ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC TÖÏ NHIEÂN
------------------ oOo ------------------
TRÒNH THANH ÑEØO
VEÀ NHOÙM TUYEÁN TÍNH TREÂN VAØNH CHIA
HÖÕU HAÏN ÑÒA PHÖÔNG YEÁU
Chuyeân ngaønh: Ñaïi soá vaø lyù thuyeát soá
Maõ soá chuyeân ngaønh: 62 46 05 01
TOÙM TAÉT LUAÄN AÙN TIEÁN SÓ TOAÙN HOÏC
TP. HOÀ CHÍ MINH – 2012
Coâng trình ñöôïc hoaøn thaønh taïi tröôøng Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï nhieân,
Ñaïi hoïc Quoác gia Tp. Hoà Chí Minh.
Ngöôøi höôùng daãn khoa hoïc: PGS. TS. Buøi Xuaân Haûi
Phaûn bieän 1: GS.TS. Nguyeãn Vaên Sanh
Phaûn bieän 2: PGS.TS. Mî Vinh Quang
Phaûn bieän 3: TS. Nguyeãn Vieát Ñoâng
Phaûn bieän ñoäc laäp 1: GS.TSKH. Nguyeãn Töï Cöôøng
Phaûn bieän ñoäc laäp 2: TS. Phoù Ñöùc Taøi
Luaän aùn ñaõ ñöôïc baûo veä tröôùc hoäi ñoàng chaám luaän aùn caáp cô sôû ñaøo taïo
hoïp taïi tröôøng Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï nhieân, ÑHQG Tp.HCM
Vaøo hoài 15 giôø 00 ngaøy 14 thaùng 06 naêm 2012
Coù theå tìm hieåu luaän aùn taïi:
- Thö vieän Khoa hoïc Toång hôïp Tp.HCM
- Thö vieän tröôøng Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï nhieân Tp.HCM
TOÙM TAÉT LUAÄN AÙN
Trong lyù thuyeát vaønh chia, moät trong nhöõng baøi toaùn ñöôïc nhieàu
nhaø toaùn hoïc quan taâm laø khaûo saùt caùc nhoùm con trong vaønh chia
khoâng giao hoaùn, vaø roäng hôn nöõa laø khaûo saùt caùc tính chaát lieân quan
ñeán nhoùm tuyeán tính treân vaønh chia. Coù nhieàu keát quaû thuù vò lieân
quan ñeán baøi toaùn naøy. Moät trong soá ñoù phaûi keå ñeán laø moät khaùm
phaù noåi tieáng cuûa Wedderburn vaøo naêm 1905, ñoù laø “neáu nhoùm nhaân
D∗ cuûa vaønh chia D laø höõu haïn thì D giao hoaùn”. Sau ñoù, L. K.
Hua ñaõ chöùng minh raèng (xem [8], p.223) nhoùm nhaân cuûa moät vaønh
chia khoâng giao hoaùn thì khoâng giaûi ñöôïc. Naêm 2009, B. X. Haûi vaø
N. V. Thìn (xem [5]) ñaõ chöùng minh D ∗ cuõng khoâng luõy linh ñòa
phöông. Moät vaøi keát quaû môùi nhaát coù theå ñöôïc tìm thaáy trong caùc
coâng trình cuûa caùc nhoùm taùc giaû S. Akbari, M. Mahdavi-Hezavehi,
R. Ebrahimian, B. X. Haûi (xem [1]-[3], [4]-[5], [9]-[12]), . . .
Caùc nghieân cöùu chính cuûa luaän aùn laø khaûo saùt baøi toaùn treân cho
caùc lôùp vaønh chia môû roäng cuûa lôùp vaønh chia höõu haïn ñòa phöông,
ñoù laø lôùp vaønh chia kieåu 2 vaø lôùp vaønh chia höõu haïn ñòa phöông
yeáu. Caùc lôùp vaønh chia naøy ñöôïc ñònh nghóa ôû chöông 1 cuûa luaän
aùn.
Caùc phöông phaùp ñöôïc söû duïng trong luaän aùn cuõng chính laø caùc
phöông phaùp ñang ñöôïc nhieàu nhaø toaùn hoïc söû duïng trong höôùng
nghieân cöùu veà nhoùm tuyeán tính treân vaønh chia. Ñoù chính laø caùc
phöông phaùp cuûa lyù thuyeát nhoùm keát hôïp vôùi lyù thuyeát vaønh, nhö:
duøng caùc ñieàu kieän höõu haïn ñeå khaûo saùt trong nhöõng tröôøng hôïp
caàn thieát, söû duïng caùc phöông phaùp cuûa lyù thuyeát nhoùm tuyeán tính
treân tröôøng trong moät soá tröôøng hôïp cuï theå, . . .
1
Noäi dung cuûa luaän aùn ñöôïc toùm taét theo töøng chöông nhö sau:
Chöông 1. Caùc kieán thöùc môû ñaàu
1.1. Caùc khaùi nieäm vaø kyù hieäu
Trong muïc naøy, taùc giaû ñaõ ñöa ra moät soá khaùi nieäm vaø kyù hieäu
lieân quan ñeán luaän aùn.
1.2. Veà caùc lôùp vaønh chia khoâng giao hoaùn
Trong muïc naøy, taùc giaû ñaõ nhaéc laïi khaùi nieäm veà caùc lôùp vaønh
chia khoâng giao hoaùn coå ñieån nhö: vaønh chia höõu haïn taâm, vaønh
chia höõu haïn ñòa phöông, vaønh chia ñaïi soá, ñoàng thôøi xeùt hai lôùp
vaønh chia môùi laø lôùp vaønh chia kieåu 2 vaø lôùp vaønh chia höõu haïn
ñòa phöông yeáu.
Ñònh nghóa 1.1. Cho D laø vaønh chia taâm F . Ta noùi D laø vaønh chia
kieåu 2 neáu vôùi moïi x, y thuoäc D, vaønh chia con F (x, y) cuûa D laø
khoâng gian vectô höõu haïn chieàu treân F .
Ñònh nghóa 1.2. Ta noùi vaønh chia D laø höõu haïn ñòa phöông yeáu neáu
vôùi moïi taäp con höõu haïn S cuûa D, vaønh chia con cuûa D sinh bôûi S
laø vaønh chia höõu haïn taâm.
Lôùp vaønh chia kieåu 2 ñaõ ñöôïc S. Akbari vaø M. Mahdavi-Hezavehi
ñònh nghóa naêm 2002 trong [3]. Ñoái vôùi lôùp vaønh chia kieåu 2, vieäc
chöùng toû lôùp vaønh chia naøy thöïc söï chöùa lôùp vaønh chia höõu haïn
ñòa phöông laø moät baøi toaùn khoù. Söï khoù khaên naøy lieân quan ñeán
moät giaû thuyeát chöa coù caâu traû lôøi do A. Kurosh ñaët ra naêm 1941
(ñöôïc hieåu nhö laø Baøi toaùn Kurosh veà vaønh chia (xem [7])), ñoù laø:
“Moïi vaønh chia ñaïi soá ñeàu höõu haïn ñòa phöông”. Trong luaän aùn,
nhöõng keát quaû chuùng toâi ñaït ñöôïc ñoái vôùi nhöõng lôùp vaønh chia kieåu
2 ñeàu chöa töøng ñöôïc chöùng minh cho nhöõng vaønh chia höõu haïn ñòa
phöông. Do ñoù, maëc duø chöa coù ví duï chöùng toû lôùp vaønh chia kieåu
2 thöïc söï khaùc vôùi lôùp vaønh chia höõu haïn ñòa phöông, nhöng nhöõng
keát quaû chuùng toâi ñaït ñöôïc ít nhaát laø coù giaù trò ñoái vôùi lôùp vaønh chia
2
höõu haïn ñòa phöông. Lôùp vaønh chia höõu haïn ñòa phöông yeáu laø lôùp
vaønh chia do chuùng toâi ñònh nghóa trong quaù trình nghieân cöùu. Sôû
dó coù teân goïi nhö vaäy vì lôùp vaønh naøy laø môû roäng cuûa lôùp vaønh höõu
haïn ñòa phöông thoâng qua meänh ñeà sau:
Meänh ñeà 1.3. Moïi vaønh chia con cuûa vaønh chia höõu haïn taâm ñeàu
höõu haïn taâm.
Döïa vaøo meänh ñeà treân ta thaáy raèng, neáu D laø vaønh chia höõu
haïn ñòa phöông thì vôùi moïi taäp con höõu haïn S cuûa D ta coù vaønh
chia con F (S) cuûa D laø höõu haïn taâm, neân vaønh chia con sinh bôûi S
cuõng höõu haïn taâm. Do ñoù moïi vaønh chia höõu haïn ñòa phöông ñeàu
laø höõu haïn ñòa phöông yeáu. Trong chöông 2 cuûa luaän aùn, chuùng toâi
xaây döïng ví duï chöùng toû lôùp vaønh chia höõu haïn ñòa phöông yeáu laø
lôùp vaønh chia chöùa thöïc söï lôùp vaønh chia höõu haïn ñòa phöông.
1.3. Moät soá keát quaû coå ñieån lieân quan ñeán luaän aùn
Trong muïc naøy, chuùng toâi ñaõ phaùt bieåu laïi moät soá ñònh lyù coå
ñieån cuûa lyù thuyeát vaønh chia ñöôïc aùp duïng nhieàu trong luaän aùn
nhö Ñònh lyù taâm hoùa töû keùp, Ñònh lyù Wedderburn-Artin, Ñònh lyù
Jacobson, Ñònh lyù Kaplansky, . . .
Chöông 2. Nhoùm tuyeán tính baäc 1 treân vaønh chia
Trong chöông naøy, chuùng toâi ñöa ra caùc keát quaû lieân quan ñeán
nhoùm con cuûa nhoùm nhaân D ∗ cuûa vaønh chia D (goïi laø nhoùm tuyeán
tính baäc 1 treân vaønh chia), vôùi D laø vaønh chia kieåu 2 hoaëc vaønh
chia höõu haïn ñòa phöông yeáu. Caùc keát quaû thu ñöôïc ñeàu laø caùc keát
quaû môû roäng cuûa caùc keát quaû ñaõ coù treân lôùp vaønh chia höõu haïn taâm.
Noäi dung cuûa chöông ñaõ ñöôïc taùc giaû boá cuïc thaønh caùc ñeà muïc nhö
sau:
2.1. Nhoùm tuyeán tính baäc 1 treân vaønh chia kieåu 2
Trong [10] ñaõ chöùng minh raèng, neáu D laø vaønh chia höõu haïn
taâm thì Z(D 0 ) laø höõu haïn. Töø keát quaû naøy, taùc giaû baøi baùo [10]
3
cuõng ñöa ra moät caâu hoûi laø “neáu D ñaïi soá treân taâm thì Z(D 0 ) coù laø
nhoùm xoaén hay khoâng?” Tuy nhieân, caâu hoûi naøy ñeán nay vaãn chöa
coù caâu traû lôøi. Baèng caùch khaûo saùt lôùp vaønh chia kieåu 2, chuùng toâi
chöùng minh ñöôïc keát quaû sau:
Ñònh lyù 2.1. Neáu D laø vaønh chia kieåu 2 thì Z(D 0 ) laø nhoùm xoaén.
Söû duïng keát quaû treân, chuùng toâi chöùng minh ñöôïc raèng:
Ñònh lyù 2.2. Cho D laø vaønh chia kieåu 2 khoâng giao hoaùn vôùi taâm F ,
N laø nhoùm con cuûa D ∗ chöùa F ∗ . Khi ñoù N khoâng höõu haïn sinh.
Döïa vaøo keát quaû treân ta coù theå suy ra raèng, neáu D laø vaønh chia
kieåu 2 sao cho D ∗ höõu haïn sinh thì D laø tröôøng höõu haïn. Do ñoù keát
quaû cuûa chuùng toâi ñöôïc xem nhö laø moät môû roäng maïnh cuûa Ñònh
lyù 1 trong [2] (neáu D höõu haïn taâm vaø D ∗ höõu haïn sinh thì D giao
hoaùn).
Lieân heä ñeán moät giaû thuyeát cuûa Herstein trong [6] : “Cho D
laø vaønh chia vôùi taâm F . Neáu N laø nhoùm con aù chuaån taéc cuûa D ∗
sao cho N caên treân F thì N ⊆ F ”. Baèng caùch xeùt tröôøng hôïp D
laø vaønh chia kieåu 2, chuùng toâi chöùng minh raèng keát luaän treân cuõng
ñuùng cho tröôøng hôïp N laø nhoùm con chuaån taéc caên treân moät vaønh
chia con thöïc söï K cuûa D, khoâng nhaát thieát laø taâm F .
Ñònh lyù 2.3. Cho D laø vaønh chia kieåu 2 vôùi taâm F , K laø vaønh chia
con thaät söï cuûa D vaø N laø nhoùm con chuaån taéc cuûa D ∗ . Khi ñoù,
neáu N caên treân K thì N ⊆ F .
2.2. Vaønh chia höõu haïn ñòa phöông yeáu
Trong muïc naøy, chuùng toâi ñaõ xaây döïng ví duï chöùng toû lôùp vaønh
chia höõu haïn ñòa phöông yeáu thöïc söï chöùa lôùp vaønh chia höõu haïn
ñòa phöông thoâng qua meänh ñeà sau:
Meänh ñeà 2.4. Toàn taïi moät vaønh chia höõu haïn ñòa phöông yeáu nhöng
khoâng ñaïi soá treân taâm.
4
2.3. Nhoùm tuyeán tính baäc 1 treân vaønh chia höõu haïn ñòa phöông yeáu
Trôû laïi giaû thuyeát cuûa Herstein ñaõ trình baøy ôû treân, B. X. Haûi
vaø L. K. Huyønh (xem [4]) ñaõ chöùng minh giaû thuyeát naøy ñuùng cho
tröôøng hôïp vaønh chia höõu haïn taâm. Trong ñònh lyù sau, chuùng toâi
chöùng minh ñöôïc raèng giaû thuyeát treân cuõng ñuùng cho tröôøng hôïp D
laø vaønh chia höõu haïn ñòa phöông yeáu.
Ñònh lyù 2.5. Cho D laø vaønh chia höõu haïn ñòa phöông yeáu vôùi taâm
F vaø N laø nhoùm con aù chuaån taéc cuûa D ∗ . Neáu N caên treân F thì
N ⊆ F.
Baèng caùch thöïc hieän töông töï chöùng minh Ñònh lyù 2.3, chuùng
toâi cuõng chöùng toû raèng keát quaû cuûa ñònh lyù cuõng ñuùng khi thay lôùp
vaønh chia kieåu 2 bôûi lôùp vaønh chia höõu haïn ñòa phöông yeáu:
Ñònh lyù 2.6. Cho D laø vaønh chia höõu haïn ñòa phöông yeáu vôùi taâm
F , K laø vaønh chia con thaät söï cuûa D vaø N laø nhoùm con chuaån taéc
cuûa D ∗ . Khi ñoù, neáu N caên treân K thì N ⊆ F .
Chöông 3. Nhoùm tuyeán tính baäc n treân vaønh chia
Trong chöông naøy, chuùng toâi xeùt caùc baøi toaùn lieân quan ñeán
nhoùm tuyeán tính toång quaùt treân vaønh chia D höõu haïn ñòa phöông
yeáu vaø thu ñöôïc caùc keát quaû sau ñaây, ñöôïc chia thaønh hai muïc nhoû
laø nhoùm tuyeán tính höõu haïn sinh vaø nhoùm tuyeán tính toái ñaïi caên
treân taâm.
3.1. Nhoùm tuyeán tính höõu haïn sinh
Trong muïc naøy cuûa luaän aùn, ñaõ chöùng minh caùc keát quaû sau:
Ñònh lyù 3.1. Cho D laø vaønh chia höõu haïn ñòa phöông yeáu. Khi ñoù,
moïi nhoùm con aù chuaån taéc höõu haïn sinh cuûa D ∗ ñeàu naèm trong taâm
cuûa D.
5
Ñònh lyù 3.2. Cho D laø vaønh chia höõu haïn ñòa phöông yeáu vôùi taâm
F vaø N laø nhoùm con aù chuaån taéc voâ haïn cuûa GL n (D), n ≥ 2. Khi
ñoù, neáu N höõu haïn sinh thì N ⊆ F .
Caùc keát quaû treân ñöôïc xem nhö laø keát quaû môû roäng cuûa Ñònh
lyù 1 trong [9] vaø Ñònh lyù 5 trong [2]. Sau ñoù, chuùng toâi nghieân cöùu
söï môû roäng cuûa Ñònh lyù 1 trong [9] ñoái vôùi vaønh chia höõu haïn taâm
vaø chöùng minh ñöôïc raèng:
Ñònh lyù 3.3. Cho D laø vaønh chia khoâng giao hoaùn, ñaïi soá vaø höõu
haïn ñòa phöông yeáu, vôùi taâm F . Khi ñoù, neáu N laø nhoùm con cuûa
GLn (D), n ≥ 1, sao cho N chöùa F ∗ , thì N khoâng höõu haïn sinh.
3.2. Nhoùm tuyeán tính toái ñaïi caên treân taâm
Trong muïc naøy cuûa luaän aùn, taùc giaû ñaõ khaûo saùt caùc tính chaát
lieân quan ñeán nhoùm con toái ñaïi caên treân taâm cuûa nhoùm tuyeán tính
toång quaùt GL n (D) vaø thu ñöôïc keát quaû khaù quan troïng sau:
Ñònh lyù 3.4. Cho D laø vaønh chia khoâng giao hoaùn höõu haïn ñòa
phöông yeáu vôùi taâm F , n ≥ 1. Khi ñoù, neáu toàn taïi M laø nhoùm con
toái ñaïi cuûa GLn (D) sao cho M caên treân F thì
i) n = 1,
ii) CharD = p > 0,
iii) [D : F ] = p 2 ,
iv) F ∗ ⊆ M ,
v) K := M ∪ {0} laø tröôøng con toái ñaïi cuûa D,
vi) K/F laø môû roäng thuaàn tuùy khoâng taùch ñöôïc.
Keát quaû treân laø moät môû roäng maïnh cuûa Ñònh lyù 5 trong [11] vaø
Ñònh lyù 6 trong [12]. AÙp duïng keát quaû treân, chuùng toâi ñaõ ñöa ra
6
moät keát quaû môû roäng cuûa Ñònh lyù 5 trong [11] vaø Ñònh lyù 11 trong
[1] töø lôùp vaønh chia höõu haïn taâm sang lôùp vaønh chia khoâng giao
hoaùn toång quaùt, vaø thaäm chí giaûm bôùt ñieàu kieän M ∪ {0} chöùa taâm.
Ñaây coù theå noùi laø keát quaû môû roäng thaät söï maïnh so vôùi caùc keát quaû
ñaõ coù. Cuï theå, chuùng toâi chöùng minh ñöôïc keát quaû sau:
Ñònh lyù 3.5. Cho D laø vaønh chia khoâng giao hoaùn vôùi taâm F vaø
giaû söû M laø nhoùm con toái ñaïi cuûa GL n (D), n ≥ 1. Khi ñoù, neáu
M/M ∩ F ∗ laø nhoùm höõu haïn ñòa phöông thì
i) n = 1,
ii) CharD = p > 0,
iii) [D : F ] = p 2 ,
iv) F ∗ ⊆ M ,
v) K := M ∪ {0} laø tröôøng con toái ñaïi cuûa D,
vi) K/F laø môû roäng thuaàn tuùy khoâng taùch ñöôïc.
Caùc keát quaû thu ñöôïc cuûa luaän aùn laø môùi vaø chöa töøng ñöôïc ai
coâng boá trong baát kyø coâng trình naøo khaùc.
7
KEÁT LUAÄN CUÛA LUAÄN AÙN
Döôùi ñaây laø moät soá keát quaû cô baûn nhaát coù ñöôïc töø luaän aùn. Taát
caû caùc keát quaû naøy ñeàu laø môùi vaø laø thaønh quaû ñaït ñöôïc cuûa taùc
giaû cuøng vôùi ngöôøi höôùng daãn khoa hoïc vaø cuûa nhoùm nghieân cöùu.
1. Caùc keát quaû treân GL 1 (D)
Nhoùm tuyeán tính baäc 1 treân vaønh chia D chính laø nhoùm con
cuûa nhoùm nhaân D ∗ = GL1 (D) neân caùc keát quaû lieân quan ñeán nhoùm
tuyeán tính baäc 1 treân vaønh chia D chính laø caùc keát quaû lieân quan
ñeán nhoùm con cuûa D ∗ . Caùc keát quaû chính thu ñöôïc trong tröôøng
hôïp naøy laø:
a) Neáu D laø vaønh chia kieåu 2 hoaëc vaønh chia höõu haïn ñòa phöông
yeáu thì Z(D0 ) xoaén. Keát quaû naøy lieân quan ñeán caâu hoûi cuûa M.
Mahdavi-Hezavehi trong [10] raèng Z(D 0 ) coù xoaén trong tröôøng
hôïp D laø vaønh chia ñaïi soá hay khoâng.
b) Trong vaønh chia D kieåu 2 khoâng giao hoaùn vôùi taâm F , khoâng coù
nhoùm con höõu haïn sinh chöùa F ∗ . Keát quaû naøy ñöôïc xem nhö laø
moät môû roäng maïnh cuûa Ñònh lyù 1 trong [2].
c) Neáu D laø vaønh chia höõu haïn ñòa phöông yeáu vôùi taâm F vaø N
laø nhoùm con aù chuaån taéc cuûa D ∗ sao cho N caên treân F thì
N ⊆ F . Keát quaû naøy cho ta keát luaän raèng, giaû thuyeát cuûa
Herstein trong [6] ñuùng trong tröôøng hôïp D laø vaønh chia höõu
haïn ñòa phöông yeáu.
d) Hôn nöõa, baèng caùch thay ñieàu kieän cuûa N trong giaû thuyeát cuûa
Herstein, ta ñöôïc keát quaû sau: Neáu D laø vaønh chia kieåu 2 hoaëc
8
vaønh chia höõu haïn ñòa phöông yeáu vaø N laø nhoùm con chuaån taéc
cuûa D ∗ sao cho N caên treân moät vaønh chia con thöïc söï K cuûa D
thì N naèm trong taâm cuûa D.
2. Caùc keát quaû treân GL n (D)
Caùc keát quaû chính lieân quan ñeán nhoùm tuyeán tính baäc n treân
vaønh chia D laø:
a) Neáu D laø vaønh chia höõu haïn ñòa phöông yeáu vaø N laø nhoùm con aù
chuaån taéc höõu haïn sinh cuûa GL n (D) thì trong tröôøng hôïp n = 1
hoaëc N voâ haïn ta ñöôïc N naèm trong taâm cuûa D. Keát quaû naøy
ñöôïc xem nhö laø keát quaû môû roäng cuûa Ñònh lyù 1 trong [9] vaø
Ñònh lyù 5 trong [2].
b) Neáu D laø vaønh chia khoâng giao hoaùn, ñaïi soá vaø höõu haïn ñòa
phöông yeáu, vôùi taâm F , vaø N laø nhoùm con cuûa GL n (D), n ≥ 1
sao cho N chöùa F ∗ thì N khoâng höõu haïn sinh.
c) Cho D laø vaønh chia khoâng giao hoaùn höõu haïn ñòa phöông yeáu
vôùi taâm F , vaø n ≥ 1. Khi ñoù, neáu toàn taïi M laø nhoùm con toái ñaïi
cuûa GLn (D) sao cho M caên treân F thì n = 1, CharD = p > 0,
[D : F ] = p2 , F ∗ ⊆ M , K := M ∪ {0} laø tröôøng con toái ñaïi
cuûa D, K/F laø môû roäng thuaàn tuùy khoâng taùch ñöôïc. Keát quaû
naøy laø moät môû roäng maïnh cuûa Ñònh lyù 5 trong [11] vaø Ñònh lyù
6 trong [12].
d) Cho D laø vaønh chia khoâng giao hoaùn vôùi taâm F vaø giaû söû M laø
nhoùm con toái ñaïi cuûa GL n (D), n ≥ 1. Khi ñoù, neáu M/M ∩ F ∗ laø
nhoùm höõu haïn ñòa phöông thì n = 1, CharD = p > 0, [D : F ] = p 2 ,
F ∗ ⊆ M , K := M ∪ {0} laø tröôøng con toái ñaïi cuûa D, K/F laø
môû roäng thuaàn tuùy khoâng taùch ñöôïc. Ñaây laø keát quaû môû roäng
cuûa Ñònh lyù 5 trong [11] vaø Ñònh lyù 11 trong [1] töø lôùp vaønh chia
höõu haïn taâm sang lôùp vaønh chia khoâng giao hoaùn toång quaùt, vaø
thaäm chí giaûm bôùt ñieàu kieän F ∗ ⊆ M .
9
ÑEÀ XUAÁT CUÛA LUAÄN AÙN
Luaän aùn trình baøy moät soá keát quaû môùi lieân quan ñeán nhoùm tuyeán
tính treân vaønh chia. Caùc keát quaû naøy laø söï toång quaùt hoùa caùc keát
quaû tröôùc cuûa caùc taùc giaû I. N. Herstein, S. Akbari, M. MahdaviHezavehi,. . . Caùc keát quaû naøy coù theå ñöôïc öùng duïng trong lyù thuyeát
vaønh chia vaø lyù thuyeát nhoùm tuyeán tính treân vaønh chia. Moät soá keát
quaû coù theå ñöôïc môû roäng hôn nöõa cho nhoùm tuyeán tính treân caùc lôùp
vaønh chia roäng hôn.
DANH MUÏC CAÙC COÂNG TRÌNH
CUÛA TAÙC GIAÛ
1. (with Bui Xuan Hai and Mai Hoang Bien), On subgroups in
division rings of type 2, Studia Scientiarum Mathematicarum
Hungarica (accepted).
2. (with Bui Xuan Hai and Mai Hoang Bien), On linear groups over
weakly locally finite division rings, Algebra Colloquium (accepted).
3. (with Bui Xuan Hai and Mai Hoang Bien), On radicality of maximal
subgroups in GLn (D), Journal of Algebra 365 (2012), 42-49.
10
TAØI LIEÄU THAM KHAÛO
[1] S. Akbari; R. Ebrahimian; H. Momenaee Kermani; A. Salehi
Golsefidy, “Maximal subgroups of GL n (D)”, Journal of Algebra 259:1 (2003), 201-225.
[2] S. Akbari and M. Mahdavi-Hezavehi, “Normal subgroups of
GLn (D) are not finitely generated”, Proceedings of the American Mathematical Society, 128:6 (2000),1627-1632.
[3] S. Akbari and M. Mahdavi-Hezavehi, “On the existence of
normal maximal subgroups in division rings”, Journal of Pure
and Applied Algebra, 171:2-3 (2002), 123-131.
[4] B. X. Hai and L. K. Huynh, “On subgroups of the multiplicative
group of a division ring”, Vietnam Journal of Mathematics, 32:1
(2004), 21-24.
[5] B. X. Hai and N. V. Thin, “On locally nilpotent subgroups of
GL1 (D)”, Communitations in Algebra 37 (2009), 712-718.
[6] I. N. Herstein, “Multiplicative commutators in division rings”,
Israel Journal of Mathematics, 31:2 (1978), 180-188.
[7] A. Kurosh, “Ringtheoretische probleme, die mit dem Burnsideschen Problem uber periodische gruppen in zusammenhang
stehen”, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 5:3 (1941), 233-240
(in Russian).
11
[8] T. Y. Lam, A first course in non-commutative rings, GTM 131
(1991), Springer-Verlag.
[9] M. Mahdavi-Hezavehi, M. G. Mahmudi, and S. Yasamin,
“Finitely generated subnormal subgroups of GL n (D) are
central”, Journal of Algebra 255(2000), 517-521.
[10] M. Mahdavi-Hezavehi, “Extension of valuations on derived
groups of division rings”, Communications in Algebra, 23:3
(1995), 913-926.
[11] M. Mahdavi-Hezavehi, “Tits alternative for maximal subgroups of GL n (D)”, Journal of Algebra 271 (2004) 518-528.
[12] M. Mahdavi-Hezavehi, “Free subgroups in maximal subgroups
of GL1 (D)”, Journal of Algebra 241 (2001), 720-730.
12
- Xem thêm -
.PDF 
14 
155 
58 
