Tài liệu Tính toán ổn định khí động flutter của dầm chủ trong kết cấu cầu hệ dây bằng phương pháp bước lặp (tt)

3 TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH FLUTTER CỦA DẦM CHỦ CẦU TREO THEO MÔ HÌNH MẶT CẮT HAI BẬC TỰ DO BẰNG PHƯƠNG PHÁP BƯỚC LẶP Trong chương này, trên cơ sở các phương trình dao động tự kích khí động học uốn xoắn hai bậc tự do đã biết [149, 153], áp dụng phương pháp bước lặp của Matsumoto (revised step-bystep method) nghiên cứu xác định vận tốc flutter tới hạn của gió tác dụng lên dầm chủ của cầu. Bài toán này được gọi là bài toán ổn định flutter. 3.1 Mô hình dao động của dầm chủ theo lý thuyết flutter cổ điển 3.1.1 Các giả thiết cơ bản của lý thuyết flutter cổ điển Khi sử dụng lý thuyết flutter cổ điển xác định vận tốc flutter giới hạn, ta thừa nhận các giả thiết gần đúng sau đây [153] 1. Thiết diện mặt cắt của vật thể trong dòng chất lỏng có dạng tấm phẳng, mỏng. Các thiết diện phẳng này kéo dài vô hạn dọc theo trục vuông góc với mặt cắt. 2. Dòng chất lỏng chuyển động trong mặt phẳng nằm ngang vuông góc với trục của vật thể và có vận tốc không đổi như nhau. Tỷ số giữa vận tốc gió và vận tốc âm thanh nhỏ hơn 0,3. 3. Các giả thiết về lý thuyết thế vị và điều kiện chảy Kutta được thỏa mãn. 4. Mặt cắt có hai bậc tự do: dao động uốn theo phương thẳng đứng và dao động xoắn quanh trục của vật thể. 5. Biên độ dao động là khá nhỏ, thỏa mãn lý thuyết tuyến tính. 6. Các nghiên cứu dao động giới hạn dao động là điều hòa, biên độ là hằng số. 7. Các lực đàn hồi và lực cản tỷ lệ bậc nhất với dịch chuyển và vận tốc. 3.1.2 Hệ phương trình dao động tự kích khí động học uốn xoắn hai bậc tự do Xét mặt cắt của cánh hoặc của dầm cầu chịu tác dụng của luồng gió thổi đều (hình 3.1). Mặt cắt giả thiết có hai bậc tự do: di chuyển uốn và di chuyển xoắn ký hiệu bởi h và  . Một đơn vị chiều dài nhịp có khối lượng m , momen quán tính I , lực hồi phục uốn và xoắn đặc trưng bởi hệ số đàn hồi k h và k và các hệ số cản nhớt c h và c . Với các định nghĩa này, các phương trình chuyển động có thể viết [149] mh(t )  ch h(t )  kh h(t )  Lh (3.1) I(t )  c (t )  k (t )  M (3.2) với Lh và M  lần lượt là lực nâng và momen tự kích trên mỗi đơn vị chiều dài của dầm. 52 c U k ch kh h  M Lh B m, I Hình 3.1 Mô hình dao động flutter 3.1.3. Lực nâng và momen khí động 3.1.3.1. Công thức lực khí động của Theodorsen trong trường hợp tấm mỏng Như đã trình bày trong mục 2.2.2.6, trong trường hợp tấm mỏng, lực nâng và momen khí đô ̣ng có da ̣ng [149] 1   Lh  b2 U  h  2UbC U   h  b   2   1 b 1     M     b3  U      Ub2C  h  U  b   2 4  2      (3.3) (3.4)  là mật độ không khí    1, 25 kg / m3  . Công thức xấp xỉ xác định C  k  của R. T. Jones và W. P. Jones [70] 0.165 0.335  k  0.5 0.0455 0.3 1 i 1 i k k 0.165 0.335 C k   1  k  0.5 0.041 0.32 1 i 1 i k k Công thức xấp xỉ các hàm F  k  , G  k  của U. Starossek [153] C k   1 0.500502k 3  0.512607k 2  0.210400k  0.021573 F k   k 3  1.035378k 2  0.251293k  0.021508 0.000146k 3  0.122397k 2  0.327214k  0.001995 G k    k 3  2.481481k 2  0.934530k  0.089318 (3.5) (3.6) (3.7) (3.8) 53 Bảng 3.1 Hàm C  k   F  k   iG  k  và các đại lượng liên quan [70] k  10,00 6,00 4,00 3,00 2,00 1,50 1,20 1,00 0,80 0,66 0,60 0,56 0,50 0,44 0,40 0,34 0,30 0,24 0,20 0,16 0,12 0,10 0,08 0,06 0,05 0,04 0,025 0,01 0 3.1.3.2. 1/ k 0,000 0,100 0,16667 0,250 0,33333 0,500 0,66667 0,83333 1,000 1,250 1,51516 1,66667 1,78572 2,000 2,27273 2,500 2,94118 3,33333 4,16667 5,000 6,250 8,33333 10,000 12,500 16,66667 20,000 25,000 40,000 100,000  F 0,5000 0,5006 0,5017 0,5037 0,5063 0,5129 0,5210 0,5300 0,5394 0,5541 0,5699 0,5788 0,5857 0,5979 0,6130 0,6250 0,6469 0,6650 0,6989 0,7276 0,7628 0,8063 0,8320 0,8604 0,8920 0,9090 0,9267 0,9545 0,9824 1,000 G 0 0,0124 0,0206 0,0305 0,0400 0,0577 0,0736 0,0877 0,1003 0,1165 0,1308 0,1378 0,1428 0,1507 0,1592 0,1650 0,1738 0,1793 0,1862 0,1886 0,1876 0,1801 1,1723 0,1604 0,1426 0,1305 0,1160 0,0872 0,0482 0 2G / k 0 0,00248 0,00686 0,01525 0,02667 0,0577 0,0948 0,1462 0,2006 0,2912 0,3964 0,4593 0,5100 0,6028 0,7236 0,8250 1,022 1,195 1,552 1,886 2,345 3,002 3,446 4,010 4,753 5,220 5,800 6,976 9,640  2F / k 2 0 0,010012 0,02787 0,06296 0,1125 0,2565 0,4631 0,7361 1,0788 1,7316 2,6166 3,2156 3,7353 4,7832 6,3326 7,8125 11,192 14,778 24,267 36,380 59,592 111,99 166,4 268,9 495,6 727,2 1158,3 3054,4 196,48  Công thức lực khí động của Scanlan với mặt cắt có dạng bất kỳ Như đã trình bày trong mục 2.2.2.6, Simiu và Scalan biểu diễn hàm lực gió dưới dạng số thực [149]  1 h B h Lh  U 2 B  KH1* ( K )  KH 2* ( K )  K 2 H 3* ( K )  K 2 H 4* ( K )  (3.9) 2 U U B   1 h B h M   U 2 B 2  KA1* ( K )  KA2* ( K )  K 2 A3* ( K )  K 2 A4* ( K )  (3.10) 2 U U B  với K là tần số thu gọn BF K  2k (3.11) U 54 Mố i liên hê ̣ giữa các Hi*  K  , Ai*  K  với các hàm tuần hoàn Theodorsen [149] H1*  K    2 F k  K H 3*  K      A K   * 1 A3*  K   ; H 2*  K   2K 2  2K 2  4G  k    2F  k  1  K   4G  k   1   2 K k   KF  k     K F  k  ; A2*  K    G k    2  2K  4 4  KG  k   K2   F k   A4*  K   G k    ; 4  2K  32 1  2F  k   G  k  K  2  K  2    2K ; H 4*  K   Để thuận tiện ta đưa vào khái niệm vận tốc gió thu gọn U red U 2 U 2  U red     fB  B K k  (3.12) (3.13) 3.1.4 Xác định các tham số flutter Việc xác định các tham số flutter Ai* , H i*  i  1,..., 4  là bài toán quan trọng hàng đầu khi nghiên cứu ổn định của cầu dây dưới tác dụng của gió. Bài toán này được nhiều người nghiên cứu từ những năm 40 của thế kỷ 20 đến nay. Có hai phương pháp thực nghiệm chính để xác định các tham số flutter Ai* , H i*  i  1,..., 4  : phương pháp dao động tự do [54, 60, 75, 89, 157] và phương pháp dao động cưỡng bức [64, 111]. Mối liên hệ giữa các tham số flutter được tác giả Scanlan đề xuất trong tài liệu [143]. U. Starossek [156, 157] đã tiến hành xác định các tham số flutter cho 9 mặt cắt cầu điển hình (hình 3.2) bằng cả thực nghiệm và mô phỏng số, U. Starossek cũng kết luận rằng sự thay đổi của số Reynold không ảnh hưởng nhiều đến kết quả, trong trường hợp mặt cắt GB được sử dụng trong luận văn này, sự thay đổi của biên độ dao động cũng không ảnh hưởng lớn. Trên hình 3.2 đưa ra một số mặt cắt điển hình đã được nghiên cứu xác định các tham số flutter trong tài liệu [156]. L. Thiesemann, trong tài liệu [165], đã xác định các tham số khí động của 31 dạng mặt cắt khác nhau bằng cả thực nghiệm và mô phỏng số. Với các kết quả đạt được về việc xác định các tham số flutter Ai* , H i* của GS. Starossek và các cộng sự ở Trường Đại học Kỹ thuật Hamburg [156, 157, 165], việc tính toán vận tốc gió tới hạn trở nên đơn giản hơn nhiều so với trước đây. 55 Mặt cắt cầu Millau Mặt cắt chữ nhật (B:H = 8:1) Mặt cắt cầu Severn Mặt cắt cầu Great Belt Mặt cắt cầu Gibraltar Mặt cắt cầu Tacoma Narrows Mặt cắt cầu Chongqing Mặt cắt dạng hình thang Mặt cắt dạng tấm dẹt Hình 3.2 Các dạng mặt cắt cầu được thực nghiệm tìm tham số khí động [156] 56 3.2 Tính toán vận tốc tới hạn flutter cho mô hình mặt cắt bằ ng phương pháp bước lặp 3.2.1 Phân tích ổn định hệ phương trình dao động tự kích khí động học uốn xoắn hai bậc tự do Thế hệ phương trình lực gió (3.9), (3.10) vào hệ phương trình dao động (3.1), (3.2), ta thu được  1 h B h m  h  2 hh h  h2 h   U 2 B  KH1* ( K )  KH 2* ( K )  K 2 H 3* ( K )  K 2 H 4* ( K )  2 U U B  (3.14)  1 h B h I   2     2   U 2 B 2  KA1* ( K )  KA2* ( K )  K 2 A3* ( K )  K 2 A4* ( K )  2 U U B  (3.15) với k k c c (3.16) h2  h ; 2   ;  h  h ;     m I 2 m h 2 I  Hệ (3.14), (3.15) có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau   D  K  q  C  K  q  0 MK q (3.17) với q   h   ; M  K  ; D  K  ; C  K  là các ma trận vuông cấp 2. Tìm nghiệm hệ (3.17) dưới dạng  q  t   qet  với q là vector hằng,  là tham số chưa biết. Thay (3.18) vào (3.17) ta được   2M  D  C q  0  Điều kiện cần để (3.19) có nghiệm q  0 là T det   2M   D  C  0 Phương trình (3.20) được gọi là phương trình đặc trưng. Phương trình này có dạng a0 4  a1 3  a2 2  a3  a4  0 Cấu trúc nghiệm của phương trình (3.21): + Trường hợp 1: Hai nghiệm phức liên hợp m   m  im ; m   m  im  m  1, 2 + Trường hợp 2: Bốn nghiệm thực 1  1; 2   2 ; 3   3 ; 4   4 + Trường hợp 3: Hai nghiệm phức và hai nghiệm thực 1  1  i1; 2  1  i1; 3   3 ; 4   4 Phân tích ổn định + Trường hợp 1: Hệ (3.17) có thể có các nghiệm dạng như sau (3.18) (3.19) (3.20) (3.21) 57 qm  e mt cos mt qm n  e mt sin mt  m  1, 2   m  1, 2; n  2  hay q1  e1t cos 1t; q2  e2t cos 2t; q3  e1t sin 1t; q4  e2t sin 2t Khi  m  0  m  1, 2  thì qm  0 khi t   q2  t    Khi  m  0 (giả sử với m  2 ) thì  khi t   q t      4 q1  t    Nếu 1  0;  2  0 thì q2  cos 2t; q4  sin 2t giới nội và  khi t   q3  t    Nếu 1  0;  2  0 thì các qm giới nội. Vậy: Nếu  m  0  m  1, 2  thì các nghiệm  0 khi t   Nếu tồn tại  m  0 thì có nghiệm giới nội. Nếu tồn tại  m  0 thì có nghiệm   Điều kiện ổn định sẽ là  m  0 với m . + Trường hợp 2: Hệ (3.17) có các nghiệm q1  t   e1t ; q2  t   e2t ; q3  t   e3t ; q4  t   e4t Khi  m  0 với m thì qm  0 khi t   Khi tồn tại  m  0 (giả sử với m  4 ) thì q4  t    khi t   Khi tồn tại  m  0 (giả sử với m  4 ) còn 1,2,3  0 thì q4  t  giới nội và q1,2,3  0 khi t  Điều kiện ổn định sẽ là  m  0 với m . + Trường hợp 3: Hệ (3.17) có các nghiệm q1  e1t cos 1t; q2  e1t sin 1t; q3  e3t ; q4  e4t Khi  m  0 với m thì qm  0 khi t   Khi tồn tại  m  0 (giả sử với m  4 ) thì q4  t    khi t   Khi tồn tại  m  0 (giả sử với m  4 ) còn 1,2,3  0 thì q4  t  giới nội và q1,2,3  0 khi t  Điều kiện ổn định sẽ là  m  0 với m . Do n là hàm của K , trong đó K là tần số thu gọn, điều kiện ổn định flutter là  n  K   0  n    n  K   0  n  Trường hợp tới hạn:  n  K   0 58 3.2.2 Thuật toán phương pháp bước lặp Phương pháp RSBS đươ ̣c tác giả Matsumoto [115, 116] đề xuất dựa trên phương pháp giải bước lă ̣p của hê ̣ hai phương triǹ h uố n xoắ n , nghiê ̣m của phương triǹ h trước dùng để xác đinh ̣ lực khí đô ̣ng kế t hơ ̣p ở phương trình sau . Từ quá trình biế n đổ i , nhâ ̣n thấ y phương pháp bước lă ̣p áp du ̣ng cho hai nhánh xoắ n và uố n . Bởi vì ổ n đinh ̣ nhánh xoắn là trội trong hầu hết các trường hơ ̣p , do đó phân tích ổ n đinh ̣ từng bước cho nhánh xoắ n sẽ là thuâ ̣n tiê ̣n hơn để áp dụng khi so với nhánh uốn. Bước 1 Giả thiết chuyển vị xoắn có dạng (3.22)    0e FF t sin F t với  0 là biên độ của dao động xoắn và t là thời gian. Ta suy ra     (3.23)  F sin F t     sin  F t  2         F sin F t     sin  F t   ta sử du ̣ng phương pháp giản đồ 2     0F e Để tổ ng hơ ̣p dao đô ̣ng F F t vectơ quay (hình 3.3) 1   F2 0 0 1  2  F F  0 1 1   F2  2 F F  0 Hình 3.3 Giản đồ vector quay tổng hợp hai dao động Dao đô ̣ng tổ ng hơ ̣p có da ̣ng       F sin F t     sin  F t    1   F2 sin  F t   0  2 2    với   0  arctan  F   1  Như vâ ̣y        0F e F F t  F sin F t     sin  F t    2      0F 1   e 2 F  F F t    sin  F t    0  2   Bước 2 Chuyể n vi ̣uố n phát sinh bởi các ngoa ̣i lực gây ra bởi chuyể n vi ̣xoắ n vào (3.14), ta đươ ̣c da ̣ng dao đô ̣ng cưỡng bức như sau (3.24) , thay (3.22), (3.24) 59     B2  B2 2 *   B3  B3 2 * h   2 hh  F H1*  h  h2  F H 4  h  F H 2*   F H 3 2m 2m 2m 2m       B3     F H 2*  0F 1   F2 e F F t sin  F t    0   2m 2      B3 2m F2 H 3* 0e F F (3.25) sin F t Đặt h*2  h2   B2 F2 H 4* 2m   B 2F *  *  h   2 hh  H1  / (2h* ) 2m   ta đưa phương triǹ h (3.25) về da ̣ng  B3 *    h  2 h*h*h  h*2 h  H 2 0F2 1   F2 e  F F t sin  F t    0  2m 2     B3 F2 H 3* 0e F F 2m Nghiê ̣m của phương trình (3.28) có dạng h  h  h1  h2 (3.26) (3.27) (3.28) sin F t (i) h là nghiệm của phương trình dao động tự do h  2 h*h*h  h*2 h  0 Nghiê ̣m phương triǹ h (3.30) có dạng h  h0e ht sin h*t    * (3.29) (3.30) (3.31) Chú ý rằng với các giá trị lớn của t, nghiệm thuần nhất (3.31) xấp xỉ bằng 0 và nghiệm tổng quát của phương trình (3.28) xấp xỉ nghiệm riêng. (ii) h1 là nghiệm của phương trình dao động cưỡng bức  B3 *    h  2 h*h*h  h*2 h  H 2 0F2 1   F2 e F F t sin  F t   0  2m 2   Ta tim nghiê phương tri n h (3.32) dươ i da ̣m ̣ng ́ ̀ ̀       h1  M1e F F t sin  F t   0   N1e F F t cos  F t   0  2 2     suy ra    h1    M 1 F F  N1F  e F F t sin  F t    0  2        M 1F  N1 F F  e  F F t cos  F t    0  2   (3.32) (3.33) (3.34) 60    h1   M 1 F2F2  M 1F2  2 N1 F F2  e  F F t sin  F t    0  2     2M 1 F   N1   N1 2 F 2 F 2 F 2 F e  F F t    cos  F t    0  2   Thay (3.33), (3.34), (3.35) vào (3.32) ta đươ ̣c  M1 F2F2  M1F2  2 N1 F F2  e FF t sin  F t  2  0       2M 1 F F2  N1 F2F2  N1F2  e  F F t cos  F t    0  2       2 h*h*    M 1 F F  N1F  e  F F t sin  F t    0  2    (3.35) (3.36)          M 1F  N1 F F  e  F F t cos  F t    0    h*2  M 1e  F F t sin  F t    0  2 2      3      B *    N1e  F F t cos  F t    0    H 2 0F2 1   F2 e  F F t sin  F t    0  2 2    2m         Sử du ̣ng biện pháp so sánh hệ số cho e F F t sin  F t   0  và e F F t sin  F t   0  2 2     hai vế của phương trình (3.36) ta rút ra  M1 F2F2  M1F2  2 N1 FF2   2 h*h*  M1 FF  N1F   h*2 M1 (3.37)  B3 * 2 2  H 2 0F 1   F 2m (3.38)  2M1 FF2  N1 F2F2  N1F2   2 h*h*  M1F  N1 FF   h*2 N1  0 Biế n đổ i hê ̣ phương triǹ h (3.37), (3.38) về da ̣ng hệ 2 phương triǹ h bâ ̣c nhấ t với M1 , N1  2 F F2  2 h*h* F F  h*2  F2  M1  2  F F2   h*h*F  N1   B3 H 2* 0F2 1   F2 (3.39) 2m (3.40) 2  F F2   h*h*F  M1   F2F2  2 h*h* F F  h*2  F2  N1  0 Như vâ ̣y nghiê ̣m của hê ̣ (3.39), (3.40) có dạng  B3 * H 2 0F2 1   F2 2  F F2   h*h*F  2m 0  F2F2  2 h*h* F F  h*2  F2  M1  2  F F2   h*h*F   F2F2  2 h*h* F F  h*2  F2  2  F F2   h*h*F     2 F 2 F  F2F2  2 h*h* F F  h*2  F2  F2  2 h*h* F F  h*2  F2    2   F F     2 F * h * h *2 h 2 F  2  B3 (3.41) H 2* 0F2 1   F2 2m 2  4  F F2   h*h*F  61  B3  F2F2  2 h*h* F F  h*2  F2  N1   2 F * h * h 0 F2  2 h*h* F F  h*2  F2  2  F F2   h*h*F  2  F F2   h*h*F   2m 2  F     F  2 F 2  F F2   h*h*F    B3 H 2* 0F2 1   F2 2 F (3.42) F2  2 h*h* F F  h*2  F2  H 2* 0F2 1   F2 2m 2 2    2   F F    F2   4  F F2   h*h*F  2 F 2 F * h * h *2 h Nghiê ̣m h1 có thể được biểu diễn dưới dạng    h1  h10e F F t sin  F t   0  01  2   với (3.43) h10 cos01  M1  h10 sin 01   N1 suy ra  B3 h10  M12  N12   2m 2 F H 2*  0F2 1   F2   2   F F     2 F * h * h *2 h 2 F  2  4  F      F  2 F * h * h  H 2*  F2F2  2 h*h* F F  h*2  F2  M1 cos 01   2 h10 * 2 2 * * *2 2 2 2 * *  H    2          4           2 F F h h F F h F F F h h F   2 H 2*  F F2   h*h*F   N1 sin      01 h10 H *  2 2  2 * *    *2   2 2  4   2   * * 2   F F h h F F h F  F F h h F 2  Để thuâ ̣n tiê ̣n ta viế t la ̣i dưới da ̣ng h1  h10 sin F t  1  với 1  01   2  0 2 (3.44) (3.45) (3.46) (iii) h2 là nghiệm của dao động cưỡng bức  B 3 2 *   F F h  2 h*h*h  h*2 h   F H 3 0 e sin F t 2m Ta tìm nghiê ̣m phương trình (3.47) dưới da ̣ng h2  M 2e F F t sin F t   N2e FF t cos F t  suy ra h2    M 2 F F  N 2F  e F F t sin F t    M 2F  N 2 F F  e F F t cos F t  (3.47) (3.48) (3.49) 62 h2   M 2 F2F2  M 2F2  2 N 2 F F2  e F F t sin F t  (3.50)   2M 2 F F2  N 2 F2F2  N 2F2  e F F t cos F t  Thay (3.48), (3.49), (3.50) vào (3.47) ta đươ ̣c  M 2 F2F2  M 2F2  2 N 2 FF2  e FF t sin F t    2 M 2 F F2  N 2 F2F2  N 2F2  e  F F t cos F t  2 h*h*    M 2 F F  N 2F  e  F F t sin F t  (3.51)   M 2F  N 2 F F  e  F F t cos F t    h*2  M 2e  F F t sin F t   N 2 e  F F t cos F t     B3 2m F2 H 3* 0e  F F sin F t e F F t sin F t  và e F F t sin F t  hai vế của Sử du ̣ng biê ̣n pháp so sánh hê ̣ số cho phương triǹ h (3.51) ta rút ra  M 2 F2F2  M 2F2  2 N2 FF2   2 h*h*  M 2 FF  N2F   h*2 M 2 (3.52)  B3 2 *  F H 3 0 2m 2 2 2 2 * * (3.53)  2M 2 FF  N2 FF  N2F   2 hh  M 2F  N2 FF   h*2 N2  0 Biế n đổ i hê ̣ phương trình (3.52), (3.53) về da ̣ng hệ 2 phương trình bâ ̣c nhấ t với M1 , N1  F2F2  2 h*h* FF  h*2  F2  M 2  2  FF2   h*h*F  N2   B3 F2 H 3* 0 2m 2 * * 2 2 * * *2 2  F F   hhF  M 2   F F  2 hh F F  h  F2  N2  0 Như vâ ̣y nghiê ̣m của hê ̣ (3.54), (3.55) có dạng M2   F2F2  2 h*h* FF  h*2  F2   2 F   2   F F     2 F * h * h *2 h 2 F 2  F F2   h*h*F   2  B3 2m (3.54) (3.55) F2 H 3* 0  4  F F2   h*h*F  2 (3.56)  B3 F2 H 3* 0 2 m N2  2 2  F2F2  2 h*h* FF  h*2  F2   4  FF2   h*h*F  (3.57) Nghiê ̣m h2 có thể được biểu diễn dưới dạng h2  h20e F F t sin F t  2  với (3.58) h20 cos 2  M 2  h20 sin  2   N 2 suy ra 63  B3 h20  M  N  2 2 2 2  M cos 2  2  h20  H 3*    N2  sin  2   h20 H *  3   2m 2 F F2 H 3*  0   2   F F     2 F * h * h *2 h  2 2 F  4  F      F  2 F * h * h 2 (3.59) H 3*  F2F2  2 h*h* F F  h*2  F2   2 F F2  2 h*h* F F  h*2  F2   4  F F2   h*h* F  2 2 (3.60) 2 H 3*  F F2   h*h*F   2 F F2  2 h*h* F F  h*2  F2   4  F F2   h*h* F  2 2 Như vâ ̣y, nghiê ̣m phương triǹ h dao đô ̣ng uố n có da ̣ng h  h10e F F t sin F t  1   h20e FF t sin F t  2  h  h1  h2  h10 F F e F F t sin F t  1   h10F e  F F t cos F t  1   h20 F F e F F t sin F t   2   h20F e F F t cos F t   2     F F  Khai triể n h, h và chú ý rằng e F F t sin F t  ; e F F t cos F t  , ta có 0  0F    F F  h  h10 cos 1  h10 sin 1 0  0F    F F   h20 cos  2  h20 sin  2 0  0F    F F  h   h10 F F cos 1  h10 F F sin 1 0  0F    F F   h10F cos 1  h10F sin 1  0F 0    F F   h20 F F cos  2  h20 F F sin  2 0  0F    F F   h20F cos  2  h20F sin  2  0F 0 (3.61) Bước 3 Tiế p tu ̣c, chuyể n vi ̣xoắ n la ̣i đươ ̣c phát sinh bởi chuyể n vi ̣uố n , có dạng dao động tự do  B3  B3 2 *  B 4  B4 2 * (3.62)   2    2  F A1*h  F A4 h  F A2*  F A3 2I 2I 2I 2I Khai triể n lực tự kić h có nguyên nhân do uố n bên vế phải 64  B3 2I F A1*h   B3 2I F2 A4*h   B3 2I  F A1*  h10 F F     F F  cos 1 0    F F  sin 1  h10F cos 1  0F  0F    F F     h10F sin 1  h20 F F cos  2  h20 F F sin  2 0 0  0F  h10 F F  h20F  h10   b3 2 *      F F   cos  2  h20F sin  2   F A4  h10 cos 1  0F 0 I   0     F F     F F  sin 1  h20 cos  2  h20 sin  2   0F 0  0F   B3  B3   2I 2 F 2m F2 F2  2 h*h* F F  h*2  F2   4  F F2   h*h*F  2  2  { A* H * 1   2 F  1 2  3/2 F2 sin 1   A1* H 3* 1   F2 F2 sin  2  A4* H 2* F2 1   F2 (cos 1   F sin 1 )  A4* H 3* F2 (cos  2   F sin  2 )}  { A1* H 2* 1   F2 F  F sin 1  cos 1   A1* H 3* F  F sin  2  cos  2   A4* H 2* F 1   F2 sin 1  A4* H 3* F sin  2 }   (3.63) Để thuâ ̣n tiê ̣n ta ký hiê ̣u   B4  1    ; 2   2I    B2  2   F  2m   2 F   2   F F     2 F * h * h *2 h  2 2 F  4  F      F  2 F * h * h 2 (3.64) như vâ ̣y  B3 2I F A1*h   B3 2I F2 A4*h  12 { A1* H 2* 1   F2  F2 sin 1 3/2   A1* H 3* 1   F2  F2 sin  2  A4* H 2* F2 1   F2 (cos 1   F sin 1 )  A H  (cos  2   F sin  2 )}  { A H * 4 * 3 2 F * 1 * 2 1   F  F sin 1  cos 1  (3.65) 2 F  A1* H 3* F  F sin  2  cos  2   A4* H 2* F 1   F2 sin 1  A4* H 3* F sin  2 }   Thay (3.65) vào phương trình (3.62) ta có 65   2     2  1 2 { A1* H 2* 1   F2  F2 sin 1 3/2     A1* H 3* 1   F2 F2 sin  2  A4* H 2* F2 1   F2 (cos 1   F sin 1 )  A4* H 3* F2 (cos  2   F sin  2 )}  { A1* H 2* 1   F2 F  F sin 1  cos 1   A1* H 3* F  F sin  2  cos  2   A4* H 2* F 1   F2 sin 1  A4* H 3* F sin  2 }   4 4 B B 2 *  F A2*  F A3 2I 2I Phương trình (3.66) đươ ̣c viế t la ̣i dưới da ̣ng chuẩ n   2 F F  F2  0 với (3.66) (3.67) F  [2  1F2 A3*  1 2F2 { A1* H 2* 1   F2  sin 1 3/2    A1* H 3* 1   F2 sin  2  A4* H 2* 1   F2 (cos 1   F sin 1 ) (3.68)  A4* H 3* (cos  2   F sin  2 )}]1/2 2 F  2     1 A2*  12 { A1* H 2* 1   F2  F sin 1  cos 1  F (3.69)  A1* H 3*  F sin  2  cos  2   A4* H 2* 1   F2 sin 1  A4* H 3* sin  2 } Sau khi tính được  F , theo định nghĩa độ cản Lehr [10], ta suy ra  F  2 F (3.70) Chú ý rằng, ứng với mỗi vận tốc gió, 1  const , 2  2 F ,  F  , sin 1 ,cos 1 , sin 2 , cos  2 cũng là các hàm của F và  F . Vậy hệ (3.68) và (3.69) là hệ hai phương trình đại số phi tuyến với 2 ẩn F và  F . Giải hệ hai phương trình này bằng phương pháp lặp Newton-Raphson, ta tìm được F ,  F . Sau đó ta tìm  F theo công thức (3.70). Dựa trên thuật toán trình bầy ở trên và sử dụng phần mềm đa năng MATLAB, chúng tôi đã xây dựng một phần mềm tính toán vận tốc flutter tới hạn của mô hình mặt cắt của dầm chủ của cầu. Phần mềm được đặt tên là Flutter-BK01. Các tham số flutter Ai* , H i* được tính theo các công trình của Starossek và các cộng sự [156, 157, 165] đối với một số mặt cắt thông dụng của dầm cầu. Hình 3.4 mô tả sơ đồ thuật toán tóm tắt của phương pháp bước lặp. 66 Begin Nhập các dữ liệu động lực của kết cấu m, I , h ,  ,  h ,   ,  , B , U min ,U max , U F 0   ,  F 0  0 Nhập các đa thức xấp xỉ của Hi* , Ai* (i  1, 2,3, 4) theo U red U  U min : U : U max Vòng lặp vận tốc gió i 1 U (i) Giải hệ hai phương trình phi tuyến (3.68), (3.69) với hai ẩn F ,  F , xấp xỉ ban đầu là F 0 ,  F 0 f (i)  F / 2 ;  F  i   2 F i  i 1 U i   U i   U  F 0  F ,  F 0   F Đ i  length U  S In đồ thị (U , f ) , In đồ thị (U ,  F ) Kiểm tra vị trí thứ k , tại đó  F  k  min   k   0  , U F F  U k  End Hình 3.4 Sơ đồ khối thuật toán phần mềm Flutter-BK01 67 3.3 Mô hình thí nghiệm mặt cắt dầm cầu tại trường Đại học Kỹ thuật Hamburg Mô hình mặt cắt dầm cầu GB được thực hiện trong hầm gió của Viện Phân tích kết cấu và Công trình thép thuộc Đại học Công nghệ Hamburg, mặt cắt có dạng thu nhỏ của mặt cắt ngang dầm cầu Great Belt ở Đan Mạch. Bốn máy đo chuyển vị laser để đo chuyển vị theo phương thẳng đứng tại bốn điểm góc của mặt cắt dầm cầu. Hầm gió có dạng hầm gió mở kiểu Eiffel với vận tốc gió lớn nhất là 24m/s. Bề rộng và chiều cao của thí nghiệm mô hình mặt cắt đều là 0,8m. Cường độ rối nhỏ hơn 0,1% tại vận tốc gió cực đại (hình 3.6) Các thông số của mô hình: m  34,8kg , I  0,71kgm2 , kh  2790 N/m , k  70,8 Nm/rad , ch  c  0 , B  2b  0, 420m 26,61 2,79 183,39 40,53 84 252 18,21 183,39 61,59 26,61 84 420 Hình 3.5 Hình dáng mặt cắt mô hình thí nghiệm (đơn vị: mm) Hình 3.6 Mô hình thí nghiệm trong thí nghiệm hầm gió Kết quả vận tốc gió tới hạn của mô hình thực hiện trong hầm gió của trường Đại học Kỹ thuật Hamburg là 9,8 m/s (35,28km/h) 68 Bảng 3.2 Các tham số khí động Hi* , Ai* (i  1, 2,3, 4) mặt cắt GB, Re  250000,   20 [156] U fB 20,957 13,954 10,458 8,373 6,988 5,979 5,236 4,650 4,194 3,831 3,493 3,222 2,991 2,801 2,622 2,468 2,328 2,209 2,100 U red  U fB 20,880 13,974 10,531 8,378 6,982 5,986 5,245 4,657 4,196 3,808 3,492 3,227 2,998 2,795 2,624 2,468 2,330 2,207 2,098 U red  H 2* 8,372 2,93 1,338 0,066 -0,124 -0,322 -0,458 -0,502 -0,464 -0,486 -0,468 -0,454 -0,418 -0,398 -0,384 -0,36 -0,33 -0,31 -0,294 H1* -14,052 -8,702 -5,954 -4,506 -3,758 -3,036 -2,614 -2,276 -1,998 -1,744 -1,602 -1,44 -1,306 -1,17 -1,136 -1,058 -0,98 -0,94 -0,854 H 3* A2* A3* -2,704 -1,2 -0,636 -0,404 -0,27 -0,196 -0,156 -0,118 -0,092 -0,08 -0,064 -0,06 -0,05 -0,044 -0,04 -0,034 -0,028 -0,026 -0,022 12,05 4,95 2,668 1,666 1,148 0,836 0,646 0,516 0,422 0,354 0,304 0,264 0,234 0,208 0,188 0,17 0,156 0,146 0,136 H 4* A1* A4* -1,574 -2,352 -1,804 -0,81 0,05 -0,072 0,114 0,064 0,158 0,376 0,45 0,524 0,582 0,624 0,6 0,638 0,672 0,656 0,662 3,57 2,052 1,508 1,154 0,928 0,798 0,696 0,618 0,546 0,508 0,464 0,43 0,402 0,396 0,362 0,348 0,336 0,32 0,312 0,696 0,64 0,4 0,33 0,274 0,15 0,144 0,106 0,084 0,076 0,048 0,044 0,034 0,024 0,014 0,006 -0,006 -0,002 -0,014 -49,004 -19,326 -10,024 -6,19 -4,09 -2,886 -2,168 -1,684 -1,362 -1,108 -0,938 -0,796 -0,704 -0,6 -0,53 -0,478 -0,418 -0,384 -0,346 69 U red U red U red U red U red U red U red U red Hình 3.7 Đồ thị Ai* , H i* theo U red của mặt cắt GB Chú ý: Trong trường hợp chiều dài mô hình khác 1 đơn vị, phương trình (3.14) - (3.15) có dạng  1 h B h m  h  2 hh h  h2 h   U 2 B l  KH1* ( K )  KH 2* ( K )  K 2 H 3* ( K )  K 2 H 4* ( K )  2 U U B  (3.71)  1 h B h I   2     2   U 2 B 2 l  KA1* ( K )  KA2* ( K )  K 2 A3* ( K )  K 2 A4* ( K )  2 U U B  (3.72) 70 với l là chiều dài mô hình, m, I là khối lượng và momen quán tính của mô hình. Trong trường hợp mô hình thí nghiệm tại trường Đại học Kỹ thuật Hamburg, chiều dài của mô hình là 0.79m. Đa thức nội suy bậc ba của các Ai* , Hi*  i  1, 2,3, 4  với biến U red là 3 2 A1*  5,3*105U red  0,0016U red  0,11U red  0,058 3 2 A2*  3,6*105U red  0,0076U red  0,017U red  0,03 3 2 A3*  0,00027U red  0,022U red  0,014U red  0,066 3 2 A4*  0,00018U red  0,0046U red  0,02U red  0,069 3 2 H1*  0,00032U red  0,019U red  0, 42U red  0,1 3 2 H 2*  0,00075U red  0,053U red  0, 4U red  0,32 3 2 H3*  0,0015U red  0,086U red  0,11U red  0, 21 3 2 H 4*  0,002U red  0,052U red  0,13U red  0,59 Hình 3.8 Đồ thị quan hệ U  f và U   F đố i với mô hình thí nghiệm tại Đại học Hamburg Sử dụng phần mềm Flutter-BK01 ta tìm được vận tốc flutter tới hạn như trên hình 3.8. U F  9,31m/s  33,5km/h  f F  1, 4996Hz  F  9, 42 rad/s Kết quả trên phù hợp tốt với kết quả thực nghiệm là U F  9,8m/s , sai số là 5%. 71