Tài liệu ứng dụng của số phức để giải các bài toán trong hình học phẳng

Header Page 1 of 161. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Lê Thị Thủy ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page 1 of 161. Header Page 2 of 161. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Lê Thị Thủy ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành: Hình Học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS. NGUYỄN THỊ TRÀ Hà Nội – Năm 2016 Footer Page 2 of 161. Header Page 3 of 161. LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy, cô giáo trong khoa Toán Học - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo trong suốt thời gian tôi theo học tại khoa và trong suốt thời gian làm khóa luận. Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS. Nguyễn Thị Trà - giảng viên khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn tôi, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng trong suốt quá trình làm khóa luận để tôi có được kết quả như ngày hôm nay. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạn đọc. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Lê Thị Thủy Footer Page 3 of 161. Header Page 4 of 161. LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo ThS. Nguyễn Thị Trà. Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này tôi đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài "Ứng dụng của số phức để giải các bài toán trong hình học phẳng" là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các vấn đề khác. Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Lê Thị Thủy Footer Page 4 of 161. Header Page 5 of 161. Mục lục Lời mở đầu 1 1 SỐ PHỨC 4 1.1 Định nghĩa và các tính chất của số phức . . . . . . . . . 4 1.1.1 Định nghĩa số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Các tính chất của số phức . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Biểu diễn hình học của số phức . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Số phức liên hợp và môđun của số phức . . . . . . . . . 8 1.3.1 Số phức liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Môđun của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Dạng lượng giác của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Số phức dưới dạng lượng giác . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác . . . . 11 1.4.3 Tọa vị của một điểm trong E 2 . . . . . . . . . . . 11 1.4.4 Tọa vị của một vectơ trong E 2 . . . . . . . . . . . 11 1.4.5 Biếu diễn số phức theo những điểm . . . . . . . . 11 1.4.6 Khoảng cách giữa hai điểm . . . . . . . . . . . . . 12 Công thức Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 1.5 i Footer Page 5 of 161. Header Page 6 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.6 Lê Thị Thủy 1.5.1 Công thức Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.2 Căn bậc n của số phức . . . . . . . . . . . . . . . 13 Phương trình bậc hai với hệ số phức . . . . . . . . . . . 13 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI 14 2.1 Dạng 1 : Góc định hướng của hai vectơ . . . . . . . . . . 14 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.3 Tỉ số đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Dạng 2 : Đường thẳng trong mặt phẳng phức . . . . . . 25 2.2.1 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Dạng 3: Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.1 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Dạng 4: Đường thẳng và đường tròn Euler . . . . . . . . 57 2.4.1 Tọa vị của những điểm đặc biệt trong tam giác . 57 2.4.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Dạng 5: Đường thẳng Simson . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.5.1 Đường thẳng Simson . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.5.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.2 2.3 2.4 2.5 ii Footer Page 6 of 161. Header Page 7 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy Lời mở đầu 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Do nhu cầu phát triển của toán học, số phức đã ra đời từ những thế kỷ trước. Sau đó, số phức lại thúc đẩy sự phát triển không những toán học mà còn cả các ngành khoa học khác. Ngày nay, số phức được giảng dạy trong chương trình toán ở các cấp bậc học THPT hoặc đại học ở hầu hết các nước trên thế giới. Số phức được biết đến như một số ảo và trường số phức đóng vai trò như một công cụ đắc lực trong toán. Như trong đại số, mọi phương trình đa thức đều giải được đủ nghiệm trên trường số phức. Trong giải tích phức một trong những đối tượng chính là ánh xạ chỉnh hình vì phần thực và phần ảo là các hàm giải tích hai biến thỏa mãn phương trình Laplace, nên giải tích phức được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán vật lý hai chiều. Hơn thế nữa trong hình học sử dụng số phức giúp chúng ta giải nhanh một số một số dạng toán và có nhiều thuận lợi trong hình học phẳng. Vì vậy tôi đã lựa chọn đề tài “Ứng dụng của số phức để giải các bài toán trong hình học phẳng” nhằm giới thiệu một phương pháp mới để giải quyết một phần nào đó các bài toán trong hình học phẳng, đồng thời thể hiện một phần nào đó vẻ đẹp và ứng dụng to lớn của số phức. Luận văn gồm hai chương. Chương 1 "Số phức" Ở chương này, khóa luận trình bày sơ lược các lý thuyết liên quan về số phức và một số tính chất của nó, đồng thời thiết lập mối quan hệ giữa số phức với hình học phẳng. Đây là lý thuyết cơ sở được áp dụng Footer Page 7 of 161. 1 Header Page 8 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy cho các chương sau. Chương 2 "Một số dạng toán hình học phẳng ứng dụng số phức để giải" Chương này trình bày 5 dạng toán cơ bản ứng dụng của số phức để giải các bài toán trong hình học phẳng. 1- Góc định hướng của hai vectơ. 2-Đường thẳng trong mặt phẳng phức. 3-Đường tròn. 4-Đường thẳng và đường tròn Euler. 5-Đường thẳng Simson. Trong mỗi dạng tôi có trình bày các kiến thức cơ sở liên quan, đồng thời xây dựng hệ thống các ví dụ điển hình. 2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 2.1. Mục đích nghiên cứu Trình bày những ứng dụng của số phức để giải một số bài toán chứng minh trong hình học phẳng và một phần nào đó giúp các em học sinh có kiến thức một cách chi tiết hơn về số phức cũng như tiếp cận một số phương pháp giải điển hình cho một số bài toán cụ thể, đồng thời cũng là tài liệu bổ ích cho học sinh phổ thông, sinh viên kỹ thuật cũng như giáo viên trong quá trình giảng dạy. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng và đưa ra cơ sở lý thuyết về phương pháp ứng dụng của số phức vào giải một số bài toán trong hình học phẳng. 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Footer Page 8 of 161. 2 Header Page 9 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy Nghiên cứu sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo có liên quan đến nội dung đề tài. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô trong tổ Hình học, đặc biệt là cô giáo ThS. Nguyễn Thị Trà người đã hướng dẫn tận tình và chu đáo tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và trình bày khóa luận. Tác giả chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Hình Học, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận này. Hà Nội, ngày 03/05/2016 Tác giả khóa luận LÊ THỊ THỦY Footer Page 9 of 161. 3 Header Page 10 of 161. Chương 1 SỐ PHỨC Trong chương này, khóa luận trình bày sơ lược các lý thuyết liên quan về số phức và một số tính chất của nó, đồng thời thiết lập mối quan hệ giữa số phức với hình học phẳng. Đây là lý thuyết cơ sở được áp dụng cho các chương sau. 1.1 1.1.1 Định nghĩa và các tính chất của số phức Định nghĩa số phức Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a và b là những số thực và số i thỏa mãn i2 = −1. Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi. i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực, kí hiệu Rez và b được gọi là phần ảo, kí hiệu Imz. Tập hợp các số phức được kí hiệu là C, C = {z = a + bi, ∀a, b ∈ R} và R ⊂ C. Footer Page 10 of 161. 4 Header Page 11 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy Chú ý: • Số phức z = a + 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là a + 0i = a ∈ R ⊂ C. • Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn được gọi là số thuần ảo) z = 0 + bi( b ∈ R). • Số 0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo. • Hai số phức z = a + bi (a, b ∈ R), z 0 = a0 + b0 i (a0 , b0 ∈ R) gọi là bằng nhau nếu a = a0 và b = b0 . Khi đó ta viết z = z 0 . 1.1.2 Các tính chất của số phức i) Phép cộng và phép trừ số phức a) Tổng của hai số phức Định nghĩa: Tổng của hai số phức z = a + bi (a, b ∈ R), z 0 = a0 + b0 i (a0 , b0 ∈ R) là số phức z + z 0 = a + a0 + (b + b0 )i. Như vậy, để cộng hai số phức ta cộng các phần thực với nhau, cộng các phần ảo với nhau. b) Tính chất của phép cộng số phức Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng các số thực. • Tính chất kết hợp: (z + z 0 ) + z 00 = z + (z 0 + z 00 ), ∀z, z 0 , z 00 ∈ R. • Tính chất giao hoán: z + z 0 = z 0 + z, ∀z, z 0 ∈ C. • Với số phức z = a + bi(a, b ∈ R), nếu kí hiệu số phức −a − bi là -z thì ta có: z + (−z) = (−z) + z = 0. Số -z được gọi là số đối của số phức z. Footer Page 11 of 161. 5 Header Page 12 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy • Cộng với số 0: z + 0 = 0 + z = z với ∀z ∈ C. c) Phép trừ hai số phức Định nghĩa: Hiệu của hai số phức z và z’ là tổng của z và –z’, tức z − z 0 = z + (−z 0 ). Nếu z = a + bi (a, b ∈ R), z 0 = a0 + b0 i (a0 , b0 ∈ R) thì z − z 0 = a − a0 + (b − b0 )i. d) Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức Trong mặt phẳng phức, ta đã coi điểm M có tọa độ (a,b) biểu diễn số − phức z = a + bi. Ta cũng coi mỗi vectơ → u có tọa độ (a,b) biểu diễn số phức z = a + bi. Khi đó nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa −−→ là vectơ OM biểu diễn số phức đó. → − → − − − Dễ thấy rằng nếu → u , u0 theo thứ tự biểu diễn các số phức z,z’ thì → u + u0 → − − biểu diễn số phức z + z’, → u − u0 biểu diễn số phức z - z’. ii) Phép nhân số phức a) Tích của hai số phức Cho 2 số phức z = a + bi, z 0 = a0 + b0 i (a, b, a0 , b0 ∈ R). Thực hiện phép nhân một cách hình thức biểu thức a + bi với biểu thức a0 + b0 i rồi thay i2 = −1 ta được : (a + bi ) . ( a0 + b0 i ) = aa0 + bb0 i2 + (ab0 + a0 b) i = aa0 − bb0 + (ab0 + a0 b) i. Định nghĩa: Tích của 2 số phức z = a + bi, z 0 = a0 + b0 i (∀ a, b, a0 , b0 ∈ R) là số phức z.z 0 = aa0 − bb0 + (ab0 + a0 b) i. Nhận xét: Với mọi số thực k và mọi số phức a + bi (a, b ∈ R) ta có Footer Page 12 of 161. 6 Header Page 13 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy k.(a + bi) = (k + 0i).(a + bi) = ka + kbi, đặc biệt 0.z = 0 với mọi số phức z. b) Tính chất của phép nhân số phức Phép nhân số phức có tính chất tương tự như phép nhân các số thực • Tính chất giao hoán: z.z 0 = z 0 .z, ∀ z, z 0 ∈ C. • Tính chất kết hợp: (z.z 0 ) .z = z. (z 0 .z 00 ) , ∀ z, z 0 , z 00 ∈ C. • Nhân với 1: 1.z = z.1 = z, ∀ z ∈ C. • Tính chất phân phối (của phép nhân đối với phép cộng): z. (z 0 + z 00 ) = z.z 0 + z.z 00 , ∀z, z 0 , z 00 ∈ C. Từ các tính chất vừa trình bày ta đi đến kết luận là mọi số phức đều viết được dưới dạng đai số z = a + bi(a, b ∈ R) và để thực hiện phép cộng, phép nhân số phức ta có thể tiến hành như đối với nhị thức a+bi (coi a+bi là đa thức của biến i với hệ số thực ) mà khi gặp i2 thì ta thay bằng -1. 1.2 Biểu diễn hình học của số phức Ta đã biết biểu diễn hình học các số thực bởi các điểm trên trục số. Đối với số phức, ta hãy xét trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi số phức z = a + bi ( được biểu diễn bởi điểm M có tọa độ (a,b)). Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z=a+bi. Ta còn viết M(a+bi) hay M(z). Vì lẽ đó, mặt phẳng tọa độ với việc biểu số phức như thế được gọi là mặt phẳng. Footer Page 13 of 161. 7 Header Page 14 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy Gốc tọa độ O biểu diễn số 0. Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực, do đó trục Ox còn được gọi là trục thực. Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn các số ảo, do đó trục Oy còn được gọi là trục ảo. 1.3 1.3.1 Số phức liên hợp và môđun của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa: Số phức liên hợp của z = a + bi(a, b ∈ R) là a − bi và được kí hiệu bởi z. Như vậy z = a + bi = a − bi. Rõ ràng z = z nên người ta còn nói z và z là hai số phức liên hợp với nhau (gọi tắt là hai số phức liên hợp). Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng với nhau qua trục thực Ox. Tính chất: • z + z = 2Rez , ∀z ∈ C. • z − z = 2iImz , ∀z ∈ C. • ∀z ∈ C, z = z ⇔ z ∈ R ⊂ C. • ∀z ∈ C, z = −z ⇔ z là số thuần ảo • z = z , ∀z ∈ C. Footer Page 14 of 161. 8 Header Page 15 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy • z1 + z2 = z1 + z2 , ∀ z1 , z2 ∈ C. • z1 .z2 = z1 .z2 , ∀ z1 , z2 ∈ C.   z1 z1 • = , ∀ z1 , z2 ∈ C. z2 z2 • λ.z = λ.z ∀λ ∈ R, ∀z ∈ C. • z.z = a2 + b2 (hay z.z ≥ 0) , ∀ z = a + bi ∈ C. 1.3.2 Môđun của số phức Định nghĩa: Môđun của số phức z = a + bi (a, b ∈ R) là số thực không √ âm a2 + b2 và được ký hiệu là |z|. √ √ Như vậy thì z = a + bi (a, b ∈ R) thì |z| = z.z = a2 + b2 . Nhân xét: • Nếu z là số thực thì môđun của z là giá trị tuyệt đối của số thực đó. • z = 0 ⇔ |z| = 0. 1.4 1.4.1 Dạng lượng giác của số phức Số phức dưới dạng lượng giác i) Argumen của số phức Định nghĩa: Cho số phức z 6= 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một argumen của z. Chú ý: Nếu ϕ là một argumen của z thì mọi argumen của z có dạng Footer Page 15 of 161. 9 Header Page 16 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy ϕ + k2π, k ∈ Z. ii) Dạng lượng giác của số phức Xét số phức: z = a + bi (a, b ∈ R). Ký hiệu r là môđun của z và ϕ là argumen của z thì a = r cos ϕ , b = r cos ϕ. Vậy z = a + bi 6= 0 có thể viết dưới dạng z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Định nghĩa: Dạng z = r(cos ϕ + i sin ϕ) trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của số phức z 6= 0. Còn dạng z = a + bi (a, b ∈ R) được gọi là dạng đại số của số phức z. Nhận xét: Để tìm dạng lượng giác r(cos ϕ + i sin ϕ) của số phức z = a + bi (a, b 6= 0) ta cần: • Tìm r: Đó là môđun của z, r = √ a2 + b2 số r đó cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức. • Tìm ϕ: Đó là một argumen của z, ϕ là một số thực sao cho: a b cos ϕ = và sin ϕ = , số ϕ đó cũng là số đo một góc lượng giác r r tia đầu Ox, tia cuối OM. +) |z| = 1 khi và chỉ khi z = r(cos ϕ + i sin ϕ)(ϕ ∈ R). +) Khi z = 0 thì |z| = r = 0 nhưng argumen của z không xác định (đôi khi acgumen của 0 là một số thực tùy ý và vẫn viết 0 = 0(cosϕ + i sin ϕ). Footer Page 16 of 161. 10 Header Page 17 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.4.2 Lê Thị Thủy Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác Nếu z = r(cos ϕ + i sin ϕ), z 0 = r0 (cos ϕ0 + i sinϕ0 ) (r ≥ 0, r0 ≥ 0) thì z.z 0 = r.r0 [cos(ϕ+ϕ0 ) + isin(ϕ+ϕ0 )]. z r = [cos(ϕ − ϕ0 ) + isin(ϕ − ϕ0 )] khi r > 0. 0 0 z r Như vậy để nhân các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy tích các môđun và tổng các argumen, để chia các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy thương các môđun và hiệu các argumen. 1.4.3 Tọa vị của một điểm trong E 2 Định nghĩa: Trong E 2 , điểm M (a; b) cho tương ứng với số m = a + bi thì số m được gọi là tọa vị của điểm M, kí hiệu là M(m). Kí hiệu một điểm trong mặt phẳng bởi chữ cái in hoa và tọa vị của nó là chữ cái in thường tương ứng. 1.4.4 Tọa vị của một vectơ trong E 2 − Định nghĩa: Trong E 2 vectơ → α (a; b) cho tương ứng với số − z = a + bi. Khi đó z được gọi là tọa vị của vectơ → α . Kí hiệu là vectơ → − α (z). 1.4.5 Biếu diễn số phức theo những điểm Định nghĩa: Trong E 2 cho hai số phức dưới dạng đại số z1 = x1 +i y1 , z2 = x2 +i y2 . −−→ −−→ Điểm O là gốc tọa độ. Xác định hai vectơ OZ1 , OZ2 biểu diễn hai số phức z1 , z2 . Footer Page 17 of 161. 11 Header Page 18 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy −→ • Nếu Z1 , Z2 có cùng giá: Số phức z = z1 + z2 là OZ. • Nếu Z1 , Z2 không cùng giá: Dựng hình bình hành OZ1 ZZ2 . ⇒ z = (x1 + x2 ; y1 + y2 ) biểu diễn tọa vị của z1 + z2 . Do đó tổng của hai số phức có thể biểu diễn như tổng của hai vectơ trong mặt phẳng. Nhận xét: Sự biểu diễn số phức trong mặt phẳng hoàn toàn thích hợp khi xem xét cộng, trừ hai vectơ với cộng, trừ hai số phức. 1.4.6 Khoảng cách giữa hai điểm −−→ Giả sử M (z1 ), N (z2 ) ∈ E 2 . Ta có M N = z2 − z1 . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M, N được tính theo công thức: −−→ p   M N = M N  = (z2 − z1 )(z2 − z1 ) 1.5 1.5.1 Công thức Moivre Công thức Moivre Với mọi số nguyên dương n thì ta có: Footer Page 18 of 161. 12 Header Page 19 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy [r(cosϕ + i sin ϕ)]n = rn (cosnϕ + i sin nϕ). và khi r = 1 ta có (cosϕ + i sin ϕ)]n = cosnϕ + i sin nϕ. Cả hai công thức đó đều là công thức Moivre. Chú ý: Công thức Moivre còn đúng khi n nguyên âm (và cả khi n = 0,z = r(cos ϕ + i sin ϕ) 6= 0). 1.5.2 Căn bậc n của số phức Nếu số nguyên n ≥ 2. Căn bậc n của số phức z là một số phức z’ sao 0 cho z n = z (nếu z = 0 thì z 0 = 0). Như vậy ∀z ∈ C, z 6=  0, z =|z| (cosϕ + n ∈ N∗ thì   i sin ϕ)  p √ ϕ k2π ϕ k2π n + i sin k ∈ Z, k = 0, n − 1 z = n |z| cos + + n n n n p (trong đó n |z| là căn bậc n của một số thực không âm). 1.6 Phương trình bậc hai với hệ số phức Ax2 + Bx + C = 0 (A 6= 0) với A,B,C là các số phức ∆ = B 2 − 4AC. −B . 2A +) Nếu ∆ 6= 0 thì ta tìm các căn bậc hai w của ∆ thì phương trình có −B ± w hai nghiệm phân biệt z1,2 = . 2A +) Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép z = Footer Page 19 of 161. 13 Header Page 20 of 161. Chương 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI Trong chương này chúng ta sẽ phần nào thấy được nét ưu việt của số phức trong hình học nói chung và hình học phẳng nói riêng. Trong mỗi dạng tôi có trình bày các kiến thức cơ sở liên quan, đồng thời xây dựng hệ thống các ví dụ điển hình và bài tập tương tự có hướng dẫn ở chương sau. 2.1 2.1.1 Dạng 1 : Góc định hướng của hai vectơ Định nghĩa Để tính góc đinh hướng α tạo bởi hai vectơ đi qua gốc tọa độ O, ta chọn hai điểm Z1 , Z2 Footer Page 20 of 161. có tọa vị tương 14 ứng lần lượt là z1 , z2