Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016
TỔNG HỢP
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
I.CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƢỜNG ĐƢỢC SỬ DỤNG
Bất đẳng thƣ́c Cauchy (AM – GM)
a, b 0, thì: a b 2 a.b . D}́u " " xảy ra khi và chỉ khi: a b.
a, b, c 0, thì: a b c 3. 3 a.b.c . D}́u " " xảy ra khi v| chỉ khi: a b c.
2
Nhiều trường hợp đánh giá dạng:
ab
3
ab
ab
abc
a.b
v| a.b.c
2
2
3
Bất đẳng thƣ́c Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki)
a, b, x, y , thì: ( a.x b.y )2 ( a 2 b2 )( x 2 y 2 ) . D}́u " " xảy ra khi và chỉ khi:
a b
x y
a, b, c , x , y , z , thì: ( a.x b.y c.z )2 ( a 2 b 2 c 2 )( x 2 y 2 z 2 ) .
D}́u " " xảy ra khi v| chỉ khi:
a b c
x y z
Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a.x b.y ( a2 b2 )( x2 y 2 ).
Hệ quả. Nếu a, b, c l| c{c số thực v| x , y , z l| c{c số dương thì:
a 2 b 2 ( a b) 2
a 2 b 2 c 2 ( a b c )2
v|
: b}́t đẵng thức cộng m}̂u số.
x
y
xy
x
y
z
xyz
Bất đẳng thƣ́c véctơ
Xét c{c véctơ: u ( a; b), v ( x; y) . Ta luôn có : u v u v
a2 b2 x2 y 2 (a x)2 (b y)2 . D}́u " " xảy ra khi và chỉ khi u v| v cùng hướng.
Một số biến đổi hằng đẳng thƣ́c thƣờng gặp
x3 y3 ( x y)3 3xy( x y).
x3 y3 z3 ( x y z)3 3( x y)( y z)( z x).
x3 y3 z3 3xyz (x y z) x2 y2 z2 (xy yz zx) .
x2 y 2 z2 ( x y z)2 2( xy yz zx).
(a b)(b c)(c a) ab2 bc 2 ca2 (a2 b b2 c c 2 a).
( a b)(b c)(c a) (a b c)(ab bc ca) abc.
( a b)2 (b c)2 (c a)2 2( a2 b2 c 2 ab bc ca)
2( a3 b3 c 3 ) 6abc
abc
(a b)3 (b c)3 (c a)3 3(a b)(b c)(c a).
( a b) 2 ( a 2 b 2 )
2
2
( a b)2
( a b)2 v| ab
2
4
2
Một số đánh giá cơ bản và bất đẳng thƣ́c phụ
Các đánh giá cơ bản thƣờng đƣợc sử dụng (không cần chứng minh lại)
.( a2 b2 ) .ab
suy ra
a. x; y; z 0 x 2 y 2 z 2 xy yz zx.
VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
1
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016
suy ra
b. x; y; z 0 ( x y)( y z)( z x) 8 xyz.
c. x; y; z
suy ra
3( x 2 y 2 z 2 ) ( x y z)2 .
suy ra
d. x; y; z 0 ( x y z)( x 2 y 2 z 2 ) 3( x 2 y y 2 z z 2 x).
suy ra
e. x; y; z 0 ( x y z)2 3( xy yz zx).
suy ra
f. x; y; z 0 x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 xyz( x y z).
suy ra
g. x; y; z 0 ( xy yz zx)2 3 xyz( x y z).
h. x; y; z
suy ra
3( x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 ) ( xy yz zx)2 .
9
suy ra
( x y z)( xy yz zx) ( x y)( y z)( z x).
8
Các bất đẳng thức phụ thƣờng đƣợc sử dụng (chứng minh lại khi áp dụng)
1
suy ra
j. x; y 0 x3 y 3 ( x y)3 .
4
1
1
2
1
1
2
suy ra
suy ra
k. xy 1
v| xy 1
2
2
2
2
1 xy
1 xy
1 x
1 y
1 x
1 y
i. x; y; z
suy ra
Suy ra: xy 1
suy ra
l. x; y 1
1
1
2
1
1
2
suy ra
v| xy 1
1 x 1 y 1 xy
1 x 1 y 1 xy
1
1
1
2
2
1 xy
(1 x) (1 y)
suy ra
m. x; y 0;1
1
1 x
2
1
1 y
2
2
1 xy
2
x, y 0
2
1
1
suy ra
n.
1 1
1
x
y
xy
x y 1
Chƣ́ng minh các đánh giá cơ bản
suy ra
a. Chƣ́ng minh: x; y; z 0 x 2 y 2 z 2 xy yz zx.
x2 y 2 2 x2 y 2 2 xy
Áp dụng BĐT Cauchy: y 2 z 2 2 y 2 z 2 2 yz x 2 y 2 z 2 xy yz zx. D}́u " " khi x y z.
2
2
2 2
z x 2 z x 2 zx
suy ra
b. Chƣ́ng minh: x; y; z 0 ( x y)( y z)( z x) 8 xyz.
x y 2 xy
nhân
Áp dụng BĐT Cauchy y z 2 yz ( x y)( y z)( z x) x 2 y 2 z 2 8 xyz. D}́u " " khi x y z.
z x 2 zx
c. Chƣ́ng minh: x; y; z
suy ra
3( x 2 y 2 z 2 ) ( x y z)2 .
Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng cộng m}̂u số, ta được:
x2 y 2 z2
x2 y 2 z 2 ( x2 y 2 z 2 )
3( x 2 y 2 z 2 ) ( x y z)2 . D}́u " " khi x y z.
1
1
1
3
suy ra
d. Chƣ́ng minh: x; y; z 0 ( x y z)( x 2 y 2 z 2 ) 3( x 2 y y 2 z z 2 x).
Ta có: ( x y z)(x2 y 2 z 2 ) ( x3 xy 2 ) ( y 3 yz 2 ) ( z 3 zx2 ) x2 y y 2 z z 2 x
Áp dụng BĐT Cauchy cho từng dấu (<) ta được:
VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
2
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016
( x y z)( x2 y 2 z 2 ) 2x2 y 2 y 2 z z 2 x x2 y y 2 z z 2 x 3( x2 y y 2 z z 2 x). D}́u " " khi x y z.
suy ra
e. Chƣ́ng minh: x; y; z 0 ( x y z)2 3( xy yz zx).
Ta có: ( x y z)2 x2 y 2 z2 2( xy yz zx) 3( xy yz zx). D}́u " " khi x y z.
suy ra
f. Chƣ́ng minh: x; y; z 0 x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 xyz( x y z).
Đặt: a xy; b yz; c zx thì bất đẳng thức c}̀n chứng minh tương đương với:
a2 b2 c 2 ab bc ca : luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy (BĐT a.)
D}́u đẵng thức khi x y z hoặc y z 0 hoặc x y 0 hoặc z x 0.
suy ra
g. Chƣ́ng minh: x; y; z 0 ( xy yz zx)2 3 xyz( x y z).
Đặt: a xy; b yz; c zx thì bất đẳng thức c}̀n chứng minh tương đương với:
(a b c)2 3(ab bc ca) : luôn đúng theo BĐT e.
D}́u đẵng thức khi x y z hoặc y z 0 hoặc x y 0 hoặc z x 0.
h. Chƣ́ng minh: x; y; z
suy ra
3( x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 ) ( xy yz zx)2 .
( xy)2 ( yz)2 ( zx)2 Cauchy Schwarz
Ta có: 3( x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 ) 3
( xy yz zx)2 .
1
1
1
D}́u đẵng thức xãy ra khi x y z.
i. Chƣ́ng minh: x; y; z
9
suy ra
( x y z)( xy yz zx) ( x y)( y z)( z x).
8
Cauchy
Ta có: ( x y)( y z)( z x) 2 xy . yz . zx 8 xyz.
Mặt khác: ( x y z)( xy yz zx) xyz ( x y)( y z)( z x). Suy ra:
1
9
( x y z)( xy yz zx) 1 ( x y)( y z)( z x) ( x y)( y z)( z x).
8
8
D}́u đẵng thức xãy ra khi: x y z.
Chƣ́ng minh các bất đẳng thƣ́c phụ
1
suy ra
j. Chƣ́ng minh: x; y 0 x3 y 3 ( x y)3 .
4
2
Cauchy
xy
( x y )3
Ta có: x3 y 3 ( x y)3 3x.y( x y) ( x y)3 3.
.( x y)
Dấu " " khi x y.
4
2
1
1
2
1
1
2
suy ra
suy ra
k. Chứng mnh: xy 1
v| xy 1
1 x2 1 y 2 1 xy
1 x 2 1 y 2 1 xy
Chứng minh: xy 1
1
1
2
2
2
1 xy
1 x
1 y
(1)
1
1 1
1
B}́t đẵng thức (1) tương đương với:
0
2
2
1 xy 1 y
1 xy
1 x
xy x2
(1 x )(1 xy)
2
( y x)
xy y 2
(1 y )(1 xy)
2
x(1 y 2 ) y(1 x2 )
(1 x )(1 y )(1 xy)
2
2
( y x)2 ( xy 1)
(1 x2 )(1 y 2 )(1 xy)
0
x( y x)
(1 x )(1 xy)
0 ( y x)
2
y( x y)
(1 y 2 )(1 xy)
( x y) xy(y x)
(1 x2 )(1 y 2 )(1 xy)
0
0
0 : đúng xy 1. D}́u " " khi x y hoặc xy 1.
VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
3
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016
Chứng minh: xy 1
1
1
2
2
2
1 xy
1 x
1 y
(2)
Ta làm tương tự và d}́u đẵng thức xãy ra khi và chĩ khi x y hoặc xy 1.
Suy ra: xy 1
1
1
2
1
1
2
v| xy 1
1 x 1 y 1 xy
1 x 1 y 1 xy
1
1
1
3
1 x2 1 y 2 1 z 2 1 xyz
Mỡ rộng: x; y; z 1 thì
(3)
Chứng minh: Ghép từng cặp xoay vòng, cộng lại. D}́u " = " khi và chỉ khi: x y z 1.
suy ra
l. Chƣ́ng minh: x; y 1
1
1
1
2
2
1 xy
(1 x)
(1 y)
2
1
1
1
1
1
2
1
Ta có:
0
2
2
1 xy
(1 x) (1 y)
1 x 1 y (1 x)(1 y) 1 xy
( y x)2
1 xy x y
( y x)2
( x 1)( y 1)
0
0 : đúng x , y 1.
2
2
2
2
(1 x) (1 y) (1 x)(1 y)(1 xy)
(1 x) (1 y) (1 x)(1 y)(1 xy)
D}́u đẵng thức xãy ra khi và chĩ khi x y 1.
1
suy ra
m. Chƣ́ng minh: x; y 0;1
Ta có: 1.
1
1 x
2
1.
Cauchy Schwarz
1
1 y
Mặt khác x , y (0;1), thì
2
1 x
12 12 .
2
1
1 y
2
2
1 xy
1
1
2
1 x
1 y2
(1)
1
1
2
2
2
1 xy
1 x
1 y
(2)
1
xy x 2
xy y 2
1 1
1
0
0
Th}̣t v}̣y: (2)
2
1 xy 1 y 2 1 xy
(1 x 2 )(1 xy) (1 y 2 )(1 xy)
1 x
x( y x)
(1 x2 )(1 xy)
Từ (1), (2), suy ra:
y( x y)
(1 y 2 )(1 xy)
1
1 x2
0
1
1 y2
( y x)2 ( xy 1)
(1 x2 )(1 y 2 )(1 xy)
2
1 xy
0 : đúng xy 1.
, x; y 0;1 . D}́u đẵng thức xãy ra khi: x y.
2
x, y 0
2
1
1
suy ra
n. Chƣ́ng minh:
1 1
1
x
y
xy
x y 1
Ta có: BĐT
( x y )2
( x y)2
1 1 1
4
4
1
4
1 1
4
xy x y ( x y)2 x y
xy ( x y)2 x y x y
xy( x y)2 xy( x y)
( x y)2 (1 x y) 0 : đúng với mọi x y 1 và dấu " " khi và chỉ khi: x y.
VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
4
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2016
Câu 1: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a, b, c [1;2] . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
2(ab bc ca)
8
bc4
P
2(2a b c) abc 2a(b c) bc 4
bc 1
Trƣờng THPT Anh Sơn 2 – Lần 2
Lời giải tham khảo
Vì a, b, c [1;2] nên ta có (a 1)(b 2)(c 2) 0
abc 2(2a b c) 2(b c)a bc 4
Dấu ‚=‛ xảy ra khi a = 1 hoặc b = 2 hoặc c = 2
Do đó v| do a 1 nên ta có
P
2(ab bc ca)
8
bc4
2(2a b c) abc 2a(b c) bc 4
bc 1
2(ab bc ca)
8
b c 4 2a(b c) bc 4 bc 4 b c 4
2a(b c) bc 4 2a(b c) bc 4
2a(b c) bc 4
bc 1
bc 1
1
bc 4
bc4
bc 4
bc4
bc 4
2 bc 4
1
1
2a(b c) bc 4
2(b c) bc 4
bc 4 bc 4
bc 1
bc 1
bc 1
Đặt t bc [1;2] . Xét hàm số f (t ) 1
f '(t )
t 2 4 2t 4
trên [1;2]
(t 2) 2 t 1
4t 8
2
4 2
0
2
2
(t 2) (t 1)
27 9
nên f (t ) liên tục v| đồng biến trên [1;2] Suy ra P f (t ) f (2)
Vậy, giá trị lớn nhất của P
7
6
7
khi a =1 , b = c = 2.
6
Câu 2: Cho các số thực a, b, c không âm thỏa mãn a2 b2 c2 1 .Chứng minh rằng
1
1
1
9
.
1 ab 1 bc 1 ca 2
Trƣờng THPT Bắc Yên Thành – Lần 1
Lời giải tham khảo
VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
5
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016
1
1
1
9
ab
bc
ca
3
1 ab 1 bc 1 ca 2
1 ab 1 bc 1 ca 2
Ta có
ab
2ab
2ab
.
2
2
2
2
1 ab 2a 2b 2c 2ab a b2 2c 2
a b
a2
b2
4ab
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 2 2 2 2
.
2
2
2
a c b c
a b 2c
a b 2 2c 2
2
Vậy
ab
1 a2
b2
2 2 2 2 .
1 ab 2 a c b c
Tương tự
bc
1 b2
c2
2
2
1 bc 2 b a 2 c a2
ac
1 a2
c2
,
2 2 2 2
1 ac 2 a b c b
.
3
.
3
Cộng lại ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng khi a b c
Câu 3: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz
8.
48
x y z 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P ( x y )( y z )( z x) +
Trƣờng THPT Số 3 – Bảo Thắng – Lào Cai– Lần 1
Lời giải tham khảo
(x
y )(y
Ta có : a
a2
a
b2
xy;b
xy
z )(z
b
2
c2
yz;c
yz
zx
x)
(x
y
(b
c)2
(c
ab
bc
z ) xy
a )2
ca
y
zx
8
0
a
b
xy
zx vào (*)
2 6 x
yz
yz
c
2
zx
3 ab
2
bc
3xyz x
ca * . Thay
y
z
z
Do đó : P 2 x y z 6 x y z
48
8
x y z 3
Đặt : t x y z 3 3 xyz 6 P 2t 6t
48
8, t x y z, t 6
3t
3 6t t 3 24
48
Xét hàm số f (t ) 2t 6t
8, t 6 f '(t )
f '(t ) 0, t 6
3
3t
t 3
3
VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
6
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016
f (t ) đồng biến trên 6; . Vậy Min f (t ) f (6) 80
6;
Suy ra P 80 dấu bằng xảy ra khi x y z 2
Kết luận : Giá trị nhỏ nhất của P l| 80 đạt được khi x y z 2
Câu 4: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a
b
7
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
a2
b2
c
1.
121
14(ab bc
c2
ca )
Trƣờng THPT Bình Minh – Ninh Bình – Lần 1
Lời giải tham khảo
Ta có 1
(a
c)2
b
a2
c2
7
Do đó A
a
2
b
a2
Suy ra t
b2
(a
Mặt khác 1
a2
Suy ra t
c
7
t
2
a
b2
a
b
c
bc
ab
ca)
bc
c
ca
1
(a 2
b2
c2 )
1
2
.
a2
b2
c2
121
,t
7(1 t )
121
0
2
t)
c 2 ))
1,0
b
1,0
1
1
. Vậy t
3
c2
7(1
2
1 nên 0
c
7
t
(a
7(1
c)2
b
Xét hàm số f (t )
2
c2
b2
2(ab
121
2
Đặt t a 2 b2 c2 .
Vì a,b,c 0 và a b
f '(t )
b2
t
2(ab
bc
ca )
3(a 2
b2
c2 )
1
;1
3
1
;1
3
7
18
BBT
t
f '(t )
f (t )
1
3
-
7
18
0
1
+
324
7
VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
7
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016
Suy ra f (t )
a
1
;b
2
324
, t
7
1
;c
3
324
với mọi a,b,c thỏa điều kiện đề bài. Hơn nữa, với
7
1
;1 . Vậy A
3
7
a 2 b2 c2
1
thì
18
6
a b c 1
324
Vậy min A
7
và A
324
7
Câu 5: Cho các số thực x, y , z thỏa mãn x 2, y 1, z 0 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P
1
2 x y z 2(2 x y 3)
2
2
2
1
y ( x 1)( z 1)
Trƣờng THPT Bố Hạ – Lần 2
Lời giải tham khảo:
Đặt a x 2, b y 1, c z a, b, c 0
P
1
2 a 2 b2 c2 1
Ta có a 2 b2 c 2 1
1
(a 1)(b 1)(c 1)
(a b)2 (c 1)2 1
(a b c 1)2
2
2
4
Dấu “=” xảy ra khi a b c 1
Mặt khác ( a 1)(b 1)(c 1)
Khi đó P
(a b c 3)3
27
1
27
. Dấu “=” xảy ra khi a b c 1
a b c 1 (a b c 3)3
1
27
Đặt t a b c 1 1 . Khi đó P
,t 1
t (t 2)3
1
27
1
81
81t 2 (t 2) 4
f (t )
, t 1; f '(t ) 2
t (t 2)3
t
(t 2) 4
t 2 (t 2) 4
Xét f '(t ) 0 81t 2 (t 2) 4 0 t 2 5t 4 0 t 4 (do t>1) lim f (t ) 0
x
t
1
f’(t)
+
f(t)
4
0
-
1
8
0
0
VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
8
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016
Từ BBT Ta có maxf(x)=f(4)=
Vậy ma xP f(4)
1
8
a b c 1
1
a b c 1 x 3; y 2; z 1
8
a b c 1 4
Câu 6: Cho x, y, z 0 thoả mãn x + y + z 0 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
x 3 + y 3 + 16z 3
x + y + z
3
Trƣờng THPT Cam Ranh – Khánh Hoà– Lần 1
Lời giải tham khảo
3
Trước hết ta chứng minh được: x + y
3
x + y
3
4
x + y + 64z 3 = a - z
Đặt x + y + z = a. Khi đó 4P
3
3
+ 64z 3
a
a
3
3
= 1 - t + 64t 3 (với t =
3
z
;0 < t <1 )
a
Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t 0;1 .
1
2
Có : f'(t) = 3 64t 2 - 1 - t ,f'(t) = 0 t = 0;1 . Lập bảng biến thiên
9
16
64
đạt được khi x = y = 4z >0
Minf t =
GTNN của P là
81
81
0;1
Câu 7: Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 v| thoả mãn điều kiện:
1 1 1
+ + 2
x y z
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x - 1 y - 1 z - 1
Trƣờng THPT Cam Ranh – Khánh Hoà – Lần 2
Lời giải tham khảo
Ta có
1 1 1
+ + 2 , nên :
x y z
1
1
1
y -1
z -1
(y - 1)(z - 1)
(1 - ) + (1 - ) = (
)+(
)2
(1)
x
y
z
y
z
yz
1
1
1
x -1
z -1
(x - 1)(z - 1)
(1 - ) + (1 - ) = (
)+(
)2
(2)
y
x
z
x
z
xz
1
1
1
x -1
y -1
(x - 1)(y - 1)
(1 - ) + (1 - ) = (
)+(
)2
(3)
z
x
y
x
y
xy
Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được (x - 1)(y - 1)(z - 1)
1
8
VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
9
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016
1
3
x=y=z=
8
2
Vậy Amax =
Câu 8: Giả sử a , b , c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P
a2
b2
3
( a b)2
2
2
(b c) 5bc (c a) 5ca 4
Trƣờng THPT Cao Lãnh 2 – Đồng Tháp – Lần 1
Lời giải tham khảo
Áp dụng bất đẳng thức Côsi
Tương tự:
a2
(b c)2 5bc
a2
4a2
5
9(b c)2
( b c )2 ( b c )2
4
b2
4b 2
(c a)2 5ca 9(c a)2
a2
b2
4 a2
b2 2 a
b
2
2
2
2
(b c ) 5bc (c a) 5ca 9 (b c ) (c a) 9 b c c a
2
2
( a b) 2
2
c(a b)
2
2
a b c(a b)
2
2
2 2( a b)2 4c(a b)
2
9 ab c( a b) c 2
9 ( a b) 2
9 ( a b ) 2 4c( a b ) 4c 2
2
c( a b) c
4
2
Vì a b c 1 a b 1 c nên ta có
2
2
2 2(1 c)2 4c(1 c) 3
8
2 3
2
P
(1 c)2 1
4 (1 c) (1)
2
2
9 (1 c) 4c(1 c) 4c 4
9 c 1
2
Xét hàm số
8
2 3
2
f (c) 1
4 (1 c) , c (0;1)
9 c 1
f (c )
16
2 2
3
1
(c 1); f ( c) 0 c
1 c 1
2
9
3
(c 1) 2
Bảng biến thiên
c
f (c)
f (c)
1
3
0
0
1
1
9
1
Dựa vào BBT ta có f (c) , c (0;1) (2)
9
VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
10
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016
1
1
Từ (1) và (2) suy ra P , dấu đẳng thức xảy ra khi a b c
3
9
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
9
Câu 9: Với x, y, z là các số thực đôi một phân biệt. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
2x y 2 y z 2z x
M
.
x y yz zx
2
Trƣờng THPT Chuyên KHTN – Lần 2
Lời giải tham khảo
Câu 10: Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x 2 y 3 z 4 x 3 y 4 z 5 , chứng minh rằng
x3 y 3 z 3 3
Trƣờng THPT Chuyên KHTN– Lần 1
Lời giải tham khảo
Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x 2 y 3 z 4 x 3 y 4 z 5 , chứng minh rằng
x3 y 3 z 3 3
thức :
VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
11
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016
Câu 11: Cho x, y, z là các số thực dương v| thỏa mãn điều kiện a 2
ab
b2
c a
b
c .Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
a c
b c
2
2a 2ac c
2
2
2
2b 2bc a
2
2
ab
a b
2
ab
a 4bc b 2
2
Trƣờng THPT Chuyên KHTN – Lần 3
Lời giải tham khảo
Bổ đề : Cho x, y
(xy
Thật vậy (*)
a c
2
1 khi đó :
b c
1
y 2 )(1
1
x
2
1
2
2
2
y
1
2
1
xy
(*)
0 (Luôn đúng)
xy )
2b 2bc a
2
1
y)2
1)(x
x 2 )(1
(1
2
2a 2ac c
2
0; xy
a
1
ac
2
1
b
1
bc
2
2
ab
1
(a c)(b c)
(a c)(b c) ab c( a b c) a b
2t 1
1
Đặt t
4 thì P f (t ), f (t )
ab
ab
4
1 t t t 2
2
Ta có : f '(t )
2
1 t
2
Suy ra : f (t ) f (4)
1
1
1
1
2
2
0 do 2
2
2
2
2
t
t
t 2
t 2 t (t 2) (t 1)
121
121
Dấu bằng xảy ra khi t 4 a b c . Vậy : Pmax
60
60
Câu 12:Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa: x2 + y2 + z2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = 3(x + y + z) + 2(
1
x
11)
y
z
Trƣờng THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Khánh Hoà – Lần 1
Lời giải tham khảo
Trước hết ta có: (x – 1)2(x – 4) ≤ 0 ,x <
Hay : x2 + 9 ≤ 6x +
4
x
½ (x2 + 9) ≤ 3x +
3 (dấu “=” xảy ra tại x = 1)
2
x
2
2
y
2
(1)
2
z
Tương tự ta cũng có ½ (y + 9) ≤ 3y +
½ (z + 9) ≤ 3z +
(2)
(3)
Cộng (1),(2) và (3) vế theo vế cuối cùng ta có: ½ (x2 + y2 + z2 + 27) P
Vậy minP = 15 x = y = z = 1
VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
12
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016
Câu 13:Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn x y z
3
.
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của: P x3 y3 z3 x2 y 2 z 2 .
Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn Huệ – Lần 1
Lời giải tham khảo
1
▪ Giả sử x min x; y; z suy ra x 0;
2
Ta có:
x3 y 3 z 3 3xyz x y z x 2 y 2 z 2 xy yz zx
2
x3 y 3 z 3 3xyz x y z x y z 3 xy yz zx
27 9 xy yz zx
3xyz
8
2
Ta có:
P x3 y 3 z 3 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2z 2 3xyz
27 9
xy yz zx
8 2
2
1
1 13
27 9
xyz xyz
xy yz zx
8 64 4
8 2
215 9
9 13
xy zx yz x
64 2
2 4
2
9 13
1
9 13
y z 9 13
Vì 0; x 0 yz x
x
2 4
2
2 4
2 2 4
2
215 9 3
13
9 13
Suy ra P
x x x x
64 2 2
4 2
2 4
2
215 9 3
13
9 13
1
Xét f x
x x x x , x 0;
64 2 2
4 2
2 4
2
1
1 25
Hàm số f x nghịch biến trên 0; f x f
2
2 64
1
25
Vậy GTLN của P bằng
đạt khi x y z .
2
64
Câu 14:Cho x, y, z 0 và 5 x2 y 2 z 2 9 xy 2 yz zx .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P
x
y z
2
2
1
x y z 3
.
Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn Huệ – Lần 2
VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
13
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016
Lời giải tham khảo
Đặt y z t t 0 ; y 2 z 2
t2
t2
; yz
2
4
5 x 2 y 2 z 2 9 xy 2 yz xz x 2 5 y z 9 x y z 28 yz
2
5 x 2 5t 2 9 xt 7t 2 5 x t x 2t 0 x 2t
P
2x
1
với t 0
27t 3
4
1
f t 2 4
t
9t
f t 0
1
t
6
t 0
t
2
1
1
Lập bảng biến thiên suy ra GTLN của P bằng 16 đạt được tại x ; y z
3
12
Câu 15: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x y; x z y z 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P
1
x y
2
4
x z
2
4
y z
2
Trƣờng THPT Chuyên Sơn La – Lần 1
Lời giải tham khảo
1
a x z y z .
a
1
x y x z y z a a 1
a
x y x z ( y z)
a2 1
a
Thay v|o P được:
P
P
a
a
a2
2
1
2
3a 2
a2
2
1
Xét f (t )
4
4a 2
2
a
2
t
t 1
2
4
a2
a2
3a 2 4
2
2
2
a
a 1
3t 4 ; t a 2 1
VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
14
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016
f '(t )
t 1
t 1
T
3
3; f '(t ) 0
3t 3 9t 2 8t 4
t 1
f’
0
-
0 t 2; (t 1)
2
1
3
+
F
12
Min f (t ) 12 . Vậy Min P 12 khi x z 2; y z x y 1 .
t 1
2
x, y
Câu 16: Cho
P x4 y 4
2 y x 2
thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
y 2 x 3 x
2
x y
2
Trƣờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 1
Lời giải tham khảo
Từ giả thiết ta có y 0 và
2
x2
6
2 x 2 3x 0 x và x 2 y 2 x 2 2 x 2 3x 2 x 2 2 x 2 6 x 5
2
5
6
Xét hàm số f ( x) 2 x 2 2 x 2 6 x 5 ; x 0; ta được Max f(x) = 2 x 2 y 2 2
6
5
0;
5
P x y
2
2 2
2x y
2
2
Đặt t x 2 y 2 P
2
x y
x y
2
2
2 2
x
2
y2
2
2
2
x y2
2
t2 2
,0t 2
2 t
Xét hàm số:
g (t )
t2 2
, t 0; 2
2 t
g '(t ) t
1 t3 2
2 ; g '(t ) 0 t 3 2
2
t
t
VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
15
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016
Lập bảng biến thiên ta có Min P
6
33 4
16
khi x y
2
2
Câu 17:Cho a, b, c l| độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức :
T
4
4
4
1 1 1
ab bc ca a b c
Trƣờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 2
Lời giải tham khảo
T
4
4
4
1 1 1 5a 1 5b 1 5c 1
1 a 1 b 1 c a b c a a 2 b b2 c c2
1
Vì a, b, c l| độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 a, b, c 0;
2
3a 1 2a 1 0 , a 0; 1
5a 1
Ta có
18a 3
2
aa
a a2
2
2
Từ đó suy ra :
5a 1
1
18a 3, a 0;
2
aa
2
Ta cũng có 2 bất đẳng thức tương tự:
5b 1
5c 1
1
1
18b 3, b 0; và
18c 3, c 0;
2
2
bb
cc
2
2
Cộng các bất đẳng thức này lại với nhau ta có :
T
5a 1 5b 1 5c 1
18 a b c 9 9 .
a a 2 b b2 c c 2
Dấu đẳng thức xẩy ra khi a b c
1
1
Tmax 9 đạt được a b c
3
3
Vậy Cho a, b, c l| độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 , thì giá trị lớn nhất của biểu
thức :
T
4
4
4
1 1 1
1
bằng 9 v| đạt được khi và chỉ khi a b c
3
ab bc ca a b c
Chú ý: Để có được bất đẳng thức
5a 1
1
18a 3, a 0; ta đã sử dụng phương ph{p tiếp
2
aa
2
tuyến
Câu 18: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x y 2016 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2
2
2
2
2
2
2
biểu thức : P 5 x xy 3 y 3x xy 5 y x xy 2 y 2 x xy y
VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
16
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016
Trƣờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 3
Lời giải tham khảo
P A B .
Trong đó A 5 x 2 xy 3 y 2 3x 2 xy 5 y 2
và B x 2 xy 2 y 2 2 x 2 xy y 2
A 3 x y 3 2016 6048 * dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x y 1008
6 A 180 x 2 36 xy 108 y 2 108 x 2 36 xy 180 y 2
11x 7 y
2
59 x y
2
11y 7 x
2
59 y x
11x 7 y 11y 7 x 18 x y
2
B 2 x y 2 2016 4032 ** dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x y 1008
4 B 16 x 2 16 xy 32 y 2 32 x 2 16 xy 16 y 2
3x 5 y
2
7 x y
3 y 5x
2
2
7 y x
3x 5 y 3 y 5 x 8 x y
2
Từ * và ** ta đươc P A B 6048 4032 10080 , dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
x y 1008 . Vậy Pmin 10080 x y 1008
2
abc
Câu 19: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
4abc.
2016
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P
a
a bc
b
b ca
c
c ab
.
Trƣờng THPT Chuyên Hạ Long – Lần 2
Lời giải tham khảo
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có
a
P
2 a bc
b
2 b ca
1 1
1
1
.
2 4 ab 4 bc 4 ca
2 c ab
c
Với các số thực x, y , z , ta có ( x y)2 ( y z)2 ( z x)2 0 xy yz zx x 2 y 2 z 2 .
Do đó
1 1
1
1
4
2 ab 4 bc 4 ca
abc
ab bc ca
1 1
1
1
.
. Suy ra P
2 a
2 abc
b
c
2 abc
Từ giả thiết, ta có a b c 4032 abc . Do đó P 2016
Với a b c
1
, ta có P 2016 . Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2016.
1344 2
VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
17
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016
Câu 20:Cho hai số dương x, y ph}n biệt thỏa mãn: x 2 2y 12 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
4
4
5
.
4
4
x
y 8 x y 2
Trƣờng THPT Chuyên Long An – Lần 1
Lời giải tham khảo
Từ điều kiện, dùng bất đẳng thức côsi suy ra: 0 xy 8 .
Đ{nh gi{ P
Đặt t
1 x 2 y2 5
1
. 2 2 .
16 y
x 64 x y
2
y x
x y
1
5 1
t 2 . Khi đó P . t 2 2 .
y x
16
64 t 2
1 2 5 1
1
.t .
(với t > 2)
16
64 t 2 8
Tính đạo hàm, vẽ bảng biến thiên, tìm được:
Xét hàm số f (t )
5
27
min f (t) f 2 64
2;
Tìm được giá trị nhỏ nhất của P là
27
khi x = 2 và y = 4
64
Câu 21: Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa 5 a b c
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P
2
2
2
6 ab bc ca
2 a b c b2 c 2
Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành– Lần 1
Lời giải tham khảo
Từ điều kiện suy ra a b c 2 b c
1
3
1
P 2t t 4 , t b c maxP , a 1, c b
2
2
2
Câu 22: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 8(a2 + b2 + c2) = 3(a + b + c)2.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a(1 – a3) + b(1 – b3) + c.
Trƣờng THPT Đa Phúc – Hà Nội – Lần 1
Lời giải tham khảo
+) Từ giả thiết ta có: 5c2 – 6 (a+b)c + (a+b)2 0
1
( a b) c a b .
5
VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
18
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016
1
1
+) Ta có a 4 b4 (a b)4 a, b => P 2(a b) (a b)4
8
8
+) Xét f (t ) 2t
t4
8
(t 0), f '(t ) 2
t3
; f '(t ) 0 t 3 4
2
+) BBT:<
T
3
0
+
4
f’(t)
+
0
-
33 4
2
f(t)
34
ab
33 4
+) MaxP =
2 .
2
3
c 4
Câu 23:Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
a 2 b2 c 2 4 .
3a
3b
3c
2
2
.
b2 c 2 c a 2 a b2
Trƣờng THPT Đa Phúc – Hà Nội – Lần 2
Lời giải tham khảo
a 2 b 2 c 2 4
Từ giả thiết
a, b, c 0; 2 và a2 b2 c2 4 b2 c2 4 a2 <
a , b, c 0
Do đó P
3a
3b
3c
3a
3b
3c
3a 2
3b2
3c 2
2
2
b2 c 2 c a 2 a b2 4 a 2 4 b2 4 c 2 4a a 3 4b b3 4c c 3
Vì a, b, c 0 .
Xét hàm số f x 4 x x 3 với x 0;2 . Có
f ' x 4 3x 2 f ' x 0 x
2 3
, f (0) 0, f (2) 0 .
3
Ta có bảng biến thiên của hàm số f x trên 0; 2 là
VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
19
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016
3
2 3
2 3 2 3 16 3
f
4
3
3 9
3
Từ bảng biến thiên ta có 0 f ( x)
16 3
, x 0; 2 .
9
Tức 0 4 x x3
16 3
1
9
3x 2
9 3x 2
, x 0; 2 .
9
4 x x3 16 3
4 x x3 16 3
Dấu ‚=‛ khi x
2 3
.
3
Áp dụng ta có
3a 2
9 3a 2 9a 2
3b2
9 3b2 9b2
3c 2
9 3c 2 9c 2
;
;
, (a, b, c 0; 2 )
4a a3 16 3
16 4b b3 16 3
16 4c c3 16 3
16
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được
P
9a 2 9b2 9c 2 9 2 2 2
9
a b c .
16 16 16 16
4
Và dấu ‚=‛ xảy ra a b c
Vậy min P
2 3
.
3
2 3
9
đạt được, khi và chỉ khi a b c
.
3
4
Câu 24: Cho a, b, c l| độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn 2c b abc.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S
3
4
5
bca a cb a bc
Trƣờng THPT Phƣớc Bình- Bình Phƣớc – Lần 1
Lời giải tham khảo
VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
20
- Xem thêm -
.PDF 
123 
117 
141 
