinh, học sinh thường áp dụng các phép biên đổi a>1 tương đương: 0 < f(x) < g(x) 01 logaf(x) < b  0 < f(x) < ab 0 ab a>1 logaf(x) > b  f(x) > ab 00  - 1 1 –(x - m)(x + m 2 x 2) >0 20