Mët trong nhúng v§n · ÷ñc nghi¶n cùu trong lþ thuy¸t sè â l sü
ph¥n bè c¡c sè nguy¶n tè. Ng÷íi ta nhªn th§y r¬ng c¡c sè nguy¶n tè nhä
n¬m t÷ìng èi g¦n nhau, trong khi c¡c sè nguy¶n tè c ng lîn th¼ c ng câ
xu h÷îng c¡ch xa nhau hìn. Ta °t c¥u häi v· sü li¶n quan giúa mªt ë
cõa c¡c sè nguy¶n tè vîi ë lîn cõa chóng. B¬ng c¡ch lªp b£ng sè nguy¶n
tè v nghi¶n cùu mªt ë, Gauss th§y r¬ng “xung quanh x mªt ë cõa c¡c
sè nguy¶n tè l x§p x¿ 1
log(x)
” theo [9]. Ph¡t hi»n n y l ch¼a khâa º
h¼nh th nh ành lþ sè nguy¶n tè.
º chùng minh ph¡t hi»n n y, Gauss ¢ nghi¶n cùu h m ¸m sè nguy¶n
tè: Gåi x l sè thüc d÷ìng, π(x) biºu thà sè c¡c sè nguy¶n tè nhä hìn ho°c
b¬ng x. Tùc l ta câ π(x) = P
p≤x
1. V¼ ng÷íi ta ¢ dü o¡n v· mªt ë c¡c
sè nguy¶n tè quanh x l 1
log(x)
, n¶n hå công dü o¡n r¬ng π(x) x§p x¿
vîi mët têng logarit ho°c mët t½ch ph¥n logarit. Chóng t÷ìng ùng ÷ñc
cho bði:
ls(x) := X
2≤n≤x
1
log(n)
, li(x) := Z
x
2
dt
log(t)
.
Ta nâi hai h m f v g l hai h m t÷ìng ÷ìng n¸u th÷ìng sè cõa chóng
f(x)
g(x)
ti¸n tîi 1 khi x ti¸n tîi væ còng. Ta sû döng kþ hi»u f(x) ∼ g(x) khi
x → ∞. Vîi méi x ≥ 2, hi»u sè giúa ls(x) v li(x) bà ch°n bði 1
log(2) theo
H» qu£ 1.5.1 trong [4]. Do â, hai h m têng logarit v t½ch ph¥n logarit
l t÷ìng ÷ìng. Hai h m n y công t÷ìng ÷ìng vîi x
log(x)
(H» qu£ 1.5.3
trong [4]).
ành lþ sè nguy¶n tè ÷ñc c£ Gauss (1792) v Legendre (1798) n¶u ra
I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC
o0o
TRN THÀ HÌN
V SÈ A THÙC BT KH QUY
TRN TR×ÍNG HÚU HN
LUN VN THC S TON HÅC
Th¡i Nguy¶n - 2020
I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC
o0o
TRN THÀ HÌN
V SÈ A THÙC BT KH QUY
TRN TR×ÍNG HÚU HN
Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p
M¢ sè: 8 46 01 13
LUN VN THC S TON HÅC
NG×ÍI H×ÎNG DN KHOA HÅC
TS. NGÆ THÀ NGOAN
Th¡i Nguy¶n - 2020
i
Möc löc
Mð ¦u
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà
1.1 Mët sè kh¡i ni»m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
4
4
1.2 Tr÷íng húu h¤n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3 H m Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Ch÷ìng 2 Sü t÷ìng tü giúa Fq [T ] v Z
10
2.1 Mët sè t½nh ch§t chung cõa Fq [T ] v Z . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 C¡c t½nh ch§t t÷ìng çng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Ch÷ìng 3 ¸m sè a thùc b§t kh£ quy
14
3.1 Sè a thùc b§t kh£ quy monic bªc n tr¶n Fq . . . . . . . . . . 14
3.2 Sè c¡c a thùc b§t kh£ quy vîi bªc ≤ n . . . . . . . . . . . . 18
3.3 T½nh li¶n töc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 i·u ch¿nh h m ¸m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
T i li»u tham kh£o
35
ii
Líi c£m ìn
Luªn v«n n y ÷ñc thüc hi»n t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc ¤i håc
Th¡i Nguy¶n v ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS. Ngæ Thà Ngoan.
T¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v s¥u sc tîi ng÷íi h÷îng
d¨n khoa håc cõa m¼nh, ng÷íi ¢ °t v§n · nghi¶n cùu, d nh thíi gian
h÷îng d¨n v tªn t¼nh gi£i ¡p nhúng thc mc cõa t¡c gi£ trong suèt qu¡
tr¼nh l m luªn v«n.
T¡c gi£ công ¢ håc tªp ÷ñc r§t nhi·u ki¸n thùc chuy¶n ng nh bê ½ch
cho cæng t¡c v nghi¶n cùu cõa b£n th¥n. T¡c gi£ xin b y tä láng c£m
ìn s¥u sc tîi c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o ¢ tham gia gi£ng d¤y lîp Cao håc
To¡n K12A7; Nh tr÷íng v c¡c pháng chùc n«ng cõa Tr÷íng; Khoa To¡n
Tin, tr÷íng ¤i håc Khoa håc ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ quan t¥m v
gióp ï t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp t¤i tr÷íng.
T¡c gi£ công xin gûi líi c£m ìn s¥u sc tîi Trung t¥m Nghi¶n cùu v
Ph¡t triºn gi¡o döc H£i Pháng ¢ gióp ï, t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi
gióp tæi câ thº ho n th nh luªn v«n n y.
T¡c gi£ công xin gûi líi c£m ìn tîi tªp thº lîp Cao håc To¡n K12A7
¢ luæn ëng vi¶n v gióp ï t¡c gi£ r§t nhi·u trong qu¡ tr¼nh håc tªp v
l m luªn v«n.
Cuèi còng, tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia ¼nh, b¤n b± ¢
gióp ï v t¤o i·u ki»n tèt nh§t cho tæi khi håc tªp v nghi¶n cùu.
Th¡i Nguy¶n, th¡ng 6 n«m 2020
T¡c gi£
Tr¦n Thà Hìn
1
Mð ¦u
Mët trong nhúng v§n · ÷ñc nghi¶n cùu trong lþ thuy¸t sè â l sü
ph¥n bè c¡c sè nguy¶n tè. Ng÷íi ta nhªn th§y r¬ng c¡c sè nguy¶n tè nhä
n¬m t÷ìng èi g¦n nhau, trong khi c¡c sè nguy¶n tè c ng lîn th¼ c ng câ
xu h÷îng c¡ch xa nhau hìn. Ta °t c¥u häi v· sü li¶n quan giúa mªt ë
cõa c¡c sè nguy¶n tè vîi ë lîn cõa chóng. B¬ng c¡ch lªp b£ng sè nguy¶n
tè v nghi¶n cùu mªt ë, Gauss th§y r¬ng “xung quanh x mªt ë cõa c¡c
1
” theo [9]. Ph¡t hi»n n y l ch¼a khâa º
log(x)
h¼nh th nh ành lþ sè nguy¶n tè.
º chùng minh ph¡t hi»n n y, Gauss ¢ nghi¶n cùu h m ¸m sè nguy¶n
tè: Gåi x l sè thüc d÷ìng, π(x) biºu thà sè c¡c sè nguy¶n tè nhä hìn ho°c
P
b¬ng x. Tùc l ta câ π(x) =
1. V¼ ng÷íi ta ¢ dü o¡n v· mªt ë c¡c
sè nguy¶n tè l x§p x¿
p≤x
1
sè nguy¶n tè quanh x l
, n¶n hå công dü o¡n r¬ng π(x) x§p x¿
log(x)
vîi mët têng logarit ho°c mët t½ch ph¥n logarit. Chóng t÷ìng ùng ÷ñc
cho bði:
Zx
X
1
dt
ls(x) :=
, li(x) :=
.
log
(n)
log
(t)
2≤n≤x
2
Ta nâi hai h m f v g l hai h m t÷ìng ÷ìng n¸u th÷ìng sè cõa chóng
f (x)
ti¸n tîi 1 khi x ti¸n tîi væ còng. Ta sû döng kþ hi»u f (x) ∼ g(x) khi
g(x)
1
x → ∞. Vîi méi x ≥ 2, hi»u sè giúa ls(x) v li(x) bà ch°n bði
theo
log(2)
H» qu£ 1.5.1 trong [4]. Do â, hai h m têng logarit v t½ch ph¥n logarit
x
l t÷ìng ÷ìng. Hai h m n y công t÷ìng ÷ìng vîi
(H» qu£ 1.5.3
log(x)
trong [4]).
ành lþ sè nguy¶n tè ÷ñc c£ Gauss (1792) v Legendre (1798) n¶u ra
2
gi£ thuy¸t r¬ng h m ¸m sè nguy¶n tè π(x) t÷ìng ÷ìng vîi c¡c h m n y.
Nâ ÷ñc tr¼nh b y d÷îi d¤ng
π(x) ∼
x
log(x)
(x → ∞).
(1)
Mët tr«m n«m sau v o n«m 1896 ành lþ n y ÷ñc chùng minh bði c£
Hadamard v La Vall²e Muffsin mët c¡ch ëc lªp. C£ hai chùng minh
cõa hå ·u düa tr¶n h m zeta Riemann, mët mð rëng gi£i t½ch cõa têng
∞ 1
P
ζ(s) =
. Riemann ¢ ch¿ ra r¬ng sü ph¥n bê c¡c sè nguy¶n tè câ
s
n
li¶n quan trüc ti¸p ¸n tªp c¡c nghi»m cõa h m n y. Hadamard v La
Vall²e Muffsin ¢ chùng minh r¬ng h m Riemann zeta khæng câ nghi»m
tr¶n ÷íng th¯ng Re(s) = 1, chóng ¢ ÷ñc sû döng º chùng minh ành
lþ sè nguy¶n tè.
x
C¡c gi¡ trà x§p x¿ cõa ls(x) v li(x) tèt hìn
do â chóng th÷íng
log(x)
÷ñc ÷u ti¶n hìn khi nghi¶n cùu c¡c ph¦n sai sè. èi vîi c¡c ph¦n sai sè,
ta sû döng kþ hi»u O: Vîi hai h m f v g b§t ký, ta câ f (x) = O(g(x))
n¸u tçn t¤i h¬ng sè C sao cho vîi x õ lîn, gi¡ trà tuy»t èi cõa f (x) bà
ch°n bði Cg(x).
V¼ ls(x) v li(x) ch¿ kh¡c nhau mët sè bà ch°n, n¶n ph¦n sai sè công
óng vîi ls(x). B¬ng c¡ch sû döng h m ζ khæng câ nghi»m tr¶n ÷íng
th¯ng Re(s) = 1, theo ành lþ 5.1.8 trong [4] ¢ chùng minh ÷ñc tçn t¤i
h¬ng sè c sao cho:
√
−c log(x)
π(x) = li(x) + O xe
(2)
n=1
Ph¦n sai sè ð ¥y câ thº ÷ñc kh¡i qu¡t hìn bði c¡c nghi»m cõa ζ . °t
Θ = supζ(s)=0 Re(s) l cªn tr¶n óng cõa c¡c ph¦n thüc c¡c nghi»m cõa
ζ . Khi â theo [5] ta câ:
π(x) = li(x) + O xΘ log(x)
(3)
Riemann ¢ cho r¬ng t§t c£ c¡c nghi»m khæng t¦m th÷íng cõa ζ n¬m tr¶n
1
. Gi£ thi¸t n y ÷ñc gåi l gi£ thuy¸t Riemann.
2
1
Gi£ thuy¸t Riemann suy ra Θ = , i·u n y cho ta x§p x¿
2
√
π(x) = li(x) + O xlog(x) .
÷íng th¯ng Re(s) =
3
Trong luªn v«n n y, ta s³ t¼m hiºu v· mët sü t÷ìng tü ành lþ sè nguy¶n
tè nh÷ng ÷ñc ph¡t biºu trong v nh Fq [T ] l v nh c¡c a thùc mët bi¸n
T vîi c¡c h» sè thuëc tr÷íng húu h¤n Fq . Ta s³ nghi¶n cùu c¡c h m t÷ìng
÷ìng vîi h m ¸m sè c¡c a thùc b§t kh£ quy v câ sü so s¡nh c¡c k¸t
qu£ n y vîi h m ¸m sè nguy¶n tè π(x). Mët trong nhúng lñi th¸ khi l m
vi»c vîi Fq [T ] l cæng thùc cõa Gauss, mët cæng thùc trüc ti¸p v· sè l÷ñng
a thùc monic b§t kh£ quy bªc n. ¥y l mët cæng cö r§t m¤nh º nghi¶n
cùu c¡c h m t÷ìng ÷ìng h m ¸m.
Luªn v«n ÷ñc chia th nh ba ch÷ìng. Ch÷ìng 1 bao gçm mët sè ki¸n
thùc chu©n bà v· tr÷íng húu h¤n v ành lþ nghàch £o Mobius. Nhúng
ki¸n thùc n y phöc vö cho vi»c tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n
trong nhúng ch÷ìng sau. Ch÷ìng 2 n¶u l¶n nhúng t½nh ch§t cì b£n, chóng
cho ta th§y sü t÷ìng tü giúa hai mi·n nguy¶n Z v Fq [T ]. Ch÷ìng 3 tr¼nh
b y v· h m ¸m sè a thùc b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng húu h¤n q ph¦n tû,
çng thíi công cho ta th§y sü t÷ìng tü vîi ành lþ v· h m ¸m sè nguy¶n
tè trong v nh c¡c sè nguy¶n.
4
Ch֓ng 1
Ki¸n thùc chu©n bà
Trong ph¦n n y, ta s³ tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· c¡c tr÷íng húu h¤n
v kh¡i ni»m h m Mobius. Nhúng k¸t qu£ n y s³ ÷ñc sû döng º chùng
minh cæng thùc cõa Gauss v· sè a thùc b§t kh£ quy ành chu©n bªc n v
÷ñc sû döng trong c¡c ch÷ìng sau cõa luªn v«n.
1.1 Mët sè kh¡i ni»m
Ta nhc l¤i, mët tr÷íng F l mët v nh giao ho¡n kh¡c khæng v måi
ph¦n tû kh¡c khæng ·u kh£ nghàch. Mët tr÷íng câ húu h¤n ph¦n tû ÷ñc
gåi l mët
tr÷íng húu h¤n.
ành ngh¾a 1.1.1. Tr÷íng F ÷ñc gåi l mët tr÷íng nguy¶n tè
n¸u nâ
khæng câ tr÷íng con n o ngo i b£n th¥n nâ.
Nhªn x²t 1.1.2.
(i) Cho F l tr÷íng nguy¶n tè. Khi â ch¿ câ thº x£y ra mët trong hai
tr÷íng hñp: n¸u F câ °c sè 0 th¼ F ∼
= Q; n¸u F câ °c sè p th¼ F ∼
= Zp .
Tr÷íng hñp F ∼
= Zp ta th÷íng k½ hi»u Fp thay cho F.
(ii) Cho E l mët tr÷íng tòy þ, khi â n¸u gåi F l giao cõa måi tr÷íng
con cõa E th¼ F công l mët tr÷íng con cõa E, rã r ng F l tr÷íng con
nhä nh§t cõa E , do â F l tr÷íng nguy¶n tè. Trong tr÷íng hñp n y, ta
nâi F l tr÷íng con nguy¶n tè cõa E . Nh÷ vªy, måi tr÷íng ·u chùa mët
tr÷íng con nguy¶n tè.
5
1.2 Tr÷íng húu h¤n
Gi£ sû p l sè nguy¶n tè, v nh Z/pZ l mët tr÷íng câ óng p ph¦n tû.
¥y l tr÷íng húu h¤n duy nh§t (sai kh¡c ¯ng c§u) câ óng p ph¦n tû.
N¸u L l mët tr÷íng vîi p ph¦n tû, gåi p0 l °c sè cõa L. Khi â Z/p0 Z l
¯ng c§u cõa mët tr÷íng con cõa L, n¶n p0 chia h¸t p. i·u n y ch¿ óng
n¸u p0 = p do â L ∼
= Z/pZ. Ta kþ hi»u Fp := Z/pZ.
Têng qu¡t hìn, n¸u q l lôy thøa cõa mët nguy¶n tè, th¼ tçn t¤i mët
tr÷íng duy nh§t vîi q ph¦n tû, kþ hi»u Fq .
Bê · 1.2.1 (C§u tróc tr÷íng húu h¤n).
Cho F l tr÷íng húu h¤n câ q ph¦n tû. Khi â tçn t¤i sè nguy¶n tè p
sao cho q = pn vîi sè tü nhi¶n n n o â.
(ii) Vîi méi sè nguy¶n tè p v sè tü nhi¶n n 6= 0, tçn t¤i duy nh§t mët
tr÷íng húu h¤n câ pn ph¦n tû (sai kh¡c mët ¯ng c§u tr÷íng).
Chùng minh.
(i)
(i) Gåi p l °c sè cõa tr÷íng F , khi â p l sè nguy¶n tè. Gåi Fp l tr÷íng
con nguy¶n tè cõa F , khi â Fp ∼
= Zp . Ta bi¸t r¬ng F l Fp −khæng gian
vectì húu h¤n chi·u. Gi£ sû dimFp (F ) = n < ∞, khi â F câ mët cì
n
P
sð l {e1 , . . . , en } v v¼ th¸ méi ph¦n tû cõa F câ d¤ng x =
ai ei vîi
i=1
a1 , . . . , an ∈ Fp . Tø â suy ra sè ph¦n tû cõa F b¬ng sè c¡c bë ph¦n tû
(a1 , . . . , an ) ∈ Fp × . . . × Fp (n l¦n). Do â q = pn .
(ii) Sü tçn t¤i cõa tr÷íng câ q = pn ph¦n tû. X²t a thùc f (x) = xq − x ∈
Fp [x] vîi Fp ∼
= Zp l tr÷íng nguy¶n tè câ °c sè nguy¶n tè p. Gåi E l
tr÷íng ph¥n r¢ cõa f (x) tr¶n Fp . °t
K = {α ∈ E | f (α) = 0}
â ch½nh l tªp hñp c¡c nghi»m cõa f (x). Khi â K l mët tr÷íng con cõa
E . Thªt vªy, vîi måi α, β ∈ K ta câ
(α − β)q = αq − β q = α − β, (αβ)q = αq β q = αβ
Do â α − β, αβ ∈ K . N¸u α ∈ K ∗ th¼ (α−1 )q = (aq )−1 = α−1 suy ra
α−1 ∈ K. Ngo i ra, rã r ng 1q = 1 n¶n 1 ∈ K. Cuèi còng, ta th§y r¬ng
n
måi a ∈ Fp ·u thäa m¢n ap = a do â aq = ap = a chùng tä Fp ⊆ K.
6
Nh÷ vªy K ch½nh l tr÷íng ph¥n r¢ cõa f (x) tr¶n Fp , tr÷íng n y câ q = pn
ph¦n tû (l÷u þ r¬ng a thùc f (x) khæng câ nghi»m bëi).
T½nh duy nh§t cõa tr÷íng câ q = pn ph¦n tû. Gi£ sû Fq l tr÷íng câ
q = pn ph¦n tû. Khi â Fq câ °c sè l p (gi£ sû p1 l °c sè cõa Fq th¼
0
0
theo (i) suy ra q = pn1 ; do â pn = pn1 v¼ th¸ p = p1 ). V¼ F∗q = Fq \ {0}
l nhâm vîi ph²p nh¥n n¶n αq−1 = 1 vîi måi α ∈ F∗q ; do â αq = α vîi
måi α ∈ Fq . Chùng tä måi ph¦n tû cõa Fq ·u l nghi»m cõa a thùc
f (x) = xq − x ∈ Fp [x] vîi Fp l tr÷íng nguy¶n tè cõa Fq . Suy ra tr÷íng
Fq ch½nh l tr÷íng ph¥n r¢ cõa f (x) tr¶n Fp . i·u â kh¯ng ành t½nh duy
nh§t cõa Fq sai kh¡c mët ¯ng c§u tr÷íng.
Ta nhc l¤i, mët mð rëng tr÷íng E/F (F ⊂ E ) l mët mð rëng Galois
n¸u nâ l mð rëng chu©n tc v t¡ch ÷ñc (Ch÷ìng 2 t i li»u [1]). Ta câ
k¸t qu£ sau:
Bê · 1.2.2. Cho E/F l mët mð rëng húu h¤n khi â c¡c kh¯ng ành
sau t֓ng ֓ng:
(i) E/F l mð rëng Galois;
(ii) N¸u p(x) ∈ F (x) l a thùc b§t kh£ quy tr¶n F câ mët nghi»m trong
E th¼ nâ t¡ch ÷ñc v câ måi nghi»m trong E (tùc l p(x) t¡ch ÷ñc
v ph¥n r¢ tr¶n E );
(iii) E l tr÷íng ph¥n r¢ cõa mët a thùc t¡ch ÷ñc f (x) ∈ F [x].
ành lþ 1.2.3. Cho q l lôy thøa cõa mët sè nguy¶n tè v a, b l sè nguy¶n
d÷ìng. N¸u a l ÷îc cõa b, th¼ Fq l tr÷íng con cõa Fq . Hìn núa, mð
rëng tr÷íng Fq /Fq l mð rëng Galois. Måi a thùc b§t kh£ quy tr¶n Fq
·u t¡ch ÷ñc v n¸u nâ câ nghi»m trong Fq th¼ måi nghi»m cõa nâ ·u
thuëc Fq .
Chùng minh. Gi£ sû a, b l c¡c sè nguy¶n d÷ìng sao cho a l ÷îc cõa b. p
a
b
b
a
a
b
b
döng lªp luªn nh÷ trong chùng minh cõa Bê · 1.2.1, tr÷íng ph¥n r¢ cõa
b
P (T ) = T q − T tr¶n Fqa câ óng q b ph¦n tû v ¯ng c§u vîi Fqb . Tr÷íng
ph¥n r¢ n y công chùa Fqa , v do â Fqa l mët tr÷íng con cõa Fqb . Hìn
núa, v¼ P (T ) l a thùc t¡ch ÷ñc, Fqb l tr÷íng ph¥n r¢ cõa P (T ) tr¶n
7
tr÷íng Fqa , n¶n mð rëng tr÷íng Fqb /Fqa l mð ræng Galois. Do â, ¡p döng
Bê · 1.2.2. Ta câ måi a thùc b§t kh£ quy tr¶n Fqa ·u t¡ch ÷ñc v n¸u
nâ câ mët nghi»m trong Fqb th¼ ph¥n r¢ ho n to n tùc l câ måi nghi»m
trong Fqb .
1.3 H m Mobius
H m sè håc l mët h m x¡c ành tr¶n tªp sè nguy¶n d÷ìng v nhªn gi¡
trà trong tªp sè phùc C : f : Z>0 → C . Ð ¥y ta c¦n sû döng ¸n mët
h m quan trång â l h m Mobius µ.
ành ngh¾a 1.3.1. H m Mobius µ l mët h m sè håc ÷ñc x¡c ành bði
cæng thùc
1
µ(n) =
(−1)k
0
n¸u n = 1
n¸u n l t½ch cõa k sè nguy¶n tè kh¡c nhau,
n¸u n chia h¸t cho b¼nh ph÷ìng cõa mët sè nguy¶n tè.
Chó þ 1.3.2. (i) H m Mobius µPcán câ c¡ch biºu di¹n kh¡c nh÷ sau: Cho
ω(n) l h m sè håc vîi ω(n) =
1, tùc l ω(n) l sè c¡c ÷îc sè nguy¶n
p|n
tè kh¡c nhau cõa n. Khi â
(−1)ω(n) n¸u n khæng chia h¸t cho b¼nh ph÷ìng cõa
µ(n) =
mët sè nguy¶n tè.
0
trong c¡c tr÷íng hñp cán l¤i.
(ii) Ta cán sû döng ¸n hai h m sè håc sau:
(
1 n¸u n = 1,
1(n) = 1 v I(n) =
0 n¸u n > 1.
ành lþ 1.3.3. Vîi n ≥ 1 ta câ
0
X
µ(d) = I(n) =
1
d|n
n¸u n > 1,
n¸u n = 1.
(1.1)
8
Chùng minh. N¸u n = 1 th¼
n=
pk11
µ(d) = µ(1) = 1 = I(1). Vîi n > 1 , °t
d|n
l t½ch c¡c thøa sè nguy¶n tè cõa n. Ta câ
X
X
. . . pkr r
X
P
µ(d) = 1 +
µ(pi ) +
1≤i1 ≤i2 ≤r
1≤i≤r
d|n
r
=1+
µ(pi1 pi2 ) + . . . µ(p1 . . . pr )
!
r
(−1) +
1
!
(−1)2 + . . . + (−1)r
2
= (1 + (−1))r = 0 = I(n).
ta câ i·u ph£i chùng minh.
ành lþ 1.3.4 (Nghàch £o Mobius). èi vîi t§t c£ c¡c h m sè håc f, g :
N → C,
c¡c ph¡t biºu sau l t÷ìng ÷ìng:
P
(i) f (n) = g(d) vîi måi n ≥ 1.
d|n
(ii) g(n) =
P
µ(d)f
n
d
d|n
vîi måi n ≥ 1.
Chùng minh. Ta chùng minh ành lþ b¬ng c¡ch ¡p döng ành lþ 1.3.3. èi
vîi (i) ⇒ (ii), gi£ sû f (n) =
P
g(n) vîi måi n ≥ 1. Khi â ta câ:
d|n
X
d|n
µ(d)f
n
d
=
X
µ(d)
X
g(e)I
e|n
Vîi (ii) ⇒ (i), ta gi£ sû g(n) =
P
d|n
d|n
g(e) =
e| nd
d|n
=
X
X
e|n
n
e
µ(d)f
X
g(e)
X
µ(d)
d| ne
= g(n).
n
d
vîi n ≥ 1. Ta câ
n
X n X X
g(d) =
g
=
µ(e)f
d
de
n
d|n e| d
d|n
X n X
X n
=
f
µ(k) =
f
I(k) = f (n).
k
k
k|n
e|k
k|n
Ta câ ành lþ sau li¶n quan ¸n têng cõa c¡c h¤ng tû µ(n)/n .
9
ành lþ 1.3.5. Vîi måi x ≥ 1, ta câ
X µ(n)
≤ 1.
n
(1.2)
n≤x
Chùng minh. Cho x ≥ 1. Vîi b§t ký sè thüc y ta k½ hi»u ph¦n nguy¶n cõa
y l [y], â l sè nguy¶n lîn nh§t khæng v÷ñt qu¡ y v {y} := y − [y]. p
döng ành lþ 1.3.3 ta câ
hxi
X
µ(n)
n≤x
n
=
X
1=
m≤ nx
n≤x
=
X
µ(n)
XX
M°t kh¡c, ta nhªn ÷ñc
hxi X
X
µ(n)
n≤x
n
=
µ(n)
n≤x
x
n
−
X
I(k) = 1.
k≤x
n x o
n
µ(n)
nm≤x
µ(d) =
k≤x d|k
X
=x
X µ(n)
n≤x
n
−
X
µ(n)
n≤x
nxo
n
.
K¸t hñp hai i·u n y ta ÷ñc
X µ(n)
nxo
n x o
X nxo
X
X
≤1+
x
|µ(n)|
µ(n)
= 1 +
≤1+
n
n
n
n
n≤x
n≤x
n≤x
n≤x
n
o
X x
= 1 + {x} +
2≤n≤x
n
P µ(n)
≤ 1.
V¼ x ≥ 1 n¶n ta ÷ñc
n
n≤x
≤ 1 + {x} + [x] − 1 = x.
10
Ch֓ng 2
Sü t÷ìng tü giúa Fq[T ] v Z
V nh c¡c sè nguy¶n Z v Fq [T ] câ nhi·u k¸t qu£ thó và t÷ìng tü.
2.1 Mët sè t½nh ch§t chung cõa Fq [T ] v Z
T÷ìng tü vîi c¡c sè nguy¶n, chóng ta câ thº cëng, trø v nh¥n b§t ký
hai a thùc trong Fq [T ]. èi vîi hai a thùc f, g ∈ Fq [T ], ta nâi r¬ng f l
÷îc cõa g (kþ hi»u f |g ) n¸u tçn t¤i a thùc h ∈ Fq [T ] sao cho g = f h.
Ph²p chia Euclide
Trong Z, khi hai sè nguy¶n khæng chia h¸t cho nhau ta câ thº sû döng
ph²p chia Euclide (cán ÷ñc gåi l ph²p chia câ d÷). Nhc l¤i r¬ng vîi b§t
ký a, b ∈ Z vîi b 6= 0, tçn t¤i duy nh§t k, r ∈ Z sao cho a = kb + r, trong
â 0 ≤ r < |b|. T÷ìng tü, ta công câ ph²p chia Euclide trong Fq [T ]. Vîi
a thùc f ∈ Fq [T ] ta ành ngh¾a
chu©n cõa f
vîi |f | = q deg(f ) n¸u f = 0
ta quy ÷îc |f | = 0). Ta câ:
ành lþ 2.1.1 (Ph²p chia Euclide). Cho hai a thùc f, g
g 6= 0,
tçn t¤i duy nh§t c°p a thùc k, r ∈ Fq [T ] sao cho
f = kg + r
∈ Fq [T ]
vîi
v |r| < |g|.
ành lþ ÷ñc chùng minh b¬ng c¡ch düa v o t½nh ch§t måi ph¦n tû kh¡c
0 cõa Fq ·u câ nghàch £o. °t d = deg(g), khi â, b§t ký sè h¤ng fn T n
vîi n ≥ d câ thº ÷ñc lo¤i bä b¬ng ph²p trø f (T ) −
fn n−d
g(T ),
gd T
ch¿ º
l¤i c¡c h¤ng tû câ bªc nhä hìn d.
V¼ c£ Z v Fq [T ] l c¡c mi·n Euclide (tùc câ ph²p chia Euclide), n¶n
chóng ·u l mi·n ideal ch½nh v mi·n nh¥n tû hâa.
11
Sè nguy¶n tè v a thùc monic b§t kh£ quy
N¸u trong v nh Z câ kh¡i ni»m sè nguy¶n tè th¼ t÷ìng tü trong v nh
Fq [T ] câ kh¡i ni»m a thùc b§t kh£ quy. Trong mët mi·n nguy¶n D tòy
þ, mët ph¦n tû p ∈ D, p 6= 0, p khæng kh£ nghàch ÷ñc gåi l ph¦n tû b§t
kh£ quy n¸u p = ab, (a, b ∈ D) th¼ a ho°c b kh£ nghàch. Vîi a, b ∈ D n¸u
tçn t¤i ph¦n tû kh£ nghàch u ∈ D sao cho a = bu th¼ ta nâi r¬ng a, b li¶n
hñp. Khi â n¸u p b§t kh£ quy th¼ måi ph¦n tû li¶n hñp vîi p công b§t
kh£ quy.
Nhªn x²t 2.1.2. (i) Nhâm nh¥n trong v nh Z l Z∗ = {−1; 1} (nâi c¡ch
kh¡c, tªp c¡c ph¦n tû kh£ nghàch trong Z l {1; −1}), do â ph¦n tû
p = ab, (p ∈ Z) l b§t kh£ quy n¸u a ho°c b b¬ng ±1. N¸u a = ±1, th¼
b = ±p. Do â, p ch¿ câ c¡c ÷îc l ±1, ±p. N¸u ta x²t p d÷ìng, th¼ ¥y
l ành ngh¾a sè nguy¶n tè. Do â, c¡c sè nguy¶n tè trong Z l sè nguy¶n
d÷ìng v b§t kh£ quy. Hìn núa, mët sè nguy¶n ¥m l b§t kh£ quy khi v
ch¿ khi sè èi cõa nâ l b§t kh£ quy. V¼ vªy, chóng ta ch¿ ph£i nghi¶n cùu
c¡c sè nguy¶n tè º nghi¶n cùu t½nh b§t kh£ quy cõa t§t c£ c¡c sè nguy¶n.
(ii) Nhâm nh¥n trong Fq [T ] l F∗q = Fq \ {0}, (v¼ n¸u f g = 1 th¼
deg(f ) = deg(g) = 0 n¶n f, g ∈ F∗q ). Vîi mët a thùc ¢ cho f ∈ Fq [T ]
tªp hñp c¡c li¶n hñp cõa f l {af : a ∈ F∗q }. Cho an l mët h» sè ¦u
cõa f th¼ a−1
n f l li¶n hñp cõa f l monic, tùc l nâ câ h» sè ¦u b¬ng 1.
Vªy måi a thùc ·u ch¿ câ duy nh§t mët li¶n hñp l monic. Do â, công
nh÷ vi»c ch¿ x²t c¡c sè nguy¶n tè, chóng ta ch¿ c¦n nghi¶n cùu c¡c a thùc
monic º nghi¶n cùu t½nh b§t kh£ quy cõa t§t c£ c¡c a thùc.
Vîi méi sè n > 0 câ húu h¤n sè nguy¶n a ∈ Z sao cho |a| ≤ n. Ngo i ra
vîi méi a ∈ Z ta câ |Z/(a)| = |a|. T÷ìng tü vîi måi sè n > 0 câ húu h¤n
a thùc f ∈ Fq [T ] sao cho |f | ≤ n, cö thº â l to n bë a thùc câ bªc nhä
hìn ho°c b¬ng logq (n). Ngo i ra, måi c¡c lîp th°ng d÷ trong Fq [T ]/(f )
t÷ìng ùng vîi mët ¤i di»n duy nh§t g trong â deg(g) < deg(f ). V¼ vªy
|Fq [T ]/(f )| = |{g ∈ Fq [T ] : deg(g) < deg(f )}| = q deg(f ) = |f |.
12
2.2 C¡c t½nh ch§t t÷ìng çng
Sû döng c¡c t½nh ch§t tr¶n, ta câ mèi li¶n h» giúa Z v Fq [T ] trong b£ng
2.1.
Sè nguy¶n a ∈ Z a thùc f ∈ Fq [T ]
ìn và −1, 1
ìn và F∗q
nguy¶n tè
b§t kh£ quy
monic
d֓ng
|a|, gi¡ trà tuy»t èi
|f | = q deg(f )
: Mèi quan h» giúa Z v Fq [T ].
B£ng 2.1
ành lþ 2.2.1. Cho p ∈ Z l sè nguy¶n tè. Khi â vîi méi sè nguy¶n
a ∈ Z,
ta câ
ap ≡ a(modp).
(2.1)
Chùng minh. N¸u p|a th¼ ành lþ luæn óng. L÷u þ r¬ng p = |Z/pZ|. V¼
p l sè nguy¶n tè, Z/pZ l mët tr÷íng. Khi â |(Z/pZ)∗ | = p − 1. N¸u
a ∈ Z m p - a suy ra (a, p) = 1, khi â
a ∈ (Z/pZ)∗ suy ra (a)p−1 = 1.
hay ap−1 = 1 ⇔ ap−1 ≡ 1( modp), v do â ap ≡ a(modp).
Vîi mët sè i·u ch¿nh nhä, chùng minh n y câ thº ¡p döng º chùng
minh ành lþ t÷ìng tü trong Fq [T ]:
ành lþ 2.2.2. Cho q l lôy thøa cõa mët sè nguy¶n tè v P ∈ Fq [T ] l
mët a thùc b§t kh£ quy. Vîi måi a thùc f ∈ Fq [T ], ta câ
f |P | ≡ f (mod P ).
(2.2)
Chùng minh. N¸u P |f th¼ ành lþ luæn óng. L÷u þ r¬ng |P | = |Fq [T ]/(P )|.
V¼ P l a thùc b§t kh£ quy v Fq [T ] l mi·n ideal ch½nh, n¶n ¡p döng M»nh
· 8.7 trong [3] ta câ (P ) l ideal, (P ) l tèi ¤i. Do â, Fq [T ]/(P ) l mët
tr÷íng, tø â suy ra |(Fq [T ]/(P ))∗ | = |P | − 1. N¸u vîi måi f ∈ Fq [T ], sao
∗
cho P - f , khi â f ∈ (Fq [T ]) n¶n (f )|P |−1 = 1 hay f |P |−1 ≡ 1(mod P ),
v do â f |P | ≡ f (mod P ).
13
Mët v½ dö thó và l ành lþ cuèi cõa Fermat, ta câ ành lþ sau t÷ìng tü
trong Fq [T ]:
ành lþ 2.2.3. Cho q l lôy thøa cõa sè nguy¶n tè p. N¸u n ≥ 3 v p - n,
th¼ khæng tçn t¤i ba a thùc X, Y, Z ∈ Fq [T ] nguy¶n tè còng nhau æi mët
sao cho XY Z 6= 0 v X 0, Y 0, Z 0 khæng çng thíi b¬ng khæng thäa m¢n
Xn + Y n = Zn
(2.3)
º chùng minh ành lþ 2.2.3 ta sû döng k¸t qu£ sau ÷ñc chùng minh
trong t i li»u [6]
ành lþ 2.2.4
A, B, C ∈ K[T ]
Khi â, n¸u
(ành lþ Mason)
. Cho K l mët tr÷íng v ba a thùc
nguy¶n tè còng nhau æi mët thäa m¢n A + B + C = 0.
max(deg(A), deg(B), deg(C)) ≥ deg(rad(ABC))
th¼ A0 = B 0 = C 0 = 0. (Trong â vîi a thùc f ∈ K[T ] ta k½ hi»u rad(f )
l t½ch cõa c¡c ÷îc b§t kh£ quy ph¥n bi»t cõa f ∈ K[T ]).
Chùng minh ành lþ 2.2.3. Gi£ sû tçn t¤i ba a thùc X, Y, Z nguy¶n tè
còng nhau æi mæt thäa m¢n X n + Y n = Z n vîi n ≥ 1, v p - n. Khi â
X n + Y n − Z n = 0 v (X n )0 , (Y n )0 , (Z n )0 khæng çng thíi b¬ng khæng. Tø
ành lþ Mason ta câ:
nmax(deg(X), deg(Y ), deg(Z)) < deg(rad((XY Z)n ))
⇔ max(deg X n , deg Y n , deg Z n ) < deg(rad((XY Z)n ))
= deg(rad(XY Z))
≤ deg(XY Z)
≤ 3max(deg(X), deg(Y ), deg(Z))
hay n < 3. Vªy n¸u n ≥ 3 v p - n, th¼ khæng tçn t¤i ba a thùc X, Y, Z ∈
Fq [T ] sao cho XY Z 6= 0 v X 0 , Y 0 , Z 0 khæng çng thíi b¬ng khæng thäa
m¢n X n + Y n = Z n .
14
Ch֓ng 3
¸m sè a thùc b§t kh£ quy
3.1 Sè a thùc b§t kh£ quy monic bªc n tr¶n Fq
Trong ph¦n n y chóng ta s³ x²t sè a thùc monic b§t kh£ quy bªc n.
Gåi π(q; n) l sè a thùc monic b§t kh£ quy bªc n tr¶n Fq [T ], tùc l
π(q; n) = #{f ∈ Fq [T ] : f monic, b§t kh£ quy v deg(f ) = n}.
Gauss ¢ t¼m ra cæng thùc º t½nh π(q; n) cán gåi l cæng thùc Gauss m
ta s³ tr¼nh b y sau ¥y, tr÷îc h¸t ta c¦n bê · sau:
Bê · 3.1.1. Gåi q = pk l lôy thøa cõa mët sè nguy¶n tè p v cho n ≥ 1.
Khi â ta câ c¡c kh¯ng ành:
(i) Måi a ∈ Fq tçn t¤i duy nh§t mët a thùc monic b§t kh£ quy f ∈ Fq [T ]
sao cho a l mët nghi»m cõa f v deg(f ) l ÷îc cõa n.
(ii) Méi a thùc monic b§t kh£ quy f ∈ Fq [T ] vîi bªc l ÷îc cõa n câ måi
nghi»m ·u thuëc Fq v l a thùc t¡ch ÷ñc.
Chùng minh. Cho a ∈ Fq , v¼ Fq l mët mð rëng húu h¤n cõa Fq , n¶n a l
n
n
n
n
¤i sè tr¶n Fq . Gåi f ∈ Fq [T ] l a thùc cüc tiºu cõa a. Khi â f l a thùc
duy nh§t b§t kh£ quy, monic nhªn a l nghi»m. Hìn núa Fq (a) l tr÷íng
trung gian giúa Fqn v Fq n¶n [Fqn : Fq (a)].[Fq (a) : Fq ]= [Fqn : Fq ] = n. Do
â deg(f ) = [Fq (a) : Fq ] l ÷îc cõa [Fqn : Fq ] = n.
Ng÷ñc l¤i, cho f ∈ Fq [T ] l mët a thùc monic b§t kh£ quy câ bªc l
÷îc cõa n. Khi â, ta câ |Fq [T ]/(f )| = deg(f ). V¼ c¡c tr÷íng húu h¤n l
duy nh§t sai kh¡c ¯ng c§u n¶n ta suy ra Fq [T ]/(f ) ∼
= Fqdeg(f ) . Chó þ r¬ng
T l mët khæng iºm cõa f trong tr÷íng Fq [T ]/(f ). Nh÷ vªy f câ mët
15
nghi»m trong Fqdeg(f ) . Theo ành lþ 1.2.3, mð rëng tr÷íng Fqdeg(f ) /Fq l mð
rëng Galois, tùc l mð rëng chu©n tc v t¡ch ÷ñc, v¼ vªy f l a thùc
t¡ch ÷ñc v câ t§t c£ c¡c nghi»m trong Fqdeg(f ) . M°t kh¡c deg(f ) l ÷îc
cõa n do â (theo ành lþ 1.2.3) Fqdeg(f ) l tr÷íng con cõa Fqn . Tø â ta
câ i·u ph£i chùng minh.
ành lþ 3.1.2 (Cæng thùc Gauss). °t q = pk l lôy thøa cõa mët sè
nguy¶n tè p. Khi â sè a thùc b§t kh£ quy monic bªc n tr¶n Fq ÷ñc cho
bði
π(q; n) =
1 X d n
q µ
,
n
d
(3.1)
d|n
trong â, µ l h m Mobius.
Chùng minh. °t M (q; n) =
{f ∈ Fq [T ] : f b§t kh£ quy monic v
deg(f )|n}. Theo Bê · 3.1.1 ta câ:
Y
f=
Y
(T − a).
a∈Fqn
f ∈M (q,n)
Ta câ bªc cõa hai a thùc tr¶n gièng nhau:
X
deg(f ) = q n .
f ∈M (q,n)
V¸ tr¡i cõa ¯ng thùc tr¶n b¬ng
P
dπ(q; d), do â ta thu ÷ñc
d|n
X
dπ(q; d) = q n .
d|n
Sû döng cæng thùc nghàch £o Mobius ta ÷ñc:
n
X
qdµ
nπ(q; n) =
d|n
d
.
Chia c£ hai v¸ cho n ta ÷ñc i·u c¦n chùng minh.
V½ dö 3.1.3. (i) Sè c¡c a thùc d¤ng chu©n b§t kh£ quy trong Fq [x] câ
bªc 20 ÷ñc cho bði cæng thùc
1 X
π(q, 20) =
20
µ(20/d)q d
d|20
16
=
1
µ(1)q 20 + µ(2)q 10 + µ(4)q 5 + µ(5)q 4 + µ(10)q 2 + µ(20)q .
20
Trong â
µ(1) = 1, µ(2) = (−1)1 = −1, µ(4) = 0,
µ(5) = (−1)1 = −1, µ(10) = (−1)2 = 1, µ(20) = 0.
Do â
π(q, 20) =
1 20
q − q 10 − q 4 + q 2 .
20
(ii) T÷ìng tü, chóng ta câ thº t½nh sè c¡c a thùc d¤ng chu©n b§t kh£ quy
trong Fq [x] câ bªc 30 ÷ñc cho bði cæng thùc:
1 X
π(q, 30) =
30
µ(30/d)q d
d|30
1
µ(1)q 30 + µ(2)q 15 + µ(3)q 10 + µ(5)q 6 + µ(6)q 5 + µ(15)q 2 + µ(30)q
30
1 30
=
q − q 15 − q 10 − q 6 + q 5 + q 2 − q .
30
=
Ti¸p theo, ta x¥y düng mët sè t½nh ch§t cõa π(q; n).
ành lþ 3.1.4. °t q = pk l lôy thøa cõa mët sè nguy¶n tè p. Sè a thùc
monic b§t kh£ quy bªc n tr¶n Fq thäa m¢n:
qn
q n/2
qn
−2
< π(q; n) ≤ ,
n
n
n
(3.2)
v hìn núa, b§t ¯ng thùc cuèi còng l nghi¶m ng°t khi n > 1.
Chùng minh. Vîi n = 1, ta câ ¯ng thùc π(q; n) = q v do â ành lþ luæn
óng. N¸u n > 1, ta câ:
qn 1 X d n
1 X d n
qn
− π(q; n) =
−
q µ
=−
q µ
.
n
n
n
d
n
d
d|n
(3.3)
d|n,d6=n
Gåi p0 l ÷îc nguy¶n tè nhä nh§t cõa n. Khi â ta câ:
n
X
1 X d n 1 pn0
d
−
q µ
= q −
q µ
.
n
d
n
d
n
d|n,d6=n
d|n,d< p0
(3.4)
- Xem thêm -