CẨM NANG CHO MÙA THI
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH
MIN - MAX
(ÔN THI THPT QUỐC GIA)
NGUYỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/ng.huubien
Email:
[email protected]
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
Bài 1: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của: P =
x+ y
y+z
z+x
+
+
xy + z
yz + x
zx + y
Hướng dẫn
Ta có x + y + z = 1 ⇒ x + y = 1 − z , ta có:
x+ y
1− z
1− z
=
=
xy + z
xy + 1 − x − y
(1 − x )(1 − y )
y+z
1− x
1− x
=
=
yz + x
yz + 1 − y − z
(1 − y )(1 − z )
z+x
1− y
1− y
=
=
zx + y
zx + 1 − x − z
(1 − x )(1 − z )
x+ y
y+z
z+x
1− z
1− x
1− y
=
+
+
Khi đó P =
+
+
xy + z
yz + x
zx + y
(1 − x)(1 − y )
(1 − y )(1 − z )
(1 − x )(1 − z )
≥ 33
1− z
1− x
1− y
.
.
=3.
(1 − x)(1 − y ) (1 − y )(1 − z ) (1 − x)(1 − z )
Vậy MinP = 3 đạt được khi x = y = z =
1
3
Bài 2: Cho x, y, z là ba số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 3.
Chứng minh rằng với ∀a ≥ 1 ta luôn có :
1
1
1
x
y
z
+ y+ z ≥ x+ y+ z.
x
a
a
a
a
a
a
Hướng dẫn
* Với a = 1 ta thấy BĐT đúng .
* Ta xét khi a > 1.
t
1
1
Hàm số y = y = t = nghịch biến với ∀t ∈ R , khi a > 1.
a a
Khi đó ta có
Ta có : ( x − y )(
1
1
x
y
x
y
− y ) ≤ 0, ∀x, y ∈ R. Suy ra x + y ≤ y + x (1)
x
a
a
a
a
a
a
Chứng minh tương tự
y
z
z
y
+ z ≤ y + z (2)
y
a
a
a
a
Cộng vế với vế (1) ,(2) và (3) ta được 2(
Cộng 2 vế của (4) với biểu thức
3(
z
x
x
z
+ x ≤ z + x (3)
z
a
a
a
a
x
y
z
y+ z z+ x x+ y
+ y + z ) ≤ x + y + z (4)
x
a
a
a
a
a
a
x
y
z
+ y + z ta được
x
a
a
a
x
y
z
x+ y+ z x+ y+ z x+ y+ z
1
1
1
+ y + z)≤
+
+
= ( x + y + z )( x + y + z )
x
x
y
z
a
a
a
a
a
a
a
a
a
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 1
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
Suy ra
1
1
1
x
y
z
+ y + z ≥ x + y + z . ( do x + y + z = 3 )
x
a
a
a
a
a
a
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = y = z = 1. (đpcm)
Bài 3: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 3.
Chứng minh rằng:
1
1
1
1
+
+
≤
.
2
2
1 + a (b + c) 1 + b (c + a ) 1 + c (a + b) abc
2
Hướng dẫn
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: 3 = ab + bc + ca ≥ 3 3 (abc)2 ⇒ abc ≤ 1 .
Suy ra: 1 + a 2 (b + c) ≥ abc + a 2 (b + c) = a(ab + bc + ca) = 3a ⇒
Tương tự ta có:
1
1
≤
(1).
1 + a (b + c) 3a
2
1
1
1
1
(2),
(3).
≤
≤
2
1 + b (c + a ) 3b
1 + c (a + b) 3c
2
Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:
1
1
1
1 1 1 1 ab + bc + ca
1
+
+
≤ ( + + )=
=
□.
2
2
1 + a (b + c) 1 + b (c + a ) 1 + c (a + b) 3 c b c
3abc
abc
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc = 1, ab + bc + ca = 3 ⇒ a = b = c = 1, (a, b, c > 0).
Bài 4: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn − 1 − 2 2 < x < −1 + 2 2 , y > 0, z > 0 và
x + y + z = −1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
1
1
1
+
+
.
2
2
( x + y)
( x + z) 8 − ( y + z)2
Hướng dẫn
1
1
1
1
1
1
+
+
=
+
+
2
2
2
2
2
(−1 − z )
(−1 − y )
8 − (−1 − x)
(1 + y )
(1 + z )
8 − (1 + x) 2
1
1
1
+
≥
Ta sẽ chứng minh
2
2
(1 + y )
(1 + z )
1 + yz
1
1
1
Thật vậy:
+
≥
⇔ (1 + yz)[(1 + z ) 2 + (1 + y ) 2 ] ≥ [(1 + z )(1 + y )]2 .
2
2
(1 + y ) (1 + z ) 1 + yz
⇔ (1 + yz )( 2 + 2 z + 2 y + z 2 + y 2 ) ≥ (1 + zy + z + y ) 2
Ta có P =
⇔ 2( z + y )(1 + zy ) + 2(1 + yz ) + (1 + zy )( y − z ) 2 + 2 zy (1 + yz )
≥ (1 + zy ) 2 + 2( z + y )(1 + zy ) + ( z + y ) 2
⇔ (1 + zy )( y − z ) 2 + 2 + 4 yz + 2 y 2 z 2 − (1 + yz ) 2 − ( y − z ) 2 − 4 yz ≥ 0
⇔ yz ( y − z ) 2 + (1 − yz ) 2 ≥ 0 (hiển nhiên đúng).
Dấu “=” xảy ra khi y = z = 1 .
Ta lại có
y+z
≥
2
2
2
( −1 − x )
(1 + x)
y+z
yz ⇒ yz ≤
=
=
4
4
2
2
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 2
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
Do đó
⇒P≥
1
1
1
+
≥
≥
2
2
(1 + y )
(1 + z ) 1 + yz
1
4
=
2
(1 + x)
4 + (1 + x) 2
1+
4
4
1
+
2
4 + (1 + x) 8 − ( x + 1) 2
Do − 1 − 2 2 < x < −1 + 2 2 nên ( x + 1) 2 ∈ [0;8) .
Đặt t = (1 + x) 2 ⇒ t ∈ [0;8) và P ≥
4
1
+
4+t 8−t
4
1
4
1
− 3t 2 + 72t − 240
+
+
=
Xét f (t ) =
với t ∈ [0;8) . f ' (t ) = −
4+t 8−t
(4 + t ) 2 (8 − t ) 2
(4 + t ) 2 (8 − t ) 2
f ' (t ) = 0 ⇔ −3t 2 + 72t − 240 = 0 ⇔ t = 4; t = 20 (loại)
Bảng biến thiên
t
0
8
-
f’(t)
f(t)
4
0
+
9
8
+∞
3
4
(1 + x) 2 = 4
x = −3
3
3
Do đó P ≥ f (t ) ≥ và P = khi y = z = 1
⇔
4
4
x + y + z = −1 y = z = 1
Vậy min P =
3
khi x = −3, y = z = 1
4
(x
Bài 5: Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
3
+ y3 ) − ( x2 + y 2 )
( x − 1)( y − 1)
Hướng dẫn
Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)2 ta có xy ≤
P=
t2
4
t 3 − t 2 − xy (3t − 2)
t2
. Do 3t - 2 > 0 và − xy ≥ − nên ta có
xy − t + 1
4
t 2 (3t − 2)
t2
4
P≥
=
t2
t−2
− t +1
4
t2
t 2 − 4t
Xét hàm số f (t ) =
; f '(t ) =
; f’(t) = 0 ⇔ t = 0 v t = 4.
t−2
(t − 2) 2
t3 − t 2 −
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 3
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
t
f’(t)
2
4
0
-
+∞
+
+∞
+∞
f(t)
8
x + y = 4
x = 2
⇔
xy = 4
y = 2
Do đó min P = min f (t ) = f(4) = 8 đạt được khi
(2;+∞ )
Bài 6 : Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng:
a +b
b +c
c +a
+
+
≥3
ab + c
bc + a
ca + b
Hướng dẫn
a +b
1−c
1−c
=
=
ab + c
ab + 1 − b − a
(1 − a )(1 − b )
1−c
1−b
1−a
* Từ đó VT =
+
+
(1 − a )(1 − b )
(1 − c )(1 − a )
(1 − c )(1 − b )
* Biến đổi
Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương
* Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được
VT ≥ 3. 3
1−c
1−b
1−a
.
.
=3 (đpcm)
(1 − a )(1 − b ) (1 − c )(1 − a ) (1 − c )(1 − b )
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =
1
3
yz zx xy
+ +
= 1.
x
y
z
1
1
1
+
+
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
.
1− x 1− y 1− z
Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:
Hướng dẫn
yz
zx
xy
. Ta có a, b, c > 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Ta có:
,b =
,c =
x
y
z
1
1
1
bc
ca
ab
A=
+
+
= 3+
+
+
. Dễ có:
1 − bc 1 − ca 1 − ab
1 − bc 1 − ca 1 − ab
( b + c )2
2
b
c
+
bc
1
(
)
1 b2
c2
4
≤
=
≤
+
1 − bc
b2 + c 2 2 b2 + a 2 + c 2 + a 2 2 b2 + a 2 c 2 + a 2
1−
2
Đặt a =
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 4
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
ca
1 c2
a2
ab
1 a2
b2
Tương tự có:
≤
+
≤
+
và
1 − ca 2 c 2 + b 2 a 2 + b 2
1 − ab 2 a 2 + c 2 b 2 + c 2
từ đó: A ≤ 3 +
3 9
= . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =1/3
2 2
Bài 8: Cho a, b, c là các số thực dương và a + b + c = 3 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
2
abc
+3
3 + ab + bc + ca
(1 + a )(1 + b )(1 + c )
Hướng dẫn
Áp dụng Bất đẳng thức: ( x + y + z ) 2 ≥ 3( xy + yz + zx) , ∀x, y , z ∈ ℜ ta có:
(ab + bc + ca )2 ≥ 3abc(a + b + c) = 9abc > 0 ⇒ ab + bc + ca ≥ 3 abc
Ta có: (1 + a )(1 + b)(1 + c ) ≥ (1 + 3 abc )3 , ∀a, b, c > 0 . Thật vậy:
(1+ a)(1+ b)(1+ c) = 1+ (a + b + c) + (ab + bc + ca) + abc ≥1+ 33 abc + 33 (abc)2 + abc = (1+ 3 abc)3
Khi đó: P ≤
2
3
abc
= Q (1).
3(1 + abc ) 1 + 3 abc
+
3
a+b+c
Đặt abc = t ; vì a, b, c > 0 nên 0 < abc ≤
=1
3
2t ( t − 1) ( t 5 − 1)
2
t2
+
, t ∈ ( 0;1] ⇒ Q′(t ) =
Xét hàm số Q =
≥ 0, ∀t ∈ ( 0;1] .
3 2
2 2
3(1 + t 3 ) 1 + t 2
1
+
t
1
+
t
( )( )
6
Do đó hàm số đồng biến trên ( 0;1] ⇒ Q = Q ( t ) ≤ Q (1) =
Vậy maxP =
1
1
(2). Từ (1) và (2): P ≤ .
6
6
1
, đạt được khi và và chi khi : a = b = c = 1 .
6
Bài 9: Cho a, b, c là các số dương và a + b + c = 3 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =
bc
3a + bc
+
ca
3b + ca
+
ab
3c + ab
Hướng dẫn
bc
bc
bc
bc 1
1
=
=
≤
+
2 a+b a+c
3a + bc
a (a + b + c) + bc
(a + b)(a + c)
1
1
2
+
≥
Vì theo BĐT Cô-Si:
, dấu đẳng thức xảy ra ⇔ b = c
a+b a+c
(a + b)(a + c)
Vì a + b + c = 3 ta có
ca
ca 1
1
ab
ab 1
1
≤
+
≤
+
và
2 b+a b+c
2 c+a c+b
3b + ca
3c + ab
bc + ca ab + bc ab + ca a + b + c 3
Suy ra P ≤
+
+
=
= ,
2(a + b) 2(c + a ) 2(b + c)
2
2
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P = khi a = b = c = 1.
2
Tương tự
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 5
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
Bài 10: Cho a, b, c là các số dương và a + b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P=
bc
ca
ab
+
+
.
3a + bc
3b + ca
3c + ab
Hướng dẫn
bc
bc
bc
bc 1
1
=
=
≤
+
2 a+b a+c
3a + bc
a (a + b + c) + bc
(a + b)(a + c)
1
1
2
Vì theo BĐT Cô-Si:
+
≥
, dấu đẳng thức xảy ra ⇔ b = c
a+b a+c
(a + b)(a + c)
Vì a + b + c = 3 ta có
ca
ca 1
1
≤
+
và
2 b+a b+c
3b + ca
Tương tự
Suy ra P ≤
ab
ab 1
1
≤
+
2 c+a c+b
3c + ab
bc + ca ab + bc ab + ca a + b + c 3
+
+
=
= ,
2(a + b) 2(c + a) 2(b + c)
2
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P =
3
khi a = b = c = 1.
2
Bài 11: Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a2009 + b2009 + c2009 = 3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a4 + b4 + c4.
Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2005 số 1 và 4 số a2009 ta có:
1
+ 1
+ ...
+ 1 + a 2009 + a 2009 + a 2009 + a 2009 ≥ 2009.2009 a 2009 .a 2009 .a 2009 .a 2009 = 2009.a 4 (1)
2005
Tương tự: 1
+ 1
+ ...
+ 1 + b 2009 + b 2009 + b 2009 + b 2009 ≥ 2009.2009 b 2009 .b 2009 .b 2009 .b 2009 = 2009.b 4 (2)
2005
1
+ 1
+ ...
+ 1 + c 2009 + c 2009 + c 2009 + c 2009 ≥ 2009.2009 c 2009 .c 2009 .c 2009 .c 2009 = 2009.c 4 (3)
2005
Từ (1), (2), (3) ta được: 6015 + 4(a 2009 + b2009 + c 2009 ) ≥ 2009(a 4 + b 4 + c 4 )
⇔ 6027 ≥ 2009(a 4 + b4 + c 4 ) . Từ đó suy ra P = a 4 + b4 + c 4 ≤ 3
Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3.
Bài 12: Cho x, y, z ≥ 0 thoả mãn x + y + z > 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
x3 + y 3 + 16 z 3
(x + y + z)
3
Hướng dẫn
3
Trước hết ta có: x + y
3
3
( x + y ) (biến đổi tương đương)
≥
4
3
3
a
a
2
⇔ ... ⇔ ( x − y ) ( x + y ) ≥ 0
x + y ) + 64 z 3 ( a − z ) + 64 z 3
(
3
Đặt x + y + z = a. Khi đó 4 P ≥
=
= (1 − t ) + 64t 3
3
3
(với t =
z
, 0 ≤ t ≤1)
a
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 6
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t ∈ [ 0;1] . Có
1
2
f '(t ) = 3 64t 2 − (1 − t ) , f '(t ) = 0 ⇔ t = ∈ [ 0;1]
9
Lập bảng biến thiên
⇒ Minf ( t ) =
t∈[ 0;1]
64
16
⇒ GTNN của P là
đạt được khi x = y = 4z > 0
81
81
Bài 13: Cho ba số dương x,y,z thỏa x + y + z = 4 và xyz = 2.
Tìm GTNN của biểu thức: P = x4 + y4 + z4
Hướng dẫn
2
i P = ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 2( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 )
2
2
2
= ( x + y + z ) − 2 ( xy + yz + zx ) − 2 ( xy + yz + zx ) − 2 xyz ( x + y + z )
2
= 16 − 2 ( xy + yz + zx ) − 2 ( xy + yz + zx ) − 16
i Đặt t = xy + yz + zx = x(y + z) + yz
2
2
2
+ Từ gt ⇒ y + z = 4 − x, yz = ⇒ t = x ( 4 − x ) + = − x 2 + 4 x +
x
x
x
8
2
+ Ta có: ( y + z ) 2 ≥ 4 yz ⇒ ( 4 − x ) ≥ ⇔ x 3 − 8 x 2 + 16 x − 8 ≥ 0
x
2
⇔ ( x − 2 ) x − 6 x + 4 ≥ 0 (*)
(
)
Giải BĐT (*) giao với điều kiện 0 < x < 4 ta đươc: 3 − 5 ≤ x ≤ 2
+ Khảo sát hàm số t theo biến x với 3 − 5 ≤ x ≤ 2 ta tìm được: 5 ≤ t ≤
5 5 −1
2
2
i P = (16 − 2t ) − 2(t 2 − 16) = 2t 2 − 64t + 288
Khảo sát hàm số : f(t) = 2t2 – 64t + 288 với 5 ≤ t ≤
M inf(t ) = 383 − 165 5 khi t =
5 5 −1
ta được:
2
5 5 −1
, Maxf (t ) = 18 khi t = 5
2
Suy ra: Pmin = 383 − 165 5 đạt được chẳng hạn x = 3 − 5, y = z =
1+ 5
2
Pmax = 18 đạt được chẳng hạn khi x = 2, y = z = 1
Bài 14: Cho các số thực x; y thay đổi.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 2 + y 2 + 2 x + 1 + x 2 + y 2 − 2 x + 1 + y − 2 .
Hướng dẫn
P = x2 + y 2 + 2 x + 1 + x2 + y2 − 2x + 1 + y − 2
Xét các điểm M(x−1; −y) , N(x+1; y). Ta có OM + ON ≥ MN
⇔ ( x − 1)2 + y 2 + ( x + 1)2 + y 2 ≥ 4 + 4 y 2
⇒ P ≥ 2 1 + y 2 + y − 2 = f ( y)
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 7
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
TH1: y ≤ 2: f ( y ) = 2 1 + y 2 + 2 − y ⇒ f '( y ) =
y ≥ 0
f '( y ) = 0 ⇔ 2 y = 1 + y 2 ⇔ 2
⇔y=
3 y = 1
Lập bảng biến thiên f(y) ⇒ min f ( y ) = f
x∈( −∞.2]
2y
1 + y2
−1
3
3
3
= 2+ 3
3
TH2: y ≥ 2: f ( y ) = 2 1 + y 2 + y − 2 ≥ 2 5 > 2 + 3
Vậy P ≥ 2 + 3 ∀x; y .
Do đó MinP = 2 + 3 khi x = 0 ; y =
3
3
Bài 15: Cho các số thực dương a,b,c thỏa a + b + c =3. Tính góc giá trị nhỏ nhất của biểu
a 2 + bc b 2 + ca c 2 + ab
thức P =
+
+
b + ca
c + ab
a + bc
Hướng dẫn
1
a 2 + bc
b 2 + ca
c2 + ab
Xét P =
+
+
3
3b + 3ca 3c + 3ab 3a + 3bc
Ta có 3b + 3ca = b(a + b + c) + 3ca = b(a + b + c) + ca + 2ca mà a 2 + c2 ≥ 2ac
nên 3b + 3ca ≤ ab + b 2 + bc + ca + a 2 + c 2
Chứng minh tương tự ta có:
3c + 3ab ≤ ac + c 2 + bc + ab + a 2 + b 2
3a + 3bc ≤ a 2 + ab + ac + bc + c 2 + b 2
1
a 2 + bc + b 2 + ca + c 2 + ab
P≥
=1 ⇔ P ≥ 3
3
ab + b 2 + bc + ca + a 2 + c2
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.
Vậy MinP = 3 khi a = b = c = 1.
Bài 16: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz.
Khi đó
Chứng minh rằng :
xy
yz
zx
3
+ 3
+ 3
≤
2
2
3
2
2
3
2
2
x +y +x z+y z y +z +y x+z x z +x +z y+x y 4
3
3
Hướng dẫn
Ta có : xy + yz + zx = 3xyz ⇔
1 1 1
+ + =3
x y z
Với x >0; y > 0; z > 0 ta có x3 + y3 ≥ xy(x + y) ;
1
1 1 1
2
2
≤ ( + ) ;x + y ≥ 2xy
x+ y 4 x y
xy
xy
xy
1
1
≤
≤
+ 2
2
2
2
2
2
x + y + x z + y z xy(x + y) + (x + y )z 4 xy(x + y) (x + y )z
1 1
xy
1 1
xy
1
⇒ 3
≤
+ 2
+
≤
3
2
2
2
x + y + x z + y z 4 (x + y) (x + y )z 4 (x + y) 2z
3
3
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 8
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
≤
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1)
+ + = + +
4 4 x y 2z 16 x y 8z
Chứng minh tương tự :
yz
1 1 1 1
≤
(2)
+ +
y 3 + z3 + y 2 x + z 2 x 16 y z 8x
zx
1 1 1 1
≤ + +
(3)
3
3
2
2
z + x + z y + x y 16 z x 8y
Công (1) ; (2); (3) theo vế ta được đpcm
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
Bài 17: Cho các số thực dương x , y, z thỏa mãn 5(x 2 + y 2 + z 2 ) = 9(xy + 2yz + zx ) .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
x
1
.
−
2
y +z
(x + y + z )3
2
Hướng dẫn
Theo giả thiết ta có
5(x 2 + y 2 + z 2 ) = 9(xy + 2yz + zx ) ⇔ 5(x + y + z )2 = 9(xy + 2yz + zx ) + 10(xy + yz + zx )
⇔ 5(x + y + z )2 = 19x (y + z ) + 28yz ≤ 19x (y + z ) + 7(y + z )2
x
19x
x
⇔ 5
+ 1 ≤
+7 ⇔
≤ 2 ⇔ x ≤ 2(y + z )
y
+
z
y
+
z
y
+
z
1
Mặt khác ta có (y + z )2 ≤ 2(y 2 + z 2 ) ⇔ y 2 + z 2 ≥ (y + z )2
2
2(y + z )
1
4
1
Vì vậy P ≤
−
=
−
3
1
y + z 27(y + z )3
2(y + z ) + y + z
(y + z )2
2
4
1
(6t − 1)2 (2t + 1)
Đặt t = y + z > 0 ⇒ P ≤ −
=−
+ 16 ≤ 16
t 27t 3
27t 3
(
)
x = 2(y + z )
Vậy min P = 16 ; dấu bằng đạt tại y = z
⇔
1
y + z =
6
1
x =
3
y = z = 1
12
Bài 18: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn 3 + ln
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M =
x + y +1
= 9 xy − 3 x − 3 y.
3 xy
3x
3y
1
1 1
+
+
− 2− 2⋅
y ( x + 1) x( y + 1) x + y x
y
Hướng dẫn
Từ giả thiết ta suy ra ln( x + y + 1) + 3( x + y + 1) = ln(3 xy ) + 3.3 xy .
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 9
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
1
t
đồng biến trên (0; +∞) , từ đó g ( x + y + 1) = g (3 xy ) ⇔ x + y + 1 = 3 xy (*)
Xét hàm số g (t ) = ln t + 3t trên (0; +∞) , ta có g '(t ) = + 3 > 0 với ∀t > 0 , suy ra g (t )
Theo (*) ta có 3 xy − 1 = x + y ≥ 2 xy . Đặt t = xy ⇒ 3t − 2 t − 1 ≥ 0 ⇒ t ≥ 1.
3x
3y
3x 2 ( y + 1) + 3 y 2 ( x + 1) 36t 2 − 27t + 3
+
=
=
. (2)
y ( x + 1) x ( y + 1)
xy ( xy + x + y + 1)
4t 2
−
1 1
x2 + y 2
(3t − 1) 2 − 2t −36t 2 + 32t − 4
−
=
−
=
−
=
(3)
x2 y2
x2 y 2
t2
4t 2
Theo Cô si
1
1
1
5t − 1 1
≤
≤ (4). Từ (2), (3), (4) ta có M ≤
+ .
x + y 2 xy 2
4t 2
2
Xét hàm số f (t ) =
5t − 1
trên [1;+∞) , ta có
4t 2
5.4t 2 − (5t − 1)8t 2 − 5t
=
< 0∀t ≥ 1 , suy ra f (t ) nghịch biến trên [1;+∞ ) , bởi vậy
16t 4
4t 3
3
= max f (t ) = f (1) = ⇔ t = 1 ⇔ x = y = 1.
[1; +∞ )
2
f '(t ) =
M max
Bài 19: Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn: z ( z − x − y ) = x + y + 1 .
Chứng minh rằng :
x4 y4
36
.
≤
( x + yz ).( y + zx ).( z + xy ) 3 4 9
Hướng dẫn
Vì z ( z − x − y ) = x + y + 1 ⇒ (z + 1)( x + y) = z2 - 1 và do z > 0 nên ta có: x + y + 1 = z .
Khi đó T =
x4 y4
x4 y4
=
4
3
( x + y ) 2 . [( x + 1)( y + 1)]
( x + y ).(1 + y ).( x + y ).(1 + x ). [( x + 1)( y + 1)]
Áp dụng BĐT Côsi cho các số dương x, y ta có :
4
4
3
3
(x + 1) = x + x + x + 1 ≥ 4 4 x = 4 4 . x ;
27
27
3 3 3
4
4
4
3
3
( y + 1) = y + y + y + 1 ≥ 4 4 y = 4 4 . y ;
27
27
3 3 3
4
Do đó ( x + y ) 2 . [( x + 1)( y + 1)]4 ≥ 4 xy. 4 8.
(x + y )2
≥ 4 xy .
x 3 .y 3 49 4 4
36
=
.
x
.
y
suy
ra
T
≤
(*)
36
36
49
x y
= =1
Dấu “=” ở ( * ) xảy ra ⇔ 3 3
⇔ x = 3, y = 3, z = 7 .
z = x + y + 1
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 10
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
Bài 20: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện ( x + y ) 3 + 4 xy ≥ 2 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức P = 3( x 2 + y 2 ) 2 − 2( x + y ) 2 − xy (3xy − 4) + 2015 .
Hướng dẫn
Với mọi số thực x, y ta luôn có (x + y)2 ≥ 4xy , nên từ điều kiện suy ra
( x + y )3 + ( x + y ) 2 ≥ ( x + y )3 + 4 xy ≥ 2 ⇒ ( x + y )3 + ( x + y )2 − 2 ≥ 0 ⇒ x + y ≥ 1
3
2
3
2
Ta biến đổi P như sau P = (x 2 + y 2 ) 2 + (x 2 + y 2 ) 2 − 2(x 2 + y 2 + 2xy) − xy(3xy − 4) + 2015
3 2
3
(x + y 2 ) 2 + (x 4 + y 4 ) − 2(x 2 + y 2 ) + 2015
(3)
2
2
(x 2 + y 2 ) 2
9
4
4
Do x + y ≥
nên từ (3) suy ra P ≥ (x 2 + y 2 ) 2 − 2(x 2 + y 2 ) + 2015
2
4
1
Đặt x 2 + y 2 = t thì t ≥
(do x + y ≥ 1) .
2
9
1
9
1
Xét hàm số f (t) = t 2 − 2t + 2015 với t ≥ , có f '(t) = t − 2 > 0 , với t ≥ nên hàm số
4
2
2
2
1
1 32233
f(t) đồng biến trên ; +∞ . Suy ra min f (t) = f =
.
1
16
2
2
t∈ ; +∞
=
2
Do đó GTNN của P bằng
32233
1
, đạt được khi và chỉ khi x = y =
16
2
Bài 21: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng:
a
a
2a
b
c
+
+
+
+
< 2.
3a + b 3a + c 2a + b + c 3a + c 3a + b
Hướng dẫn
+) Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên ta có: a + b > c; b + c > a; c + a > b .
+) Đặt x =
a+b
c+a
;y=
; z = a ( x, y, z > 0). Ta có: x + y > z; y + z > x; z + x > y .
2
2
2a
2x
2y
2z
x
y
z
(1).
=
+
+
=
+
+
3a + b 3a + c 2a + b + c 2 y + 2 z 2 z + 2 x 2 x + 2 y y + z z + x x + y
VT = a + c + a + b +
2z
z
.
>
x+ y+z x+ y
CM tương tự ta có: x < 2 x (2); y < 2 y (3).
y+z x+ y+z
z+x x+ y+z
Lại có: x + y > z ⇔ z ( x + y + z ) < 2z( x + y ) ⇔
Từ (1),(2) và (3) ta có
x
y
z
2x + 2 y + 2z
+
+
<
=2
y+z z+x x+ y
x+ y+z
⇒ (đpcm).
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 11
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
Bài 22 : Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: xyz = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = log32 x + 1 + log32 y + 1 + log32 z + 1
Hướng dẫn
NX: những dạng bài có dạng a 2 + b 2 + m 2 + n 2 rất có thể sẽ áp dụng được
phương pháp BĐT vec - tơ.
- Trong mp(Oxy), gọi a = (log3 x;1), b = (log3 y;1), c = (log3 z;1) , và n = a + b + c ⇒ n = (1;3)
- Ta có: a + b + c ≥ a + b + c ⇒ log32 x + 1 + log32 y + 1 + log32 z + 1 ≥ 12 + 32
⇒ P ≥ 10 , dấu = xảy ra khi ba vecto a , b , c cùng hướng và kết hợp điều kiện đề bài ta
được x = y = z = 3 3
Vậy minP = 10 khi x = y = z = 3 3
Bài 23: Cho ba số thực a, b, c thỏa: a ∈ [ 0;1] , b ∈ [ 0;2] , c ∈ [ 0;3] .
Tìm giá trị lớn nhất của P =
2 ( 2ab + ac + bc )
1 + 2a + b + 3c
+
8− b
b
+
b + c + b (a + c) + 8
12a2 + 3b 2 + 27c 2 + 8
Hướng dẫn
Ta có: a ∈ [ 0;1] , b ∈ [ 0;2] , c ∈ [ 0;3]
b + c ≥ ab + ac
(1 − a )( b + c ) ≥ 0
⇒
⇔
⇒ 2a + b + 3c ≥ 2 ab + bc + ac
2a + 2c ≥ ab + bc
( 2 − b )( a + c ) ≥ 0
2 ( 2ab + ac + bc ) 2 ( 2ab + ac + bc )
⇒
≤
1 + 2a + b + 3c
1 + 2ab + ac + bc
Mặt khác b + c ≥ a ( b + c ) ( vì a ∈ [ 0;1] )
⇒
8− b
8− b
8− b
≤
=
b + c + b ( a + c ) + 8 a ( b + c ) + b ( a + c ) + 8 2ab + bc + ac + 8
Với mọi số thực x, y, z, ta có
2
2
( x − y ) + ( y − z) + ( y − x )
2
≥ 0 ⇔ 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 2 xy + 2 yz + 2 xz
⇔ 3 ( x 2 + y 2 + z2 ) ≥ ( x + y + z )
2
2
2
⇒ 12a2 + 3b2 + 27c 2 = 3 ( 2 a ) + b2 + ( 3c ) ≥
b
b
=>
≤
2
2
2
12a + 3b + 27c + 8 2ab + bc + ac + 8
( 2a + b + 3c )
2
= 2 a + b + 3c ≥ 2ab + bc + ac
Suy ra
2 ( 2ab + bc + ac )
8−b
b
+
+
1 + 2ab + bc + ac 2ab + bc + ac + 8 2ab + bc + ac + 8
2 ( 2 ab + bc + ac )
8
⇒P≤
+
1 + 2ab + bc + ac 2 ab + bc + ac + 8
Đặt t = 2ab + bc + ac ⇒ t ∈ [ 0;13]
P≤
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 12
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
2t
8
+
, t ∈ [ 0;13]
t +1 t + 8
2
8
f '(t) =
−
, f '(t) = 0 ⇔ t = 6
2
2
( t + 1) ( t + 8)
Xét hàm số f ( t ) =
f ( 0 ) = 1; f ( 6 ) =
Do đó: P ≤
16
47
16
; f (13 ) =
⇒ f ( t ) ≤ ∀t ∈ [ 0;13]
7
21
7
16
2
16
16
. Khi a = 1; b = 2; c = thì P =
. Vậy giá trị lớn nhất của P là
7
3
7
7
5
4
Bài 24: Cho x là số thực thuộc đoạn [ − 1, ] .
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P =
5 − 4x − 1 + x
5 − 4x + 2 1 + x + 6
Hướng dẫn
Đặt a = 5 − 4 x , b = 1 + x thì a 2 + 4b2 = 9, với a, b ≥ 0
π
Do đó đặt α ∈ [0, ] với a=3sinα ,2b=3cosα . Khi đó:
2
3
3sin α − cosα
a−b
2 sin α − cosα
2
P=
=
=
a + 2b + 6 3sin α + 3cos α + 6 2 sin α + 2 cos α + 4
2 sin x − cos x
π
Xét hàm số f ( x ) =
với x ∈ [0, ]
2sin x + 2 cos x + 4
2
6
+
4
sin
x
+
8cos
x
π
Ta có f / ( x ) =
> 0, ∀x ∈ [0, ]
(2 sin x + 2 cos x + 4) 2
2
π
Suy ra hàm số f(x) luôn luôn đồng biến trên [0, ]
2
1
π
1
Do đó: min f ( x ) = f (0) = − ; max f ( x ) = f ( ) =
π
6 x∈[0,π ]
2
3
x∈[0, ]
2
2
−1
5
Vậy min P =
khi x =
6
4
Max P =
1
khi x = −1
3
Bài 25: Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1 .
Chứng minh rằng:
a
b
c
+
+
≥ 1.
2+b a 2+c b 2+a c
Hướng dẫn
Ta có
a
a
a
=
≥
, do 1 + a ≥ 2 a .
2 + b a 2 a + ba 1 + a + ba
Tương tự:
b
b
c
c
≥
;
≥
.
2 + c b 1 + b + bc 2 + a c 1 + c + ac
Cộng các vế của các BĐT trên ta có:
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 13
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
a
b
c
a
b
c
+
+
≥
+
+
2 + b a 2 + c b 2 + a c 1 + a + ba 1 + b + cb 1 + c + ac
abc
b
cb
=
+
+
bc + bca + babc 1 + b + cb b + bc + bac
1
b
cb
=
+
+
= 1 (điều phải chứng minh).
bc + 1 + b 1 + b + cb b + bc + 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Bài 26: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b + c = 3 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
2
abc
+3
3 + ab + bc + ca
(1 + a )(1 + b )(1 + c )
Hướng dẫn
2
Áp dụng Bất đẳng thức ( x + y + z ) ≥ 3 ( xy + yz + zx ) , ∀x, y, z ∈ ℝ ta có:
( ab + bc + ca )
2
≥ 3abc ( a + b + c ) = 9abc > 0
⇒ ab + bc + ca ≥ 3 abc
(
)
3
Ta có: (1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≥ 1 + 3 abc , ∀a, b, c > 0. Thật vậy:
(1 + a )(1 + b )(1 + c ) = 1 + ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) + abc ≥
(
2
1 + 3 3 abc + 3 3 ( abc ) + abc = 1 + 3 abc
Khi đó P ≤
(
3
3
2
3 1 + abc
)
)
+
abc
=Q
1 + 3 abc
(1)
3
a+b+c
Đặt abc = t . Vì a, b, c > 0 nên 0 < abc ≤
=1
3
2
t2
Xét hàm số Q =
+
, t ∈ ( 0;1]
2
3 (1 + t 3 ) 1 + t
6
⇒ Q '(t ) =
2t ( t − 1) ( t 5 − 1)
3 2
2 2
(1 + t ) (1 + t )
≥ 0, ∀t ∈ ( 0;1]
Do hàm số đồng biến trên ( 0;1] nên Q = Q ( t ) ≤ Q (1) =
Từ (1) và (2) suy ra P ≤
5
6
( 2)
5
6
5
, đạt được khi và chỉ khi: a = b = c = 1 .
6
Bài 27: Cho 3 số thực x, y, z khác 0 thỏa mãn: x + y + z = 5 và x. y.z = 1 .Tìm giá trị lớn
1 1 1
nhất của biểu thức: P = + + .
x y z
Vậy max P =
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 14
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
Hướng dẫn
1 1 1 1 y+z 1
P= + + = +
= + x (5 − x)
x y z x
yz
x
4
⇔ x < 0∨ 3− 2 2 ≤ x ≤ 4∨ x ≥ 3+ 2 2
x
1
1
Xét hàm số: f ( x ) = + x ( 5 − x ) ⇒ f ' ( x ) = − 2 + 5 − 2x
x
x
Với: x < 0 ∨ 3 − 2 2 ≤ x ≤ 4 ∨ x ≥ 3 + 2 2
1
f ' ( x) = 0 ⇔ x = ∨ x = 1 − 2 ∨ x = 1 + 2
2
2
2
Ta có: ( y + z ) ≥ 4 yz ⇔ ( 5 − x ) ≥
Lập bảng biến thiên đúng
Tính được:
( ) (
)
f (1 + 2 ) = f ( 3 − 2 2 ) = 1 + 4
f 1− 2 = f 3 + 2 2 = 1− 4 2
2
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 + 4 2
Dấu “=” khi : x = y = 1 + 2, z = 3 − 2 2 hay x = z = 1 + 2, y = 3 − 2 2
hoặc x = y = 3 − 2 2, z = 1 + 2 hay x = z = 3 − 2 2, y = 1 + 2
Bài 28: Cho x, y, z là các số thực dương.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
2
3
−
3
x + xy + xyz
x+ y+z
Hướng dẫn
1
1
2 x.8 y + 3 2 x.8 y.32 z
4
8
2 x + 8 y 2 x + 8 y + 32 z 32
4
≤ x+
+
= (x + y + z) = (x + y + z)
8
24
24
3
3
2
Đặt t = x + y + z ; t ≥ 0 ⇒ P ≥ f ( t ) = 2 −
2t 3t
3 1
f ′ (t ) = − 3 + 2 ; f ′ (t ) = 0 ⇔ t = 1
t t
3
Lập bảng biến thiên của hàm f(t) ta được Pmin = − tại t=1
2
16
x = 21
x + y + z = 1
4
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 x = 8 y
⇒ y =
21
2 x = 32 z
1
z = 21
Ta có x + xy + 3 xyz = x +
Bài 29: Cho a, b, c không âm và a 2 + b 2 + c 2 = 3 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ab + bc + ca + 5a + 5b + 5c + 4
Hướng dẫn
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 15
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
2
Ta có 3 ≤ ( a + b + c ) ≤ 3 ( a 2 + b2 + c 2 )
2
⇔ 3 ≤ (a + b + c) ≤ 9
⇔ 3 ≤ a+b+c ≤3
Đặt t = a + b + c với t ∈ 3; 3
Mà ab + bc + ca =
(a + b + c)
2
− ( a 2 + b2 + c2 )
2
1
=
t2 − 3
2
5
Nên P ( t ) = t 2 + 5t + . P ' ( t ) = t + 5 > 0, ∀t ∈ 3; 3 . Lập BBT ta có kết quả.
2
2
Vậy Pmax = 22 với t = 3 ⇔ a = b = c = 1
Bài 30: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a ≥ b ≥ c và a 2 + b 2 + c 2 = 5 .
Chứng minh rằng: (a − b)(b − c)(c − a)(ab + bc + ca) ≥ −4
Hướng dẫn
Ta có: (a − b)(b − c)(c − a)(ab + bc + ca) ≥ −4
⇔ P = (a − b)(b − c)(a − c)(ab + bc + ca ) ≤ 4
Do a ≥ b ≥ c nên
Nếu ab + bc + ca < 0 thì P ≤ 0 < 4 (đúng)
Nếu ab + bc + ca ≥ 0 thì đặt ab + bc + ca = x ≥ 0
(a − c) 2
Áp dụng BĐT Côsi : (a − b)(b − c) ≤
4
⇒ (a − b)(b − c)(a − c) ≤
(a − c) 3
(1)
4
Áp dụng BĐT Bunhiacopski: 2[(a − b) 2 + (b − c) 2 ] ≥ (a − c) 2
và 4(a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca) = 2(a − b) 2 + 2(b − c) 2 + 2(a − c) 2
⇒ 4(a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca ) ≥ (a − c) 2 + 2(a − c) 2
⇔ 4(5 − x) ≥ 3(a − c) 2 ≥ 0
⇒ x ≤ 5 va ɳ a − c ≤
2 5− x
3
( 2)
Từ (1) và (2) ta có:
(a − c) 3
2 3
P≤
.x ≤
x (5 − x) 3
4
9
Xét hàm số f ( x) = x (5 − x) 3 ; x ∈ [0;5]
f ' ( x) = 5 − x (5 −
Ta có: f (0) = 0
5
x) ;
2
;
x = 2
f ' ( x) = 0 ⇔
x = 5
f ( 2) = 6 3
;
f (5) = 0
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 16
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
Max f ( x) = 6 3 ⇒ f ( x) = x (5 − x) 3 ≤ 6 3 ; ∀x ∈ [0;5]
[0;5 ]
⇒P≤
2 3
.6 3 ⇔ P ≤ 4
9
x = 2
ab + bc + ca = 2
a = 2
a − b = b − c
b = a − 1
Dấu "=" xảy ra ⇔
⇔
⇔ b = 1
a
−
c
=
2
c
=
a
−
2
c = 0
a 2 + b 2 + c 2 = 5
a 2 + b 2 + c 2 = 5
Bài 31:Cho các số thực dương x, y, z.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
yz
x + 2 yz
+
zx
y + 2 zx
+
xy
z + 2 xy
Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
2 yz
x
x
= 1−
≤ 1−
(1)
x+ y+z
x + 2 yz
x + 2 yz
Tương tự ta có
2 zx
y
y
= 1−
≤ 1−
(2)
x+ y+z
y + 2 zx
y + 2 zx
2 xy
z
z
≤ 1−
(3)
x+ y+z
z + 2 xy
z + 2 xy
Cộng 3 bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) ta được 2 P ≤ 2 ⇔ P ≤ 1
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z.
Vậy Max P = 1 khi x = y = z.
= 1−
Bài 32: Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4
Chứng minh rằng:
a
1 + b2 c
+
b
1 + c2 d
+
c
1 + d 2a
+
d
1 + a2 b
≥2
Hướng dẫn
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 17
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
a
2
1+b c
ab2 c
=a−
2
1+ b c
ab2 c
≥a−
=a−
2b c
ab c
ab(1 + c)
ab abc
≥a−
=a−
−
2
4
4
4
(1)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1
b
1+c 2 d
c
2
1+d a
d
1+a 2 b
=b−
=c−
=d−
bc 2 d
1 + c2 d
cd 2 a
2
1+ d a
da2 b
1 + a2 b
≥b−
≥c−
≥d−
bc 2 d
2c d
cd 2 a
2d a
da2 b
2a b
=b−
bc (1 + d )
bc d
bc bcd
≥b−
=b−
−
(2)
2
4
4
4
=c−
cd (1 + a )
cd a
cd cda
≥c−
=c−
−
(3)
2
4
4
4
=d−
da (1 + b )
da b
da dab
≥d−
=d−
−
(4)
2
4
4
4
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:
a
2
1+ b c
+
b
2
1+ c d
+
c
2
1+ d a
+
d
2
1+ a b
≥4−
ab + bc + cd + da abc + bcd + cda + dab
−
4
4
Mặt khác:
2
a+c+b+d
• ab + bc + cd + da = ( a + c )( b + d ) ≤
=4 .
2
Dấu "=" xảy ra ⇔ a+c = b+d
2
a+b
c+d
• abc + bcd + cda + dab = ab ( c + d ) + cd ( b + a ) ≤
(c + d ) +
2
2
a+b c+d
⇔ abc + bcd + cda + dab ≤ ( a + b )( c + d )
+
= ( a + b )( c + d )
4
4
2
(b + a)
2
a+b+c+d
⇔ abc + bcd + cda + dab ≤
= 4 . Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c = d = 1.
2
a
b
c
d
4 4
Vậy ta có:
+
+
+
≥4− −
4 4
1 + b2 c 1 + c2 d 1 + d 2 a 1 + a2 b
⇔
a
2
1+ b c
+
b
2
1+ c d
+
c
2
1+ d a
+
d
1 + a2 b
≥ 2 ⇒ đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.
Bài 33: Cho a,b là hai số thực dương thỏa 2a + b =
2
a
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = +
5
.
4
1
4b
Hướng dẫn
2 1 2
1
2
1
+
= + 8a +
+ 4b − (8a + 4b) = + 8a +
+ 4b − 5
a 4b a
4b
a
4b
2
1
Bất đẳng thức Côsi cho : + 8a ≥ 8 và
+ 4b ≥ 2
a
4b
Ta có : F =
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 18
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
2
a = 8a
1
1 = 4b
a = 2
Suy ra F ≥ 5 . MinF = 5 đạt khi 4b
⇔
b = 1
5
2a + b =
4
4
a, b > 0
(x
Bài 34: Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
3
+ y3 ) − ( x2 + y 2 )
( x − 1)( y − 1)
Hướng dẫn
Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)2 ta có xy ≤
P=
t2
4
t2
t 3 − t 2 − xy (3t − 2)
. Do 3t - 2 > 0 và − xy ≥ − nên ta có
xy − t + 1
4
t 2 (3t − 2)
t2
4
P≥
=
t2
t−2
− t +1
4
t2
t 2 − 4t
; f '(t ) =
; f’(t) = 0 ⇔ t = 0 v t = 4.
Xét hàm số f (t ) =
t−2
(t − 2) 2
t3 − t 2 −
t
f’(t)
2
-
4
0
+∞
+
+∞
+∞
f(t)
8
x + y = 4
x = 2
⇔
xy = 4
y = 2
Do đó min P = min f (t ) = f(4) = 8 đạt được khi
(2;+∞ )
Bài 35: Cho các số thực dương a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn 2a ≤ c và ab + bc = 2c 2 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
a
b
c
+
+
.
a−b b−c c−a
Hướng dẫn
a 1
a b b
a 2c
≤ ; ab + bc = 2c 2 ⇔ . + = 2 ⇔ =
−1
c 2
c c c
c b
a 1
b 4
c
3
Vì ≤ nên ≥ . Đặt t = thì 0 < t ≤
c 2
c 3
b
4
a
b
1
2t 2 − t
1
1
2
7
P= c + c +
= 2
+
+
= 1−
+
a b b
a 2t − t − 1 1 − t 2(1 − t )
2t + 1 6(1 − t )
−
−1 1−
c c c
c
Theo giả thiết: 2a ≤ c nên
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 19
.PDF 
28 
309 
52 
