Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Luyện thi Đại học 2013
ĐỀ THI ĐẠI HỌC:
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
1) A- 2011 Cho hai điểm A ( 2;0;1) , B ( 0; -2;3) và mặt phẳng ( P ) : 2 x - y - z + 4 = 0. Tìm tọa độ
điểm M thuộc (P) cho MA = MB = 3 .
Bài giải:
ì2 x - y - z + 4 = 0
ïï
2
2
Gọi M ( x; y; z ) , ta có M Î ( P ) và MA = MB Û í( x - 2 ) + y 2 + ( z - 1) = 9
ï 2
2
2
ïî x + ( y + 2 ) + ( z - 3) = 9
ì2 x - y - z + 4 = 0
ìx = 2y - 2
ïï
ï
Û íx + y - z + 2 = 0
Û í z = 3y
ï
ï7 y 2 - 11y + 4 = 0
2
2
2
î
îï( x - 2 ) + y + ( z - 1) = 9
æ 6 4 12 ö
Û ( x; y; z ) = ( 0;1;3) hoặc ( x; y; z ) = ç - ; ; ÷ .
è 7 7 7ø
æ 6 4 12 ö
Vậy ta có M ( 0;1;3) hoặc M ç - ; ; ÷ .
è 7 7 7ø
2) A- 2011 Cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 4 y - 4 z = 0 và điểm A ( 4;4;0 ) . Viết phương trình
mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
Bài giải:
(S) có tâm I ( 2;2;2 ) , bán kính R = 2 3. Nhận xét: O và A cùng thuộc (S).
Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp r =
OA 4 2
.
=
3
3
Khoảng cách: d ( I , ( P ) ) = R 2 - r 2 =
2
3
(P) đi qua O có phương trình dạng: ax + by + cz = 0 a 2 + b 2 + c 2 > 0 (*)
(
)
(P) đi qua A, suy ra: 4 a + 4 b = 0 Þ b = - a.
2( a + b + c)
2c
2c
2
d ( I, ( P ) ) =
=
Þ
=
Þ 2 a 2 + c 2 = 3c 2 Þ c = ± a.
2
2
2
2
2
2
2
3
a +b +c
2a + c
2a + c
Theo (*) suy ra (P): x - y + z = 0 hoặc x - y - z = 0 .
x - 2 y +1 z
=
=
3) B- 2011 Cho đường thẳng D :
và mặt phẳng ( P ) : x + y + z - 3 = 0. Gọi I là
1
-2
-1
giao điểm của D và ( P ) . Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với D và
MI = 4 14 .
Bài giải:
ì x - 2 y +1 z
=
=
ï
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: í 1
-2
-1 Þ I (1;1;1)
ïî x + y + z - 3 = 0
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO
(
[email protected])
Tổ Toán THPT Phong Điền 1
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Luyện thi Đại học 2013
ìa + b + c - 3 = 0
ìï MI ^ D
ïï
Û ía - 2b - c + 2 = 0
Gọi M ( a; b; c ) , ta có: M Î ( P ) : í
ïî MI = 4 14
ï
2
2
2
ïî( a - 1) + ( b - 1) + ( c - 1) = 224
ìb = 2a - 1
ïï
Û íc = -3a + 4
ï
2
2
2
îï( a - 1) + ( 2 a - 2 ) + ( -3a + 3) = 224
Û ( a; b; c ) = ( 5;9; -11) hoặc ( a; b; c ) = ( -3; -7;13) .
Vậy ta có M ( 5;9; -11) hoặc M ( -3; -7;13) .
x + 2 y -1 z + 5
=
=
và hai điểm A ( -2;1;1) , B ( -3; -1;2 ) . Tìm
1
3
-2
tọa độ điểm M thuộc đường thẳng D sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5.
Bài giải:
Gọi M Î D , suy ra tọa độ M có dạng M ( -2 + t;1 + 3t; -5 - 2t ) .
Þ AM = ( t;3t; -6 - 2t ) ; AB = ( -1; -2;1)
Þ é AM, AB ù = ( -t - 12; t + 6; t )
ë
û
ét = 0
2
2
SDMAB = 3 5 Û ( t + 12 ) + ( t + 6 ) + t 2 = 180 Û t 2 + 12t = 0 Û ê
ët = -12
4) B- 2011 Cho đường thẳng D :
Vậy M ( -2;1; -5) và M ( -14; -35;19 ) .
x +1 y z - 3
= =
. Viết phương trình đường
2
1
-2
thẳng D đi qua A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox.
Bài giải:
Mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với d, có phương trình: 2 x + y - 2 z + 2 = 0.
Gọi B là giao điểm của trục Ox với (P), suy ra D là đường thẳng đi qua các điểm A, B.
Ta có: B Î Ox Þ B ( b;0;0 ) thỏa mãn phương trình 2 b + 2 = 0 Þ B ( -1;0;0 ) .
5) D- 2011 Cho điểm A (1;2;3) và đường thẳng d :
ì x = 1 + 2t
ï
Phương trình D : í y = 2 + 2t
ï z = 3 + 3t
î
x -1 y - 3 z
=
= và mặt phẳng ( P ) : 2 x - y + 2 z = 0. Viết
2
4
1
phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng D , bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mp(P).
Bài giải:
Gọi I là tâm của mặt cầu. Do I Î D Þ I (1 + 2t;3 + 4t; t ) .
6) D- 2011 Cho đường thẳng D :
Mặt cầu tiếp xúc với (P) Û d ( I , ( P ) ) = 1 Û
2 ( 1 + 2t ) - ( 3 + 4t ) + 2t
3
Suy ra I ( 5;11;2 ) hoặc I ( -1; -1; -1) .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO
(
[email protected])
ét = 2
=1Û ê
ët = -1
Tổ Toán THPT Phong Điền 2
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Luyện thi Đại học 2013
Phương trình mặt cầu: ( x - 5) + ( y - 11) + ( z - 2 ) = 1 hoặc ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 1
2
2
2
2
2
2
x -1 y z + 2
= =
và mặt phẳng (P):
2
1
-1
x - 2 y + z = 0 . Gọi C là giao điểm của D và (P), M là một điểm thuộc D . Tính khoảng cách từ M
7) A- 2010 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng D :
đến mp(P), biết MC = 6 .
Đường thẳng D có vectơ chỉ phương v = ( 2;1; -1) và
mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = (1; -2;1) .
Gọi H là hình chiếu của M trên (P), ta có:
cos HMC = cos ( v , n ) .
M
Bài giải:
H
C
P
Ta có:
ˆ
2 - 2 -1
1
=
d ( M, ( P ) ) = MH = MC.cos HMC = MC. cos ( v , n ) = 6.
6 6
6
x +2 y-2 z+3
=
=
8) A- 2010 Cho điểm A(0;0; -2) và D :
. Tính khoảng cách từ A đến D . Viết
2
3
2
phương trình mặt cầu tâm A, cắt D tại hai điểm B, C sao cho BC = 8 .
Bài giải:
Đường thẳng D đi qua điểm M ( -2;2; -3) , nhận v = ( 2;3;2 ) làm vectơ chỉ phương.
Ta có: MA = ( 2; -2;1) Þ év , MA ù = ( 7;2; -10 )
ë
û
év , MA ù
49 + 4 + 100
ë
û
Suy ra: d ( A, D ) =
=
=3
v
4+9+4
Gọi (S) là mặt cầu tâm A, cắt D tại B và C sao cho BC = 8 . Suy ra bán kính của (S) là: R = 5 .
D
9) B- 2010 Trong kh«ng gian täa ®é Oxyz, cho c¸c ®iÓm A(1;0;0), B(0; b;0), C(0;0; c), trong ®ã
b, c > 0 vµ mÆt ph¼ng ( P) : y - z + 1 = 0. X¸c ®Þnh b vµ c, biÕt mÆt ph¼ng (ABC) vu«ng gãc víi
mÆt ph¼ng (P) vµ kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn mÆt ph¼ng (ABC) b»ng
1
.
3
Bài giải:
Mặt phẳng (ABC) có phương trình:
x y z
+ + = 1.
1 b c
Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P): y - z + 1 = 0 , suy ra:
Ta có: d ( O, ( ABC ) ) =
1 1
- = 0 (1)
b c
1
Û
3
1
1
1 1
= Û 2 + 2 = 8 (2)
3
b c
1 1
1+ 2 + 2
b c
1
Từ (1) và (2), do b, c > 0 suy ra b = c = .
2
10) B- 2010 Trong kh«ng gian täa ®é Oxyz, cho ®êng th¼ng D:
x y -1 z
=
= . X¸c ®Þnh täa ®é
2
1
2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO
Tổ Toán THPT Phong Điền 3
(
[email protected])
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Luyện thi Đại học 2013
®iÓm M trªn trôc hoµnh sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn D b»ng OM.
Bài giải:
Đường thẳng D đi qua điểm A ( 0;1;0 ) và có vectơ chỉ phương v = ( 2;1;2 ) .
Do M thuộc trục hoành, nên M có tọa độ ( t;0;0 ) , suy ra: AM = ( t; -1;0 ) .
Þ év , AM ù = ( 2;2t; -t - 2 )
ë
û
Þ d ( M, D ) = OM Û
ét = -1
5t 2 + 4t + 8
= t Û t2 - t - 2 = 0 Û ê
3
ët = 2
Suy ra M ( -1;0;0 ) hoặc M ( 2;0;0 ) .
11) D- 2010 Trong kh«ng gian Oxyz, cho hai mp(P): x + y + z - 3 = 0 vµ (Q): x - y + z - 1 = 0.
ViÕt ph¬ng tr×nh mp(R) vu«ng gãc víi (P) vµ (Q) sao cho kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn (R) b»ng 2.
Bài giải:
Ta có vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) lần lượt là: nP = (1;1;1) và nQ = (1; -1;1) , suy ra:
éë nP , nQ ûù = ( 2;0; -2 ) là vectơ pháp tuyến của (R).
Mặt phẳng (R) có phương trình dạng x - z + D = 0 .
D
D
suy ra:
Ta có d ( O, ( R ) ) =
= 2 Û D = 2 2 hoặc D = -2 2 .
2
2
Vậy phương trình mặt phẳng (R): x - z + 2 2 = 0 hoặc x - z - 2 2 = 0 .
ìx = 3 + t
x y -1 z
ï
vµ D 2 :
2) D- 2010 Trong kh«ng gian Oxyz, cho ®êng th¼ng D1: í y = t
=
= .
2
1
2
ï
îz = t
X¸c ®Þnh täa ®é ®iÓm M thuéc D1 sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn D 2 b»ng 1.
Ta có: + M Î D1 , nên M ( 3 + t; t; t ) .
+ D 2 đi qua A ( 2;1;0 ) và có vectơ chỉ phương v = ( 2;1;2 ) .
Do đó: AM = ( t + 1; t - 1; t ) ; év , AM ù = ( 2 - t;2; t - 3) .
ë
û
év , AM ù
2t 2 -10t + 17
2t 2 -10t + 17
ë
û
suy
ra
Ta có: d ( M, D 2 ) =
=1
=
3
v
3
ét = 1
Û t 2 - 5t + 4 = 0 Û ê
ët = 4
Suy ra M ( 4;1;1) hoặc M ( 7;4;4 ) .
12) A- 2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : 2 x - 2 y - z - 4 = 0 và mặt
cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y - 6 z - 11 = 0 . Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo
một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.
Bài giải:
(S) có tâm I (1;2;3) , bán kính R = 5 .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO
(
[email protected])
Tổ Toán THPT Phong Điền 4
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Luyện thi Đại học 2013
2 - 4 -3- 4
= 3 < R ; suy ra đ.p.c.m
Khoảng cách từ I đến (P): d ( I , ( P ) ) =
3
Gọi H và r lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến, H là hình chiếu vuông góc của I
trên (P): IH = d ( I , ( P ) ) = 3, r = R 2 - IH 2 = 4 .
ì x = 1 + 2t
ï y = 2 - 2t
ï
Tọa độ H ( x; y; z ) thỏa mãn: í
ïz = 3 - t
ïî2 x - 2 y - z - 4 = 0
Giải hệ ta được H ( 3;0;2 ) .
13) A-2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x - 2 y + 2 z - 1 = 0 và 2
x +1 y z + 9
x -1 y - 3 z +1
= =
=
=
và D2:
. Xác định tọa độ điểm M thuộc
1
1
6
2
1
-2
đường thẳng D1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D2 và khoảng cách từ M đến mặt
phẳng (P) bằng nhau.
Bài giải:
D 2 qua A (1;3; -1) và có vectơ chỉ phương u = ( 2;1; -2 ) .
đường thẳng D1:
M Î D1 Þ M ( -1 + t; t; -9 + 6t )
MA = ( 2 - t;3 - t;8 - 6t ) , é MA, u ù = ( 8t - 14;20 - 14t; t - 4 )
ë
û
Þ é MA, u ù = 3 29t 2 - 88t + 68
ë
û
é MA, u ù
ë
û
= 29t 2 - 88t + 68
Khoảng cách từ M đến D 2 : d ( M, D 2 ) =
u
Khoảng cách từ M đến (P): d ( M, ( P ) ) =
-1 + t - 2t + 12t - 18 - 1
12 + ( -2 ) + 2 2
2
=
11t - 20
3
ét = 1
Þ 29t - 88t + 68 =
Û 35t - 88t + 53 = 0 Û ê 53
êt =
3
ë 35
53
æ 18 53 3 ö
t = 1 Þ M ( 0;1; -3) ; t =
Þ Mç ; ; ÷
35
è 35 35 35 ø
2
11t - 20
2
14) B-2009 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A (1;2;1) ,
B ( -2;1;3) , C ( 2; -1;1) và D ( 0;3;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho
khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Bài giải:
Mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: (P) đi qua A, B và song song với CD.
Vec tơ pháp tuyến của (P): n = é AB, CDù .
ë
û
AB = ( -3; -1;2 ) , CD = ( -8; -4; -14 ) Þ n = ( -8; -4; -14 ) .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO
(
[email protected])
Tổ Toán THPT Phong Điền 5
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Luyện thi Đại học 2013
Phương trình (P): 4 x + 2 y + 7z - 15 = 0
Trường hợp 2: (P) qua A, B và cắt CD. Suy ra (P) cắt CD tại trung điểm I của CD.
Ta có: I (1;1;1) Þ AI = ( 0; -1;0 ) ; vectơ pháp tuyến của (P): n = é AB, AI ù = ( 2;0;3)
ë
û
Phương trình (P): 2 x + 3z - 5 = 0 .
Vậy (P): 4 x + 2 y + 7z - 15 = 0 hoặc (P): 2 x + 3z - 5 = 0 .
15) B-2009 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x - 2 y + 2 z - 5 = 0 và hai
điểm A ( -3;0;1) , B (1; -1;3) . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết
phương trình đường thẳng mà khoản g cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Bài giải:
Gọi D là đường thẳng cần tìm; D nằm trong mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P).
Phương trình (Q): x - 2 y + 2 z + 1 = 0 .
B
K, H là hình chiếu của B lên D , (Q). Ta có BK ³ BH
nên AH là đường thẳng cần tìm.
ì x -1 y +1 z - 3
=
=
ï
æ 1 11 7 ö
Tọa độ H ( x; y; z ) thỏa mãn: í 1
-2
2 Þ Hç- ; ; ÷
è 9 9 9ø
H
îï x - 2 y + 2 z + 1 = 0
A
K
æ 26 11 2 ö
x + 3 y z -1 Q
= =
.
AH = ç ; ; - ÷ . Vậy phương trình D :
26
11 -2
è 9 9 9ø
16) D-2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A ( 2;1;0 ) , B (1;2;2 ) , C (1;1;0 ) và
mặt phẳng ( P ) : x + y + z - 20 = 0 . Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường
thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
Bài giải:
ìx = 2 - t
ï
AB = ( -1;1;2 ) , phương trình AB : í y = 1 + t .
ï z = 2t
î
D thuộc đường thẳng AB Þ D ( 2 - t;1 + t;2t ) Þ CD = (1 - t; t;2t ) .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): n = (1;1;1) .
Ta có: C không thuộc mặt phẳng (P).
1
æ5 1
ö
CD //( P) Û n.CD = 0 Û 1. (1 - t ) + 1.t + 1.2t = 0 Û t = - . Vậy D ç ; ; -1 ÷ .
2
è2 2
ø
x +2 y-2 z
=
=
17) D-2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D:
và mặt
1
1
-1
phẳng ( P ) : x + 2y - 3z + 4 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và
vuông góc với đường thẳng D.
Bài giải:
ìx +2 y-2 z
=
=
ï
Tọa độ giao điểm I của D với (P) thỏa mãn hệ: í 1
1
-1 Þ I ( -3;1;1) .
ïî x + 2 y - 3z + 4 = 0
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): n = (1;2; -3) , vectơ chỉ phương của D : u = (1;1; -1) .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO
(
[email protected])
Tổ Toán THPT Phong Điền 6
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Luyện thi Đại học 2013
Đường thẳng d cần tìm qua I và có vectơ chỉ phương v = [ n, u ] = (1; -2; -1) .
ì x = -3 + t
ï
Phương trình d : í y = 1 - 2t .
ïz = 1 - t
î
18) A-2008 Trong không gian với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A ( 2;5;3) và d :
x -1 y z - 2
= =
2
1
2
a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
b) Viết phương trình mp( a ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( a ) lớn nhất .
Bài giải:
a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u = ( 2;1;2 ) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d,
suy ra H (1 + 2t; t;2 + 2t ) ; AH = ( 2t - 1; t - 5;2t - 1) .
Vì AH ^ d suy ra AH.u = 0 Û 2 ( 2t - 1) + t - 5 + 2 ( 2t - 1) = 0 Û t = 1.
Suy ra H ( 3;1;4 ) .
b) Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( a ) .
Ta có: d ( A, ( a ) ) = AK £ AH . Do đó d ( A, ( a ) ) lớn nhất Û AK = AH , hay K º H .
Suy ra ( a ) qua H và nhận AH = (1; -4;1) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình của ( a ) là: 1( x - 3) - 4 ( y - 1) + 1( z - 4 ) = 0 Û x - 4 y + z - 3 = 0.
19) B-2008 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A ( 0;1;2 ) , B ( 2; -2;1) , C ( -2;0;1) .
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
b) Tìm toạ độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2 x + 2 y + z - 3 = 0 sao cho MA = MB = MC .
Bài giải:
a) Ta có: AB = ( 2; -3; -1) , AC = ( -2; -1; -1) Þ n = é AB, AC ù = ( 2;4; -8 ) .
ë
û
Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C nhận n làm vetơ pháp tuyến nên có phương trình:
2 ( x - 0 ) + 4 ( y - 1) - 8 ( z - 2 ) = 0 Û x + 2 y - 4 z + 6 = 0 .
b) Ta có AB. AC = 0 nên điểm M thuộc đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại trung
điểm I ( 0; -1;1) của BC.
ì2 x + 2 y + z - 3 = 0
ï
Tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ phương trình: í x y + 1 z - 1
ïî 1 = 2 = -4
Suy ra M ( 2;3; -7 )
20) D-2008 Trong không gian Oxyz ,cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3).
a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D.
b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài giải:
a) Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng:
x 2 + y 2 + z 2 + 2 ax + 2 by + 2cz + d = 0 ( * ) a 2 + b 2 + c 2 - d > 0 (**)
(
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO
(
[email protected])
)
Tổ Toán THPT Phong Điền 7
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Luyện thi Đại học 2013
ì6 a + 6 b + d = -18
ï
ï6 a + 6c + d = -18
Thay tọa độ của các điểm A, B, C, D vào (*) ta được hệ phương trình: í
ï6 b + 6c + d = -18
îï6 a + 6 b + 6c + d = -27
Giải hệ phương trình trên và đối chiếu điều kiện (**) ta được phương trình mặt cầu:
x 2 + y 2 + z 2 - 3 x - 3 y - 3z = 0 .
æ3 3 3ö
b) Mặt cầu đi qua A, C, C, D có tâm I ç ; ; ÷ .
è2 2 2ø
(
)
Gọi phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là: mx + ny + pz + q = 0 m 2 + n 2 + p 2 > 0 .
Thay tọa độ các điểm A, B, C vào phương trình ta được:
ì3m + 3n + q = 0
ï
í3m + 3 p + q = 0 Þ 6 m = 6 n = 6 p = - q ¹ 0
ï3n + 3 p + q = 0
î
Do đó phương trình mặt phẳng (ABC) là: x + y + z - 6 = 0 .
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là hình chiếu vuông góc H của điểm I trên mặt
phẳng (ABC).
3
3
3
xyz2 =
2 =
2.
Phương trình đường thẳng IH:
1
1
1
ìx + y + z - 6 = 0
ïï
Tọa đọ điểm H là nghiệm của hệ phương trình í x - 3 y - 3 z - 3
2 =
2 =
2
ï
ïî 1
1
1
Giải hệ trên ta được H ( 2;2;2 ) .
21) Dự bị A 1-2008 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
ì5 x - 6 y - 6 z + 13 = 0
x -3 y-3 z -3
d1 :
=
=
; d2 : í
2
2
1
î x - 6 y + 6z - 7 = 0
a) Chứng minh rằng d1 và d2 cắt nhau .
b) Gọi I là giao điểm của d1 và d2 . Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt thuộc d1 , d2 sao cho
tam giác IAB cân tại I và có diện tích bằng
41
.
42
Bài giải:
a) Tọa độ giao điểm của d1 và d2 ( nếu có )là nghiệm của hệ phương trình:
ìx -3 y-3 z -3
ï 2 = 2 = 1
ìx = 1
ï
ï
í5 x - 6 y - 6 z + 13 = 0 Û í y = 1 Vậy d1 cắt d2 tại giao điểm I (1;1;2 ) .
ï x - 6 y + 6z - 7 = 0
ïz = 2
î
ï
î
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO
(
[email protected])
Tổ Toán THPT Phong Điền 8
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
b) d1 đi qua điểm M1 ( 3;3;3) có vectơ chỉ phương u1 = (2;2;1) ;
Luyện thi Đại học 2013
d2 là giao tuyến hai mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến lần lượt là n1 = (5; -6; -6) ; n2 = (1; -6;6) nên
có vectơ chỉ phương là [ n1 ; n2 ] = ( -72; -36; -24 ) . Chọn vectơ chỉ phương là u2 = (6;3;2)
Gọi j là góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 .
u1.u2
20
41
Ta có:
Þ sin j = 1 - cos2 j =
cos j = =
21
u1 . u2 21
1
41
41
=
Þ a =1
Giả sử IA = IB = a > 0. Diện tích của tam giác IAB là S = . IA. IB.sin j = a 2 .
2
42
42
Vậy A nằm trên mặt cầu (S) tâm I bán kính bằng 1:
(S) : ( x - 1)2 + ( y - 1)2 + ( z - 2)2 = 1
ì x = 3 + 2t
ï y = 3 + 2t
ï
Ta có A = d1 Ç ( S ) nên tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình í
ïz = 3 + t
ïî( x - 1)2 + ( y - 1)2 + ( z - 2)2 = 1
ì x = 3 + 2t
2
5
5
7
é
=
Þ
=
;
=
;
=
t
x
y
z
ï y = 3 + 2t
ê
ï
3
3
3
3
Ûí
Þê
êt = - 4 Þ x = 1 ; y = 1 ; z = 5
ïz = 3 + t
ïî(2t + 2)2 + (2t + 2)2 + (t + 1)2 = 1 êë
3
3
3
3
và B = d2 Ç ( S ) nên tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình
ì x = 1 + 6t
ì x = 1 + 6t
13
10
16
é 1
t = Þ x = ; y = ;z =
ï y = 1 + 3t
ï y = 1 + 3t
ê
ï
ï
7
7
7
7
Û í
Þê
í
êt = -1 Þ x = 1 ; y = 4 ; z = 12
ï z = 2 + 2t
ï z = 2 + 2t
ïî( x - 1)2 + ( y - 1)2 + ( z - 2)2 = 1
ïî(6t )2 + (3t )2 + (2t )2 = 1 êë
7
7
7
7
Vậy có 4 cặp điểm A, B cần tìm là:
æ 5 5 7 ö æ 13 10 16 ö
æ 5 5 7 ö æ 1 4 12 ö
hoặc
Aç ; ; ÷ ; B ç ; ; ÷
Aç ; ; ÷ ; B ç ; ; ÷
è3 3 3ø è 7 7 7 ø
è3 3 3ø è7 7 7 ø
æ 1 1 5 ö æ 13 10 16 ö
æ 1 1 5 ö æ 1 4 12 ö
hoặc
Hoặc A ç ; ; ÷ ; B ç ; ; ÷
Aç ; ; ÷ ; B ç ; ; ÷
è3 3 3ø è 7 7 7 ø
è3 3 3ø è 7 7 7 ø
22) Dự bị A 2-2008 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x + 3y - 3z + 1 = 0 ,
x -3 y z +5
= =
đường thẳng d1 :
và 3 điểm A ( 4;0;3) , B ( -1; -1;3) , C ( 3;2;6 ) .
2
9
1
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) .
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo một
đường tròn có bán kính lớn nhất .
Bài giải:
a) Gọi mặt cầu (S) cần tìm có phương trình ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 ax + 2 by + 2cz + d = 0
có tâm I ( -a; -b; -c ) .
Ta có: A, B, C thuộc (S) và I thuộc (P) nên ta có hệ phương trình:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO
(
[email protected])
Tổ Toán THPT Phong Điền 9
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Luyện thi Đại học 2013
ì8a + 6c + d + 25 = 0
ì8a + 6c + d + 25 = 0
ìa = -1
ï-2 a - 2 b + 6c + d + 11 = 0
ï10a + 2 b + 14 = 0
ïb = -2
ï
ï
ï
Ûí
Ûí
í
ï6 a + 4 b + 12c + d + 49 = 0
ï-2 a + 4 b + 6c + 24 = 0
ïc = -3
ïî-2 a - 3b + 3c + 1 = 0
ïîd = 1
îï-2 a - 3b + 3c + 1 = 0
Phương trình mặt cầu: ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y - 6 z + 1 = 0 có tâm I (1;2;3) .
b) Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính lớn nhất là mặt phẳng đi qua tâm I của
mặt cầu.
Đường thẳng d đi qua điểm M(3;0;–5) và có vectơ chỉ phương u = (2;9;1) , IM = ( 2; -2; -8 )
Þ é IM, u ù = ( 70; -18;22 )
ë
û
Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n = ( 35; -9;11) nên có phương trình
(Q): 35 ( x - 1) - 9 ( y - 2 ) + 11( z - 3) = 0 Û 35x - 9 y + 11z - 50 = 0.
23) Dự bị B 1-2008 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d1 :
A ( 5;4;3) , B ( 6;7;2 ) .
x -3 y z +5
= =
và hai điểm
2
9
1
a) Viết phương trình đường thẳng d2 đi qua hai điểm A, B. Chứng minh rằng hai đường
thẳng d1 và d2 chéo nhau
b) Tìm điểm C thuộc d1 sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất
đó.
Bài giải:
a) Đường thẳng d1 qua điểm M ( 3;0;5) và nhận u1 = (2;9;1) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng d2 đi qua điểm A ( 5;4;3) và nhận u2 = AB = (1;3; -1) làm vectơ chỉ phương nên có
x -5 y-4 z -3
=
=
.
phương trình d2 :
1
3
1
Ta có: MA = (2;4;8) và [ u1 , u2 ] = (-12;3; -3) Þ [ u1 , u2 ] . MA = -24 + 12 - 24 = -36 ¹ 0
Vậy hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau .
b) Ta có: C thuộc đường thẳng d1 nên tọa độ C(3 + 2t;9t; -5 + t ) và AC = (2t - 2;9t - 4; t - 8)
Þ é AB, AC ù = (12t - 28; -3t + 10;3t + 2) Þ é AB, AC ù = 162t 2 - 720t + 888
ë
û
ë
û
1
162t 2 - 720t + 888
S ABC = é AB, AC ù =
û
2ë
2
Diện tích nhỏ nhất khi t =
20
25 ö
æ 67
Þ C ç ;20; - ÷ và Smin = 22 (đ.v.d.t)
9
9 ø
è 9
ìx - y + 1 = 0
24) Dự bị B 2-2008 Cho 3 điểm A (1;0; -1) , B ( 2;3; -1) , C (1;3;1) và d: í
îx + y + z = 4
a) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d sao cho thể tích của tứ diện ABCD bằng 1.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác ABC và
vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Bài giải:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO
(
[email protected])
Tổ Toán THPT Phong Điền 10
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
a) AB = (1;3;0); AC = (0;3;2) Þ é AB, AC ù = (6; -2;3)
ë
û
Phương trình mặt phẳng (ABC): 6 x - 2 y + 3z - 3 = 0.
1
7
Diện tích tam giác ABC : S ABC = éë AB, AC ùû =
2
2
3V 6
=
Gọi h là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) : h =
S ABC 7
Luyện thi Đại học 2013
ìx - y + 1 = 0
.
Từ phương trình đường thẳng d: í
x
+
y
+
z
=
4
î
Ta có M ( 0;1;3) , N ( -1;0;5) Þ NM = (1;1; -2 ) .
ìx = t
ï
Phương trình đường thẳng d: í y = 1 + t
ï z = 3 - 2t
î
Ta có: D Î d Þ D ( t;1 + t;3 - 2t ) . Do h =
ét = 5
é D(5;6; -7)
6
| 4 - 2t | 6
Þ
= Þê
Þê
7
7
7
ët = -1 ë D(-1;0;5)
b) Gọi H ( a; b; c ) là tọa độ trực tâm tam giác ABC:
AH = (a - 1; b; c + 1) ; BH = (a - 2; b - 3; c + 1) ; BC = (-1;0;2) ; AC = (0;3;2)
Ta có hệ phương trình
ì AH. BC = 0 ì- a + 2c + 2 = 0
85
135
-31
ïï
ï
; c=
Þa= ; b=
í BH. AC = 0 Þ í3b + 2c - 7 = 0
49
49
49
ï H Î ( ABC) ï6 a - 2 b + 3c - 3 = 0
î
ïî
85
ì
ï x = 49 + 6t
ï
135
ï
- 2t
Phương trình đường thẳng cần tìm í y =
49
ï
-31
ï
ï z = 49 + 3t
î
x -1 y -1 z
=
=
25) Dự bị D-2008 Cho mặt phẳng (a): 2 x - y + 2 z + 1 = 0 và: d :
1
2
-2
a) Tìm tọa độ giao điểm của d với (a). Tính sin của góc giữa d và (a).
b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d tiếp xúc với hai mặt phẳng (a) và (Oxy).
Bài giải:
a) Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mp(a) là nghiệm hệ phương trình :
ì2 x - y - 1 = 0
ìx = 3 / 2
ì x -1 y -1 z
=
=
ï
ï
ï
æ3
ö
Û í y = 2 Þ A ç ;2; -1 ÷
2
-2 Û í y + z - 1 = 0
í 1
è2
ø
ï
ï
îï2 x - y + 2 z + 1 = 0
î2 x - y + 2 z + 1 = 0
î z = -1
d có VTCP u = (1;2; -2) ; (a) có vectơ pháp tuyến n = (2; -1;2) .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO
(
[email protected])
Tổ Toán THPT Phong Điền 11
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Luyện thi Đại học 2013
u.v
4
Gọi j là góc giữa d và (a) Þ sin j = =
u.v 9
b) Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mp(Oxy) là nghiệm hệ phương trình :
ìx = 1
ì x -1 y -1 z
=
=
ï
ï
2
-2 Û í y = 1 Þ B (1;1;0 )
í 1
ï
îï z = 0
îz = 0
Mặt cầu có tâm I thuộc d tiếp xúc với (a) và (Oxy) Þ Tâm I là trung điểm AB
1
æ5 3 1ö
Tâm I ç ; ; - ÷ bán kính R = d ( I ;(Oxy) ) =
2
è4 2 2ø
2
2
2
5ö æ
3ö æ
1ö
1
æ
Phương trình mặt cầu cần tìm ( S ) : ç x - ÷ + ç y - ÷ + ç z + ÷ =
4ø è
2ø è
2ø
4
è
ì x = -1 + 2t
ï
và d2 : í y = 1 + t
ïz = 3
î
x y -1 z + 2
=
26) A-2007 Trong không gian Oxyz, cho d1 : =
2
-1
1
a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.
b) Viết phương trình đườ ng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7 x + y - 4 z = 0 và cắt
hai đường thẳng d1 và d2 .
Bài giải:
a)
+ d1 đi qua M ( 0;1; -2 ) , có vectơ chỉ phương u1 = ( 2; -1;1) ,
+ d2 đi qua N ( -1;1;3) , có vectơ chỉ phương u2 = ( 2;1;0 ) .
Ta có [ u1 , u2 ] = ( -1;2;4 ) và MN = ( -1;0;5) .
[ u1, u2 ] . MN = 21 ¹ 0 Þ d1 và d2 chéo nhau.
b) Giả sử d cắt d1 và d2 lần lượt tại A, B. Vì A Î d1 , B Î d2 nên
A ( 2s;1 - s; -2 + s ) , B ( -1 + 2t;1 + t;3) Þ AB = ( 2t - 2s - 1; t + s; -s + 5) .
(P) có vec tơ pháp tuyến n = ( 7;1; -4 ) .
Ta có AB ^ ( P ) Û AB cùng phương với n .
ì5t + 9s + 1 = 0
ìs = 1
2t - 2s - 1 t + s -s + 5
=
=
Ûí
Ûí
7
1
-4
î4t + 3s + 5 = 0
ît = -2
x - 2 y z +1
= =
Phương trình của d là:
7
1
-4
27) B-2007 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y + 2 z - 3 = 0 và mặt
Û
phẳng ( P ) : 2 x - y + 2 z - 14 = 0 .
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính
bằng 3.
b) Tìm toạ độ M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mp(P) lớn nhất.
Bài giải:
2
2
2
a) (S): ( x - 1) + ( y + 2 ) + ( z + 1) = 9 có tâm I (1; -2; -1) và bán kính R = 3.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO
(
[email protected])
Tổ Toán THPT Phong Điền 12
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Luyện thi Đại học 2013
Mặt phẳng (Q) cắt (S) theo tròn có
bán kính R = 3 nên (Q) chứa I.
(Q) có cặp vectơ chỉ phương là: OI = (1; -2; -1) , i = (1;0;0 )
Þ vectơ pháp tuyến của (Q) là: n = ëéOI , i ûù = ( 0; -1;2 ) .
Phương trình của (Q) là: 0. ( x - 0 ) - 1. ( y - 0 ) + 2 ( z - 0 ) = 0 Û y - 2 z = 0.
b) Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P). Đường thẳng d cắt (S) tại hai điểm A, B.
Nhận xét: Nếu d ( A, ( P ) ) ³ d ( B, ( P ) ) thì d ( M, ( P ) ) lớn nhất khi M º A.
x -1 y + 2 z +1
=
=
.
2
-1
2
Tọa độ giao điểm của d và (S) là nghiệm của hệ phương trình:
ì x -1 y + 2 z +1
ï 2 = -1 = 2
í
2
2
2
ï
î( x - 1) + ( y + 2 ) + ( z + 1) = 9
Giải hệ ta tìm được hai giao điểm A ( -1; -1; -3) , B ( 3; -3;1) .
Phương trình đường thẳng d:
Ta có: d ( A, ( P ) ) = 7 ³ d ( B, ( P ) ) = 1 .
Vậy khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất khi M ( -1; -1; -3) .
28) D- 2007 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 4; 2 ) , B ( -1; 2; 4 ) và đường
x -1 y + 2 z
=
= .
-1
1
2
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc
với mặt phẳng (OAB).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng D sao cho MA2 + MB 2 nhỏ nhất.
Bài giải:
a) Tọa độ trọng tâm: G ( 0;2;2 ) . Ta có: OA = (1;4;2 ) , OB = ( -1;2;4 )
Vectơ chỉ phương của d là: n = (12; -6;6 ) = 6 ( 2; -1;1) .
thẳng D :
x y-2 z-2
=
=
.
2
-1
1
2
b) Vì M Î D Þ M (1 - t; -2 + t;2t ) Þ MA2 + MB 2 = 12t 2 - 48t + 76 = 12 ( t - 2 ) + 28 ³ 28 .
Phương trình đường thẳng d:
Ta có: MA2 + MB 2 nhỏ nhất Û t = 2 . Khi đó M ( -1;0;4 ) .
29) Dự bị 1-A-2007 Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(-1;3;-2), B(-3;7;-18) và
mp ( P ) : 2 x - y + z + 1 = 0 .
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P) .
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho MA +MB nhỏ nhất.
Bài giải:
a) Ta có AB = (-2;4; -16) cùng phương với a = ( -1;2; -8 ) .
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = ( 2; -1;1) . Ta có [ n, a ] = ( 6;15;3) cùng phương với (2;5;1)
Phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (P) là:
2 ( x + 1) + 5 ( y - 3) + 1( z + 2 ) = 0 Û 2 x + 5y + z - 11 = 0
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO
(
[email protected])
Tổ Toán THPT Phong Điền 13
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Luyện thi Đại học 2013
b) Vì khoảng cách đại số của A và B cùng dấu nên A, B ở cùng phía với mặt phẳng (P). Gọi A' là
x +1 y - 3 z + 2
=
=
điểm đối xứng với A qua (P). Phương trình AA' :
2
1
-1
ì2 x - y + z + 1 = 0
ï
Ta có AA' cắt (P) tại H, tọa độ H là nghiệm của hệ: í x + 1 y - 3 z + 2 Þ H (1;2; -1)
=
=
-1
1
îï 2
ì2 x H = x A + x A '
ï
Vì H là trung điểm của AA' nên ta có: í2 yH = y A + y A ' Þ A ' ( 3;1;0 )
ï
î2 z H = z A + z A '
Ta có A ' B = (-6;6; -18) (cùng phương với (1; -1;3) )
Phương trình đường thẳng A'B :
x - 3 y -1 z
=
=
1
-1 3
ì2 x - y + z + 1 = 0
ï
Vậy tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: í x - 3 y - 1 z Þ M ( 2;2; -3)
=
=
-1 3
îï 1
30) Dự bị 2-A-2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 0;4;0 ) ,
ì6 x - 3 y + 2 z = 0
C ( 2;4;6 ) và đường thẳng d: í
î6 x + 3 y + 2 z - 24 = 0
a) Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng D // d và cắt các đường thẳng AB, OC.
Bài giải:
a) Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là (-2;4;0) hay a = (-1;2;0) , vectơ chỉ phương
của đường thẳng OC là (2;4;6) hay b = (1;2;3) .
và OA = (2;0;0) cùng phương với c = (1;0;0)
Lúc đó: é a, b ù .c = 6 ¹ 0 Û AB và OC chéo nhau.
ë û
b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ( -12;0;36 ) hay u = ( -1;0;3)
Ta có é a, u ù = ( 6;3;2 )
ë
û
Phương trình mặt phẳng (a) đi qua A, có PVT é a, u ù :
ë
û
(a ) : 6 ( x - 2 ) + 3 ( y - 0 ) + 2 ( z - 0 ) = 0 Û 6 x + 3y + 2 z - 12 = 0
Ta có é b, u ù = 2 ( 3; -3;1)
ë
û
Phương trình mặt phẳng (b) qua O có vectơ pháp tuyến là n = ( 3; -3;1) : ( b ) : 3x - 3y + z = 0 .
ì6 x + 3y + 2 z - 12 = 0
Vậy phương trình đường thẳng D song song với d cắt AB, BC là: í
î3x - 3y + z = 0
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO
(
[email protected])
Tổ Toán THPT Phong Điền 14
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Luyện thi Đại học 2013
31) Dự bị 1–B-2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A ( -3;5; -5) , B ( 5; -3;7 )
và mặt phẳng ( P ) : x + y + z = 0 .
a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
b) Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA2 + MB 2 nhỏ nhất.
Bài giải:
a) Đường thẳng AB có VTCP a = ( 8; -8;12 ) = 4 ( 2; -2;3)
ì x = -3 + 2t
ï
Phương trình đường thẳng AB: í y = 5 - 2t
ï
î z = -5 + 3t
Điểm I ( -3 + 2t;5 - 2t; -5 + 3t ) Î AB Ç ( P ) khi ( -3 + 2t ) + ( 5 - 2t ) + ( -5 + 3t ) = 0 Û t = 1
Vậy đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại I ( -1;3; -2 ) .
b) Gọi H là trung điểm của đoạn AB.
AB 2
2
2
2
2
Do đó MA + MB nhỏ nhất Û MH nhỏ nhất. Ta để thấy H (1;1;1) , M Î ( P ) .
Tam giác MAB có trung tuyến MH nên: MA2 + MB 2 = 2 MH 2 +
Suy ra MH nhỏ nhất Û MH ^ (P) và để ý rằng mặt phẳng (P): x + y + z = 0 có vectơ pháp
OH = (1;1;1) và OÎ (P) Þ M º O ( 0;0;0 ) .
Vậy, với M(0, 0, 0) thì MA2 + MB2 nhỏ nhất.
(khi đó, ta có min(MA2 + MB2) = OA2 + OB2 = (9 + 25 + 25) + (25 + 9 + 49) = 142)
32) Dự bị 1- B- 2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A ( 2;0;0 ) , M ( 0; -3;6 ) .
a) Chứng minh rằng mặt phẳng ( P ) : x + 2 y - 9 = 0 tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính
MO. Tìm toạ độ tiếp điểm .
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tương
ứng B, C sao cho VOABC = 3 (đ.v.t.t ).
Bài giải:
a) Theo giả thiết A ( 2;0;0 ) , M ( 0; -3;6 ) , O ( 0;0;0 ) .
Bán kính mặt cầu R = MO =
( -3)
2
+ 62 = 3 5 .
Khoảng cách từ tâm M của mặt cầu đến mặt phẳng (P): x + 2 y - 9 = 0
d ( M, ( P ) ) =
0-6-9
15
=3 5 = R
5
5
Vậy (P) tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO.
Phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) là:
ìx = t
ìx y+3
ï =
ï
2 Û í y = -3 + 2t (t Î R)
í1
ïî z = 6
ï
îz = 6
=
Thế vào phương trình (P) ta có: t + 2 ( 2t - 3) - 9 = 0 Û t = 3
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO
(
[email protected])
Tổ Toán THPT Phong Điền 15
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Vậy tọa độ tiếp điểm I của mặt cầu với mặt phẳng (P) là t ( 3;3;6 ) .
Luyện thi Đại học 2013
b) Gọi b là tung độ của B, c là cao độ của điểm C.
x y z
Vì A ( 2;0;0 ) Î Ox nên phương trình (Q): + + = 1
2 b c
3 6
Ta có M ( 0; -3;6 ) Î mặt phẳng (yOz) nên: - + = 1 Û 6 b - 3c = bc (1)
b c
bc
1
2 1
= 3 Þ bc = 9 (2)
Ta lại có VOABC = OA.SOBC = . bc =
3
3 2
3
ìbc = 9
ìbc = -9
hay í
Từ (1) và (2) ta có í
î6 b - 3c = 9
î6 b - 3c = -9
3
ì
ïb = Û b = c = 3 hay í
2
îïc = -6
x y z
x 2y z
+ + = 1 hoặc
- = 1.
2 3 3
2 3 6
x - 3 y + 2 z +1
=
=
33) Dự bị 1- D-2007 Cho đường thẳng d :
và mp ( P ) : x + y + z + 2 = 0 .
2
1
-1
a) Tìm giao điểm M của d và P .
b) Viết phương trình D Ì ( P) sao cho D ^ d và d ( M, D ) = 42 .
Vậy có 2 mặt phẳng (Q) có phương trình là:
Bài giải:
a) Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
ì x = 3 + 2t
ï
Phương trình số của d: í y = -2 + t có vec tơ chỉ phương là a = ( 2;1; -1)
ï z = -1 - t
î
Thế vào phương trình (P): ( 3 + 2t ) + ( -2 + t ) + ( -1 - t ) + 2 = 0 Û t = -1 Þ M (1; -3;0 ) .
Mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc (P) có vectơ pháp tuyến là nQ = é a, n P ù = ( 2; -3;1)
ë
û
Suy ra phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc (P) là:
Q
( Q ) : 2 ( x - 1) - 3 ( y + 3) + 1( z - 0 ) = 0 Û 2 x - 3y + z - 11 = 0
b) Phương trình đường thẳng (d') hình chiếu của d lên mp(P) là:
ìx + y + z + 2 = 0
d': í
có vectơ chỉ phương a d ' = ( 4;1; -5)
î2 x - 3 y + z - 11 = 0
d
N
M
ì x = 1 + 4t
ï
Þ Phương trình tham số của d': í y = -3 + t
ï z = -5t
î
Trên d' tìm điểm N sao cho MN =
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO
d'
P
D
42 . Vì N Î d ' Þ N ( 4t + 1; -3 + t; -5t ) .
(
[email protected])
Tổ Toán THPT Phong Điền 16
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
ét = 1
2
2
MN = ( 4t ) + t 2 + ( -5t ) = 42t 2 = 42 Þ t 2 = 1 Û ê
ët = -1
Luyện thi Đại học 2013
* Với t = 1 Þ N2 ( 5; -2; -5)
Đường thẳng D1 qua N1 nằm trong (P), vuông góc d' có vectơ chỉ phương
a D1 = é n P , a d ' ù = ( -6;9; -3) = -3 ( 2; -3;1) .
ë
û
x -5 y+2 z+5
=
=
Vậy phương trình D1:
2
-3
1
* Với t = -1 Þ N2 ( -3; -4;5)
Đường thẳng D2 qua N2 nằm trong (P), vuông góc d' có vectơ chỉ phương
a D2 = é n P , a d ' ù = -3 ( 2; -3;1)
ë
û
x +3 y+4 z-5
=
=
Vậy phương trình D2:
2
1
-3
34) Dự bị 1- D-2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mp(P): x - 2 y + 2 z - 1 = 0 và 2
x -1 y - 3 z
x -5 y z+5
=
= ;
d2 :
= =
.
đường thẳng d1 :
2
-3
2
6
4
-5
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 và (Q) vuông góc với (P).
b) Tìm các điểm M Î d1 , N Î d 2 sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.
Bài giải:
a) d1 đi qua A (1;3;0 ) và có vectơ chỉ phương a = ( 2; -3;2 ) . Mặt phẳng (P) có PVT nP = (1; -2;2 )
Mặt phẳng (Q) chứa d1 và ^ (P) nên (Q) có vectơ pháp tuyến nQ = é a, nP ù = ( -2; -2; -1)
ë
û
Vậy (Q) qua A có vectơ pháp tuyến nQ = ( -2; -2; -1) nên phương trình (Q):
-2 ( x - 1) - 2 ( y - 3) - 1( z - 0 ) = 0 Û 2 x + 2 y + z - 8 = 0
ì x = 1 + 2t
ï
b) Phương trình trình tham số d1: í y = 3 - 3t . Do M Î d1 Þ M (1 + 2t;3 - 3t;2t )
ï z = 2t
î
ì x = 5 + 6t '
ï
. Do M Î d2 Þ N ( 5 + 6t ';4t '; -5 - 5t ' )
Phương trình tham số d2: í y = 4t '
ï z = -5 - 5t '
î
Vậy MN = ( 6t '- 2t + 4;4t '+ 3t - 3; -5t '- 2t - 5) . Mặt phẳng (P) có PVT nP = (1; -2;2 )
Vì MN // (P) Û MN.nP = 0 Û 1( 6t '- 2t + 4 ) - 2 ( 4t '+ 3t - 3) + 2 ( -5t '- 2t - 5) = 0 Û t = -t '
Ta lại có khoảng cách từ MN đến (P) bằng d(M, P) vì MN // (P)
1 + 2t - 2 ( 3 - 3t ) + 2 ( 2t ) - 1
1+ 4 + 4
é -6 + 12t = 6
ét = 1
Ûê
= 2 Û -6 + 12t = 6 Û ê
ë -6 + 12t = -6
ët =0
* Với t = 1 Þ t ' = -1 Þ M1 ( 3;0;2 ) , N1 ( -1; -4;0 ) .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO
(
[email protected])
Tổ Toán THPT Phong Điền 17
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
* Với t = 0 Þ t ' = 0 Þ M1 (1;3;0 ) , N1 ( 5;0; -5) .
Luyện thi Đại học 2013
35) A- 2006 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với
A ( 0;0;0 ) , B (1;0;0 ) , D ( 0;1;0 ) , A ' ( 0;0;1) . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN.
b) Viết phương trình mp chứa A'C và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc a biết cos a =
1
6
Bài giải:
a) Gọi (P) là mặt phẳng chứa A’C và song song với MN. Khi đó: d ( A ' C, MN ) = d ( M, ( P ) ) .
æ1
ö
æ1
ö
Ta có: C (1;1;0 ) , M ç ;0;0 ÷ , N ç ;1;0 ÷ Þ A ' C = (1;1; -1) , MN = ( 0;1;0 )
è2
ø
è2
ø
Þ é A ' C, MN ù = (1;0;1) .
ë
û
Mặt phẳng (P) đi qua điểm A ' ( 0;0;1) , có vec tơ pháp tuyến là n = (1;0;1) , có phương trình là:
1. ( x - 0 ) + 0. ( y - 0 ) + 1. ( z - 1) = 0 Û x + z - 1 = 0 .
Vậy d ( A ' C, MN ) = d ( M, ( P ) ) =
1
+ 0 -1
2
=
1
.
2 2
1 + 0 +1
b) Gọi mặt phẳng cần tìm là (Q): ax + by + cz + d = 0 a 2 + b 2 + c 2 > 0 .
2
2
2
(
)
ìc + d = 0
Û c = -d = a + b .
Vì (Q) đi qua A ' ( 0;0;1) và C (1;1;0 ) nên: í
+
+
=
0
a
b
d
î
Do đó, phương trình của (Q) có dạng: ax + by + ( a + b ) z - ( a + b ) = 0.
Mặt phẳng (Q) có vec tơ pháp tuyến n = ( a; b; a + b ) , mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến k = ( 0;0;1) .
1
1
nên cos n, k =
Vì góc giữa (Q) và (Oxy) là a mà cos a =
6
6
a+b
é a = -2 b
1
2
Û
=
Û 6 ( a + b ) = 2 a 2 + b 2 + ab Û ê
2
6
ë b = -2 a
a2 + b2 + ( a + b )
( )
(
)
Với a = -2 b , chọn b = -1 , được mặt phẳng ( Q1 ) : 2 x - y + z - 1 = 0.
Với b = -2 a , chọn a = 1 , được mặt phẳng ( Q2 ) : x - 2 y - z + 1 = 0.
36) B-2006 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 0;1;2 ) và hai đường thẳng:
ìx = 1 + t
ï
d1 : í y = -1 - 2t ;
ï
î z = 2 + t.
d2 :
x y -1 z +1
=
=
2
1
-1
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A ,đồng thời song song với d1 và d2 .
b) Tìm toạ độ điểm N thuộc d1 và điểm M thuộc d2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.
Bài giải:
a) Vectơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là: u1 = ( 2;1; -1) và u2 = (1; -2;1) .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO
(
[email protected])
Tổ Toán THPT Phong Điền 18
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Þ Vectơ pháp tuyến của (P) là: Vectơ n = [ u1 , u2 ] = ( -1; -3; -5) .
Luyện thi Đại học 2013
Vì (P) qua A ( 0;1;2 ) Þ ( P ) : x + 3y + 5z - 13 = 0.
Do B ( 0;1; -1) Î d1 , C (1; -1;2 ) Î d2 nhưng B, C Ï ( P ) nên d1 , d2 // ( P ) .
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là (P): x + 3y + 5z - 13 = 0 .
b) Vì M Î d1 , N Î d2 nên M ( 2 m;1 + m; -1 - m ) , N (1 + n; -1 - 2 n;2 + n ) .
Þ AM = ( 2 m; m; -3 - m ) , AN = (1 + n; -2 - 2 n; n )
Þ é AM, AN ù = ( -mn - 2 m - 6 n - 6; -3mn - m - 3n - 3; -5mn - 5m ) .
ë
û
A, M, N thẳng hàng Û é AM, AN ù = 0 Û m = 0, n = -1 Þ M ( 0;1; -1) , N ( 0;1;1) .
ë
û
37) D-2006 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;2;3) và hai đường thẳng:
x -2 y+2 z -3
x -1 y -1 z +1
=
=
; d2 :
=
=
2
-1
1
-1
2
1
a) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 .
b) Viết phương trình đường thẳng D đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 .
d1 :
Bài giải:
a) Mặt phẳng ( a ) đi qua A (1;2;3) và vuông góc với d1 , có phương trình là:
2 ( x - 1) - ( y - 2 ) + ( z - 3) = 0 Û 2 x - y + z - 3 = 0.
Tọa độ giao điểm H của d1 và ( a ) là nghiệm của hệ:
ìx = 0
ìx -2 y+2 z -3
=
=
ï
ï
-1
1 Û í y = -1 Þ H ( 0; -1;2 )
í 2
ïî2 x - y + z - 3 = 0
ï
îz = 2
Vì A’ đối xứng với A qua d1 nên H là trung điểm của AA’ Þ A ' ( -1; -4;1) .
b) Vì D đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 , nên D đi qua giao điểm B của d2 và ( a ) .
Tọa độ giao điểm B của d2 và ( a ) là nghiệm của hệ:
ìx = 2
ì x -1 y -1 z +1
=
=
ï
ï
2
1 Û í y = -1 Þ B ( 2; -1; -2 ) .
í -1
ïî2 x - y + z - 3 = 0
ï
î z = -2
Vectơ chỉ phương của D là: u = AB = (1; -3; -5) .
x -1 y - 2 z - 3
=
=
.
1
-3
-5
38) Dự bị 1- A- 2006 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C'
có A ( 0;0;0 ) , B ( 2;0;0 ) , C ( 0;2;0 ) , A ' ( 0;0;2 ) .
a) Chứng minh A'C vuông góc với BC'. Viết phương trình mặt phẳng (ABC').
b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B'C' trên mặt phẳng (ABC').
39) Dự bị 2- A- 2006 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( a ) : 3x + 2 y - z + 4 = 0 và hai
Phương trình của D là:
điểm A ( 4;0;0 ) , B ( 0;4;0 ) .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
a) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (a ) .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO
(
[email protected])
Tổ Toán THPT Phong Điền 19
Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Luyện thi Đại học 2013
b) Xác định toạ độ K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (a ) , đồng thời K cách đều gốc
toạ độ O và mặt phẳng (a ) .
40) Dự bị 1- B- 2006 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
ìx = 1 + t
x - 3 y -1 z
ï
=
=
d1 : í y = -1 - t ; d2 :
2
1
-1
ïz = 2
î
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d 1 và song song với đường d2.
b) Xác định điểm A trên d1 và điểm B trên d2 sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất .
41) Dự bị 2 - B- 2006 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho mp ( P ) : 2 x - y + 2 z + 5 = 0 và
các điểm A ( 0;0;4 ) , B ( 2;0;0 ) .
a) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
42) Dự bị 1- D-2006 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mp(P): 4 x - 3y + 11z - 26 = 0 và
x y - 3 z +1
x -4 y z -3
=
=
; d2 :
= =
.
hai đường thẳng d1 :
-1
2
3
1
1
2
a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau .
b) Viết phương trình đường thẳng D Ì ( P) , đồng thời cắt cả d1 và d2 .
x -1 y + 3 z - 3
=
=
43) A-2005 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d :
và
-1
2
1
mặt phẳng ( P ) : 2 x + y - 2 z + 9 = 0 .
a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham
số của đường thẳng D nằm trong mặt phẳng (P), biết D đi qua A và vuông góc với d.
Bài giải:
ìx = 1- t
ï
a) Phương trình tham số của d: í y = -3 + 2t .
ï
îz = 3 + t
Ta có: I Î d Þ I (1 - t ; -3 + 2t ;3 + t ) , d ( I , ( P ) ) =
-2t + 2
3
ét = 4
Þ d ( I ,( P) ) = 2 Û 1- t = 3 Û ê
ët = -2
Vậy có hai điểm I1 ( -3;5;7 ) , I 2 ( 3; -7;1) .
b) Vì A Î d Þ A (1 - t ; -3 + 2t ;3 + t ) .
Ta có A Î ( P ) Û 2 (1 - t ) + ( -3 + 2t ) - 2 ( 3 + t ) + 9 = 0 Û t = 1
Vậy A ( 0; -1; 4 ) .
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = ( 2;1; -2 ) .
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u = ( -1; 2;1) .
Vì D Ì ( P ) và D ^ d nên D có vectơ chỉ phương uD = [ n , u ] = ( 5;0;5 ) .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO
(
[email protected])
Tổ Toán THPT Phong Điền 20
.PDF 
32 
126 
90 
