VẬN DỤNG KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC VECTƠ VÀ LƯỢNG GIÁC
TRONG DẠY HỌC VẬT LÍ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Thực trạng của vấn đề
Vật lí học là một môn khoa học thực nghiệm, đây là một môn học không dễ
với học sinh THPT. Vấn đề khó ở dây không chỉ về mặt kiến thức vật lí bao quát,
trừu tượng, chi phối nhiều hiện tượng liên quan đến đời sống hằng ngày mà còn
khó ở chỗ nó liên quan đến những kiến thức toán học phức tạp được xem là công
cụ không thể thiếu. Thực tế cho thấy học sinh không học tốt một vật lí (nói riêng)
là do bị hỏng những kiến thức về toán học, do vậy đứng trước một bài toán vật lí,
học sinh không biết phải giải quyết như thế nào. Vậy phải làm gì để giúp các em
học sinh có thể học tốt hơn về môn vật lí?
2. Mục đích yêu cầu
Để giải quyết những vướng mắc nêu trên, việc bổ túc cho học sinh những
kiến thức cơ bản về toán học là việc làm thực sự cấn thiết. Vì vậy, trước khi bắt
đầu học bộ mộ vật lí ở trường THPT, tương ứng với mỗi chủ đề kiến thức, giáo
viên cần cung cấp cho học sinh những kiến thức toán học cơ bản có liên quan đến
việc giải quyết những bài toán vật lí mà các em sẽ học.
3. Phạm vi của đề tài
SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng
1
Kiến thức vật lí có liên quan đến nhiều kiến thức toán học, và đặc biệt là
những kiến thức về lượng giác và hình học véc tơ được sử dụng rất rộng rãi. Vì
vậy, trong phạm vi của một sáng kiến kinh nghiệm của bản thân rút ra từ thực tế
quá trình giảng dạy, tôi xin đưa ra phương pháp của bản thân và một số bài toán
vận dụng qua đề tài: “vân dụng kiến thức về hình học vectơ và lượng giác trong
dạy học vật lí ở trường trung học phổ thông”.
II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Một số kiến thức cơ bản về hình học
a. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
AB
+ sin CA
+ cos
CB
CA
AB
+ tan CB
+ cot
CB
AB
A
(1)
C
(2)
B
(3)
(4)
A
SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng
α
O
α
B
2
A’
’
B
x
b.Công thức hình chiếu
Hình chiếu của véc tơ
là
A' B '
AB
trên trục Ox
được xác định theo công thức:
A' B '
=| AB |.cosα =| AB |.sin
(5)
B
c. Định lý hàm số cosin
c
A
Trong tam giác A,B,C cạnh a,b,c ta luôn có:
2
2
2
+a = b + c - 2b.c.cos A
(6)
+b2 = a2 + c2 - 2a.c.cos B
(7)
+c2 = a2 + b2 - 2a.b.cos C
(8)
a
b
C
d. Định lý hàm số sin
Trong tam giác bên ta có:
a
b
c
sin A sin B sin C
(9)
e. Phép cộng hai véc tơ
Cho hai véc tơ
a, b
gọi c = a b
(10)
là véc tơ tổng của hai véc tơ đó
thì c được xác định theo quy tắc hình bình hành.
SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng
3
Gọi α là góc giữa hai véc tơ a, b thì theo định lí hàm số cosin ta có:
| c |2 = | a |2 + | b |2 -2| a || b |cos
(11)
Hay | c |2 = | a |2 + | b |2 +2| a || b |cos
(12)
Suy ra:
+Nếu
a, b
cùng hướng thì:
|c | = |a | + |b |
+Nếu
a, b
ngược hướng thì:
| c | = || a | - | b ||
+Nếu
a, b
vuông góc thì:
| c |2 = | a |2 + | b |2
(13)
(14)
(15)
*Nhận xét: Công thức (12) là tổng quát, áp dụng được với mọi góc bất kì,
vì vậy giáo viên lưu ý học sinh ghi nhớ để áp dụng.
2. Một số kiến thức về lượng giác
a. Đơn vị đo – Giá trị lượng giác các cung.
* 10 = 60’ (phút), 1’= 60” ( giây); 10 = (rad); 1rad = (độ)
* Gọi là số đo bằng độ của 1 góc, a là số đo tính bằng radian tương ứng với
độ khi đó ta có phép biến đổi sau:
SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng
4
a = (rad); = (độ)
0
*Đổi đơn vị: 1mF = 10-3F; 1F = 10-6F; 1nF = 10-9F; 1pF = 10-12F; 1 A = 10-10m.
Các đơn vị khác cũng đổi tương tự.
* Bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt.
Cung đối nhau Cung bù nhau
( và -)
và ( - )
Cung hơn
Cung phụ
Cung hơn kém
nhau
kém
( và /2 -)
/2 ( và /2
( và + )
cos(-)
cos
+)
= cos( - )= cos( + ) = cos(/2
-cos
SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng
-cos
sin
-)= cos(/2 +) =
-sin
5
sin(-)
= sin( - ) = sin( + ) = sin(/2 -) = sin(/2 +) =
-sin
tan(-)
sin
cos
cos
= tan( - ) = tan( + ) = tan(/2 -) = tan(/2+)=
-tan
cot(-)
-sin
-tan
tan
cot
-cot
= cot( - ) = cot( + ) = cot(/2 -) = cot(/2 +) =
-cot
-cot
cot
tan
-tan
b. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:
sin2 + cos2 = 1;
=1
1
1 cot 2
2
sin
1
1 tan 2
cos 2
c. Công thức biến đổi
c.1 Công thức cộng
cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa
sin(a - b) = sina.cosb - sinb.cosa
tan(a - b) =
=
tan a tan b
1 tan a. tan b
tan(a + b)
tan a tan b
1 tan a. tan b
SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng
6
c.2 Công thức nhân đôi, nhân ba
cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a;
sin3a
=
3sina – 4sin3a
sin2a = 2sina.cosa;
tan2a =
cos3a = 4cos3a – 3cosa;
2 tan a
1 tan 2 a
c.3 Công thức hạ bậc: cos2a = ; sin2a = ; tan2a = ; cotan2a =
c.4 Công thức tính sin , cos , tan theo t = tan
sin
2t
1 t2
cos
1 t2
1 t2
tan
2t
( ≠ + k, k Z)
1 t2
c.5 Công thức biến đổi tích thành tổng
cosa.cosb = [cos(a-b) + cos(a+b)]
sina.sinb =[cos(a-b) - cos(a+b)]
sina.cosb = [sin(a-b) + sin(a+b)]
c.6 Công thức biến đổi tổng thành tích
cosa + cosb = 2cos cos sina + sinb = 2sincos
cosa - cosb = -2sinsin sina - sinb = 2cossin
tana + tanb =
tana - tanb =(a,b ≠ +k)
d. phương trình và hệ phương trình lượng giác
d.1 Các công thức nghiệm – pt cơ bản:
sinx = a = sin
x k 2
x k 2
cosx = a = cos x = +
k2
SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng
7
tanx = a = tan x = +k
cotx = a = cot x = +k
d.2 Phương trình bậc nhất với sin và cos:
Dạng phương trình: a.sinx + b.cosx = c (1) với điều kiện (a 2 + b2 ≠ 0 và c2 a2 +
b2)
Cách giải: chia cả 2 vế của (1) cho
cosx =
Ta đặt:
a2 b2
ta được:
a
a b
2
2
sinx +
b
a b2
2
c
a b2
2
a
a b
b
2
2
a2 b2
cos
sin
ta được pt:
c
cos . sin x sin . cos x
2
a b2
c
( 2)
sin( x )
2
a b2
Giải (2) ta được nghiệm.
d.3 Phương trình đối xứng: Dạng phương trình: a.(sinx + cosx) + b.sinx. cosx =
c (1) (a,b,c R)
Cách giải: đặt t = sinx + cosx = .cos(x - ), điều kiện - t
t2 = 1+ 2sinx.cosx sinx.cosx = thế vào (1) ta được phương trình:
a.t + b. = c b.t2 + 2.a.t - (b + 2c) = 0
Giải và so sánh với điều kiện t ta tìm được nghiệm x.
Chú ý: Với dạng phương trình: a.(sinx - cosx) + b.sinx. cosx = c
SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng
8
Ta cũng làm tương tự, với cách đặt t = sinx - cosx = .cos(x +/4).
d.4 phương trình đẳng cấp. Dạng phương trình: a.sin 2x + b.cosx.sinx + c.cos2x =
0 (1)
Cách giải:
- b1 Xét trường hợp cosx = 0
- b2 Với cosx ≠ 0 ( x = + k) ta chia cả 2 vế của (1) cho cos 2x ta được pt:
a.tan2x + b.tanx + c = 0 đặt t = tanx ta giải pt bậc 2: a.t2 + b.t +c = 0.
Chú ý: Ta có thể xét trường hợp sinx = 0 rồi chia 2 vế cho sin2x.
e. Một số hệ thức trong tam giác:
e.1. Định lý hàm số cos: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA;
e.2. Định lý hàm sin: = =
e.3 Với tam giác vuông tại A, có đường cao AH:
1
1
1
2
2
AH
AC
AB 2
; AC2 = CH.CB; AH2 = CH.HB; AC.AB = AH.CB
B
3.Một số bài tập vận dụng
3.1.Bài tập1(Cơ học)
Một thanh dài OA có trọng tâm ở giữa thanh và khối lượng m
= 1kg. Đầu O của thanh liên kết với tường bằng bản lề, còn
đầu A được treo vào tường bằng một sợi dây AB. Thanh được A
giữ nằm ngang và dây làm với thanh một góc α = 30 o (hình
vẽ). Lấy g = 10m/s2. Hãy xác định độ lớn lực căng dây và
SKKN
Ths Trần Văn Hùng
phản GV:
lực Q?
T
I
Q
O
G
9
P
Giải
- Các lực tác dụng lên thanh gồm:
+Trọng lực
P
F
.
+Phản lưc của bản lề
+Lực căng dây
Q
Q
T
2
T
I
- Điều kiện cân bằng của thanh OA là:
P
Các lực
P ,T
+T +Q =
0
(*)
, Q có giá đồng quy nên giá của
Q
không
vuông góc với tường mà đi qua điểm I( giao điểm của giá các lực
P
P ,T
).
Di chuyển các lực P , T , Q về điểm đồng quy I, như hình vẽ:
Đặt
F Q T
, công thức (*) có thể viết thành
F P0
Theo hình vẽ ta có : F2 = Q2 + T2 - 2Q.T.cos2α
vì tam giác AIO cân nên Q = T, ta có:
F2 = Q2 + T2 - 2Q.T.cos2α = 2T2(1-cos2α) = 2T2(2sin2α)
=> T = F/2sinα = P/2sinα = Q
SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng
10
3.2.Bài tập 2 ( Định luật bảo toàn động lượng)
Một quả đạn khối lượng m đang bay theo phương ngang với vận tốc v = 5
3
m/s
thì nổ thành hai mảnh có khối lượng bằng nhau. Mảnh 1 bay thẳng đứng xuống với
vận tốc v1 = 10m/s.Hỏi mảnh 2 bay theo hướng nào với vận tốc bao nhiêu?
Bài giải
Xét hệ kín gồm m1 = m2 = m/2.
Theo định luật bảo toàn động lượng ta có: p p1 p 2
p là
đường chéo của hình bình hành tạo bởi hai cạnh là p1 , p 2 như hình vẽ, theo
đó ta có: p22 = p2 + p12
(m2.v2) = (m.v)2 + (m1v1)2 => v2 = 20m/s
mặt khác ta có: tanα = p1/p = 1/
3
=> α = 30o
Vậy mảnh thứ hai bay lệch phương ngang góc 30o lên trên
với vận tốc 20m/s
3.3.Bài tập 3.(Điện trường)
Cho hai điện tích điểm q1 = 10-6C, q2 = -2.10-6C đặt tại hai điểm A,B cách nhau
20cm trong không khí. Xác định véc tơ cường độ điện trường tại điểm M cách đều
A,B các khoảng AM = BM = 20cm.
SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng
11
Bài giải
Tại M có các véctơ cường độ diện trường
q1, q2 gây ra biểu diễn như hình vẽ. Với:
E1
E2
k q1
AM 2
2
9
9.10 .2.10
(0,2) 2
6
E1
do
α
9.10 9.10 6
2,25.10 5 V / m
2
(0,2)
k q2
BM
E1 , E 2
M
4,5.10 5 V / m
α
E
β
E2
A
q1
Véc tơ cường độ điện trường tổng hợp tại M là
B
q2
E E1 E 2 .
-Theo hình vẽ ta có: E2 = E12 + E22 - 2E1E2cosα; ΔABM đều α = 60o , thay số
tính được E = 3,9.105V/m.
-Hướng của véctơ
E1
E
sin sin
Vậy véc tơ
E có
E:
=> sin
theo định lí hàm số sin ta có
E1 . sin
E
0,5 => β 30o.
độ lớn E = 3,9.105V/m; có phương hợp với MB một góc 30o.
3.4.Bài tập 4(Từ trường)
Hai dây dẫn thẳng dài đặt trong không khí, song song, cách nhau 10cm, mang dòng
điện I1 = 10A; I2 = 20A. Hãy xác định véc tơ cảm ứng từ tại điểm M cách dây dẫn
thứ nhất 8cm, cách dây dẫn thứ hai 6cm.
SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng
12
Bài giải
Tại M có các véc tơ
B1 , B2
B1 , B2 do I1, I2
gây ra.
được vẽ theo quy tắc nắm bàn tay phải.
Dễ thấy ΔAMB vuông tại M nên
B1 có
giá là AM, B2 có giá là MB.
Véc tơ cảm ứng từ tổng hợp
B B1 B2
Theo hình vẽ ta có: B2 = B12 + B22 với B1 = 2.10-7I1/MB = 2,5.10-5T
B2 = 2.10-7I2/MA = 6,67.10-5T
Thay số ta có B 7.10-5T
sin
B1
B
0,357 => β 21o.
Vậy véc tơ cảm ứng từ tổng hợp tại M có:
-
Độ lớn: B 7.10-5T
-
hướng hợp với MB một góc β = 21o.
SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng
13
R
3.5.Bài tập 5.(Điện xoay chiều)
LR
CLR
Cho đoạn mạch xoay chiều nối tiếp gồm:
Điện trở R = 60Ω;
Cuộn cảm thuần có L = 0,255H;
UAB = 120V không đổi; tần số dòng điện f = 50Hz. tụ điện có điện dung C biến
thiên. Hãy xác định giá trị của C để hiệu điện thế giữa hai đầu tụ điện đạt giá trị
cực đại.
Bài giải
Hiệu điện thế hai đầu mạch được biểu diễn bằng
véc tơ quay
U như
hình vẽ.
U U R UL UC
gọi φ, φ’là góc lệch pha giữa U RL và U so với
I .
Theo định lí hàm số sin ta có:
Uc
sin( ' )
U
sin(
2
')
=>
UC
sin( ' )
.U
cos '
Khi C biến thiên thì φ thay đổi, UC cực đại khi sin(φ’- φ) = 1=> φ’- φ =π/2
tanφ = -cotanφ’ hay tanφ.tanφ’ = -1
Z L ZC
R
R
ZL
2
ZC
R2 Z L
= 125Ω => C = 25,4μF.
ZL
SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng
14
III.KẾT LUẬN
Với những kiến thức vốn có và tiếp thu được trong quá trình giảng dạy tôi
đã cố gắng trình bày tương đối hoàn chỉnh những kiến thức lượng giác và hình học
véc tơ,việc bổ trợ cho học sinh những kiến thức này giúp các em không còn lúng
túng khi giải bài tập vật lí nữa.
Tuy nhiên do còn thiếu kinh nghiệm và khả năng có hạn, nên chắc chắn đề
tài không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong sự đóng góp ý kiến của
quý thầy, cô giáo. Và hy vọng rằng, đề tài này sẽ là tài liệu giúp các em học sinh
yêu thích môn Vật lý hơn.
SKKN GV: Ths Trần Văn Hùng
15
- Xem thêm -
.DOC 
15 
200 
103 
