Tài liệu Tóm tắt luận án tiến sĩ toán học một số vấn đề về phép tính vi phân và tích phân trong giải tích không trơn và lý thuyết tối ưu

ViÖn khoa häc vµ c«ng nghÖ ViÖt nam ViÖn To¸n häc ---------------------- nguyÔn huy chiªu Mét sè vÊn ®Ò vÒ phÐp tÝnh vi ph©n vµ tÝch ph©n trong gi¶i tÝch kh«ng tr¬n vµ lý thuyÕt tèi ­u Chuyªn ngµnh: Lý thuyÕt tèi ­u M· sè: 62 46 20 01 Tãm t¾t luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Hµ Néi - 2011 C«ng tr×nh nµy ®­îc hoµn thµnh t¹i ViÖn To¸n häc, ViÖn Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: 1. GS. TSKH. NguyÔn §«ng Yªn 2. PGS. TS. NguyÔn N¨ng T©m Ph¶n biÖn 1: PGS. TS. Tr­¬ng Xu©n §øc Hµ Ph¶n biÖn 2: GS. TS. NguyÔn B­êng Ph¶n biÖn 3: PGS. TS. Huúnh ThÕ Phïng LuËn ¸n ®­îc b¶o vÖ t¹i Héi ®ång chÊm luËn ¸n cÊp ViÖn häp t¹i Héi tr­êng ViÖn To¸n häc vµo håi 8 giê 30 ngµy 07 th¸ng 04 n¨m 2011 Cã thÓ t×m hiÓu luËn ¸n t¹i: Th­ viÖn ViÖn To¸n häc, Th­ ViÖn Quèc gia ViÖt Nam Më ®Çu Hµm sè kh«ng tr¬n vµ tËp cã biªn kh«ng tr¬n xuÊt hiÖn th­êng xuyªn vµ ®­îc biÕt ®Õn tõ l©u ë trong to¸n häc vµ c¸c khoa häc øng dông. V× lý thuyÕt vi ph©n cæ ®iÓn kh«ng cßn phï hîp cho viÖc kh¶o s¸t c¸c ®èi t­îng ®ã nªn c¸c lý thuyÕt vi ph©n suy réng ®· ®­îc x©y dùng. Tõ ®Çu thËp niªn 60, ®· cã nhiÒu nç lùc nghiªn cøu nh»m x©y dùng mét lý thuyÕt vi ph©n suy réng cho c¸c hµm x¸c ®Þnh trªn c¸c kh«ng gian vÐct¬ thùc vµ nhËn gi¸ trÞ trong tËp c¸c sè thùc suy réng ®Ó cã thÓ ph©n tÝch thÊu ®¸o c¸c bµi to¸n tèi ­u víi d÷ liÖu kh«ng tr¬n. KÕt qu¶ b­íc ®Çu cña qu¸ tr×nh nµy lµ lý thuyÕt vi ph©n suy réng cho c¸c hµm låi. Víi nh÷ng cèng hiÕn quan träng cña R. T. Rockafellar vµ c¸c nhµ to¸n häc kh¸c, quy ho¹ch låi - dùa trªn gi¶i tÝch låi - ®· trë thµnh mét phÇn quan träng vµ ®Ñp ®Ï cña lý thuyÕt tèi ­u. N¨m 1973, F. H. Clarke ®­a ra nh÷ng kh¸i niÖm c¬ b¶n dÉn ®Õn lý thuyÕt vi ph©n suy réng cho hµm sè Lipschitz ®Þa ph­¬ng. §©y lµ mét b­íc tiÕn quan träng cña gi¶i tÝch kh«ng tr¬n. Lý thuyÕt nµy bao hµm ®­îc lý thuyÕt vi ph©n cæ ®iÓn vµ lý thuyÕt vi ph©n suy réng cho hµm låi Lipschitz ®Þa ph­¬ng. Cuèi thËp niªn 70 ®Çu thËp niªn 80, lý thuyÕt vi ph©n suy réng Clarke ®· ®­îc R. T. Rockafellar, J.-B. Hiriart-Urruty, J.-P. Aubin vµ mét sè nhµ to¸n häc kh¸c ph¸t triÓn cho c¸c hµm nhËn gi¸ trÞ thùc suy réng. ChØ sau 10 n¨m (1973-1983), lý thuyÕt vi ph©n suy réng Clarke ®· ®¹t ®­îc nhiÒu thµnh tùu quan träng c¶ vÒ mÆt lý thuyÕt còng nh­ vÒ øng dông. Trong nç lùc ®Ó thu ®­îc c¸c ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cña bµi to¸n ®iÒu khiÓn tèi ­u cã tËp rµng buéc ®iÓm cuèi ®­îc cho d­íi d¹ng h×nh häc, n¨m 1976 B. S. Mordukhovich ®· ®­a ra ®Þnh nghÜa nãn ph¸p tuyÕn vµ d­íi vi ph©n qua giíi h¹n. §©y lµ mèc quan träng ®¸nh dÊu sù ra ®êi cña mét lý thuyÕt vi ph©n suy réng míi: lý thuyÕt vi ph©n suy réng Mordukhovich. Giai ®o¹n 1993-1996, cã nhiÒu kÕt qu¶ quan träng cña lý thuyÕt nµy ®­îc c«ng bè. Tiªu chuÈn Mordukhovich cho tÝnh liªn tôc Aubin cña c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ trë thµnh mét c«ng cô h÷u hiÖu ®Ó nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh nghiÖm cña c¸c ph­¬ng tr×nh suy réng. Ngµy nay lý thuyÕt vi ph©n suy réng Mordukhovich vÉn tiÕp tôc ph¸t triÓn vµ ®ãng mét vai trß trung t©m trong gi¶i tÝch ®a trÞ vµ biÕn ph©n. N¨m 1965, R. J. Aumann ®Þnh nghÜa tÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ nh­ lµ tËp hîp c¸c gi¸ trÞ tÝch ph©n cña c¸c l¸t c¾t kh¶ tÝch cña ¸nh x¹ ®a trÞ ®ã. D­íi vi ph©n cña mét hµm sè lµ mét ¸nh x¹ ®a trÞ ®Æc biÖt, cã vai trß t­¬ng tù nh­ ®¹o hµm ë trong lý thuyÕt vi ph©n cæ ®iÓn. Trong lý thuyÕt tÝch ph©n Lebesgue, ng­êi ta ®· chøng minh r»ng nÕu f : [a, b] → R lµ hµm sè Lipschitz (hoÆc, tæng qu¸t h¬n, 1 lµ hµm liªn tôc tuyÖt ®èi) x¸c ®Þnh trªn ®o¹n Rb [a, b] ⊂ R, th× c«ng thøc Newton- f 0 (t)dt = f (b) − f (a) nghiÖm ®óng. VÊn ®Ò ®­îc ®Æt ra ë ®©y lµ: VÕ 0 ph¶i cña c«ng thøc nµy sÏ nh­ thÕ nµo nÕu ®¹o hµm FrÐchet f (·) vµ tÝch ph©n Cl Lebesgue t­¬ng øng ®­îc thay bëi d­íi vi ph©n Clarke ∂ f (·) (hoÆc d­íi vi ph©n Mordukhovich ∂f (·)) vµ tÝch ph©n Aumann? Leibniz a PhiÕm hµm tÝch ph©n lµ mét kh¸i niÖm c¬ b¶n xuÊt hiÖn trong nhiÒu h­íng nghiªn cøu lý thuyÕt vµ øng dông to¸n häc (nh­ ph­¬ng tr×nh vi ph©n, bao hµm thøc vi ph©n, gi¶i tÝch hµm c¬ së, lý thuyÕt to¸n tö, quy ho¹ch to¸n häc, bµi to¸n biÕn ph©n, ®iÒu khiÓn tèi ­u). §ã lµ hµm sè cã d¹ng Z g(ω, x)dµ(ω), G(x) = Ω víi g lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trªn Ω × U , U lµ mét tËp con më cña mét kh«ng gian Banach vµ (Ω, µ) lµ mét kh«ng gian cã ®é ®o. §èi víi lý thuyÕt tèi ­u, viÖc kh¶o s¸t tÝnh kh¶ vi lµ mét kh©u quan träng trong nhiÒu vÊn ®Ò nh­: t×m nghiÖm tèi ­u, nghiªn cøu ®é nh¹y vµ c¸c tÝnh chÊt æn ®Þnh cña nghiÖm, ph©n tÝch sù héi tô cña c¸c thuËt to¸n,... ChÝnh v× vËy, viÖc nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt vi ph©n cña phiÕm hµm tÝch ph©n lµ mét ®Ò tµi thu hót ®­îc sù quan t©m cña nhiÒu nhµ to¸n häc. §Ó lµm râ h¬n ý nghÜa cña viÖc nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt vi ph©n cña phiÕm hµm tÝch ph©n, chóng ta cÇn nh¾c l¹i mét kÕt qu¶ c¬ b¶n trong lý thuyÕt tèi ­u, ®ã lµ qui t¾c nh©n tö Lagrange. XÐt bµi to¸n qui ho¹ch to¸n häc (P) min{f (x) | x ∈ X, gi (x) ≤ 0 ∀i ∈ I, hj (x) = 0 ∀j ∈ J}, ë ®ã X lµ kh«ng gian Banach, I vµ J lµ c¸c tËp h÷u h¹n c¸c chØ sè, f, gi , hj lµ c¸c hµm x¸c ®Þnh trªn X , nhËn gi¸ trÞ trong tËp sè thùc suy réng. NÕu Qui t¾c nh©n tö Lagrange 1. x̄ lµ nghiÖm ®Þa ph­¬ng cña (P) vµ nÕu f, gi (i ∈ I), hj (j ∈ J) lµ Lipschitz ®Þa ph­¬ng t¹i x̄, th× tån t¹i c¸c nh©n tö Lagrange λ0 ≥ 0, λi ≥ 0 (i ∈ I), µj ∈ R (j ∈ J) kh«ng ®ång thêi b»ng 0 sao cho 0 ∈ λ0 ∂ Cl f (x̄) + X λi ∂ Cl gi (x̄) + i∈I vµ λi gi (x̄) = 0 ∀i ∈ I, ë ®ã ∂ Cl X µj ∂ Cl hj (x̄) j∈J ký hiÖu d­íi vi ph©n Clarke. (Xem Ch­¬ng 6, tr. 228, trong cuèn s¸ch "Optimization and Nonsmooth Analysis", Wiley-Interscience, 1983, cña F. H. Clarke). X lµ kh«ng gian Asplund, x̄ lµ nghiÖm ®Þa f, gi (i ∈ I), hj (j ∈ J) lµ Lipschitz ®Þa ph­¬ng t¹i x̄, Qui t¾c nh©n tö Lagrange 2. ph­¬ng cña (P), vµ nÕu NÕu 2 th× tån t¹i c¸c nh©n tö Lagrange λ0 ≥ 0, λi ≥ 0 (i ∈ I), µj ∈ R (j ∈ J) kh«ng ®ång thêi b»ng 0 sao cho bao hµm thøc 0 ∈ λ0 ∂f (x̄) + X λi ∂gi (x̄) + ∂ ∂(µj hj )(x̄), j∈J i∈I víi X ký hiÖu d­íi vi ph©n Mordukhovich, vµ ®iÒu kiÖn ®­îc tho¶ m·n. λi gi (x̄) = 0 ∀i ∈ I, (Xem Ch­¬ng 5, tr. 33, trong cuèn s¸ch "Variational Analy- sis and Generalized Differentiation, Vol. II: Applications", Springer, 2006, cña B. S. Mordukhovich). Râ rµng r»ng, khi mét hoÆc mét sè hµm x¸c ®Þnh bµi to¸n (P) lµ phiÕm hµm tÝch ph©n th× chóng ta chØ cã thÓ sö dông ®­îc qui t¾c nh©n tö Lagrange 1 (t­¬ng øng, qui t¾c nh©n tö Lagrange 2) nÕu ta biÕt c¸ch tÝnh to¸n chÝnh x¸c hoÆc ­íc l­îng trªn c¸c d­íi vi ph©n Clarke (t­¬ng øng, d­íi vi ph©n Mordukhovich) cña c¸c phiÕm hµm tÝch ph©n. Bµi to¸n ­íc l­îng d­íi vi ph©n Clarke cña phiÕm hµm tÝch ph©n ®· ®­îc nghiªn cøu ë Môc 2.7 trong cuèn s¸ch "Optimization and Nonsmooth Analysis" (1983) cña F. H. Clarke. VÊn ®Ò ®­îc ®Æt ra tiÕp theo lµ: TÝnh to¸n hoÆc ­íc l­îng d­íi vi ph©n Mordukhovich cña G(·). Trong tr­êng hîp tæng qu¸t, bµi to¸n nµy cho ®Õn nay vÉn ch­a cã lêi gi¶i. Môc ®Ých chÝnh cña luËn ¸n nµy lµ kh¶o s¸t mèi quan hÖ gi÷a phÐp tÝnh tÝch ph©n vµ phÐp tÝnh vi ph©n trong gi¶i tÝch kh«ng tr¬n vµ lý thuyÕt tèi ­u trªn c¬ së nghiªn cøu hai bµi to¸n ®Æt ra ë trªn. ViÖc nghiªn cøu theo ®Ò tµi luËn ¸n ®­îc thùc hiÖn b»ng c¸ch sö dông mét sè kiÕn thøc vµ kü thuËt cña lý thuyÕt tèi ­u, gi¶i tÝch hµm, gi¶i tÝch kh«ng tr¬n, gi¶i tÝch ®a trÞ vµ biÕn ph©n. Ngoµi phÇn më ®Çu, luËn ¸n gåm 4 ch­¬ng, phÇn kÕt luËn, vµ danh s¸ch 63 tµi liÖu tham kh¶o. Ch­¬ng 1 nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n trong lý thuyÕt vi ph©n suy réng vµ lý thuyÕt tÝch ph©n cña c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ. C¸c kiÕn thøc nµy lµ c¬ së cho viÖc kh¶o s¸t ®­îc tr×nh bµy ë nh÷ng ch­¬ng tiÕp theo. Ch­¬ng 2 nghiªn cøu bµi to¸n tÝnh to¸n hoÆc ­íc l­îng tÝch ph©n cña c¸c ¸nh x¹ d­íi vi ph©n. Môc 2.1 ®­îc dµnh cho tÝch ph©n cña ¸nh x¹ d­íi vi ph©n Clarke. Môc 2.2 xÐt tÝch ph©n Aumann cña ¸nh x¹ d­íi vi ph©n Mordukhovich. Ch­¬ng 3 nghiªn cøu bµi to¸n tÝnh d­íi vi ph©n Mordukhovich cña phiÕm hµm tÝch ph©n. Môc 3.1 kh¶o s¸t d­íi vi ph©n Mordukhovich cña tÝch ph©n bÊt ®Þnh. Môc 3.2 giíi thiÖu c¸c c«ng thøc tÝnh d­íi vi ph©n FrÐchet vµ d­íi vi ph©n Mordukhovich cña c¸c phiÕm hµm tÝch ph©n trªn L1 (Ω; E). C¸c kÕt qu¶ ®ã dÉn ®Õn mét tiªu chuÈn tån t¹i nghiÖm ®Þa ph­¬ng cña bµi to¸n tèi ­u kh«ng rµng buéc, víi hµm môc tiªu lµ phiÕm hµm tÝch ph©n. 3 Ch­¬ng 4 nghiªn cøu miÒn gi¸ trÞ cña ¸nh x¹ d­íi vi ph©n FrÐchet. Môc 4.1 ®­îc dµnh cho tr­êng hîp kh«ng gian Banach ph¶n x¹, ë ®©y c¸c ®Æc tr­ng cña kh«ng gian ph¶n x¹ sÏ ®­îc ®­a ra. Môc 4.2 kh¶o s¸t miÒn gi¸ trÞ cña ¸nh x¹ d­íi vi ph©n FrÐchet cho tr­êng hîp kh«ng gian Asplund. Môc 4.3 tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ vÒ sù tån t¹i ®iÓm dõng vµ sù tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n nhiÔu cña mét bµi to¸n tèi ­u phi tuyÕn trong kh«ng gian v« h¹n chiÒu d­íi t¸c ®éng cña nhiÔu tuyÕn tÝnh. ViÖc ®¸nh sè cña c¸c ch­¬ng, môc, ®Þnh lý, c«ng thøc,... trong b¶n tãm t¾t nµy ®­îc gi÷ nguyªn nh­ ë trong luËn ¸n. Ch­¬ng 1 C¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ Ch­¬ng nµy tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n sÏ ®­îc sö dông ë c¸c ch­¬ng tiÕp theo. 1.1. Vi ph©n suy réng Cho f : X → R̄ := [−∞, +∞] lµ mét hµm trªn kh«ng gian Banach thùc X. Ta ký hiÖu kh«ng gian ®èi ngÉu t«p« cña X bëi X ∗ vµ cÆp ®èi ngÉu gi÷a X ∗ vµ X bëi hx∗ , xi. H×nh cÇu ®¬n vÞ ®ãng trong kh«ng gian X vµ trong kh«ng gian ®èi ngÉu X ∗ ®­îc ký hiÖu t­¬ng øng bëi BX vµ BX ∗ . §èi víi ¸nh x¹ ®a trÞ G : X ⇒ X ∗ , ký hiÖu  n w∗ ∗ ∗  Lim sup G(x) := x ∈ X  ∃uk → x, x∗k −→ x∗ , u→x x∗k ∈ G(uk ) ∀k = 1, 2, . . . o ®­îc dïng ®Ó chØ giíi h¹n trªn theo d·y theo nghÜa PainlevÐ-Kuratowski trong X vµ t«p« yÕu∗ (®­îc ký hiÖu b»ng ch÷ w∗ ) cña X ∗ . C¸c f Ω ký hiÖu u → x ®èi víi mét hµm f : X → R̄ vµ u → x ®èi víi mét tËp Ω ⊂ X t­¬ng øng cã nghÜa lµ u → x víi f (u) → f (x) vµ u → x víi u ∈ Ω. C¸c ký hiÖu t → t+ 0 vµ t ↓ t0 t­¬ng øng cã nghÜa lµ t → t0 víi t > t0 vµ t → t0 víi t ≥ t0 . t«p« sinh bëi chuÈn cña f lµ mét hµm sè Lipschitz ®Þa ph­¬ng t¹i x ∈ X . hµm theo h­íng Clarke cña f t¹i x theo h­íng v ∈ X ®­îc x¸c ®Þnh bëi f (x0 + tv) − f (x0 ) f 0 (x; v) := lim sup . t x0 →x, t→0+ §Þnh nghÜa 1.1.1. Gi¶ sö 4 §¹o f t¹i x lµ tËp hîp n o Cl ∗ ∗ ∗ 0 ∂ f (x) := ξ ∈ X | hξ , vi 6 f (x; v) ∀v ∈ X . D­íi vi ph©n Clarke cña §¹o hµm theo h­íng cña f t¹i x theo h­íng v ∈ X, ký hiÖu lµ f 0 (x; v), ®­îc x¸c ®Þnh bëi f 0 (x; v) := lim+ t→0 f (x + tv) − f (x) , t nÕu giíi h¹n ë vÕ ph¶i tån t¹i. §Þnh nghÜa 1.1.2. Cho f lµ mét hµm sè Lipschitz ®Þa ph­¬ng t¹i x ∈ X. Ta nãi r»ng f lµ chÝnh qui Clarke t¹i x nÕu víi mäi v ∈ X ®¹o hµm theo h­íng f 0 (x; v) tån t¹i vµ f 0 (x; v) = f 0 (x; v). §Þnh nghÜa 1.1.3. Víi mçi ε ≥ 0, ε-d­íi vi ph©n FrÐchet cña f t¹i x ∈ X mµ f (x) ∈ R lµ tËp hîp  n o f (u) − f (x) − hx∗ , u − xi ∗ ∗ b ∂ε f (x) := x ∈ X  lim inf ≥ −ε . u→x ku − xk NÕu |f (x)| = ∞ th× ®Æt ∂bε f (x) = ∅. Khi ε = 0, tËp ∂b0 f (x) ®­îc ký hiÖu bëi b (x) vµ ®­îc gäi lµ d­íi vi ph©n FrÐchet cña f t¹i x. TËp hîp ∂f ∂f (x) := Lim sup ∂bε f (u) f u→ −x ε↓0 ®­îc gäi lµ d­íi vi ph©n Mordukhovich (hay d­íi vi ph©n qua giíi h¹n) cña hµm f t¹i x. Ω ⊂ X ®­îc cho bëi c«ng thøc δ(x; Ω) = 0 nÕu x ∈ Ω vµ δ(x; Ω) = +∞ nÕu x ∈ X\Ω. Nãn ph¸p tuyÕn FrÐchet vµ nãn ph¸p tuyÕn qua giíi h¹n (nãn ph¸p tuyÕn Mordukhovich) cña Ω t¹i x ∈ X t­¬ng øng ®­îc ®Þnh b b (x; Ω) := ∂δ(x; nghÜa bëi N Ω) vµ N (x; Ω) := ∂δ(x; Ω). Hµm chØ cña mét tËp D­íi vi ph©n Fenchel cña f t¹i x ∈ X víi f (x) ∈ R lµ tËp hîp ∂ F en f (x) := {x∗ ∈ X ∗ | f (u) − f (x) ≥ hx∗ , u − xi ∀u ∈ X}. Hµm sè f : X → R̄ ®­îc gäi lµ nöa liªn tôc d­íi t¹i ®iÓm x ∈ X nÕu f (x) 6 lim inf f (u), ë ®©y lim inf f (u) := sup inf f (u) víi N (x) lµ hä tÊt c¶ u→x u→x U ∈N (x) u∈U c¸c tËp më cña X cã chøa x. Ta nãi f nöa liªn tôc d­íi ®Þa ph­¬ng t¹i x nÕu tån t¹i U ∈ N (x) sao cho f nöa liªn tôc d­íi t¹i mäi ®iÓm u ∈ U . 5 NÕu t«p« sinh bëi chuÈn cña X ®­îc thay b»ng t«p« yÕu cña X th× t­¬ng øng ta cã c¸c kh¸i niÖm nöa liªn tôc d­íi yÕu t¹i mét ®iÓm vµ nöa liªn tôc d­íi yÕu ®Þa ph­¬ng cña c¸c hµm sè thùc x¸c ®Þnh trªn Kh«ng gian Banach tÝnh chÊt Asplund) X ®­îc gäi lµ X. kh«ng gian Asplund (hoÆc kh«ng gian cã nÕu mäi hµm låi liªn tôc f : U → R x¸c ®Þnh trªn mét tËp låi më U ⊂ X lµ kh¶ vi FrÐchet trªn mét tËp con trï mËt cña U . 1.2. TÝch ph©n Aumann (Ω, A, µ) lµ mét kh«ng gian cã ®é ®o σ−h÷u h¹n ®Çy ®ñ vµ G : Ω ⇒ Rn lµ mét ¸nh x¹ ®a trÞ tõ Ω vµo Rn cã gi¸ trÞ ®ãng kh¸c rçng. Ta nãi r»ng G lµ ®o −1 n ®­îc nÕu G (W ) := {ω ∈ Ω | G(ω) ∩ W 6= ∅} ∈ A víi mäi tËp më W ⊂ R ; G lµ giíi néi kh¶ tÝch nÕu tån t¹i mét hµm kh«ng ©m k(·) ∈ L1 (Ω) sao cho G(ω) ⊂ k(ω)BRn hÇu kh¾p n¬i trªn Ω, ë ®©y L1 (Ω) lµ kh«ng gian c¸c hµm kh¶ tÝch tõ Ω vµo R. Cho §Æt n o n G = g ∈ L1 (Ω; R ) | g(ω) ∈ G(ω) h.k.n. trªn Ω . §Þnh nghÜa 1.2.1. TÝch ph©n cña cña c¸c l¸t c¾t kh¶ tÝch cña G trªn Ω lµ tËp hîp gåm tÊt c¶ c¸c tÝch ph©n G: Z Gdµ := n Z Ω ë ®©y R Ω gdµ = R Ω o gdµ | g ∈ G , Ω  R g1 dµ, ..., gn dµ víi mäi g = (g1 , ..., gn ). Ω Ch­¬ng 2 TÝch ph©n cña ¸nh x¹ d­íi vi ph©n 2.1. TÝch ph©n cña ¸nh x¹ d­íi vi ph©n Clarke Môc nµy giíi thiÖu c«ng thøc biÓu diÔn tÝch ph©n Aumann-Gelfand cña ¸nh x¹ d­íi vi ph©n Clarke, c¸c ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tÝch ph©n nµy lµ ®¬n trÞ, vµ mét d¹ng t­¬ng tù cña c«ng thøc Newton-Leibniz cæ ®iÓn cho tr­êng hîp tÝch ph©n ®a trÞ. C«ng thøc d¹ng Newton-Leibniz ë ®©y cho phÐp ®­a ra mét chøng minh míi cho kÕt qu¶ ®· biÕt vÒ kh¶ n¨ng ®Æc tr­ng hµm sè cña ¸nh x¹ d­íi vi ph©n Clarke. 6 (X, A, µ) lµ mét kh«ng gian cã ®é ®o, ë ®©y A lµ mét σ -®¹i sè chøa tÊt c¶ c¸c tËp më cña X. Gi¶ sö f : U → R lµ mét hµm Lipschitz trªn tËp më U ⊂ X vµ Ω ⊂ U lµ mét tËp con ®o ®­îc cã µ(Ω) < ∞. Khi ®ã, R Cl Cl Ω ∂ f (x)dµ(x) = ∂ F (0) §Þnh lý 2.1.1. Cho X lµ mét kh«ng gian Banach kh¶ ly, (2.1) n o R = x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , vi 6 Ω f 0 (x; v)dµ(x) ∀ v ∈ X , R 0 ë ®ã F (v) := f (x; v)dµ(x). R Ω Cl TÝch ph©n Ω ∂ f (x)dµ(x) ë trong c«ng thøc (2.1) ®­îc hiÓu lµ tÝch ph©n R Aumann-Gelfand; nghÜa lµ ξ ∗ ∈ Ω ∂ Cl f (x)dµ(x) nÕu vµ chØ nÕu ξ ∗ ∈ X ∗ vµ tån t¹i ¸nh x¹ x 7→ ξx∗ tõ Ω vµo X ∗ sao cho ξx∗ ∈ ∂ Cl f (x) hÇu kh¾p n¬i, vµ víi mçi R u ∈ X , ω 7→ hξx∗ , ui lµ hµm sè kh¶ tÝch trªn Ω vµ hξ ∗ , ui = Ω hξx∗ , uidµ(x). §Þnh nghÜa 2.1.1. kh«ng gian Banach Cho f : X → Y lµ mét ¸nh x¹ tõ kh«ng gian Banach X vµo Y. (i) Ta nãi r»ng f kh¶ vi chÆt Hadamard t¹i x0 ∈ X nÕu tån t¹i mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc Ds f (x0 ) : X → Y sao cho lim x→x0 , t→0+ t−1 (f (x + tv) − f (x)) = Ds f (x0 )(v) vµ sù héi tô lµ ®Òu theo v trªn mçi tËp con compact cña X . Khi ®ã Ds f (x0 ) ®­îc gäi lµ ®¹o hµm chÆt Hadamard cña f t¹i x0 . (ii) NÕu tån t¹i mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc f 0 (x0 ) : X → Y sao cho kf (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 )k lim = 0, x6=x0 kx − x k 0 0 x,x −→x0 f lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i x0 . Khi ®ã f 0 (x0 ) ®­îc gäi lµ ®¹o hµm FrÐchet cña f t¹i x0 . (iii) f ®­îc gäi lµ kh¶ vi chÆt FrÐchet t¹i x0 nÕu tån t¹i mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc f 0 (x0 ) : X → Y sao cho th× ta nãi kf (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 )k lim = 0. x6=x0 kx − x0 k x,x0 −→x0 Khi ®ã f 0 (x0 ) ®­îc gäi lµ ®¹o hµm chÆt FrÐchet cña f t¹i x0 . f lµ kh¶ vi chÆt FrÐchet t¹i x0 th× f kh¶ vi chÆt Hadamard t¹i x0 vµ f (x0 ) = Ds f (x0 ). ChiÒu ng­îc l¹i còng ®óng nÕu X lµ kh«ng gian h÷u NhËn xÐt 2.1.1. NÕu 0 h¹n chiÒu. 7 NÕu X lµ mét kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu, th× chóng ta sö dông thuËt ng÷ "kh¶ vi chÆt" thay cho c¸c thuËt ng÷ "kh¶ vi chÆt FrÐchet" vµ "kh¶ vi chÆt Hadamard". f : U → R lµ mét hµm Lipschitz x¸c ®Þnh trªn mét tËp më U cña R , Ω ⊂ U lµ ®o ®­îc vµ cã ®é ®o Lebesgue µ(Ω) < ∞. Khi ®ã, c¸c tÝnh §Þnh lý 2.1.2. Gi¶ sö n chÊt sau ®©y lµ t­¬ng ®­¬ng: Z (i) ∂ Cl f (x)dµ(x) lµ tËp hîp gåm mét ®iÓm; Ω (ii) víi mçi v ∈ Rn , hf 0 (x), vi = f 0 (x; v) hÇu kh¾p n¬i trªn Ω; (iii) f lµ chÝnh qui Clarke hÇu kh¾p n¬i trªn (iv) f lµ kh¶ vi chÆt hÇu kh¾p n¬i trªn Ω; Ω. (i)-(iv) nghiÖm ®óng, th× Z nZ o Cl 0 ∂ f (x)dµ(x) = f (x)dµ(x) . NÕu mét trong c¸c tÝnh chÊt Ω Ω qu¶ tiÕp theo lµ mét d¹ng t­¬ng tù c«ng thøc Newton-Leibniz cæ ®iÓn R b KÕt 0 a f (t)dt = f (b) − f (a). Chóng ta thu ®­îc ë ®©y cho tr­êng hîp ®¹o hµm FrÐchet f 0 (x) vµ tÝch ph©n Lebesgue t­¬ng øng ®­îc thay b»ng d­íi vi ph©n Clarke ∂ Cl f (x) vµ tÝch ph©n Aumann. §Þnh lý 2.1.3. NÕu f : [a, b] → R (a, b ∈ R, a < b) lµ mét hµm Lipschitz, th× Zb f (b) − f (a) ∈ ∂ Cl f (x)dx (2.6) a vµ ®¼ng thøc Zb n o ∂ f (x)dx = f (b) − f (a) Cl a nghiÖm ®óng khi vµ chØ khi f lµ kh¶ vi chÆt hÇu kh¾p n¬i trªn TËp hîp ë vÕ ph¶i cña c«ng thøc [a, b]. (2.6) cã thÓ chøa v« h¹n phÇn tö. {rk }k∈N lµ tËp tÊt c¶ c¸c sè h÷u tû trong kho¶ng (a, b) ⊂ R, a < b. Víi mçi k ∈ N, lÊy δk > 0 sao cho (rk − δk , rk + δk ) ⊂ (a, b) vµ δk < 2−(k+3) (b − a). §Æt A = ∪∞ k=1 (rk − δk , rk + δk ) vµ P = [a, b]\A. V× A lµ mét tËp ∞ më trong R nªn P lµ mét tËp ®ãng vµ A = ∪j=1 (aj , bj ), víi {(aj , bj )}j∈N lµ mét VÝ dô 2.1.1. Gi¶ sö 8 d·y c¸c kho¶ng më ®«i mét rêi nhau. XÐt hµm sè f : [a, b] → R ®­îc cho bëi c«ng thøc  0 nÕu x ∈ P, 1 nÕu x ∈ (aj , bj ). (bj − aj )(x − aj )(x − bj ) Rb Ta cã f lµ Lipschitz trªn [a, b] vµ I := a ∂ Cl f (t)dt lµ tËp hîp qu¸ ®Õm ®­îc. f (x) = (x − aj )2 (x − bj )2 sin §Þnh lý 2.1.3 cho phÐp ®­a ra mét chøng minh míi cho mét kÕt qu¶ ®· biÕt [Thibault L., Zagrodny D. (2005), "Enlarged inclusion of subdifferentials", Canad. Math. Bull., , pp. 283 - 301] vÒ ®Æc tr­ng hµm sè Lipschitz ®Þa ph­¬ng 48 cña d­íi vi ph©n Clarke. f, g : X → R lµ c¸c hµm Cl Cl Lipschitz ®Þa ph­¬ng. Khi ®ã, nÕu f lµ chÝnh qui Clarke vµ ∂ g(x) ⊂ ∂ f (x) víi mäi x ∈ X, th× tån t¹i α ∈ R sao cho f (x) = g(x) + α víi mäi x ∈ X. §Þnh lý 2.1.4. Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian Banach vµ NÕu X lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu th× c¸c gi¶ thiÕt f lµ "chÝnh qui Clarke" vµ "∂ g(x) ⊂ ∂ Cl f (x) víi mäi x ∈ X " ë §Þnh lý 2.1.4 cã thÓ gi¶m nhÑ ®­îc. Cl f, g : Rn → R lµ c¸c hµm Lipschitz ®Þa ph­¬ng. NÕu f lµ Cl Cl n chÝnh qui Clarke vµ ∂ g(x) ⊂ ∂ f (x) hÇu kh¾p n¬i trªn R , th× tån t¹i α ∈ R n sao cho f (x) = g(x) + α víi mäi x ∈ R . §Þnh lý 2.1.5. Gi¶ sö 2.2. TÝch ph©n cña ¸nh x¹ d­íi vi ph©n Mordukhovich f : U → R lµ mét hµm Lipschitz x¸c ®Þnh trªn mét tËp më Ω ⊂ U lµ mét tËp con ®o ®­îc cã ®é ®o Lebesgue µ(Ω) < ∞. Khi §Þnh lý 2.2.1. U ⊂R n vµ Gi¶ sö ®ã, R n o R 0 ∗ n ∗ n ∂f (x)dµ(x) = x ∈ R | hx , vi 6 f (x; v)dµ(x) ∀v ∈ R . Ω Ω f : [a, b] → R ë trong VÝ dô 2.1.1. Ta cã ( |v| nÕu x ∈ P ∩ (a, b), f 0 (x; v) = max hξ, vi =  0 ξ∈∂ Cl f (x) f (x)v nÕu x ∈ A, VÝ dô 2.2.1. víi mäi Zb XÐt hµm sè v ∈ R. Theo §Þnh lý 2.2.1, n o ∗ ∗ ∂f (x)dx = x ∈ R | hx , vi 6 µ(P )|v| ∀v ∈ R = [−µ(P ), µ(P )]. a 9 HÖ qu¶ 2.2.1. NÕu f : [a, b] → R (a, b ∈ R, a < b) lµ mét hµm Lipschitz, th× Zb f (b) − f (a) ∈ ∂f (x)dx a vµ ®¼ng thøc Zb n o ∂f (x)dx = f (b) − f (a) a x¶y ra khi vµ chØ khi f lµ hµm kh¶ vi chÆt hÇu kh¾p n¬i trªn [a, b]. Ch­¬ng 3 D­íi vi ph©n cña phiÕm hµm tÝch ph©n Mét sè c«ng thøc tÝnh d­íi vi ph©n FrÐchet vµ d­íi vi ph©n Mordukhovich cña c¸c phiÕm hµm tÝch ph©n ®­îc thiÕt lËp. C¸c kÕt qu¶ ®ã dÉn ®Õn mét tiªu chuÈn tån t¹i nghiÖm ®Þa ph­¬ng cña bµi to¸n tèi ­u kh«ng rµng buéc víi hµm môc tiªu lµ phiÕm hµm tÝch ph©n. 3.1. D­íi vi ph©n cña tÝch ph©n bÊt ®Þnh KÕt qu¶ chÝnh cña môc nµy lµ c«ng thøc tÝnh d­íi vi ph©n Mordukhovich cña tÝch ph©n bÊt ®Þnh Zx F (x) = f (t)dt, (3.1) a ë ®ã f lµ mét hµm bÞ chÆn cèt yÕu trªn ®o¹n [a, b] ⊂ R (nghÜa lµ f lµ ®o ®­îc vµ tån t¹i M > 0 sao cho |f (x)| 6 M hÇu kh¾p n¬i trªn [a, b]). Ký hiÖu L∞ [a, b] lµ tËp gåm tÊt c¶ c¸c hµm bÞ chÆn cèt yÕu trªn [a, b]. §Æt n o + 0 f (x) = inf M | ∃ ε > 0 sao cho f (x ) 6 M h.k.n. trªn [x − ε, x + ε] , n o + 0 f+ (x) = inf M | ∃ ε > 0 sao cho f (x ) 6 M h.k.n. trªn [x, x + ε] , n o − 0 f (x) = sup M | ∃ ε > 0 sao cho f (x ) > M h.k.n. trªn [x − ε, x + ε] , n o f−− (x) = sup M | ∃ ε > 0 sao cho f (x0 ) > M h.k.n. trªn [x − ε, x] . DÔ thÊy r»ng f − (x) 6 f−− (x) 6 f + (x) vµ f − (x) 6 f++ (x) 6 f + (x). 10 Do ®ã, h f − §Þnh lý 3.1.2. i[h i h i − + − + f− (x), f (x) ⊂ f (x), f (x) . (x), f++ (x) Gi¶ sö f ∈ L∞ [a, b], F lµ hµm cho bëi c«ng thøc (3.1), vµ x ∈ (a, b). Khi ®ã, h i[h i − + − + ∂F (x) = f (x), f+ (x) f− (x), f (x) . (3.2) Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô minh häa viÖc tÝnh d­íi vi ph©n Mordukhovich b»ng c¸ch sö dông c«ng thøc ∂F (x) (3.2). E lµ mét tËp con ®o ®­îc cña [0, 1] cã tÝnh chÊt sau: giao cña mét kho¶ng më kh¸c rçng bÊt kú cña [0, 1] víi E vµ víi [0, 1]\E ®Òu cã ®é ®o Lebesgue d­¬ng. §Æt f (t) = 1 nÕu t ∈ E , f (t) = 0 nÕu t ∈ [0, 1]\E . XÐt hµm Rx F (x) = f (t)dt (x ∈ [0, 1]). Ta cã f ∈ L∞ [0, 1] vµ VÝ dô 3.1.1. LÊy 0 f + (x) = f++ (x) = 1 vµ f − (x) = f−− (x) = 0 víi mäi x ∈ (0, 1). Theo §Þnh lý 3.1.2, VÝ dô 3.1.2. ∂F (x) = [0, 1] víi mäi x ∈ (0, 1). LÊy tËp E nh­ trong VÝ dô 3.1.1. Gi¶ sö x0 ∈ E ∩ (0, 1) vµ f : [0, 1] → R lµ hµm sè cho bëi c«ng thøc  T  1 nÕu t ∈ [x0 , 1] E,    0 nÕu t ∈ [x , 1]\E, 0 f (t) = T  2 nÕu t ∈ [0, x0 ) E,    3 nÕu t ∈ [0, x )\E. 0 Rx + (x0 ) = §Æt F (x) = 0 f (t)dt (x ∈ [0, 1]). Ta cã f ∈ L∞ [0, 1] vµ f + (x0 ) = 3, f+ − − 1, f (x0 ) = 0, f− (x0 ) = 2. Theo §Þnh lý 3.1.2,     ∂F (x0 ) = 0, 1 ∪ 2, 3 . HÖ qu¶ 3.1.1. Ngoµi c¸c gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 3.1.2, gi¶ sö r»ng ®ã ta cã vµ do ®ã h b (x) 6= ∅. Khi ∂F i ∂F (x) = f (x), f (x) , − + ∂F (x) = ∂ Cl F (x). NhËn xÐt 3.1.2. Tõ HÖ qu¶ 3.1.1 ta suy ra r»ng nÕu d­íi vi ph©n Mordukhovich b (x) = ∅. ∂F (x) lµ mét tËp kh«ng låi th× ∂F 11 ϕ : I → R lµ mét hµm sè Lipschitz ®Þa ph­¬ng b kho¶ng më I cña R, x ∈ I , vµ ∂ϕ(x) 6= ∅. Khi ®ã ∂ϕ(x) = ∂ Cl ϕ(x). HÖ qu¶ 3.1.2. Gi¶ sö trªn mét Ký hiÖu d­íi vi ph©n ®èi xøng (symmetric subdifferential) cña hµm sè ϕ t¹i x bëi ∂ ϕ(x) := ∂ϕ(x)∪[−∂(−ϕ)(x)]. V× ∂ϕ(x) ⊂ ∂ ϕ(x) ⊂ ∂ ϕ(x) vµ nÕu ϕ lµ b kh¶ vi FrÐchet t¹i x th× ∂ϕ(x) = {ϕ0 (x)} = 6 ∅, nªn tõ HÖ qu¶ 3.1.2 ta thu l¹i ®­îc 0 0 Cl kÕt qu¶ sau ®©y cña J. M. Borwein vµ X. Wang [Borwein J. M., Wang X. (1997), "Distinct differentiable functions may share the same Clarke subdifferential at all points", Proc. Amer. Math. Soc., , pp. 807 - 813]. 125 lµ mét kh¶ng më cña R vµ ϕ Cl Lipschitz ®Þa ph­¬ng. Khi ®ã ∂ϕ(x) = ∂ ϕ(x) = HÖ qu¶ 3.1.3. Cho I : I → R lµ mét hµm kh¶ vi vµ ∂ 0 ϕ(x). 3.2. D­íi vi ph©n cña phiÕm hµm tÝch ph©n trªn kh«ng gian L1 (Ω; E) Cho (Ω, A, µ) lµ mét kh«ng gian cã ®é ®o kh«ng nguyªn tö σ−h÷u h¹n ®Çy ®ñ, E lµ mét kh«ng gian Banach kh¶ ly vµ f : Ω × E → R̄ lµ mét hµm A ⊗ B(E)−®o ®­îc. KÕt qu¶ chÝnh cña môc nµy lµ c¸c c«ng thøc tÝnh chÝnh x¸c d­íi vi ph©n FrÐchet vµ d­íi vi ph©n Mordukhovich cña phiÕm hµm tÝch ph©n cã d¹ng Z f (ω, u(ω))dµ(ω) (u ∈ L1 (Ω; E)). F (u) = (3.16) Ω §Þnh nghÜa 3.2.1. (i) Hµm s : Ω → E ®­îc gäi lµ hµm ®¬n gi¶n nÕu nã cã thÓ biÓu diÔn ®­îc d­íi d¹ng s= m X ci χAi , i=1 ë ®©y m ∈ N, ci ∈ E, Ai ∈ A (i = 1, 2, ..., m) ®«i mét rêi nhau, Ω = m S Ai , i=1 χA (ω) = 1 nÕu ω ∈ A vµ χA (ω) = 0 nÕu ω ∈ X\A. (ii) Hµm u : Ω → E ®­îc gäi lµ ®o ®­îc m¹nh nÕu tån t¹i mét d·y c¸c hµm ®¬n gi¶n sk : Ω → E sao cho lim ksk (ω) − u(ω)kE = 0 h.k.n. k→∞ (iii) Hµm ®¬n gi¶n s : Ω → E ®­îc gäi lµ kh¶ tÝch Bochner nÕu ta cã thÓ biÓu diÔn nã d­íi d¹ng s= m X i=1 12 ci χAi , ë ®©y m ∈ N, ci ∈ E, Ai ∈ A (i = 1, 2, ..., m) ®«i mét rêi nhau, Ω = m S Ai , i=1 ci = 0 nÕu µ(Ai ) = ∞. Víi mçi A ∈ A, tÝch ph©n Bochner cña s trªn A ®­îc ®Þnh nghÜa bëi c«ng thøc Z sdµ := m X µ(A ∩ Ai )ci , i=1 A ë ®ã µ(A ∩ Ai )ci := 0 nÕu ci = 0 vµ µ(A ∩ Ai ) = ∞. (iv) Hµm ®o ®­îc m¹nh u : Ω → E ®­îc gäi lµ kh¶ tÝch Bochner nÕu tån t¹i mét d·y c¸c hµm ®¬n gi¶n sk : Ω → E kh¶ tÝch Bochner tho¶ m·n lim ksk (ω) − u(ω)kE = 0 h.k.n. k→∞ vµ Z ksk − ukdµ = 0. lim k→∞ Ω Víi A ∈ A, tÝch ph©n Bochner cña u trªn A ®­îc ®Þnh nghÜa bëi Z Z udµ := lim sk dµ. k→∞ A A Ký hiÖu bëi L1 (Ω; E) kh«ng gian tÊtR c¶ c¸c hµm u : Ω → E kh¶ tÝch Bochner trªn Ω vµ ®­îc trang bÞ chuÈn kuk := Ω ku(ω)kdµ víi mäi u ∈ L1 (Ω; E). Víi mçi u ∈ L1 (Ω; E), ®Æt R∗ If (u) = Ω f (ω, u(ω))dµ := inf nR o Ω v(ω)dµ | v ∈ L1 (Ω; R), v(ω) ≥ f (ω, u(ω)) h.k.n. . (3.18) NÕu ω 7→ f (ω, u(ω)) lµ mét hµm kh¶ tÝch trªn Ω th× hiÓn nhiªn If (u) = F (u), ë ®ã F (u) ®­îc cho bëi (3.16). v : Ω → E ∗ ®­îc gäi lµ ®o ®­îc yÕu∗ nÕu víi mçi e ∈ E , hµm sè Ω 3 ω 7→ hv(ω), ei lµ ®o ®­îc. Ký hiÖu bëi Lw∞ (Ω; E ∗ ) kh«ng gian tÊt c¶ c¸c hµm ®o ®­îc yÕu∗ v : Ω → E ∗ sao cho hµm Ω 3 ω 7→ kv(ω)k thuéc L∞ (Ω; R). ∗ ∗ = ess sup kv(ω)k, ë ®©y Kh«ng gian Lw ∞ (Ω; E ) ®­îc trang bÞ chuÈn kvkLw ∞ (Ω;E ) Hµm ω∈Ω ess sup kv(ω)k = inf{α > 0 | kv(ω)k < α h.k.n.}. ω∈Ω 13 KÕt qu¶ sau ®©y ®­îc ph¸t biÓu vµ chøng minh trong cuèn s¸ch cña I. Fonseca vµ G. Leoni "Modern Methods in the Calculus of Variations: Lp Spaces", Vol. I, Springer, 2007. Tuy nhiªn, chøng minh ë ®ã kh«ng chÆt chÏ. V× vËy, t¸c gi¶ luËn ¸n ®· ®Ò xuÊt mét chøng minh míi. (Chøng minh kh¸ dµi nµy ®· ®­îc Gi¸o s­ I. Fonseca vµ Gi¸o s­ G. Leoni c«ng nhËn vµ ®­a lªn c¸c trang web http://www.math.cmu.edu/~ leoni/book1, http://www.math.cmu.edu/~ leoni /Typos.pdf, http://www.math.cmu.edu/~ leoni/notes.pdf liªn quan ®Õn cuèn s¸ch nãi trªn.) §Þnh lý 3.2.2. Gi¶ sö (Ω, A, µ) lµ mét kh«ng gian cã ®é ®o mét kh«ng gian Banach kh¶ ly. Khi ®ã: (i) NÕu T ∈ (L1 (Ω; E))∗ th× tån t¹i duy nhÊt mét phÇn tö cho σ−h÷u h¹n vµ E lµ v ∈ Lw∞ (Ω; E ∗ ) sao Z hv(ω), u(ω)idµ T (u) = (3.19) Ω u ∈ L1 (Ω; E). H¬n thÕ, kT k = kvkLw∞ (Ω;E ∗ ) . (ii) Mäi phiÕm hµm T cã d¹ng (3.19), ë ®ã v ∈ Lw∞ (Ω; E ∗ ), tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn L1 (Ω; E). víi mäi lµ phiÕm hµm MÖnh ®Ò sau ®©y ®ãng vai trß then chèt trong chøng minh §Þnh lý 3.2.3 - kÕt qu¶ chÝnh cña môc nµy. If (·) : L1 (Ω; E) → R̄ lµ hµm sè ®­îc cho bëi c«ng (3.18) vµ x ∈ L1 (Ω; E) tho¶ m·n f (x) ∈ L1 (Ω; R). Khi ®ã o n ∗ ∗ ∗ w b ∂ε If (x) = x ∈ L∞ (Ω; E ) | inf gε (ω, e, x (ω)) ≥ 0 h.k.n. e∈E n = x∗ ∈ Lw∞ (Ω; E ∗ ) | If (u) − If (x) − hx∗ , u − xi o ≥ −εku − xk ∀u ∈ L1 (Ω; E) , MÖnh ®Ò 3.2.1. Gi¶ sö thøc gε (ω, e, e∗ ) := f (ω, e) − f (ω, x(ω)) − he∗ , e − x(ω)i + εke − x(ω)k, ω ∈ Ω, e ∈ E, e∗ ∈ E ∗ , ε ≥ 0. víi f : Ω × E → R̄ lµ mét hµm A ⊗ B(E)−®o ®­îc tho¶ m·n f (u) ∈ L1 (Ω; R) víi mäi u ∈ L1 (Ω; E), vµ F lµ hµm sè cho bëi c«ng thøc (3.16). §Þnh lý 3.2.3. Gi¶ sö Khi ®ã b (x) = ∂ F en F (x) ∂Fn(x) = ∂F o ∗ w ∗ ∗ = x ∈ L∞ (Ω; E ) | inf g0 (ω, e, x (ω)) ≥ 0 h.k.n. , e∈E g0 (ω, e, e ) := f (ω, e) − f (ω, x(ω)) − he∗ , e − x(ω)i, ω ∈ Ω, e ∈ E, e∗ ∈ E ∗ vµ x ∈ L1 (Ω; E). víi ∗ 14 HÖ qu¶ 3.2.1 Ngoµi c¸c gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 3.2.3, nÕu gi¶ sö thªm r»ng vi FrÐchet vµ Lipschitz ®Þa ph­¬ng t¹i lim kx∗k − F 0 (x)k = 0 khi k→∞ Do ®ã, F lµ kh¶ vi liªn tôc nÕu F F kh¶ x, th× ta cã x∗k ∈ ∂F (xk ) mµ lim xk = x. k→∞ lµ kh¶ vi FrÐchet vµ Lipschitz ®Þa ph­¬ng. XÐt bµi to¸n tèi ­u (P) ë ®©y F (x) = R min{F (x) | x ∈ L1 (Ω; E)}, Ω f (ω, x(ω))dµ(ω) (x ∈ L1 (Ω; E)) lµ mét phiÕm hµm tÝch ph©n tho¶ m·n c¸c gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 3.2.3. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó HÖ qu¶ 3.2.2. x lµ mét nghiÖm ®Þa ph­¬ng cña bµi to¸n (P) lµ min f (ω, e) = f (ω, x(ω)) e∈E hÇu kh¾p n¬i. Ch­¬ng 4 MiÒn gi¸ trÞ cña ¸nh x¹ d­íi vi ph©n Trong ch­¬ng nµy chóng ta nghiªn cøu miÒn gi¸ trÞ cña ¸nh x¹ d­íi vi ph©n cña hµm f : X → R ∪ {+∞} chÝnh th­êng nöa liªn tôc d­íi vµ tho¶ m·n mét ®iÒu kiÖn bøc, ë ®©y X lµ mét kh«ng gian Banach. 4.1. Tr­êng hîp kh«ng gian Banach ph¶n x¹ §Þnh lý 4.1.1. Cho X lµ mét kh«ng gian Banach. Khi ®ã, c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (i) X (ii) lµ kh«ng gian ph¶n x¹. Víi bÊt kú hµm chÝnh th­êng nöa liªn tôc d­íi yÕu f : X → R ∪ {+∞} tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bøc f (x) = +∞, kxk→∞ kxk lim ta cã [ (4.1) b (x) = X ∗ . ∂f x∈X (iii) Víi bÊt kú tËp ®ãng yÕu vµ bÞ chÆn Ω ⊂ X, ta cã S b N (x; Ω) = X ∗ . x∈Ω 15 4.2. Tr­êng hîp kh«ng gian Asplund §Þnh lý 4.2.1. Cho X lµ mét kh«ng gian Asplund vµ f : X → R ∪ {+∞} lµ mét f bÞ chÆn d­íi trªn c¸c tËp bÞ chÆn vµ b (x) lµ trï mËt trong X ∗ . ∂f hµm chÝnh th­êng nöa liªn tôc d­íi. [ NÕu ®iÒu kiÖn (4.1) ®óng, th× tËp hîp x∈X X = `2 vµ en := (0, ..., 0, 1, 0, ...), ë ®©y phÇn tö ®¬n vÞ n»m ë vÞ trÝ thø n. XÐt hµm sè f : X → R ∪ {+∞} cho bëi c«ng thøc  1 t 1 1   + − nÕu x = (1 − t)en + ten+1   n 2 n + 1 n (t ∈ [0, 1) n = 1, 2, ...), f (x) := h S i  ∞    nÕu x ∈ X\ [en , en+1 ) ,  +∞ VÝ dô 4.2.1. LÊy n=1  [en , en+1 ) := (1 − t)en + ten+1 | t ∈ [0, 1) . Khi ®ã, c¸c gi¶ thiÕt cña §Þnh [ b (x) 6= X ∗ . lý 4.2.1 ®­îc tho¶ m·n vµ ∂f ë ®©y x∈X Gi¶ sö HÖ qu¶ 4.2.2. X Ω lµ mét tËp con S b N (x; Ω) lµ trï mËt trong X ∗ . lµ mét kh«ng gian Asplund vµ rçng, ®ãng vµ bÞ chÆn cña X. Khi ®ã tËp kh¸c x∈Ω X = `2 vµ en := (0, ..., 0, 1, 0, ...) lµ vÐct¬ ®¬n vÞ thø n. §Æt  [en , en+1 ], ë ®©y [en , en+1 ] := en + t(en+1 − en ) | t ∈ [0, 1] . Ta cã Ω lµ Ω= n=1 S b mét tËp con ®ãng kh¸c rçng bÞ chÆn cña X vµ N (x; Ω) 6= X ∗ . VÝ dô 4.2.2. ∞ S LÊy x∈Ω 4.3. Mét vµi øng dông XÐt bµi to¸n (P0 ) min{f (x) | x ∈ X}, ë ®ã X lµ kh«ng gian Banach vµ f : X → R ∪ {+∞} lµ hµm nöa liªn tôc d­íi. b (x̄). Ta nãi x̄ ∈ X lµ ®iÓm dõng cña (P0 ) nÕu 0 ∈ ∂f §Þnh lý 4.3.1. NÕu X f : X → R ∪ {+∞} lµ hµm chÝnh bøc (4.1) ®­îc tho¶ m·n th×, víi mäi lµ kh«ng gian ph¶n x¹, th­êng nöa liªn tôc d­íi yÕu, vµ ®iÒu kiÖn c ∈ X ∗ , bµi to¸n (Pc ) min{f (x) + hc, xi | x ∈ X} cã tËp c¸c ®iÓm dõng kh¸c rçng. 16 f : X → R ∪ {+∞} lµ hµm låi chÝnh th­êng nöa liªn tôc d­íi, vµ ®iÒu kiÖn bøc (4.1) ®­îc tho¶ m·n th× víi mäi c ∈ X ∗ bµi to¸n (Pc ) cã nghiÖm. MÖnh ®Ò 4.3.1. NÕu X lµ kh«ng gian ph¶n x¹, (Pc ) lµ kÕt qu¶ cña viÖc lµm "nhiÔu tuyÕn tÝnh" bµi to¸n (P0 ) (tøc lµ viÖc céng thªm hµm tuyÕn tÝnh hc, xi vµo hµm môc tiªu f (x) cña (P0 )). Theo c¸ch hiÓu nµy, §Þnh lý 4.3.1 lµ mét kh¼ng ®Þnh vÒ sù tån t¹i ®iÓm dõng cña bµi to¸n nhiÔu cña (P0 ) d­íi t¸c ®éng cña mäi nhiÔu tuyÕn tÝnh, cßn NhËn xÐt 4.3.1. Ta cã thÓ xem MÖnh ®Ò 4.3.1 lµ mét ®iÒu kiÖn ®ñ cho sù tån t¹i nghiÖm bµi to¸n nhiÔu cña mét bµi to¸n qui ho¹ch låi d­íi t¸c ®éng cña nhiÔu tuyÕn tÝnh. f : X → R ∪ {+∞} lµ hµm chÝnh th­êng nöa liªn tôc d­íi vµ bÞ chÆn d­íi ë trªn mçi tËp con bÞ chÆn cña X . NÕu ∗ ®iÒu kiÖn bøc (4.1) ®­îc tho¶ m·n, th× tån t¹i mét tËp C trï mËt trong X sao cho víi mäi c ∈ C bµi to¸n (Pc ) cã tËp ®iÓm dõng kh¸c rçng. §Þnh lý 4.3.2. Cho MÖnh ®Ò 4.3.2. X Cho lµ kh«ng gian Asplund, X lµ kh«ng gian Asplund, f : X → R ∪ {+∞} lµ hµm låi chÝnh th­êng nöa liªn tôc d­íi vµ bÞ chÆn d­íi ë trªn mçi tËp con bÞ chÆn cña X . NÕu ®iÒu kiÖn bøc (4.1) ®­îc tho¶ m·n, th× tån t¹i X ∗ sao cho víi mäi c ∈ C bµi to¸n (Pc ) cã nghiÖm. 17 mét tËp C trï mËt trong KÕt luËn C¸c kÕt qu¶ chÝnh cña luËn ¸n nµy bao gåm: 1. C«ng thøc biÓu diÔn tÝch ph©n Aumann cña ¸nh x¹ d­íi vi ph©n Clarke vµ cña ¸nh x¹ d­íi vi ph©n Mordukhovich, c¸c ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tÝch ph©n nµy lµ tËp gåm mét ®iÓm. 2. Mét d¹ng t­¬ng tù cña c«ng thøc Newton-Leibniz cæ ®iÓn cho tr­êng hîp tÝch ph©n ®a trÞ. Chøng minh míi cho ®Þnh lý ®· biÕt vÒ kh¶ n¨ng ®Æc tr­ng hµm sè cña ¸nh x¹ d­íi vi ph©n Clarke. 3. C«ng thøc tÝnh chÝnh x¸c d­íi vi ph©n Mordukhovich cña tÝch ph©n bÊt ®Þnh F (x) = Rx a f (t)dt, víi f lµ mét hµm bÞ chÆn cèt yÕu. 4. C«ng thøc tÝnh chÝnh x¸c d­íi vi ph©n Mordukhovich cña phiÕm hµm tÝch ph©n R (u ∈ L1 (Ω; E)), víi (Ω, A, µ) lµ mét kh«ng gian cã ®é ®o kh«ng nguyªn tö σ -h÷u h¹n ®Çy ®ñ, E lµ kh«ng gian Banach kh¶ ly, vµ f : Ω × E → R̄ lµ hµm A ⊗ B(E)−®o ®­îc. C«ng thøc nµy kÐo theo F (u) = Ω f (ω, u(ω))dµ(ω) mét tiªu chuÈn tån t¹i nghiÖm ®Þa ph­¬ng cña bµi to¸n tèi ­u kh«ng rµng buéc, víi hµm môc tiªu lµ phiÕm hµm tÝch ph©n. 5. Mét sè ®Æc tr­ng cña kh«ng gian Banach ph¶n x¹ th«ng qua tÝnh chÊt trµn cña ¸nh x¹ d­íi vi ph©n FrÐchet. §iÒu kiÖn ®ñ ®Ó miÒn gi¸ trÞ cña ¸nh x¹ d­íi vi ph©n FrÐchet trï mËt trong X ∗ khi kh«ng gian nÒn X lµ Asplund. 6. Hai ®Þnh lý vÒ sù tån t¹i ®iÓm dõng cña bµi to¸n nhiÔu cña mét bµi to¸n tèi ­u phi tuyÕn d­íi t¸c ®éng cña nhiÔu tuyÕn tÝnh. 7. Hai mÖnh ®Ò vÒ sù tån t¹i nghiÖm cña bµi to¸n nhiÔu cña mét bµi to¸n qui ho¹ch låi d­íi t¸c ®éng cña nhiÔu tuyÕn tÝnh. Cïng víi c«ng thøc Newton-Leibniz (®· ®­îc kh¶o s¸t ë Ch­¬ng 2), h­íng nghiªn cøu chÝnh cña luËn ¸n cã thÓ tiÕp tôc ®èi víi c«ng thøc Green, c«ng thøc Gauss vµ c¸c øng dông. §èi víi bµi to¸n tÝnh to¸n hoÆc ®¸nh gi¸ d­íi vi ph©n cña phiÕm hµm tÝch ph©n (Ch­¬ng 3 cña luËn ¸n), ngoµi c¸c líp hµm ®· ®­îc xÐt, cÇn tiÕp tôc nghiªn cøu t×m ra c¸c c«ng thøc tÝnh to¸n hoÆc ®¸nh gi¸ d­íi vi ph©n cho c¸c líp hµm kh¸c vµ øng dông c¸c c«ng thøc thu ®­îc vµo viÖc kh¶o s¸t c¸c bµi to¸n tèi ­u cã liªn quan ®Õn phiÕm hµm tÝch ph©n, ®Æc biÖt lµ c¸c bµi to¸n ®iÒu khiÓn tèi ­u. 18