Tài liệu Tóm tắt luận án tiến sĩ toán học độ trơn, tính giải tích, tính chính quy gevrey của nghiệm của phương trình nửa tuyến tính elliptic suy biến

Më ®Çu Tõ buæi s¬ khai cña lý thuyÕt ph­¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng, ng­êi ta ®· quan t©m tíi tÝnh chÊt ®Þnh tÝnh cña nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh hay hÖ ph­¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng, trong ®ã ®é tr¬n vµ tÝnh gi¶i tÝch ®­îc nhiÒu nhµ to¸n häc quan t©m ®Æc biÖt. §é tr¬n cña nghiÖm ®­îc m« t¶ trong c¸c líp to¸n tö hypoelliptic. Lý thuyÕt c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh hypoelliptic ®­îc b¾t ®Çu trong nh÷ng c«ng tr×nh cña H. Weyl [20], L. Schwartz [14], L. Hörmander [9]. Ng­êi ta ®· thiÕt lËp ®­îc ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó to¸n tö vi ph©n víi hÖ sè h»ng phøc t¹p nÕu to¸n tö P (D) lµ hypoelliptic, nh­ng vÊn ®Ò trë nªn P (x, D) cã hÖ sè biÕn thiªn. HiÖn nay, míi chØ cã c¸c ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh tÝnh hypoelliptic cña mét sè c¸c líp to¸n tö ®Æc biÖt, ch¼ng h¹n nh­ líp to¸n tö víi lùc kh«ng ®æi, lùc biÕn thiªn chËm, to¸n tö lo¹i chÝnh trong c¸c c«ng tr×nh cña Yu. V. Egorov [2], L. Hörmander [8]. Mét trong nh÷ng c«ng tr×nh cã ¶nh h­ëng lín tíi h­íng nghiªn cøu nµy lµ cña L. Hörmander [7]. Trong c¸c c«ng tr×nh nµy, L. Hörmander ®· ®­a ra ®iÒu kiÖn ®ñ cho mét líp kh¸ réng c¸c to¸n tö cÊp hai lµ hypoelliptic. KÕt qu¶ cña L. Hörmander ®· ®­îc tæng qu¸t lªn trong c¸c c«ng tr×nh cña L. P. Rothschild vµ E. M. Stein [13], B. Helffer [6],... Víi vÊn ®Ò nghiªn cøu tÝnh gi¶i tÝch cña nghiÖm: S. Bernstein lµ ng­êi ®Çu tiªn gi¶i ®­îc bµi to¸n vÒ tÝnh gi¶i tÝch cña nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh elliptic phi tuyÕn cÊp hai víi hµm hai biÕn sè. ¤ng ®· c«ng bè c«ng tr×nh nµy vµo n¨m 1904. KÕt qu¶ cña S. Bernstein ®· ®­îc nhiÒu nhµ to¸n häc kh¸c quan t©m vµ ph¸t triÓn. T. Rado, M. Gevrey, H. Lewy ®· chøng minh kÕt qu¶ nµy b»ng c¸c c¸c kh¸c nhau. Sau ®ã, vµo n¨m 1932, kÕt qu¶ cña S. Bernstein ®­îc G. Giraud vµ E. Hopf chøng minh víi ph­¬ng tr×nh elliptic phi tuyÕn cÊp hai víi sè biÕn bÊt kú. TiÕp sau ®ã, I. Petrowski xÐt tíi hÖ ph­¬ng tr×nh elliptic víi cÊp vµ sè biÕn bÊt kú còng thu ®­îc 1 2 kÕt qu¶ vÒ tÝnh gi¶i tÝch cña nghiÖm cña hÖ nµy (xem [3] vµ c¸c trÝch dÉn trong ®ã). §Õn n¨m 1958, trong bµi b¸o [3], A. Friedman ®· chøng minh kÕt qu¶ vÒ tÝnh gi¶i tÝch, tÝnh chÝnh qui Gevrey cho mét hÖ ph­¬ng tr×nh elliptic phi tuyÕn tæng qu¸t víi cÊp, sè Èn hµm vµ sè biÕn bÊt kú. KÕt qu¶ nµy cña A. Friedman lµ kÕt qu¶ tæng qu¸t nhÊt vÒ tÝnh chÝnh qui Gevrey cña nghiÖm cña mét hÖ ph­¬ng tr×nh elliptic phi tuyÕn tæng qu¸t. Nh­ vËy c¸c bµi to¸n vÒ ®é tr¬n, tÝnh gi¶i tÝch cña nghiÖm ®· ®­îc gi¶i quyÕt trän vÑn trong líp c¸c ph­¬ng tr×nh elliptic. Sau ®ã, c¸c nhµ to¸n häc tiÕp tôc nghiªn cøu c¸c ph­¬ng tr×nh kh«ng elliptic. Do cã phøc t¹p khi nghiªn cøu c¸c ph­¬ng tr×nh lo¹i nµy nªn míi ®Çu ng­êi ta nghiªn cøu c¸c ph­¬ng tr×nh kh«ng elliptic tuyÕn tÝnh. Tuy c¸c kÕt qu¶ nµy ch­a ph¶i lµ trän vÑn nh­ng cã nhiÒu kÕt qu¶ tinh tÕ ®· thu ®­îc, cã thÓ kÓ ®Õn c¸c kÕt qu¶ cña V. V. Grushin, A. Gilioli vµ F. Treves, A. Menikoff, NguyÔn Minh TrÝ, ... N¨m 1971, V. V. Grushin ®· xÐt mét líp c¸c to¸n tö elliptic suy biÕn mµ d¹ng ®¬n gi¶n nhÊt cña nã lµ Gk,λ trong ®ã 2 ∂2 ∂ 2k ∂ + iλxk−1 , = 2 +x 2 ∂x ∂y ∂y (x, y) ∈ Ω lµ miÒn trong R2 , λ ∈ C, i lµ ®¬n vÞ ¶o, k lµ sè nguyªn d­¬ng. ¤ng ta ®· ®­a ra ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó to¸n tö hypoelliptic trong c¶ hai tr­êng hîp nµy lµ kh¸c nhau. To¸n tö Gk,λ lµ hypoelliptic, gi¶i tÝch k lÎ vµ k ch½n, ®iÒu kiÖn víi hai tr­êng hîp Gk,λ lµ tr­êng hîp ®Æc biÖt cña to¸n tö k−1 Ga,b k,c = X2 X1 + icx ∂ , ∂y trong ®ã X2 = víi a ∂ ∂ ∂ ∂ − iaxk , X1 = − ibxk , ∂x ∂y ∂x ∂y = −1, b = 1. N¨m 1974, A. Gilioli vµ F. Treves trong [4] ®· xÐt to¸n tö elliptic a,b suy biÕn Gk,c víi a, b lµ c¸c sè thùc tháa m·n ab hypoelliptic nh­ng chØ víi < 0. Hä ®· ®­a ra ®iÒu kiÖn ®Ó Ga,b k,c k lµ sè nguyªn d­¬ng lÎ. Hai n¨m sau, tr­êng hîp k lµ sè nguyªn d­¬ng ch½n míi ®­îc A. Menikoff xÐt tíi trong [12] (1976), «ng còng ®· ®­a ra ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó TrÝ còng xÐt to¸n tö Ga,b k,c lµ hypoelliptic. Trong [15] (1999), NguyÔn Minh Gk,λ vµ ®· x©y dùng ®­îc c«ng thøc hiÓn cho nghiÖm c¬ b¶n t¹i 3 gèc täa ®é vµ nghiÖm kh«ng tr¬n t¹i c¸c ®iÓm suy biÕn cña to¸n tö nµy. Dïng c¸c nghiÖm nµy NguyÔn Minh TrÝ ®· ®­a ra ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó Gk,λ lµ hypoelliptic nh­ lµ kÕt qu¶ cña Grushin nh­ng b»ng c¸nh kh¸c. KÕt qu¶ nµy ®­îc NguyÔn Minh TrÝ më réng cho to¸n tö Ga,b k,c , trong ®ã a, b, c lµ sè phøc tïy ý víi Re(a) < 0, Re(b) > 0 [16]. Sau ®ã, trong c«ng tr×nh [18] (2000), NguyÔn Minh TrÝ ®· nghiªn cøu ph­¬ng tr×nh phi tuyÕn elliptic suy biÕn sau ®©y: ∂f k ∂f  Gk,λ f + ψ x, y, f, , x = 0, ∂x ∂y  víi k lµ sè nguyªn d­¬ng lÎ. KÕt qu¶ ®¹t ®­îc trong c«ng tr×nh nµy lµ: X©y dùng ®­îc c«ng thøc hiÓn cña nghiÖm c¬ b¶n ®Òu t¹i mäi ®iÓm cña to¸n tö Gk,λ . Chøng minh ®­îc ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó to¸n tö Gk,λ lµ hypoelliptic. Chøng minh ®­îc tÝnh kh¶ vi v« h¹n cña mét líp c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh nµy víi ®iÒu kiÖn chÊp nhËn ®­îc cña c¸c tham sè vµ tÝnh kh¶ vi v« h¹n cña hµm ψ. Chøng minh ®­îc tÝnh chÝnh qui Gevrey cña nghiÖm víi ®iÒu kiÖn chÊp nhËn ®­îc cña c¸c tham sè vµ ®iÒu kiÖn Gevrey cña hµm ψ. XÐt ph­¬ng tr×nh Ga,b k,c f víi ∂f k ∂f  + ψ x, y, f, , x = 0, ∂x ∂y  (1) a = −1, b = 1, c = λ + k th× Ga,b k,c = Gk,λ . Ph­¬ng tr×nh (1) ®· ®­îc NguyÔn Minh TrÝ xÐt trong tr­êng hîp ®Æc biÖt a = −1, b = 1, k lµ sè nguyªn d­¬ng lÎ. Tõ c¸c c«ng tr×nh cña V. V. Grushin, A. Gilioli vµ F. Treves, Menikoff ®· cho thÊy sù kh¸c nhau cña hai tr­êng hîp k ch½n vµ k lÎ vµ tr­êng hîp k ch½n phøc t¹p h¬n k lÎ, vµ còng tõ nh÷ng c«ng tr×nh cña NguyÔn Minh TrÝ, A. Gilioli vµ F. Treves cho chóng ta thÊy sù phøc t¹p h¬n nhiÒu cña tr­êng hîp a, b lµ sè phøc bÊt kú so víi a = −1, b = 1, ®­¬ng nhiªn lµ viÖc t×m nghiÖm c¬ b¶n ®Òu t¹i mäi ®iÓm khã kh¨n h¬n t¹i mét ®iÓm, nghiªn cøu tÝnh gi¶i tÝch cña nghiÖm cña mét ph­¬ng tr×nh phi tuyÕn th× khã kh¨n h¬n ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh. V× vËy rÊt cÇn thiÕt ph¶i më réng nghiªn cøu ph­¬ng tr×nh (1) cho tr­êng hîp a, b, c lµ sè phøc tïy ý, k lµ sè nguyªn 4 d­¬ng c¶ lÎ vµ ch½n. Bµi to¸n ®Æt ra cho luËn ¸n nµy lµ nghiªn cøu ®é tr¬n, tÝnh gi¶i tÝch, tÝnh chÝnh qui Gevrey cña nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng elliptic suy biÕn phi tuyÕn sau: ∂f k ∂f  + ψ x, y, f, , x = 0, ∂x ∂y ë ®©y a, b, c lµ c¸c sè phøc tïy ý víi Re(a) < 0, Re(b) > 0, k lµ sè nguyªn d­¬ng, Ga,b k,c f  (x, y) ∈ Ω lµ mét miÒn trong R2 . LuËn ¸n gåm phÇn Më ®Çu vµ 2 ch­¬ng. PhÇn Më ®Çu, giíi thiÖu s¬ l­îc lÞch sö vÊn ®Ò nghiªn cøu, ph¸t biÓu néi dung nghiªn cøu cña luËn ¸n vµ tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n cã liªn quan. Ch­¬ng 1: TÝnh chÝnh qui Gevrey cña nghiÖm cña mét líp ph­¬ng tr×nh elliptic suy biÕn phi tuyÕn cÊp hai víi bËc suy biÕn lÎ. Trong ch­¬ng nµy chóng t«i ®· x©y dùng ®­îc nghiÖm c¬ b¶n cña to¸n tö Ga,b k,c , nhê ®ã chøng minh ®­îc tÝnh hypoelliptic yÕu cña to¸n tö nµy. TiÕp theo chøng minh ®­îc tÝnh gi¶i tÝch, tÝnh chÝnh qui Gevrey cña nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh nöa tuyÕn tÝnh elliptic suy biÕn (1) trong tr­êng hîp k lµ lÎ. Trong ch­¬ng nµy chóng t«i sö dông c¸c kü thuËt mµ NguyÔn Minh TrÝ ®· xÐt ph­¬ng tr×nh (1) cho tr­êng hîp ®Æc biÖt a = −1, b = 1, nh­ng tr­êng hîp tæng qu¸t nµy phøc t¹p h¬n nhiÒu do chÝnh cÊu tróc cña nghiÖm. Néi dung cña Ch­¬ng 1 ®­îc viÕt dùa trªn bµi b¸o [10]. Ch­¬ng 2: BiÕn ®æi Fourier vµ tÝnh chÝnh qui Gevrey cña nghiÖm cña mét líp ph­¬ng tr×nh elliptic suy biÕn phi tuyÕn cÊp hai víi bËc suy biÕn ch½n. Trong Ch­¬ng 2, luËn ¸n tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ vÒ tÝnh gi¶i tÝch, tÝnh chÝnh qui Gevrey cña nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) víi nghiÖm ë tr­êng hîp k lµ sè tù nhiªn ch½n. Do cÊu tróc cña k lÎ kh«ng cßn dïng ®­îc trong tr­êng hîp k ch½n, nªn trong ch­¬ng nµy, chóng t«i sö dông biÕn ®æi Fourier ®Ó t×m nghiÖm c¬ b¶n cña to¸n tö Ga,b k,c . Sau ®ã chóng t«i ®¸nh gi¸ ®­îc nghiÖm c¬ b¶n nµy vµ c¸c ®¹o hµm cÊp 1 cña nã. C¸c ®¸nh gi¸ thu ®­îc còng t­¬ng tù nh­ c¸c ®¸nh gi¸ cña nghiÖm c¬ b¶n trong Ch­¬ng 1. Néi dung cña Ch­¬ng 2 ®­îc viÕt dùa trªn bµi b¸o [11]. Ch­¬ng 1 TÝnh chÝnh quy Gevrey cña nghiÖm cña mét líp ph­¬ng tr×nh elliptic suy biÕn phi tuyÕn cÊp hai víi bËc suy biÕn lÎ Trong ch­¬ng nµy chóng t«i giíi thiÖu c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu vÒ ®é tr¬n, tÝnh gi¶i tÝch, tÝnh chÝnh qui Gevrey cña nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh Ga,b k,c f víi ∂f k ∂f  = 0, + ψ x, y, f, , x ∂x ∂y  (1) a, b, c lµ sè phøc, k lµ sè tù nhiªn lÎ. 1.1 NghiÖm c¬ b¶n cña to¸n tö a,b Gk,c XÐt to¸n tö ∂ , ∂y √ ë ®©y: (x, y) ∈ R2 ; a, b, c ∈ C; Re(a) < 0; Re(b) > 0; i = −1, k lµ sè nguyªn k−1 Ga,b k,c = X2 X1 + icx d­¬ng, ∂ ∂ ∂ ∂ − ibxk , X2 = − iaxk . ∂x ∂y ∂x ∂y Chóng ta xÐt tr­êng hîp Re(a) < 0, cßn tr­êng hîp Re(a) > 0 ta cã thÓ lµm X1 = t­¬ng tù. Nh÷ng biÓu thøc sau ®©y ®­îc dïng nhiÒu trong qu¸ tr×nh tÝnh to¸n nªn ta kÝ hiÖu chóng nh­ sau: A+ = −axk+1 + buk+1 + i(k + 1)(y − v), A− = bxk+1 − auk+1 − i(k + 1)(y − v), 5 6 R = A+ A− = −ab(x2k+2 + u2k+2 ) + (a2 + b2 )(xk+1 uk+1 ) + (k + 1)2 (y − v)2 + i(k + 1)(y − v)(a + b)(xk+1 − uk+1 ), ( (a − b)2 xk+1 uk+1 R−1 nÕu xu 6= 0, p= 0 nÕu xu = 0, M= k(b−a)−c c − (k+1)(b−a) − (k+1)(b−a) A+ A− . (1.1) Chóng t«i chøng minh ®­îc Bæ ®Ò sau ®©y. Tuy lµ mét kÕt luËn mang tÝnh s¬ cÊp, nh­ng nã cã ý nghÜa rÊt quan träng ®èi víi sù x¸c ®Þnh c«ng thøc nghiÖm c¬ b¶n cña to¸n tö Ga,b k,c . Bæ ®Ò 1.1.1 Gi¶ sö r»ng k lµ sè lÎ, Re(a) < 0 vµ Re(b) > 0. Khi ®ã i) p∈ / (1, +∞). ii) p = 1 ⇔ y = v, x = ± u B©y giê chóng ta t×m víi u 6= 0. a,b Ek,c (x, y, u, v) lµ nghiÖm c¬ b¶n cña Ga,b k,c . Ký hiÖu: a,b M = M (x, y, u, v), F (p) = Fk,c (p(x, y, u, v)), a,b a,b Ek,c = Ek,c (x, y, u, v) = M F (p). Chóng ta t×m a,b Ek,c (x, y, u, v) sao cho a,b Ga,b k,c Ek,c (x, y, u, v) = δ(x − u, y − v). Tr­íc hÕt ta t×m a,b a,b a,b Ek,c tho¶ m·n Gk,c Ek,c = 0. Mét c¸ch h×nh thøc a,b Ga,b k,c Ek,c (x, y, u, v) = 0 khi vµ chØ khi F (p) ph¶i tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh hypergeometric
p(1 − p)F 00 (p) + γ − (1 + α + β)p F 0 (p) − αβF (p) = 0, c k(b − a) − c k trong ®ã: α = , β= , γ= . (k + 1)(b − a) (k + 1)(b − a) k+1 (1.4) Ph­¬ng tr×nh nµy ®· ®­îc H. Bateman ®­a ra c«ng thøc, tÝnh chÊt vµ c¸c khai triÓn 7 tiÖm cËn cña nghiÖm. Khi ®ã nghiÖm cña (1.4) lµ:  k(b − a) − c k c F (p) = C1 F , , ,p (k + 1)(b − a) (k + 1)(b − a) k + 1  c+b−a 1 (k + 1)(b − a) − c k + 2  k+1 + C2 p F , , ,p (k + 1)(b − a) (k + 1)(b − a) k + 1 a,b a,b (p), (p) + C2 Fk,c;2 := C1 Fk,c;1  ë ®©y F (α, β, γ, p) lµ c¸c hµm Gauss hypergeometric víi C1 , C2 lµ c¸c h»ng sè phøc. Chó ý r»ng víi a,b (p) ®­îc x¸c ®Þnh víi p ∈ / (1, +∞). Dùa vµo tÝnh chÊt k lµ sè lÎ, Fk,c cña c¸c hµm Gauss hypergeometric chóng ta chän C1 = − C2 = − k(b−a)−c c Γ( (k+1)(b−a) )Γ( (k+1)(b−a) ) 4(b − a) 1 k+1 1 ) πΓ( k+1 c+b−a Γ( (k+1)(b−a) )Γ( (k+1)(b−a)−c (k+1)(b−a) ) 4(b − a) 1 k+1 k+2 πΓ( k+1 ) a,b , := Ck,c a,b := Dk,c . Chó ý r»ng, víi ®iÒu kiÖn: c 6= ±[N (k + 1)(b − a)], c 6= ±[N (k + 1) + k](b − a), ë ®©y (1.6) a,b a,b N lµ sè nguyªn th× |Ck,c |, |Dk,c | < ∞. §Þnh nghÜa 1.1.1 Gi¶ sö r»ng ®­îc nÕu chóng tho¶ m·n Tõ ®ã, nÕu k a, b, c, k lµ sè lÎ. Khi ®ã ®­îc gäi lµ chÊp nhËn (1.6). k lµ sè lÎ vµ a, b, c, k lµ chÊp nhËn ®­îc chóng ta hy väng r»ng a,b a,b a,b a,b a,b Ek,c (x, y, u, v) = M (Ck,c Fk,c;1 (p) + Dk,c Fk,c;2 (p)) =− Γ
k(b−a)−c k(b−a)−c c c k )Γ( )F ( , , , p (k+1)(b−a) (k+1)(b−a) (k+1)(b−a) (k+1)(b−a) k+1 − k(b−a)−c c 1 k+1 k 4(b − a) πΓ( k+1 )A+(k+1)(b−a) A−(k+1)(b−a) (k+1)(b−a)−c k+2 c+b−a c+b−a xuΓ( (k+1)(b−a) )Γ( (k+1)(b−a)−c (k+1)(b−a) )F ( (k+1)(b−a) ), (k+1)(b−a) , k+1 , p) 1 − k+1 4(b − a) c+b−a (k+1)(b−a)−c (k+1)(b−a) πΓ( k+2 A−(k+1)(b−a) k+1 )A+ sÏ trë thµnh nghiÖm c¬ b¶n. §Þnh lÝ 1.1.1 Gi¶ sö r»ng k lµ sè lÎ. NÕu a, b, c, k lµ chÊp nhËn ®­îc, th× a,b Ga,b k,c Ek,c (x, y, u, v) = δ(x − u, y − v). 8 Sau ®©y chóng t«i giíi thiÖu mét hÖ qu¶ quan träng cña §Þnh lý 1.1.1. HÖ qu¶ nµy cho ta c«ng thøc biÓu diÔn tÝch ph©n mét hµm bÊt kú thuéc b¶n C 2 (Ω) qua nghiÖm c¬ a,b . Chóng ta sö dông c¸c ký hiÖu sau: Ek,c e1 + icuk−1 ∂ . e2 X e1 = ∂ − ibuk ∂ , X e2 = ∂ − iauk ∂ , G ea,b = X X ∂u ∂v ∂u ∂v k,c ∂v Ω ⊂ R2 LÊy k lµ sè lÎ. Gi¶ sö r»ng, HÖ qu¶ 1.1.1 lµ mét miÒn bÞ chÆn cïng víi f ∈ C 2 (Ω) vµ a, b, c, k chÊp nhËn ®­îc. Khi ®ã Z e2 (E a,b (x, y, u, v), a, b, c, k)ds f (x, y) = f (u, v)B k,c biªn tr¬n tõng khóc, ∂Ω Z Z a,b ea,b f (u, v)dudv(1.10) e1 (f (u, v), a, b, c, k)ds + E a,b (x, y, u, v)G − Ek,c (x,y,u,v)B k,c k,c Ω ∂Ω víi mçi ®iÓm (x,y) cè ®Þnh thuéc Ω. ë ®©y: e1 (f (u, v), a, b, c, k) = (ν1 − iauk ν2 )X e1 f (u, v) + icuk−1 ν2 f (u, v), B e2 (E a,b (x, y, u, v), a, b, c, k) = (ν1 − ibuk ν2 )X e2 E a,b (x, y, u, v) B k,c vµ k,c ν = (ν1 , ν2 ) lµ vÐc t¬ ph¸p tuyÕn ®¬n vÞ ngoµi trªn ∂Ω. 1.2 TÝnh kh¶ vi v« cïng cña nghiÖm Trong môc nµy chóng t«i muèn kh¶o s¸t tÝnh kh¶ vi v« cïng cña nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1), víi c¸c ®iÒu kiÖn nµo ®ã cña hµm §Þnh lÝ 1.2.1 Gi¶ sö r»ng nÕu vµ chØ nÕu a, b, c, k k ψ. lµ sè lÎ. Khi ®ã to¸n tö vi ph©n Ga,b k,c lµ hypoelliptic yÕu chÊp nhËn ®­îc. Chóng t«i xin giíi thiÖu kh«ng gian hµm quan träng sau ®©y: Gm k,loc (Ω) n = f ∈ L2loc (Ω) : X ||γ ∂α,β f || L2 (K) o <∞ , (α,β,γ)∈Ξm k ë ®©y, ∂ α+β f K lµ tËp compact nµo ®ã trong Ω , γ ∂α,β f := xγ α β , vµ ∂x ∂y  3 Ξm k = (α, β, γ) ∈ Z+ : α + β ≤ m, km ≥ γ ≥ α + (1 + k)β − m . Kh«ng gian nµy ®­îc Grushin ®­a ra. 9 §Þnh lÝ 1.2.2 Gi¶ sö r»ng, Cho ψ lµ mét hµm thuéc víi c¸c ®èi sè cña nã vµ m ≥ 2k + 3. k lµ sè lÎ vµ a, b, c, k lµ chÊp nhËn ®­îc. Khi ®ã mäi Gm k,loc (Ω)- nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) thuéc 1.3 C∞ C ∞ (Ω), vµ to¸n tö phi tuyÕn Ψa,b k,c lµ hypoelliptic. TÝnh chÝnh qui Gevrey cña nghiÖm Trong môc nµy, chóng t«i tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ vÒ tÝnh chÝnh qui Gevrey cña nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1). ∂ αf ∂ β f Víi mçi hµm f (x, y) ®Þnh nghÜa trªn mét miÒn Ω trong R ta ký hiÖu , lµ ∂xα ∂y β ∂1α f, ∂2β f . §Æt r0 = 2k + 2, víi mçi r ∈ Z+ , ký hiÖu Γr lµ tËp ®a chØ sè (α, β) sao 2 cho Γr = Γ1r ∪ Γ2r , ë ®©y: Γ1r = {(α, β) : α ≤ r0 , 2α + β ≤ r}, Γ2r = {(α, β) : α ≥ r0 , α + β ≤ r − r0 }. §Æt |f, Ω|r = max(α,β)∈Γr |∂1α ∂2β f, Ω| + max víi  |f, Ω| = max(x,y)∈Ω̄ §Þnh lÝ 1.3.1 i) NÕu Cho k (α,β)∈Γr α≥1,β≥1 max(x,y)∈Ω̄ |∂1α+2 ∂2β f |,  ∂f   ∂f      |f | +   + xk  . ∂x ∂y lµ sè lÎ vµ c¸c tham sè ψ ∈ Gs (s ≥ 1), Gs (Ω); to¸n tö phi tuyÕn Ψa,b k,c th× mäi C ∞ (Ω)- chÊp nhËn ®­îc. Khi ®ã: nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) thuéc lµ s-hypoelliptic më réng. ii) Tr­êng hîp ®Æc biÖt, nÕu tr×nh (1) lµ hµm gi¶i tÝch trªn a, b, c, k ψ lµ gi¶i tÝch, th× mäi Ω; to¸n tö Ψa,b k,c C ∞ (Ω)- nghiÖm cña ph­¬ng lµ gi¶i tÝch hypoelliptic më réng. §Ó chøng minh ®inh lý nµy chóng t«i ph¶i ph¸t biÓu vµ chøng minh c¸c Bæ ®Ò 1.3.1, 1.3.2 vµ 1.3.3 vµ c¸c MÖnh ®Ò 1.3.2, 1.3.3, 1.3.4, 1.3.5 sau ®©y. C¸c Bæ ®Ò nµy cho ta c¸c ®¸nh gi¸ cña a,b Ek,c trªn h×nh vu«ng V T , ë ®©y V T lµ h×nh vu«ng t©m ë gèc täa ®é c¹nh cã ®é dµi 2T , biªn S . Cßn c¸c MÖnh ®Ò cho ta c¸c b­íc ®¸nh gi¸ ®¹o hµm cña nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) trªn h×nh vu«ng V T , tõ ®ã cho ta ®­îc chøng minh cña §Þnh lý chÝnh 1.3.1 nµy. Bæ ®Ò 1.3.1 Trªn h×nh vu«ng VT  a,b  γ ∂ α+β Ek,c (x, y, u, v) x  ∂xα ∂y β  1   ≤ CR− 2 , 1  ∀(α, β, γ) ∈ Ξ1k . (1.32) 10 Bæ ®Ò 1.3.2 Bæ ®Ò 1.3.3
1 SσN (x,y) (x, y), nÕu |x| ≤ 2σN (x, y) k+1   C   a,b e . γ ∂α,β X2 Ek,c (x, y, u, v) ≤ k+2 k+1 σN (x, y) Trªn biªn Trªn
1 SσN (x,y) (x, y), nÕu |x| ≥ 2σN (x, y) k+1  e2 E a,b (x, y, u, v)   γ ∂α,β X C k,c  ≤   σ 2 (x, y) ; uk N th× (1.36) th× ∀(α, β, γ) ∈ Ξ1k . VδT lµ h×nh vu«ng t©m lµ gèc täa ®é mµ kho¶ng c¸ch gi÷a biªn cña nã vµ   1 T lµ δ , cßn víi mçi (x, y) ∈ V ký hiÖu σN (x, y) = N ρ (x, y), S . Trong ®ã cña VT MÖnh ®Ò 1.3.2 Gi¶ sö (α, β, γ) ∈ Ξ1k , (α1 , β1 ) ∈ ΓN +1 , α1 ≥ 1, β1 ≥ 1, tån t¹i h»ng sè d­¬ng C 61 sao cho   max(x,y)∈VδT γ ∂α,β ∂1α1 ∂2β1 f (x, y)    H N −r0 −1  1 1 1  1 T s ≤ C61 T k+1 |f, Vδ |N +1 + H0 (N − r0 − 1)! T k+1 + . δ H1 1 MÖnh ®Ò 1.3.3 Gi¶ sö r»ng, (α, β, γ) ∈ Ξ . Khi ®ã tån t¹i mét h»ng sè C73 sao cho k     1  max T γ ∂α,β ∂2N +1 f (x, y) ≤ C73 T k+1 f, Vδ”T N +1 + (x,y)∈Vδ    H N −r0 −1 1 1 1 . + H0 ((N − r0 − 1)!)s T k+1 + δ H1 1 MÖnh ®Ò 1.3.4 Gi¶ sö r»ng, (α, β, γ) ∈ Ξ . Khi ®ã tån t¹i mét h»ng sè C98 sao cho k    1    max T γ ∂α,β ∂1N −r0 +1 f (x, y) ≤ C98 T k+1 f, VδT0 N +1 + (x,y)∈Vδ  H N −r0 −1  1  1 1 . ((N − r0 − 1)!)s T k+1 + + H0 δ H1 MÖnh ®Ò 1.3.5 Gi¶ sö (α1 , β1 ) ∈ ΓN +1 \ ΓN , α1 ≥ 1, β1 ≥ 1. Khi ®ã tån t¹i mét h»ng sè C117 sao cho     1   α1 +2 β1  max T ∂1 ∂2 f (x, y) ≤ C117 T k+1 f, VδT00 N +1 (x,y)∈Vδ +H0  H N −r0 −1 1 δ 
s  1 1  (N − r0 − 1)! T k+1 + . H1 KÕt hîp §Þnh lý 1.2.2 vµ §Þnh lý 1.3.1 chóng ta cã §Þnh lý 1.3.2 sau ®©y: 11 §Þnh lÝ 1.3.2 Gi¶ sö r»ng, k lµ sè lÎ, c¸c tham sè a, b, c, k lµ chÊp nhËn ®­îc vµ m ≥ 2k + 3. Khi ®ã i) NÕu ψ ∈ Gs (s ≥ 1) th× mäi Gm k,loc (Ω) - nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) lµ thuéc Gs (Ω); to¸n tö phi tuyÕn Ψa,b k,c lµ s- hypoelliptic. ii) Trong tr­êng hîp ®Æc biÖt, nÕu ψ lµ hµm gi¶i tÝch th× mäi cña ph­¬ng tr×nh (1) còng lµ gi¶i tÝch trªn hypoelliptic. Ω; to¸n tö phi tuyÕn C m (Ω)Ψa,b k,c nghiÖm lµ gi¶i tÝch Ch­¬ng 2 BiÕn ®æi Fourier vµ tÝnh chÝnh qui Gevrey cña nghiÖm cña mét líp ph­¬ng tr×nh elliptic suy biÕn phi tuyÕn cÊp hai víi bËc suy biÕn ch½n 2.1 NghiÖm c¬ b¶n cña to¸n tö Ga,b k,c Môc nµy giíi thiÖu s¬ bé viÖc t×m nghiÖm c¬ b¶n cña to¸n tö 2.1.1 NghiÖm c¬ b¶n cña to¸n tö Ga,b k,c Ta ®· cã nghiÖm c¬ b¶n cña to¸n tö nghiÖm c¬ b¶n cña khi k Ga,b k,c . ch½n Ga,b k,c khi k lµ sè tù nhiªn lÎ. B©y giê ta t×m a,b Ga,b k,c khi k lµ sè tù nhiªn ch½n, tøc lµ t×m Ek,c (x, y, u, v) sao cho a,b Ga,b k,c Ek,c (x, y, u, v) = δ(x − u, y − v) = δ(x − u) × δ(y − v) LÊy Fourier theo biÕn (2.1) y, ph­¬ng tr×nh (2.1) trë thµnh exx (x, ξ, u, v) + (a + b)xk ξ E ex (x, ξ, u, v) E e ξ, u, v) = δ(x − u)e−iξv . + abx2k ξ 2 + (kb − c)xk−1 ξ)E(x, (2.4) Tr­íc hÕt ta gi¶i ph­¬ng tr×nh Ẽxx (x, ξ, u, v) + (a + b)xk ξ Ẽx (x, ξ, u, v)
+ abx2k ξ 2 + (kb − c)xk−1 ξ Ẽ(x, ξ, u, v) = 0. Khi k lµ ch½n, ξ > 0 ta cã 1 nghiÖm cña (2.4) lµ 12 (2.5) 13 Ẽ(x, ξ, u, v) = Khi  bξ(uk+1 −xk+1 ) −1  ξ(b−a)
k+1 −iξv  k+1 e e (A(a, b, k, c))−1  k+1  h  1  ) Γ( k+1 (b−a)xk+1 ξ c k   Φ( × , , ) c+b−a  (k+1)(b−a) (k+1) k+1 Γ( (k+1)(b−a) )   i −1  1 ) Γ( k+1  ξ(b−a)
k+1 (b−a)xk+1 ξ k+2 b+c−a  Φ( (k+1) , (k+1) , k+1 ) +x Γ( c ) k+1   (k+1)(b−a)  h  1  Γ( k+1 ) k(b−a)−c (a−b)uk+1 ξ k   × Φ( , , )  (k+1)(b−a) (k+1) k+1 Γ( (k+1)(b−a)−c  (k+1)(b−a) )  i  −1 1  Γ( k+1 ) ξ(b−a)
k+1 (k+1)(b−a)−c (a−b)uk+1 ξ k+2   −u k(b−a)−c Φ( (k+1)(b−a) , (k+1) , k+1 )  k+1 Γ( (k+1)(b−a) )     nÕu x ≥ u, aξ(uk+1 −xk+1 ) −1  ξ(b−a)
k+1  −iξv k+1  (A(a, b, k, c))−1 e e  k+1  h 1  Γ( k+1 )  (b−a)uk+1 ξ k c  , , ) × Φ(  c+b−a (k+1)(b−a) (k+1) k+1  Γ( (k+1)(b−a) )  i  −1 1  Γ( k+1 ) ξ(b−a)
k+1 (b−a)uk+1 ξ  b+c−a k+2  +u Γ( c ) k+1 Φ( (k+1) , (k+1) , k+1 )   (k+1)(b−a) h  1  Γ( k+1 )  k(b−a)−c (a−b)xk+1 ξ k  Φ( , , ) ×  (k+1)(b−a)−c (k+1)(b−a) (k+1) k+1  Γ( (k+1)(b−a) )  i  −1 1  Γ( k+1 ) ξ(b−a)
k+1 (k+1)(b−a)−c (a−b)xk+1 ξ  k+2  −x k(b−a)−c Φ( (k+1)(b−a) , (k+1) , k+1 )  k+1  Γ( (k+1)(b−a) )    nÕu x ≤ u. k ch½n, ξ < 0 ta cã 1 nghiÖm cña (2.4) lµ  aξ(uk+1 −xk+1 ) −1
−1  ξ(a−b)
k+1 −iξv  k+1 e e A(a, b, k, c)  k+1  h  1 k+1  ) Γ( k+1 k(b−a)−c ξ k   , (a−b)x ) × (k+1)(b−a)−c Φ( (k+1)(b−a) , (k+1)  k+1 Γ( )  (k+1)(b−a)  i  −1 1  Γ( k+1 ) ξ(a−b)
k+1 (a−b)xk+1 ξ (k+1)(b−a)−c k+2   + x k(b−a)−c Φ( (k+1)(b−a) , (k+1) , k+1 )  k+1 Γ( (k+1)(b−a) )   h  1  Γ( k+1 ) (b−a)uk+1 ξ c k   × Φ( , , ) c+b−a  (k+1)(b−a) (k+1) k+1 Γ( (k+1)(b−a) )  i  −1 1  ) Γ( k+1  ξ(a−b)
k+1 (b−a)uk+1 ξ b+c−a k+2  Φ( (k+1) , (k+1) , k+1 ) − u Γ( c ) k+1   (k+1)(b−a)    nÕu x ≥ u, Ẽ(x, ξ, u, v) = k+1 k+1 bξ(u −x ) −1  ξ(a−b)
k+1  −iξv k+1  (A(a, b, k, c))−1 e e  k+1  h 1  Γ( k+1 )  k(b−a)−c (a−b)uk+1 ξ k  × Φ( , , )  (k+1)(b−a) (k+1) k+1  Γ( (k+1)(b−a)−c  (k+1)(b−a) ) i  −1 1
k+1  k+1 Γ( k+1 )  ξ(a−b) (k+1)(b−a)−c (a−b)u ξ k+2  + u k(b−a)−c Φ( (k+1)(b−a) , (k+1) , k+1 )  k+1  Γ( (k+1)(b−a) )  h  1  Γ( k+1 ) (b−a)xk+1 ξ  c k  × Φ( , , )  c+b−a (k+1)(b−a) (k+1) k+1 Γ( (k+1)(b−a) )   i  −1 1  Γ( k+1 ) ξ(a−b)
k+1 (b−a)xk+1 ξ k+2 b+c−a   − x Γ( c ) k+1 Φ( (k+1) , (k+1) , k+1 )   (k+1)(b−a)   nÕu x ≤ u. 14 Dïng biÕn ®æi Fourier ng­îc, chóng ta hy väng r»ng 1 E(x, y, u, v) = 2π Z∞ eiyξ Ẽ(x, ξ, u, v)dξ, −∞ sÏ trë thµnh nghiÖm c¬ b¶n cña 2.1.2 Khi Ga,b k,c . NghiÖm c¬ b¶n cña to¸n tö Ga,b k,c khi k lÎ. k lµ sè tù nhiªn lÎ, chóng ta ®· t×m ®­îc nghiÖm cña to¸n tö Ga,b k,c ë Ch­¬ng 1 b»ng c¸ch chØ ra cÊu tróc cña c«ng thøc nghiÖm. Nh­ng b»ng c¸ch ®ã, chóng t«i Ga,b k,c trong tr­êng hîp k ch½n. §Ó v­ît qua khã kh«ng t×m ®­îc nghiÖm c¬ b¶n cña kh¨n nµy chóng t«i ph¶i dïng ph­¬ng ph¸p biÕn ®æi Fourier ®Ó t×m nghiÖm c¬ b¶n cña to¸n tö a,b Ga,b k,c . Sau khi t×m nghiÖm c¬ b¶n cña Gk,c trong tr­êng hîp k ch½n b»ng biÕn ®æi Fourier nh­ môc trªn, chóng t«i còng t×m ®­îc nghiÖm c¬ b¶n cña trong tr­êng hîp Ga,b k,c k lÎ b»ng c¸ch t­¬ng tù. V× c«ng thøc nghiÖm còng cã d¹ng nh­ k ch½n nªn chóng t«i kh«ng viÕt c«ng thøc nghiÖm ë ®©y. 2.2 C¸c ®¸nh gi¸ ®èi víi nghiÖm c¬ b¶n C¸c tham sè a, b, k, c gäi lµ chÊp nhËn ®­îc nÕu A(a, b, k, c) 6= 0 khi k ch½n vµ B1 (a, b, c, k) 6= 0, B2 (a, b, k, c) 6= 0 khi k lµ lÎ. B©y giê víi a, b, k, c lµ chÊp nhËn ®­îc, víi mçi (u, v) ∈ R2 chóng ta x©y dùng ¸nh x¹: E(u, v) : C0∞ (R2 ) → C nh­ sau: E(u, v) : ϕ(x, y) ∈ C0∞ (R2 ) 1 −→ 2π Z e ξ, u, v)ϕ(x, E(x, b ξ)dξdx ∈ C. R2 ë ®©y Z ϕ(x, b ξ) = Chóng ta thÊy r»ng eiξy ϕ(x, y)dy . R E(u, v) lµ mét ph©n bè Schwartz. §Þnh lý sau kÕt luËn nghiÖm t×m ®­îc lµ nghiÖm c¬ b¶n. 15 §Þnh lÝ 2.2.1 th× Gi¶ sö r»ng a, b, k, c lµ chÊp nhËn ®­îc. Khi ®ã víi mäi (u, v) ∈ R2 E(u, v) ∈ C ∞ (R2 \ (u, v)) vµ Ga,b k,c E(x, y, u, v) = δ(x − u, y − v). Bæ ®Ò 2.2.1 Gi¶ sö r»ng a, b, k, c lµ chÊp nhËn ®­îc. Khi ®ã |E(x, y, u, v)| ≤ C |x víi mäi víi k+1 k+1 2 −u | + |y −
k 2 − 2k+2 v| (2.13) (x, y, u, v) thuéc mét tËp compac trong R4 . H¬n thÕ n÷a E(u, v) ®ång nhÊt E(x, y, u, v) ∈ L1loc (R2 (x, y)) theo nghÜa ph©n bè. Bæ ®Ò 2.2.2 Gi¶ sö r»ng a, b, k, c n»m trong mét tËp compac cña lµ chÊp nhËn ®­îc. Khi ®ã víi mäi (x, y, u, v) R4 , (x, y) 6= (u, v) vµ víi mäi (α, β) sao cho 0≤ α + β ≤ 1, ta cã n ∂ α+β E(x, y, u, v)   ∂ α+β E(x, y, u, v)   ∂ α+β E(x, y, u, v)    kβ     , u , max xkβ     , ∂xα ∂y β ∂uα ∂v β ∂xα ∂uβ  ∂ α+β E(x, y, u, v)   ∂ α+β E(x, y, u, v)   α+β E(x, y, u, v) o  kβ   kβ   kβ ∂ x , u , (xu)  ∂uα ∂y β ∂xα ∂v β ∂y α ∂v β
− k+α+β k+1 . ≤ Cα,β |xk+1 − uk+1 | + |y − v| 2.3 TÝnh chÝnh quy Gevrey cña nghiÖm Do ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm c¬ b¶n trong Ch­¬ng 1 (víi k lÎ) vµ Ch­¬ng 2 (víi k ch½n) lµ kh¸c nhau, nªn vÊn ®Ò ®Æt ra lµ c¸c kÕt qu¶ vÒ tÝnh chÝnh quy Gevrey cña nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) víi k lÎ vµ k ch½n cã kh¸c nhau hay kh«ng? Nh­ng chóng t«i ®· chøng minh ®­îc, c¸c ®¸nh gi¸ ®èi víi nghiÖm c¬ b¶n cña ch½n trªn Ga,b k,c víi k V T (sau ®©y sÏ ®­îc tr×nh bµy trong c¸c Bæ ®Ò 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3) còng gièng nh­ tr­êng hîp k lÎ (trong c¸c Bæ ®Ò 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3) song víi kü thuËt dïng c¸c ®¸nh gi¸ tÝch ph©n cña I. M. Gelfand . Khi thu ®­îc c¸c kÕt qu¶ nµy th× viÖc chøng minh §Þnh lý 2.3.1 lµ hoµn toµn gièng chøng minh cña §Þnh lý 1.3.1 trong Ch­¬ng 1. V× vËy, c¸c kÕt qu¶ thu ®­îc trong tr­êng hîp ®­îc nh­ trong tr­êng hîp k lÎ. k ch½n còng ®¹t 16 Bæ ®Ò 2.3.1 Trong h×nh vu«ng VT víi a, b, k, c lµ chÊp nhËn ®­îc, k lµ sè nguyªn d­¬ng ch½n, chóng ta cã  ∂ α+β E(x, y, u, v)  h i− 1  γ  2 k+1 k+1 2 2 2 − u | + (k + 1) (y − v) x  ≤ C |x α β ∂x ∂y víi mäi (α, β, γ) ∈ Ξ1k . Bæ ®Ò 2.3.2 Trªn vµ SσN (x,y) (x, y)
1 |x| ≤ 2σN (x, y) k+1 nÕu th×
1 |u| ≤ 3 σN (x, y) k+1  ∂ α+β X e2 E(x, y, u, v)  C  γ ≤ ∀(α, β, γ) ∈ Ξ1k .  x k+2 α β ∂x ∂y σNk+1 (x, y) SσN (x,y) (x, y)   γ α+β e2 E(x, y, u, v)  x ∂ X     |u|k ∂xα ∂y β Sσ Bæ ®Ò 2.3.3 Trªn biªn §Þnh lÝ 2.3.1 i) NÕu Cho k nÕu 1 |x| ≤ (2σN (x, y)) k+1 C ≤ N (x,y) 2 (x, y) σN (x,y) a, b, c, k lµ sè ch½n vµ c¸c tham sè ψ ∈ Gs (s ≥ 1), Gs (Ω); to¸n tö phi tuyÕn Ψa,b k,c th× mäi C ∞ (Ω)- th× ∀(α, β, γ) ∈ Ξ1k . chÊp nhËn ®­îc. Khi ®ã: nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) thuéc lµ s-hypoelliptic më réng. ii) Tr­êng hîp ®Æc biÖt, nÕu ψ lµ gi¶i tÝch , th× mäi C ∞ (Ω)- nghiÖm cña ph­¬ng Ψa,b k,c lµ gi¶i tÝch hypoelliptic më tr×nh (1) còng lµ hµm gi¶i tÝch trªn Ω; to¸n tö réng. §Þnh lÝ 2.3.2 Gi¶ sö r»ng, k lµ sè ch½n, c¸c tham sè a, b, c, k lµ chÊp nhËn ®­îc vµ m ≥ 2k + 3. Khi ®ã i) NÕu ψ ∈ Gs (s ≥ 1) th× mäi Gm k,loc (Ω) - nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) lµ thuéc Gs (Ω); to¸n tö phi tuyÕn Ψa,b k,c lµ s- hypoelliptic. ii) Trong tr­êng hîp ®Æc biÖt, nÕu ψ lµ hµm gi¶i tÝch th× mäi cña ph­¬ng tr×nh (1) còng lµ gi¶i tÝch trªn hypoelliptic. Ω; to¸n tö phi tuyÕn C m (Ω)Ψa,b k,c nghiÖm lµ gi¶i tÝch KÕt luËn vµ kiÕn nghÞ Nh÷ng kÕt qu¶ chÝnh cña luËn ¸n 1. T×m ®­îc nghiÖm c¬ b¶n cña to¸n tö elliptic suy biÕn a,b Gk,c víi  ∂  ∂ ∂ k ∂ k ∂ − iax − ibx + icxk−1 , = ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y a, b, c lµ sè phøc bÊt kú mµ Re(a) < 0, Re(b) > 0, k lµ sè nguyªn d­¬ng c¶ lÎ vµ ch½n. 2. §¸nh gi¸ ®­îc tÝnh tr¬n cña nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh nöa tuyÕn tÝnh elliptic suy biÕn a,b Ψk,c f = Ga,b k,c f ∂f k ∂f  + ψ x, y, f, , x = 0. ∂x ∂y  (1) 3. Chøng minh ®­îc tÝnh gi¶i tÝch, tÝnh chÝnh quy Gevrey cña nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1). 4. Chøng minh ®­îc tÝnh hypoelliptic, gi¶i tÝch hypoelliptic, s-hypoelliptic cña to¸n tö phi tuyÕn a,b Ψk,c . Nh÷ng vÊn ®Ò cÇn tiÕp tôc nghiªn cøu Nghiªn cøu tÝnh chÝnh quy Gevrey cho c¸c ph­¬ng tr×nh nöa tuyÕn tÝnh elliptic víi bËc suy biÕn cÊp v« h¹n. 17 Tµi liÖu tham kh¶o TiÕng Anh [1] Bateman H. (1953), Higher Transcendental Function, Vol. I, Mc Graw-Hill, New York, pp. 302. [2] Egorov Yu. V. (1975), "On subelliptic operators", Uspechi Mat. Nayk., (2), pp. 57-114. [3] Friedman A. (1958), "On the regularity of the solution of nonlinear elliptic and parabolic system of parial differential equations", J. Math. Mech., (7), pp. 43-59. [4] Gilioli A. and Treves F. (1974), "An example in the solvability theory of linear FDE's", Amer. J. Math., (96), pp. 367-385. [5] Grushin V. V. (1971), "On a class of elliptic pseudo differential operators degenerate on a submanifold", Math. USSR. Sbornik, (13), pp. 155-183. [6] Helffer B. (1982), "Necessary conditions of hypoanlyticity for homogeneous left - invariant operator on a grade nilpotent group ", J. Differential Equations 44, (3), pp. 460-481. [7] Hörmander L. (1967), "Hypoelliptic second - order differential operators", Acta Math., (119), pp. 147-171. [8] Hörmander L. (1979), "Subelliptic operators", Seminar on Singularities of Solutions of Linear Partial Differential Equations", Ann. Math. Studies, (91), pp. 127-207, Princeton University Press, Princeton, New Jersey. [9] Hörmander L. (1995), "On the theory of general partial differential equations", Acta Math., (94), pp. 161-248. [10] V. T. T. Hien, N. M. Tri (2008), "Analiticity of solutions of semi-linear equations with double characteristics", J. Math. Anal. Appl., (337), pp. 1249-1260. 18 19 [11] V. T. T. Hien, N. M. Tri (2010), "Fourier transform and smoothness of solutions of a class of semilinear elliptic degenerate equations with double characteristics'', Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 17, No. 2, pp. 162-178. [12] Menikoff A. (1976), "Some example of hypoelliptic partial differentical equation", Math. Ann., (221), pp. 176-181. [13] Roth Child L. P., Stein E. M. (1976), "Hypoelliptic differential operators and sulpotent groups", Acta Math., (137), pp. 247-320. [14] Schwartz L. (1950, 1951), ThÐrie des Distributions, Vol. I, II, Hermann. [15] N. M. Tri (1999), "Remark on non-uniform fundamental solutions and nonsmooth solutions of some classes of differential operators with double characteristics", J. Math. Sci. Univ. Tokyo, (6), pp. 437-452. [16] N. M. Tri (2000), "A note on necessary conditions of hypoelliticity for some classes of differential operators with double characteristics", Kodai Math. J., (23), pp. 281-297. [17] N. M. Tri (1999), "On the Gevrey analyticity of solutions of semilinear perturbations of powers of the Mizohata operator", Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino, (57), pp. 37-57. [18] N. M. Tri (2002), "On the Gevrey regularity of solutions of a class of semilinear elliptic degenerate equations on the plane", J. Math. Sci. Univ. Tokyo, (9), pp. 217-255. [19] N. M. Tri (2004), "On the Gevrey analyticity of solutions of semilinear KohnLaplacian on the Heisenberg group", Abstract and Applied Analysis, World Sci. Publ., pp. 335-353. [20] Weyl H. (1940), "The method of orthogonal projection in potential theory", Duke Math. J., (7), pp. 411-444. Lêi c¶m ¬n LuËn ¸n ®­îc thùc hiÖn vµ hoµn thµnh t¹i ViÖn To¸n häc thuéc ViÖn Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam, d­íi sù h­íng dÉn tËn t×nh vµ nghiªm tóc cña PGS.TSKH NguyÔn Minh TrÝ. ThÇy ®· h­íng dÉn vµ truyÒn thô cho t¸c gi¶ nh÷ng kinh nghiÖm trong häc tËp, nghiªn cøu khoa häc. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c ®èi víi ThÇy. Trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu, t¸c gi¶ còng lu«n nhËn ®­îc sù gãp ý, ®éng viªn cña GS.TSKH NguyÔn Minh Ch­¬ng, GS.TSKH NguyÔn Tù C­êng, GS.TSKH §inh Nho Hµo, PGS.TS Hµ TiÕn Ngo¹n, TS NguyÔn V¨n Ngäc. T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n sù quan t©m gióp ®ì cña c¸c thÇy. T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy, c« gi¸o cïng c¸c anh chÞ em NCS, Cao häc trong seminar Phßng Ph­¬ng tr×nh vi ph©n ®· lu«n gióp ®ì, ®éng viªn t¸c gi¶ trong nghiªn cøu khoa häc vµ cuéc sèng. T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n Ban l·nh ®¹o ViÖn To¸n häc, Trung t©m §µo t¹o Sau ®¹i häc cïng toµn thÓ c¸n bé, c«ng nh©n viªn ViÖn To¸n häc - ViÖn Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho t¸c gi¶ trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn luËn ¸n. T¸c gi¶ xin tr©n träng c¶m ¬n Binh chñng T¨ng ThiÕt gi¸p, Tr­êng SÜ quan T¨ng ThiÕt gi¸p, §oµn Qu¶n lý häc viªn 871- Bé Quèc phßng, ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn gióp ®ì t¸c gi¶ trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu. T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n b¹n bÌ ®ång nghiÖp, ®Æc biÖt lµ chång, c¸c con cïng nh÷ng ng­êi th©n trong gia ®×nh ®· gióp ®ì, ®éng viªn t¸c gi¶ trong c«ng t¸c vµ cuéc sèng. 20