Tài liệu Tính chuẩn tắc của họ hàm phân hình một biến và bài toán duy nhất đối với đa thức vi phân.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN VĂN THÌN TÍNH CHUẨN TẮC CỦA HỌ HÀM PHÂN HÌNH MỘT BIẾN VÀ BÀI TOÁN DUY NHẤT ĐỐI VỚI ĐA THỨC VI PHÂN TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TSKH Trần Văn Tấn 2. PGS. TS. Hà Trần Phương Phản biện 1: GS. TSKH Đỗ Đức Thái Phản biện 2: PGS. TSKH Tạ Thị Hoài An Luận án đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp cơ sở họp tại: Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên Vào hồi 8 giờ 30 ngày 10 tháng 7 năm 2016 i Möc löc Mð ¦u 1 2 3 1 Hå chu©n t­c c¡c h m ph¥n h¼nh 11 1.1 Lþ thuy¸t Nevanlinna cho h m ph¥n h¼nh . . . . . . . . 11 1.2 Hå chu©n t­c cõa c¡c h m ph¥n h¼nh . . . . . . . . . . . 12 Mët sè ành lþ kiºu Lappan cho h m ϕ - chu©n t­c v  hå chu©n t­c 18 2.1 H m ph¥n h¼nh ϕ - chu©n t­c . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 ành lþ kiºu Lappan cho hå chu©n t­c . . . . . . . . . . 20 Sü duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh vîi a thùc ¤o h m v  3.1 q - sai ph¥n chung nhau mët h m nhä Sü duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh vîi a thùc ¤o h m chung nhau mët h m nhä . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 24 24 Sü duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh vîi a thùc q - sai ph¥n chung nhau mët h m nhä . . . . . . . . . . . . . . K¸t luªn v  · nghà 27 30 1 Mð ¦u 1. Lþ do chån · t i ÷ñc h¼nh th nh tø nhúng n«m ¦u cõa th¸ k XX, vîi nguçn gèc tø nhúng cæng tr¼nh cõa J. Hadamard, E. Picard, E. Borel v  °c bi»t cæng tr¼nh n«m 1925 cõa R. Nevanlinna, Lþ thuy¸t Nevanlinna luæn thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh  to¡n håc trong v  ngo i n÷îc, ng y c ng ¤t ÷ñc nhi·u k¸t qu£ s¥u s­c v  câ nhi·u ùng döng trong mët sè l¾nh vüc kh¡c nhau cõa to¡n håc nh÷ h¼nh håc phùc, lþ thuy¸t sè. Cèt lãi cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna chõ y¸u n¬m ð hai d¤ng ành lþ, ÷ñc gåi l  c¡c ành lþ cì b£n thù nh§t v  thù hai. Sü k¸t hñp cõa hai ành lþ n y cho ta thæng tin v· sü ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c h m (¡nh x¤) ph¥n h¼nh. Méi th nh tüu ¤t ÷ñc v· c¡c ành lþ n y th÷íng k²o theo c¡c ùng döng trong vi»c nghi¶n cùu h m (¡nh x¤) ph¥n h¼nh. Ng÷ñc l¤i º gi£i quy¸t nhi·u b i to¡n v· h m (¡nh x¤) ph¥n h¼nh, ta công c¦n x¥y düng nhúng d¤ng ành lþ cì b£n t÷ìng th½ch. Trong thüc t¸ â, chóng tæi chån · t i T½nh chu©n t­c cõa hå h m ph¥n h¼nh mët bi¸n v  b i to¡n duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n º nghi¶n cùu hai ùng döng ti¶u biºu v  µp ³ cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna. º gi£i quy¸t ÷ñc c¡c v§n · trong luªn ¡n, nh÷ ¢ b¼nh luªn ð tr¶n, khæng ch¿ khai th¡c sû döng c¡c k¸t qu£ ¢ bi¸t cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna, chóng tæi ph£i thi¸t lªp nhúng d¤ng ành lþ cì b£n thù hai phò hñp vîi t¼nh huèng cõa b i to¡n ang °t ra. Sau ¥y chóng tæi · cªp chi ti¸t hìn v· bèi c£nh n£y sinh tøng v§n ·. V§n · nghi¶n cùu v· hå chu©n t­c ÷ñc khði nguçn tø nhúng n«m 2 ¦u cõa th¸ k XX b¬ng c¡c cæng tr¼nh cõa P. Montel, G. Julia, P. Fatou. N«m 1912, P. Montel ÷a ra kh¡i ni»m hå chu©n t­c: Mët hå F c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n mi·n D ⊂ C ÷ñc gåi l  chu©n t­c n¸u vîi måi d¢y {fn } ⊂ F luæn chùa mët d¢y con {fnk } hëi tö ·u tr¶n méi tªp con compact cõa D theo kho£ng c¡ch c¦u tîi h m ph¥n h¼nh f ho°c ∞. N«m 1931, F. Marty ÷a ra ti¶u chu©n quan trång nhªn bi¸t hå chu©n t­c: Mët hå F c¡c h m ph¥n h¼nh f tr¶n mët mi·n D ⊂ C l  chu©n t­c n¸u v  ch¿ n¸u tr¶n méi tªp con compact K cõa D, ¤o h m c¦u |f 0 (z)| # cõa f bà ch°n bði mët h¬ng sè C(K) phö thuëc K f (z) = 1 + |f (z)|2 nh÷ng khæng phö thuëc v o f. Nguy¶n lþ Bloch nâi r¬ng: Méi ành lþ kiºu Picard (ti¶u chu©n cho mët h m l  h¬ng) ·u t÷ìng ùng vîi mët ti¶u chu©n hå chu©n t­c. Nh¬m triºn khai nguy¶n lþ Bloch, n«m 1975, L. Zalcman ÷a ra k¸t qu£ chuyºn sü kiºm tra mët hå chu©n t­c v· vi»c ch¿ ra sü khæng tçn t¤i c¡c d¢y con nhi¹u hëi tö ·u tr¶n c¡c tªp con compact tîi mët h m kh¡c h¬ng. N«m 1998, æng xem x²t l¤i v§n · tr¶n v  ¤t ÷ñc k¸t qu£ quan trång sau: Cho hå F c¡c h m ph¥n h¼nh x¡c ành tr¶n ¾a ìn và U sao cho måi khæng iºm cõa c¡c h m trong hå F câ bëi ½t nh§t p v  måi cüc iºm câ bëi ½t nh§t q. Cho α l  sè thüc thäa m¢n −p < α < q. Khi â hå F khæng chu©n t­c t¤i z0 ∈ U n¸u v  ch¿ n¸u tçn t¤i sè thüc 0 < r < 1, d¢y iºm zn : |zn | < r v  zn → z0 , d¢y h m fn ∈ F v  d¢y sè thüc d÷ìng ρn → 0+ sao cho gn (ξ) = ραn fn (zn + ρn ξ) hëi tö ·u theo kho£ng c¡ch c¦u tr¶n méi tªp con compact cõa C ¸n g(ξ), trong â g l  h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C, måi khæng iºm v  cüc iºm cõa g câ bëi t÷ìng ùng ½t nh§t p v  q. Hìn núa g # (ξ) ≤ g # (0) = 1. K¸t qu£ tr¶n th÷íng ÷ñc gåi l  Bê · Zalcman. º þ r¬ng, khi phõ ành k¸t luªn trong Bê · Zalcman, ta thu ÷ñc h m hëi tö g l  h¬ng. Trong khi â mët trong nhúng ùng döng µp ³ cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna l  nâ cho ta ti¶u chu©n º kiºm tra mët h m l  h¬ng, ch¯ng h¤n tø ành lþ cì b£n thù nh§t v  ành lþ cì b£n thù hai, ta d¹ d ng nhªn 3 l¤i ành lþ Picard b²: Mët h m ph¥n h¼nh tr¶n m°t ph¯ng phùc l  h m h¬ng n¸u nâ khæng nhªn ba gi¡ trà ph¥n bi»t. Nh÷ vªy, Bê · Zalcman l  c¦u nèi quan trång thuªn ti»n cho vi»c sû döng Lþ thuy¸t Nevanlinna v o nghi¶n cùu Lþ thuy¸t hå chu©n t­c. Theo quan iºm n¶u tr¶n cõa Bloch, ành lþ Picard b² ùng vîi ti¶u chu©n chu©n t­c sau cõa Montel: Mët hå F c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n mi·n D l  chu©n t­c n¸u méi h m trong hå bä qua ba gi¡ trà ph¥n bi»t cho tr÷îc n o â. Nh¬m l m gi£m sè gi¡ trà m  h m bä qua trong ành lþ Picard b², n«m 1959, W. Hayman ¢ chùng minh mët ành lþ kiºu Picard cho h m v  ¤o h m: Mët h m ph¥n h¼nh f l  h m h¬ng n¸u f khæng ¥u tri»t ti¶u v  f (k) khæng nhªn gi¡ trà 1, trong â k l  sè nguy¶n d÷ìng cho tr÷îc. Düa theo nguy¶n lþ Bloch, W. Hayman ¢ ÷a ra gi£ thuy¸t v· t½nh chu©n t­c cõa hå c¡c h m ph¥n h¼nh t÷ìng ùng vîi ành lþ tr¶n. K¸t hñp ti¶u chu©n Marty v  Lþ thuy¸t Nevanlinna, D. Drasin ¢ tr£ líi gi£ thuy¸t n y trong tr÷íng hñp hå c¡c h m ch¿nh h¼nh. Sau â, Y. X. Gu ¢ tr£ líi gi£ thuy¸t cõa Hayman nh÷ sau: Cho k l  sè nguy¶n d÷ìng, mët hå F c¡c h m ph¥n h¼nh f tr¶n mi·n D trong m°t ph¯ng phùc, khæng ¥u tri»t ti¶u s³ chu©n t­c n¸u f (k) 6= 1 (¤o h m c§p k cõa f khæng nhªn gi¡ trà 1) vîi måi f ∈ F. Chó þ r¬ng trong k¸t qu£ cõa Gu, h m c¦n tr¡nh tîi hai gi¡ trà (méi f v  f (k) tr¡nh mët gi¡ trà). Trong mët sü cè g­ng nh¬m gi£m sè iºm xuèng mët, n«m 1989, W. Schwick ¤t ÷ñc k¸t qu£ t÷ìng tü m  ð â i·u ki»n tr¶n v· ¤o h m ÷ñc thay th¸ bði (f n )(k) 6= 1, vîi n, k l  sè tü nhi¶n cho tr÷îc thäa m¢n n ≥ k + 3. Trong tr÷íng hñp hå c¡c h m ch¿nh h¼nh, Schwick chùng minh i·u ki»n n ≥ k + 3 câ thº gi£m th nh n ≥ k + 1. N«m 2010, J. M. Chang công ¢ têng qu¡t k¸t qu£ cõa Gu v  nhªn ÷ñc k¸t qu£: Hå F c¡c h m ph¥n h¼nh khæng câ khæng iºm tr¶n mi·n D s³ chu©n t­c n¸u f (k) − 1 câ nhi·u nh§t k khæng iºm ph¥n bi»t vîi méi f ∈ F, trong â k l  sè nguy¶n d÷ìng. Nhi·u cæng tr¼nh cõa c¡c t¡c gi£ kh¡c nh÷ X. C. Pang v  L. Zalcman, M. L. Fang v  L. Zalcman, 4 P. C. Hu v  D. W. Meng, L. Yang, W. Bergweiler v  J. K. Langley công ¢ nghi¶n cùu ti¶u chu©n cho hå chu©n t­c c¡c h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n khæng iºm cõa c¡c a thùc ¤o h m cö thº. Trong bèi c£nh nh÷ vªy, chóng tæi °t ra v§n · thù nh§t trong luªn Nghi¶n cùu ti¶u chu©n cho hå chu©n t­c ùng vîi i·u ki»n tr¶n a thùc ¤o h m têng qu¡t. V§n · n y ÷ñc gi£i quy¸t trong Ch÷ìng 1 ¡n l : cõa luªn ¡n. Li¶n quan ch°t ch³ tîi kh¡i ni»m hå chu©n t­c l  kh¡i ni»m h m chu©n t­c, nâ ÷ñc b­t ¦u nghi¶n cùu tø c¡c cæng tr¼nh cõa K. Noshiro, O. Lehto v  K. L. Virtanen. Mët h m ph¥n h¼nh f tr¶n ¾a ìn và U ÷ñc gåi l  chu©n t­c n¸u hå {f ◦ τ : τ ∈ T } chu©n t­c tr¶n U, trong â T l  tªp t§t c£ c¡c ¡nh x¤ b£o gi¡c cõa U v o ch½nh nâ. Lehto v  Virtanen ch¿ ra r¬ng: H m ph¥n h¼nh f tr¶n ¾a ìn và U ⊂ C l  chu©n t­c khi v  ch¿ khi supz∈U (1 − |z|2 )f # (z) < ∞. K½ hi»u N l  tªp c¡c h m ph¥n h¼nh chu©n t­c tr¶n U. V· þ ngh¾a h¼nh håc, vîi mët h m |z − w| chu©n t­c f, ta luæn câ χ(f (z), f (w)) ≤ ||f ||N supξ∈[z,w] , trong 1 − |ξ|2 â ||f ||N = supz∈U (1 − |z|2 )f # (z). Quan s¡t k¸t qu£ tr¶n cõa Lehto v  Virtanen, C. Pommerenke ¢ ÷a ra c¥u häi: Cho sè thüc M > 0, li»u câ tçn t¤i tªp E húu h¤n sao cho vîi méi h m ph¥n h¼nh f tr¶n ¾a ìn và U thäa m¢n i·u ki»n (1 − |z|2 )f # (z) ≤ M vîi måi z ∈ f −1 (E) th¼ f l  h m chu©n t­c? N«m 1974, P. Lappan ¢ tr£ líi m¤nh m³ cho c¥u häi tr¶n, æng ch¿ ra tçn t¤i tªp E ⊂ C gçm 5 iºm ph¥n bi»t. N«m 1995, A. Hinkkanen v  P. Lappan ¢ ëc lªp chùng minh k¸t qu£ t÷ìng tü cho hå chu©n t­c: Mët hå F c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n mi·n D ⊂ C l  chu©n t­c khi v  ch¿ khi vîi méi tªp compact K ⊂ D, tçn t¤i tªp con E ⊂ C chùa 5 iºm ph¥n bi»t v  h¬ng sè d÷ìng M sao cho sup{f # (z) : f ∈ F, z ∈ f −1 (E) ∩ K} < M. V§n · nghi¶n cùu ch½nh thù hai trong luªn ¡n l : Thi¸t lªp c¡c d¤ng ành lþ Lappan cho tr÷íng hñp ½t hìn 5 iºm. V§n · n y ÷ñc gi£i 5 quy¸t trong Ch÷ìng 2 cõa luªn ¡n. Vi»c nghi¶n cùu sü x¡c ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n v· nghàch £nh cõa mët tªp hñp iºm ÷ñc khði nguçn tø cæng tr¼nh cõa Nevanlinna n«m 1926, æng chùng minh r¬ng: N¸u hai h m ph¥n h¼nh tr¶n m°t ph¯ng phùc câ còng £nh ng÷ñc khæng t½nh bëi cõa 5 iºm ph¥n bi»t th¼ chóng tròng nhau v  chóng l  biºu di¹n ph¥n tuy¸n t½nh cõa nhau n¸u câ còng £nh ng÷ñc t½nh c£ bëi cõa 4 iºm ph¥n bi»t. Kº tø â, v§n · n y thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh  to¡n håc trong v  ngo i n÷îc nh÷: H. H. Kho¡i, D. D. Th¡i, T. V. T§n, T. T. H. An, H. T. Ph÷ìng, S. . Quang, V. H. An, G. Gundersen, C. C. Yang, M. Shirosaki, S. Mori . Khi x²t b i to¡n duy nh§t h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n nghàch £nh cõa a thùc ¤o h m d¤ng f n f 0 , n«m 1997, C. C. Yang v  X. H. Hua chùng minh r¬ng: N¸u hai h m ph¥n h¼nh f v  g kh¡c h¬ng sao cho c¡c a thùc ¤o h m f n f 0 −1 v  g n g 0 −1 câ còng khæng iºm t½nh c£ bëi (vîi n nguy¶n d÷ìng n o â, n ≥ 11) th¼ f = c1 ecz v  g = c2 e−cz ho°c f = tg, trong â c¡c h¬ng sè c1 , c2 , c v  t thäa m¢n 4(c1 c2 )n+1 c2 = −1, tn+1 = 1. Kº tø ¥y, nhi·u nh  to¡n håc ¢ thu ÷ñc c¡c k¸t qu£ theo h÷îng nghi¶n cùu n y cho c¡c d¤ng a thùc ¤o h m kh¡c nhau: K. Boussaf, A. Escassut v  J. Ojeda, R. S. Dyavanal, J. Grahl v  S. Nevo, C. C. Yang v  H. X. Yi, M. L. Fang, . . . . Chó þ r¬ng khi x²t nhúng d¤ng a thùc ¤o h m kh¡c nhau, c¡c t¡c gi¢ công ¢ thi¸t lªp ÷ñc c¡c kiºu ành lþ cì b£n thù hai t÷ìng th½ch. N«m 2007, Lþ thuy¸t Nevanlinna ¢ ÷ñc nghi¶n cùu cho to¡n tû q - sai ph¥n trong cæng tr¼nh cõa R. G. Halburd v  c¡c cëng sü. Kº tø â, vi»c nghi¶n cùu ùng döng cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna cho to¡n tû q - sai ph¥n ¢ thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh  to¡n håc tr¶n th¸ giîi nh÷ J. Zhang v  R. Korhonen, A. Fletcher, J. K. Langley v  J. Meyer, T. B. Cao, K. Liu v  N. Xu, K. Liu v  X. Qi. Hi»n nay, c¡c nghi¶n cùu theo h÷îng n y tªp trung v o c¡c v§n ·: sü duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh k¸t hñp vîi a thùc q - sai ph¥n, ph¥n bè gi¡ trà cõa 6 a thùc q - sai ph¥n, ph÷ìng tr¼nh q - sai ph¥n. V· v§n · ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai ph¥n, n«m 2010, J. Zhang v  R. Korhonen chùng minh mët k¸t qu£ ph¥n bè gi¡ trà kiºu Hayman cho a thùc q - sai ph¥n d¤ng f n (z)f (qz) çng thíi c¡c æng công chùng minh k¸t qu£ duy nh§t kiºu Yang - Hua cho a thùc q - sai ph¥n: Cho f (z) v  g(z) l  hai h m ph¥n h¼nh (nguy¶n) si¶u vi»t vîi bªc khæng. Gi£ sû r¬ng q l  h¬ng sè phùc kh¡c khæng v  n l  mët sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n n ≥ 8 (n ≥ 6). N¸u f n (z)f (qz) − 1 v  g n (z)g(qz) − 1 câ còng sè khæng iºm v  cüc iºm kº c£ bëi th¼ f ≡ tg, trong â t l  h¬ng sè thäa m¢n tn+1 = 1. N«m 2015, Q. Zhao v  J. Zhang chùng minh r¬ng: (f n (z)f (qz + c))(k) − 1 câ væ h¤n khæng iºm n¸u f (z) l  h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t vîi bªc khæng, trong â q 6= 0, c l  c¡c sè phùc v  n, k l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n n > k + 5. Hìn núa, Q. Zhao v  J. Zhang công chùng minh ành lþ duy nh§t t÷ìng ùng: N¸u hai h m nguy¶n si¶u vi»t f (z) v  g(z) vîi bªc khæng thäa m¢n (f n (z)f (qz + c))(k) − 1 v  (g n (z)g(qz + c))(k) − 1 câ còng sè khæng iºm kº c£ bëi th¼ f ≡ tg, trong â q 6= 0, c l  c¡c sè phùc, n, k l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng v  t l  h¬ng sè thäa m¢n tn+1 = 1, n > 2k + 5. V§n · nghi¶n cùu thù ba trong luªn ¡n l : Mð rëng k¸t qu£ cõa Zhao v  Zhang khi thay f n bði mët a thùc P (f ). V§n · n y ÷ñc gi£i quy¸t trong Ch÷ìng 3 cõa luªn ¡n. 2. Möc ½ch cõa · t i luªn ¡n 2.1. Möc ½ch thù nh§t cõa · t i luªn ¡n l  thi¸t lªp ti¶u chu©n chu©n t­c cho hå c¡c h m ph¥n h¼nh èi vîi tr÷íng hñp a thùc ¤o h m têng qu¡t, thay v¼ c¡c a thùc ¤o h m cö thº nh÷ c¡c t¡c gi£ i tr÷îc. 2.2. Möc ½ch thù hai cõa · t i luªn ¡n l  thi¸t lªp ti¶u chu©n chu©n t­c cho h m ph¥n h¼nh v  cho hå c¡c h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n ¤o h m c¦u bà ch°n tr¶n tªp t¤o £nh cõa mët sè gi¡ trà. 2.3. Möc ½ch thù ba cõa · t i luªn ¡n l  nghi¶n cùu b i to¡n x¡c ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n £nh ng÷ñc cõa a thùc ¤o h m v  q - sai ph¥n, ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai ph¥n k¸t hñp vîi ¤o h m. 7 3. èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu Hå chu©n t­c cõa c¡c h m ph¥n h¼nh, h m ph¥n h¼nh chu©n t­c, b i to¡n duy nh§t h m ph¥n h¼nh vîi a thùc ¤o h m v  q - sai ph¥n, ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai ph¥n k¸t hñp ¤o h m. 4. Ph÷ìng ph¡p v  cæng cö nghi¶n cùu Luªn ¡n sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p v  kÿ thuªt cõa Gi£i t½ch phùc mët bi¸n, Lþ thuy¸t Nevanlinna. 5. Þ ngh¾a khoa håc Luªn ¡n gâp ph¦n l m s¥u s­c th¶m nhúng nghi¶n cùu v· ùng döng cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna trong c¡c b i to¡n v· hå chu©n t­c, h m chu©n t­c, b i to¡n duy nh§t h m ph¥n h¼nh v  ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc ¤o h m. 6. C§u tróc v  k¸t qu£ luªn ¡n Ngo i c¡c ph¦n mð ¦u, k¸t luªn, t i li»u tham kh£o, Luªn ¡n ÷ñc chia l m ba ch÷ìng t÷ìng ùng vîi ba v§n · nghi¶n cùu ch½nh: Ch÷ìng 1 d nh cho vi»c nghi¶n cùu ti¶u chu©n chu©n t­c cho hå c¡c h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n v· tªp khæng iºm cõa a thùc ¤o h m. Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶n cùu hå chu©n t­c theo quan iºm cõa Bloch. Bê · Zalcman âng vai trá quan trång trong c¡c k¸t qu£ cõa chóng tæi. º chùng minh c¡c k¸t qu£ cõa m¼nh, mët m°t chóng tæi thi¸t lªp c¡c ành lþ kiºu Picard, m°t kh¡c chóng tæi ph£i sû lþ khâ kh«n g°p ph£i trong vi»c ¡p döng Bê · Zalcman trong t¼nh huèng ành lþ kiºu Picard cõa chóng tæi khæng cho ti¶u chu©n h m h¬ng. ành lþ 1.8, ành lþ 1.10 v  ành lþ 1.12 l  c¡c ti¶u chu©n cho hå chu©n t­c cõa c¡c h m ph¥n h¼nh, ch¿nh h¼nh d÷îi i·u ki»n khæng iºm cõa a thùc ¤o h m têng qu¡t. Trong ành lþ 1.8, cho q = 1 v  `1 = +∞, chóng tæi nhªn ÷ñc H» qu£ 1.9. Khi n = 0, k = 1, H» qu£ 1.9 nhªn l¤i k¸t qu£ cõa Schwick cho hå c¡c h m ph¥n h¼nh. Trong ành lþ 1.10, cho q = 1 v  `1 = +∞, chóng tæi nhªn ÷ñc H» qu£ 1.11. H» qu£ 1.11 v  ành lþ 1.12 l  têng qu¡t k¸t qu£ cõa Schwick cho hå c¡c h m nguy¶n. Nh÷ vªy ành lþ 1.8, ành lþ 1.10 v  ành lþ 1.12 l  nhúng mð rëng 8 thüc sü c¡c k¸t qu£ cõa W. Schwick n«m 1989. Ti¸p theo l  ành lþ 1.19 v· hå chu©n t­c cõa c¡c h m ph¥n h¼nh khæng câ khæng iºm. Cho n = 0, k = 1, n1 = 1, uI (z) = 0 vîi måi I, khi â ành lþ 1.19 nhªn l¤i mët k¸t qu£ cõa J. M. Chang. Nëi dung Ch÷ìng 1 ÷ñc cæng bè trong c¡c cæng tr¼nh [1, 2]. Ch÷ìng 2 nghi¶n cùu h m ph¥n h¼nh chu©n t­c theo quan iºm cõa Lappan. Cö thº, chóng tæi thi¸t lªp c¡c ành lþ kiºu Lappan cho h m chu©n t­c vîi sè iºm ½t hìn n«m. N«m 2011, R. Aulaskari v  J. R atty a ¢ ÷a ra kh¡i ni»m h m ϕ chu©n t­c nh÷ sau: Cho h m t«ng ϕ : [0, 1) → (0, ∞) thäa m¢n ϕ(r)(1 − ϕ(|a + z/ϕ(|a|)|) r) → ∞ khi r −→ 1− v  Ra (z) = hëi tö ·u tr¶n ϕ(|a|) méi tªp con compact cõa C ¸n 1 khi |a| → 1− (ta gåi ϕ l  h m t«ng trìn). Mët h m ph¥n h¼nh f tr¶n ¾a ìn và U ÷ñc gåi l  ϕ - chu©n f # (z) t­c n¸u supz∈U < +∞. K½ hi»u N ϕ l  tªp c¡c h m ph¥n h¼nh ϕ(|z|) ϕ - chu©n t­c tr¶n U. V· m°t h¼nh håc, vîi mët h m ϕ - chu©n t­c f, ta luæn câ χ(f (z), f (w)) ≤ ||f ||N ϕ supξ∈[z,w] ϕ(|ξ|)|z − w|, trong â f # (z) ||f ||N ϕ = supz∈U . ϕ(|z|) Kh¡i ni»m ϕ - chu©n t­c nh÷ tr¶n khæng bao h m kh¡i ni»m chu©n t­c. Trong Ch÷ìng 2, chóng tæi mð rëng kh¡i ni»m h m ϕ - chu©n t­c nâi tr¶n tîi mët lîp c¡c h m ϕ - chu©n t­c rëng hìn v  trong tr÷íng hñp °c bi»t cõa ϕ, chóng tæi nhªn l¤i kh¡i ni»m h m chu©n t­c thæng th÷íng. Sau â, chóng tæi thi¸t lªp c¡c ành lþ kiºu Lappan cho c¡c tr÷íng hñp m  tªp E chùa 1, 3 v  4 iºm. ành lþ 2.5 v  ành lþ 2.6 l  c¡c ành lþ kiºu Lappan cho h m ϕ - chu©n t­c vîi ba iºm, bèn iºm. 1 , chóng tæi nhªn ÷ñc c¡c H» qu£ 2.7 v  2.8 Khi chån ϕ(|z|) = 1 − |z| cho h m chu©n t­c theo ngh¾a thæng th÷íng. èi vîi hå chu©n t­c, chóng tæi thi¸t lªp ành lþ 2.9, ành lþ 2.10, ành lþ 2.11 v  ành lþ 2.12, chóng l  c¡c k¸t qu£ kiºu Lappan vîi mët, ba v  bèn iºm. ành lþ 2.10 v  ành lþ 2.12 çng thíi têng qu¡t ti¶u 9 chu©n chu©n t­c cõa Montel. C¡c ành lþ kiºu Lappan cho c¡c tr÷íng hñp 3 v  4 iºm ÷ñc thi¸t lªp düa tr¶n i·u ki»n bà ch°n cõa ¤o h m c¦u cõa c¡c h m ang x²t v  ành lþ cì b£n thù hai cõa Nevanlinna âng vai trá quan trång trong chùng minh (l÷u þ r¬ng º sû döng ành lþ n y, chóng ta c¦n ½t nh§t 3 iºm). ành lþ kiºu Lappan cho tr÷íng hñp câ óng 1 iºm ÷ñc düa tr¶n i·u ki»n bà ch°n cõa ¤o h m c¦u cõa mët a thùc ¤o h m. º chùng minh k¸t qu£ n y, chóng tæi c¦n sû döng mët d¤ng ành lþ cì b£n thù hai kiºu Hayman cho h m v  ¤o h m. K¸t qu£ kiºu Lappan vîi óng 1 iºm ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: Vîi c¡c sè nguy¶n d÷ìng n, k thäa m¢n n > k + 3 + k2 , hå F c¡c h m ph¥n h¼nh f tr¶n mi·n D, måi khæng iºm cõa f câ bëi khæng b² hìn k s³ chu©n t­c n¸u vîi méi tªp compact K ⊂ D, tçn t¤i a ∈ C \ {0} v  h¬ng sè d÷ìng M = M (K) sao cho (f n f (k) )# (z) ≤ M, vîi måi f ∈ F v  måi z ∈ K ∩ {f n f (k) = a}. Mët i·u thó và l  m°c dò ÷ñc nh¼n nhªn theo mët h÷îng kh¡c, k¸t qu£ tr¶n çng thíi mð rëng k¸t qu£ cõa Pang-Zalcman tîi tr÷íng hñp f n f (k) − a câ khæng iºm. Nëi dung Ch÷ìng 2 ÷ñc cæng bè trong cæng tr¼nh [3]. Ch÷ìng cuèi còng cõa luªn ¡n tªp trung v o vi»c nghi¶n cùu b i to¡n x¡c ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n v· £nh ng÷ñc cõa a thùc ¤o h m v  a thùc q - sai ph¥n, ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc ¤o h m k¸t hñp vîi q - sai ph¥n. ¦u ti¶n, chóng tæi nghi¶n cùu b i to¡n x¡c ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n £nh ng÷ñc cõa a thùc ¤o h m [f n P (f )](k) , trong â P (z) l  a thùc câ d¤ng P (z) = (z − b1 )m1 . . . (z − bv )mv Q(z), v, mi , i = 1, . . . , v l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng v  Q(z) l  mët a thùc. Ti¸p theo, chóng tæi nghi¶n cùu ùng döng cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna cho to¡n tû q - sai ph¥n trong c¡c b i to¡n: x¡c ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n £nh ng÷ñc cõa a thùc ¤o h m k¸t hñp vîi q - sai 10 ph¥n d¤ng [P (f (z))f (qz + c)](k) , ph¥n bè gi¡ trà kiºu Hayman cho a thùc ¤o h m k¸t hñp q - sai ph¥n d¤ng [P (f (z))f (qz + c)](k) , trong â P (f ) l  a thùc kh¡c h¬ng v  q 6= 0, c l  c¡c h¬ng sè phùc. K¸t qu£ ¦u ti¶n cõa ch÷ìng n y l  ành lþ 3.10 v· sü duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh vîi a thùc ¤o h m chung nhau mët h m nhä. C¡c k¸t qu£ ti¸p theo cõa Ch÷ìng 3 l  ành lþ 3.14 v  ành lþ 3.14 v· ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai ph¥n v  ¤o h m cõa c¡c h m ph¥n h¼nh, ành lþ 3.16 v· sü duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh vîi a thùc q - sai ph¥n v  ¤o h m chung nhau mët h m nhä. Trong ành lþ 3.14, khi m = 1, n ≥ 2k + 6, chóng tæi nhªn l¤i k¸t qu£ cõa Zhao v  Zhang. Khi m = 1, n ≥ 5, ành lþ 3.15 l  c£i ti¸n mët k¸t qu£ cõa Zhao v  Zhang. ành lþ 3.16 l  mët mð rëng k¸t qu£ duy nh§t cho a thùc ¤o h m k¸t hñp q - sai ph¥n cõa Zhao v  Zhang. Nëi dung cõa Ch÷ìng 3 ÷ñc cæng bè trong cæng tr¼nh [4]. K¸t qu£ nghi¶n cùu cõa luªn ¡n âng gâp mët ph¦n v o · t i nghi¶n cùu cì b£n Nafosted Lþ thuy¸t Nevanlinna v  hå chu©n t­c c¡c ¡nh x¤ ph¥n h¼nh cõa PGS. TSKH Tr¦n V«n T§n v  · t i c§p ¤i håc Hå chu©n t­c cõa c¡c h m ph¥n h¼nh v  ùng döng cõa t¡c gi£. C¡c k¸t qu£ cõa luªn ¡n ÷ñc b¡o c¡o t¤i hëi nghà: ¤i sè - tæpæ - h¼nh håc, Qu£ng Ninh 2015, Seminar Gi£i t½ch - ¤i håc S÷ ph¤m Th¡i Nguy¶n 2012 2016, Seminar nhâm nghi¶n cùu t¤i Vi»n To¡n håc. 11 Ch÷ìng 1 Hå chu©n t­c c¡c h m ph¥n h¼nh 1.1 Lþ thuy¸t Nevanlinna cho h m ph¥n h¼nh Cho ν l  mët divisor tr¶n C. H m ¸m cõa divisor ν ÷ñc ành ngh¾a bði Zr N (r, ν) = X n(t) dt (r > 1), trong â n(t) = ν(z). t z∈D(0,t) 1 Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C. Ta k½ hi»u νf l  divisor cüc iºm cõa f v  divisor ν f ÷ñc ành ngh¾a bði ν f (z) = min{νf (z), 1}. H m ¸m t¤i c¡c cüc iºm v  cüc iºm khæng kº bëi cõa f ÷ñc ành ngh¾a bði N (r, f ) = N (r, νf ) v  N (r, f ) = N (r, ν f ). Cho a l  mët sè phùc, khi â divisor a - iºm cõa f ÷ñc ành ngh¾a bði νfa = ν1/(f −a) . Divisor ν af ÷ñc ành ngh¾a bði ν af = ν 1/(f −a) . H m ¸m t¤i c¡c a - iºm v  a - iºm khæng kº bëi cõa f ÷ñc ành ngh¾a t÷ìng ùng bði 1 1 N (r, ) = N (r, νfa ) v  N (r, ) = N (r, ν af ). f −a f −a H m x§p x¿ cõa f ÷ñc ành ngh¾a bði 1 m(r, f ) = 2π Z2π 0   log+ f (reiθ )dθ, 12 trong â log+ x = max{log x, 0} vîi måi x ≥ 0. H m °c tr÷ng cõa f ÷ñc ành ngh¾a bði T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ). Cho f l  h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C v  k l  sè nguy¶n d÷ìng. Khi â ¯ng thùc Bê · 1.1. (Bê · ¤o h m logarithmic m(r, ) f (k) ) = o(T (r, f )) f óng vîi måi r ∈ [1, ∞) ngo i mët tªp câ ë o Lebesgue húu h¤n. ành lþ 1.2. (ành lþ cì b£n thù nh§t) Cho f l  h m ph¥n h¼nh tr¶n C v  a l  mët sè phùc. Khi â T (r, 1 ) = T (r, f ) + O(1). f −a Cho f l  h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C. Cho a1, . . . , aq l  q sè phùc ph¥n bi»t trong C. Khi â ành lþ 1.3. (ành lþ cì b£n thù hai) (q − 1)T (r, f ) 6 N (r, f ) + q X i=1 N (r, 1 ) + S(r, f ), f − ai óng vîi måi r ∈ [1, ∞) ngo i mët tªp câ ë o Lebesgue húu h¤n, trong â S(r, f ) = o(T (r, f )) khi r −→ ∞. 1.2 Hå chu©n t­c cõa c¡c h m ph¥n h¼nh 1.2.1. Ti¶u chu©n chu©n t­c èi vîi hå c¡c h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n khæng iºm cõa a thùc ¤o h m Trong ph¦n n y chóng tæi tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ ÷ñc cæng bè trong [1]. Möc ½ch cõa chóng tæi l  chùng minh mët sè ti¶u chu©n chu©n t­c cho hå c¡c h m ph¥n h¼nh trong tr÷íng hñp a thùc ¤o h m ð d¤ng têng qu¡t. Mð rëng k¸t qu£ cõa Schwick, chóng tæi ¤t ÷ñc k¸t qu£ nh÷ sau. 13 Cho q (q ≥ 1) gi¡ trà phùc ph¥n bi»t kh¡c khæng a1, . . . , aq v  q sè nguy¶n d÷ìng (ho°c + ∞) `1, . . . , `q . Cho n l  mët sè nguy¶n khæng ¥m v  cho n1, . . . , nk , t1, . . . , tk l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng (k ≥ 1). Cho F l  mët hå c¡c h m ph¥n h¼nh x¡c ành tr¶n mi·n D trong m°t ph¯ng phùc sao cho vîi måi f ∈ F v  vîi måi m ∈ {1, . . . , q}, måi khæng iºm cõa f n(f n )(t ) · · · (f n )(t ) − am câ bëi ½t nh§t `m. Gi£ sû r¬ng a) nj ≥ tj vîi måi 1 6 j 6 k, v  `i ≥ 2 vîi måi 1 6 i 6 q; P ành lþ 1.8 1 Pq 1 i=1 `i b) < 1 k k qn−2+ kj=1 q(nj −tj ) P . n+ kj=1 (nj +tj ) Khi â hå F l  chu©n t­c tr¶n D. Cho q = 1 v  `1 = +∞, chóng tæi nhªn ÷ñc h» qu£ sau ¥y. Cho a l  mët sè phùc kh¡c khæng, cho n l  mët sè nguy¶n khæng ¥m v  n1, . . . , nk , t1, . . . , tk l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng. Cho F l  mët hå c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n mi·n D sao cho måi f ∈ F, f n(f n )(t ) · · · (f n )(t )− a khæng ¥u tri»t ti¶u tr¶n D. Gi£ sû r¬ng a) nj ≥ tj vîi måi 1 6 j 6 k; H» qu£ 1.9 1 1 k Pk n ≥ 3 + j j=1 tj . j=1 Khi â hå F l  chu©n t­c tr¶n D. Trong H» qu£ 1.9, cho k = 1, n = 0, chóng tæi nhªn l¤i k¸t qu£ cõa Schwick cho hå c¡c h m ph¥n h¼nh. Trong ành lþ 1.8, khi F l  hå c¡c h m nguy¶n, chóng tæi chùng minh c¡c k¸t qu£ sau. ành lþ 1.10. Cho q (q ≥ 1) gi¡ trà phùc ph¥n bi»t kh¡c khæng a1 , . . . , aq v  q sè nguy¶n d÷ìng (ho°c +∞) `1, . . . , `q . Cho n l  mët sè nguy¶n khæng ¥m v  cho n1, . . . , nk , t1, . . . , tk l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng (k ≥ 1). Cho F l  mët hå c¡c h m ch¿nh h¼nh x¡c ành tr¶n mi·n D cõa m°t ph¯ng phùc sao cho vîi måi f ∈ F v  vîi måi m ∈ {1, . . . , q}, måi khæng iºm cõa f n(f n1 )(t1) · · · (f nk )(tk ) − am câ bëi ½t nh§t `m. Gi£ sû b) n + Pk r¬ng a) nj ≥ tj vîi måi 1 6 j 6 k, P Pq 1 qn−1+ kj=1 q(nj −tj ) P b) . i=1 `i < n+ k n j=1 j v  `i ≥ 2 vîi måi 1 6 i 6 q; k 14 Khi â hå F l  chu©n t­c tr¶n D. H» qu£ 1.11. Cho a l  sè phùc kh¡c khæng, cho n l  sè nguy¶n khæng ¥m v  n1, . . . , nk , t1, . . . , tk l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng. Cho F l  mët hå c¡c h m ch¿nh h¼nh x¡c ành tr¶n D sao cho måi f ∈ F, f n(f n )(t ) · · · (f n )(t ) −a khæng ¥u tri»t ti¶u tr¶n D. Gi£ sû r¬ng a) nj ≥ tj vîi måi 1 6 j 6 k; 1 b) n + Pk j=1 nj ≥2+ 1 k k Pk j=1 tj . Khi â hå F l  chu©n t­c tr¶n D. Trong H» qu£ 1.11, cho k = 1, n = 0, chóng tæi nhªn l¤i k¸t qu£ cõa Schwick cho hå c¡c h m ch¿nh h¼nh ngo¤i trø tr÷íng hñp n = k + 1. Ti¸p theo, chóng tæi ÷a ra chùng minh mîi ìn gian hìn k¸t qu£ cõa Schwick trong tr÷íng hñp n = k + 1. Cho k l  mët sè nguy¶n d÷ìng v  a h¬ng sè kh¡c khæng. Cho F l  mët hå c¡c h m ch¿nh h¼nh x¡c ành tr¶n mi·n D cõa m°t ph¯ng phùc sao cho vîi måi f ∈ F, (f k+1)(k)(z) 6= a tr¶n D. Khi â hå F chu©n t­c tr¶n D. ành lþ 1.12 Nh÷ vªy H» qu£ 1.11 v  ành lþ 1.12 l  mð rëng k¸t qu£ cõa Schwick cho hå c¡c h m ch¿nh h¼nh. Nhªn x²t 1.7. ành lþ 1.8 v  ành lþ 1.10 v¨n óng khi thay f n (f n1 )(t1 ) · · · (f nk )(tk ) bði a thùc ¤o h m têng qu¡t n n1 (t1 ) H(f ) = f (f ) nk (tk ) · · · (f ) + X cI f nI (f n1I )(t1I ) · · · (f nkI )(tkI ) , I trong â cI l  c¡c h m ch¿nh h¼nh tr¶n D v  nI , njI , tjI l  c¡c sè nguy¶n khæng ¥m thäa m¢n Pk t j=1 tj j=1 jI <α= . αI = Pk Pk nI + j=1 njI n + j=1 nj Pk 1.2.2. Hå chu©n t­c cõa c¡c h m ph¥n h¼nh khæng câ khæng iºm 15 Trong ph¦n tr÷îc chóng tæi thi¸t lªp c¡c ti¶u chu©n chu©n t­c cho hå c¡c h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u khæng iºm cõa a thùc ¤o h m câ bëi lîn. Mët v§n · tü nhi¶n ÷ñc °t ra l : N¸u c¡c khæng iºm cõa a thùc ¤o h m khæng t½nh bëi th¼ li»u r¬ng ta v¨n câ ÷ñc ti¶u chu©n chu©n t­c? Trong ph¦n n y chóng tæi thi¸t lªp mët k¸t qu£ v· hå chu©n t­c cõa c¡c h m ph¥n h¼nh khæng câ khæng iºm tr¶n mi·n D trong m°t ph¯ng phùc v  l÷ñng c¡c khæng iºm cõa a thùc ¤o h m l  húu h¤n. K¸t qu£ n y ÷ñc cæng bè trong b i b¡o [2]. Tr÷îc h¸t, chóng tæi giîi thi»u mët k¸t qu£ nêi ti¸ng cõa Hayman v· ành lþ kiºu Picard cho h m v  ¤o h m. Cho f l  h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n m°t ph¯ng phùc C v  k l  sè nguy¶n d÷ìng. Khi â f ho°c f (k) − 1 câ ½t nh§t mët khæng iºm. Hìn núa n¸u f l  h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t th¼ f ho°c f (k) − 1 câ væ h¤n khæng iºm. ành lþ 1.14. Vîi méi h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng f tr¶n mi·n D ⊂ C v  n ∈ N, nv , tv , v = 1, . . . , k l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng. Khi â chóng tæi x²t a thùc ¤o h m câ d¤ng n n1 (t1 ) H(f ) = f (f ) nk (tk ) · · · (f ) X + uI (z)f nI (f n1I )(t1I ) · · · (f nkI )(tkI ) , I trong â uI (z) l  c¡c h m ch¿nh h¼nh tr¶n D v  nI , njI , tjI l  c¡c sè nguy¶n khæng ¥m thäa m¢n Pk αI = nI + v=1 tvI Pk v=1 nvI Pk <α= v=1 tv n+ Pk v=1 nv . Sau ¥y, chóng tæi têng qu¡t k¸t qu£ cõa Hayman cho a thùc ¤o h m f n (f n1 )(t1 ) · · · (f nk )(tk ) . Cho f l  h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n m°t ph¯ng phùc. Khi â f ho°c f n(f n )(t ) · · · (f n )(t ) − 1 câ væ h¤n khæng iºm. ành lþ 1.16. Cho q sè phùc ph¥n bi»t kh¡c khæng a1 , . . . , aq , trong â q ≥ 2 l  sè nguy¶n d÷ìng. Cho n l  sè nguy¶n khæng ¥m v  n1 , . . . , nk , t1 , . . . , tk ành lþ 1.15. 1 1 k k 16 l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng (k ≥ 1). Cho f l  h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n m°t ph¯ng phùc. Khi â f ho°c f n(f n )(t ) · · · (f n )(t ) − am vîi m ∈ {1, . . . , q} câ væ h¤n khæng iºm. 1 1 k k Ti¸p theo chóng tæi têng qu¡t k¸t qu£ cõa Chang cho a thùc ¤o h m vîi d¤ng f n (f n1 )(t1 ) . . . (f nk )(tk ) . Thüc t¸, chóng tæi chùng minh k¸t qu£ têng qu¡t hìn khi thay f n (f n1 )(t1 ) . . . (f nk )(tk ) bði a thùc ¤o h m H(f ). Cho F l  hå c¡c h m ph¥n h¼nh khæng câ khæng iºm tr¶n mi·n D sao cho H(f ) − 1 câ khæng qu¡ n + Pkj=1 nj + Pkj=1 tj − 1 khæng iºm ph¥n bi»t. Khi â hå F chu©n t­c tr¶n D. ành lþ 1.19. Nhªn x²t 1.8. Trong ành lþ 1.19, cho k = 1, n = 0, uI = 0, chóng tæi nhªn l¤i k¸t qu£ cõa Chang. 17 K¸t luªn cõa Ch÷ìng 1 Trong Ch÷ìng 1, chóng tæi nghi¶n cùu ùng döng cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna trong lþ thuy¸t hå chu©n t­c cõa c¡c h m ph¥n h¼nh. Cö thº, luªn ¡n ¢ ¤t ÷ñc c¡c k¸t qu£ ch½nh sau: - ành lþ 1.8 v  ành lþ 1.10 v· hå chu©n t­c cõa c¡c h m ph¥n h¼nh, ch¿nh h¼nh d÷îi i·u ki»n khæng iºm cõa a thùc ¤o h m têng qu¡t. C¡c k¸t qu£ n y l  mð rëng k¸t qu£ cõa Schwick. - ành lþ 1.15 v  ành lþ 1.16 kiºu Picard cho h m ph¥n h¼nh v  ¤o h m. ành lþ 1.15 l  mð rëng k¸t qu£ cõa Hayman. - ành lþ 1.19 v· hå chu©n t­c cõa c¡c h m ph¥n h¼nh khæng câ khæng iºm. K¸t qu£ n y l  mð rëng mët k¸t qu£ cõa Chang.