TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
TÍCH PHÂN
Vấn đề 14
A. ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
b
b
với F x là một nguyên hàm của f x trên a; b .
f x dx F x a F b F a
a) Định nghĩa:
a
b) Tính chất:
a
b
f x dx 0
b
a
a
f x dx f x dx
a
a
b
kf x dx k f x dx (k là hằng số)
a
c
b
c
a
a
b
b
a
f x dx f x dx f x dx
Nếu f x 0, x a; b thì
b
b
b
f x g x dx f x dx g x dx
a
a
b
b
b
a
a
a
f x dx f t dt f u du
b
f x dx 0.
a
Nếu f x g x , x a; b thì
b
b
a
a
f x dx g x dx.
Đặc biệt:
Nếu hàm y f x là hàm số lẻ trên a; a thì
a
a
Nếu hàm y f x là hàm số chẵn trên a; a thì
2
Câu 1.
Nếu
3
1
Nếu
1
f x dx 4 thì 2 f x dx bằng
0
Cho
B. 4 .
1
f x dx 2 và
0
D. 3 .
C. 2 .
D. 8 .
0
0
B. 12 .
2
1
g x dx 5 khi đó f x 2 g x dx bằng
A. 3 .
Biết
C. 1.
0
1
f x dx 2 và
1
A. 4 .
Biết tích phân
2
g x dx 6 , khi đó
f x g x dx bằng
1
1
B. 8 .
f x dx 3 và
0
A. 7 .
D. 1 .
C. 8 .
2
1
Câu 5.
a
f x dx 2 f x dx .
1
B. 1 .
1
0
Câu 4.
a
a
3
2
A. 16 .
Câu 3.
f x dx 2 và f x dx 1 thì f x dx bằng
A. 3 .
Câu 2.
f x dx 0.
D. 4 .
C. 8 .
1
1
g x dx 4 . Khi đó
f x g x dx bằng
0
B. 7 .
C. 1 .
0
D. 1.
2
Câu 6.
Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn 1; 2 , f 1 1 và f 2 2 . Tính I f x dx.
1
A. I 1.
B. I 1.
C. I 3.
7
D. I .
2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
5
Câu 7.
Cho
5
f x dx 2 . Tích phân 4 f x 3x 2 dx bằng
0
0
A. 133 .
B. 120 .
1
Câu 8.
Cho
0
0
B. 9 .
A. 12 .
2
Biết rằng
C. 6 .
D. y 6 .
2
f x dx
0
1
, tính I 2 f x 1dx .
2
0
A. I 3 .
Câu 10.
D. 140 .
1
f x dx 3, g x dx 2 . Tính giá trị của biểu thức I 2 f x 3g x dx
0
Câu 9.
C. 130 .
1
B. I 1 .
D. I
C. I 2 .
Cho hàm số f x liên tục trên và
2
2
2
f x 3x dx 10 . Tính
f ( x)dx .
0
A. 18 .
2
Câu 11.
Cho
4
f x dx 2 và
2
A. 3 .
Câu 12.
Cho
f x dx bằng
1
C. 1 .
B. 3 .
2
D. 2 .
4
f x dx 1 . Tích phân
1
2
D. 1 .
2
f ( x)dx 2 và g ( x)dx 1 , khi đó x 2 f ( x) 3g ( x) dx bằng
1
1
5
A.
2
1
7
B.
2
C.
17
2
D.
6
Câu 13.
0
C. 18 .
B. 2 .
3
.
2
Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn
11
2
10
f x dx 7,
0
6
f x dx 3,
3
f x dx 1 .
3
10
Tính giá trị của
f x dx .
0
B. 10 .
A. 4 .
C. 9 .
D. 8 .
e
Câu 14.
Cho hàm số f x cos ln x . Tính tích phân I f x dx.
1
A. I 2.
5
Câu 15.
7
D. I 2 .
7
Cho h( x)dx 4 và h( x)dx 10 , khi đó h( x)dx bằng
1
5
1
A. 7 .
C. 6 .
B. 2 .
5
Câu 16.
C. I 2 .
B. I 2.
Cho hai tích phân
5
f x dx 8 và
2
A. I 13 .
D. 5 .
5
g x dx 3 . Tính I
f x 4 g x 1dx
2
2
B. I 27 .
C. I 11 .
D. I 3 .
5
Câu 17.
Cho
f x là một hàm số liên tục trên
2;5
và
2
1
P
3
f x dx 8, f x dx 3 . Tính
1
5
f x dx f x dx .
2
A. P 5 .
3
B. P 11 .
C. P 11 .
D. P 5 .
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
2
Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm trên đoạn 1; 2 , biết tích phân
Câu 18.
f x dx 9
và
1
f 1 8 . Tính f 2 .
A. f 2 1.
B. f 2 1.
2
Cho
Câu 19.
4
f x dx 1 ,
2
4
2
2
B. I 3 .
2
C. I 3 .
2
D. I 5 .
2
f x dx 2 và g x dx 1 . Tính I x 2 f x 3 g x dx .
Cho
1
A. I
1
11
2
1
B. I
f x, g x
Cho
Câu 21.
D. f 2 16.
f t dt 4 . Tính I f y dy .
A. I 5 .
Câu 20.
C. f 2 3.
là
3
17
2
các
5
2
liên
C. I
hàm
số
tục
3
mãn f x 3g x dx 10
1
7
2
1;3
D. I
trên
và
thỏa
3
2 f x g x dx 6 . Tính I f x g x dx bằng
1
1
A. I 7 .
B. I 6 .
C. I 8 .
D. I 9 .
B. TÍCH PHÂN CƠ BẢN(THÔNG QUA BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM)
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)
0dx C .
k dx kx C .
x dx ln x C .
x
x n 1
C.
n 1
1 (ax b)n 1
C.
a n 1
ax b dx a ln ax b C .
(ax b)
sin x dx cos x C .
sin(ax b)dx a cos(ax b) C .
cosx dx sin x C .
cos(ax b)dx a sin(ax b) C .
sin
cos (ax b) a tan(ax b) C .
e dx e
x
a dx
x n dx
1
1
2
dx
1
2
x
1
C.
x
dx cot x C .
1
dx tan x C .
cos2 x
x
x
C.
ax
C.
ln a
(ax b)n dx
1
1
1
2
1
1
dx
C.
a ax b
1
1
dx
1
cot(ax b) C .
a
sin (ax b)
2
dx
1
2
1
dx eax b C .
a
1 a x
C.
a x dx
ln a
e
ax b
♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm
1
a
Một số nguyên tắc tính cơ bản
PP
khai triễn.
Tích của đa thức hoặc lũy thừa
PP
khai triển theo công thức mũ.
Tích các hàm mũ
1 1
1 1
Bậc chẵn của sin và cosin Hạ bậc: sin2 a cos 2a, cos2 a cos 2a.
2 2
2 2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
PP
Chứa tích các căn thức của x
chuyển về lũy thừa.
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
2
Câu 22.
dx
bằng
2x 3
1
7
A. 2 ln .
5
B.
2
Câu 23.
Tích phân
dx
1
ln 35 .
2
7
C. ln .
5
D.
1 7
ln .
2 5
D.
2
15
bằng
x3
0
A.
16
225
B. log
5
3
C. ln
5
3
5
Câu 24.
dx
1 1 2x
B. I ln 9 .
Tính tích phân I
A. I ln 9 .
2
Câu 25.
Tính tích phân I
1
A. I 1 ln 2 .
C. I ln 3 .
D. I ln 3 .
C. I 2 ln 2 .
D. I 1 ln 2 .
x 1
dx .
x
B. I
7
.
4
1
Câu 26.
Biết rằng tích phân
2 x e dx a b.e với a, b . Khi đó, tính a b bằng
x
0
B. 1.
A. 15 .
C. 20 .
D. 1.
6
Câu 27.
Giá trị của tích phân I cos2 xdx bằng
0
A.
1
.
4
B.
3
.
4
C.
1
.
2
D.
3
.
2
1
Câu 28.
1
1
Cho
dx a ln 2 b ln 3 với a , b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x
1
x
2
0
A. a b 2
B. a 2b 0
C. a b 2
D. a 2b 0
2
Câu 29.
Cho
2
f x dx 5 . Tính I f x 2sin x dx .
0
0
B. I 5
A. I 7
2
C. I 3
D. I 5 .
C. e5 e2 .
D.
2
Câu 30.
e
3 x 1
dx bằng:
1
A.
1 5 2
e e .
3
B.
1 5 2
e e .
3
1 5 2
e e .
3
m
Câu 31.
Cho
3x
2
2 x 1 dx 6 . Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây?
0
A. 1; 2 .
2
Câu 32.
Giả sử
B. ;0 .
dx
a
x 3 ln b ,
C. 0; 4 .
D. 3;1 .
với a, b là các số tự nhiên có ước chung lớn nhất bằng 1. Khẳng định nào
1
sau đây đúng?
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
B. a 2 b 2 41.
A. a b 2.
Câu 33.
C. a 2b 14.
2 x
2
a x x
Cho số thực a và hàm số f x
A.
a
1.
6
B.
2a
1.
3
D. 3a b 12.
khi x 0
1
khi x 0.
C.
f x dx.
Tính
1
a
1.
6
D.
2a
1.
3
ln 2
Câu 34.
Tính tích phân I
e
4x
1 dx. .
0
A. I
15
ln 2.
4
17
ln 2.
4
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
B. I 4 ln 2.
C. I
D. I
15
ln 2.
2
Câu 35.
Cho hàm số f x . Biết f 0 4 và f ' x 2sin 2 x 1, x , khi đó
4
f x dx bằng
0
2
A.
15
16
2
.
B.
16 16
16
2
.
C.
16 4
16
.
D.
2 4
16
.
4
Câu 36.
Cho hàm số f ( x) .Biết f (0) 4 và f ( x) 2cos2 x 3, x , khi đó
f ( x)dx bằng?
0
2
A.
2
8
2
.
B.
8 8
8
2
.
C.
8 2
8
.
D.
2 6 8
8
.
4
Câu 37.
Cho hàm số f x . Biết f 0 4 và f x 2sin 2 x 3 , x R , khi đó
f x dx bằng
0
2
A.
2
8
2
.
B.
8 8
8
2
.
C.
8 2
8
3 2 2 3
D.
.
8
.
4
Câu 38. Cho hàm số f x . Biết f 0 4 và f x 2 cos2 x 1, x , khi đó
f x dx bằng
0
2
A.
4
16
2
.
B.
1. Công thức thường áp dụng
1
1
dx ln ax b C .
ax b
a
14
2
.
C.
16 4
.
16
16
C. TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỶ
1
(ax b)
2
D.
2 16 16
16
.
1
1
dx
C.
a ax b
a
ln a ln b ln(ab). ln a ln b ln
b
n
ln a n ln a. ln1 0.
2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I
P(x )
dx .
Q(x )
PP
Chia đa thức.
Nếu bậc của tử số P(x ) bậc của mẫu số Q(x )
PP
Nếu bậc của tử số P(x ) bậc của mẫu số Q(x )
phân tích mẫu Q(x ) thành tích số, rồi sử dụng
phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.
PP
Nếu mẫu không phân tích được thành tích số
thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng
cách đặt X a tan t, nếu mẫu đưa được về dạng X 2 a 2 .
4
Câu 39.
Biết I
3
dx
a ln 2 b ln 3 c ln 5, với a , b, c là các số nguyên. Tính S a b c.
x x
2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 40.
A. S 6 .
B. S 2 .
C. S 2 .
D. S 0.
1
xdx
a b ln 2 c ln 3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a b c bằng
Cho
2
0 x 2
A. 2 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 1 .
x x 7x 3
a
a
Biết
dx c ln 5 với a, b, c là các số nguyên dương và
là phân số tối
2
x x3
b
b
1
4
Câu 41.
Câu 42.
Câu 43.
Câu 44.
Câu 45.
Câu 46.
Câu 47.
3
2
giản. Tính giá trị của P a b 2 c 3 .
A. 5 .
B. 3 .
C. 6 .
D. 4 .
3
1
dx a ln 3 b ln 5 , với a, b là các số hữu tỉ. Tính a 4b
Cho 2
x 2x
1
A. a 4b 1 .
B. a 4b 1 .
C. a 4b 3 .
D. a 4b 3 .
2 2
x 2x
5
Biết I
dx lnb lnc a,b,c . Tính giá trị biểu thức S a b c
x 1
a
1
A. S 7 .
B. S 3 .
C. S 3 .
D. S 1 .
3
x3
Cho 2
dx a ln 2 b ln 3 c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c
x 3x 2
1
bằng
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
4
4
5
16
3 f x dx.
Cho f x dx . Tính I
2
3
0
0
x 1
A. I 12 .
B. I 0 .
C. I 20 .
D. I 1.
3
dx
Cho
a ln 2 b ln 3 c ln 5 với a , b , c là các số hữu tỉ. Giá trị của a b 2 c 3
x
1
x
2
2
bằng
A. 3 .
B. 6 .
C. 5 .
D. 4 .
2 2
x 5x 2
dx a b ln 3 c ln 5 , a, b, c . Giá trị của abc bằng
Biết 2
x 4x 3
0
A. 8 .
B. 10 .
C. 12 .
D. 16 .
D. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1. Đổi biến số với một số hàm thường gặp
b
PP
f (ax b)n x dx
t ax b.
PP
f (x )f (x )dx
t n f (x ).
n
a
b
1
b
t ln x .
f (ln x ) x dx
PP
a
f (e
b
t sin x .
f (sin x )cos x dx
PP
a
a
t cos x .
f (cos x )sin x dx
PP
a
b
PP
)e x dx
t ex .
a
b
x
f (tan x )
b
1
PP
dx
t tan x .
2
cos x
f(sinx cosx).(sinx cosx)dx t sinx cosx.
a
PP
f ( a 2 x 2 )x 2n dx
x a sin t.
f (
PP
x 2 a 2 )m x 2n dx
x a tan t.
a x
PP
dx
f
x a cos 2t .
a x
dx
(ax b)(cx d )
t ax b cx d .
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
s1 ax b ,., sk ax b dx t n ax b.
R
(a bx
dx
1
PP
x
n n
t
) a bx n
2. Đổi biến số với hàm ẩn
Nhận dạng tương đối: Đề cho f (x ), yêu cầu tính f ( x ) hoặc đề cho f ( x ), yêu cầu tính f (x ).
Phương pháp: Đặt t ( x ).
Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân không phụ thuộc vào biến số,
b
mà chỉ phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa là
b
f (u )du
a
b
f (t )dt
a
f (x )dx
a
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT THÔNG HIỂU
2
2
xe
Câu 48. Xét
x2
2
dx , nếu đặt u x thì
0
2
xe
x2
dx bằng
0
4
A. 2 eu du .
2
B. 2 eu du .
0
C.
0
4
1 u
e du .
2 0
D.
1 u
e du .
2 0
Câu 49.
Tính tích phân I cos3 x.sin xdx .
0
1
1
A. I 4
B. I 4
C. I 0
D. I
4
4
21
dx
Câu 50. Cho
a ln 3 b ln 5 c ln 7 , với a , b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
5 x x 4
A. a b 2c .
B. a b c .
C. a b c .
D. a b 2c .
Câu 51. Cho hàm số f x liên tục trên . Mệnh đề nào sau đây đúng?
1
A.
0
1
C.
0
1
2
f x dx
1
f x dx .
2 0
B.
1
f x dx f 1 x dx .
D.
0
Giả sử
1
16
Câu 52.
f x dx 0 .
1
1
2
f x dx 2020, khi đó giá trị của x . f x
3
1
4
1
f x dx 2 f x dx .
0
dx bằng
1
A. 20204.
B.
4
2020.
C. 8080.
1
Câu 53.
Cho hàm số f x thỏa mãn
f 2 x dx 2 . Tích phân f x dx bằng:
0
4
2
Câu 54.
Cho
f x dx 2 . Khi đó
C. 2 .
f
A. 1.
x
B. 4 .
2
D. 4 .
x dx bằng
1
1
Câu 55.
0
B. 1 .
A. 8 .
D. 505.
2
D. 8 .
C. 2 .
2
1
Cho 2 f x 3g x dx 6 , g x dx 2 . Tính I f 2 x dx
0
0
0
A. I 6 .
B. I 12 .
C. I 6 .
D. I 3 .
4
Câu 56.
Cho I x 1 2 x dx và u 2 x 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
0
3
1 u5 u3
A. I .
2 5 3 1
3
B. I u 2 u 2 1 du .
1
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
3
C. I
3
1 2 2
1
x x 1 dx . D. I u 2 u 2 1 du .
21
21
3
Câu 57.
Cho I sin x cos2 xdx, khẳng định nào sau đây đúng?
0
A. 0 I
1
.
3
B.
1
1
1
2
C. I .
I .
3
2
2
3
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 58. Cho hàm số f x có f 3 3 và f x
A. 7 .
B.
197
.
6
D.
2
I 1
3
8
x
, x 0 . Khi đó f x dx bằng
x 1 x 1
3
29
181
C.
.
D.
.
2
6
Câu 59. Cho hàm số f x có f 0 0 và f x cos x cos2 2 x, R . Khi đó
f x dx bằng
0
1042
A.
.
225
2
Câu 60.
Biết
( x 1)
1
208
B.
.
225
242
C.
.
225
dx
dx a b c
x x x 1
D.
với a , b, c
149
.
225
là các số nguyên dương. Tính
P abc
A. P 24
B. P 12
C. P 18
D. P 46
1
3
3
dx
1 e
a b ln
Câu 61. Cho x
, với a, b là các số hữu tỉ. Tính S a b .
e 1
2
0
A. S 2 .
B. S 2 .
C. S 0 .
D. S 1 .
x
1
e m,
khi x 0
Câu 62. Cho hàm số f x
liên tục trên và f x dx ae b 3 c ,
2
2 x 3 x , khi x 0
1
a, b, c . Tổng T a b 3c bằng
A. T 15 .
B. T 10 .
C. T 19 .
2
Câu 63.
Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa
2
A. -15.
B. -2.
1
Câu 64.
Biết rằng tích phân
3x 5
0
f
x 2 5 x dx 1,
C. -13.
D. T 17 .
5
1
f x
x2
5
dx 3. Tính
f x dx.
1
D. 0.
dx
a ln 2 b ln 3 c ln 5 với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị
3x 1 7
của a b c bằng
10
5
10
5
A. .
B. .
C.
.
D. .
3
3
3
3
3
x
a
Câu 65. Cho
dx b ln 2 c ln 3 , với a , b, c là các số nguyên. Giá trị của a b c bằng
3
0 4 2 x 1
A. 2.
B. 9.
C. 7.
D. 1.
e
ln x
dx a e b với a, b . Tính P a.b
Câu 66. Biết
x
1
A. P 4 .
B. P 8 .
C. P 8 .
D. P 4 .
64
dx
2
Câu 67. Giả sử I
a ln b với a, b là các số nguyên. Khi đó giá trị a b là
3
3
x x
1
A. 17 .
B. 5 .
C. -5 .
D. 17 .
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
2
Biết rằng sin x cos x dx a b với a, b R .Tính a b .
Câu 68.
0
A. .
ln 6
Biết tích phân
Câu 69.
1
0
T abc.
A. T 0 .
B. 4 .
ex
ex 3
C. 2 .
D. 2 .
dx a b ln 2 c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Tính
C. T 1 .
B. T 2 .
D. T 1 .
2
Biết
Câu 70.
sin
2
0
A. 3 .
cos x
dx a ln 2 b ln 3 với a , b, c là các số nguyên. Tính P 2 a b.
x 3sin x 2
B. 7 .
C. 5 .
D. 1.
3
Cho biết
Câu 71.
sin
2
x tan xdx ln a
0
bằng
A. 12 .
b
với a , b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức M 3a 2b
8
C. 1 .
B. 0 .
D. 3 .
ln 3
Cho hàm số
Câu 72.
f x
liên tục trên tập hợp
f e
và thỏa mãn
x
3 dx 1 ,
0
6
2 x 1 f x dx 3 . Giá trị của
x3
A. 10 .
4
6
f x dx bằng
4
B. 5 .
C. 4 .
D. 12 .
e
4 ln x 1
a b
Câu 73. Biết rằng
với a, b * . Giá trị của a 3b 1 bằng
dx
x
6
1
A. 125 .
B. 120 .
C. 124 .
D. 123 .
3
Câu 74. Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm trên và thỏa mãn x f ( x ) 2 f ( x ) 1 , với x . Giá
1
trị của
f ( x)dx
bằng
2
5
7
7
.
C. .
D. .
4
4
2
e
3 ln x
a b c
Câu 75. Biết
, trong đó a , b , c là các số nguyên dương và c 10 . Giá trị của
.dx
x
3
1
a b c bằng
A. 19 .
B. 13 .
C. 28 .
D. 25 .
6
Câu 76. Cho hàm số y f x liên tục trên 0;1 và thỏa mãn f x 6 x 2 f x 3
. Tính
3x 1
A.
5
.
2
B.
1
f x dx .
0
A. 1.
B. 4.
C. 2.
D. 6.
E. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
1. Định lí: Nếu u u(x ) và v v(x ) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a ;b ] thì
b
I
a
b
b
u(x )v (x )d x u(x )v(x ) u (x )v(x )dx hay I
a
a
b
u dv uv
a
b
a
b
v du.
a
2. Phương pháp thực hành:
Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhận nhau, chẳng hạn: đa thức nhân lôga, mũ nhân lượng
giác…
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Vi phân
b
b
du dx
b
u
Suy
ra:
Đặt
I
u
d
v
uv
NH
v du.
a
dv dx
v
a
a
Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv phần còn lại.
b
Lưu ý: Tùy vào bài toán mà ta cần chọn u và dv sao cho
v du
đơn giản nhất. Cần nhớ rằng
a
bậc của đa thức và bậc của lnx tương ứng với số phần lấy tích phân từng phần.
3. Tính chất của nguyên hàm và tích phân
Nếu F (x ) là một nguyên hàm của hàm số f (x ) thì F (x ) f (x ).
b
f (x )dx f (x ) C .
f (x )dx f (x )
b
a
f (b) f (a ).
a
2
Tích phân không phụ thuộc vào biến mà chỉ phụ thuộc vào
b
cận, như
b
f (t )dt f (x )dx ....
a
a
e
Câu 77.
Tính tích phân I x ln xdx
1
1
2
A. I
B. I
e2 2
2
C. I
e2 1
4
D. I
e2 1
4
e
Câu 78.
Cho
1 x ln x dx ae
2
be c với a, b,
c là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1
A. a b c
B. a b c
C. a b c
D. a b c
2
Câu 79.
Cho
2 x ln(1 x)dx a ln b với a; b
*
và b là số nguyên tố. Tính 3a 4b .
0
A. 42 .
B. 21 .
C. 12 .
D. 32 .
Câu 80.
2
1
Cho f x là một nguyên hàm của g x trên , thỏa mãn f , xg x dx và
2
2 2 0
1
2
f x dx a b , trong đó a, b là các số hữu tỉ. Tính P a 4b .
0
3
7
5
1
A. P .
B. P .
C. P .
D. P .
2
4
2
2
2x
Câu 81.
F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2 x 1 e thỏa F 0 0 . Tính F 1
A. F 1 2e 2 .
B. F 1
e2
.
2
C. F 1 e 2 .
D. F 1
1
Câu 82.
Cho hàm số f x thỏa mãn
1
x 1 f x dx 10
và 2 f 1 f 0 2 . Tính
0
A. I 12
B. I 8
3e 2
.
2
C. I 1
f x dx .
0
D. I 8
ln sin x cos x
bc
a
dx ln 2 , với a, b, c là các số nguyên. Khi đó,
bằng
2
0
cos x
b
c
a
4
Câu 83.
Biết
A. 6 .
B.
8
.
3
C. 6 .
8
D. .
3
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
4
Câu 84.
x
dx a b ln 2 với a, b là các số hữu tỷ. Tính T 16a 8b ?
1 cos 2 x
0
B. T 5 .
C. T 2 .
D. T 2 .
Biết tích phân I
A. T 4 .
5
Câu 85.
Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên đoạn 0;5 thỏa mãn
xf x e
f x
dx 8 ;
0
5
f 5 ln 5 . Tính I e f x dx.
0
A. 33 .
Câu 86. Cho hàm số
B. 33 .
C. 17 .
có đạo hàm liên tục trên đoạn
f x
2
0;2
D. 17 .
và thỏa mãn
f 0 2 ,
2
2 x 4 f ' x dx 4 . Tính tích phân I f x dx .
0
0
A. I 2 .
B. I 2 .
C. I 6 .
D. I 6 .
2
ln 1 2 x
a
dx ln 5 b ln 3 c ln 2 , với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của
Câu 87. Cho
2
x
2
1
a 2 b c là:
A. 0.
B. 9.
C. 3.
D. 5.
2
x ln xdx
Câu 88. Tích phân 2
a ln 2 b ln 3 c ln 5 ( với a, b, c là các số hữu tỉ). Tính tổng a b c.
( x 1)2
1
2
9
9
2
A.
.
B.
.
C. .
D. .
5
10
10
5
Câu 89. Cho hàm số
có
và
liên tục trên
f ' ( x)
f '' ( x)
f ( x)
1;3 . Biết
3
f (1) 1, f (3) 81, f (1) 4, f (3) 108 . giá trị của
4 2 x f ( x)dx bằng
1
A. 64 .
B. 48 .
C. 64 .
D. 48 .
4
Câu 90.
Cho hàm số y f x có đạo hàm f
'
x
liên tục trên , f 4 8 và
f x dx 6 . Giá trị
0
2
của
'
xf 2x dx bằng
0
A. 13 .
Câu 91.
B.
C. 10 .
D.
13
.
4
1 2 x
e 2 x n C , m, n . Giá trị của m 2 n 2 bằng
m
B. 65 .
C. 5 .
D. 41 .
F. TÍCH PHÂN HÀM ẨN
1 1
tục và có đạo hàm trên
f ( x ) liên
2 ; 2 thỏa
Biết x 3 e2 x dx
A. 10 .
Câu 92.
13
.
2
Cho
hàm
số
1
2
f
2
1
2
A. ln
( x) 2 f ( x)(3 x) dx
7
.
9
B. ln
109
. Tính
12
2
.
9
1
2
mãn
f ( x)
dx
2
1
x
0
5
C. ln .
9
8
D. ln .
9
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
0
Cho hàm số y f ( x ) là hàm số lẻ và liên tục trên
Câu 93.
4;4
biết
f ( x)dx 2
và
2
4
2
f (2 x )dx 4 . Tính I= f ( x)dx .
0
1
A. I 10.
B. I 10.
C. I 6.
D. I 6. .
Câu 94. Cho hàm số f x liên tục trên thảo mãn xf x 3 f 1 x 2 x10 x 6 2 x, x . Khi đó
0
f x dx ?
1
17
13
17
.
B.
.
C.
.
20
4
4
Cho hàm số y f ( x) liên tục trên đoạn e ; e 2 .
D. 1 .
A.
Câu 95.
2
e
1
Biết x f ( x ) ln x xf ( x ) ln x 0, x e; e và f (e) . Tính tích phân I f ( x)dx .
e
e
3
A. I 2 .
B. I .
C. I 3 .
D. I ln 2 .
2
2
2
2
3
Câu 96.
Cho hàm số f x có đạo hàm trên 4; 2 , thỏa mãn
xf ' 2 x 4 dx 8 và f 2 2 .
0
1
Tính I
f 2 x dx .
2
A. I 10
B. I 5
C. I 5
3
Câu 97.
Cho hàm số f ( x) liên tục trên và có
f ( x)dx 8 và
0
9
.
4
Cho hàm số
A.
Câu 98.
11
.
4
liên tục trên
1
f ( x)dx 4 . Tính
0
1;1
f ( 4 x 1)dx
1
C. 3 .
B.
f x
D. I 10
5
D. 6 .
f x 2019 f x e x , x 1;1 . Tính
và
1
f x dx .
1
A.
e2 1
.
e
B.
e2 1
.
2020e
C. 0.
D.
Câu 99. Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 thỏa mãn f 1 x 6 x 2 f x3
bằng
A. 4 .
B. 1.
C. 2 .
e2 1
.
2019e
6
. Khi đó
3x 1
1
f x dx
0
D. 6 .
Câu 100. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên \ 0 thỏa mãn x 2 f 2 x 2 x 1 f x xf ' x 1 ,
2
với mọi x \ 0 đồng thời thỏa f 1 2 . Tính
f x dx
1
ln 2
1.
A.
2
Câu 101. Cho
hàm
1
B. ln 2 .
2
số
y f x
có
đạo
2019 f x 2020 f 4 x 6059
3
C. ln 2 .
2
hàm trên
0; 4
x
. Tính tích phân
2
D.
và
ln 2 3
.
2 2
thỏa đẳng
4
f x dx .
0
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
thức sau đây
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 102. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên , f 0 0, f 0 0 và thỏa mãn hệ
thức f x . f x 18 x 2 3 x 2 x f x 6 x 1 f x , x .
1
Biết x 1 e f x dx a.e 2 b , với a ; b . Giá trị của a b bằng.
0
A. 1.
B. 2 .
Câu 103. Cho
hàm
C. 0 .
f x
số
liên
D.
tục
2
.
3
trên
thỏa
mãn
2
3
3
1
f x x 2 1 f x3 x x5 4 x3 5x 2 7 x 6, x . Tích phân f x dx bằng
4
2
4
1
1
1
19
A. .
B. .
C. 7 .
D. .
7
3
3
Câu 104. Cho hàm số f x xác định và có đạo hàm f x liên tục trên đoạn 1;3 , f x 0 với mọi
2
2
2
x 1;3 , đồng thời f x 1 f x f x x 1 và f 1 1 .
3
f x dx a ln 3 b , a, b , tính tổng S a b .
2
Biết rằng
1
A. S 0 .
B. S 1 .
Câu 105. Cho hàm số
f x
2
C. S 2 .
D. S 4 .
f x có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
f 1 1 và
1
4 6 x 2 1 . f x 40 x 6 44 x 4 32 x 2 4, x 0;1 . Tích phân
f x dx bằng?
0
A.
23
.
15
Câu 106. Cho
B.
hàm
số
f ( x)
13
.
15
có
C.
đạo
hàm
liên
17
.
15
tục
D.
trên
và
7
.
15
thỏa
mãn
f (0) 3 và
2
f ( x) f (2 x) x 2 2 x 2, x . Tích phân
xf ( x)dx
bằng
0
A.
4
.
3
B.
2
.
3
C.
5
.
3
Câu 107. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên
3
4 x3 f x f x x3 , x 2; 4 , f 2
A.
40 5 1
.
2
Câu 108. Cho
hàm
f x
2
B.
số
f x
20 5 1
.
4
có
đạo
hàm
D.
2;4
và
10
3
f x 0, x 2;4 . Biết
7
. Giá trị của f 4 bằng
4
20 5 1
40 5 1
C.
.
D.
.
2
4
liên
tục
trên
0; 2
và
thỏa
f 1 0 ,
1
4 f x 8 x 2 32 x 28 với mọi x thuộc 0; 2 . Giá trị của
f x dx bằng
0
5
A. .
3
B.
4
.
3
C.
2
.
3
D.
14
.
3
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 109. Cho hàm số f x liên tục trên
0;1
và f x f 1 x
x2 2 x 3
, x 0;1 . Tính
x 1
1
f x dx
0
A.
3
2 ln 2 .
4
B. 3 ln 2 .
C.
3
ln 2 .
4
D.
3
2 ln 2 .
2
Câu 110. Cho hàm số y f ( x ) liên tục trên thỏa mãn 3 f x f 2 x 2 x 1 e x
2
2 x 1
4 . Tính tích
2
phân I f x dx ta được kết quả:
0
A. I e 4 .
C. I 2 .
B. I 8 .
D. I e 2 .
3
Câu 111. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên 0;2 và thỏa mãn: ( x 4) 2 4 xf ( x ) f ( x ) 2 và
5
2
1
. Khi đó f ( x)dx bằng
20
0
f (0)
A.
203
.
30
Câu 112. Cho
B.
hàm
163
.
30
f x
số
C.
11
.
30
liên
tục
D.
157
30
trên
thỏa
mãn
0
xf x5 f 1 x 4 x11 x8 x6 3x 4 x 3, x . Khi đó
f x dx bằng
1
A.
35
.
6
B.
15
.
4
C.
7
.
24
D.
5
.
6
2
2
2
3x , x ;1 . Khi đó
Câu 113. Cho hàm số f x liên tục trên ;1 và thỏa mãn 2 f x 5 f
5 x
5
5
I
A.
1
3
ln 3 x. f ' 3 x dx bằng:
2
15
1 2 3
.
ln
5 5 35
B.
1 5 3
.
ln
5 2 35
C.
1 5 3
.
ln
5 2 35
D.
1 2 3
.
ln
5 5 35
Câu 114. Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn f x 2 xf x 2 2 x 7 3 x 3 x 1 với x .
1
Tính tích phân
xf x dx .
0
A.
1
.
4
B.
5
.
4
C.
3
.
4
1
D. .
2
Câu 115. Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn
4
3
2x 2 x x 4x 4
x2 f 1 x 2 f
, x 0, x 1 . Khi đó
x
x
1
A. 0 .
B. 1.
C. .
2
1
f x dx có giá trị là
1
D.
3
.
2
Câu 116. Xét hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn điều kiện 2 f x 3 f 1 x x 1 x .
1
Tính tích phân I f x dx .
0
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
4
A.
15
Câu 117. Cho
4
B.
15
hàm
số
f x
2
C.
5
liên
tục
D. 1
trên
thỏa
mãn
2
3
3
1
f x x 2 1 f x3 x x5 4 x3 5 x2 7 x 6, x . Tích phân f x dx bằng
4
2
4
1
1
1
19
A. .
B. .
C. 7 .
D. .
3
7
3
----------------- HẾT -----------------
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
TÍCH PHÂN
Vấn đề 14
A. ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
a) Định nghĩa:
b
b
f x dx F x a F b F a với F x là một nguyên hàm của f x trên a; b .
a
b) Tính chất:
a
b
f x dx 0
a
b
a
a
f x dx f x dx
a
b
kf x dx k f x dx (k là hằng số)
a
c
b
c
a
a
b
b
b
a
f x dx f x dx f x dx
b
b
f x g x dx f x dx g x dx
a
a
b
b
b
a
a
a
f x dx f t dt f u du
Nếu f x 0, x a; b thì f x dx 0.
a
b
b
Nếu f x g x , x a; b thì f x dx g x dx.
b
a
a
Đặc biệt:
a
Nếu hàm y f x là hàm số lẻ trên a; a thì f x dx 0.
a
a
a
a
0
Nếu hàm y f x là hàm số chẵn trên a; a thì f x dx 2 f x dx .
2
Câu 1.
3
3
Nếu f x dx 2 và f x dx 1 thì f x dx bằng
1
2
A. 3 .
1
B. 1 .
C. 1.
D. 3 .
Lời giải
Chọn B
3
2
3
Ta có f x dx f x dx f x dx 2 1 1 .
1
1
2
1
Câu 2.
1
Nếu f x dx 4 thì 2 f x dx bằng
0
0
A. 16 .
B. 4 .
C. 2 .
Lời giải
D. 8 .
Chọn D
1
1
Ta có: 2 f x dx 2 f x dx 2.4 8 .
0
1
Câu 3.
0
1
1
Cho f x dx 2 và g x dx 5 khi đó f x 2 g x dx bằng
0
A. 3 .
0
0
B. 12 .
C. 8 .
Lời giải
D. 1 .
Chọn C.
1
1
1
Ta có g x dx 5 2 g x dx 10 2 g x dx 10
0
0
0
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
1
1
1
Xét f x 2 g x dx f x dx 2 g x dx 2 10 8 .
0
0
2
Câu 4.
0
2
2
Biết f x dx 2 và g x dx 6 , khi đó f x g x dx bằng
1
1
A. 4 .
1
B. 8 .
D. 4 .
C. 8 .
Lời giải
Chọn D
2
2
2
Ta có: f x g x dx f x dx g x dx 2 6 4 .
1
1
1
Câu 5.
1
1
1
Biết tích phân f x dx 3 và g x dx 4 . Khi đó f x g x dx bằng
0
0
0
B. 7 .
A. 7 .
C. 1 .
Lời giải
D. 1.
Chọn C
1
1
1
Ta có f x g x dx f x dx g x dx 3 4 1 .
0
0
1
1
0
0
0
1
Biết f ( x)dx 2 và g ( x)dx 4 , khi đó f ( x) g ( x) dx bằng
A. 6 .
0
B. 6 .
C. 2 .
Lời giải
D. 2 .
Chọn C
1
1
0
0
f ( x ) g ( x ) dx
1
f ( x)dx g( x)dx 2 (4) 2 .
0
2
Câu 6.
Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn 1; 2 , f 1 1 và f 2 2 . Tính I f x dx.
1
A. I 1.
B. I 1.
7
D. I .
2
C. I 3.
Lời giải
Chọn A
2
2
Ta có I f x dx f x 1 f 2 f 1 2 1 1.
1
5
Câu 7.
5
Cho f x dx 2 . Tích phân 4 f x 3x 2 dx bằng
0
0
A. 133 .
B. 120 .
C. 130 .
Lời giải
D. 140 .
Chọn A
5
5
5
5
2
2
3
4 f x 3x dx 4 f x dx 3 x dx 4. 2 x 0 8 125 133 .
0
0
1
Câu 8.
Cho f x dx 3,
0
A. 12 .
0
1
1
g x dx 2 . Tính giá trị của biểu thức I 2 f x 3g x dx
0
0
B. 9 .
C. 6 .
Lời giải
D. y 6 .
Chọn A
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
1
1
1
Ta có I 2 f x 3 g x dx 2 f x dx 3 g x dx 2.3 3. 2 12 .
0
0
2
Câu 9.
0
2
Biết rằng f x dx
0
1
, tính I 2 f x 1dx .
2
0
A. I 3 .
B. I 1 .
C. I 2 .
D. I
3
.
2
Lời giải
Chọn A
2
2
2
1
2
Ta có I 2 f x 1dx 2 f x dx 1dx 2. x 0 1 2 3 .
2
0
0
0
2
Câu 10.
2
Cho hàm số f x liên tục trên và f x 3x 2 dx 10 . Tính f ( x)dx .
0
A. 18 .
0
C. 18 .
Lời giải
B. 2 .
D. 2 .
Chọn D
2
2
2
Ta có: f x 3x 2 dx 10 f x dx 10 3x 2 dx 10 x 3
0
0
2
Câu 11.
0
4
2
0
2.
4
Cho f x dx 2 và f x dx 1 . Tích phân f x dx bằng
1
2
A. 3 .
1
C. 1 .
Lời giải
B. 3 .
D. 1 .
Chọn C
4
2
4
Ta có f x dx f x dx f x dx 2 1 1 .
1
1
2
Câu 12.
Cho
2
2
f ( x) dx 2 và g ( x)dx 1 , khi đó x 2 f ( x) 3 g ( x) dx bằng
1
A.
2
1
5
2
1
B.
7
2
17
2
Lời giải
C.
D.
11
2
Chọn A
2
2
2
2
Ta có x 2 f ( x) 3g(x) dx xdx 2 f ( x)dx 3 g ( x)dx
1
1
1
1
6
Câu 13.
3
5
43
2
2
10
Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn f x dx 7,
0
6
f x dx 3, f x dx 1 . Tính
3
3
10
giá trị của f x dx .
0
B. 10 .
A. 4 .
C. 9 .
Lời giải
D. 8 .
Chọn C
Ta có
3
6
f x dx f x dx
0
0
6
3
10
f x dx 7 1 6
0
3
10
f x dx f x dx f x dx 6 3 9 .
0
3
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
e
Câu 14.
Cho hàm số f x cos ln x . Tính tích phân I f x dx.
1
A. I 2.
C. I 2 .
Lời giải
B. I 2.
D. I 2 .
Chọn A
e
e
I f x dx f x 1 f e f 1 cos ln e cos ln1
1
cos cos 0 2.
5
Câu 15.
7
7
Cho h( x)dx 4 và h( x)dx 10 , khi đó h( x)dx bằng
5
1
1
A. 7 .
B. 2 .
C. 6 .
Lời giải
Chọn C
7
5
7
7
7
D. 5 .
5
h( x)dx h( x)dx h( x)dx nên h( x)dx h( x)dx h( x)dx 10 4 6
1
1
5
5
1
5
Câu 16.
1
5
5
Cho hai tích phân f x dx 8 và g x dx 3 . Tính I
2
A. I 13 .
2
f x 4 g x 1dx
2
C. I 11 .
Lời giải
B. I 27 .
D. I 3 .
Chọn A
5
Ta có: I
5
f x 4 g x 1dx
2
2
5
5
f x dx 4 g x dx dx 8 4. 3 7 13 .
2
2
5
Câu 17.
Cho f x là một hàm số liên tục trên 2;5 và
3
f x dx 8, f x dx 3 . Tính
2
1
1
5
f x dx f x dx .
P
2
3
A. P 5 .
B. P 11 .
C. P 11 .
Lời giải
D. P 5 .
Chọn C
5
2
1
3
5
f x dx f x dx + f x dx f x dx .
2
1
3
1
5
f x dx + f x dx
2
5
3
2
3
f x dx f x dx 11 .
1
2
Câu 18.
Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm trên đoạn 1; 2 , biết tích phân
f x dx 9 và
1
f 1 8 . Tính f 2 .
A. f 2 1.
B. f 2 1.
C. f 2 3.
D. f 2 16.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2
f x dx 9 f x
2
1
9 f 2 f 1 9 f 2 9 f 1 9 8 1.
1
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Vậy f 2 1.
2
Câu 19.
4
4
Cho f x dx 1 , f t dt 4 . Tính I f y dy .
2
2
2
A. I 5 .
B. I 3 .
C. I 3 .
Lời giải
D. I 5 .
Chọn D
4
4
Do tích phân không phụ thuộc vào biến số nên f t dt
4
4
4
Ta có I f y dy f x dx
2
2
2
Câu 20.
2
2
f x dx 4 .
2
f x dx f x dx 4 1 5 .
2
2
2
2
Cho f x dx 2 và g x dx 1 . Tính I x 2 f x 3 g x dx .
1
A. I
1
11
2
1
B. I
17
2
C. I
5
2
D. I
7
2
Lời giải
Chọn B
2
2
x2
Ta có: I x 2 f x 3 g x dx
2
1
Câu 21.
f x, g x
Cho
là
2
1
1
hàm
1
số
liên
tục
3
17
2.2 3 1
.
2
2
1
A. I 7 .
trên
1;3
và
3
3
3
mãn f x 3g x dx 10 2 f x g x dx 6 . Tính I f x g x dx bằng
1
các
2
2 f x dx 3 g x dx
thỏa
1
B. I 6 .
C. I 8 .
Lời giải
D. I 9 .
Chọn B
3
3
3
3
f
x
3
g
x
d
x
10
f
x
d
x
3
g
x
d
x
10
f x dx 4
1
1
1
3
13
Ta có: 3
.
3
2 f x g x dx 6
2 f x dx g x dx 6
g x dx 2
1
1
1
1
3
3
3
Vậy I f x g x dx f x dx g x dx 4 2 6 .
1
1
1
B. TÍCH PHÂN CƠ BẢN(THÔNG QUA BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM)
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)
0dx C .
x n dx
k dx kx C .
x n 1
C.
n 1
(ax b)n dx
1
dx ln x C .
x
1
1
dx C .
2
x
x
sin x dx cos x C .
1 (ax b)n 1
C.
a n 1
1
1
dx ln ax b C .
ax b
a
1
1
1
dx
C.
2
a ax b
(ax b)
1
sin(ax b)dx cos(ax b) C .
a
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
- Xem thêm -
.PDF 
59 
195 
129 
