Tài liệu Tóm tắt luận án tiến sĩ toán học một số quy tắc tính toán trong giải tích biến phân và ứng dụng

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Tr­êng §¹i häc Vinh ---------------------- nguyÔn thÞ quúnh trang Mét sè quy t¾c tÝnh to¸n trong gi¶i tÝch biÕn ph©n vµ øng dông Chuyªn ngµnh: To¸n gi¶i tÝch M· sè: 62 46 01 02 Tãm t¾t luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc NghÖ An - 2015 C«ng tr×nh ®­îc hoµn thµnh t¹i Tr­êng §¹i häc Vinh Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: 1. PGS. TS. NguyÔn Quang Huy 2. PGS. TS. TrÇn V¨n ¢n Ph¶n biÖn 1: Ph¶n biÖn 2: Ph¶n biÖn 3: LuËn ¸n sÏ ®­îc b¶o vÖ tr­íc Héi ®ång chÊm luËn ¸n cÊp Tr­êng vµo håi .... giê .... ngµy .....th¸ng ..... n¨m...... Cã thÓ t×m hiÓu luËn ¸n t¹i: 1. Th­ viÖn NguyÔn Thóc Hµo, Tr­êng §¹i häc Vinh 2. Th­ ViÖn Quèc gia ViÖt Nam 1 Më ®Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi 1.1 Gi¶i tÝch biÕn ph©n lµ mét bé phËn to¸n häc ®­îc h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn nh»m trang bÞ c¸c c«ng cô ®Ó nghiªn cøu c¸c bµi to¸n tèi ­u vµ nh÷ng vÊn ®Ò cã liªn quan. Mét mÆt, c¸c bµi to¸n tèi ­u th­êng xuyªn xuÊt hiÖn trong c¸c khoa häc øng dông. MÆt kh¸c, gi¶i quyÕt vÊn ®Ò dùa vµo tèi ­u lµ mét ph­¬ng ph¸p hiÖu qu¶ trong to¸n häc. §iÒu nµy lµm cho gi¶i tÝch biÕn ph©n trë thµnh mét lÜnh vùc ®¸ng quan t©m xÐt theo c¶ gãc ®é lý thuyÕt lÉn gãc ®é øng dông. LÜnh vùc nµy hiÖn ®ang ®­îc nhiÒu nhµ to¸n häc quan t©m nghiªn cøu 1.2 HÖ thèng c¸c quy t¾c tÝnh to¸n ®ãng vai trß quan träng trong gi¶i tÝch biÕn ph©n. Nã lµ cÇu nèi gi÷a nh÷ng kÕt qu¶ tæng qu¸t víi nh÷ng øng dông cô thÓ. Theo B. S. Mordukhovich, "bÊt kú cÊu tróc hay tÝnh chÊt nµo ®­îc ®­a ra lµ cã tiÒm n¨ng sö dông chØ khi nã cã c¸c quy t¾c tÝnh to¸n tháa ®¸ng". ChÝnh v× vËy, ngay khi giíi thiÖu c¸c cÊu tróc vi ph©n suy réng ng­êi ta ®· chó träng ®Õn viÖc thiÕt lËp quy t¾c tÝnh to¸n cho chóng. HÖ thèng c¸c quy t¾c tÝnh to¸n bËc nhÊt cña vi ph©n suy réng trong gi¶i tÝch biÕn ph©n vÒ c¬ b¶n ®· ®Çy ®ñ. HiÖn nay, ph¸t triÓn quy t¾c tÝnh to¸n bËc hai ®ang lµ mét chñ ®Ò nghiªn cøu cã tÝnh thêi sù trong gi¶i tÝch biÕn ph©n. Cïng víi viÖc t×m kiÕm quy t¾c tÝnh to¸n míi, sö dông c¸c quy t¾c tÝnh to¸n ®· ®­îc thiÕt lËp ®Ó kh¶o s¸t c¸c tÝnh chÊt cña ¸nh x¹, hµm sè hoÆc tËp hîp còng lµ mét vÊn ®Ò rÊt ®­îc quan t©m. 1.3 TÝnh ®¬n ®iÖu vµ tÝnh Lipschitz lµ nh÷ng tÝnh chÊt c¬ b¶n trong gi¶i tÝch biÕn ph©n vµ øng dông. MÆc dï c¸c tÝnh chÊt nµy ®· ®­îc nghiªn cøu m¹nh mÏ trong nh÷ng thËp kû qua, mét sè vÊn ®Ò thó vÞ liªn quan ®Õn chóng, ch¼ng h¹n nh­, ®Æc tr­ng ®èi ®¹o hµm cña ¸nh x¹ ®¬n ®iÖu, ®Æc tr­ng d­íi vi ph©n bËc hai cña hµm låi, tÝnh æn ®Þnh kiÓu Lipschitz (Lipschitz-like) cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trªn tËp låi ®a diÖn bÞ nhiÔu,..., ®Õn nay míi chØ ®­îc gi¶i quyÕt tháa ®¸ng cho mét sè tr­êng hîp d­íi nh÷ng gi¶ thiÕt nhÊt ®Þnh. C¸c tr­êng hîp cßn l¹i vÉn ®ang cÇn ®­îc kh¶o s¸t thªm. Sù ph¸t triÓn gÇn ®©y cña gi¶i tÝch biÕn ph©n, ®Æc biÖt lµ hÖ thèng c¸c quy t¾c tÝnh to¸n, ®­a ®Õn cho chóng ta hy väng cã thÓ ®¹t ®­îc nh÷ng b­íc tiÕn míi theo h­íng nghiªn cøu nµy. Víi c¸c lý do nh­ thÕ, chóng t«i chän ®Ò tµi lµ "Mét sè quy t¾c tÝnh to¸n trong gi¶i tÝch biÕn ph©n vµ øng dông". 2 2. Môc ®Ých nghiªn cøu LuËn ¸n nµy nghiªn cøu mét sè khÝa c¹nh øng dông cña c¸c quy t¾c tÝnh to¸n trong gi¶i tÝch biÕn ph©n víi c¸c môc ®Ých nh­ sau: - T×m mèi quan hÖ gi÷a c«ng thøc tÝnh nãn ph¸p tuyÕn cña tËp nghÞch ¶nh qua ¸nh x¹ kh¶ vi, c¸c quy t¾c tæng vµ ®iÒu kiÖn tèi ­u d¹ng Karush-Kuhn-Tucker; - Tr¶ lêi c©u hái "§Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ cho d­íi vi ph©n FrÐchet cã ®óng trong kh«ng gian Banach bÊt kú hay kh«ng?" - Lµm râ kh¶ n¨ng cña ®èi ®¹o hµm trong viÖc nhËn biÕt tÝnh ®¬n ®iÖu cña c¸c ¸nh x¹ liªn tôc vµ kh¶ n¨ng cña d­íi vi ph©n bËc hai trong viÖc nhËn biÕt tÝnh låi cña c¸c hµm sè kh¶ vi liªn tôc; - Kh¶o s¸t tÝnh æn ®Þnh kiÓu Lipschitz cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trªn tËp låi ®a diÖn bÞ nhiÔu. 3. §èi t­îng nghiªn cøu C¸c quy t¾c tÝnh to¸n, ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ, tÝnh ®¬n ®iÖu cña ¸nh x¹, tÝnh låi cña hµm sè, tÝnh æn ®Þnh kiÓu Lipschitz cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trªn tËp låi ®a diÖn. 4. Ph¹m vi nghiªn cøu Mèi quan hÖ gi÷a c«ng thøc tÝnh nãn ph¸p tuyÕn cña tËp nghÞch ¶nh qua ¸nh x¹ kh¶ vi, c¸c quy t¾c tæng d¹ng ®¼ng thøc vµ ®iÒu kiÖn tèi ­u d¹ng KarushKuhn-Tucker; tÝnh hiÖu lùc cña ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ cho d­íi vi ph©n FrÐchet; c¸c ®iÒu kiÖn theo ®èi ®¹o hµm ®Ó mét ¸nh x¹ liªn tôc lµ ®¬n ®iÖu vµ c¸c ®iÒu kiÖn theo d­íi vi ph©n bËc hai ®Ó mét hµm sè kh¶ vi liªn tôc lµ låi; c¸c ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trªn tËp låi ®a diÖn bÞ nhiÔu lµ æn ®Þnh kiÓu Lipschitz. 5. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu Trong luËn ¸n nµy, chóng t«i sö dông ph­¬ng ph¸p tiÕp cËn biÕn ph©n vµ c¸c kü thuËt cña gi¶i tÝch hµm, gi¶i tÝch biÕn ph©n, lý thuyÕt tèi ­u,... 6. ý nghÜa khoa häc vµ thùc tiÔn LuËn ¸n gãp phÇn lµm phong phó thªm c¸c kÕt qu¶ vÒ hÖ thèng c¸c quy t¾c tÝnh to¸n trong gi¶i tÝch biÕn ph©n vµ øng dông. V× nhiÒu bµi to¸n thùc tÕ dÉn ®Õn m« h×nh bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trªn tËp låi ®a diÖn, nªn kÕt qu¶ vÒ tÝnh æn ®Þnh ®­îc thiÕt lËp trong luËn ¸n nµy cã thÓ h÷u Ých cho viÖc ph©n tÝch nh÷ng bµi to¸n ®ã. 3 7. Tæng quan vµ cÊu tróc luËn ¸n 7.1. Tæng quan luËn ¸n N¨m 1963, ®Ó kh¶o s¸t c¸c bµi to¸n tèi ­u låi kh«ng kh¶ vi, R. T. Rockafellar ®· giíi thiÖu kh¸i niÖm d­íi vi ph©n cho c¸c hµm låi. Lóc ®Çu «ng gäi nã lµ vi ph©n cña hµm låi, nh­ng vÒ sau ®æi thµnh d­íi vi ph©n cña hµm låi. §©y lµ kh¸i niÖm d­íi vi ph©n ®Çu tiªn trong gi¶i tÝch biÕn ph©n. Nh÷ng nghiªn cøu vÒ vi ph©n suy réng cña hµm låi vµ c¸c vÊn ®Ò liªn quan ë ®Çu thËp niªn 1960 dÉn ®Õn sù ra ®êi cña Gi¶i tÝch låi. Tõ ®ã ®Õn nay, lÜnh vùc nµy tiÕp tôc ®­îc ph¸t triÓn vµ ®· trë thµnh mét bé phËn quan träng cña gi¶i tÝch biÕn ph©n. N¨m 1973, F. H. Clarke ®· ®­a ra kh¸i niÖm ®¹o hµm theo h­íng Clarke vµ d­íi vi ph©n Clarke cña hµm Lipschitz ®Þa ph­¬ng. Nh÷ng kh¸i niÖm nµy sau ®ã ®· ®­îc më réng cho c¸c hµm sè bÊt kú, kh«ng cÇn Lipschitz ®Þa ph­¬ng. Bªn c¹nh c¸c quy t¾c tÝnh to¸n d¹ng bao hµm thøc, F. H. Clarke còng ®· thiÕt lËp mét hÖ thèng quy t¾c tÝnh to¸n d¹ng ®¼ng thøc cho líp hµm chÝnh quy Clarke. Lý thuyÕt vi ph©n suy réng Clarke cã ¶nh h­ëng rÊt lín ®Õn sù ph¸t triÓn cña gi¶i tÝch kh«ng tr¬n, ®Æc biÖt trong nöa cuèi thËp niªn 1970 vµ trong thËp niªn 1980. C¸c kÕt qu¶ c¬ b¶n cña lý thuyÕt vi ph©n suy réng nµy ®· ®­îc tr×nh bµy trong cuèn s¸ch chuyªn kh¶o "Optimization and Nonsmooth Analysis" cña F. H. Clarke (1983). N¨m 1976, ®Ó nghiªn cøu ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho mét bµi to¸n ®iÒu khiÓn tèi ­u, B. S. Mordukhovich ®· giíi thiÖu kh¸i niÖm nãn ph¸p tuyÕn vµ d­íi vi ph©n qua giíi h¹n. N¨m 1980, B. S. Mordukhovich ®­a ra kh¸i niÖm ®èi ®¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ, d­íi tªn gäi lµ ¸nh x¹ liªn hîp (adjoint mapping). ThuËt ng÷ "®èi ®¹o hµm" ®­îc sö dông lÇn ®Çu tiªn vµo n¨m 1984 bëi A. D. Ioffe. D­íi vi ph©n bËc hai ®­îc B. S. Mordukhovich ®­a ra n¨m 1992. §©y lµ nh÷ng kh¸i niÖm c¬ b¶n cña lý thuyÕt vi ph©n suy réng Mordukhovich. C¸c quy t¾c tÝnh to¸n quan träng cña lý thuyÕt vi ph©n suy réng nµy, bao gåm quy t¾c tæng (sum rule), quy t¾c chuçi (chain rule), quy t¾c giao (intersection rule), ®· ®­îc nghiªn cøu trong nhiÒu c«ng tr×nh, ch¼ng h¹n, c¸c c«ng tr×nh cña A. D. Ioffe (1984, 2000), B. S. Mordukhovich (1994), B. S. Mordukhovich vµ N. M. Nam (2005), B. S. Mordukhovich vµ Y. Shao (1996), B. S. Mordukhovich vµ J. V. Outrata (2001). Lý thuyÕt vi ph©n suy réng Mordukhovich ®· ®­îc tr×nh bµy trong cuèn s¸ch chuyªn kh¶o 2 tËp "Variational Analysis and Generalized Differentiation" cña B. S. Mordukhovich (2006). Ngoµi nh÷ng kh¸i niÖm vi ph©n suy réng kÓ trªn, cßn cã nhiÒu kh¸i niÖm vi ph©n suy réng kh¸c ®· ®­îc giíi thiÖu nh»m môc ®Ých nghiªn cøu c¸c bµi to¸n 4 tèi ­u vµ c¸c vÊn ®Ò liªn quan, ch¼ng h¹n nh­ c¸c lo¹i ®¹o hµm theo h­íng, ®¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ do J.-P. Aubin ®Ò xuÊt, d­íi vi ph©n xÊp xØ cña A. D. Ioffe. Trong luËn ¸n nµy, chóng t«i giíi h¹n viÖc nghiªn cøu trong khu«n khæ lý thuyÕt vi ph©n suy réng Mordukhovich. Ch­¬ng 1 b¾t ®Çu b»ng viÖc nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n cÇn dïng trong luËn ¸n nµy. Dùa trªn ý t­ëng "sö dông quy t¾c chuçi ®Ó chøng minh quy t¾c tæng" cña R. T. Rockafellar vµ R. J.-B. Wets (1998), Môc 1.2 cho thÊy mét sè quy t¾c tæng ®· biÕt lµ nh÷ng hÖ qu¶ trùc tiÕp cña c¸c c«ng thøc tÝnh nãn ph¸p tuyÕn cña tËp nghÞch ¶nh d¹ng ®¼ng thøc do B. S. Mordukhovich vµ B. Wang thiÕt lËp n¨m 2004. Trong Môc 1.3, chóng t«i thu ®­îc mét kÕt qu¶ vÒ mèi quan hÖ gi÷a c«ng thøc tÝnh nãn ph¸p tuyÕn FrÐchet cña tËp nghÞch ¶nh vµ ®iÒu kiÖn tèi ­u d¹ng Karush-Kuhn-Tucker (§Þnh lý 1.3.4). KÕt qu¶ nµy më réng kÕt qu¶ t­¬ng øng cña F. J. Gould vµ J. W. Tolle (1971) tõ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu lªn kh«ng gian Banach bÊt kú. C«ng thøc tÝnh nãn ph¸p tuyÕn cña tËp nghÞch ¶nh vµ quy t¾c tæng d¹ng ®¼ng thøc trong Ch­¬ng 1 ®­îc sö dông ®Ó nghiªn cøu mét sè vÊn ®Ò trong nh÷ng ch­¬ng tiÕp theo. C¸c ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh lµ nh÷ng kÕt qu¶ quan träng trong gi¶i tÝch biÕn ph©n. G. Lebourg (1975) lµ ng­êi ®Çu tiªn ®­a ra ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh cho hµm Lipschitz kh«ng tr¬n. N¨m 1988, D. Zagrodny ®· cho thÊy ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh Lebourg kh«ng ®óng cho hµm liªn tôc vµ v× vËy «ng ®· giíi thiÖu ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ. §Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ sau ®ã tiÕp tôc ®­îc nghiªn cøu bëi nhiÒu nhµ to¸n häc kh¸c nh­ P. D. Loewen (1994), L. Thibault (1995), J. -P. Penot (1997),... N¨m 1996, B. S. Mordukhovich vµ Y. Shao ®· thiÕt lËp ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ cho d­íi vi ph©n FrÐchet trong kh«ng gian Asplund, ®ã lµ kh«ng gian Banach mµ mçi kh«ng gian con ®ãng kh¶ ly cã ®èi ngÉu kh¶ ly. §Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ cña B. S. Mordukhovich vµ Y. Shao lµ mét c«ng cô ®Ó nghiªn cøu vÊn ®Ò nhËn biÕt c¸c tÝnh chÊt cña hµm sè qua d­íi vi ph©n. Trong phÐp chøng minh mét sè kÕt qu¶ theo h­íng nµy, ch¼ng h¹n ®Þnh lý ®Æc tr­ng d­íi vi ph©n cña hµm Lipschitz ®Þa ph­¬ng vµ ®Þnh lý ®Æc tr­ng d­íi gradient cña hµm ®¬n ®iÖu theo nãn, ngo¹i trõ viÖc sö dông ®Þnh lý gi¸ trung b×nh xÊp xØ cho d­íi vi ph©n FrÐchet, c¸c lËp luËn kh¸c vÉn ®óng trong kh«ng gian Banach tïy ý. V× vËy, c©u hái ®­îc ®Æt ra mét c¸ch tù nhiªn lµ: §Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ cho d­íi vi ph©n FrÐchet cã ®óng trong kh«ng gian Banach bÊt kú hay kh«ng? Trong Ch­¬ng 2, chóng t«i chøng minh ®­îc líp kh«ng gian Asplund lµ líp kh«ng gian Banach réng nhÊt mµ ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ cho d­íi vi ph©n FrÐchet ®óng trong mçi kh«ng gian thuéc nã. 5 Kh¸i niÖm ¸nh x¹ ®¬n ®iÖu cùc ®¹i xuÊt hiÖn tõ ®Çu thËp niªn 1960. D­íi vi ph©n cña c¸c hµm låi chÝnh th­êng nöa liªn tôc d­íi vµ phÐp chiÕu trùc giao lªn tËp låi ®ãng kh¸c rçng trong kh«ng gian Hilbert lµ nh÷ng vÝ dô vÒ ¸nh x¹ ®¬n ®iÖu cùc ®¹i. §èi víi ¸nh x¹ ®¬n trÞ liªn tôc, tÝnh ®¬n ®iÖu vµ ®¬n ®iÖu cùc ®¹i lµ trïng nhau. TÝnh ®¬n ®iÖu cùc ®¹i cña ¸nh x¹ ®· ®­îc sö dông ®Ó nghiªn cøu mét sè khÝa c¹nh quan träng cña c¸c bµi to¸n tèi ­u vµ c©n b»ng, ch¼ng h¹n nh­, sù tån t¹i nghiÖm, tÝnh æn ®Þnh nghiÖm vµ sù héi tô cña c¸c ph­¬ng ph¸p sè. Theo kÕt qu¶ cæ ®iÓn vÒ ®Æc tr­ng tÝnh ®¬n ®iÖu, mét ¸nh x¹ ®¬n trÞ kh¶ vi lµ ®¬n ®iÖu nÕu vµ chØ nÕu ®¹o hµm cña nã lµ nöa x¸c ®Þnh d­¬ng t¹i mäi ®iÓm. N¨m 1962, sö dông ®¹o hµm theo h­íng, G. J. Minty ®· thiÕt lËp mét ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét ¸nh x¹ ®¬n trÞ kh«ng tr¬n lµ ®¬n ®iÖu. H. Jiang vµ L. Qi (1995), D. T. Luc vµ S. Schaible (1996) ®· cho thÊy r»ng mét ¸nh x¹ ®¬n trÞ Lipschitz ®Þa ph­¬ng trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu lµ ®¬n ®iÖu nÕu vµ chØ nÕu mäi ma trËn Jacobi suy réng Clarke cña nã lµ nöa x¸c ®Þnh d­¬ng. Sau ®ã, thay c¸c ma trËn Jacobi suy réng Clarke b»ng c¸c ma trËn Jacobi xÊp xØ, V. Jeyakumar vµ c¸c céng sù (1998) ®· thu ®­îc mét ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét ¸nh x¹ ®¬n trÞ liªn tôc lµ ®¬n ®iÖu. R. A. Poliquin vµ R. T. Rockafellar (1998) ®· chøng minh ®­îc r»ng ®èi ®¹o hµm cña mét ¸nh x¹ ®a trÞ ®¬n ®iÖu cùc ®¹i trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu cã tÝnh nöa x¸c ®Þnh d­¬ng. N. H. Chieu vµ N. Q. Huy (2012), B. S. Mordukhovich vµ T. T. A. Nghia (2013) ®· më réng kÕt qu¶ cña nµy cho tr­êng hîp kh«ng gian Hilbert. GÇn ®©y, N. H. Chieu vµ c¸c céng sù (2015) ®· thu ®­îc mét sè ®Æc tr­ng ®èi ®¹o hµm cho tÝnh ®¬n ®iÖu cùc ®¹i cho líp ¸nh x¹ ®a trÞ hypo-®¬n ®iÖu (hypomonotone). Trong Ch­¬ng 2, sö dông ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ cho d­íi vi ph©n FrÐchet, c¸c quy t¾c tæng d¹ng ®¼ng thøc vµ ®Þnh lý Weierstrass vÒ sù tån t¹i nghiÖm tèi ­u, chóng t«i ®· thiÕt lËp mét ®iÒu kiÖn ®ñ theo ®èi ®¹o hµm ®Ó mét ¸nh x¹ ®¬n trÞ liªn tôc f x¸c ®Þnh trªn kh«ng gian Asplund X lµ ®¬n ®iÖu (§Þnh lý 2.3.5). §iÒu kiÖn ®ñ cña chóng t«i lµ ®iÒu kiÖn ®ñ cho tÝnh ®¬n ®iÖu theo ®èi ®¹o hµm ®Çu tiªn trong gi¶i tÝch biÕn ph©n. H¬n thÕ, nã còng lµ mét ®iÒu kiÖn cÇn nÕu lµ Lipschitz ®Þa ph­¬ng hoÆc f X lµ Hilbert. Chóng t«i còng thu ®­îc mét sè ®iÒu kiÖn ®ñ theo ®èi ®¹o hµm ®Ó mét ¸nh x¹ lµ ®¬n ®iÖu trªn mét tËp con cña X (§Þnh lý 2.3.17). B»ng c¸ch ¸p dông c¸c kÕt qu¶ trªn cho ¸nh x¹ ®¹o hµm, chóng t«i thu ®­îc mét sè ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®iÒu kiÖn ®ñ theo d­íi vi ph©n bËc hai ®Ó mét hµm sè kh¶ vi liªn tôc lµ låi (§Þnh lý 2.3.21). KÕt qu¶ nµy c¶i tiÕn kÕt qu¶ cña N. H. Chieu vµ N. Q. Huy (2011). TÝnh chÊt kiÓu Lipschitz (Lipschitz-like) cña c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ ®­îc giíi thiÖu bëi J.-P. Aubin (1984) d­íi tªn gäi lµ tÝnh gi¶ Lipschitz (pseudo-Lipschitz). A. L. Dontchev vµ R. T. Rockafellar gäi nã lµ tÝnh chÊt Aubin, trong khi 6 B. S. Mordukhovich gäi nã lµ tÝnh chÊt kiÓu Lipschitz. N¨m 1993, B. S. Mordukhovich ®· thiÕt lËp mét ®Æc tr­ng ®èi ®¹o hµm cho tÝnh chÊt kiÓu Lipschitz cña ¸nh x¹ ®a trÞ, nã ®­îc gäi lµ tiªu chuÈn Mordukhovich. N¨m 1996, sö dông tiªu chuÈn Mordukhovich, A. L. Dontchev vµ R. T. Rockafellar ®· thu ®­îc mét ®Æc tr­ng cña tÝnh æn ®Þnh kiÓu Lipschitz cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trªn tËp låi ®a diÖn kh«ng bÞ nhiÔu trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu. N¨m 2010, R. Henrion vµ c¸c céng sù ®· më réng kÕt qu¶ nµy lªn kh«ng gian Banach ph¶n x¹. §èi víi bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trªn tËp låi ®a diÖn bÞ nhiÔu, tÝnh æn ®Þnh Lipschitz ®· ®­îc nghiªn cøu bëi N. D. Yen (1995) cho tr­êng hîp bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu m¹nh vµ S. Lu vµ S. M. Robinson (2008) cho tr­êng hîp bÊt ®¼ng thøc affine. N¨m 2009, trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu, N. D. Yen vµ J.-C. Yao ®· thu ®­îc mét sè ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó bµi to¸n lµ æn ®Þnh kiÓu Lipschitz. Trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu, gÇn ®©y, N. T. Qui ®· giíi thiÖu mét sè c¶i tiÕn cña nh÷ng kÕt qu¶ cña N. D. Yen vµ J.-C. Yao. Mét kÕt qu¶ kh¸c rÊt ®¸ng chó ý theo h­íng nghiªn cøu nµy lµ kÕt qu¶ cña N. M. Nam (2010), ë ®ã t¸c gi¶ lÇn ®Çu tiªn ®Æc tr­ng ®­îc tÝnh æn ®Þnh kiÓu Lipschitz cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n chøa tham sè trªn tËp låi ®a diÖn bÞ nhiÔu. Tuy nhiªn, ®Æc tr­ng nµy chØ ®­îc thiÕt lËp t¹i nh÷ng ®iÓm mµ c¸c vÐct¬ ho¹t x¸c ®Þnh miÒn rµng buéc lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. T¹i nh÷ng ®iÓm cßn l¹i, th©m chÝ ng­êi ta cßn kh«ng biÕt liÖu bµi to¸n cã thÓ æn ®Þnh kiÓu Lipschitz ®­îc hay kh«ng. KÕt qu¶ chÝnh trong Ch­¬ng 3 lµ nh­ sau: t¹i nh÷ng ®iÓm mµ vÐct¬ ho¹t x¸c ®Þnh miÒn rµng buéc lµ phô thuéc tuyÕn tÝnh d­¬ng, chóng t«i chøng minh ®­îc bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh kiÓu Lipschitz, cßn t¹i nh÷ng ®iÓm mµ vÐct¬ ho¹t x¸c ®Þnh miÒn rµng buéc lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh d­¬ng nh­ng phô thuéc tuyÕn tÝnh, chóng t«i chØ ra c¸c vÝ dô cho thÊy bµi to¸n vÉn cã thÓ æn ®Þnh kiÓu Lipschitz, ®ång thêi giíi thiÖu mét ®iÒu kiÖn cÇn cho tÝnh æn ®Þnh kiÓu Lipschitz. Ngoµi ra, trong Ch­¬ng 3 cña luËn ¸n chóng t«i còng ®· thu ®­îc c¸c ­íc l­îng ®èi ®¹o hµm cña ¸nh x¹ nghiÖm cña bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trªn tËp låi ®a diÖn bÞ nhiÔu. 7.2. CÊu tróc luËn ¸n Ngoµi phÇn Më ®Çu, KÕt luËn, Danh môc c¸c c«ng tr×nh cña t¸c gi¶ cã liªn quan ®Õn luËn ¸n vµ Danh s¸ch tµi liÖu tham kh¶o, néi dung cña luËn ¸n gåm ba ch­¬ng. Ch­¬ng 1 tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ vµ c¸c kÕt qu¶ liªn quan ®Õn nãn ph¸p tuyÕn cña tËp nghÞch ¶nh qua ¸nh x¹ kh¶ vi. Môc 1.1 ®­îc dµnh ®Ó nh¾c l¹i c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n cña gi¶i tÝch biÕn ph©n cÇn dïng trong luËn ¸n nµy. Môc 1.2 cho thÊy mét sè qui t¾c tæng d¹ng ®¼ng thøc lµ nh÷ng hÖ qu¶ cña c¸c c«ng thøc tÝnh chÝnh x¸c nãn ph¸p tuyÕn cña tËp nghÞch ¶nh qua ¸nh 7 x¹ kh¶ vi. Môc 1.3 ®­îc dµnh ®Ó thiÕt lËp mét kÕt qu¶ vÒ mèi quan hÖ gi÷a c«ng thøc tÝnh chÝnh x¸c nãn ph¸p tuyÕn cña tËp nghÞch ¶nh vµ ®iÒu kiÖn d¹ng Karush-Kuhn-Tucker. Ch­¬ng 2 nghiªn cøu ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ cho d­íi vi ph©n FrÐchet, tÝnh ®¬n ®iÖu cña c¸c ¸nh x¹ vµ tÝnh låi cña c¸c hµm sè. Môc 2.1 ®­îc dµnh ®Ó tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ cña ch­¬ng nµy. Môc 2.2 ®­a ra mét ®Æc tr­ng cña kh«ng gian Asplund theo ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ cho d­íi vi ph©n FrÐchet. Sö dông ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ cho d­íi vi ph©n FrÐchet vµ c¸c quy t¾c tæng, Môc 2.3 thiÕt lËp mét sè kÕt qu¶ vÒ kh¶ n¨ng nhËn biÕt tÝnh ®¬n ®iÖu cña ¸nh x¹ qua ®èi ®¹o hµm vµ nhËn biÕt tÝnh låi cña hµm sè qua d­íi vi ph©n bËc hai. Ch­¬ng 3 nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh kiÓu Lipschitz cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n chøa tham sè trªn tËp låi ®a diÖn bÞ nhiÔu. Môc 3.1 ®­îc dµnh ®Ó ph¸t biÓu bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trªn tËp låi ®a diÖn bÞ nhiÔu. Môc 3.2 ®­îc dµnh ®Ó thiÕt lËp c¸c ­íc l­îng ®èi ®¹o hµm cña ¸nh x¹ nghiÖm cña bµi to¸n nµy. Môc 3.3 thu ®­îc c¸c kÕt qu¶ vÒ tÝnh æn ®Þnh kiÓu Lipschitz cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trªn tËp låi ®a diÖn bÞ nhiÔu. Ch­¬ng 1 Nãn ph¸p tuyÕn cña tËp nghÞch ¶nh qua ¸nh x¹ kh¶ vi Ch­¬ng nµy ®­îc dµnh ®Ó kh¶o s¸t mèi quan hÖ gi÷a c«ng thøc tÝnh nãn ph¸p tuyÕn cña tËp nghÞch ¶nh qua ¸nh x¹ kh¶ vi, quy t¾c tæng d¹ng ®¼ng thøc vµ ®iÒu kiÖn tèi ­u d¹ng Karush-Kuhn-Tucker. KÕt qu¶ chÝnh lµ §Þnh lý 1.3.4, nã lµ mét më réng cña kÕt qu¶ t­¬ng øng cña F. J. Gould vµ J. W. Tolle (1971) tõ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu lªn kh«ng gian Banach. 1.1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n Trong môc nµy, chóng ta nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm vµ ký hiÖu ®· ®­îc biÕt trong gi¶i tÝch biÕn ph©n. NÕu kh«ng gi¶i thÝch g× thªm, X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian Banach trªn tr­êng sè thùc, cã c¸c kh«ng gian ®èi ngÉu t«p« t­¬ng X ∗ vµ Y ∗ . Víi (x∗ , x) ∈ X ∗ × X , ®Æt hx∗ , xi := x∗ (x). T«p« sinh bëi chuÈn ®­îc ký hiÖu lµ τk·k , cßn t«p« yÕu∗ cña kh«ng gian X ∗ sÏ ®­îc ký
hiÖu σ X ∗ , X . ChuÈn trªn kh«ng gian tÝch lµ k(x, y)k := kxk + kyk víi mäi (x, y) ∈ X × Y. øng lµ 8 1.1.1 §Þnh nghÜa. Cho Ω lµ tËp con kh¸c rçng cña X. (i) Víi mçi ε ≥ 0, tËp hîp c¸c ε-ph¸p tuyÕn cña Ω t¹i x̄ ∈ Ω, ký hiÖu b Nε (x̄; Ω), lµ tËp con cña X ∗ ®­îc x¸c ®Þnh bëi  n o hx∗ , x − x̄i ∗ ∗ b Nε (x̄; Ω) := x ∈ X  lim sup ≤ε , kx − x̄k Ω x− →x̄ Ω bε (x̄; Ω) := ∅. ë ®©y x − → x̄ cã nghÜa lµ x → x̄ víi x ∈ Ω. NÕu x̄ 6∈ Ω, th× ®Æt N b (x̄; Ω) := N b0 (x̄; Ω) lµ mét nãn vµ nã ®­îc gäi lµ nãn Khi ε = 0, tËp hîp N ph¸p tuyÕn FrÐchet cña Ω t¹i x̄. (ii) Nãn ph¸p tuyÕn qua giíi h¹n cña Ω t¹i x̄ ∈ Ω, ký hiÖu N (x̄; Ω), lµ tËp con cña X ∗ ®­îc x¸c ®Þnh bëi bε (x; Ω), N (x̄; Ω) := Lim sup N x → x̄ ε↓0 “ Lim sup ” lµ giíi h¹n trªn PainlevÐ-Kuratowski theo d·y, nghÜa lµ bε (xk ; Ω) sao x ∈ N (x̄; Ω) khi vµ chØ khi tån t¹i εk ↓ 0, xk → x̄, vµ x∗k ∈ N k ∗ ∗
∗ w ∗ ∗ w ∗ ∗ ∗ cho xk −→ x . Ký hiÖu xk −→ x cã nghÜa lµ xk → x theo σ X ∗ , X . Qui ­íc N (x̄; Ω) := ∅ nÕu x̄ 6∈ Ω. ë ®©y ∗ 1.1.2 §Þnh nghÜa. Cho U lµ mét tËp con më cña X, f : U → Y vµ x̄ ∈ U. (i) Ta gäi f lµ kh¶ vi chÆt t¹i x̄ nÕu tån t¹i mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc ∇f (x̄) : X → Y sao cho  f (x) − f (u) − ∇f (x̄), x − u lim = 0. (0.1) x,u→x̄ kx − uk x6=u Trong tr­êng hîp nµy, ∇f (x̄) ®­îc gäi lµ ®¹o hµm chÆt cña f t¹i x̄. (ii) NÕu tån t¹i mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc ∇f (x̄) : X → Y sao cho (0.1) ®óng víi u = x̄, th× f ®­îc gäi lµ kh¶ vi t¹i x̄ vµ ¸nh x¹ ∇f (x̄) : X → Y ®­îc gäi lµ ®¹o hµm cña f t¹i x̄. (iii) Ta nãi f lµ kh¶ vi liªn tôc t¹i x̄ nÕu tån t¹i δ > 0 sao cho f kh¶ vi t¹i mäi x ∈ Bδ (x̄) vµ ¸nh x¹ ∇f : Bδ (x̄) → L(X; Y ), x 7→ ∇f (x) lµ liªn tôc t¹i x̄, ë ®©y Bδ (x̄) lµ h×nh cÇu ®ãng t©m x̄ b¸n kÝnh δ vµ L(X; Y ) lµ kh«ng gian c¸c ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ X vµo Y. (iv) Ta nãi f kh¶ vi (t­¬ng øng, kh¶ vi chÆt, kh¶ vi liªn tôc) trªn U nÕu nã kh¶ vi (t­¬ng øng, kh¶ vi chÆt, kh¶ vi liªn tôc) t¹i mäi ®iÓm thuéc U. x ∈ X , ¸nh x¹ ϕx : X ∗ → R, x∗ 7→ ϕx (x∗ ) := hx
∗ , xi lµ mét ∗ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn X ∗ , tøc lµ ϕx ∈ X ∗∗ := X ∗ . H¬n n÷a, Víi mçi 9 Φ : X → X ∗∗ , x 7→ Φ(x) := ϕx lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc vµ kΦ(x)k = kϕx k víi mäi x ∈ X. Ta gäi Φ lµ phÐp nhóng chÝnh t¾c X vµo X ∗∗ . B»ng c¸ch ®ång nhÊt x víi ϕx , chóng ta xem X nh­ lµ mét kh«ng gian con cña X ∗∗ vµ khi ®ã sÏ viÕt X ⊂ X ∗∗ . NÕu Φ(X) = X ∗∗ , th× X ®­îc gäi lµ mét ¸nh x¹ kh«ng gian ph¶n x¹. (i) Ta nãi (X, k · k) lµ kh«ng gian cã chuÈn tr¬n nÕu hµm x 7→ kxk lµ kh¶ vi t¹i mäi ®iÓm kh¸c 0. 1.1.4 §Þnh nghÜa. (ii) Kh«ng gian (X, k · k) ®­îc gäi lµ cã chuÈn t­¬ng ®­¬ng tr¬n nÕu tån t¹i mét chuÈn k · k1 trªn X sao cho k · k1 t­¬ng ®­¬ng víi k · k vµ (X, k · k1 ) lµ mét kh«ng gian cã chuÈn tr¬n. (iii) Kh«ng gian X ®­îc gäi lµ Asplund nÕu mäi hµm låi liªn tôc ϕ : U → R x¸c ®Þnh trªn mét tËp låi më U ⊂ X lµ kh¶ vi t¹i mäi ®iÓm thuéc mét tËp con trï mËt cña U. 1.1.5 Chó ý. Kh«ng gian Banach con ®ãng kh¶ ly cña X lµ Asplund nÕu vµ chØ nÕu mäi kh«ng gian X cã ®èi ngÉu kh¶ ly. Líp kh«ng gian Asplund chøa c¸c kh«ng gian cã chuÈn t­¬ng ®­¬ng tr¬n, ®Æc biÖt lµ kh«ng gian Banach ph¶n x¹. R. Haydon (1990) ®· chØ ra mét kh«ng gian Asplund mµ mäi chuÈn t­¬ng ®­¬ng ®Òu kh«ng tr¬n. C¸c kh«ng gian C[a, b], L1 [a, b] vµ L∞ [a, b] kh«ng lµ Asplund vµ c0 lµ Asplund nh­ng kh«ng ph¶n x¹. Ω lµ mét tËp con cña X vµ x̄ ∈ Ω. Nãn tiÕp tuyÕn Bouligand-Severi cña Ω t¹i x̄, ký hiÖu T (x̄; Ω), lµ tËp con cña X ®­îc x¸c ®Þnh  bëi T (x̄; Ω) := v ∈ X | ∃ tk ↓ 0, ∃ vk ∈ X : vk → v, x̄ + tk vk ∈ Ω ∀k .  − b 1.1.7 Chó ý. NÕu X lµ h÷u h¹n chiÒu, th× N (x̄; Ω) = T (x̄; Ω) , ë ®©y  K − := x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , vi ≤ 0 ∀v ∈ K víi mäi K ⊂ X. Cho 1.1.6 §Þnh nghÜa. F : X ⇒ Y, miÒn h÷u hiÖu vµ ®å thÞ cña F t­¬ng øng lµ   DomF := x ∈ X | F (x) 6= ∅ vµ gphF := (x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x) . Víi ¸nh x¹ ®a trÞ 1.1.8 §Þnh nghÜa. Cho F : X ⇒ Y vµ (x̄, ȳ) ∈ X × Y . ∗ (i) §èi ®¹o hµm ph¸p tuyÕn cña F t¹i (x̄, ȳ) lµ ¸nh x¹ DN F (x̄, ȳ) : Y ∗ ⇒ X ∗ ®­îc x¸c ®Þnh bëi 
∗ DN F (x̄, ȳ)(y ∗ ) := x∗ ∈ X ∗ | (x∗ , −y ∗ ) ∈ N (x̄, ȳ); gph F . b ∗ F (x̄, ȳ) : Y ∗ ⇒ X ∗ (ii) §èi ®¹o hµm FrÐchet cña F t¹i (x̄, ȳ) lµ ¸nh x¹ D 10 ®­îc x¸c ®Þnh bëi 
b ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) := x∗ ∈ X ∗ | (x∗ , −y ∗ ) ∈ N b (x̄, ȳ); gph F . D ∗ F (x̄, ȳ) : Y ∗ ⇒ X ∗ (iii) §èi ®¹o hµm hçn hîp cña F t¹i (x̄, ȳ) lµ ¸nh x¹ DM ®­îc x¸c ®Þnh bëi ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) DM 1.1.9 Chó ý. n w∗ := x∗ ∈ X ∗ | ∃εk ↓ 0, (xk , yk ) → (x̄, ȳ), x∗k −→ x∗ , o
∗ ∗ ∗ ∗ k·k b yk −→ y : (xk , −yk ) ∈ Nεk (xk , yk ); gph F , ∀k . NÕu mÖnh ®Ò nµo ®óng cho c¶ ∗ ∗ F (x̄, ȳ), th× F (x̄, ȳ) vµ DN DM D∗ F (x̄, ȳ) chung cho c¶ hai lo¹i ®èi ®¹o hµm nµy. NÕu F (x̄) = {ȳ}, th× ta bá qua ȳ trong ký hiÖu cña ®èi ®¹o hµm ch¼ng
∗ ∗ F (x̄, ȳ) . F (x̄) thay cho DN h¹n, ký hiÖu DN trong ph¸t biÓu chóng ta sÏ dïng 1.1.10 §Þnh nghÜa. Cho ϕ : X → R := R ∪ {±∞}. (i) MiÒn h÷u hiÖu vµ trªn ®å thÞ cña ϕ t­¬ng øng lµ   dom ϕ := x ∈ X | ϕ(x) < ∞ vµ epi ϕ := (x, α) ∈ X × R | α ≥ ϕ(x) . (ii) Ta nãi ϕ lµ chÝnh th­êng nÕu dom ϕ 6= ∅ vµ ϕ(x) > −∞ víi mäi x ∈ X. (iii) Hµm ϕ ®­îc gäi lµ nöa liªn tôc d­íi t¹i x nÕu lim inf ϕ(u) ≥ ϕ(x). u→x (iv) NÕu tån t¹i δ > 0 sao cho ϕ lµ nöa liªn tôc d­íi t¹i mäi u ∈ Bδ (x) th× ta gäi ϕ lµ nöa liªn tôc d­íi quanh x. (v) NÕu ϕ lµ nöa liªn tôc d­íi t¹i mäi x th× ϕ ®­îc gäi lµ nöa liªn tôc d­íi. x̄ ∈ X tháa m·n ϕ(x̄) ∈ R. b (i) D­íi vi ph©n FrÐchet cña ϕ t¹i x̄ lµ tËp ∂ϕ(x̄) ⊂ X ∗ ®­îc x¸c ®Þnh bëi 
b b (x̄, ϕ(x̄)); epiϕ . ∂ϕ(x̄) := x∗ ∈ X ∗ | (x∗ , −1) ∈ N 1.1.12 §Þnh nghÜa. Cho ∗ (ii) D­íi vi ph©n qua giíi h¹n cña ϕ t¹i x̄ lµ tËp ∂ϕ(x̄) ⊂ X ®­îc x¸c
®Þnh bëi ∂ϕ(x̄) := x∗ ∈ X ∗ | (x∗ , −1) ∈ N (x̄, ϕ(x̄)); epiϕ . Qui ­íc b ∂ϕ(x̄) = ∂ϕ(x̄) := ∅ nÕu |ϕ(x̄)| = ∞. 1.2. Nãn ph¸p tuyÕn cña tËp nghÞch ¶nh vµ quy t¾c tæng g : X → Y vµ Θ ⊂ Y víi ȳ = g(x̄) ∈ Θ. Gi¶ sö r»ng g kh¶ vi chÆt t¹i x̄ vµ ∇g(x̄) : X → Y 1.2.1 §Þnh lý (B. S. Mordukhovich vµ B. Wang, 2004). Cho lµ toµn ¸nh. Khi ®ã, ta cã

b x̄; g −1 (Θ) = ∇g(x̄)∗ N b (ȳ; Θ). N x̄; g −1 (Θ) = ∇g(x̄)∗ N (ȳ; Θ) vµ N 11 Trong luËn ¸n, b»ng c¸ch sö dông §Þnh lý 1.2.1, chóng t«i ®· giíi thiÖu mét phÐp chøng minh míi cho c¸c quy t¾c tæng ®· biÕt sau ®©y. Cho f : X → Y lµ mét ¸nh x¹ kh¶ vi chÆt t¹i x̄ ∈ X vµ F : X ⇒ Y lµ mét ¸nh x¹ ®a trÞ tháa m·n ȳ − f (x̄) ∈ F (x̄), ë ®©y ȳ ∈ Y. Khi ®ã, víi mäi y ∗ ∈ Y ∗ , ta cã 1.2.2 HÖ qu¶.
∗ ∗ DN (f + F )(x̄, ȳ)(y ∗ ) = ∇f (x̄)∗ y ∗ + DN F x̄, ȳ − f (x̄) (y ∗ ) vµ
b ∗ (f + F )(x̄, ȳ)(y ∗ ) = ∇f (x̄)∗ y ∗ + D b ∗ F x̄, ȳ − f (x̄) (y ∗ ). D Cho ψ : X → R lµ mét hµm h÷u h¹n t¹i x̄ ∈ X vµ ϕ : X → R lµ mét hµm kh¶ vi chÆt t¹i x̄. Khi ®ã, ta cã 1.2.4 HÖ qu¶. b + ψ)(x̄) = ∇ϕ(x̄) + ∂ψ(x̄). b ∂(ϕ + ψ)(x̄) = ∇ϕ(x̄) + ∂ψ(x̄) vµ ∂(ϕ 1.3. Nãn ph¸p tuyÕn FrÐchet cña tËp nghÞch ¶nh g : X → Y lµ mét ¸nh x¹ kh¶ vi t¹i x̄ ∈ Ω, ë ®©y Ω := g −1 (K) vµ K ⊂ Y. XÐt bµi to¸n tèi ­u (P ): ( f (x) → inf, x ∈ Ω, Gi¶ sö trong ®ã f : X → R lµ mét hµm sè kh¶ vi t¹i x̄; f vµ Ω t­¬ng øng ®­îc gäi lµ hµm môc tiªu vµ miÒn rµng buéc cña (P ). §iÓm x̄ ®­îc gäi lµ mét nghiÖm ®Þa ph­¬ng cña (P ) nÕu tån t¹i δ > 0 sao cho f (x) ≥ f (x̄) víi mäi x ∈ Ω ∩ Bδ (x̄). Y := Rm
, K := {0Rp } × Rm−p (m, p ∈ N, p ≤ m) vµ − g(x) = g1 (x), g2 (x), ..., gm (x) , bµi to¸n (P ) ®­îc gäi lµ mét quy ho¹ch phi Trong tr­êng hîp, tuyÕn (nonlinear program). NÕu miÒn rµng buéc tháa m·n mét ®iÒu kiÖn nhÊt ®Þnh (chuÈn hãa rµng buéc) vµ x̄ lµ mét nghiÖm ®Þa ph­¬ng cña (P ), th× ta cã ®iÒu kiÖn Karush-Kuhn-Tucker: tån t¹i λ = (λ1 , ..., λm ) ∈ Rm sao cho  m ∇f (x̄) + P λi ∇gi (x̄) = 0, λj ≥ 0, ∀j ∈ I(x̄), i=1  λi gi (x̄) = 0, ∀i = 1, 2, ..., m. Nh÷ng kÕt qu¶ kiÓu nµy th­êng ®­îc gäi lµ c¸c quy t¾c nh©n tö Lagrange. T×m c¸c chuÈn hãa rµng buéc lµ chñ ®Ò trung t©m cña lý thuyÕt vÒ c¸c ®iÒu kiÖn cÇn 12 cùc trÞ cña quy ho¹ch phi tuyÕn. §Õn nay, cã nhiÒu chuÈn hãa rµng buéc ®· ®­îc giíi thiÖu, trong ®ã chuÈn hãa rµng buéc ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ chuÈn hãa rµng buéc Mangasarian-Fromovitz lµ hai chuÈn hãa rµng buéc ®ãng vai trß ®Æc biÖt quan träng trong lý thuyÕt quy ho¹ch phi tuyÕn vµ øng dông. F. J. Gould vµ J. W. Tolle (1971) ®· chøng minh ®­îc r»ng nÕu dimX  −
< ∞ th× chuÈn ∗ hãa rµng buéc Guignard T (x̄; Ω) = ∇g(x̄) N g(x̄); K lµ chuÈn hãa rµng buéc yÕu nhÊt. §èi víi quy ho¹ch phi tuyÕn, ta cã
 b g(x̄); K = y ∗ ∈ Rm | λj ≥ 0, ∀j ∈ I(x̄), λi gi (x̄) = 0, ∀i = 1, 2, ..., m , N  víi I(x̄) := j ∈ {p + 1, ..., m} | gj (x̄) = 0 vµ y ∗ := (λ1 , ..., λm ). V× thÕ, kh¸i niÖm sau ®©y cã thÓ xem lµ mét më réng cña ®iÒu kiÖn Karush-Kuhn-Tucker. 1.3.1 §Þnh nghÜa. t¹i Ta nãi ®iÒu kiÖn d¹ng Karush-Kuhn-Tucker cho (P ) lµ ®óng
b g(x̄); K sao cho ∇f (x̄) + ∇g(x̄)∗ y ∗ = 0. x̄ nÕu tån t¹i y ∗ ∈ N NÕu dimX < ∞ th× chuÈn hãa rµng buéc Guignard trïng víi ®iÒu kiÖn

b b g(x̄); K . Do ®ã, kÕt qu¶ sau ®©y cã thÓ ®­îc xem lµ N x̄; Ω = ∇g(x̄)∗ N mét më réng cña kÕt qu¶ ®· ®Ò cËp ë trªn cña Gould vµ Tolle. Cho g : X → Y lµ mét ¸nh x¹ kh¶ vi t¹i x̄ ∈ Ω := g −1 (K) víi K ⊂ Y lµ ®ãng. Khi ®ã, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó 1.3.4 §Þnh lý.

b x̄; Ω = ∇g(x̄)∗ N b g(x̄); K N lµ víi mäi hµm môc tiªu f kh¶ vi t¹i x̄, ®iÒu kiÖn d¹ng Karush-Kuhn-Tucker cho (P ) lµ ®óng t¹i x̄ nÕu x̄ lµ mét nghiÖm ®Þa ph­¬ng cña (P ). m−p XÐt tr­êng hîp Y := Rm , K := {0Rp } × R− vµ g : X → Rm kh¶ vi t¹i x̄ ∈ Ω := g −1 (K). Gi¶ sö r»ng chuÈn hãa rµng buéc Guignard ®­îc tháa m·n t¹i x̄. Khi ®ã, ta cã 1.3.5 HÖ qu¶.

b x̄; Ω = ∇g(x̄)∗ N b g(x̄); K . N X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian Banach, g : X → Y lµ kh¶ vi liªn tôc, K ⊂ Y lµ låi ®ãng vµ x̄ ∈ Ω := g −1 (K). Ta nãi r»ng chuÈn hãa  rµng buéc Robinson lµ ®óng t¹i x̄ nÕu 0 ∈ int g(x̄) + ∇g(x̄)(X) − K . 1.3.6 §Þnh nghÜa. Cho Cho X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian Banach, g : X → Y lµ mét ¸nh x¹ kh¶ vi liªn tôc, K ⊂ Y lµ mét tËp låi ®ãng vµ x̄ ∈ Ω := g −1 (K). Gi¶ sö r»ng chuÈn hãa rµng buéc Robinson lµ ®óng t¹i x̄. Khi ®ã, ta cã 1.3.8 HÖ qu¶.

b x̄; Ω = ∇g(x̄)∗ N b g(x̄); K . N 13 KÕt luËn Ch­¬ng 1 C¸c kÕt qu¶ cña ch­¬ng nµy bao gåm: - PhÐp chøng minh míi cho mét sè quy t¾c tæng d¹ng ®¼ng thøc (HÖ qu¶ 1.2.2 vµ HÖ qu¶ 1.2.4); - Mét kÕt qu¶ vÒ mèi quan hÖ gi÷a c«ng thøc tÝnh nãn ph¸p tuyÕn cña tËp nghÞch ¶nh vµ ®iÒu kiÖn d¹ng Karush-Kuhn-Tucker (§Þnh lý 1.3.4). C¸c kÕt qu¶ cña ch­¬ng nµy lµ ch­a tõng ®­îc c«ng bè tr­íc ®©y. Ch­¬ng 2 §Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ cho d­íi vi ph©n FrÐchet vµ øng dông Ch­¬ng nµy ®­îc dµnh ®Ó nghiªn cøu ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ cho d­íi vi ph©n FrÐchet, tÝnh ®¬n ®iÖu cña c¸c ¸nh x¹ liªn tôc vµ tÝnh låi cña c¸c hµm sè kh¶ vi liªn tôc. 2.1. KiÕn thøc chuÈn bÞ Môc nµy nh¾c l¹i mét sè kÕt qu¶ trong gi¶i tÝch biÕn ph©n cÇn dïng cho c¸c phÐp chøng minh ë phÇn sau. Chóng bao gåm nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland, ®Þnh lý Moreau-Rockafellar, mét t¾c tæng mê vµ mét qui t¾c hiÖu. 2.2. §Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ cho d­íi vi ph©n FrÐchet 2.2.1 §Þnh lý (B. S. Mordukhovich vµ Y. Shao, 1996). Cho X lµ mét kh«ng gian Asplund vµ ϕ : X → R lµ mét hµm chÝnh th­êng nöa liªn tôc d­íi, h÷u h¹n t¹i hai ®iÓm a 6= b vµ c ∈ [a, b) lµ mét ®iÓm tháa m·n ψ(c) = min ψ(x), ë ®©y x∈[a,b] ψ(x) := ϕ(x) + sao cho ϕ(b) − ϕ(a) ϕ b kx − bk. Khi ®ã, tån t¹i xk → − c vµ x∗k ∈ ∂ϕ(x k) kb − ak ϕ(b) − ϕ(a) kb − ck, k→∞ kb − ak lim inf hx∗k , b − ai ≥ ϕ(b) − ϕ(a), lim inf hx∗k , b − xk i ≥ k→∞ (2.1) (2.2) 14 h¬n thÕ, nÕu c 6= a th× lim hx∗k , b − ai = ϕ(b) − ϕ(a). k→∞ (2.3) X lµ mét kh«ng gian Banach. Ta nãi r»ng ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ cho d­íi vi ph©n FrÐchet lµ ®óng trong X nÕu víi mäi hµm ϕ ϕ : X → R tháa m·n c¸c gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 2.2.1, tån t¹i xk → − c vµ b x∗k ∈ ∂ϕ(x k ) sao cho (2.1) − (2.3) ®óng. 2.2.2 Chó ý. Cho KÕt qu¶ chÝnh cña môc nµy ®­îc ph¸t biÓu nh­ sau: §Ó mét kh«ng gian Banach X lµ Asplund, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ cho d­íi vi ph©n FrÐchet lµ ®óng trong X . 2.2.7 §Þnh lý. 2.3. §Æc tr­ng tÝnh ®¬n ®iÖu cña ¸nh x¹ qua ®èi ®¹o hµm Tr­íc hÕt, chóng ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm ¸nh x¹ ®¬n ®iÖu: T : X ⇒ X ∗ lµ ®¬n ®iÖu nÕu hx∗1 − x∗2 , x1 − x2 i ≥ 0 víi mäi (xi , x∗i ) ∈ gphT, i = 1, 2. T ®­îc gäi lµ ®¬n ®iÖu cùc ®¹i nÕu T lµ ®¬n ®iÖu vµ gphT kh«ng lµ tËp con thùc sù cña ®å thÞ cña mét ¸nh x¹ ®¬n ®iÖu tõ X vµo X ∗ . Ta nãi ¸nh x¹ T : U ⇒ X ∗ lµ ®¬n ®iÖu nÕu vµ chØ nÕu Te : X ⇒ X ∗ lµ ®¬n ®iÖu, ë ®©y U ⊂ X , Te (x) := T (x) khi x ∈ U vµ Te (x) := ∅ khi x ∈ X\U. 2.3.1 §Þnh nghÜa. Ta nãi r»ng ¸nh x¹ KÕt qu¶ sau ®©y cho thÊy r»ng, d­íi mét sè gi¶ thiÕt, tÝnh nöa x¸c ®Þnh d­¬ng cña ®èi ®¹o hµm lµ mét ®Æc tr­ng cña tÝnh ®¬n ®iÖu. Cho X lµ mét kh«ng gian Asplund vµ f : X → X ∗ lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc. XÐt c¸c tÝnh chÊt: 2.3.5 §Þnh lý. (a) ∗ hu∗ , ui ≥ 0 víi mäi x ∈ X , u ∈ X ⊂ X ∗∗ vµ u∗ ∈ DN f (x)(u); ∗ hu∗ , ui ≥ 0 víi mäi x ∈ X , u ∈ X ⊂ X ∗∗ vµ u∗ ∈ DM f (x)(u); b ∗ f (x)(u); (c) hu∗ , ui ≥ 0 víi mäi x ∈ X , u ∈ X ⊂ X ∗∗ vµ u∗ ∈ D (b) (d) f lµ ®¬n ®iÖu. Khi ®ã ta cã (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (d); nÕu X lµ ph¶n x¹ th× (b) ⇔ (c); nÕu f lµ Lipschitz ®Þa ph­¬ng hoÆc X lµ Hilbert th× (c) ⇔ (d); nÕu X lµ Euclid h÷u h¹n chiÒu th× (a) ⇔ (b) ⇔ (c) ⇔ (d). f : R → R cho bëi f (x)
= 0 nÕu x ∈ Q b (x, f (x)); gphf = {0} × R vµ vµ f (x) = 1 nÕu x ∈ R\Q. Ta cã N b ∗ f (x)(u) = {0} víi mäi x, u ∈ R. Tõ ®ã suy ra (c) ®óng. MÆt kh¸c, D 2.3.7 VÝ dô. XÐt ¸nh x¹ 15 
f (x1 ) − f (x2 ), x1 − x2 = x2 − x1 < 0, víi bÊt kú (x1 , x2 ) ∈ Q × R\Q , x1 > x2 . Do ®ã, f lµ kh«ng ®¬n ®iÖu. V× vËy, trong tr­êng hîp nµy, (c) 6⇒ (d). Lý do lµ f kh«ng liªn tôc. Trong tr­êng hîp ¸nh x¹ kh¶ vi, §Þnh lý 2.3.5 cho phÐp chóng ta thu l¹i kÕt qu¶ cæ ®iÓn sau ®©y: Cho f : Rn → Rn lµ mét ¸nh x¹ kh¶ vi. Khi ®ã, f lµ ®¬n ®iÖu nÕu vµ chØ nÕu mäi ma trËn Jacobi Jf (x) lµ nöa x¸c ®Þnh d­¬ng, tøc lµ uT Jf (x)u ≥ 0 víi mäi x, u ∈ Rn . 2.3.8 HÖ qu¶. Kh¸i niÖm ¸nh x¹ ®¬n ®iÖu m¹nh trong c¸c kh«ng gian Hilbert cã thÓ ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ sau: T : X ⇒ X lµ mét ¸nh x¹ ®a trÞ, ë ®©y X lµ mét kh«ng gian Hilbert. Ta nãi r»ng T lµ ®¬n ®iÖu m¹nh nÕu tån t¹i σ > 0 sao cho T − σI lµ ®¬n ®iÖu, ë ®©y I lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt trªn X . 2.3.10 §Þnh nghÜa. Cho Do ®ã, nhê §Þnh lý 2.3.3 vµ HÖ qu¶ 1.2.2, ta cã: Cho X lµ mét kh«ng gian Hilbert vµ f : X → X lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc. Khi ®ã, c¸c tÝnh chÊt sau lµ t­¬ng ®­¬ng: 2.3.11 HÖ qu¶. ∗ > 0 ®Ó hu∗ , ui ≥ σkuk2 víi mäi x, u ∈ X vµ u∗ ∈ DM f (x)(u); b ∗ f (x)(u); (j) Tån t¹i σ > 0 ®Ó hu∗ , ui ≥ σkuk2 víi mäi x, u ∈ X vµ u∗ ∈ D (i) Tån t¹i σ (k) f lµ ®¬n ®iÖu m¹nh. TiÕp theo, chóng ta cã mét sè ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét ¸nh x¹ liªn tôc lµ ®¬n ®iÖu trªn mét tËp con låi ®ãng. Cho C lµ mét tËp con låi ®ãng kh¸c rçng cña mét kh«ng gian Asplund X vµ f : X → X ∗ . Khi ®ã, f lµ ®¬n ®iÖu trªn C nÕu mét trong hai ®iÒu kiÖn sau ®­îc tháa m·n: 2.3.17 §Þnh lý. (m) f lµ Lipschitz ®Þa ph­¬ng t¹i mäi x ∈ C vµ ∗ hz, ui ≥ 0 ∀u ∈ C − C ⊂ X ∗∗ , ∀z ∈ DM f (x)(u), ∀x ∈ C; (n) int C 6= ∅, f liªn tôc trªn C vµ, víi mäi x ∈ intC , b ∗ f (x)(u). hz, ui ≥ 0 ∀u ∈ intC − intC ⊂ X ∗∗ , ∀z ∈ D (Mordukhovich, 1992). Cho ϕ : X → R lµ mét hµm h÷u h¹n t¹i x̄ ∈ X vµ x̄ ∈ ∂ϕ(x̄). D­íi vi ph©n bËc hai ph¸p tuyÕn cña hµm sè ϕ 2.3.19 §Þnh nghÜa. ∗ 16 t¹i 2 ϕ(x̄, x̄∗ ) : X ∗∗ ⇒ X ∗ cho bëi (x̄, x̄∗ ) lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ∂N
2 ∗ ∂N ϕ(x̄, x̄∗ )(u) := DN ∂ϕ (x̄, x̄∗ )(u) ∀u ∈ X ∗∗ . D­íi vi ph©n bËc hai hçn hîp cña hµm sè ϕ t¹i (x̄, x̄∗ ) lµ ¸nh x¹ ®a trÞ 2 ϕ(x̄, x̄∗ ) : X ∗∗ ⇒ X ∗ cho bëi ∂M
2 ∗ ∂M ϕ(x̄, x̄∗ )(u) := DM ∂ϕ (x̄, x̄∗ )(u) ∀u ∈ X ∗∗ . Víi mçi b b2 ϕ(x̄, x̄∗ ) : X ∗∗ ⇒ X ∗ cho bëi x̄∗ ∈ ∂ϕ(x̄) , ¸nh x¹ ®a trÞ ∂
b (x̄, ȳ)(u) ∀u ∈ X ∗∗ , b ∗ ∂ϕ ∂b2 ϕ(x̄, x̄∗ )(u) := D ®­îc gäi lµ d­íi vi ph©n bËc hai FrÐchet cña hµm sè Quy ­íc r»ng nÕu ϕ t¹i (x̄, x̄∗ ). x̄∗ 6∈ ∂ϕ(x̄) th× 2 2 ∂N ϕ(x̄, x̄∗ )(u) := ∅ vµ ∂M ϕ(x̄, x̄∗ )(u) := ∅, nÕu b b2 ϕ(x̄, x̄∗ )(u) := ∅ víi mäi u ∈ X ∗∗ . x̄∗ 6∈ ∂ϕ(x̄) th× ∂ 2 2 2 ∂ϕ(x̄) = {x̄∗ }, th× viÕt ∂N ϕ(x̄) thay cho ∂N ϕ(x̄, x̄∗ ) vµ ∂M ϕ(x̄) thay 2 ∗ 2 2 ∗ b ϕ(x̄) thay cho ∂b ϕ(x̄, x̄ ) nÕu ∂ϕ(x̄) b cho ∂M ϕ(x̄, x̄ ). Ta ký hiÖu ∂ = {x̄∗ }. NÕu Cho ϕ : X → R lµ hµm sè kh¶ vi liªn tôc, ë ®©y X lµ mét kh«ng gian Asplund. XÐt c¸c tÝnh chÊt: 2.3.21 §Þnh lý. (p) Víi mçi 2 x ∈ X , hu∗ , ui ≥ 0 víi mäi u ∈ X ⊂ X ∗∗ vµ u∗ ∈ ∂N ϕ(x)(u). 2 x ∈ X , hu∗ , ui ≥ 0 víi mäi u ∈ X ⊂ X ∗∗ vµ u∗ ∈ ∂M ϕ(x)(u). b2 ϕ(x)(u). (r) Víi mçi x ∈ X , hu∗ , ui ≥ 0 víi mäi u ∈ X ⊂ X ∗∗ vµ u∗ ∈ ∂ (q) Víi mçi (s) ϕ lµ låi. Khi ®ã ta cã (p) ⇒ (q) ⇒ (r) ⇒ (s); nÕu X lµ ph¶n x¹ th× (q) ⇔ (r); nÕu ∇ϕ lµ Lipschitz ®Þa ph­¬ng hoÆc X lµ Hilbert th× (r) ⇔ (s) vµ nÕu X lµ Euclid h÷u h¹n chiÒu th× (p) ⇔ (q) ⇔ (r) ⇔ (s). Tõ ®Þnh lý trªn ta suy ra kÕt qu¶ cæ ®iÓn sau ®©y vÒ ®Æc tr­ng bËc hai cña tÝnh låi cña hµm sè: Cho ϕ : Rn → R lµ hµm kh¶ vi hai lÇn. Khi ®ã, ϕ lµ låi nÕu vµ chØ nÕu, víi mçi x ∈ Rn , ma trËn Hesse Hϕ (x) lµ nöa x¸c ®Þnh d­¬ng. 2.3.23 HÖ qu¶. 17 KÕt luËn Ch­¬ng 2 C¸c kÕt qu¶ chÝnh cña ch­¬ng nµy bao gåm: - Mét ®Æc tr­ng cña kh«ng gian Asplund theo ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ (§Þnh lý 2.2.7); - Mét sè ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®iÒu kiÖn ®ñ theo ®èi ®¹o hµm ®Ó mét ¸nh x¹ liªn tôc lµ ®¬n ®iÖu (§Þnh lý 2.3.5 vµ §Þnh lý 2.3.17); - Mét sè ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®iÒu kiÖn ®ñ theo d­íi vi ph©n bËc hai ®Ó mét hµm sè kh¶ vi liªn tôc lµ låi (§Þnh lý 2.3.21). Ch­¬ng nµy ®­îc viÕt dùa trªn c¸c bµi b¸o [1] vµ [3]. Ch­¬ng 3 TÝnh æn ®Þnh kiÓu Lipschitz cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trªn tËp låi ®a diÖn Ch­¬ng nµy ®­îc dµnh ®Ó nghiªn cøu tÝnh chÊt kiÓu Lipschitz cña ¸nh x¹ nghiÖm cña c¸c bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trªn tËp låi ®a diÖn bÞ nhiÔu. 3.1. Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trªn tËp låi ®a diÖn Trong ch­¬ng nµy, nÕu kh«ng gi¶i thÝch thªm, X lµ mét kh«ng gian Banach ph¶n x¹, T := 1, 2, ..., m (m ≥ 1) vµ a∗i ∈ X ∗ | i ∈ T lµ mét hä c¸c phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn X .   Mét tËp con cña X ®­îc gäi lµ låi ®a diÖn nÕu nã biÓu diÔn ®­îc d­íi d¹ng giao h÷u h¹n cña c¸c nöa kh«ng gian con ®ãng cña X . Víi mçi b = (b1 , b2 , ..., bm ) ∈ Rm , ®Æt  Θ(b) := x ∈ X | ha∗i , xi ≤ bi , ∀i ∈ T . F : K → X ∗ lµ ¸nh x¹ tõ mét tËp låi ®ãng kh¸c rçng K cña kh«ng gian Banach X vµo kh«ng gian ®èi ngÉu X ∗ . Bµi to¸n t×m x ∈ K sao cho  F (x), u − x ≥ 0 ∀u ∈ K, Cho ®­îc gäi lµ bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n, ký hiÖu VI(K, F ). Ta gäi F lµ 18  K lµ miÒn rµng buéc. Mçi x ∈ K tháa m·n F (x), u − x ≥ 0 víi mäi u ∈ K ®­îc gäi lµ mét nghiÖm cña VI(K, F ). tr­êng vÐct¬ vµ K lµ mét tËp låi ®a diÖn, th× VI(K, F ) ®­îc gäi lµ bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trªn tËp låi ®a diÖn. NÕu ¸nh x¹ F lµ affine (®¬n ®iÖu, ®¬n ®iÖu m¹nh,...), th× t­¬ng øng ta gäi VI(K, F ) lµ bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n affine (®¬n ®iÖu, ®¬n ®iÖu m¹nh,...). Trong tr­êng hîp X = Rn vµ K = Rn +, n VI(K, F ) t­¬ng ®­¬ng víi bµi to¸n bï: t×m x ∈ R sao cho 0 ≤ F (x) ⊥ x ≥ 0. NÕu f : Z × X → X ∗ , b ∈ Rm vµ p ∈ Z , víi Z lµ mét kh«ng gian Banach. Bµi to¸n t×m x ∈ Θ(b) sao cho Cho hf (p, x), u − xi ≥ 0 víi mäi u ∈ Θ(b), ®­îc gäi lµ bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n chøa tham sè trªn tËp låi ®a diÖn
bÞ nhiÔu, ký hiÖu VI f (p, ·); Θ(b) , ë ®©y x lµ biÕn sè vµ p, b lµ c¸c tham sè. Bµi to¸n trªn t­¬ng ®­¬ng víi bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh suy réng sau:
0 ∈ f (p, x) + N x; Θ(b) ,
N x; Θ(b)
lµ  nãn ph¸p tuyÕn cña tËp Θ(b) t¹i x theo nghÜa cña gi¶i tÝch låi: N x; Θ(b) := x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , u−xi ≤ 0, ∀u ∈ Θ(b) nÕu x ∈ Θ(b)
vµ N x; Θ(b) := ∅ nÕu x ∈ X\Θ(b). Víi mçi (p, b) ∈ Z × Rm , ®Æt n
o S(p, b) := x ∈ X | 0 ∈ f (p, x) + N x; Θ(b) . trong ®ã S : Z
× Rm ⇒ X , (p, b) 7→ S(p, b), lµ ¸nh x¹ nghiÖm cña VI f (p, ·); Θ(b) . Ta gäi 3.1.1 §Þnh nghÜa. (J.-P. Aubin, 1984). Cho X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian F : X ⇒ Y lµ kiÓu Lipschitz (Lipschitz-like) quanh (x̄, ȳ) ∈ gphF nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i ` > 0 vµ δ > 0 sao cho F (u) ∩ Bδ (ȳ) ⊂ F (x) + `ku − xkBY víi mäi u, x ∈ Bδ (x̄). Banach. Ta nãi ¸nh x¹ {vi }m i=1 gåm c¸c phÇn tö cña mét kh«ng gian vÐct¬ thùc ®­îc gäi lµ m P ®éc lËp tuyÕn tÝnh d­¬ng nÕu nã tháa m·n ®iÒu kiÖn λi vi = 0 vµ λi ≥ 0, HÖ i=1 i = 1, 2, ..., m, khi vµ chØ khi λi = 0 víi mäi i = 1, 2, ..., m. TËp chØ sè ho¹t t­¬ng øng víi (x, b) ∈ gphΘ ®­îc x¸c ®Þnh bëi I(x, b) := {i ∈ T | ha∗i , xi = bi }, ë ®©y bi lµ täa ®é thø i cña b ∈ Rm . Víi ∅ = 6 I ⊂ T , ký hiÖu bI lµ vÐct¬ cã c¸c thµnh phÇn täa ®é bi ®­îc s¾p xÕp theo sù t¨ng dÇn cña i ∈ I , vµ I¯ := T \I .