Tài liệu Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ MAI LAN TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CÓ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, tháng 6 năm 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ MAI LAN TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CÓ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH VŨ NGỌC PHÁT Hà Nội, tháng 6 năm 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Vũ Ngọc Phát. Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo GS.TSKH Vũ Ngọc Phát. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành của mình tới toàn bộ các thầy, cô giáo trong khoa đã tham gia giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập cao học chuyên ngành Toán giải tích tại trường. Em xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu, phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình em học tập và nghiên cứu. Hà Nội, tháng 6 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Mai Lan LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Vũ Ngọc Phát . Tôi xin cam đoan rằng kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 6 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Mai Lan Mục lục Kí hiệu toán học 1 Mở đầu 2 1 2 CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm . . . 1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm 1.1.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ . . . . 1.2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân . . . . . . . . 1.2.1 Bài toán ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Bài toán ổn định các hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ . 1.3 Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 5 6 7 8 8 11 . 14 . 21 . 22 TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CÓ TRỄ 23 2.1 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ ôtônôm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ không ôtônôm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 1 Kí hiệu toán học • R+ : Tập các số thực không âm. • Rn : Không gian vectơ n-chiều với kí hiệu tích vô hướng là h., .i và chuẩn vectơ là k . k. • Rn×r :Không gian các ma trận (n × r)-chiều. • AT : Ma trận chuyển vị của ma trận A. • I : Ma trận đơn vị. • λ(A): Tập tất cả các giá trị riêng của A. • λmax (A) = max {Reλ : λ ∈ λ (A)} • kAk = p λmax (AT A): Chuẩn phổ của ma trận A. • η(A) = 12 λmax (A + AT ): Độ đo của ma trận A. • C ([a, b] , Rn ):Tập các hàm liên tục trên [a; b]và nhận giá trị trên Rn . • A > 0: Ma trận A xác định dương nếu hAx, xi > 0, ∀x 6= 0. • A ≥ 0: Ma trận A xác định không âm nếu hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn . 2 LỜI MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết ổn định là một hướng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết định tính phương trình vi phân. Trải qua hơn một thế kỷ phát triển, ngày nay lý thuyết ổn định vẫn được quan tâm nghiên cứu phát triển mạnh mẽ và thu được nhiều kết quả, ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực toán học ứng dụng. Đặc biệt từ những năm 60 của thế kỷ hai mươi, bằng sự ra đời của lý thuyết hệ thống, tính ổn định ngày càng được quan tâm nghiên cứu và ứng dụng vào các mô hình điều khiển kỹ thuật. Có nhiều phương pháp nghiên cứu lý thuyết ổn định như: phương pháp thứ nhất Lyapunov – phương pháp số mũ đặc trưng; phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp so sánh, vv... Tuy nhiên phương pháp hàm Lyapunov ( phương pháp thứ hai) được cho là phương pháp hữu hiệu nhất để nghiên cứu bài toán ổn định hệ động lực. Trong thực tế, nhiều mô hình mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ. Độ trễ thời gian là một trong những nguyên nhân trực tiếp ảnh hưởng đến tính ổn định và dáng điệu nghiệm xuất của hệ thống. Song song với sự phát triển của lý thuyết ổn định các hệ phương trình vi phân thường, người ta nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân có trễ. Bài toán ổn định phương trình vi phân có trễ đã nhận được quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả thú vị bởi các nhà toán học, điều khiển học trong và ngoài nước, đặc biệt bởi nhóm nghiên cứu của GS Vũ Ngọc Phát, Viện Toán học Hà Nội. Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ là bài toán khó và vẫn còn là hướng nghiên cứu quan trọng đang được quan tâm nghiên cứu. Vì vậy tôi đã chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là “ Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ.” 2. Cấu trúc của khóa luận Luận văn này gồm 2 chương 3 Chương 1: Cơ sở toán học Chương 2: Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ 3. Mục đích nghiên cứu Trình bày cơ sở bài toán ổn định Lyapunov, một số kết quả chọn lọc của tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Đọc hiểu các tài liệu về lý thuyết ổn định Lyapunov, bài toán ổn định tiệm cận, ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính; trình bày những kiến thức này dưới dạng một luận văn khoa học. Vận dụng để giải một số bài toán ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ, lý thuyết ổn định. 6. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp và kỹ thuật toán học của phương trình vi phân, đại số tuyến tính, giải tích thực hiện đại, phương pháp hàm Lyapunov. 7. Đóng góp của đề tài nghiên cứu Hệ thống các kiến thức cơ sở của lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ có trễ và các kết quả chọn lọc mới về bài toán ổn định mũ, ổn định tiệm cận Lyapunov hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ. 4 Chương 1 CƠ SỞ TOÁN HỌC Trong chương này luận văn trình bày một số khái niệm cơ bản về hệ phương trình vi phân, nghiệm của phương trình vi phân, tính ổn định của hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính, một số bổ đề bổ trợ được sử dụng trong chương 2. Nội dung được trình bày trong [1], [2], [3]. 1.1 1.1.1 Hệ phương trình vi phân Hệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân có dạng: ( ẋ(t) = f (t, x(t)), t ≥ t0 , (1.1) x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, trong đó x(t) ∈ Rn , f : R+ × Rn → Rn , với mỗi t ≥ t0 . Hàm khả vi liên tục x(t) thỏa mãn hệ phương trình (1.1) được gọi là nghiệm của hệ phương trình vi phân đó và được kí hiệu là x(t, x0 ). Công thức nghiệm dạng tích phân của hệ (1.1) là x(t, x0 ) = x0 + Rt f (s, x(s))ds. t0 Các định lý sau đây khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1). 5 Định lý 1.1. (Định lý Picard-Lindeloff) Xét hệ phương trình vi phân (1.1) trong đó giả sử hàm f(t,x(t)):R+ × Rn → Rn là liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x: ∃K > 0 : kf (t, x1 ) − f (t, x2 )k ≤ K kx1 − x2 k , ∀t ≥ 0. Khi đó với mỗi (t0 , x0 ) ∈ R+ × Rn sẽ tìm được số d > 0 sao cho hệ (1.1) luôn có nghiệm duy nhất trên khoảng [t0 − d, t0 + d] . Vậy qua mỗi điểm (t0 , x0 ) ∈ R+ × Rn có một và chỉ một đường cong tích phân đi qua. Trường hợp đối với hệ tuyến tính: ( ẋ = A(t)x(t) + g(t), t ∈ R+ , x (t0 ) = x0 , A(t), g(t) là các hàm liên tục trên R+ thì hệ luôn có nghiệm duy nhất trên R+ . 1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm Định nghĩa 1.1. Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm có dạng: ( ẋ(t) = A x(t) + g(t), t ∈ R+ , (1.2) x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, trong đó A là n × n− ma trận hằng số, g : R+ → Rn là hàm liên tục. Nghiệm của hệ phương trình (1.2) được biểu diễn bởi công thức Cauchy: Rt x(t, x0 ) = eA(t−t0 ) x0 + to eA(t−s) g(s)ds, t ≥ 0. Ví dụ 1.1. Hệ phương trình : ( ẋ1 = −2x1 − x2 , ẋ2 = 3x1 − 2x2 , là một hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm với: ! −2 − 1 A= , g(t) = 0, ∀t ≥ t0 . 3 −2 6 1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm Định nghĩa 1.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có dạng: ( ẋ (t) = A (t) x (t) + g (t) , t ∈ R+ , (1.3) t0 ≥ 0, x (t0 ) = x0 , trong đó A (t) là n × n-ma trận các hàm số liên tục trên R+ , g : R+ → Rn là hàm liên tục. Hệ phương trình (1.3) cũng có duy nhất một nghiệm xác định trên R+ và nghiệm này được biểu diễn thông qua ma trận nghiệm cơ bản φ (t, s) của hệ thuần nhất : ẋ (t) = A (t) x (t) , t ≥ 0, và được cho bởi công thức tích phân : Rt x (t) = φ (t, t0 ) x0 + t0 φ (t, s)g (s) ds, t ≥ 0, trong đó φ (t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất và thỏa mãn :    d φ (t, s) = A (t) φ (t, s) , t ≥ s, Rt dt và φ (t, t0 ) 6= e to A(s)ds .   φ (s, s) = I , ∀s ≥ 0, Ví dụ 1.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm :  1  ẋ = x1 + 2x2 + sin t,  1  3t t ∈ R+ .    ẋ = − 3 x − 3x + cos t, 1 2 2 2t Ma trận   A=  1 3t 3 − 2t 2 −3   ,  sin t g(t) = ! . cos t 7 Ví dụ 1.3. Xét hệ phương trình vi phân : ( ẋ1 = u, ẋ2 = 2tx1 . Ta có: 0 0 2t 0 1 ! A(t) = , ! B(t) = . 0 Khi đó ta tìm được ma trận nghiệm cơ bản φ(t, s) của hệ là ! 1 0 φ(t, s) = . 2 2 t −s 1 1.1.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ Hệ phương trình vi phân có trễ mô tả mối quan hệ giữa biến thời gian t, trạng thái của hệ thống x (t) ở hiện tại và quá khứ, vận tốc thay đổi của trạng thái x (t) có liên quan và bị ảnh hưởng từ quá khứ. Giả sử một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ h, (0 < h < +∞).Với x (t) là một hàm có trễ liên tục trên R+ nhận giá trị trên Rn . Kí hiệu C = C ([−h, 0] , Rn ) là không gian các hàm liên tục từ [−h, 0] vào Rn với chuẩn được xác định bởi : kφk = sup kφ (t)k −h≤t≤0 Với t ≥ 0, xt ∈ C . Đặt xt (s) = x (t + s) , ∀s ∈ [−h, 0] là quỹ đạo của x (t) với chuẩn kxt k = sup kx (t + s)k , ∀s ∈ [−h, 0] , 0 ≤ h ≤ +∞. s∈[−h,0] Phương trình vi phân tuyến tính có trễ tổng quát có dạng : ( ẋ(t) = f (t, xt ), t ≥ 0, x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0] , trong đó f : R+ × C → Rn , hàm φ(t) liên tục là hàm trễ cho trước. Trong luận văn này, chúng tôi xét hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ dạng: ( ẋ (t) = A (t) x (t) + B (t) x (t − h) , t ≥ 0, x (t) = φ (t) , t ∈ [−h, 0] , 8 trong đó A(t), B(t) là n × n− ma trận hàm liên tục trên R+ , hàm φ(t) liên tục trên [−h, 0]. Theo [3] hệ phương trình tuyến tính có trễ trên luôn có nghiệm duy nhất trên [0, ∞). 1.2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân 1.2.1 Bài toán ổn định Trước tiên ta xét hệ phương trình vi phân thường không có trễ dạng: ( ẋ (t) = f (t, x (t)) , t ≥ 0, (1.4) x (t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, trong đó f : R+ × Rn → Rn , với mỗi t ≥ 0, x (t) ∈ Rn . Định nghĩa 1.3. Nghiệm x (t) của hệ (1.4) được gọi là ổn định nếu với mọi số ε > 0, t0 ≥ 0, tồn tại số δ > 0(phụ thuộc vào ε, t0 )sao cho với bất kỳ nghiệm y (t) , y (t0 ) = y0 của hệ (1.4) thỏa mãn ky0 − x0 k < δ thì sẽ nghiệm đúng bất đẳng thức: ky (t) − x (t)k < ε, ∀t ≥ t0 . Định nghĩa 1.4. Nghiệm x (t) của hệ (1.4) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó thỏa mãn: (i) Nghiệm x (t) ổn định. (ii) Tồn tại δ > 0 sao cho ky0 − x0 k < δ thì lim ky(t) − x (t)k = 0. t→∞ Việc xét tính ổn định của nghiệm x (t) của hệ (1.4) hoàn toàn có thể đưa về việc xét tính ổn định của nghiệm x(t) ≡ 0, với y (t) là một nghiệm bất kỳ của hệ thực hiện phép biến đổi z = y − x. Hệ (1.4) có dạng: ż = f (t, z + x) − f (t, x) . Đặt F (t, z) = f (t, z+x)−f (t, x) ta có được hệ ż = F (t, z) với F (t, 0) = 0. Do đó ta chỉ cần xét hệ (1.4) có nghiệm 0 tức f (t, 0) = 0, t ∈ R+ và xét tính ổn định của nghiệm tầm thường x ≡ 0. Vậy ta có thể định nghĩa về tính ổn định của hệ (1.4) như sau: 9 Định nghĩa 1.5. Nghiệm 0 của hệ (1.4) được gọi là ổn định nếu với bất kỳ ε > 0, t0 ∈ R+ sẽ tồn tại số δ > 0 (phụ thuộc vào ε, t0 ) sao cho bất kỳ nghiệm x(t) : x(t0 ) = x0 thỏa mãn kx0 k < δ thì kx(t)k < ε, với mọi t ≥ t0 . Định nghĩa 1.6. Nghiệm 0 của hệ (1.4) được gọi là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và có một số δ > 0 sao cho nếu kx0 k < δ thì lim kx(t)k = 0. t→∞ Định nghĩa 1.7. Nghiệm 0 của hệ (1.4) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các số N > 0, δ > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.4) với x(t0 ) = x0 thỏa mãn: kx(t)k ≤ N e−δ(t−t0 ) kx0 k , ∀t ≥ t0 . là nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ. Khi đó N được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, δ là gọi là số mũ ổn định, (N, δ) là chỉ số ổn định Lyapunov. Trong luận văn này, để ngắn gọn ta nói hệ là ổn định nếu nghiệm 0 của hệ là ổn định. Ví dụ 1.4. Xét phương trình vi phân sau trong R ẋ = ax, t ≥ 0. (1.5) Nghiệm x(t), với x(t0 ) = x0 cho bởi công thức x(t) = x0 ea(t−t0 ) , t ≥ 0. Khi đó hệ là ổn định (tiệm cận, mũ) nếu a<0. Nếu a = 0 thì hệ là ổn định. Hơn nữa, hệ sẽ là ổn định đều( hoặc ổn định tiệm cận đều) vì số δ > 0 chọn được sẽ không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu t0 . Ví dụ 1.5. Xét phương trình vi phân ẋ(t) = a(t)x, t ≥ 0. (1.6) trong đó a(t) : R+ → R là hàm liên tục, nghiệm x(t), với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 cho bởi công thức: Rt x(t) = et0 a(τ )dτ x0 . 10 +Hệ (1.6) là ổn định nếu Rt a(τ )dτ ≤ µ(t0 ) < +∞. t0 + Hệ (1.6) là ổn định đều nếu số µ(t0 ) là hằng số không phụ thuộc vào t0 . Rt + Hệ (1.6) là ổn định tiệm cận nếu lim a(τ )dτ = −∞. t→∞ t 0 Nhà toán học người Nga Lyapunov đã đưa ra tiêu chuẩn cho tính ổn định mũ của hệ phương trình vi phân tuyến tính. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm: ( ẋ (t) = Ax (t) , t ≥ 0, (1.7) x (t0 ) = x0 , trong đó A là ma trận hằng số chiều n × n. Nghiệm của hệ (1.7) cho bởi công thức: x(t) = eA(t−t0 ) x0 , t ≥ t0 ≥ 0. Ta có định lý ổn định Lyapunov đưa ra lần đầu tiên như sau: Định lý 1.2. Hệ (1.7) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các trị riêng của A là âm, tức là Re λ < 0 với ∀λ ∈ λ(A). Chú ý: Ma trận A có tính chất trên gọi là ma trận ổn định. ( x˙1 = −x1 , Ví dụ 1.6. Xét tính ổn định hệ x˙2 = −2x2 . ! −1 0 . Ta thấy A = 0 −2 Vậy giá trị riêng của A là λ = −1, −2. Hệ là ổn định mũ. Định lý trên đây là tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ (1.7), gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov. Tuy nhiện việc tìm giá trị riêng của A sẽ gặp khó khăn nếu A là ma trận hàm số hoặc đối với hệ phi tuyến. Chính vì thế, để khắc phục khó khăn này, phương pháp hàm Lyapunov sẽ xác định tính ổn định của hệ được dễ dàng và thuận lợi hơn. 11 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov Phương pháp này dưạ vào sự tồn tại của một lớp hàm trơn đặc biệt gọi là hàm Lyapunov, mà tính ổn định của hệ được thử trực tiếp qua dấu của đạo hàm theo hàm vế phải của hệ đã cho. Trước tiên ta xét hệ phương trình vi phân ôtônôm (1.4), tức là vế phải của (1.4) không phụ thuộc vào t. Xét hàm V (x) : Rn → R, V(x) gọi là xác định dương nếu V (x) > 0, x 6= 0, V (0) = 0. Khi đó ta có định nghĩa về hàm Lyapunov đối với hệ: ( ẋ (t) = f (t, x(t)) , t ≥ 0, (1.8) x (0) = x0 , trong đó f : R+ × Rn → Rn là hàm vectơ cho trước, x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ với giả thiết f (0) = 0, t ∈ R+ . Định nghĩa 1.8. Hàm V (x) : Rn → R, được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.8) nếu: (i) V (t, x) là hàm khả vi liên tục trên D. (ii) V (t, x) là hàm xác định dương. ∂V (x) f (x) ≤ 0, ∀x ∈ Rn . ∂x Hàm V (t, x) gọi là hàm Lyapunov chặt nếu (iii) thay bởi: (iii) Df V (x) = ∃c > 0 : Df V (x) ≤ −c kxk < 0, x ∈ D\{0}. Định lý sau đây chỉ ra mối liên hệ giữa tính ổn định của hệ phương trình (1.8) và sự tồn tại hàm Lyapunov của hệ phương trình đó. Định lý 1.3. Xét hệ phương trình vi phân (1.8) 1)Nếu hệ (1.8) tồn tại hàm Lyapunov thì nó ổn định. 2)Nếu hệ (1.8) tồn tại hàm Lyapunov chặt thì nó ổn định tiệm cận. Ví dụ 1.7. Xét hệ phương trình vi phân : ( ẋ1 = −5x1 x2 2 , ẋ2 = 5x2 x1 2 . 12 Khi đó ta chọn được hàm V (x) = x1 2 + x2 2 , từ đó có được:
Df V (x) = 2x1 ẋ1 + 2x2 ẋ2 = 2x1 (−5x1 x2 2 ) + 2x2 5x2 x1 2 = 0, do đó hệ là ổn định nhưng không ổn định tiệm cận. Ví dụ 1.8. Xét hệ phương trình vi phân : ( ẋ1 = −(x1 − x2 )(6 + 3x1 2 + 3x2 2 ), ẋ2 = −(x1 + x2 )(4 + 2x1 2 + 2x2 2 ). Khi đó ta chọn hàm V (x) = 2x1 2 + 3x2 2 từ đó ta có được: Df V (x) = 4x1 ẋ1 + 6x2 ẋ2 = −4x1 (x1 − x2 )(6 + 3x1 2 + 3x2 2 )− −6x2 (x1 + x2 )(4 + 2x1 2 + 2x2 2 )
= −12(x1 2 + x2 2 ) x1 2 + x2 2 + 2 . . Do đó Df V (x) < 0. Vậy hệ ổn định tiệm cận. Bây giờ ta xét hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân không ôtônôm: ( ẋ(t) = f (t, x (t)), t ≥ 0, (1.9) x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, trong đó f : R+ × Rn → Rn và f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R+ . Trước tiên ta sẽ định nghĩa cho lớp hàm K như sau: Gọi K là lớp các hàm liên tục tăng chặt a(.) : R+ → R+ , a(0) = 0. Định nghĩa 1.9. Hàm V (t, x) : R+ × D → R, D là lân cận mở tùy ý của 0, gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.9) nếu: (i) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa ∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a kxk , ∀(t, x) ∈ R+ × D. ∂V ∂V + f (t, x) ≤ 0, ∀ (t, x) ∈ R+ × D. (ii) Df V (t, x) = ∂t ∂x Trường hợp V (t, x) là hàm Lyapunov và thỏa mãn thêm điều kiện: 13 (iii) Tồn tại b(.) ∈ K sao cho: V (t, x) ≤ b (kxk) , ∀ (t, x) ∈ R+ × D. (iv )Tồn tại c(.) ∈ K sao cho: Df V (t, x) ≤ −c(kxk), (t, x) ∈ R+ × D\ {0} , thì ta gọi là hàm Lyapunov chặt. Định lý 1.4. Hàm khả vi liên tục V (t, x) : R+ × Rn → R là hàm Lyapunov cho hệ (1.4) nếu: (i) V (t, 0) = 0, t ∈ R+ . (ii) ∃a ∈ K : V (t, x) ≥ a kxk , ∀(t, x) ∈ R+ × D. ∂V ∂V (iii) Df V (t, x) = + f (t, x) ≤ 0, ∀ (t, x) ∈ R+ × D. ∂t ∂x Thì khi đó hệ (1.4) là ổn định. Định lý 1.5. Nếu hệ phi tuyến không ôtônôm (1.9) có hàm Lyapunov thì hệ là ổn định. Nếu hàm Lyapunov đó là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận đều. Ví dụ 1.9. Xét hệ phương trình vi phân:  1   ẋ1 = −x1 + x1 sin2 (t), 4   ẋ2 = −4x2 + x2 sin2 (t). Khi đó ta chọn hàm V (t, x) = 4x1 2 +x2 2 thỏa mãn các điều kiện (i),(ii) và Df V (t, x) = 8x1 ẋ1 + 2x2 ẋ2 1 = 8x1 (−x1 + x1 sin2 (t)) + 2x2 (−4x2 + x2 sin2 (t)) 4 = −8(x1 2 + x2 2 ) + 2sin2 (t)(x1 2 + x2 2 ). Do đó Df V (t, x) < −6(kxk2 ). Vậy hệ ổn định tiệm cận. Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ về tính ổn định mũ của hệ (1.9). 14 Định lý 1.6. Giả sử hệ (1.9) tồn tại hàm V (t, x) : R+ × Rn → R, thỏa mãn: (i) ∃λ1 > 0, λ2 > 0 : λ1 kxk2 ≤ V (t, x) ≤ λ2 kxk2 , ∀ (t, x) ∈ R+ × Rn . (ii) ∃α ≥ 0 : V̇f (t, x (t)) ≤ −2αV r (t, x (t)), với mọi nghiệm x (t) thì hệ λ2 là ổn định mũ với α, N = là các chỉ số ổn định Lyapunov. λ1 1.2.3 Bài toán ổn định các hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ tuyến tính ôtônôm: ( ẋ (t) = A x (t) , t ≥ 0, (1.10) x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0. với A là ma trận hằng số (n × n) chiều. Nghiệm của hệ (1.10) xuất phát từ trạng thái ban đầu x(t0 ) cho bởi công thức: x(t) = eA(t−t0 ) x0 , t ≥ t0 ≥ 0. Dựa vào định lý ổn định Lyapunov được nêu trong định lý (1.2), ta có thể xét một hệ tuyến tính ôtônôm có ổn định hay không chỉ cần tìm nghiệm phương trình đa thức đặc trưng hay giá trị riêng của ma trận A của hệ. Bên cạnh đó, tính ổn định mũ của hệ (1.10) có thể xét thông qua sự tồn tại nghiệm của phương trình Lyapunov (LE) A0 X + XA = −Y , trong đó X,Y là các ma trận (n × n) chiều gọi là cặp nghiệm của (LE). Xét hệ (1.10), ta nói ma trận A là ổn định nếu phần thực tất cả các giá trị riêng của A là âm. Theo định lý (1.2), điều này tương đương hệ (1.10) là ổn định mũ. Định lý 1.7. Hệ (1.10) là ổn định mũ khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận Y đối xứng xác định dương , phương trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác định dương. Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử (LE) có nghiệm là ma trận X đối xứng xác định dương. Với x(t) là một nghiệm tùy ý của (1.10) ta xét hàm số V (t, x(t)) = hXx(t), x(t)i , ∀t ≥ 0. 15 Ta có d V (t, x(t)) = hX ẋ, xi + hXx, ẋi dt = h(XA + A0 X) x, xi . = − hY x, xi . Do đó V (t, x(t)) − V (t0 , x0 ) = − Z t hY x(s), x(s)i ds. t0 Vì X là xác định dương nên V (t, x(t)) ≥ 0, Z ∀t ≥ t0 và do đó t hY x(s), x(s)i ds ≤ V (t0 , x0 ) = hXx0 , x0 i. t0 Mặt khác, vì Y là xác định dương nên tồn tại α > 0 sao cho: hY x, xi ≥ αkxk2 , ∀x ∈ Rn . Do đó Z t kx (s)k2 ds ≤ t0 hXx0 , x0 i . α Cho t → +∞ ta được Z ∞ kx (s)k2 ds < ∞. t0 Ta sẽ chứng minh rằng Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A). Thật vậy giả sử có một số λ0 ∈ λ(A) mà Reλ0 ≥ 0. Lấy x0 ∈ Rn là vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ0 này thì nghiệm của hệ (1.10) sẽ cho bởi x1 (t) = eλ0 t x0 và do đó Z ∞ Z ∞ 2 kx1 (t)k dt = e2Reλ0 t kx0 k2 dt = + ∞, t0 t0 vì Reλ ≥ 0, suy ra điều mâu thuẫn. Vậy Reλ < 0, ∀λ0 ∈ λ(A). Điều kiện đủ:Giả sử A là ma trận ổn định, tức là Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A). Với bất kỳ ma trận Y đối xứng xác định dương, xét phương trình ma trận sau đây: