Tài liệu Ứng dụng máy học tính toán thông số quỹ đạo của vệ tinh nhân tạo qua ảnh chụp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN DƯƠNG TUẤN ANH ỨNG DỤNG MÁY HỌC TÍNH TOÁN THÔNG SỐ QUỸ ĐẠO CỦA VỆ TINH NHÂN TẠO QUA ẢNH CHỤP LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH KHOA HỌC DỮ LIỆU ỨNG DỤNG Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN DƯƠNG TUẤN ANH ỨNG DỤNG MÁY HỌC TÍNH TOÁN THÔNG SỐ QUỸ ĐẠO CỦA VỆ TINH NHÂN TẠO QUA ẢNH CHỤP Ngành: Khoa học dữ liệu ứng dụng Mã số: 8904648 Người hướng dẫn : TS. Nguyễn Tấn Trung LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo TS. Nguyễn Tấn Trung. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là hoàn toàn do học viên tự thu thập và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Bình Định, ngày 24 tháng 08 năm 2022 Dương Tuấn Anh LỜI CẢM ƠN Chân thành tri ân: TS. Nguyễn Tấn Trung Giảng viên cao cấp Trường Đại học Quốc Tế Hồng Bàng Người thầy đáng kính, đã dày công hướng dẫn và giúp đỡ học viên hoàn thành luận văn này. Đồng thời em xin chân thành cám ơn các Thầy Cô giáo khoa Toán & Thống Kê, khoa Công Nghệ Thông Tin trường Đại Học Quy Nhơn, những người đã tận tình chỉ dạy cho em trong suốt quá trình học tập tại trường. Xin gửi lời cảm ơn đến những người bạn thân và bạn bè đã tạo điều kiện cũng như giúp đỡ và động viên mình trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Em xin chân thành tri ân! Học viên Dương Tuấn Anh MỤC LỤC Chương 1 Nghiên cứu tổng quan .................................................................... 6 1.1. Vệ tinh nhân tạo .................................................................................. 6 1.2. Các thông số quỹ đạo của vệ tinh nhân tạo .......................................... 7 1.3. Thuật toán xác định quỹ đạo của vật thể .............................................. 9 1.4. Phương pháp quan sát vệ tinh ............................................................ 15 1.5. Chụp ảnh vệ tinh bằng kính quang học .............................................. 16 Chương 2 Xây dựng quy trình thu thập dữ liệu............................................. 19 2.1. Quy trình thu thập dữ liệu .................................................................. 19 2.1.1. Các yêu cầu về ảnh chụp vệ tinh: ............................................ 20 2.1.2. Tính toán vị trí vệ tinh ............................................................ 23 2.2. Xây dựng phần mềm thu thập dữ liệu ................................................ 26 2.2.1. Tính toán danh sách các vệ tinh theo yêu cầu đầu vào ............ 29 2.2.2. Lên kế hoạch chụp ảnh cho nhiều vệ tinh................................ 30 2.2.3. Điều khiển toàn bộ tiến trình chụp ảnh vệ tinh ........................ 31 2.2.4. Dữ liệu thu thập được ............................................................. 32 Chương 3 Tính toán thông số quỹ đạo của vệ tinh ........................................ 35 3.1. Xây dựng thuật toán máy học xác định tọa độ thiên văn từ ảnh chụp . 35 3.1.1. Thuật toán xác định các sao trong ảnh chụp ............................ 36 3.1.2. Thuật toán xác định vệt kéo vệ tinh trong ảnh chụp ................ 38 3.1.3. Thuật toán máy học gán nhãn sao trong ảnh chụp ................... 40 3.1.4. Gán nhãn sao bằng tay trên ảnh chụp ...................................... 47 3.1.5. Tính toán tọa độ thiên văn của vệt kéo vệ tinh ........................ 50 3.2. Xác định quỹ đạo vệ tinh ................................................................... 51 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT TLE : Định dạng phần tử trên hai dòng ASCOM : Chuẩn giao tiếp với kính thiên văn ECI : Hệ quy chiếu quán tính tâm Trái đất CCD : Cảm biến chụp ảnh DSLR : Máy ảnh phản xạ ống kính đơn kỹ thuật số SGP4 : Mô hình nhiễu loạn đơn giản hóa NORAD : Số danh mục vệ tinh NASA : Cơ quan hàng không & vũ trụ Mỹ FoV : Trường nhìn, tính bằng độ DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1. Bộ 6 thông số quỹ đạo của vệ tinh .............................................. 8 Bảng 2.1. Các tính năng chính của thư viện The OrbitTools..................... 24 Bảng 2.2. Định dạng dữ liệu 2 dòng chứa tham số của vệ tinh.................. 26 Bảng 3.1. Bảng trích xuất đặc trưng từ ảnh............................................... 45 Bảng 3.3. Bảng lưu thông tin các ảnh đã dán nhãn ................................... 50 Bảng 3.4. Bảng tọa độ thiên văn của vệ tinh ............................................. 52 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Hình 1.1. Ảnh mô phỏng các vệ tinh bay quanh Trái đất ............................ 6 Hình 1.2. Quỹ đạo Kepler........................................................................... 7 Hình 1.3. Ba lần quan sát đối với một vệ tinh ............................................. 9 Hình 1.4. Ánh sáng mặt trời phản xạ qua vệ tinh và đi xuống Trái đất ..... 15 Hình 1.5. Chụp ảnh bằng kính trường rộng gắn lên kính lớn .................... 17 Hình 1.6. Chụp bằng máy ảnh trên chân đế kính thiên văn ....................... 17 Hình 1.7. Chụp bằng kính trường rộng tại đài thiên văn ........................... 18 Hình 2.1. Các quy ước sử dụng để chụp ảnh vệ tinh ................................. 20 Hình 2.2 Vật cản xuất hiện trong các tấm ảnh chụp ở độ cao thấp ............ 21 Hình 2.3. Vệt vệ tinh tràn qua rìa ảnh do phơi sáng dài ............................ 21 Hình 2.4. Vệt vệ tinh đạt yêu cầu là không tràn qua rìa ảnh ...................... 22 Hình 2.5. Ảnh chụp không chứa vệt vệ tinh .............................................. 22 Hình 2.6. Ảnh có nhiều mây nhưng vẫn có đủ sao nền và vệt vệ tinh ....... 23 Hình 2.7. Phần mềm chụp ảnh v1.0 - tháng 04/2021 ................................ 27 Hình 2.8. Phần mềm chụp ảnh bản v2.1 – tháng 05/2022 ......................... 28 Hình 2.9. Thông số đầu vào dùng để tính toán vị trí vệ tinh...................... 29 Hình 2.10. Danh sách xuất hiện của các vệ tinh ........................................ 29 Hình 2.11. Cấu trúc thông tin trong một lần vệ tinh xuất hiện .................. 30 Hình 2.12. Hàng đợi để chụp ảnh liên tục nhiều vệ tinh ........................... 31 Hình 2.13. Dữ liệu ảnh thu thập được ....................................................... 33 Hình 2.14. Nội dung của log file cho mỗi vệ tinh ..................................... 33 Hình 2.15. 9 tấm ảnh chụp liên tiếp của một vệ tinh ................................. 34 Hình 2.16. Vệ tinh KORONAS-33504 ngày 26/07/2022 lúc 18:58 .......... 34 Hình 3.1. Số lượng sao phát hiện ra trên ảnh ............................................ 36 Hình 3.2. Trích xuất tọa độ sao từ ảnh chụp ............................................. 37 Hình 3.3. Các bước xác định đường thẳng trong ảnh ................................ 38 Hình 3.4. Ảnh chụp tại 3 vị trí liên tiếp nhau của cùng một vệ tinh .......... 40 Hình 3.5. Cách xác định số lượng và phân bố sao..................................... 41 Hình 3.6. Góc phân bố giữa các sao ......................................................... 42 Hình 3.7. Kiến trúc mạng nơ-ron .............................................................. 43 Hình 3.8. Biểu đồ độ chính xác và mất mát .............................................. 47 Hình 3.9. Phần mềm sử dụng để dán nhãn ................................................ 49 Hình 3.10. Ba lần xuất hiện của vệ tinh SERT-04327............................... 51 Hình 3.11. Mạng lưới quan sát vệ tinh...................................................... 55 1 MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Nghiên cứu, phát triển các quy trình và thuật toán phát hiện và xác định vật thể trên quỹ đạo Trái đất sử dụng kính thiên văn quang học nhằm: cung cấp dữ liệu giúp ngăn chặn hoặc hạn chế các nguy cơ va chạm; cung cấp các thông tin về tình trạng của vệ tinh; góp phần chủ động đối phó, hạn chế các mối đe dọa tiềm tàng về an ninh từ không gian. Trong bối cảnh chính phủ Việt nam đã ban hành “Chiến lược phát triển và ứng dụng khoa học và Công nghệ vũ trụ đến năm 2030” số 169/QĐ-TTg ngày 04/02/2021, kết quả của nghiên cứu sẽ giúp cho việc quan trắc vệ tinh được dễ dàng hơn, giúp giải tỏa mối nguy ngại về an ninh không gian, đảm bảo an ninh quốc gia, rác thải vũ trụ… Khai thác, mở rộng khả năng của hệ thống kính thiên văn quang học cho nhiệm vụ quan sát, phát hiện và xác định vật thể trên quỹ đạo Trái đất. 2. TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI Đối với một số nước phát triển, chế tạo và phóng vệ tinh vào không gian cũng như công tác quan sát chúng đã được hoàn thiện và phát triển trong mấy chục năm vừa qua. Tuy nhiên đây là là một lĩnh vực vẫn còn tương đối mới mẻ ở Việt Nam. Vì vậy, cho tới thời điểm hiện tại chỉ có Trung tâm Vũ trụ Việt Nam là đang có nghiên cứu về vấn đề này. 3. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Cùng với sự tiến bộ và phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ, công nghệ không gian đã có những thay đổi nhanh chóng về công nghệ chế tạo cũng như ứng dụng thực tiễn. Công nghệ không gian ngày càng có thể cung cấp nhiều 2 giải pháp và dịch vụ giải quyết những vấn đề toàn cầu, mang lại nhiều lợi ích trong việc phát triển kinh tế - xã hội và an ninh quốc phòng. Hiện nay số lượng các vệ tinh nhân tạo được đưa lên quỹ đạo Trái đất đã tính tới con số hàng ngàn. Bên cạnh mặt tích cực thì sự bùng nổ các hoạt động khai thác của con người cũng khiến cho không gian quanh Trái đất ngày càng trở nên chật chội hơn với vô số các loại vật thể từ lớn đến nhỏ, ở mọi tầm quỹ đạo. Trong đó, số lượng vật thể không điều khiển được là rất lớn. Mật độ ngày càng dày đặc của các vật thể này đang tạo ra nhiều thách thức, rủi ro cho việc khai thác không gian như: nguy cơ va chạm gây hỏng hóc hoặc thậm chí phá hủy các vệ tinh hay trạm không gian đang hoạt động, nguy cơ gây thiệt hại cho con người và tài sản khi các vật thể rơi trở lại mặt đất trong tình trạng không được kiểm soát. 4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu chính trong đề tài là các vệ tinh nhân tạo bay trên quỹ đạo Trái đất, là các vệ tinh thương mại, thông tin liên lạc, dân sự, phục vụ khoa học... Phạm vi là xác định thông số quỹ đạo của các vật thể này. 5. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Nội dung 1: Nghiên cứu tổng quan. - Động lực học quỹ đạo và các thuật toán xác định quỹ đạo của vệ tinh trong không gian. - Các phương pháp quan sát và thu thập dữ liệu về vệ tinh. - Phương pháp chụp ảnh thiên văn sử dụng kính quang học. Nội dung 2: - Phân tích, đánh giá các thiết bị kính thiên văn quang học tại Việt Nam 3 - Thiết kế mở rộng chức năng kính thiên văn quang học để phục vụ cho giám sát vệ tinh trên quỹ đạo Trái đất. Nội dung 3: - Xây dựng kế hoạch và thực hiện chụp ảnh vật thể trên quỹ đạo Trái Đất - Phát triển công cụ xử lý ảnh, bóc tách dữ liệu Nội dung 4: - Nghiên cứu các thuật toán xác định tọa độ thiên văn của vật thể - Nghiên cứu, phát triển thuật toán xác định quỹ đạo của vật thể quay quanh Trái đất sử dụng kính thiên văn quang học. 6. PHƯƠNG PHÁP LUẬN & PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong khuôn khổ nghiên cứu của đề tài, phương pháp quan sát vệ tinh sử dụng kính thiên văn quang học được lựa chọn vì kết cấu hệ thiết bị đơn giản và chi phí đầu tư thấp; với những bổ sung thích hợp về phần cứng và phần mềm, các kính thiên văn quang học thông thường hoàn toàn có thể được mở rộng khả năng ứng dụng để dùng cho nhiệm vụ giám sát vệ tinh trên quỹ đạo. 7. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Cùng với sự tiến bộ và phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ đặc biệt là cuộc cách mạng công nghệ 4.0, công nghệ không gian đã có những thay đổi nhanh chóng về công nghệ chế tạo cũng như ứng dụng thực tiễn. Công nghệ không gian ngày càng có thể cung cấp nhiều giải pháp và dịch vụ giải quyết những vấn đề toàn cầu, mang lại nhiều lợi ích trong việc phát triển kính tế - xã hội và an ninh quốc phòng. Điểm nhấn của nhận thức về tầm quan trọng của không gian vũ trụ là ngày 20/12/2019, Hoa Kỳ đã thành lập Lực lượng Không 4 gian, là lực lượng sẽ đảm bảo duy trì sự thống trị của Mỹ trong lĩnh vực không gian. Công nghệ vũ trụ ngày nay không chỉ còn là sân chơi của các tổ chức chính phủ lớn mà các tập đoàn tư nhân, các công ty start-up về công nghệ hoặc các nhóm nghiên cứu mạnh đang là những tác nhân mang lại sự thay đổi lớn lao này. Ví dụ như cuộc chạy đua cung cấp dịch vụ internet thông qua các chùm 42.000 vệ tinh Starlink của SpaceX hay chùm 650 vệ tinh Oneweb. Trong lĩnh vực quan sát trái đất, có thể kể đến cuộc chạy đua cung cấp ảnh vệ tinh giám sát hàng ngày qua các chùm vệ tinh quan sát trái đất quang học của Planet hay chùm vệ tinh radar đang được hình thành của ICEYE. Sự phát triển mạnh mẽ này đã dẫn tới sự gia tăng nhanh chóng số lượng các vệ tinh nhân tạo được đưa lên quỹ đạo Trái đất. Bên cạnh mặt tích cực thì sự bùng nổ các hoạt động khai thác của con người cũng khiến cho không gian quanh Trái đất ngày càng trở nên chật chội hơn với vô số các loại vật thể từ lớn đến nhỏ, ở mọi tầm quỹ đạo. Trong đó, số lượng vật thể không điều khiển được là rất lớn. Mật độ ngày càng dày đặc của các vật thể này đang tạo ra nhiều thách thức, rủi ro cho việc khai thác không gian như: nguy cơ va chạm gây hỏng hóc hoặc thậm chí phá hủy các vệ tinh hay trạm không gian đang hoạt động, nguy cơ gây thiệt hại cho con người và tài sản khi các vật thể rơi trở lại mặt đất trong tình trạng không được kiểm soát. Hiện nay Việt Nam đang có 4 vệ tinh hoạt động trên không gian bao gồm 02 vệ tinh viễn thông VINASAT-1 và VINASAT-2 và 02 vệ tinh quan sát trái đất VNREDSat-1 và MicroDragon. Trong tương lai, Việt Nam sẽ còn phóng nhiều vệ tinh viễn thông, quan sát trái đất, nghiên cứu khoa học hay các vệ tinh an ninh quốc phòng. Vấn đề này dẫn tới nhu cầu cần có các hệ thống giám sát vật thể trên quỹ đạo Trái đất để kịp thời đưa ra những dự đoán, cảnh báo thích hợp, 5 giúp ngăn chặn hoặc hạn chế các nguy cơ va chạm nêu trên. Ngoài ra, bên cạnh nhu cầu cảnh báo rủi ro, việc giám sát, theo dõi vật thể trên quỹ đạo Trái đất còn cần thiết cho nhiều mục đích ứng dụng khác như cung cấp các thông tin quan trọng về tình trạng của vệ tinh hoặc tàu vũ trụ đang hoạt động, giúp cho việc điều khiển những hệ thống này đạt hiệu quả cao hơn. Thêm nữa, trong số các thiết bị của nhiều quốc gia đang hoạt động trên không gian có cả những vệ tinh phục vụ mục đích quân sự. Thông tin về các vệ tinh này thường không được công khai rộng rãi. Do đó, đối với lĩnh vực an ninh quốc phòng, việc giám sát vật thể trên quỹ đạo Trái đất sẽ giúp minh bạch hóa hoạt động khai thác không gian, cho phép mỗi quốc gia có thể theo dõi, nắm bắt được nhiều thông tin hơn về vệ tinh của đối phương, từ đó chủ động đối phó, hạn chế các mối đe dọa tiềm tàng về an ninh từ không gian. Kết quả của đề tài sẽ được áp dụng vào quá trình nghiên cứu tại Đài quan sát thiên văn mà học viên đang làm việc tại Trung tâm Khám phá Khoa học, Sở Khoa học & Công nghệ tỉnh Bình định, TP. Quy Nhơn. 6 CHƯƠNG 1 NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN 1.1. VỆ TINH NHÂN TẠO Một vệ tinh nhân tạo hay gọi ngắn gọn là vệ tinh, là bất kỳ một vật thể nào do con người chế tạo nên quay quanh Trái đất. Cần phân biệt với vệ tinh tự nhiên, ví dụ mọi vật thể thuộc Hệ Mặt Trời gồm cả Trái Đất, đều là vệ tinh tự nhiên của Mặt Trời; hoặc vệ tinh tự nhiên của Trái Đất là Mặt Trăng. Vệ tinh nhân tạo đầu tiên là Sputnik 1 được Liên Xô phóng lên ngày 4/10/1957. Cho đến ngày nay đã có hàng nghìn vệ tinh được phóng lên bao gồm các vệ tinh thương mại, thông tin liên lạc, nghiên cứu khoa học… ngoài ra còn có các chòm sao vệ tinh của StarLink, OneWeb… lên đến số lượng hàng nghìn chiếc. Hình 1.1. Ảnh mô phỏng các vệ tinh bay quanh Trái đất Như ảnh trên chúng ta thấy có các vệ tinh bay khá gần Trái đất, một số bay cao hơn và cuối cùng là các vệ tinh bay cao nhất nằm rải rác trong một mặt cầu gọi là quỹ đạo địa đồng bộ, với trường hợp đặc biệt có nhiều vệ tinh nằm trong quỹ đạo địa tĩnh. 7 1.2. CÁC THÔNG SỐ QUỸ ĐẠO CỦA VỆ TINH NHÂN TẠO Các thông số quỹ đạo của vệ tinh, hay còn gọi là tham số quỹ đạo Kepler được thể hiện như hình bên dưới với các tham số như hình dưới, trong đó quỹ đạo của vật thể quay quanh vật thể khác lớn hơn có hình dạng elíp với vật thể chủ nằm ở một trong hai tiêu điểm của elíp đó: Hình 1.2. Quỹ đạo Kepler Một lựa chọn truyền thống cho các tham số quỹ đạo Kepler trong thiên văn học là các tham số Kepler, đặt tên theo Johannes Kepler và các định luật của ông, và nhiều khi, bán trục lớn được dùng thay cho chu kỳ quỹ đạo. 8 Ký Tham số Định nghĩa Ý nghĩa i góc giữa mặt phẳng quỹ đạo và mặt phẳng tham chiếu ấn định mặt phẳng quỹ đạo Ω góc giữa điểm mọc quỹ đạo và điểm xuân phân trên mặt phẳng tham chiếu ấn định mặt phẳng quỹ đạo 3. Acgumen của cận điểm ω ấn định phương góc giữa điểm nút lên của quỹ hướng quỹ đạo đạo và cận điểm quỹ đạo trên trong mặt phẳng mặt phẳng quỹ đạo quỹ đạo 4. Bán trục lớn a bán trục lớn có độ dài bằng một nửa trục lớn hình dáng quỹ đạo 5. Độ lệch tâm hay tâm sai quỹ đạo e độ lệch tâm của hình elíp miêu tả quỹ đạo hình dáng quỹ đạo hiệu 1. Độ nghiêng quỹ đạo 2. Kinh độ của điểm nút lên 6. Góc cận điểm thực góc giữa vật m và cận điểm f quỹ đạo có đỉnh là tiêu điểm quỹ đạo xác định vị trí của vật m trên quỹ đạo Bảng 1.1. Bộ 6 thông số quỹ đạo của vệ tinh Như vậy với một bộ 6 tham số quỹ đạo này là có thể xác định được định danh vệ tinh này thông qua danh mục các vệ tinh đã được đăng ký. Dữ liệu tham số quỹ đạo của các vật thể bay, đặc biệt là vệ tinh thương mại, nghiên cứu khoa học (trừ các vệ tinh quân sự) được các tổ chức giám sát vật thể bay chia sẻ công khai trên mạng qua các website như: www.celestrak.com, www.n2yo.com, … 9 1.3. THUẬT TOÁN XÁC ĐỊNH QUỸ ĐẠO CỦA VẬT THỂ Để xác định quỹ đạo vật thể bay [1] sử dụng kính thiên văn quang học ta cần tối thiểu 3 lần quan sát, tại các thời điểm 𝑡 , 𝑡 , 𝑡 ; sau đó ta sử dụng thuật toán xác định tọa độ sao để phân tích ảnh và tính toán ra tọa độ của vệ tinh trong các lần quan sát này (là các góc ngẩng alt và góc phương vị azi của kính thiên văn); cuối cùng các thuật toán khác sẽ được sử dụng để tính toán ra bộ sáu thông số quỹ đạo vật thể từ các góc azi và alt tại ba thời điểm 𝑡 , 𝑡 , 𝑡 . Ảnh bên dưới minh họa ba lần quan sát một vệ tinh từ 3 vị trí khác nhau trên Trái đất (hình trái) và 3 lần quan sát từ cùng một vị trí địa lý (hình phải). Hình 1.3. Ba lần quan sát đối với một vệ tinh Giả sử chúng ta có 3 quan sát của một vệ tinh tại các thời điểm: 𝑡 , 𝑡 , 𝑡 Ta có hệ phương trình sau: 𝑟 = 𝑹𝟏 + 𝜌 𝜌⃗ 𝑟 = 𝑹𝟐 + 𝜌 𝜌⃗ 𝑟 = 𝑹𝟑 + 𝜌 𝜌⃗ (1) 10 Trong đó: - 3 vectơ 𝑹𝒊 : vectơ vị trí quan sát, tính được từ vị trí địa lý. - 3 vectơ 𝜌⃗ : vectơ vị trí vệ tinh tại nới quan sát, tính được từ tọa độ vệ tinh (là góc ngẩng và phương vị). - 3 vectơ 𝑟 : vectơ vị trí vệ tinh trong hệ quy chiếu tâm Trái đất, là ẩn số cần tìm của bài toán này. - 3 giá trị 𝜌 : là khoảng cách từ vị trí quan sát đến vệ tinh, là các đại lượng chưa biết. Từ góc ngẩng, góc phương vị, tọa độ địa lý và thời gian ta tính được xích kinh 𝛼 và xích vĩ 𝛿 . Sau đó sử dụng công thức dưới đây để tính ra các vectơ vị trí vệ tinh tại nơi quan sát: 𝜌⃗ = 𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝐼⃗ + 𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝐽⃗ + 𝑠𝑖𝑛𝛿 𝐾⃗ Với 𝐼⃗, 𝐽⃗, 𝐾⃗ là các vectơ đơn vị. Đề giải hệ phương trình (1), ở đây học viên áp dụng phương thức Gauss [2] do nhà toán học, vật lý và thiên văn học cùng tên đã phát triển ra kỹ thuật toán học này. Do vệ tinh chuyển động trên mặt phẳng quỹ đạo của mình, vì vậy ba vector 𝑟 , 𝑟 , 𝑟 phải nằm trên một mặt phẳng, cho nên: 𝑟 =𝑓𝑟 +𝑔 𝑣 𝑟 =𝑓 𝑟 +𝑔 𝑣 (2) Với 𝑣 là vận tốc của vệ tinh tại thời điểm 𝑡 ; 𝑓 , 𝑔 là các hệ số Lagrange tại thời điểm 𝑡 ; 𝑓 , 𝑔 là các hệ số Lagrange tại thời điểm 𝑡 . Mục tiêu của chúng ta là tính ra 𝑟 và 𝑣 .