Tuyển tập đề thi đại học ở các trung tâm luyện thi môn
Toán chọn lọc và đặc sắc
1
I. §Æt vÊn ®Ò
Trong ch¬ng tr×nh to¸n ë trêng phæ th«ng viÖc chøng minh bÊt ®¼ng thøc
lµ mét vÊn ®Ò cã thÓ nãi lµ phøc t¹p nhÊt, nã rÌn cho ngêi lµm to¸n trÝ th«ng
minh, sù s¸ng t¹o, ngoµi ra cßn cã c¶ sù khÐo lÐo, mçi kÕt qu¶ cña nã lµ mét
c«ng cô s¾c bÐn cña to¸n häc. Nhng ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc th× kh«ng ®¬n
gi¶n chót nµo, nhÊt lµ ®èi víi häc sinh, c¸c em tá ra lóng tóng khi chän cho m×nh
mét c«ng cô ®Ó chøng minh hiÖu qu¶ nhÊt. §· cã rÊt nhiÒu tµi liÖu ®a ra mét sè
ph¬ng ph¸p rÊt tèt ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ch¼ng h¹n:
- Ph¬ng ph¸p sö dông c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña bÊt ®¼ng thøc.
- Ph¬ng ph¸p sö dông tam thøc bËc 2.
- Ph¬ng ph¸p sö dông nh÷ng bÊt ®¼ng thøc kinh ®iÓn.
- Ph¬ng ph¸p sö dông ph¶n chøng.
- Ph¬ng ph¸p sö dông quy n¹p.
- Ph¬ng ph¸p sö dông ®¹o hµm.
- Ph¬ng ph¸p sö dông h×nh häc.
- Ph¬ng ph¸p sö dông hµm låi.
MÆc dï vËy song vÉn lµ cha ®ñ bëi s¸ng t¹o cña mçi ngêi lµm to¸n lµ v«
h¹n. ChÝnh v× vËy trong bµi viÕt nµy t«i muèn ®Ò cËp vÒ "Mét sè ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè " nh»m trang bÞ thªm cho häc sinh
mét sè c«ng cô h÷u hiÖu ®Ó chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè. Ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ho¸ ®· ®îc mét sè s¸ch cña c¸c t¸c gi¶ ®Ò cËp nh gi¸o s Phan §øc
ChÝnh, gi¸o s Phan Huy Kh¶i, phã tiÕn sÜ Vò ThÕ Hùu... viÕt. Nhng do cÊu tróc
môc tiªu cña c¸c cuèn s¸ch ®ã mµ c¸c t¸c gi¶ ®Òu kh«ng ®i s©u vµo ph¬ng ph¸p
nµy hay nãi c¸ch kh¸c lµ cha thËt cô thÓ ho¸, hÖ thèng ho¸ nã.
Lµ mét gi¸o viªn gÇn 20 n¨m gi¶ng d¹y víi c¸c ®èi tîng häc sinh kh¸ giái
cña c¸c líp chän t«i ®· ph©n chia ph¬ng ph¸p nµy thµnh 5 d¹ng bµi tËp. Nh»m
cung cÊp cho häc sinh nhËn ra c¸c dÊu hiÖu ban ®Çu ®Ó thùc hiÖn c¸c bíc lîng
gi¸c ho¸ bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè, ®Ó råi dïng c¸c kÕt qu¶ cña
bÊt ®¼ng thøc lîng gi¸c chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè.
Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y ë c¸c líp chän khèi 11 trêng THPT t«i nhËn thÊy
viÖc ph©n chia d¹ng cña t«i lµ hîp lý, l«gÝc cô thÓ, cã thÓ nhanh chãng t×m ra ph¬ng ph¸p chøng minh ®îc bÊt ®¼ng thøc b»ng c¸ch ¸p dông c¸c ph¬ng ph¸p t
duy nµy cña t«i.
T«i sÏ tr×nh bµy vÒ hiÖu qu¶ cña ph¬ng ph¸p nµy ®èi víi häc sinh ë phÇn 4
kÕt qu¶ tr¾c nghiÖm thùc tÕ cña s¸ng kiÕn.
C¸c tµi liÖu tham kh¶o
1. BÊt ®¼ng thøc cña gi¸o s Phan §øc ChÝnh - NXB Gi¸o dôc 1995.
2. C¸c bµi to¸n chän läc vÒ bÊt ®¼ng thøc 2 tËp cña gi¸o s Phan Huy Kh¶i
- NXB Gi¸o dôc Hµ Néi 2000.
3. Ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ho¸ cña PTS Vò ThÕ Hùu - NXB Gi¸o dôc 2002.
2
II. gi¶i quyÕt vÊn ®Ò
1. C¸c kiÕn thøc cÇn n¾m
1.1. C¸c hÖ thøc c¬ b¶n
+
1
( k)
2
2
cos
1
( k)
+ 1 + cotg2 =
sin 2
+ 1 + tg2 =
cos 2 sin 2 1
k
+ tg . cotg = 1 (
)
2
1.2. C«ng thøc céng gãc
+ cos( ) = cos cos sin sin
+ sin( ) = sin cos cos sin
+ tg ( ) =
tg tg
( ; k)
1 tg tg
2
cot g. cot g 1
= cot g cot g (; k)
+ cotg( )
1.3. C«ng thøc nh©n
+ sin2 = 2 sin cos
+ cos2 = cos2 - sin2 = 2cos2 - 1 = 1 - 2sin2
+ tg2 =
2 tg
1 tg 2
+ cotg2 =
( k )
4
2
cot g 2 1
2 cot g
(
k
)
2
+ sin3 = 3sin - 4sin3
+ cos3 = 4cos3 - 3cos
3tg tg 3
( k )
3
6
3
1 3tg
+ tg3 =
1.4. C«ng thøc h¹ bËc
1 cos 2
2
1 cos 2
( k )
1 cos 2
2
+ cos2 =
+ sin2 =
1 cos 2
2
+ tg2 =
1.5. C«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch:
cos
2
2
+
sin
cos - cos = - 2sin
2
2
+
cos
sin + sin = 2sin
2
2
sin
sin - sin = = - 2cos
2
2
sin( )
tg tg = cos . cos (; k)
2
+ cos + cos = 2cos
+
+
+
+
1.6. C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng:
1
+ cos.cos = [cos( ) cos( )]
2
3
1
+ sin.sin = [cos( ) cos( )]
+ sin.cos =
2
1
[sin( ) sin( )]
2
2. Néi dung cña s¸ng kiÕn
Qua mét qu¸ tr×nh nghiªn cøu tham kh¶o bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng
thøc b»ng ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ë nhiÒu s¸ch ®Òu ®a ra c¸c ph¬ng ph¸p chøng
minh bÊt ®¼ng thøc b»ng ph¬ng ph¸p lîng gi¸c rÊt m¬ hå cha cã hÖ thèng, cha
ph©n chia thµnh c¸c d¹ng bµi tËp. Víi c¸c kiÕn thøc vÒ chøng minh bÊt ®¼ng thøc
b»ng ph¬ng ph¸p lîng gi¸c mµ t«i ®îc biÕt t«i ®· ph©n chia thµnh 5 d¹ng bµi tËp
c¬ b¶n mµ t«i sÏ giíi thiÖu sau ®©y.
Trong mçi d¹ng bµi tËp t«i ®Òu ®a ra ph¬ng ph¸p chän c¸ch ®Æt ®Ó häc
sinh nhanh chãng chuyÓn 1 vÕ cña bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè ph¶i chøng minh vÒ biÓu
thøc lîng gi¸c sau ®ã biÕn ®æi ®Ó ®¸nh gi¸ bÊt ®¼ng thøc lîng gi¸c b»ng c¸c bÊt
®¼ng thøc lîng gi¸c ®¬n gi¶n nh:
| sin | �1;| cos | �1; sin 2 n �1; cos 2 n �1 ( n �N *)
* §Ó häc sinh n¾m kiÕn thøc mét c¸ch hÖ thèng t«i ®· lËp b¶ng mét sè
dÊu hiÖu nhËn biÕt sau:( Gi¶ sö c¸c hµm sè lîng gi¸c sau ®Òu cã nghÜa)
BiÓu thøc ®¹i sè
BiÓu thøc lîng gi¸c
t¬ng tù
1 + x2
1 + tg2t
4x3 - 3x
2x2 - 1
4cos3t - 3cost
2cos2t - 1
2x
1 x2
2x
1 x2
2 tgt
1 tg 2 t
2 tgt
1 tg 2 t
= tg2t
2 tgt
1 tg 2 t
2 tgt
1 tg 2 t
= sin2t
xy
1 xy
tg tg
1 tgtg
tg tg
=
1 tgtg
x2 - 1
1
1
cos 2
C«ng thøc lîng gi¸c
1+tg2t =
1
cos 2 t
4cos3t - 3cost = cos3t
2cos2t - 1 = cos2t
tg(+)
1
1 = tg2
cos 2
...
....
......
mét sè ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ®Ó chøng minh
bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè
I. D¹ng 1: Sö dông hÖ thøc sin2 + cos2 = 1
1) Ph¬ng ph¸p:
a) NÕu thÊy x + y
2
2
b) NÕu thÊy x2 + y2
x sin
= 1 th× ®Æt
víi [0, 2]
y cos
x a sin
= a (a > 0) th× ®Æt
víi [0, 2]
y a cos
2
2. C¸c vÝ dô minh ho¹:
4
VD1: Cho 4 sè a, b, c, d tho¶ m·n: a2 + b2 = c2 + d2 = 1
Chøng minh r»ng:
§Æt
2 S
= a(c+d) + b(c-d)
Gi¶i:
2
a sin u c sin v
vµ
S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)
b cos u d cos v
S = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v)
S 2 sin (u v) [ 2 , 2 ] 2 S a (c d) b(c d) 2 (®pcm)
4
VD2: Cho a2 + b2 = 1. Chøng minh r»ng:
2
2
2 1 2 1 25
a 2 b 2
2
a
b
Gi¶i:
§Æt a = cos vµ b = sin víi 0 2. ThÕ vµo biÓu thøc vÕ tr¸i råi biÕn ®æi.
2
2
2
1 2
1
2 1 2 1 2
sin 2
a 2 b 2 cos
2
a
b
cos
sin
2
1
1
cos 4 sin 4
4
4
4
= cos + sin + 4 4 4 cos sin
cos sin
cos 4 . sin 4
4
4
= cos 4 sin 4 1
1
4
4
cos . sin
4
= cos 2 sin 2 2 cos 2 sin 2 1
1
4
4
cos . sin
4
1
16
1
17
25
= 1 sin 2 2 1 4 4 1 (1 16) 4 4 (®pcm)
2
sin 2
2
2
2
B©y giê ta ®Èy bµi to¸n lªn møc ®é cao h¬n mét bíc n÷a ®Ó xuÊt hiÖn a2+b2=1
VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chøng minh r»ng:
A = a b 2 3ab 2(1 2 3 )a (4 2 3 )b 4 3 3 2
Gi¶i:
2
2
BiÕn ®æi ®iÒu kiÖn: a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0 (a-1)2 + (b-2)2 = 1
§Æt
A
a 1sin a 1sin 2 2
A sin cos 2 3sincos
b 2 cos b 2cos
3 sin 2 cos 2 2
3
1
sin 2 cos 2 2 sin( 2 ) 2
2
2
6
(®pcm)
5
VD4: Cho a, b tho¶ m·n :
5a 12b 7
= 13
Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a) - 1
Gi¶i:
BiÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc: a2 + b2 + 2(b-a) - 1 (a-1)2 + (b + 1)2 1
a R sin 1 2 2 2
a 1 R sin
§Æt
víi R 0
(a 1) (b 1) R
b 1 R cos
b R cos 1
Ta cã:
5a 12b 7 13 5( R sin 1) 12(R cos 1) 7 13
5R sin 12R cos 13 1 R
5
12
5
sin cos R sin arccos R
13
13
13
Tõ ®ã (a-1)2 + (b+1)2 = R2 1 a2 + b2 + 2(b - a) - 1 (®pcm)
II. D¹ng 2: Sö dông tËp gi¸ trÞ | sin |1 ; | cos | 1
1. Ph¬ng ph¸p:
a) NÕu thÊy |x| 1 th× ®Æt
�
� �
x sin khi ��
; �
�
2 2�
�
�
�
x cos khi � 0;
�
�
� �
x m sin khi ��
;
�
�2 2�
�
b) NÕu thÊy |x| m ( m �0 ) th× ®Æt �
�
x m cos khi � 0;
�
2. C¸c vÝ dô minh ho¹:
VD1: Chøng minh r»ng: (1+x)p + (1-x)p 2p |x| 1 ; P 1.
Gi¶i:
§Æt x = cos víi [0, ], khi ®ã (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cos)p + (1-cos)p
=
p
p
2
2
p
2p
sin 2 p 2 p cos 2 sin 2 2 p
2 cos
2 sin
2 cos
2
2
2
2
2
2
(®pcm)
VD2: Chøng minh r»ng:
3 2 A 2 3a 2 2a 1 a 2 3 2
Gi¶i:
Tõ ®k 1 - a2 0 |a| 1 nªn
§Æt a = cos víi 0
A= 2
1 a2
= sin. Khi ®ã ta cã:
3a 2 2a 1 a 2 2 3 cos 2 2 cos sin 3 (1 cos 2) sin 2
3
1
cos 2 sin 2 3 2 sin 2 3
2
3
2
= 2
3 2 A 3 2 (®pcm)
6
VD3: Chøng minh r»ng:
1 1 a2
(1 a )3
(1 a )3 2 2 2 2a 2 (1)
Gi¶i:
Tõ ®k |a| 1 nªn
§Æt a=cos víi [0,] 1 a 2 sin ; 1 a 2 cos ; 1 a 2 sin
2
(1)
1 2 sin
cos .2 2 cos 3 sin 3 2 2 2 2 sin cos
2
2
2
2
2
2
sin 2 cos 2 cos 2
2
sin
2
sin cos sin 2 1 sin cos
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
sin 2 cos 1
sin cos cos sin cos
2
2
2
2
2
2
VD4: Chøng minh r»ng: S =
4
(1 a 2 )3 a 3 3 a
®óng (®pcm)
1 a2
2
Gi¶i:
Tõ ®k |a| 1 nªn:
§Æt a = cos víi [0, ] 1 a 2 = sin. Khi ®ã biÕn ®æi S ta cã:
S= 4(sin cos ) 3(cos sin ) (3 sin 4 sin ) (4 cos 3 cos )
3
=
3
3
sin 3 cos 3 2 sin 3 2
4
VD5: Chøng minh r»ng A =
3
(®pcm)
a 1 b2 b 1 a2
(1 a 2 )(1 b 2 )
3 ab
2
Gi¶i:
Tõ ®iÒu kiÖn: 1 - a2 0 ; 1 - b2 0 |a| 1 ; |b| 1 nªn.
§Æt a = sin, b = sin víi ,
Khi ®ã A =
=
sin cos cos sin
sin( )
3 cos( ) 2
2 ; 2
3 cos( )
=
1
3
sin( )
cos( ) 2 sin ( ) 2
2
2
3
(®pcm)
VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| 1 a [1; 3]
Gi¶i:
Do a [1, 3] nªn a-2 1 nªn ta ®Æt a - 2 = cos a = 2 + cos. Ta cã:
A = 4(2 cos ) 24(2 cos ) 45(2 cos ) 26 4 cos 3 cos cos 3 1
(®pcm)
3
2
VD7: Chøng minh r»ng: A =
3
2a a 2 3a 3 �2 a �[0, 2]
Gi¶i:
Do a [0, 2] nªn a-1 1 nªn ta ®Æt a - 1 = cos víi [0, ]. Ta cã:
A = 2(1 cos ) (1 cos ) 3(1 cos ) 3 1 cos 3 cos
2
2
7
=
sin
1
3
3 cos 2 sin
cos 2 sin 2
2
2
3
III. D¹ng 3: Sö dông c«ng thøc: 1+tg2 =
(®pcm)
1
1
tg 2 2 1 ( k)
2
2
cos
cos
1) Ph¬ng ph¸p:
a) NÕu |x| 1 hoÆc bµi to¸n cã chøa biÓu thøc
th× ®Æt x =
1
cos
x2 1
víi 0; , 3
2
2
b) NÕu |x| m hoÆc bµi to¸n cã chøa biÓu thøc
th× ®Æt x =
m
cos
x 2 m2
víi 0; , 3
2
2
2. C¸c vÝ dô minh ho¹:
a2 1 3
�2 a �1
a
VD1: Chøng minh r»ng A =
Gi¶i:
Do |a| 1 nªn :
§Æt a =
A=
1
cos
víi 0; , 3
a2 1 3
( tg
a
2
2
3 ) cos sin
a 2 1 tg 2 tg .
Khi ®ã:
3 cos 2 sin 2
3
(®pcm)
2
VD2: Chøng minh r»ng: - 4 A = 5 12 2a 1 9 a �1
a
Gi¶i:
Do |a| 1 nªn:
§Æt a =
1
cos
víi 0; , 3
2
2
a 2 1 tg 2 tg .
Khi ®ã:
2
A = 5 12 2a 1 = (5-12tg)cos2 = 5cos2-12sincos= 5(1 cos 2) 6 sin 2
=
2
a
5 13 5
12
5
5 13
cos 2
sin 2 cos 2 arccos
2 2 13
13
13
2 2
-4=
5 13
5 13
5 5 13
( 1) A cos 2 arccos .1 9
2 2
2 2
13 2 2
VD3: Chøng minh r»ng: A =
a 2 1 b2 1
ab
1
(®pcm)
a ; b �1
Gi¶i:
Do |a| 1; |b| 1 nªn .
§Æt a =
1
cos
;b=
1
cos
víi 0; , 3 . Khi ®ã ta cã:
2
2
8
A=
( tg tg) cos cos sin cos sin cos sin( ) 1 (®pcm)
a
VD4: Chøng minh r»ng: a +
a2 1
2 2
a 1
Gi¶i:
Do |a| > 1 nªn:
§Æt a =
a+
1
cos
a
2
a 1
a
víi 0; 2
2
a 1
1
1
1
.
.
2
cos tg sin
1
1
1
1
2 2
2.
.
2 2
cos sin
cos sin
sin 2
VD5: Chøng minh r»ng
y x 2 1 4 y 2 1 3 xy 26
Khi ®ã:
(®pcm)
x ; y �1
Gi¶i:
BÊt ®¼ng thøc
2
x 2 1 1 4 y 1 3
26 (1)
x
x
y
y
1
Do |x|; |y| 1 nªn §Æt x = cos ; y=
1
cos
Khi ®ã: (1) S = sin + cos(4sin + 3cos)
Ta cã: S sin + cos
víi , 0, 2 .
26
( 4 2 32 )(sin 2 cos 2 ) sin 5 cos
(12 52 )(sin 2 cos 2 ) 26 (®pcm)
IV. D¹ng 4: Sö dông c«ng thøc 1+ tg2 =
1
cos 2
1. Ph¬ng ph¸p:
a) NÕu x R vµ bµi to¸n chøa (1+x2) th× ®Æt x = tg víi
,
2 2
b) NÕu x R vµ bµi to¸n chøa (x2+m2) th× ®Æt x = mtg víi
,
2 2
2. C¸c vÝ dô minh ho¹:
3x
VD1: Chøng minh r»ng: S =
1 x2
4x 3
(1 x 2 )3
1
Gi¶i:
§Æt x = tg víi
,
2 2
1 x2
1
,
cos
khi ®ã biÕn ®æi S ta cã:
S = |3tg.cos - 4tg3.cos3| = |3sin - 4sin3| = |sin3| 1
VD2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =
(®pcm)
3 8a 2 12a 4
(1 2a 2 ) 2
Gi¶i:
§Æt a
2=
tg víi
2 , 2
th× ta cã: A =
3 4 tg 2 3tg 4
(1 tg 2 ) 2
9
=
3 cos 4 4 sin 2 cos 2 3 sin 4
3(sin 2 cos 2 ) 2 2 sin 2 cos 2
2
2
2
(cos sin )
2
2
= 3 - sin 2 5 3 1 A 3 sin 2 2 0 3
2
2
2
2
2
Víi = 0 a = 0 th× MaxA = 3 ; Víi =
(a b)(1 ab)
1
2
2
2
(1 a )(1 b )
VD3: Chøng minh r»ng:
4
a=
1
2
th× MinA =
5
2
a, b R
Gi¶i:
(a b )(1 ab )
( tg tg)(1 tgtg)
2
2
(1 a )(1 b )
(1 tg 2 )(1 tg 2)
§Æt a = tg, b = tg. Khi ®ã
=
cos 2 cos 2 .
sin( ) cos . cos sin . sin
.
cos . cos
cos . cos
= sin( ) cos( ) 1 sin 2( ) 1
2
VD4: Chøng minh r»ng:
(®pcm)
2
|a b|
(1 a 2 )(1 b 2 )
|b c|
(1 b 2 )(1 c 2 )
|c a|
(1 c 2 )(1 a 2 )
a , b, c
Gi¶i:
§Æt a = tg, b = tg, c = tg. Khi ®ã bÊt ®¼ng thøc
| tg tg |
(1 tg 2 )(1 tg 2)
sin( )
cos cos . cos . cos
| tg tg |
(1 tg 2)(1 tg 2 )
cos cos .
| tg tg |
(1 tg 2 )(1 tg 2 )
sin( )
sin( )
cos cos .
cos . cos
cos . cos
sin(-)+sin(-) sin(-). BiÕn ®æi biÓu thøc vÕ ph¶i ta cã:
sin(-)= sin[(-)+(-)] = sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)
sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)=sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)
sin(-).1 + sin(-).1 = sin(-) + sin(-) (®pcm)
VD5: Chøng minh r»ng: ab cd (a c)(b d) (1) a , b, c, d 0
Gi¶i:
ab
cd
1
ab
1
c b
c b
1 1
1 1
a d
a d
cd
(1) (a c)(b d) (a c)(b d) 1
c
d
§Æt tg2= a , tg2= b víi ,
1
2
2
(1 tg )(1 tg )
0,
2
BiÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc
tg 2 .tg 2
2
2
(1 tg )(1 tg )
cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 1
cos cos + sin sin = cos(-) 1 ®óng (®pcm)
10
DÊu b»ng x¶y ra cos(-) = 1 =
c d
a b
2
VD6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 6a 42 | a 1 |
a 1
Gi¶i:
§Æt a = tg . Khi ®ã A =
2
6tg
4 | tg 2 1 |
2tg
tg 2 1
2
2 4.
2
2
3.
tg 2 1
1 tg 2
tg 2 1
2
2
2
A = 3sin + 4 |cos| 3 sin + 4.0 = 3sin 3.(-1) = -3
Sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy - Schwarz ta cã:
A2 = (3sin + 4 |cos|)2 (32 + 42)(sin2 + cos2) = 25 A 5
Víi sin = 1 a = 1 th× MinA = - 3 ; víi
sin | cos |
3
4
th× MaxA = 5
V. D¹ng 5: §æi biÕn sè ®a vÒ bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c
1) Ph¬ng ph¸p:
x; y; z 0
A
;
B
;
C
(
0
;
)
a) NÕu
th× ABC :
2
2 2 2
x y z 2xyz 1
x cos A; y cos B; z cos C
x; y; z 0
A; B; C (0; )
b) NÕu
th× ABC :
2
x y z xyz
x tgA; y tgB; z tgC
A; B; C (0; 2 )
x cot gA; y cot gB; z cot gC
x ; y, z 0
c) NÕu
th× ABC :
A; B; C (0; )
xy yz zx 1
A B C
x tg 2 ; y tg 2 ; z tg 2
2. C¸c vÝ dô minh ho¹:
VD1: Cho x, y, z > 0 vµ zy + yz + zx = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc.
11
S=
1 1 1
3( x y z )
x y z
Gi¶i:
Tõ 0 < x, y, z < 1 nªn ®Æt x = tg ; y = tg ; z = tg víi , ,
2
2
2
0,
2
Do xy + yz + zx = 1 nªn tg tg + tg tg + tg tg = 1
2
2
2
2
2
2
tg tg
1
tg tg 2 tg 2 = 1 - tg tg 2 2 tg cot g
2
2
2
2
2 2
1 tg tg
tg
2 2
2
tg tg
2 2 2 2
2
2
2 2
2 2
S=
1 1 1
3( x y z ) =
x y z
S=
cot g tg cot g tg cot g tg 2 tg tg tg
2
2
2
2
2
2 2
2
2
cotg + cotg + cotg -3 tg
S = 2(cotg+cotg+cotg) S = (cotg+cotg-2tg
)
2
2
2
2
2 tg tg tg
2
2
2
+ (cotg+cotg-2tg
§Ó ý r»ng: cotg + cotg =
tg tg
2
2
2
2
) +(cotg+cotg-2tg
2
)
sin( )
2 sin
2 sin
sin . sin 2 sin . sin cos( ) cos( )
4 sin cos
2 sin
2 sin
2
2 2 tg cot g cot g 2 tg 0
1 cos( ) 1 cos
2
2
2 cos 2
2
T ®ã suy ra S 0. Víi x = y = z =
VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 vµ
1
3
th× MinS = 0
x
y
z
4 xyz
2
2
2
2
1 x
1 y
1 z
(1 x )(1 y 2 )(1 z 2 )
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = x2 + y2 + z2
Gi¶i:
Do 0 < x, y, z < 1 nªn ®Æt x = tg ; y = tg ; z = tg víi , ,
2
Khi ®ã tg =
2
2
0,
2
2y
2x
2z
vµ ®¼ng thøc ë gi¶ thiÕt
2 ; tg = 1 y 2 ; tg =
1 x
1 z2
8xyz
2y
2x
2z
2 + 1 y2 +
2 = (1 x 2 )(1 y 2 )(1 z 2 ) tg+tg+tg = tg.tg.tg
1 x
1 z
12
tg + tg = - tg(1-tg.tg)
Do , ,
0,
2
tg tg
1 tg.tg
= - tg tg(+) = tg(-)
nªn + = - + + = . Khi ®ã ta cã:
tg tg + tg tg + tg tg = 1 xy + yz + zx = 1. MÆt kh¸c:
2
2
2
2
2
2
(x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) = 1
( x y)
2
2
( y z) 2 (z x ) 2 0
1
3
S = x2 + y2 + z2 xy + yz + zx = 1. Víi x = y = z =
th× MinS = 1
x , y, z 0
x
y
z
9
VD3: Cho
. Chøng minh r»ng: S =
x yz y zx z xy 4
x y z 1
Gi¶i:
§Æt
yz
tg ;
x
2
yz zx
.
x
y
Do
xz
tg ;
y
2
xy
tg víi
z
2
zx xy
xy yz
.
.
.
y
z
z
x
, ,
0,
2
=x+y+z=1
nªn tg tg + tg tg + tg tg = 1
2
2
2
tg 2 2 = cotg
2
2
tg 2 2 = tg 2
2
2
+
= 2 2 2
2
2
S=
=
2
2
2y
2z
3
x
y
z
1 2 x
1
1
1
x yz y zx z xy 2 x yz y zx z xy 2
1
1 x yz y zx z xy 3 1
2 x yz y zx z xy 2 2 1
yz 1 zx
xy
1
y
x
z 3
yz
zx
xy 2
1
1
x
y
z
= 1 (cos + cos + cos) + 3 = 1 cos cos .1 (cos cos sin sin ) 3
2
2
2
1 1
(cos cos 2 1) 1 (sin 2 sin 2 ) cos cos 3 3 3 9
2 2
2
2 4 2 4
2
(®pcm)
3. C¸c bµi to¸n ®a ra tr¾c nghiÖm
Tríc khi t«i d¹y thö nghiÖm néi dung s¸ng kiÕn cña t«i cho häc sinh cña 2
líp 11A1 vµ 11A2 ë trêng t«i, t«i ®· ra bµi vÒ nhµ cho c¸c em, cho c¸c em chuÈn
bÞ tríc trong thêi gian 2 tuÇn. Víi c¸c bµi tËp sau:
Bµi 1: Cho a2 + b2 = 1. CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3| 13.
Bµi 2: Cho (a-2)2 + (b-1)2 = 5. CMR: 2a + b 10.
13
Bµi 3: Cho
a; b 0
CMR: a
a b 2
Bµi 4: Cho a; b ; c 1
Bµi 5: Cho
a) xyz
+ b4 a3 + b3
CMR:
x; y; z 0
2 2 2
x y z 2xyz 1
1
1
1
1
1
1
a b c a b c
b
c
a
a
b
c
CMR:
1
8
b) xy + yz + zx
3
4
3
4
c) x2 + y2 + z2
d) xy + yz + zx 2xyz +
e)
4
1
2
1 x
1 y
1 z
3
1 x
1 y
1 z
Bµi 6: CMR:
1
1 a
2
1
1 b
2
2
1 ab
a, b (0, 1]
Bµi 7: CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) 9 (ab + bc + ca)
a, b, c > 0
x, y, z 0
x
y
z
3
3
Bµi 8: Cho
CMR : 2 2 2
xy yz zx 1 1 x 1 y 1 z 2
x , y, z 0
x y z 3
Bµi 9: Cho
CMR :
x y z xyz 1 x2 1 y2 1 z2 2
x, y, z 0
1 1 1 2x 2 y 2z
Bµi 10: Cho
CMR :
xy yz zx 1 1 x2 1 y2 1 z2 1 x2 1 y2 1 z2
14
Sau 2 tuÇn c¸c em hÇu nh kh«ng lµm ®îc c¸c bµi tËp nµy mÆc dï t«i ®· gîi
ý lµ dïng ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ho¸. Sau ®ã t«i ®· d¹y cho c¸c em s¸ng kiÕn cña
t«i trong mét buæi sinh ho¹t chuyªn ®Ò (3 tiÕt) th× thu ®îc kÕt qu¶ rÊt tèt.
3. KÕt qu¶ tr¾c nghiÖm thùc tÕ cña s¸ng kiÕn
§Ó thÊy ®îc kÕt qu¶ s¸t thùc cña s¸ng kiÕn trong phÇn «n tËp kú I cña líp
11 t«i ®· chän 2 líp 11A1 vµ 11A2 lµ 2 líp chän trong ®ã 11A1 lµ líp chän A
cßn 11A2 lµ líp chän B v× vËy víi kiÕn thøc cña c¸c em líp 11A1 kh¸ h¬n líp
11A2 t«i sÏ dïng 2 líp nµy ®Ó tiÕn hµnh lµm ®èi chøng cô thÓ nh sau:
§Çu tiªn t«i ®· ra bµi vÒ nhµ cho c¸c em c¸c bµi tËp 1, 4, 9 cña 10 bµi tËp
trªn. Yªu cÇu c¸c em c¶ 2 líp 11A1 vµ 11A2 lµm 3 bµi tËp nµy ra giÊy vµ t«i ®·
thu ®îc kÕt qu¶ nh sau:
Líp
SÜ sè
Giái
Kh¸
TB
3-4
0-2
11A1
11A2
50
52
0
0
0
0
0
0
2
0
48
52
Víi kÕt qu¶ tæng hîp b¶ng trªn vµ thùc tÕ bµi lµm cña c¸c em t«i thÊy hÇu
hÕt c¸c em kh«ng lµm ®îc ë líp 11A1. Mét sè em biÕt lµm bµi tËp 1 b»ng ph¬ng
ph¸p ®Æt "a=sin", "b=cos" xong cha ®i ®Õn bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh, líp
11A2 hÇu hÕt c¸c em kh«ng lµm ®îc hoÆc bÕ t¾c hoµn toµn. §øng tríc thùc tr¹ng
nh vËy t«i quyÕt ®Þnh ®a s¸ng kiÕn cña t«i d¹y cho líp 11A2 lµ líp cã vèn kiÕn
thøc yÕu h¬n so víi líp 11A1.
T«i ®· tËp trung c¸c em líp 11A2 häc ngo¹i kho¸ vµo 3 tiÕt buæi chiÒu
trong 3 tiÕt nµy t«i ®· truyÒn thô hÕt néi dung 5 ph¬ng ph¸p dïng lîng gi¸c ®Ó
chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè cña t«i sau ®ã t«i ®· ra bµi vÒ nhµ bµi tËp 2, 5, 7
trong phÇn 10 bµi tËp trªn vµ yªu cÇu häc sinh c¶ 2 líp vÒ nhµ gi¶i. KÕt qu¶ thu
®îc nh sau:
Líp
SÜ sè
Giái
Kh¸
TB
3-4
0-2
11A1
50
0
0
0
12
38
11A2
52
0
20
25
7
0
Nh×n vµo kÕt qu¶ trªn vµ thùc tÕ bµi lµm cña häc sinh t«i nhËn thÊy c¸c em
häc sinh cña líp 11A1 mÆc dï cã t chÊt h¬n líp 11A2 song kh«ng ®îc biÕt c¸c
ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thc nªn hÇu hÕt kh«ng lµm ®îc 3
bµi tËp t«i ®· cho. Nhng ngîc l¹i ®èi víi kÕt qu¶ bµi lµm cña häc sinh líp 11A2
t«i thÊy rÊt kh¶ quan hÇu hÕt c¸c em ®Òu lµm ®îc bµi tËp ®Çu cßn bµi tËp 2 mét
sè em ®· kh«ng biÕt chuyÓn tõ ®Çu bµi vÒ d¹ng 1 ®Ó gi¶i mét sè kh¸c ®· biÕt
biÕn ®æi ®îc bÊt ®¼ng thøc ®Ó cã thÓ ¸p dông d¹ng 1 xong cha biÕn ®æi ®Ó ®i ®Õn
bÊt ®¼ng thøc lîng gi¸c cÇn thiÕt v× vËy kÕt qu¶ cha cao v× mét sè em líp 11A2
tiÕp thu c¸c ph¬ng ph¸p chËm, øng dông gi¶i bµi tËp cha s¸ng t¹o. V× vËy t«i
15
quyÕt ®Þnh thùc nghiÖm lÇn thø 3, t«i d¹y c¶ líp 11A1 vµ 11A2 vµo mét buæi
chiÒu 3 tiÕt d¹y ®Çy ®ñ 5 ph¬ng ph¸p vµ c¸c vÝ dô minh ho¹, t«i gäi c¸c em lªn
b¶ng¸p dông gi¶i c¸c vÝ dô t¹i líp thÊy c¸c em lµm rÊt tèt, sau ®ã t«i cho bµi tËp
3, 6, 8, 10 vÒ nhµ vµ yªu cÇu c¸c em nép cho t«i vµo ngay ngµy h«m sau. KÕt
qu¶ thu ®îc nh sau:
Líp
SÜ sè
Giái
Kh¸
TB
YÕu
11A1
50
7
30
13
0
11A2
52
6
25
21
0
Víi kÕt qu¶ nh trªn vµ thùc tÕ bµi lµm cña c¸c em t«i nhËn thÊy c¸c ph¬ng
ph¸p lîng gi¸c ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè mµ t«i ®a ra cã kÕt qu¶ tèt,
nã lµ mét c«ng cô rÊt h÷u hiÖu ®Ó gióp c¸c em cã thªm mét c¸ch míi ®Ó chøng
minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè bæ sung cho c¸c em mét ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ho¸ c¸c
bµi to¸n nãi chung lµm cho c¸c em tù tin h¬n khi gÆp c¸c bµi tËp chøng minh bÊt
®¼ng thøc trong tÊt c¶ c¸c cuéc thi khã, chÝnh v× thÕ t«i nghÜ r»ng mét sè ph¬ng
ph¸p lîng gi¸c ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè cña t«i ®a ra lµ rÊt kh¶ quan.
III. kÕt luËn vµ kiÕn nghÞ
Tr¶i qua thùc tÕ c«ng t¸c gi¶ng d¹y to¸n phæ th«ng, qua mét thêi gian lµm
tr¾c nghiÖm t«i nhËn thÊy:
ViÖc chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè lµ mét c«ng viÖc rÊt khã kh¨n vµ
®ßi hái ngêi chøng minh ph¶i s¸ng t¹o khÐo lÐo ph¶i biÕt sö dông tÊt c¶ c¸c kiÕn
thøc ®· biÕt ®Ó chøng minh mét bÊt ®¼ng thøc. Trong giai ®o¹n hiÖn nay chóng
ta ®ang tËp trung cho c¶i c¸ch gi¸o dôc, trong ®ã cã mét phÇn quan träng lµ c¶i
tiÕn ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y. §Ó ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh, viÖc tiÕp thu
kiÕn thøc míi vµ c«ng viÖc gi¶i to¸n th× ngêi thÇy gi¸o ph¶i lµ ngêi tiªn phong
trong viÖc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña m×nh ®Ó t×m ra nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n
míi, t×m ra nh÷ng c«ng cô míi ®Ó ngµy cµng hoµn thiÖn h¬n b¶n th©n vµ cèng
hiÕn cho nh÷ng ngêi lµm to¸n nh÷ng c«ng cô h÷u hiÖu ®Ó cã thÓ ®i s©u vµo thÕ
giíi cña to¸n häc.
Trªn ®©y lµ ý kiÕn cña t«i vÒ mét sè ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ®Ó gi¶i c¸c bÊt
®¼ng thøc ®¹i sè nh»m gióp cho ngêi chøng minh bÊt ®¼ng thøc cã mét ph¬ng
ph¸p t duy vÒ chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè. Do kinh nghiÖm cha cã nhiÒu
nªn bµi viÕt cña t«i kh«ng tr¸nh khái khuyÕm khuyÕt mÆc dï t«i ®· rÊt cè g¾ng
x¾p xÕp vÒ mÆt ph¬ng ph¸p, lîng bµi tËp vµ cÊu tróc cña bµi viÕt. RÊt mong nhËn
®îc sù ®ãng gãp ý kiÕn cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó bµi viÕt ®îc tèt h¬n.
Cuèi cïng t«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
H¶i D¬ng, ngµy 04 th¸ng 04 n¨m 2008
16
17
- Xem thêm -
.DOC 
17 
73 
131 
