Tài liệu [toan11]_hki_a4_2016 gioi _han

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA Chủ đề 1 GIỚI HẠN – LIÊN TỤC 1 Vấn đề 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A - GIỚI HẠN HỮU HẠN  Giới hạn hữu hạn  lim un = 0  un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. n   Dãy số (un) có giới hạn là L nếu: lim vn = L  lim (vn – L) = 0 n  n   Lưu ý: Ta có thể viết gọn: lim un = 0, lim un = L .  Giới hạn đặc biệt 1) lim 1 =0 n 2) lim 1 n =0 3) lim 1 3 5) lim C = C (với C  R) 6) lim qn = 0 nếu q < 1) 8) lim qn = +  nếu q > 1 9) lim nk = +  với k  N* n =0 4) un = 0  lim un = 0 7) lim 1 = 0 (k  N*) nk  Định lí về giới hạn • Nếu hai dãy số (un) và (vn) cùng có giới hạn thì ta có: 1) lim(un  vn) = lim un  lim vn 2) lim(un . vn) = lim un . lim vn u limun 3) lim n = (Nếu lim vn  0) 4) lim(k.un) =k. lim un (k  R) vn limvn 6) lim 2 k un  2 k limun (nếu un  0) (căn bậc chẵn) 5) limun = lim un 7) lim 2 k 1 un  2 k 1 limun (căn bậc lẻ) 8) Nếu un  vn và lim vn  0 thì limun  0 . - Định lí kẹp về giới hạn của dãy số: Cho ba dãy số (un), (vn), (wn) và  N* và lim un = lim wn = L thì (vn) có giới hạn và lim vn = L. u • Nếu lim un = a và lim vn =   thì lim n = 0. vn L . Nếu un  vn  wn , n 1) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn. 2) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn. n 1   Chú ý: e = lim  1+   2,718281828459…, là một số vô tỉ. n   Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn • Một cấp số nhân có công bội q với q < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. u Ta có : S = u1 + u1q + u1q2+ … = 1 (với q < 1) 1 q B - GIỚI HẠN VÔ CỰC  Định nghĩa  lim un = +  un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi. n   lim un =    un có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi. n   lim un = –  lim (– un) = + n  n   Lưu ý: Ta có thể viết gọn: lim un =   . TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2  Định lí 2 1 =0 un  Neáu lim un = + thì lim  Nếu lim un =0 (un  0, n  N*)  lim 1 = un  Một vài qui tắc tìm giới hạn Qui tắc 1: Nếu lim un =   và lim vn =  , thì lim(un.vn) là: Qui tắc 2: Nếu lim un =   và lim vn = L  0, thì lim(un.vn) là: lim un lim vn lim(un.vn) + +   +  +  +   + Qui tắc 3: Nếu lim un = L, lim vn = 0 và vn > 0 hoặc vn < 0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì: lim un Dấu của L lim(un.vn) + +   +   + +  +  L Dấu của vn lim + +   +  +  un vn +   + [[[ [[ Dạng 1. Dãy có giới hạn 0 A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Dãy (un) có giới hạn 0 nếu mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Khi đó ta viết: lim( un )  0 hoặc limun  0 hoặc un  0 . limun  0    0, n0  * : n  n0  un    Một số kết quả: (xem phần tóm tắt lý thuyết)  Chú ý: Sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh, đánh giá biểu thức lượng giá, nhân liên hợp của căn thức, … B. BÀI TẬP MẪU VD 1.1 Chứng minh các dãy sau có giới hạn là 0: 1 n 3 1 c) u n  n 3 a) u n  (1) n n4 (1) n b) u n  n 2 b) u n  c) u n  1 n2 c) u n  (0,99) n d) u n  1 , k nguyên dương nk d) u n  (0,97)n ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 3 VD 1.2 Chứng minh các dãy sau có giới hạn là 0: a) u n  1 n(n  1) b) v n  (1)n cos n n2  2 ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... VD 1.3 Tính các giới hạn sau: a) u n  sin n n 5 b) u n  cos 3n n 1 c) u n  (1) n 3n  1 d) u n   sin 2n (1, 2) n ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... VD 1.4 Tính: a) lim n  2sin(n  1) n 3 n  23 n b) lim (2)n 33n  4 c) lim  n 1  n  d) lim 2  n2 1  n  ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 4 VD 1.5 Chứng minh các dãy sau có giới hạn bằng 0: a) u n  3 n  1  3 n b) v n  3 n 3  1  n ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ VD 1.6 Cho dãy số (un) với u n  a) Chứng minh n . 3n u n 1 2  với mọi n un 3 b) Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn 0 ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ u 1 , u n 1  u n2  n , n  1 . 4 2 1 a) Chứng minh 0  u n  với mọi n b) Tính limun 4 VD 1.7 Cho dãy số (un) với u1  ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 5 Dạng 2. Khử dạng vô định   A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Đối với dãy un  a0 n m  a1n m1  ...  am , a0  0, b0  0 thì chia cả tử lẫn mẫu của phân thức cho lũy b0 n k  b1n k 1  ...  bk thừa lớn nhất của n ở tử nm hoặc mẫu nk, việc này cũng như đặt thừa số chung cho nm hoặc mẫu nk rồi rút gọn, khử dạng vô định. Kết quả: 0 khi m  k  a a limun   0 khi m  k (dấu + hoặc – tùy theo dấu của 0 ) b0  b0  khi m  k  Đối với biểu thức chứa căn bậc hai, bậc ba thì cũng đánh giá bậc tử và mẫu để đặt thừa số chung rồi đưa ra ngoài căn thức, việc này cũng như chia tử và mẫu cho lũy thừa số lớn của n ở tử hoặc mẫu.  Đối với các biểu thức mũ thì chia tử và mẫu cho mũ có cơ số lớn nhất ở tử hoặc mẫu, việc này cũng như đặt thừa số chung cho tử và mẫu số hạng đó.  Biến đổi rút gọn, chia tách, tính tổng, kẹp giới hạn, … và sử dụng các kết quả đã biết. B. BÀI TẬP MẪU VD 1.8 Tính các giới hạn sau: a) lim 2n  1 3n  2 b) lim n 2  3n  5 3n 2  4 c) lim n3  n2  n 1 2n 3  n 2  2 d) lim 2n 4  1 3n 4  n  2 ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 6 VD 1.9 Tính các giới hạn sau: 3n 2  n  1 n 3  4n 2  6 n 5  n 4  3n  2 d) lim 4n 3  6n 2  9 a) lim n4  4 n5  5 (n  2)(3n  1) e) lim 4n 2  n  1 b) lim 2n 3  3n  2 3n  2 (2n  1)2 (4  n) f) lim (3n  5)3 c) lim ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 7 VD 1.10 Tính các giới hạn sau: a) lim n 4  3n  2 2n 2  n  3 3 b) lim n 6  7n 3  5n  8 n  12 c) lim 2n 2  n 1  3n 2 d) lim 6n 4  n  1 2n  1 ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... VD 1.11 Tính các giới hạn sau: a) lim 4n 2.3n  4n b) lim 3n  2.5n 7  3.5n c) lim 3.2 n 1  2.3n 1 4  3n d) lim 22n  5n  2 3n  5.4n ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 8 Dạng 3. Khử dạng vô định  -  A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Đối với dãy un  am n m  am 1n m 1  ...  a0 , am  0 thì đặt thừa số chung m cho thừa số lớn nhất của n là nm. Khi đó: limun   nếu am  0 và limun   nếu am  0  Đối với biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về dạng:  A B=  A  A B=  A  B2 A B A B B= A B A  B2 A B A B A B =  3  3  3 3  A B= A B= A 3 A  B3 3 A2  B. 3 A  B 2 A  B3 3 B= A 3 B = A2  B. 3 A  B 2 A B 3 2 3 A  A.B  A B 3 B2 A2  3 A.B  3 B 2  Đặc biệt, đôi khi ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xácđịnh các giới hạn mới có cùng dạng vô định, chẳng hạn: 3 A n3  2  n 2  1   3 B    n3  2  n  n  n 2  1 ; 3 n 2  n  3 2  n3     n 2  n  n  n  3 2  n3   Đối với các biểu thức khá, biểu thức hỗn hợp thì xem xét đặt thừa số chung của mũ có cơ số lớn nhất, lũy thừa của n lớn nhất. B. BÀI TẬP MẪU VD 1.12 Tính các giới hạn sau:  a) lim n 2  14n  7   b) lim 2n 2  3n  19  c) lim 2n 2  n  1 d) lim 3 8n 3  n 2  n  3 ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 9 VD 1.13 Tính các giới hạn sau:  d) lim  n2  n 1  n a) lim 3 n3 1  n   b) lim  e) lim   c) lim n 1  n n 3 n 3  n 2  n 2  3n  f) lim  3 n3  n2  3 n3 1  n2  2  n2 1 3 n 3  2  3 n3  n 2 ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 10 VD 1.14 Tính các giới hạn sau:  a) lim n n  2 n  1 d) lim   n2  n  2  n 1 b) lim  e) lim  3 n 2  7  2n  1 n  2  n 1 c) lim 2.3n  n  2 f) lim 2 3n  2  2n  1 ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 11 Dạng 4. Cấp số nhân lùi vô hạn A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một cấp số nhân có công bội q với q < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. u Ta có : S = u1 + u1q + u1q2+ … = 1 (với q < 1) 1 q B. BÀI TẬP MẪU VD 1.15 Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: 0,444…; 0,212121… ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... VD 1.16 Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 5 39 , tổng ba số hạng đầu tiên của nó là . Tìm số 3 25 hạng đầu và công bội của cấp số đó. ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... VD 1.17 Cho q  1 . Tính tổng vô hạn sau: a) A  1  2q  3p 2  ...  nq n 1  ... b) B  1  4q  9p 2  ...  n 2q n 1  ... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................... TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 12 BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 1 1.1 1.2 Tìm các giới hạn sau: 1) lim( 2n3 + 3n + 5) 2) lim 3n 4  5n 3  7n 3) lim(3n3  7n + 11) 4) lim 2n 4  n 2  n  2 5) lim 3 1  2n  n 3 6) lim( n3  3n2  2) 2) lim 3) lim Tìm các giới hạn sau:j 1) 4) 8) 10) lim 2(n  1)3 (n 2  n  1) 2 (n 3  2n  5)(3  2n)6 13) lim 16) lim lim 2n  3n 3  1 n3  n2 2n  3 lim 4n  5 (n  1)(2n  1) (3n  2)(n  3) 9) 11) lim (2n  1)3 (n  3)5 3(n  1)9 12) lim (n 2  1)(n  3)  n 3  2 (2n 2  1)(3  n) n 3  2n  1 2n 2  n  3 14) lim 4n 5  n  1 (2n  1)( n  1)(n 2  2) 15) lim 6n 3  2n  1 2n 3  n (n 2  1)(n  1) 2 (n  1)(3n  2)3 17) lim 2n 3  3n  2 3n  2 18) lim 2n 3  n  3 5n  1 2) 2n n n  2n  1 3) lim 6) lim 9) lim 3) lim 6) lim 9) lim 3n 2  1  n 1  2n 2 lim 3 lim lim 3 lim 2 2 4) lim n n n2 5) lim 7) lim 2n n  3 n2  n 1 8) lim n(3n  2)(4n  5) (2n  3)2 2) lim 5) lim 8) lim n 2 n 3 2 2n  n  n n 1  2  3  ...  2n 3n 2  n  2 n 1 n 1 (2n n  1)( n  3) (n  1)(n  3) 2n n  3 2 n 3 n 2 Tìm các giới hạn sau: 1) lim 4) lim n 2  n  1  4n 2  2 n3 4n 2  3  2n  1 2 n  2n  n 7) lim 10) lim 1.5 6) 3n 3  5n  1 n2  4 3n 2  2n  1 lim 2 4n  5n  2 Tìm các giới hạn sau: 1) 1.4 5) 4n 2  3 n 3  3n  1 7) 1.3 4n 2  n  1 3  2n 2 (2  3n)3 (n  1) 2 lim 1  4n 5 lim n( 3 2  n 3  n) n2  1  n 4n 2  1  2n  1 n 2  4n  1  n 11) lim 2n  1  n 2  2n  4 3n  n 2  7 3n 2  1  n 2  1 n 2n  1  n 3n  1 n6  n 1  n2 3n 2 n 2  1 12) lim 4n 2  3  2n  1 n( n 2  3  2n) 1 2 n  2  n2  4 n  n2 1 n 2  2n 4n 2  3  2n  1 n 2  4n  n Tìm các giới hạn sau: 1) lim n( n 2  1  n 2  2) 2) lim n( n 2  1  n 2  2) 3) lim(1  n 2  n 4  3n  1) 4) lim(2n  1  4n 2  6n  7) 5) lim( n 2  3n  n  5) 6) lim( n 2  2n  n  1) 7) lim( n 2  2n  n  1) 8) lim( n 2  n  n 2  1) 9) lim 10) lim 1 n  2  n 1 11) lim( n 2  n  2  n  1) 1 3n  2  2n  1 12) lim( n  1  n ) GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 13 16) lim( 3 n 3  n 2  n ) 17) lim( 3 n 3  2n 2  n) 18) lim( 3 n 3  2n 2  2n  1) 19) lim( 3 n  n 3  n) 20) lim( 3 n 3  1  n) 21) lim( 3 2  n 3  n) 23) lim( 3 8n 3  n 2  1  3  2n) 24) lim( 3 n 3  3n  n 2  4n ) n( 3 2  n 3  n) 2 n  1  2n 2 Tìm các giới hạn sau: 1) lim[4n  (2) n ] 2) 1  lim  2n   n  3) lim ( 2) n  4.5n 1 2.4n  3.5n 4)  2  n 3n  lim    n    4    5) lim 1  2n 1  2n 6) lim (2) n  3n ( 2) n 1  3n 1 8) lim 2n 1  3n 1 2 n  3n 9) lim 2n  3n  4n 3 2n  3n 1  4n 1 3  4n 1  3.4n 12) lim 3n  4 n 3n  4n n 2  ( 1) n 10) lim 2 2n  (1) n 1 7) lim 2n  3n 1 2n  5.3n 3n  2.5n 16) lim 7  3.5n 11) lim 3n  4n  1 2.4n  2n 2n  3n  4.5n  2 17) lim n 1 n  2 2  3  5n 1 13) lim 1.7 15) lim( 3 2n  n 3  n  1) 14) lim 22) lim 1.6 n2  1  n 1 3n  2 13) lim( n 2  n  1  n) 14) lim Tính tổng vô hạn: 1 1 1 1) S  1      2 4 8 2 1 1 S 7) 1 + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)2 + … 8) 2 2  1   5) 2 4) 2 1  2) 4.3n  7 n 1 2.5n  7n 1  a  a2   an 18) lim ( vôùi a  1; b  1) 1  b  b2    bn 15) lim 1 1 1 S 1    3 9 27 S=8+4+2+1+ S 3n  4 n  5 n 3n  4n  5n 1 1  2 3) 6) S 1 2 3 4     2 4 8 27 1 3 1 9 1 27 1 81 S  3 .9 .27 .81  34 34 34    100 10000 1000000 1.8 Tìm phân số phát sinh ra số thập phân vô hạn tuần hoàn sau: 1) 34,(12)… 2) 0,(25)… 3) 3,(123)… 4) 2,131131… 1.9 Cho hai dãy số (un) và (vn). Chứng minh rằng nếu lim vn = 0 v  un  vn với mọi n thì lim un = 0. Áp dụng tính giới hạn của các dãy số sau: 1 ( 1) n 2  n(1)n 1) u n  2) u n  3) u n  4) u n  (0,99) n cos n 5) u n  5n  cos n  2 n! 2n  1 1  2n TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 14 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TN1.1 TN1.2 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Nếu lim un   , thì lim un   . B. Nếu lim un   , thì lim un   . C. Nếu lim un  0 , thì lim un  0 . D. Nếu lim un   a , thì lim un  a . Cho dãy số  un  với un  u n và n 1  1 . Chọn giá trị đúng của lim un trong các số sau: n 4 un 1 1 . B. . 4 2 Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0? n 1 1 A. . B. . n n A. TN1.3 TN1.4 n n TN1.7 TN1.8  1 lim TN1.10 TN1.11 C. 1 n 1 D. cos n . n n  5 B.    .  4 n n  2 C.   .  3  4 D.    .  3 n  2 B.    .  3 n D.  1 . C. 1 . 1 D.  . 2 C. 1 . 2 1 D.  . 2 C. 3 . 5 D. có giá trị bằng B. 0 .  1  2n  lim   có giá trị bằng  4n  1 1 A. . B.  . 4 4 lim n C.  0, 99  . n n2 1 A. . 2 3n  5n có giá trị bằng 5n A. 1 . TN1.9 D. 1. Dãy nào sau đây không có giới hạn?  2 A.   .  3 TN1.6 3 . 4 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?  3 A.   .  2 TN1.5 C. B. 0 . 2n3  n  5 có giá trị bằng n 4  2n  2 A.  . B. 2 . 8 . 5 lim 2n 4  n  1 có giá trị bằng 3n 4  2n 2 A. 0 . B. 3 C. 0 . D. 6 . C.  . D. 2 . 5 C. 1 . D. 3 . 2 lim 2n 2  3n3 có giá trị bằng 2n3  4n 2  1 3 A.  . B. 0 . 2 lim GV. TRẦN QUỐC NGHĨA TN1.12 TN1.13 15 2n3  n 2  4 có giá trị bằng n 2  2n  3 A. 2 . B. 0 . lim n lim 2  2n  2n3  1  4n  5  n 4  3n  1 3n 2  7  A. 0 . B. TN1.14 TN1.15 có giá trị bằng A. 1 . B. 3 . 4 TN1.18 B. 1 . B.  . 9n 2  n  n  2 có giá trị bằng 3n  2 A. 1 . B. 3 . lim  TN1.22 C.  . D.  . C. 3 . D. 7 . C. 0 . D.  . C. 0 . D.  . C. 1 . D.  . C.  . D. 1 .  lim  B. 1 .  n 2  2n  1  2n 2  n có giá trị bằng lim  B.  .  n 2  2n  3  n có giá trị bằng B. 0 . lim   A. 1 . 2 2n 2  n  1  2n 2  3n  2 có giá trị bằng B. 0 . C.  . D.  . 1   1 lim    có giá trị bằng n2   n 1 A. 1 . TN1.23 D.  . n 2  4  n2  1 có giá trị bằng A. 1 . TN1.21 3 C.  . 2 D.  . lim A. 1  2 . TN1.20 . lim  3n 4  4n 2  n  1 có giá trị bằng A. 3 . TN1.19 C. 1 lim  2n3  2n 2  3 có giá trị bằng A.  . TN1.17 8 . 3 2 A. 2 . TN1.16 D. 2 . có giá trị bằng  2n  n  3n  1 lim  2n  1  n  7  3 C.  . lim B. 0 . n  A. 1 . C. 1 . 2 D.  .  n  2  n  3 có giá trị bằng B. 0 . C. 1 . D.  . TN1.24 Nếu lim un  L thì lim 3 un  8 có giá trị bằng A. L  2 . B. 3 L 8 . C. 3 L 2. D. L  8 . TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 TN1.25 Nếu lim un  L thì lim 1 . L 3 A. 3 TN1.26 lim B. 3 TN1.28 8n3  2n 2  1 lim 2n 2  1 3 . 2 B.  5 lim n 1 . L9 C. 1 . 8 D.  . C. 1 . D.  . 3. C. 5 . D. 1 . C.  . D.  5 .  2n 1  1   có giá trị bằng n 1 5 3 B. 1 . 5  n  3n  2 2 n có giá trị bằng 3 n  3n  22 n  2 1 A. 1 . B. . 4 C.  2 5 . 1 D.  . 5 lim lim n  n2  1 n2  n  2 lim  B. 2 . 3 lim A.  3 1 . 3 C.  . D. 1 . C. 0 . D. 1 . C. 1 . D. 0 . C. 1 . D. 0 . có giá trị bằng  n 3 - 2n 2 - n có giá trị bằng 2 A.  . 3 TN1.34 1 . 2 B.  . A. 1 . TN1.33 D. n lim 3n  5  có giá trị bằng   1 A.  . 3 TN1.32 1 . L 3 C.  3n  (1)n cos 3n  lim   có giá trị bằng  n 1   5.2n  TN1.31 1 . L9 B. 2 . A. 3 . TN1.30 có giá trị bằng có giá trị bằng 2. A. TN1.29 un  9 n 1 có giá trị bằng n8 3 A. 1 B. A. 1 . TN1.27 16 B. 1 . 3  n 2 - n 3 + n có giá trị bằng B.  . TN1.35 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? GV. TRẦN QUỐC NGHĨA A. un  n2  1 . n  3n 2 17 B. un  1  3n . n  3n 2 C. un  1  2n 2 . n5 D. un  1  2n . n5 C. un  2  n2 . 3n  3 D. un  n2  2 .\ n  5n 3 TN1.36 Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ? A. un  n 2  2n . 3n  3n 2 B. un  1  2n . 3n  3 TN1.37 Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ? n 2  3n . 2n  n 2 C. un  2017 n  2016n 2 . 2018  2017n . n 1 D. un  n 2  1. B. un  A. un  TN1.38 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1? A. lim 3n 2  1 . 3n3  2 B. lim 2n3  3 . 2n3  1 3n 2  1 . 3n3  3n 2 D. lim n3  3 . n2  1 C. lim 2n 2  n 4 .  n3  2n2 D. lim 3  5n 3 . n2  1 C. lim 3n 2  2n3 . 2n3  4n 2 D. lim 3  2n 4 . 2n 2  1 D. lim n cos n  2 . n2 C. lim TN1.39 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ? A. lim 5n 2  2 .  5n 3  4 B. lim 2 n  5n 3 . 2 n 2  1 TN1.40 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là 1 ? A. lim n2  2 .  n3  4 B. lim 2n  n3 . 2n 2  1 TN1.41 Dãy số nào sau đây không có giới hạn? n   A. lim  1 sin   n  . 2    C. lim cos   n  . 2  B. lim sin  n  . D. lim cos  n  . TN1.42 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 1 ? A. lim sin  n  . B. lim cos  n  . 1 1 1 TN1.43 Tổng S   2  ...  n  ... có giá trị bằng 5 5 5 1 1 A. . B. . 5 4  1 1  1 1 TN1.44 Tổng S       +...+ 2  4 8 2n A. 1 . TN1.45 TN1.46 B.  n2  C. lim sin   .  2n  1  C. 2 . 5 D. 5 . 4 C. 3 . 4 D. 2 3 C. 1 . 5 D.  . n 1  ... là 1 . 3 1  3  5  ...  (2n  1) có giá trị bằng 5n 2  4 1 A. 0 . B.  . 4 lim lim 1  2  3  ...  n có giá trị bằng n2  2 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 A. 1 . TN1.47 18 B.  .  1  1 1 lim    ...   có giá trị bằng  1.2 2.3 n  n  1   1 A. . B. 1 . 2 C. 0 . 1 D.  . 2 C. 0 . D.  . C. –4. D.  n 2 cos 2n   là: TN1.48 Kết quả đúng của lim  5  n 2  1   A. 4. B. 5. TN1.49 Kết quả đúng của lim A. – 5 . 2 A. – 2  5 n 2 là: 3 n  2.5 n B. 1. TN1.50 Kết quả đúng của lim 3 . 3 1 . 4 C.  n 2  2n  1 3n 4  2 B. – 5 . 2 D. – 25 . 2 là 2 . 3 C. – 1 . 2 D. 1 . 2 3n  n 4 TN1.51 Giới hạn dãy số (un) với un = là: 4n  5 A. –. B. +. C. 3 n  4.2 n 1  3 TN1.52 lim bằng : 3.2 n  4 n A. +. B. –. 3 . 4 D. 0. C. 0. D. 1. C. –. D. +. 3 n  2n  5 : 3  5n TN1.53 Chọn kết quả đúng của lim A. 5. B.  2 . 5  TN1.54 Giá trị đúng của lim n 2  1  3n 2  2 là: A. +. B. –. C. –2. D. 0. n n TN1.55 Giá trị đúng của lim 3  5 là: A. –. B. C. 2. D. –2. n   TN1.56 lim  n 2 sin  2n 3  bằng: 5   A. +. B. 0. C. –2 . D. –. TN1.57 Giá trị đúng của lim n n  1  n  1 là: A. –1. B. 0. C. 1. D. +. 2n  2 TN1.58 Cho dãy số (un) với un = (n  1) 4 . Chọn kết quả đúng của limun là: n  n2 1 A. –. B. 0. C. 1. D. +. n 5 1 TN1.59 lim n bằng : 3 1 A. +. B. 1. C. 0. D. –.      GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 10 TN1.60 lim 4 2 19 bằng : n  n 1 A. +. B. 10. C. 0. D. –. TN1.61 lim 5 200  3n 5  2n 2 bằng : A. 0. B. 1. C. +. D. –. 1  u n  2 TN1.62 Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi :  . Tìm két quả đúng của limun 1 u n1  ,n 1  2  un A. 0. B. 1. TN1.63 Tìm giá trị đúng của S = 2 +1. A. C. –1. D. 1 . 2 D. 1 . 2 1  1 1 1  2 1    ...  n  ...... . 2  2 4 8  B. 2. C. 2 2 . 4 n  2 n 1 TN1.64 lim n bằng : 3  4 n 2 4 A. 0. TN1.65 Tính giới hạn: lim A. 1. B. 1 . 2 C. 1 . 4 D. +. n 1  4 n 1  n B. 0. C. –1. D. 1 . 2 1  3  5  ......  (2n  1) 3n 2  4 1 2 A. 0. B. . C. . 3 3 1  1 1 TN1.67 Tính giới hạn: lim    ......  n(2n  1)  1.3 3.5 D. 1. 2 . 3 D. 2. TN1.66 Tính giới hạn: lim A. 1. B. 0. C. 1 1 1  TN1.68 Tính giới hạn: lim    ......  n(n  2)  1.3 2.4 3 A. . B. 1. C. 0. 2  1  1   1  TN1.69 Tính giới hạn: lim 1  2 1  2 .....1  2    2  3   n   A. 1. B. 1 . 2 TN1.70 Chọn kết quả đúng của lim 3  A. 4. B. 3. C. 1 . 4 D. 2 . 3 D. 3 . 2 D. 1 . 2 n2 1 1  . 3  n2 2n C. 2.