Tài liệu Tổng hợp lý thuyết toán lớp 10, 11 và lớp 12 luyện thi đại học

KIẾN THỨC CƠ BẢN 10 - 11 - 12 - LTĐH g n ặ BIÊN SOẠN: THẠC SĨ HỒ HÀ ĐẶNG . h T Đ à H ồ H S KIẾN THỨC CƠ BẢN LUYỆN THI ĐẠI HỌC Mục lục 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC . . . . . 1.1 DIỆN TÍCH TAM GIÁC . . . . . . . . . . 1.2 ĐỊNH LÝ HÀM SỐ COS . . . . . . . . . . 1.3 ĐỊNH LÝ HÀM SỐ SIN . . . . . . . . . . . 1.4 CÔNG THỨC TRUNG TUYẾN . . . . . . 1.5 CÔNG THỨC PHÂN GIÁC . . . . . . . . LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN . . . . . . . . 2.2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC . . . . . ĐẠO HÀM - TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . . MŨ - LOGARIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 MŨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 LOGARIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . PT - BPT CĂN THỨC & GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 5.1 CĂN THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI . . . . . . . . . . . TỔ HỢP - XÁC SUẤT . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 HOÁN VỊ - TỔ HỢP - CHỈNH HỢP . . . 6.2 NHỊ THỨC NEWTON . . . . . . . . . . . 6.3 XÁC SUẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ . . . . . . . . . HÌNH HỌC OXY . . . . . . . . . . . . . . . . . . HÌNH KHÔNG GIAN OXY Z . . . . . . . . . . . BẤT ĐẲNG THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 BĐT CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . . . Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g n ặ Đ à H ồ H S . h T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 4 4 4 5 5 7 9 12 12 12 14 14 14 14 14 15 15 16 17 20 23 23 23 ĐT: 0987 536 210 TOÁN 6-12-LTĐH 11 Trang 3 10.3 BĐT B.C.S . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 BĐT SCHWATZ . . . . . . . . . . . . . . . SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 ĐỊNH NGHĨA . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 CÁC PHÉP TOÁN . . . . . . . . . . . . . 11.3 CĂN BẬC HAI VÀ PT BẬC HAI CỦA SỐ 11.4 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 24 24 24 24 25 26 g n ặ Đ à H ồ H S . h T Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 KIẾN THỨC CƠ BẢN §1 1.1 LUYỆN THI ĐẠI HỌC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC DIỆN TÍCH TAM GIÁC Cho tam giác ∆ABC, AB = c; BC = a; CA = b. 1 1 1 S∆ABC = aha = bhb = chc 2 2 2 1 1 1 ab sin C = bc sin A = ac sin B = 2 2 2 abc = 4R = pr p = p(p − a)(p − b)(p − c) (Công thức Herong) g n ặ R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC; r là bán kính đường tròn nội tiếp a+b+c ∆ABC; p là nửa chu vi; p = 2 1.2 Đ à H ồ H S ĐỊNH LÝ HÀM SỐ COS a2 = b2 + c2 − 2bc cos A; 1.3 1.4 . h T c2 = a2 + b2 − 2ab cos C; ĐỊNH LÝ HÀM SỐ SIN a b c = = = 2R. sin A sin B sin C CÔNG THỨC TRUNG TUYẾN m2a = 1.5 b2 = a2 + c2 − 2ac cos B; a2 b2 + c2 − ; 2 4 m2b = a2 + c2 b2 − ; 2 4 m2c = a2 + b2 c2 − . 2 4 CÔNG THỨC PHÂN GIÁC Cho phân giác trong (và ngoài) AD (và AE) của góc Â. Khi đó: DB EB AB = = . DC EC AC Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 TOÁN 6-12-LTĐH Trang 5 Và AD = §2 2.1 AB.AC. sin A . (AB + AC) sin A2 LƯỢNG GIÁC CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN CÔNG THỨC CƠ BẢN Ta có các đẳng thức sau: 1. sin2 x + cos2 x = 1, −1 ≤ sin x, cos x ≤ 1 g n ặ cos x sin x , cot x = , tan x. cot x = 1 cos x sin x 1 1 3. tan2 x + 1 = , cot2 x + 1 = cos2 x sin2 x 2. tan x = Đ à H ồ H S CUNG LIÊN HỆ Cos đối −x và x 1. cos(−x) = cos x h. 2. sin(−x) = − sin x T 3. tan( π2 − x) = cot x 4. cot( π2 − x) = tan x Nửa pi sin cos chéo trừ sin( π2 3. tan(−x) = − tan x 1. 4. cot(−x) = − cot x 2. cos( π2 + x) = − sin x Sin bù π − x và x 3. tan( π2 + x) = − cot x 1. sin(π − x) = sin x 4. cot( π2 + x) = − tan x 2. cos(π − x) = − cos x 3. tan(π − x) = − tan x 4. cot(π − x) = − cot x Phụ chéo π 2 − x và x 1. sin( π2 − x) = cos x 2. cos( π2 − x) = sin x π 2 + x và x + x) = cos x Nguyên pi hai đối, hai bằng π + x và x 1. sin(π + x) = − sin x 2. cos(π + x) = − cos x 3. tan(π + x) = tan x 4. cot(π + x) = cot x Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 KIẾN THỨC CƠ BẢN LUYỆN THI ĐẠI HỌC CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI, BA 4. sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x 1. sin 2x = 2 sin x cos x 2. cos 2x = cos2 x − sin2 x 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x 3. tan 2x = = 2 tan x 1 − tan2 x 5. cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x 6. tan 3x = 3 tan x − tan3 x 1 − 3 tan2 x CÔNG THỨC HẠ BẬC 1 − cos 2x 2 1 + cos 2x cos2 x = 2 1 − cos 2x tan2 x = 1 + cos 2x 3 sin x − sin 3x sin3 x = 4 cos 3x + 3 cos x cos3 x = 4 Biểu diễn theo t = tan 1. sin2 x = 2. 3. 4. 5. 6. sin x = x 2 g n ặ 2t 1 + t2 Đ à H ồ H S . h T 7. cos x = 1 − t2 1 + t2 8. tan x = 2t 1 − t2 CÔNG THỨC CỘNG 1. sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y 6. tan(x − y) = 2. sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y Hệ quả. 3. cos(x+y) = cos x cos y −sin x sin y tan x − tan y 1 + tan x tan y 4. cos(x−y) = cos x cos y +sin x sin y 7. sin √ x + cos xπ = 2 cos(x − 4 ) tan x + tan y 5. tan(x + y) = 1 − tan x tan y 8. sin√x − cos x = − 2 cos(x + π4 ) √ √ 2 sin(x + π 4) = 2 sin(x − π 4) = CÔNG THỨC TỔNG THÀNH TÍCH  1. cos x + cos y = 2 cos x+y 2   cos x−y 2  Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 TOÁN 6-12-LTĐH Trang 7     x+y x−y 2. cos x − cos y = −2 sin sin 2 2     x−y x+y cos 3. sin x + sin y = 2 sin 2 2     x+y x−y 4. sin x − sin y = 2 cos sin 2 2 CÔNG THỨC TÍCH THÀNH TỔNG 1. cos x cos y = 1 2 [cos(x + y) + cos(x − y)] 2. sin x sin y = 1 2 [cos(x − y) − cos(x + y)] 3. sin x cos y = 1 2 [sin(x + y) + sin(x − y)] 2.2 g n ặ Đ à H ồ H S PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT  u = v + k2π (k ∈ Z) u = π − v + k2π 1. sin u = sin v ⇔ h.  2. cos u = cos v ⇔ T u = v + k2π (k ∈ Z) u = −v + k2π  u = v + kπ (k ∈ Z) v 6= π2 + kπ  u = v + kπ (k ∈ Z) v 6= kπ 3. tan u = tan v ⇔ 4. cot u = cot v ⇔ Một số trường hợp đặc biệt: 1. sin u = 1 ⇔ u = π 2 + k2π (k ∈ Z) 4. cos u = 1 ⇔ u = k2π (k ∈ Z) 2. sin u = −1 ⇔ u = − π2 + k2π (k ∈ Z) 5. cos u = −1 ⇔ u = π+k2π (k ∈ Z) 3. sin u = 0 ⇔ u = kπ (k ∈ Z) 6. cos u = 0 ⇔ u = Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân π 2 + kπ (k ∈ Z) ĐT: 0987 536 210 KIẾN THỨC CƠ BẢN LUYỆN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. a sin2 x + b sin x + c = 0 (a 6=0). Đặt t = sin x (với |t| 6 1). Ta có phương trình: at2 + bt + c = 0. Giải phương trình và chọn nghiệm t thỏa |t| 6 1. Giải phương trình cơ bản sin x = t. 2. a cos2 x + b cos x + c = 0 ( a 6= 0). Đặt t = cos x (với |t| 6 1.) Giải PT cơ bản cos x = t 3. a tan2 x + b. tan x + c = 0 t). (a 6= 0). Đặt t = tan x (không có điều kiện của 4. a cot2 x + b. cot x + c = 0 (a 6= 0). Đặt t = tan x (không có điều kiện của t). PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COS g n ặ a sin x + b cos x = c a, b 6= 0 (1) √ Chia hai vế của phương trình cho a2 + b2 , ta được: √ a sin x + √a2b+b2 cos x = √a2c+b2 . a2 +b2  2  2 Vì √a2a+b2 + √a2b+b2 = 1 nên tồn tại góc α ∈ [0, 2π) thỏa: ( Đ à H ồ H S sin α = √a2a+b2 cos α = √a2b+b2 Khi đó (1) có dạng : sin α. sin x + cos α. cos x = √a2c+b2 ⇔ cos(x − α) = √a2c+b2 là phương trình cơ bản. h. Điều kiện có nghiệm T √ |c| a2 +b2 6 1 ⇔ a2 + b2 > c2 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SIN COS Dạng: a(sin u + cos u) + b sin u cos u + c = 0 (1) hoặc a(sin u − cos u) + b sin u cos u + c = 0 (2) Cách giải. a. Với phương trình (1): a(sin u + cos u) + b sin u cos u + c = 0  √ √
π 2 X Đặt t = sin u + cos u = 2 sin u + |t| ≤ 2 ⇒ t2 = (sin u + cos u) 4 2 t −1 ⇔ t2 = 1 + 2 sin u cos u ⇔ sin u cos u = 2 t2 − 1 X Thay sin u + cos u = t, sin u cos u = vào (1) ta được phương trình bậc 2 hai theo t Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 TOÁN 6-12-LTĐH Trang 9 X Tìm t, đưa về phương trình cơ bản √  π 2 sin u + = t. 4 b. Với phương trình (2): a(sin u − cos  u) +π bsin u cos u + c = 0 √ , giải tương tự trường hợp trên. X Đặt t = sin u − cos u = 2 sin u − 4 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT (ĐẲNG CẤP) BẬC HAI Dạng rút gọn: a sin2 u + b sin u cos u + c cos2 u = d (a, b, c 6= 0) (1) Cách giải. π X cos u = 0 ⇔ u = + kπ, k ∈ Z (⇔ sin u = ±1) thay vào lại phương trình xem 2 có thỏa không? π X cos u 6= 0 ⇔ u 6= + kπ, k ∈ Z: chia hai vế của phương trình cho cos2 u ta 2 d được: a tan2 u + b tan u + c = cos2 u
⇔ a tan2 u + b tan u + c = d 1 + tan2 u ⇔ (a − d) tan2 u + b tan u + c − d = 0 được phương trình bậc hai theo tan u. g n ặ §3 Đ à H ồ H S ĐẠO HÀM - TÍCH PHÂN ĐẠO HÀM h. 0 1. (C) = 0 với C là hằng số 0 T 2. (xm ) = mxm−1  0 1 1 =− 2 3. x x √ 0 1 4. ( x) = √ 2 x 0 5. (sin x) = cos x 0 6. (cos x) = − sin x 1 = 1 + tan2 x cos2 x
−1 0 8. (cotx) = = − 1 + cot2 x 2 sin x 0 7. (tan x) =  9. ax + b cx + d 0 = ad − bc 2 (cx + d)  0 2 ax + bx + c 10. a0 x2 + b0 x + c0      a b  2  a c   b  x +2 x+  0  0  a c0   b0  a b0  = (a0 x2 +b0 x+c0 )2 (ab0 −a0 b)x2 +2(ac0 −a0 c)x+bc0 −b0 c = (a0 x2 +b0 x+c0 )2 c c0 0 11. (um ) = mum−1 u0  0 1 u0 12. =− 2 u u √ 0 u0 13. ( u) = √ 2 u Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210       KIẾN THỨC CƠ BẢN LUYỆN THI ĐẠI HỌC 0 14. (sin u) = u0 . cos u 0 18. (u + v + w) = u0 + v 0 + w0 0 15. (cos u) = −u0 . sin u u0 0 16. (tan u) = = u0 (1 + tan2 u) cos2 u −u0 0 = 17. (cot u) = sin2 u
0 2 −u 1 + cot u 0 19. (au) = a.u0 ( a là hằng số ) 0 20. (u.v) = u0 .v + u.v 0 21.  u 0 v = u0 v − v 0 u v2 NGUYÊN HÀM CƠ BẢN và MỞ RỘNG Z 1. kdx = k.x + C xn+1 +C n+1 Z n+1 1 (ax + b) n (ax + b) .dx = . +C a n+1 Z 1 dx = ln |x| + C Z x 1 1 dx = ln |ax + b| + C (ax + b) a Z 1 1 dx = − + C 2 x Z x 1 1 2 dx = − a(ax + b) + C (ax + b) Z 1 1 dx = − + C (n 6= 1) n (n − 1)xn−1 Z x −1 1 n dx = n−1 + C (ax + b) a(n − 1)(ax + b) Z sin x.dx = − cos x + C Z 1 sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C a Z cos x.dx = sin x + C Z 1 cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C a Z 2. 3. 4. 5. 6. 7. xn dx = g n ặ Đ à H ồ H S . h T Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 TOÁN 6-12-LTĐH Trang 11 Z Z 1 8. dx = (1+tan2 x)dx = tan x + C Z cos2 x 1 1 dx = tan(ax + b) + C cos2 (ax + b) a Z
1 dx = 1 + cot2 x dx = − cot x + C 2 Z sin x 1 1 dx = − cot(ax + b) + C 2 a sin (ax + b) Z 9. Z 10. Z e(ax+b) dx = 1 (ax+b) e +C a ax +C ln a Z 1 α(ax+b) α(ax+b) dx = +C a ln α Z 11. ex dx = ex + C g n ặ ax dx = Đ à H ồ H S MỘT SỐ NGUYÊN HÀM KHÁC Z 1. tan xdx = − ln |cos x| + C Z . h T cot xdx = ln |sin x| + C 2.   1  x − 1  1 dx = ln  3. +C x2 − 1 2 x + 1   Z x − a 1 1  +C 4. ln dx = x2 − a2 2a  x + a  Z   p 1   √ 5. dx = ln x + x2 ± 1 + C 2 x ±1 Z   p 1   √ dx = ln x + x2 ± a2  + C 6. x2 ± a2 Z p xp 2 7. x2 ± a2 dx = x ± a2 2   √ 2 ± a2 ln x + x2 ± a2  + C Z Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 KIẾN THỨC CƠ BẢN LUYỆN THI ĐẠI HỌC §4 4.1 MŨ - LOGARIT MŨ 1. an = a.a . . . a} (n ∈ N, n ≥ 1, a ∈ R) | {z n số a 2. a0 = 1 ; a−n = a1n (n ∈ N, a 6= 0) √ √ 1 m 3. a n = n a; a n = n am (a > 0; m, n ∈ N ) m 4. a− n = 1 m an = 1 √ n m a (a > 0; m, n ∈ N ) 5. aα với α là số vô tỉ thì điều kiện a > 0 g n ặ Tính chất 1 Cho a 6= 0; b 6= 0; m, n ∈ R, ta có: Đ à H ồ H S 1. am .an = am+n 2. am an = am−n n 3. (am ) = (an ) m = am.n n 4. (a.b) = an .bn
n n 5. ab = abn . h T Tính chất 2 Cho m, n ∈ R. Khi đó 1. Với a > 1 : am > an ⇔ m > n 2. Với 0 < a < 1 : am > an ⇔ m < n 4.2 LOGARIT Định nghĩa Cho a > 0, a 6= 1 và b > 0. Ta có α = loga b ⇔ aα = b. (a) loga 1 = 0; loga a = 1 Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 TOÁN 6-12-LTĐH Trang 13 (b) loga ab = b, ∀b ∈ R (c) aloga b = b, ∀b ∈ R, b > 0 (d) Ký hiệu y = ln x để chỉ hàm số lôgarit cơ số e (e) Ký hiệu y = log x (hoặc lg x) để chỉ hàm số lôgarit cơ số 10 Các quy tắc tính lôgarit Cho 0 < a 6= 1 và b, c > 0 1. loga (b.c) = loga b + loga c
2. loga cb = loga b − loga c 3. loga bα = αloga b (α ∈ R) g n ặ Cho 0 < a 6= 1 và b > 0 và n là số nguyên dương 1. loga 1b = −loga b √ 1 n 2. loga b = loga b n Đ à H ồ H S Công thức đổi cơ số 1. logb c = loga c hay loga b.logb c = loga c loga b 1 hay loga b.logb a = 1 logb a . h T 2. loga b = 3. logaα c = 1 log c α a So sánh hai logarit cùng cơ số Cho 0 < a 6= 1 và b, c > 0 1. a > 1 : loga b > loga c ⇔ b > c 2. 0 < a < 1 : loga b > loga c ⇔ b < c Cho 0 < a 6= 1 và b, c > 0  a > 1, b > 1 1. ⇒ loga b > 0 a < 1, b < 1  a > 1, b < 1 2. ⇒ loga b < 0 a < 1, b > 1 Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 KIẾN THỨC CƠ BẢN §5 LUYỆN THI ĐẠI HỌC PT - BPT CĂN THỨC & GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 5.1 CĂN THỨC √  B≥0 1. A = B ⇔ A = B2  √ √ B≥0 2. A = B ⇔ A=B  √ √ B≥0 3. A > B(≥) ⇔ A > B(≥) 5.2   B > 0(≥) A≥0 4. A < B(≤) ⇔  A < B 2 (≤)   B<0  √  A≥0 5. A > B ⇔   B≥0 A > B 2 (≥) √ g n ặ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI  1. |A| = |B| ⇔ Đ à H ồ H S A=B A = −B 4.   B  ≥0 A=B 2. |A| = B ⇔  A = −B 3. h. |A| > |B| (≥) ⇔ A2 > B 2 (≥) ⇔ (A − B)(A + B) > 0(≥) T 6.1 1. §6 5. |A| < B(≤) ⇔ −B < A < B(≤ )  A < B(≤) ⇔ A > −B(≥)  |A| > B(≥) ⇔ A > B(≥) A < −B(≤) TỔ HỢP - XÁC SUẤT HOÁN VỊ - TỔ HỢP - CHỈNH HỢP Hoán vị Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn thì Pn = n! = 1.2.3.4 . . . (n − 2).(n − 1).n (a) Quy ước: 0! = 1; 1! = 1 (b) Chú ý: n! = (n − 1)!n = (n − 2)!(n − 1)n 2. Chỉnh hợp Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Akn thì Akn = n! (n−k)! , 0≤k≤n Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 TOÁN 6-12-LTĐH 3. Trang 15 Tổ hợp Nếu kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là Cnk thì Cnk = n! 0≤k≤n (n−k)!k! , (a) Chú ý: Akn = k!Cnk (b) Các hệ thức giữa các số Cnk : Cnk = Cnn−k k−1 k Cn−1 + Cn−1 = Cnk (1 ≤ k ≤ n) 6.2 (0 ≤ k ≤ n) NHỊ THỨC NEWTON 1. Công thức nhị thức Newton (a + b) n = Cn0 an + Cn1 an−1 b + Cn2 an−2 b2 + = . . . + Cnn−1 a1 bn−1 + Cnn bn n X Cnk an−k bk (1) g n ặ k=0 2. Đ à H ồ H S n Hệ quả Với a = b = 1, ta có: 2 = a = 1, b = −1, ta có: 2n = Cn0 − Cn1 + . . . − Cn0 + Cn1 + . . . + Cnn−1 + (−1)n Cnn Cnn−1 + Cnn Với 3. Chú ý Trong các biểu thức ở vế trái của công thức (1) (a) Số các hạng tử là (n + 1); (b) Số hạng (hạng tử) thứ (k + 1) là Tk+1 = Cnn−k an−k bk , 6.3 k = 0, 1, 2, . . . , n . h T XÁC SUẤT PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1. Phép thử Phép thử ngẫu nhiên là hành động không đoán trước được kết quả. 2. Không gian mẫu Tập hợp tất cả các kết quả của phép thử, kí hiệu là Ω . 3. Biến cố A là một tập con của không gian mẫu. 4. Tập ∅ là biến cố không thể, còn tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn. 5. Phép toán trên biến cố (a) Ω\A là biến cố đối của A, kí hiệu A . (b) A ∪ B được gọi là hợp của các biến cố A và B. (c) A ∩ B được gọi là giao của các biến cố A và B. Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 KIẾN THỨC CƠ BẢN LUYỆN THI ĐẠI HỌC (d) A ∩ B = ∅ thì A và B xung khắc. 6. Chú ý (a) A ∪ B (A + B) xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra. (b) A ∩ B (A.B) xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra. (c) A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 1. Định nghĩa xác suất Giả sử A là biến cố trong không gian mẫu Ω. Xác suất n(A) của biến cố A, cho bởi: P (A) = n(Ω) n(A) là số phần tử của A; n(Ω) phần tử của Ω. g n ặ 2. Tính chất của xác suất 0 ≤ P (A) ≤ 1 với mọi biến cố A. Đ à H ồ H S (a) P (∅) = 0; P (Ω) = 1, (b) Nếu A và B xung khắc thì P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
(c) Với mọi biến cố A ta có: P A = 1 − P (A) (d) Biến cố độc lập, công thức nhân xác suất A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P (AB) = P (A).P (B) . h T §7 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 1. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ; a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab; a2 − b2 = (a − b)(a + b) 2. (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3 ; a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2 ); a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b); 3. a4 + b4 = (a2 + b2 )2 − 2a2 b2 ; 4. (a ± b)n = an ± Cn1 an−1 b + . . . + (−1)n−1 Cnn−1 abn−1 + (−1)n Cnn bn . 2 5. (a + b + c) = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca 2 6. (a + b − c) = a2 + b2 + c2 + 2ab − 2bc − 2ca Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 TOÁN 6-12-LTĐH Trang 17 7. a2 +hb2 + c2 − ab − bc − ca i 2 2 2 = 12 (a − b) + (b − c) + (c − a) 8. a3 + b3 + c3 − 3abc
= (a + b + c) a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca §8 HÌNH HỌC OXY 1. Vectơ cơ bản → − − Cho A(xA ; yA ); B(xB ; yB ); C(xC ; yC ); → a = (a1 ; a2 ); b = (b1 ; b2 ) −−→ 1. AB = (xB − xA ; yB − yA ) q 2 2 2. AB = (xB − xA ) + (yB − yA ) 3. I làtrung điểm của AB  xI = xA + xB 2 ⇔  y = yA + yB I 2 g n ặ Đ à H ồ H S 4. G là tam giác ABC  trọng tâm  xG = xA + xB + xC 3 ⇔  y = yA + yB + yC G 3 → − → − 5. a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ). → − − 6. → a · b = a1 b1 + a2 b2 p − 7. |→ a | = a21 + a22 → − → − − − 8. → a⊥b ⇔→ a · b = 0 ⇔ a1 b1 + a2 b2 = 0. . h T − 9. k → a = (ka1 ; ka2 ). → − a1 a2 − 10. → a cùng phương b ⇔ = ⇔ a1 b2 − a2 b1 = 0 . b1 b2  → − a 1 = b1 − 11. → a = b ⇔ a 2 = b2 → − 12. Trục Ox có VTCP là vectơ đơn vị i = (1; 0), trục Oy có VTCP là vectơ → − đơn vị j = (0; 1). Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 KIẾN THỨC CƠ BẢN LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2. Phương trình đường thẳng − 1. Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M (x0 ; y0 ) nhận → u = (a; b) làm VTCP có dạng:  x = x0 + at (d) (t ∈ R) y = y0 + bt − 2. Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) qua M (x0 ; y0 ) nhận → u = (a; b) làm VTCP có dạng: (d) x−x0 a = y−y0 b − 3. Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) qua M (x0 ; y0 ) nhận → n = (A; B) làm VTPT có dạng: (d) 4. A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0 g n ặ Phương trình đoạn chắn của đường thẳng (d) qua 2 điểm A(a; 0) ∈ Ox; B(0; b) ∈ Oy có dạng: (d) x a + y b Đ à H ồ H S =1 5. Góc giữa hai đường thẳng (d1 ), (d2 ) xác định bởi công thức − − |→ u d1 .→ u d2 | − − √2 b22 | 2 với → u d1 = (a1 ; a2 ); → u d2 = (b1 ; b2 ) cos(d1 ; d2 ) = |→ = √ |a21 b1 2+a − − u d ||→ ud | 1 2 a1 +a2 b1 +b2 là cặp vecto chỉ phương (hoặc pháp tuyến) 6. Khoảng cách . h T a. Khoảng cách từ điểm M (x0 ; y0 ) đến đường thẳng (∆) : Ax + By + C = 0 xác định bởi công thức: +By0 +C| d [M, (∆)] = |Ax√0A . 2 +B 2 3. Phương trình đường tròn 2 2 1. Phương trình chính tắc: (x − a) + (y − b) = R2 . Trong đó I(a; b) là tọa độ tâm, R là bán kính. 2. Phương trình√ khai triển: x2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0. Trong đó I(a; b) là tọa độ tâm, R = a2 + b2 − c là bán kính. 4. Vị trí tương đối 1. Vị trí tương đối của điểm và đường thẳng: Điểm M ∈ (d) nếu tọa độ điểm M thỏa phương trình đường thẳng (d). Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 TOÁN 6-12-LTĐH Trang 19 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho đường thẳng d : Ax + By + C = 0; d0 : A0 x + B 0 y + C 0 = 0 . Khi đó: a. d k d0 ⇔ b. d c. d A B C A0 = B 0 6= C 0 ; ≡ d0 ⇔ AA0 = BB0 = CC0 ; ∩ d0 ( = I ⇔ AA0 6= BB0 ; tọa trình: độ giao điểm I là nghiệm của hệ hai phương Ax + By + C = 0 A0 x + B 0 y + C 0 = 0 . 3. Vị trí tương đối của đường thẳng d : Ax + By + C = 0 với đường tròn (C) : x2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0: a. Nếu d [I, (∆)] < R thì đường thẳng cắt đường tròn. b. Nếu d [I, (∆)] = R thì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn. Tiếp điểm hay giao điểm là nghiệm hệ phương trình: ( Ax + By + C = 0 . x2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 g n ặ Đ à H ồ H S c. Nếu d [I, (∆)] > R thì đường thẳng và đường tròn không có điểm chung. 4. Vị trí tương đối của hai đường tròn (I1 , R1 ) và (I2 , R2 ): a. Nếu |R1 − R2 | < I1 I2 < R1 + R2 thì hai đường tròn cắt nhau. b. Nếu I1 I2 = R1 + R2 hoặc I1 I2 = |R1 − R2 | thì hai đường tròn tiếp xúc (trong hoặc ngoài) nhau. . h T c. Nếu I1 I2 > R1 + R2 hoặc I1 I2 < |R1 − R2 | thì hai đường tròn không có điểm chung. 4. Phương trình Elip 1. Dạng chính tắc: (E) : x2 y2 + = 1, với a > b > 0 và a2 = b2 + c2 : a2 b2 2. 2a là độ dài trục lớn, 3. 2b là độ dài trục bé, 4. 2c là tiêu cự. 5. Tâm sai: e = c a < 1; 6. Đỉnh A1 (−a, 0), A2 (a, 0), B1 (0, −b), B2 (0, b); 4 đỉnh này tạo thành hình chữ nhật cơ sở có phương trình các cạnh: x = ±b; y = ±a; Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 KIẾN THỨC CƠ BẢN LUYỆN THI ĐẠI HỌC 7. Tiêu điểm F1 (−c, 0), F2 (c, 0); 8. Gọi M (xM , yM ) ∈ (E) , khi đó bán kính qua tiêu: M F1 = a + exM ; M F2 = a − exM ; §9 HÌNH KHÔNG GIAN OXY Z 1. Vectơ cơ bản − Cho A(xA ; yA , zA ); B(xB ; yB , zB ); C(xC ; yC , zC ); → a (b1 ; b2 ; b3 ) = −−→ 1. AB = (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA ) q 2 2 2 2. AB = (xB − xA ) + (yB − yA ) + (zB − zA ) → − (a1 ; a2 ; a3 ); b = g n ặ Đ à H ồ H S 3. I làtrung điểm của AB xA + xB   xI =  2  yA + yB ⇔ yI =  2    z = zA + zB I 2 4. G là tam giác ABC  trọng tâm xA + xB + xC   xG =  3  yA + yB + yC ⇔ yG =  3    z = zA + zB + zC G 3 → − − 5. → a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ). . h T → − − 6. → a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 p − 7. |→ a | = a21 + a22 + a23 → − → − − − 8. → a⊥b ⇔→ a · b = 0 ⇔ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0. − 9. k → a = (ka1 ; ka2 ; ka3 ). → − a1 a2 a3 − 10. → a cùng phương b ⇔ = = . b1 b2 b3 Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210