5 ĐIỀU KHIỂN THỤ ĐỘNG DAO ĐỘNG FLUTTER CỦA DẦM
CHỦ CẦU TREO BẰNG PHƢƠNG PHÁP KHÍ ĐỘNG
Trong chương 4 đã trình bày việc nâng cao vận tốc gió tới hạn của dầm cầu bằng phương
pháp cơ học. Trong chương này trình bày một phương án khác, đó là phương pháp khí động,
điều khiển thụ động dao động flutter của dầm chủ cầu treo bằng cách sử dụng 2 cánh vẫy. Đầu
tiên, thiết lập phương trình chuyển động của mặt cắt dầm cầu có lắp thêm 2 cánh vẫy. Sau đó,
phương pháp bước lặp-RSBS được áp dụng để tìm vận tốc gió flutter tới hạn của mô hình mặt
cắt có hai cánh vẫy.
5.1 Thiết lập phƣơng trình chuyển động
e1
e2
B
x
1
l
2
S
kw2 , cw2
kw1 , cw1
1
Bw1
h
l
2
Bw 2
Lh
hw1
w1
M
1
1
S
M w1
hw 2
2
Lw1
M w2
y
2
w2
Lw 2
Hình 5.1 Mô hình tính toán của hệ dầm cầu-2 cánh vẫy
99
Mô hình mặt cắt dầm cầu có lắp hai cánh vẫy được vẽ trên hình 2.1. Các ký hiệu được sử
dụng trong hình 5.1 là:
h : chuyển vị theo phương thẳng đứng của tâm uốn của dầm cầu
: chuyển vị xoắn của dầm cầu
w1 : chuyển vị xoắn tuyệt đối của cánh vẫy phía trước so với dầm cầu
w 2 : chuyển vị xoắn tuyệt đối của cánh vẫy phía sau so với dầm cầu
Bw1 , Bw2 : bề rộng của cánh vẫy phía trước và cánh vẫy phía sau.
e1 , e2 : khoảng cách từ khớp nối của các cánh vẫy đến tâm uốn của dầm cầu (các khớp nối
đặt tại điểm chính giữa của các cánh vẫy).
kh , ch , k , c : lần lượt là độ cứng và độ cản nhớt theo phương uốn và phương xoắn của dầm
cầu.
kw1 , cw1 , kw2 , cw2 : độ cứng chống xoắn và độ cản xoắn tại các khớp nối của cánh vẫy phía
trước và cánh vẫy phía sau
m, I : khối lượng và momen quán tính trên một đơn vị dài của dầm cầu
m1 , I1 , m2 , I 2 : khối lượng và momen quán tính lấy đối với khối tâm của cánh vẫy phía trước
và cánh vẫy phía sau.
U : vận tốc gió tới
Lh , M : lực nâng và momen khí động tác dụng lên dầm cầu
Lw1 , M w1 , Lw2 , M w2 : lực nâng và momen khí động tác dụng lên cánh vẫy phía trước và
cánh vẫy phía sau.
Từ mô hình trên hình 5.1, ta thấy hệ có 4 bậc tự do n 4 . Ta chọn các tọa độ suy rộng
độc lập là h, , w1 , w2
Sử dụng phương pháp phương trình Lagrange loại 2 [10], các phương trình chuyển động
của cơ hệ có dạng
d T T
(5.1)
Qh*
dt h h
h h
d T T
(5.2)
Q*
dt
d T T
Q*w1
dt w1 w1
w1 w1
d T T
Q*w 2
dt w2 w2
w2 w2
Biểu thức động năng của cơ hệ có dạng
1
1
1
1
1
1
T mh 2 I 2 m1hw21 I1 w21 m2 hw2 2 I 2 w2 2
2
2
2
2
2
2
Giả thiết các dao động là nhỏ, ta có
hw1 h SC sin 1 l h SC sin 1 cos sin cos 1 l
h l cos e1 sin l h l e1 l h e1
(5.3)
(5.4)
(5.5)
(5.6)
100
hw2 h SD sin 2 l h SD sin 2 cos sin cos 2 l
h l cos e2 sin l h l e2 l h e2
Từ các phương trình (5.6), (5.7) ta suy ra
hw1 h e1
h h e
w2
(5.8)
(5.9)
2
Vậy động năng của cơ hệ là:
2
1
1
1
1
1
T mh 2 I 2 m1 h e1 I1 w21 m2 h e2
2
2
2
2
2
Từ đó suy ra
T
mh m1 h e1 m2 h e2
h
d T
m m1 m2 h m2e2 m1e1
dt h
T
0
h
T
I m1e1 h e1 m2 e2 h e2
d T
m2 e2 m1e1 h I m1e12 m2e22
dt
T
0
T
d T
I1 w1
I1w1
w1
dt w1
(5.7)
2
1
I 2 w2 2
2
(5.10)
T
0
w1
T
d T
I 2 w 2
I 2w 2
w 2
dt w 2
(5.11)
T
0
w 2
Thế năng của cơ hệ có dạng [10]
1
1
1
1
2
2
(5.12)
kh h2 k 2 kw1 w1 kw2 w2
2
2
2
2
Hàm hao tán có dạng [10]
1
1
1
1
2
2
(5.13)
ch h 2 c 2 cw1 w1 cw2 w2
2
2
2
2
Lực suy rộng của các lực không thế
Qh* Lh Lw1 Lw2 ; Q* M e1Lw1 e2 Lw2 ; Q*w1 Mw1 ; Q*w 2 Mw 2
(5.14)
Thay (5.11) - (5.14) vào (5.1) – (5.4) ta được hệ phương trình vi phân dao động của hệ:
(5.15)
m m1 m2 h m2e2 m1e1 khh chh Lh Lw1 Lw2
101
m2e2 m1e1 h I m1e12 m2e22 k kw1 w1 kw2 w2
c cw1 w1 cw2 w2 M e1 Lw1 e2 Lw2
I1w1 kw1 w1 cw1 w1 M
I 2w2 kw2 w2 cw2 w2 M
w1
w2
(5.16)
(5.17)
(5.18)
5.2 Phƣơng trình lực khí động trong trƣờng hợp các cánh vẫy xem
nhƣ tấm phẳng
Giả thiết rằng luồng gió thổi qua dầm cầu và cánh vẫy phía sau không bị ảnh hưởng bởi
luồng gió rối phát sinh bởi các vật thể phía trước. Như vậy phương trình các lực khí động tác
dụng lên dầm cầu và các cánh vẫy được thiết lập một cách độc lập [102, 178].
Phương trình lực khí động tác dụng lên dầm cầu có dạng [149, 153]
1
h
B
h
Lh U 2 B KH1* ( K ) KH 2* ( K )
K 2 H 3* ( K ) K 2 H 4* ( K )
(5.19)
2
U
U
B
1
h
B
h
M U 2 B 2 KA1* ( K ) KA2* ( K )
K 2 A3* ( K ) K 2 A4* ( K )
(5.20)
2
U
U
B
Phương trình lực khí động tác dụng lên các cánh vẫy [149, 153]
h
B
h
1
*
*
*
Lw1 U 2 Bw1 K1H11* ( K1 ) w1 K1H 21
( K1 ) w1 w1 K12 H 31
( K1 ) w1 K12 H 41
( K1 ) w1
2
U
U
Bw1
(5.21)
h
B
h
1
*
*
*
M wae1 U 2 Bw21 K1 A11* ( K1 ) w1 K1 A21
( K1 ) w1 w1 K12 A31
( K1 ) w1 K12 A41
( K1 ) w1
2
U
U
Bw1
(5.22)
với
B
(5.23)
K1 w1 F
U
h
B
h
1
*
*
*
Lw2 U 2 Bw2 K 2 H12* ( K 2 ) w2 K 2 H 22
( K 2 ) w2 w2 K 22 H 32
( K 2 ) w2 K 22 H 42
( K 2 ) w2
2
U
U
Bw2
(5.24)
h
B
h
1
*
*
*
M wae2 U 2 Bw2 2 K 2 A12* ( K 2 ) w2 K 2 A22
( K 2 ) w2 w2 K 22 A32
( K 2 ) w2 K 22 A42
(K 2 ) w2
2
U
U
Bw2
(5.25)
với
B
(5.26)
K 2 w2 F
U
Trong trường hợp xem các cánh vẫy là các tấm mỏng, các hàm Aij* , Hij* i 1,..., 4; j 1, 2
được tính như sau [149, 153]
102
2G k j
1 F k j
kj
4k j
kj
k jG k j
2G k j
H 3* j K j 2 F k j
; H 4* j K j 1
2k j
2
2
kj
F k j
2G k j
A1*j K j
;
A2* j K j
1 F k j
4k j
16k j
kj
H1*j K j
A3* j K j
F k j
;
2
kj
F k j
8k 8
2
j
với
F k j
k jG k j
2
A4* j K j
;
4k j
BwjF
(5.28)
0.500502k 3j 0.512607k 2j 0.210400k j 0.021573
G k j
(5.27)
G k j
j 1, 2
2U
có thể được tính như sau [153]
kj
Các hàm F k j , G k j
H 2* j K j
k 3j 1.035378k 2j 0.251293k j 0.021508
0.000146k 3j 0.122397k 2j 0.327214k j 0.001995
k 3j 2.481481k 2j 0.934530k j 0.089318
(5.29)
(5.30)
5.3 Sử dụng phƣơng pháp bƣớc lặp giải hệ phƣơng trình vi phân
chuyển động
Thay (5.19) - (5.25) vào (5.15) - (5.18) và chú ý K
B
B
B F
, K1 w1 F , K 2 w2 F , ta
U
U
U
có
B2
B2 2 *
*
F H1 h
F H 4 h
m m1 m2 h m2e2 m1e1 kh h ch h
2
2
B2
B2
B3
B3 2 *
*
F H 2*
F H 3 w1 F H11* h e1 w1 F2 H 41
h e1
2
2
2
2
(5.31)
2
Bw31
Bw31 2 *
Bw2 2
B
*
*
2
*
w
2
F H 21 w1
F H 31 w1
F H12 h e2
F H 42 h e2
2
2
2
2
Bw3 2
B3
*
F H 22
w 2 w 2 F2 H 32* w 2
2
2
103
m2e2 m1e1 h I m1e12 m2e22 k k w1 w1 k w2 w2
c cw1 w1 cw 2 w 2
B
2
Bw31
2
Bw2 2
2
4
B3
2
F A1*h
B3
2
F2 A4*h
B4
2
B
B
*
F H11* h e1
F2 H 41
h e1
2
2
F2 A3* e1
F H w1
*
21
2
w1
Bw31
2
w1
*
31
Bw3 2
2
*
F H 22
w 2
Bw3 2
2
I1w1 kw1 w1 cw1 w1
B
2
A
2
F
*
41
h e1
B
4
w1
2
B
3
w1
2
F A w1
Bw4 2
F2 H 32* w 2
*
21
I 2w 2 kw 2 w 2 cw 2 w 2
Bw3 2
(5.32)
Bw2 2
H w1 e2
F H12* h e2
2
2
2
F
*
F2 H 42
h e2
3
w1
F A2*
F A11* h e1
Bw41
Bw3 2
2
2
(5.33)
A w1
2
F
*
31
F A12* h e2
Bw4 2
(5.34)
A h e2
F A w2
A w2
2
2
2
Áp dụng phương pháp bước lặp của Matsumoto, ta giải hệ phương trình (5.31)-(5.34) theo
trình tự các bước như sau:
2
F
*
42
*
22
2
F
*
32
Bước 1
Giả thiết chuyển vị xoắn có dạng
0 e
F F t
sin F t
với 0 là biên độ của dao động xoắn và t là thời gian. Ta suy ra
0 FF e FF t sin F t 0F e FF t cos F t
2 F F t
F
0 e
2
F
sin F t 0 F e
2 F F t
F
0 F e
2 F F t
F
2 F F t
F
cos F t 0 e
(5.35)
(5.36)
cos F t
sin F t
(5.37)
0F2 F2 1 e F F t sin F t 2 0 F F2 e F F t cos F t
Bước 2
Thay (5.35)-(5.37) vào các phương trình (5.31), (5.33), (5.34) ta được
104
m m1 m2 h m2e2 m1e1 0F2 F2 1 e t sin F t 2 0 F F2 e t cos F t
F
F
F
F
B2
B2
B 2 2 * Bw21 2 * Bw2 2 2 *
B2
kh
F H 4
F H 41
F H 42 h ch
F H1* w1 F H11* w 2 F H12* h
2
2
2
2
2
2
B3
B2
Bw2 2
F H 2* e1 w1 F H11* e2
F H12* 0 F F e F F t sin F t 0F e F F t cos F t
2
2
2
B3 2 *
Bw21 2 *
Bw2 2 2 * F F t
Bw31
Bw31 2 *
*
F H 3 e1
F H 41 e2
F H 42 0e
sin F t
F H 21 w1
F H 31 w1
2
2
2
2
2
Bw3 2
B3
*
F H 22
w 2 w 2 F2 H 32* w 2
2
2
4
Bw1 2 *
B3
Bw41
F F t
*
*
I1w1 kw1
F A31 w1 kw1 e1 w1 F2 A41
e
sin
t
c
F A21
0
w1
w1
F
2
2
2
Bw31
Bw31
B3
*
cw1 e1
F A11* 0 F F e F F t sin F t 0F e F F t cos F t
F A11* h w1 F2 A41
h
2
2
2
Bw4 2 2 *
Bw3 2 2 * F F t
Bw4 2
*
I 2w 2 kw 2
F A32 w 2 kw 2 e2
F A42 0e
sin F t cw 2
F A22
w 2
2
2
2
Bw3 2
B3
B3
*
cw 2 e2
F A12* 0 F F e F F t sin F t 0F e F F t cos F t w 2 F A12* h w 2 F2 A42
h
2
2
2
Tìm nghiệm hệ (5.38) - (5.40) dưới dạng
h M1e FF t sin F t N1e FF t cos F t
F F t
w1 M 2e
w2 M 3e
F F t
sin F t N2e
F F t
(5.38)
(5.39)
(5.40)
(5.41)
cos F t
(5.42)
sin F t N3e F F t cos F t
(5.43)
suy ra
105
h M1 F F N1F e F F t sin F t
M1F N1 F F e F F t cos F t
w1 M 2 F F N 2F e
F F t
sin F t
M 2F N 2 F F e F F t cos F t
w2 M 3 F F N3F e
F F t
sin F t
(5.44)
(5.45)
M 3F N3 F F e F F t cos F t
(5.46)
2M1 F F2 N1 F2F2 N1F2 e F F t cos F t
(5.47)
h M1 F2F2 M1F2 2 N1 F F2 e F F t sin F t
w1 M 2 F2F2 M 2F2 2 N 2 F F2 e
F F t
sin F t
2M 2 F F2 N 2 F2F2 N 2F2 e F F t cos F t
w2 M 3 F2F2 M 3F2 2 N3 F F2 e
F F t
sin F t
2M 3 F F2 N3 F2F2 N3F2 e F F t cos F t
(5.48)
(5.49)
Thay (5.41)-(5.49) vào hệ (5.38) - (5.40) ta được
106
m m1 m2 M 1 F2F2 M 1F2 2 N1 F F2 e t sin F t 2M 1 F F2 N1 F2F2 N1F2 e t cos F t
F
F
F
F
m2 e2 m1e1 0F2 F2 1 e F F t sin F t 2 0 F F2 e F F t cos F t
B 2 2 * Bw21 2 * Bw2 2 2 *
kh
F H 4
F H 41
F H 42 M 1e F F t sin F t N1e F F t cos F t
2
2
2
2
2
2
B
B
B
ch
F H1* w1 F H11* w 2 F H12* M 1 F F N1F e F F t sin F t M 1F N1 F F e F F t cos F t
2
2
2
B3
Bw21
Bw2 2
*
*
F H 2 e1
F H11 e2
F H12* 0 F F e F F t sin F t 0F e F F t cos F t
2
2
2
2
2
3
B 2 *
B
Bw 2 2 * F F t
F H 3 e1 w1 F2 H 41* e2
F H 42 0 e
sin F t
2
2
2
Bw31
F H 21* M 2 F F N 2F e
F F t
sin F t M 2F N 2 F F e F F t cos F t
2
Bw31 2 *
F H 31 M 2e F F t sin F t N 2e F F t cos F t
2
Bw3 2
*
M 3 F F N 3F e F F t sin F t M 3F N 3 F F e F F t cos F t
F H 22
2
Bw3 2 2 *
F H 32 M 3e F F t sin F t N 3e F F t cos F t
2
(5.50)
107
I1 M 2 F2F2 M 2F2 2 N 2 F F2 e F F t sin F t 2M 2 F F2 N 2 F2 F2 N 2 F2 e F F t cos F t
Bw41 2 *
Bw31 2 * F F t
F F t
F F t
kw1
F A31 M 2e
sin F t N 2e
cos F t kw1 e1
F A41 0e
sin F t
2
2
Bw41
F F t
*
cw1
F A21
sin F t M 2F N 2 F F e F F t cos F t
M 2 F F N 2F e
2
Bw31
cw1 e1
F A11* 0 F F e F F t sin F t 0F e F F t cos F t
2
3
Bw1
F A11* M 1 F F N1F e F F t sin F t M 1F N1 F F e F F t cos F t
2
Bw31 2 *
F A41 M 1e F F t sin F t N1e F F t cos F t
2
(5.51)
I 2 M 3 F2F2 M 3F2 2 N 3 F F2 e F F t sin F t 2M 3 F F2 N 3 F2 F2 N 3 F2 e F F t cos F t
Bw4 2 2 *
Bw3 2 2 * F F t
kw 2
F A32 M 3e F F t sin F t N3e F F t cos F t kw 2 e2
F A42 0e
sin F t
2
2
Bw4 2
F F t
*
cw 2
F A22
sin F t M 3F N 3 F F e F F t cos F t
M 3 F F N 3F e
2
Bw3 2
cw 2 e2
F A12* 0 F F e F F t sin F t 0F e F F t cos F t
2
3
Bw 2
F A12* M 1 F F N1F e F F t sin F t M 1F N1 F F e F F t cos F t
2
Bw3 2 2 *
F A42 M 1e F F t sin F t N1e F F t cos F t
2
(5.52)
108
Cân bằng hệ số của e F F t sin F t và e F F t cos F t của hai vế ba phương trình (5.50) - (5.52) ta có
B 2 2 * Bw21 2 * Bw2 2 2 *
B 2 2 * Bw21 2 * Bw2 2 2 *
2
2
m
m
m
1
k
H
H
H
c
F H1
F H11
F H12 F M 1
h F
1
2
F
F
h
F
4
F
41
F
42
2
2
2
2
2
2
B3 *
B3
B 2 2 * Bw21 2 * Bw2 2 2 *
m m1 m2 2 F F2 chF
F H1
F H11
F H12 N1 w1 H 21
F F2 w1 F2 H 31* M 2
2
2
2
2
2
Bw31
2
Bw3 2
B3
B3
F F2 H 22* w 2 F2 H 32* M 3 w 2 F2 H 22* N3
2
2
2
*
F2 H 21
N2
B3 *
B3 *
Bw21 *
Bw2 2 *
Bw21 *
Bw2 2 *
H 2 e1
H11 e2
H12 F
H 3 e1
H 41 e2
H 42 m2e2 m1e1 F2 1 F2 0
2
2
2
2
2
2
(5.53)
B
B 2 * B
2
F H1
F2 H11*
F2 H12* M 1
m m1 m2 2 F F chF
2
2
2
2
w1
2
2
w2
B 2 2 * Bw21 2 * Bw2 2 2 *
B 2 2 * Bw21 2 * Bw2 2 2 *
2
2
F H 4
F H 41
F H 42 chF
F H1
F H11
F H12 F N1
m m1 m2 F 1 F kh
2
2
2
2
2
2
Bw31
Bw31
Bw3 2
Bw31 * 2
Bw3 2 2 *
Bw3 2 * 2
*
*
H M2
F H 21
H 31 F N 2
F H 22 M 3
F H 22
H 32 F N3
2
2
2
2
2
2
2
F
*
21
B 3 *
Bw21 *
Bw2 2 *
H 2 e1
H11 e2
H12 m2e2 m1e1 2 F F2 0
2
2
2
(5.54)
B
B
B
B
B
*
F2 A41
F F2 A11* M1
F2 A11* N1 I1 F2 1 F2 kw1
F2 A31* cw1
F A21* F F M 2
2
2
2
2
2
3
w1
3
w1
3
w1
4
w1
Bw41
Bw31
Bw31 2 *
2
*
*
I1 2 F F cw1
F A21 F N 2 cw1 e1
F A11 F F kw1 e1
F A41 0
2
2
2
4
w1
(5.55)
109
Bw31
2
Bw31
B3
Bw41
*
2
*
F F2 A11* w1 F2 A41
N
2
I
c
F A21
1 1 F F w1
F M 2
2
2
2
F2 A11* M 1
Bw41 2 *
Bw41
Bw31
2
2
*
I1 F 1 F kw1
F A31 cw1
F A21 F F N 2 cw1 e1
F A11* F 0
2
2
2
Bw3 2
Bw3 2 2 *
Bw3 2 2 *
Bw4 2 2 *
Bw4 2
2 *
2
2
A
A
M
A
N
I
1
k
A
c
F A22* F F M 3
2 F
w2
F F 12
F 42
1
F 12 1
F
F 32 w 2
2
2
2
2
2
Bw4 2
Bw3 2 2 *
Bw3 2
*
2 I 2 F F2 cw 2
F A22
N
k
e
A
c
e
F A12* F F 0
F 3 w 2 2
F 42 w 2
2
2
2
2
Bw3 2
2
(5.56)
(5.57)
Bw3 2
B3 * 2
Bw4 2
2
*
F A12* w 2 A42
N
2
I
c
F A22
F 1
w2
F M 3
2 F F
2
2
2
F2 A12* M 1
(5.58)
4
4
3
Bw 2 2 *
B
Bw 2
*
I 2 F2 1 F2 kw 2
F A32 cw 2 w 2 F A22
F A12* F 0
F F N 3 cw 2 e2
2
2
2
Hệ (5.53) - (5.58) là hệ 6 phương trình 6 ẩn M1 , N1 , M 2 , N2 , M 3 , N3 . Các vế phải của hệ (5.53) - (5.58) đều nhân với 0 , do đó tìm
nghiệm hệ này dưới dạng
D
D
D
D
D
D
(5.59)
M1 M 1 0 , N1 N 1 0 , M 2 M 2 0 , N 2 N 2 0 , M 3 M 3 0 , N3 N 3 0
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
với M 1 , N 1 , M 2 , N 2 , M 3 , N 3 là nghiệm của hệ phương trình (5.60) - (5.65)
D
D
D
D
D
D
110
B 2 2 * Bw21 2 * Bw2 2 2 *
B 2 2 * Bw21 2 * Bw2 2 2 *
2
2
m
m
m
1
k
H
H
H
c
h 2 F 4 2 F 41 2 F 42 h F 2 F H1 2 F H11 2 F H12 F M1
1
2
F F
B3 *
B3
B 2 2 * Bw21 2 * Bw2 2 2 *
m m1 m2 2 F F2 chF
F H1
F H11
F H12 N1 w1 H 21
F F2 w1 F2 H 31* M 2
2
2
2
2
2
Bw31
2
Bw3 2
B3
B3
F F2 H 22* w 2 F2 H 32* M 3 w 2 F2 H 22* N3
2
2
2
*
F2 H 21
N2
B3 *
B3 *
Bw21 *
Bw2 2 *
Bw21 *
Bw2 2 *
H 2 e1
H11 e2
H12 F
H 3 e1
H 41 e2
H 42 m2e2 m1e1 F2 1 F2
2
2
2
2
2
2
(5.60)
B
B 2 * B
2
F H1
F2 H11*
F2 H12* M 1
m m1 m2 2 F F chF
2
2
2
2
w1
2
2
w2
B 2 2 * Bw21 2 * Bw2 2 2 *
B 2 2 * Bw21 2 * Bw2 2 2 *
2
2
m
m
m
1
k
H
H
H
c
F H1
F H11
F H12 F N1
h
1
2
F
F
F
4
F
41
F
42 h F
2
2
2
2
2
2
Bw31
2
Bw31
B3
B3
B3
B3
F H 21* w1 H 31* F2 N 2 w 2 F2 H 22* M 3 w 2 F H 22* w 2 H 32* F2 N3
2
2
2
2
2
*
F2 H 21
M2
B 3 *
Bw21 *
Bw2 2 *
H 2 e1
H11 e2
H12 m2e2 m1e1 2 F F2
2
2
2
(5.61)
B
B
B
B
B
*
F2 A41
F F2 A11* M1
F2 A11* N1 I1 F2 1 F2 kw1
F2 A31* cw1
F A21* F F M 2
2
2
2
2
2
3
w1
3
w1
3
w1
4
w1
Bw41
B3
B3
*
I1 2 F F2 cw1
F A21* F N 2 cw1 e1 w1 F A11* F F kw1 e1 w1 F2 A41
2
2
2
4
w1
(5.62)
111
Bw31
2
Bw31
B3
Bw41
*
2
*
F F2 A11* w1 F2 A41
N
2
I
c
F A21
1 1 F F w1
F M 2
2
2
2
F2 A11* M 1
Bw41 2 *
Bw41
Bw31
2
2
*
I1 F 1 F kw1
F A31 cw1
F A21 F F N 2 cw1 e1
F A11* F
2
2
2
Bw3 2
Bw3 2 2 *
Bw3 2 2 *
Bw4 2 2 *
Bw4 2
2 *
2
2
A
A
M
A
N
I
1
k
A
c
F A22* F F M 3
2 F
w2
F F 12
F 42
1
F 12 1
F
F 32 w 2
2
2
2
2
2
Bw4 2
Bw3 2 2 *
Bw3 2
*
2 I 2 F F2 cw 2
F A22
N
k
e
A
c
e
F A12* F F
F 3 w 2 2
F 42 w 2
2
2
2
2
Bw3 2
2
Bw3 2
B3 * 2
Bw4 2
2
*
F A12* w 2 A42
N
2
I
c
F A22
F 1
w2
F M 3
2 F F
2
2
2
(5.63)
(5.64)
F2 A12* M 1
Bw4 2 2 *
B4
Bw3 2
*
I 2 F2 1 F2 kw 2
F A32 cw 2 w 2 F A22
N
c
e
F A12* F
F F 3 w2 2
2
2
2
(5.65)
D, DM 1 , DN1 , DM 2 , DN 2 , DM 3 , DN 3 là các định thức được tìm theo định lý Cramer, D là định thức ma trận hệ số của hệ (5.60) (5.65), DM 1 , DN1 , DM 2 , DN 2 , DM 3 , DN 3 là định thức của các ma trận được suy ra từ ma trận hệ số bằng cách thay cột vế phải của hệ
(5.60) - (5.65) vào các cột của ma trận hệ số tại các vị trí M1 , N1 , M 2 , N2 , M 3 , N3 tương ứng.
Biểu diễn lại h, w1 , w2 dưới dạng
112
h h0e F F t sin F t h
w1 w10e
F F t
w2 w20e
F F t
(5.66)
sin t
sin F t w1
(5.67)
w 2
(5.68)
F
với h0 , y10 , y20 là các biên độ dao động, h , y1 , y 2 là độ lệch pha của các dao động
h, y1 , y2 so với dao động xoắn.
suy ra
h0 M N
2
1
2
1
2
D D
hay
M 1 N1
0
D D
h0
DM 1
M
D
cos h 1
h0
h0
0
DN 1
N1 D
sin h
h0
h0
0
w10 M N
2
2
hay h
w10
D D
hay
M2 N2
0
D D
DM 2
M
D
cos w1 2
w10 w10
0
DN 2
D
N2
sin w1
w10
w10
0
hay
w1
w20 M N
2
3
w20
D D
hay
M 3 N3
0
D D
DM 3
M
cos 2 D
w2
w 20 w 20
0
DN 3
D
N2
sin w 2
w 20
w 20
0
hay
w 2
(5.70)
2
(5.71)
D D
N2 M2
D D
atan2
,
0
0
0 0
2
2
3
(5.69)
D D
N1 M 1
D D
atan2
,
h h
0
0
0 0
2
2
2
2
(5.72)
2
D D
N3 M 3
D D
atan2
,
w 20
w 20
0 0
(5.73)
(5.74)
113
Như vậy, từ các phương trình (5.69) - (5.74), ta rút ra
h0 / 0 , w10 / 0 , w20 / 0 , h , w1 , w2 theo hai ẩn số F , F .
Từ phương trình (5.36) ta suy ra
F F
e F F t cos F t
6
h
h0
0
cos h sin h F
h0
0
sin h
F
(5.76)
h
h
h 0 F sin h 1 F2 0 F sin h cos h
0
lượng
(5.75)
0F
Như vậy
đại
(5.77)
0
h
h 0 F2 1 F2 cos h F sin h
0
w1
h0
0
F 1 sin h 2 F cos h
w10
cos
0
w1
sin w1 F
w10
sin
0
w1
F
(5.79)
w10
F sin 1 F2 w10 F sin cos
0
0
w2 w20 cos sin F w20 sin
0
0
F
w20 F sin 1 F2 w20 F sin cos
0
0
w1
w1
w1
w1
w2
w2
(5.78)
2
F
w2
w2
(5.81)
w2
w2
(5.80)
w 2
(5.82)
Bước 3
Thay (5.76) - (5.82) vào phương trình (5.32) ta được
114
B3
h0
Bw21
Bw2 2
2
2
2
*
*
I
m
e
m
e
m
e
m
e
1
sin
2
cos
A
e
H
e
F H12*
1 1 2 2 2 2 1 1 F F h F
h
F 1
1
F
11
2
2
2
2
0
h0
0
e
B3 2 *
B2
Bw2 2 2 * h0
B4
F A4 e1 w1 F2 H 41* e2
F H 42
sin h c cw1 cw 2
F A2*
2
2
2
2
0 F
F sin h cos h
2
1
Bw21
2
F H e
*
11
2
2
Bw2 2
Bw31 2 * w10
Bw31
F H k w1 e1
F H 31
sin w1 cw1 e1
F H 21* w10 F sin w1 cos w1
2
2
2
0F
0
*
12
Bw3 2 2 * w 20
Bw3 2
kw 2 e2
F H 32
sin w 2 cw 2 e2
F H 22* w 20 F sin w 2 cos w 2
2
2
0F
0
B
h
h
B
B
m2 e2 m1e1 0 F2 1 F2 cos h F sin h
F A1* e1
F H11* e2
F H12* 0 F sin h 1 F2
0
2
2
2
0
2
w1
3
2
w2
B3 2 *
Bw21 2 *
Bw2 2 2 * h0
B 4 2 * 2 Bw21 2 *
F A4 e1
F H 41 e2
F H 42 cos h sin h F k kw1 kw 2
F A3 e1
F H 41
2
2
2
2
2
0
Bw2 2 2 *
B3
B3
e22
F H 42 kw1 e1 w1 F2 H 31* w10 cos w1 sin w1 F cw1 e1 w1 F H 21* w10 F sin w1 1 F2
2
2
2
0
0
Bw3 2 2 * w 20
Bw3 2
* w 20
kw 2 e2
F H 32
cos w 2 sin w 2 F cw 2 e2
F H 22
F sin w 2 1 F2 0
2
2
0
0
(5.83)
Viết lại phương trình (5.83) dưới dạng chuẩn
2 F F F2 0
(5.84)
Từ (5.83), (5.84) ta suy ra
115
F m2e2 m1e1
h0
0
h0
0
B3
B2
Bw2 2
F A1* e1 w1 F H11* e2
F H12*
2
2
2
F F2 1 sin h 2 F cos h
B3 2 *
B2
Bw2 2 2 * h0
B4
F A4 e1 w1 F2 H 41* e2
F H 42
sin h c cw1 cw 2
F A2*
2
2
2
2
0 F
F sin h cos h
e
2
1
Bw21
2
F H e
*
11
2
2
Bw2 2
Bw31 2 * w10
Bw31
F H kw1 e1
F H 31
sin w1 cw1 e1
F H 21* w10 F sin w1 cos w1
2
2
2
0F
0
*
12
Bw3 2 2 * w 20
Bw3 2
* w 20
kw 2 e2
F H 32
sin w 2 cw 2 e2
F H 22
F sin w 2 cos w 2
2
2
0F
0
/ 2 I m e
F
2
1 1
m2e22
(5.85)
F2 m2e2 m1e1
h0
0
2
F
B3
h
B2
Bw2 2
1 F2 cos h F sin h
F A1* e1 w1 F H11* e2
F H12* 0 F sin h 1 F2
2
2
2
0
B3 2 *
Bw21 2 *
Bw2 2 2 * h0
B 4 2 * 2 Bw21 2 *
F A4 e1
F H 41 e2
F H 42 cos h sin h F k kw1 kw 2
F A3 e1
F H 41
2
2
2
2
2
0
e22
Bw2 2
2
Bw31
2
F2 H 42* kw1 e1
w10
F2 H 31*
0
Bw31
cos w1 sin w1 F cw1 e1
F H 21* w10 F sin w1 1 F2
2
0
Bw3 2 2 * w 20
Bw3 2
* w 20
kw 2 e2
F H 32
cos w 2 sin w 2 F cw 2 e2
F H 22
F sin w 2 1 F2 / I m1e12 m2e22
2
2
0
0
(5.86)
Từ hai phương trình (5.85), (5.86) ta có hệ hai phương trình phi tuyến với F , F . Với mỗi giá trị của U , giải hệ trên với xấp xỉ
ban đầu F 0 , F 0 ta sẽ tìm được một cặp giá trị F , F . Dựa trên thuật toán trình bày ở trên và sử dụng phần mềm đa năng MATLAB,
chúng tôi đã xây dựng một phần mềm để tính toán vận tốc flutter tới hạn của mặt cắt dầm chủ có lắp hai cánh vẫy với tên gọi là
Flutter-BK02(b). Sơ đồ thuật toán trình bày trên hình 5.2.
116
Begin
Nhập các tham số m, I , hh , k , ch , c , B, , m1, m2 , kw1, kw2 , cw1, cw2 , Bw1 , Bw2 , U min ,U max , U
F 0 , F 0 0
Nhập đa thức xấp xỉ của các Hi* , Ai* (i 1, 2,3, 4) theo U red
Biểu diễn các Aij* , Hij* i 1,..., 4; j 1, 2 là hàm của các k j j 1, 2 (công thức (5.27))
Biểu diễn sáu đại lượng h0 / 0 , w10 / 0 , w20 / 0 , h , w1 , w 2
theo hai ẩn số F , F từ các phương trình (5.69)-(5.74)
Biểu diễn F , F theo các đại lượng h0 / 0 , w10 / 0 , w20 / 0 , h , w1 , w 2
từ các phương trình (5.85)-(5.86)
U U min : U : U max
Vòng lặp vận tốc gió
i 1
U (i)
Giải hệ hai phương trình phi tuyến (5.85)-(5.86) với hai ẩn F , F , xấp
xỉ ban đầu là F 0 , F 0
i i 1
U i U i U
f (i) F / 2 , F i 2 F , F 0 F , F 0 F
Đ
i length U
S
In đồ thị (U , f ) , In đồ thị (U , F )
Kiểm tra vị trí thứ k , tại đó F k
min
k 0 , U
F
F
U k
End
Hình 5.2 Sơ đồ khối thuật toán chương trình phần mềm Flutter-BK02(b)
117
5.4 Thí dụ áp dụng
Như đã trình bày trong mục 3.4.2, các thông số của cầu Great Belt [146]
B 31m; m 17,8 103 kg/m; I 2,173 106 kgm2 /m; 1.225kg/m3
h 0, 62 rad/s, 1,17 rad/s, h 0
Các tham số khí động xác định như trong mục 3.4.2.
Khi chưa lắp các cánh vẫy, vận tốc gió flutter tới hạn là 40,14 m/s (144,5 km/h)
Lắp các cánh vẫy với các thông số:
Bw1 Bw2 0,1B, e1 e2 0,5B, cw1 cw2 0 , các cánh vẫy xem như tấm mỏng hình chữ
nhật với khối lượng riêng w 7850kg/m3 , có bề dày là 0, 02m .
Cách xác định các tham số khí động flutter Ai* , Hi* i 1, 2,3, 4 của mặt cắt dầm chủ cầu
Great Belt đã được trình bày trong chương 4. Sử dụng phần mềm tự xây dựng FlutterBK02(b), tính toán vận tốc tới hạn của mặt cắt dầm chủ có lắp hai cánh vẫy và có hệ số cứng
kw1 , kw2 khác nhau. Các kết quả tính được trình bày trên bảng 5.1 và trên hình vẽ 5.3.
Bảng 5.1 Bảng kết quả tính toán vận tốc flutter tới hạn khi lắp các cánh vẫy
kw1 kw2 kNm/m
3
6
9
12
15
18
21
24
UF m / s
17,9
26
32,1
37,3
42
44,1
47,2
50,1
kw1 kw2 kNm/m
27
30
33
36
39
42
45
48
UF m / s
52,9
55,5
58
49,7
48,4
47,4
46,9
46,6
kw1 kw2 kNm/m
51
54
57
60
63
66
69
72
UF m / s
46,3
46,1
46
45,9
45,8
45,7
45,6
45,5
kw1 kw2 kNm/m
75
78
81
84
87
90
93
96
UF m / s
45,4
45,4
45,3
45,3
45,3
45,2
45,2
45,1
kw1 kw2 kNm/m
99
102
105
108
111
114
117
120
UF m / s
45,1
45,1
45,1
45
45
45
45
45
kw1 kw2 kNm/m
123
126
129
132
135
138
141
144
UF m / s
44,9
44,9
44,9
44,9
44,9
44,9
44,9
44,8
kw1 kw2 kNm/m
147
150
153
156
159
162
165
168
UF m / s
44,8
44,8
44,8
44,8
44,8
44,8
44,8
44,8
kw1 kw2 kNm/m
171
174
177
180
183
186
189
192
UF m / s
44,8
44,8
44,7
44,7
44,7
44,7
44,7
44,7
kw1 kw2 kNm/m
195
198
201
204
207
210
213
216
118
- Xem thêm -
.PDF 
22 
9148 
45 
