Tài liệu [toanmath.com] cân bằng hệ số chứng minh bđt bằng phương pháp hàm số tạ ngọc thiện

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tạ Ngọc Thiện CÂN BẰNG HỆ SỐ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tạ Ngọc Thiện Trường THPT Kinh Môn II huyện Kinh Môn- tỉnh Hải Dương Số ĐT: 0987733393 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1. Bài toán tổng quát 1. Cho các số thực a1 , a2 ,...an  D thỏa mãn g (a1 )  g (a2 )  ...  g (an )     n.g (  ) với số thực   D . Chứng minh rằng: f (a1 )  f (a2 )  ...  f (an )     n. f (  ) . Để giải bài toán này ta cần biểu diễn f (ai ) qua g (ai ), i  1, 2,..., n nên ta xét hàm số h(t )  f (t )   g (t ), t  D . Số  được xác định sao cho hàm số h(t ) đạt cực f '(  ) . tiểu (hoặc cực đại) tại t0   thì h '(  )  0 và suy ra    g '(  ) 1 Ví dụ 1. Cho a, b, c  0 và a  b  c  1. Chứng minh rằng a 3  b3  c 3  . 9 Nhận xét. Từ giả thiết ta thấy đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 và BĐT cần 3 1 chứng minh có dạng f (a)  f (b)  f (c)  . Trong đó f (t )  t 3 , t   0;1 và 9 f '(1 3) 1 g (t )  t , khi đó      nên ta có lời giải như sau. g '(1 3) 3 Lời giải: 1 Xét hàm số y  t 3  t với t  (0;1) . 3 1 1 Ta có y '  0  3t 2   0  t  . 3 3 Bảng biến thiên t 13 0 0 y’ ─ y 1 + 2 3 0  2 27 Dựa vào bảng biến thiên ta có 2 1 2 1 2 với t  (0;1) y    t3  t    t3  t  27 3 27 3 27 Từ đó suy ra: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2 1 ; a3  a  3 27 1 2 b3  b  ; 3 27 1 2 c3  c  3 27 với a, b, c  (0;1) Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức này lại với nhau ta có 1 6 1  . a 3  b3  c3   a  b  c   3 27 9 1 Dấu bằng xảy ra khi a  b  c  . Vậy ta có điều phải chứng minh. 3 Ví dụ 2. Cho a , b , c   3 và a  b  c  1 . Chứng minh rằng 4 a 9 b c  2  2  . a 2  1 b  1 c  1 10 (Vô địch Toán Ba Lan 1996) Nhận xét.  3 5 1 Từ giả thiết ta thấy a, b, c   ;  , đẳng thức xảy ra khi a  b  c  và BĐT  4 2  3 9 cần chứng minh có dạng f (a )  f (b)  f ( c )  . 10  3 5 x , x   ;  và g ( x )  x , khi đó a   f '(1 3)   18 nên Trong đó f ( x )  2  4 2  x 1 25 g '(1 3) ta có lời giải như sau. Lời giải: Xét hàm số: y  3 5 x 18  x với x   ;  .  4 2  x 2  1 25 Ta có  1 x  2 1 x 18  3 y' 0  2  . 2   x  1 25  x   1 3  Bảng biến thiên Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 3 4 x y’ + 1 3 0 3 50 y  3 50 ─ 13 0 3 50 52 +  211 145 Dựa vào bảng biến thiên ta có  3 5 x 18 3 3 x 18 3  2  x với x   ;  . y  2  x  4 2  x  1 25 50 x  1 25 50 50 Từ đó suy ra: a 18 3  a ; 2 a  1 25 50 3 b 18  b ; 2 50 b  1 25 c 18 3  c 2 c  1 25 50  3 5  4 2  với a, b, c   ;  . Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức này lại với nhau ta có b c 9 9 a 18  2  2  a  b  c    . 50 10 a 2  1 b  1 c  1 25 1 Dấu bằng xảy ra khi a  b  c  . Vậy ta có điều phải chứng minh. 3 Nhận xét. Qua các ví dụ trên ta thấy các bất đẳng thức cần chứng minh đều có các biến có tính chất đối xứng nên dễ dàng nhận ra dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau. Nếu các bất đẳng thức cần chứng minh không còn tính chất đối xứng giữa các biến nữa thì chắc rằng dấu bằng không thể xảy ra khi các biến bằng nhau. Khi đó các bất đẳng thức cần chứng minh sẽ hay hơn và khó hơn nhiều so với trường hợp dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau. Vậy các bất đẳng thức ở dạng này xảy ra dấu bằng khi nào và làm thế nào để tìm được dấu bằng xảy ra ? Để làm rõ vấn đề này thì ta xét các bài toán tổng quát sau đây. 2. Bài toán tổng quát 2. Cho các số thực a, b, c  D thỏa mãn mg (a )  ng (b)  pg (c)     k với số thực a, b, c  D . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chứng minh rằng: f (a)  f (b)  f (c)     k . Để giải bài toán này ta cần biểu diễn f (a ), f (b), f (c) qua mg (a ), ng (a ), pg (c) nên ta xét hàm số h(t )  f (t )   g (t ), t  D , b  m, n, p . Số  được xác định sao cho hàm số h(t ) đạt cực tiểu (hoặc cực đại) tại f '(t0 ) t0  a, b, c thì h '(t0 )  0 và suy ra    .  g '(t0 ) Khi đó dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi các biến thỏa mãn hệ phương trình mg (a )  ng (b)  pg (c)  k  f '(b) f '(c)  f '(a )    mg '(a ) ng '(b) pg '(c)  Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm được giá trị của các biến a, b, c từ đó ta biết được đẳng thức xảy ra khi nào. Ví dụ 3. Cho a, b, c  0 và a  4b  9c  1. Chứng minh rằng 1 . a 3  b3  c3  1296 Nhận xét. Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0;1 và BĐT cần chứng minh có dạng Cho các số thực a, b, c  0 thỏa mãn g (a)  4 g (b)  9 g (c)  1 . Chứng minh rằng 1 f (a )  f (b)  f (c)  . 1296 Trong đó f (t )  t 3 , t   0;1 và g (t )  t . Khi đó dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi a, b, c thỏa mãn hệ phương trình 1  a  36 a  4b  9c  1   1  2   3a 3b 2 3c 2  b   1  4  9  18  1  c  12  f '(t0 ) 1  Ta có    . Vậy ta có lời giải như sau.  g '(t0 ) 432 Lời giải: Xét hàm số: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com y  t3  1  t với t  (0;1) . 432 Ta có y '  0  3t 2  Bảng biến thiên t  432  36  36 0 0 y’ 0t  ─ . 1 + 431 432 0 y  3 23328 Dựa vào bảng biến thiên ta có y 3 23328 với t  (0;1);   1;4;9 . Từ đó suy ra: 3 t   432 t 3 23328 3 t   432 t 3 23328 1 1 ; a 23328 432 4 8 ; b3  b 432 23328 9 27 c c3  23328 432 a3  với a, b, c  (0;1) . Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức này lại với nhau ta có 1 36 1 . a 3  b3  c 3    a  4b  9c   432 23328 1296 1 1 1 Dấu bằng xảy ra khi a  , b  , c  . Vậy ta có điều phải chứng minh. 36 18 12 4 208 Ví dụ 4. Cho a, b, c  0 và a  b  c  . Chứng minh rằng 9 27 3 3a  2  3 3a  2  3 3a  2  7 . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  208   Nhận xét. Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0;  và BĐT cần chứng minh ở trên có   27    4 208 . Chứng dạng: Cho các số thực a, b, c  0 thỏa mãn g (a )  g (b)  g (c)  9 27 minh rằng: f (a)  f (b)  f (c)  7 .  208  Trong đó f (t )  3 3t  2, t   0;  và g (t )  t . Khi đó dấu bằng của bất đẳng  27  thức xảy ra khi a, b, c thỏa mãn hệ phương trình  4 208  ab c  a  2  9 27    b  2  1 1 9     2 2 2 25 3 3 3   3a  2  c   3b  2  4  3c  2   3  1 f '(t0 ) Ta có      . Vậy ta có lời giải như sau.  g '(t0 ) 4 Lời giải: Xét hàm số: y  f (t )  3 3t  2    208  t , t   0; . 4  27  Ta có 1 y'  0  3 Bảng biến thiên t  3t  2  + y 3 2  4 0t   8  2   0 y’ 2  8  2  . 3  3  0 8b b 6 b 208 27 ─ 3 226 52b  27 9 Dựa vào bảng biến thiên ta có 8    8    8   y  3 3t  2  t   3 3t  2  t  4 4 6  6  6  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com với t  (0; 112  4 );   1;1;  . Từ đó suy ra: 3  9 3 1 3a  2  a  ; 4 2 3 1 3 3b  2  b  ; 4 2 1 56 3 3c  2  c  9 27 3  208  với a, b, c   0; .  27  Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức này lại với nhau ta có 4  137 1 3 7 3a  2  3 3a  2  3 3a  2   a  b  c   4 9  27  3 3a  2  3 3a  2  3 3a  2  7 . 25 Dấu bằng xảy ra khi a  2, b  3, c  . Vậy ta có điều phải chứng minh. 3 3. Bài toán tổng quát 3. Cho các số thực a, b, c  D thỏa mãn g (a )  g (b)  g (c)     k với số thực a, b, c  D . Chứng minh rằng mf (a )  nf (b)  pf (c)     k . Để giải bài toán này ta cần biểu diễn mf (a), nf (b), pf (c) qua g (a ), g (a ), g (c) nên ta xét hàm số h(t )   f (t )   g (t ), t  D , b  m, n, p . Số  được xác định sao cho hàm số h(t ) đạt cực tiểu (hoặc cực đại) tại t0  a, b, c  f '(t0 ) . Khi đó dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra thì h '(t0 )  0 và suy ra    g '(t0 ) khi các biến thỏa mãn hệ phương trình  g (a )  g (b)  g (c)  k   mf '(a) nf '(b) pf '(c)  g '(a )  g '(b)  g '(c)  Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm được a, b, c từ đó ta biết được đẳng thức xảy ra khi nào. Ví dụ 5. Cho a, b, c  0 và a  b  c  1. Chứng minh rằng Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com a 3  4b3  9c 3  36 . 121 Nhận xét. Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0;1 và BĐT cần chứng minh ở trên có dạng: Cho các số thực a, b, c  0 thỏa mãn g (a )  g (b)  g (c)  1 . Chứng minh 36 rằng: f (a)  4 f (b)  9 f (c)  . 121 Trong đó f (t )  t 3 , t   0;1 và g (t )  t . Khi đó dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi a, b, c thỏa mãn hệ phương trình 6  a  11 a  b  c 1   3    3a 2 12b 2 27c 2  b   1  1  1  11  2  c  11   f '(t0 ) 108  Ta có    . Vậy ta có lời giải như sau. g '(t0 ) 121 Lời giải: Xét hàm số: 108 t với t  (0;1) . y  t3  121 Ta có 108 6 . y '  0  3 t 2  0t  121 11  Bảng biến thiên t 6 11  0 1 ─ 0 + y’ 431 0 y 432  432 1331  3 Dựa vào bảng biến thiên ta có 108 432 108 432 432 y  t3  t  t3  t 121 1331  121 1331  1331  với t  (0;1);   1;4;9 . Từ đó suy ra: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 432 108 ; a 121 1331 108 216 4b 3  b ; 121 1331 108 144 9c 3  c 121 1331 a3  với a, b, c  (0;1) . Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức này lại với nhau ta có : 108 792 36 .  a 3  4b3  9c 3  a  b  c  121 1331 121 3 2 6 Dấu bằng xảy ra khi a  , b  , c  . Vậy ta có điều phải chứng minh. 11 11 11 Ví dụ 6. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có 5 10 sin A  sin B  6 sin C  . 4 (HSG Thái Nguyên 2012) Nhận xét. Vì A, B, C là 3 góc của tam giác nên ta có A  B  C  p và A, B, C  0; p . Do đó BĐT cần chứng minh có dạng: Cho các số thực A, B, C  0 thỏa mãn g ( A)  g ( B )  g (C )   . Chứng minh rằng: 5 10 . 4 Trong đó f (t )  sin t , t   0;  và g (t )  t . Khi đó dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi a, b, c thỏa mãn hệ phương trình  6  A  arccos 4  A  B  C    6    B  arccos  4 cos A  cos B  6 cos C    6 C    2arccos 4  f ( A)  f ( B)  6 f (C )  Ta có    Lời giải:  f '(t0 ) g '(t0 )  6 . Vậy ta có lời giải như sau. 4 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét hàm số y   sin t  6 t với t  (0; ) . 4 Ta có y '  0   cost  Bảng biến thiên t 6 6  0  t  arccos . 4 4 arccos 0 y’ +  6 4  0  ─ 16 2  6 6 6  arccos 4 4 4 y b   6 4 Dựa vào bảng biến thiên ta có 16  2  6 16  2  6 6 6 6 6 6 y  arccos   sin t  t  arccos 4 4 4 4 4 4 4 với t  (0;  );   1;1; 6 . Từ đó suy ra:   6 10 6 6 A  arccos ; 4 4 4 4 10 6 6 6 ; sin B  B  arccos 4 4 4 4 3 10 6 1 6 C  arccos 6 sin C  4 4 4 4 sin A  với A, B, C  (0; ) . Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức này lại với nhau ta có 5 10 6 6 6 6 1 sin A  sin B  6sin C    A  B  C   arccos  arccos  arccos  4 4 4 4 4 4 5 10 6 6 5 10   A  B  C    A  B  C  . 4 4 4 4 5 10  sin A  sin B  6 sin C  4 Dấu bằng xảy ra khi  sin A  sin B  6sin C  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 6 6 6 ; B  arccos ; C    2arccos . 4 4 4 Vậy ta có điều phải chứng minh. A  arccos Ví dụ 7. Cho a, b, c  0 và a  b  c  3 . Chứng minh rằng a 7 b c    . b  c c  a 4(a  b) 8 Nhận xét. Biến đổi BĐT đã cho về dạng b c a 7    3  a 3  b 4(3  c) 8 Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0;3 và BĐT cần chứng minh ở trên có dạng: Cho các số thực a, b, c  0 thỏa mãn g (a)  g (b)  g (c)  3 . Chứng minh rằng: 1 7 f (a )  f (b)  f (c)  . 8 4 t , t   0;3 và g (t )  t . Khi đó dấu bằng của bất đẳng thức xảy Trong đó f (t )  3t ra khi a, b, c thỏa mãn hệ phương trình 3  a  5 a  b  c  3  3   3 3  b   3   5   3  a 2  3  b 2 4  3  c 2    9 c  5  f '(t0 ) 25 Ta có      . Vậy ta có lời giải như sau. g '(t0 ) 48 Lời giải: Xét hàm số y  f (t )  t 3t  25 t , t   0;3 . 48 Ta có y'  0  Bảng biến thiên 15  12  3 25 0t  . 2  5  3  t  48 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com t 15  12   0 y’ ─ 3 5 0 0 +  y 40   16  25 16 Dựa vào bảng biến thiên ta có 40  16  25 t 25 40  16  25 t 25 40  16  25 y   t   t 16 3  t 48 16 3  t 48 16  1 với t  (0;3);   1;1;  .  4 Từ đó suy ra: 1 a 25  a ; 3  a 48 16 1 b 25  b ; 3  b 48 16 9 c 25  a 16 4  3  c  48 với a, b, c  (0;3) . Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức này lại với nhau ta có: b c 11 7 a 25     a  b  c   3  a 3  b 4(3  c) 48 16 8 b c a 7    .  b  c c  a 4(a  b) 8 3 3 9 Dấu bằng xảy ra khi a  , b  , c  . Vậy ta có điều phải chứng minh. 5 5 5 4. Bài toán tổng quát 4. Cho các số thực a, b, c  D thỏa mãn mg (a )  ng (b)  pg (c)     k với số thực a, b, c  D . Chứng minh rằng m ' f (a)  n ' f (b)  p ' f (c)     k . Để giải bài toán này ta cần biểu diễn m ' f (a), n ' f (b), p ' f (c) qua mg (a ), ng (b), pg (c) nên ta xét hàm số h(t )   f (t )   g (t ), t  D Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com , b  m ', n ', p ' ; g  m, n, p . Số  được xác định sao cho hàm số h(t ) đạt cực  f '(t0 ) . tiểu (hoặc cực đại) tại t0  a, b, c thì h '(t0 )  0 và suy ra     g '(t0 ) Khi đó dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi các biến thỏa mãn hệ phương trình mg (a )  ng (b)  pg (c)  k   m ' f '(a ) n ' f '(b) p ' f '(c)  mg '(a)  ng '(b)  pg '(c)  Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm được giá trị của các biến a, b, c từ đó ta biết được đẳng thức xảy ra khi nào. Ví dụ 8 . Cho a, b, c  0 và a  4b  9c  1. Chứng minh rằng 100 a 3  25b 3  36c 3  . 5041 Nhận xét. Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0;1 và BĐT cần chứng minh có dạng: Cho các số thực a, b, c  0 thỏa mãn g (a)  4 g (b)  9 g (c)  1 . Chứng minh rằng: 100 f (a)  25 f (b)  36 f (c)  . 5041 Trong đó f (t )  t 3 , t   0;1 và g (t )  t . Khi đó dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi a, b, c thỏa mãn hệ phương trình 10  a  71  a  4b  9c  1 4  2  2 2  b   3a  75b 108c 71  1  4  9   5  c  71  300  f '(t0 )  Ta có    . Vậy ta có lời giải như sau.  g '(t0 ) 5041 Lời giải: Xét hàm số 300 y  t3  t với t  (0;1) . 5041 Ta có 300 10  . y '  0  3 t 2  0t  5041 71  Bảng biến thiên Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com t 0 y’ y ─ 10  71  0 1 + 431 432 0 2000  3  357911  Dựa vào bảng biến thiên ta có 300 2000  3 300 2000  3 2000  3 3 3  t   t  y t t 357911  5041 357911  5041 357911  với t  (0;1);   1;25;36 ,   1;4;9 . Từ đó suy ra: 300 2000 a3  a ; 357911 5041 1200 3200 a 25b3  ; 5041 357911 2700 9000 36b3  a 5041 357911 với a, b, c  (0;1) . Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức này lại với nhau ta có 14200 100 300 a 3  25b3  36c 3    a  4b  9c   5041 357911 5041 100  a 3  25b3  36c3  5041 10 4 5 Dấu bằng xảy ra khi a  , b  , c  . Vậy ta có điều phải chứng minh. 71 71 71 Ví dụ 9. Cho a, b, c  0 và 2a  3b  4c  1 . Chứng minh rằng 2 2a  1  3 2b  1  4 2c  1  10 . (HSG Ninh Thuận 2012) Nhận xét. Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0;1 và BĐT cần chứng minh có dạng: Cho các số thực a, b, c  0 thỏa mãn 2 g (a)  3g (b)  4 g (c)  1 . Chứng minh rằng: 2 f (a )  3 f (b)  4 f (c)  10 . Trong đó f (t )  2t  1, t   0;1 và g (t )  t . Khi đó dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi a, b, c thỏa mãn hệ phương trình Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1  a  9  2a  3b  4c  1 1    b   9  2a  1  2b  1  2c  1    1 c  9   f '(t0 ) 3  . Vậy ta có lời giải như sau. Ta có     g '(t0 ) 11 Lời giải: Xét hàm số 3 t với t  (0;1) . y   2t  1  11 Ta có  3 1 y'  0   0t  . 9 11 2t  1 Bảng biến thiên t 19 0 y’ + 0 ─ 10 11 y 33 b 1   33  3  11 Dựa vào bảng biến thiên ta có 10 11 3 10 11 3 10 11   2t  1  t   2t  1  t y 33 33 33 11 11 với t  (0;1);   2;3;4 . Từ đó suy ra: 6 20 11 2 2a  1  a ; 33 11 9 30 11 3 2b  1  b ; 33 11 12 40 11 c 4 2c  1  33 11 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com với a, b, c  (0;1) . Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức này lại với nhau ta có 90 11 3  3 11  10 . 2 2a  1  3 2b  1  4 2c  1   2a  3b  4c   33 11  2 2a  1  3 2b  1  4 2c  1  10 Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 10. Cho a, b, c  0 và 2a  b  c  6 . Chứng minh rằng 11 1 1 1 29 a  b  c     . 8 a b c 4 Nhận xét. Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0;6 và BĐT cần chứng minh có dạng: Cho các số thực a, b, c  0 thỏa mãn 2 g (a)  g (b)  g (c)  6 . Chứng minh rằng: 29 . f (a)  f (b)  f (c)  4 1 Trong đó f (t )   t  , t   0;6  và g (t )  t . Khi đó dấu bằng của bất đẳng thức t xảy ra khi a, b, c thỏa mãn hệ phương trình  2a  b  c  6 a  2    1  b  1 1  2  a  11  1  11  1  c  1  2 8 b2 8 b2  f '(t0 ) 3 Ta có      . Vậy ta có lời giải như sau. g '(t0 ) 8 Lời giải: Xét hàm số 1 3 y  f (t )   t   t , t   0;6  . t 8 Ta có 8 3 1 y'  0     2 0t  . 8 t 8  3 Bảng biến thiên Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com t 8 0 y’ y ─ 8  3 0  6 + 72   27  2 12 8  3 2 Dựa vào bảng biến thiên ta có 8  3 1 3 8  3 1 3 8  3  t   t   t   t  y 2 t 8 2 t 8 2  11 11  với t  (0;6);   1; ;  ;   2;1;1 .  8 8 Từ đó suy ra: 1 6 a   a  1; a 8 11 1 3 b   b  2; 8 b 8 1 3 11 c  c2 8 c 8 với a, b, c  (0;6) . Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức này lại với nhau ta có 1 1 1 3 29 11 a   b  c       2a  b  c   5  8 a b c 8 4 11 1 1 1 29 .  a  b  c     8 a b c 4 Dấu bằng xảy ra khi a  2, b  1, c  1 . Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 11. Cho x, y, z  0 và xyz  1 . Chứng minh rằng 1  2 2   P   x     20 y     z    15 . x  y  z  y z  thì ta có m n y z 3 3 y z y z   mn  x     3  x  xyz  1  1  3 xyz  3  3 3 mn 3 x mn m n m n mn  Khi đó BĐT cần chứng minh có dạng: Nhận xét. Giả sử dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi x  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Cho các số thực x, y, z  0 thỏa mãn g ( x)  g ( y) g ( z) 3   3 . Chứng minh m n mn rằng: f ( x)  f ( y )  f ( z )  15 .  Trong đó f (t )   t  , t   0;   và g (t )  t . Khi đó dấu bằng của bất đẳng thức t xảy ra khi a, b, c thỏa mãn hệ phương trình y z  1  x   ; xyz  1  m  8 ; n  1 m n     1  2  m  20  1   m 1  2   x  2; y  1 ; z  2      x2 y2  y2    4    1 f '(t0 )   . Vậy ta có lời giải như sau. Ta có    g '(t0 ) 2 Lời giải: Ta có xyz  1  1  3 xyz  3  1 33 x.8 y.z   x  8 y  z   6  x  8 y  z 2 2 Xét hàm số y  f (t )   t   t   2 t , t   0;   ;   1;20;1 ;   2;1;2 ;   1;8;1 . Ta có   2  . y'  0      2  0  t  2 t 2    Bảng biến thiên t 2 0 y’ ─ 2   0  +  y 4   2 Dựa vào bảng biến thiên ta có    y  4  2  t   t  4  2 t 2 với t  (0; );   1;20;1 ;   2;1;2 ;   1;8;1 . Từ đó suy ra: