Tiểu luận một số phương pháp giải phương trình mũ và logarít

  • Số trang: 37 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 579 |
  • Lượt tải: 1
cbook.vn

Đã đăng 11 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ  TIỂU LUẬN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Giảng viên hướng dẫn: Sinh viên thực tập: Võ Hoàng Ân Cần Thơ, tháng 04/2015 Trang 2 MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................................................................. 3 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: ................................................................................................................... 3 II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: .......................................................................................................... 3 III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: ...................................................................................................... 3 IV. PHẠM VI NGHIÊM CỨU: ........................................................................................................... 3 V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: ................................................................................................. 3 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT..................... 4 A. Tóm tắt về lũy thừa và hàm số mũ: ................................................................................................. 4 B. Tóm tắt về hàm số Logarit: ............................................................................................................. 6 CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ ..................................... 12 II.1 PHƯƠNG PHÁP 1 : PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ .............................................. 12 II.2 PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA ...................................................................... 13 II.3 PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ............................................................... 14 II.4 PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG..................................................................... 15 TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ............................................................................................................ 15 II.5 PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC ........... 18 II.6 PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ.......................................................................................................................................... 19 BÀI TẬP VẬN DỤNG...................................................................................................................... 20 CHƯƠNG III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT........................ 23 III.1 PHƯƠNG PHÁP 1 : PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ ............................................. 23 III.2 PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA .......................................................... 24 III.3 PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ............................................................. 26 III.4 PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ................................................................... 28 TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ............................................................................................................ 28 III.5 PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC.......... 30 II.6 PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ ............................................................................................................................. 31 BÀI TẬP VẬN DỤNG...................................................................................................................... 32 KẾT LUẬN........................................................................................................................................... 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................................... 37 Trang 3 MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Có thể nói rằng, hàm số mũ và hàm số logarit cùng với các bài toán liên quan đến hai hàm số này là phần kiến thức khá khó trong phân phối chương trình Toán phổ thông. Khi tìm hiểu phần kiến thức này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng rất nhiều kiến thức có liên quan để giải quyết các dạng toán. Nhiều dạng bài tập, thường gặp phải nhiều sai lầm khi giải toán nhưng mũ và logarit vẫn có những nét đẹp riệng của chúng. Là sinh viên nghành Toán, tôi nhận thức được cái khó của mũ và logarit và thông qua tiểu luận này tôi muốn tìm hiểu thêm để phục vụ cho việc giảng dạy ở trường THPT sau này. Do đó, tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình Mũ và Logarít”. Trong đề tài này, tôi trình bày sơ lược các kiến thức cơ bản về hàm số mũ và logarit cũng như các dạng toán điển hình của phần này qua đó tích lũy thêm kinh nghiệm cũng như kiến thức phục vụ cho việc giảng dạy sau này. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Mục tiêu chính của đề tài mà tôi chọn là có thể tổng hợp tất cả các dạng toán có liên quan về muc và logarit như tìm tập xác định, tính và rút gọn các biểu thức, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình cũng như các bài toán biện luận. Tôi hy vọng trong khuôn khổ hạn hẹp của đề tài, tôi có thể giới thiệu đầy đủ các dạng toán trong phần kiến thức này. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Trong đề tài này, tôi xây dựng xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit mà trong đó trọng tâm là phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và logarit. Theo đó, các phương pháp giải các dạng toán trên cũng được tôi đề cập đến trong đề tài của mình. IV. PHẠM VI NGHIÊM CỨU: Phạm vi nghiên cứu của đề tài chỉ xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit đã nêu ở trên V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích và bài tập giải minh họa, tham khảo ý kiến của cán bộ hướng dẫn. Trang 4 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT A. Tóm tắt về lũy thừa và hàm số mũ: 1. Các phép tính về lũy thừa với hàm số mũ thực: a b x y, , Định lý: Gọi l;à những số thực dương; là những số thực tùy ý. Ta có:     . x x y x y x y y y x x xy x x x x a a a a a a a a ab a b a a b b              x x0   1, 0 Chú ý rằng: 1) 2) Nếu chỉ xác định với mọi 2. Hàm số mũ: a a y a    0 x  a. Định nghĩa: Hàm số mũ cơ số là hàm số được xác định bởi công thức 2 , ,...1 Ví dụ: 3 x x y y         b. Các tính chất: x y a   R x + Hàm số liên tục tại mọi điểm . x a x   R 0 + với mọi . a y R   1 1 + Nếu thì hàm số không đổi trên : . a R 1 + Nếu thì hàm số đồng biến trên . 0 1 R  a + Nếu thì hàm số nghịch biến trên . a  0 c. Từ các tính chất đơn điệu của hàm số mũ, ta suy ra với mọi thì: * 1,1 M N a M N a a a M N                * 1 0 1 M N a M N a a a M N                  * 10 1 0 1 0 x ax a a x                  * 10 0 1 0 1 0 x ax a a x                   Các tính chất trên thường dùng để giải các phương trình và bất phương trình mũ. d. Công thức đổi cơ số: b a Từ hàm số mũ cơ số đổi sang hàm số cơ số ta có công thức: Trang 5 a b a bx  x alogb  , 1 2 3 ;x x x a x log 23 a e ln Ví dụ: ,… y a x e. Đồ thị hàm số mũ: a  1 * Với : Bảng biến thiên:   0 x x y a  1 0 Đồ thị: 0 1 a * Với : Bảng biến thiên:   0 x x y a  1 0 Đồ thị: Trang 6 Nhận xét rằng: A y a   0,1 x  + Đồ thị hàm số luôn luôn đi qua điểm . y a x + Đồ thị hàm số luôn luôn nằm phía trên trục hoành. y y a 1 x x + Các hàm số và a        có đồ thị đối xứng nhau qua trục tung. B. Tóm tắt về hàm số Logarit: 1. Định nghĩa: a a M N a   0 0 Cho số thực và , logarit cơ số của một số dương là một số sao cho M log N a a N . Kí hiệu là . loga N M N a   M Ta có: . log 32 5 3 2 325 2 2   1 Ví dụ: vì ; 9   nên 3 1 log 2 9   . 2. Tính chất: a a   0 1 + Cơ số và . log N  a N 0 + có nghĩa khi và chỉ khi . log 1 0 ; log 1; loga a a  a a nn + . log , ; , 0a a M M a N NM      R loga N + Ví dụ: 4 0 2 2 log 4     x x2 2   x2  xác định khi và chỉ khi log 5x1   x xác định khi và chỉ khi 1 0 1 1 5 1 1 2 2 5 0 5 x x x x x x x x                         3 4 log 2 3 5 1 1 2 2 1 3 2 ; log 5 3 ; log 16 log 4 2              Trang 7 3. Các phép tính về logarit: 0 1 A B N, , 0  a  Giả sử ; , ta có các công thức sau: log log loga a a AB A B   * log . ... log log ... loga n a a a n A A A A A A1 2 1 2     Mở rộng: log log loga a aA A B * B         log loga a1 N Hệ quả: N         log loga aN N    R * log loga an N N1 * n   4. Công thức đổi cơ số: 0 , 1 c x   , 0 a b  Giả sử ; ta có: log log .loga a bc b c * Hệ quả: log .log ...log .log loga a a n a n a n1 2 2 1 1a a a a a2 3 1n n   log log * log b a b x x a log  * a logb a b a  log log1 a * a x x   log logn  a * a x n x * log log1 a a log 1 x x 1 1   1   * log log ab a b x x x x    5. Hàm số logarit: a a a  0, 1 a. Định nghĩa: Hàm số logarit cơ số là hàm số xác định bởi công thức y x loga . y x log2 1 Ví dụ: , 3 y x log . b. Các tính chất: Trang 8  y x 0;  log  a  * Hàm số có tập xác định là y x x   log 0 a * Hàm số liên tục tại mọi điểm  y x a 0;  log   a 1  * Nếu thì hàm số đồng biến trong khoảng 0 1  y x 0;    log  a a  * Nếu thì hàm số nghịch biến trong khoảng y x R  loga * Hàm số có tập giá trị là . c. Từ tính chất đơn điệu của hàm số logarit ta suy ra các đẳng thức và bất đẳng thức sau: log log 0 * 0, 1 a a M N M N N a a           * 1 0 log log 0 1 0 a a a M N M N a M N                    * 1 1 log 0 0 1 0 1 a aM M aM                   * 1 0 1 log 0 0 1 1 a a M M a M                   Các tính chất nầy thường được dùng để giải các phương trình và bất phương trình logarit. 6. Đồ thị của hàm số logarit: a 1 * Với : Bảng biến thiên: 1  0 a x y x loga  1 0  Đồ thị: Trang 9 0 1 a * Với Bảng biến thiên: 1  0 a x y x loga  0 1  Đồ thị:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ  TIỂU LUẬN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Giảng viên hướng dẫn: Sinh viên thực tập: Võ Hoàng Ân Cần Thơ, tháng 04/2015 Trang 1 MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................................................................. 3 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: ................................................................................................................... 3 II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: .......................................................................................................... 3 III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: ...................................................................................................... 3 IV. PHẠM VI NGHIÊM CỨU: ........................................................................................................... 3 V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: ................................................................................................. 3 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT..................... 4 A. Tóm tắt về lũy thừa và hàm số mũ: ................................................................................................. 4 B. Tóm tắt về hàm số Logarit: ............................................................................................................. 6 CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ ..................................... 12 II.1 PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ .............................................. 12 II.2 PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA ...................................................................... 13 II.3 PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ............................................................... 14 II.4 PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ..................................................................... 15 TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ............................................................................................................ 15 II.5 PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC ........... 18 II.6 PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ.......................................................................................................................................... 19 BÀI TẬP VẬN DỤNG ...................................................................................................................... 20 CHƯƠNG III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ........................ 23 III.1 PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ ............................................. 23 III.2 PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA .......................................................... 24 III.3 PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ............................................................. 26 III.4 PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ................................................................... 28 TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ............................................................................................................ 28 III.5 PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC.......... 30 II.6 PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ ............................................................................................................................. 31 BÀI TẬP VẬN DỤNG ...................................................................................................................... 32 KẾT LUẬN ........................................................................................................................................... 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................................... 37 Trang 2 MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Có thể nói rằng, hàm số mũ và hàm số logarit cùng với các bài toán liên quan đến hai hàm số này là phần kiến thức khá khó trong phân phối chương trình Toán phổ thông. Khi tìm hiểu phần kiến thức này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng rất nhiều kiến thức có liên quan để giải quyết các dạng toán. Nhiều dạng bài tập, thường gặp phải nhiều sai lầm khi giải toán nhưng mũ và logarit vẫn có những nét đẹp riệng của chúng. Là sinh viên nghành Toán, tôi nhận thức được cái khó của mũ và logarit và thông qua tiểu luận này tôi muốn tìm hiểu thêm để phục vụ cho việc giảng dạy ở trường THPT sau này. Do đó, tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình Mũ và Logarít”. Trong đề tài này, tôi trình bày sơ lược các kiến thức cơ bản về hàm số mũ và logarit cũng như các dạng toán điển hình của phần này qua đó tích lũy thêm kinh nghiệm cũng như kiến thức phục vụ cho việc giảng dạy sau này. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Mục tiêu chính của đề tài mà tôi chọn là có thể tổng hợp tất cả các dạng toán có liên quan về muc và logarit như tìm tập xác định, tính và rút gọn các biểu thức, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình cũng như các bài toán biện luận. Tôi hy vọng trong khuôn khổ hạn hẹp của đề tài, tôi có thể giới thiệu đầy đủ các dạng toán trong phần kiến thức này. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Trong đề tài này, tôi xây dựng xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit mà trong đó trọng tâm là phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và logarit. Theo đó, các phương pháp giải các dạng toán trên cũng được tôi đề cập đến trong đề tài của mình. IV. PHẠM VI NGHIÊM CỨU: Phạm vi nghiên cứu của đề tài chỉ xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit đã nêu ở trên V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích và bài tập giải minh họa, tham khảo ý kiến của cán bộ hướng dẫn. Trang 3 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT A. Tóm tắt về lũy thừa và hàm số mũ: 1. Các phép tính về lũy thừa với hàm số mũ thực: Định lý: Gọi a, b l;à những số thực dương; x, y là những số thực tùy ý. Ta có: ax x y x y a a a  a x y y a a  x y x  ab x  a x .b x  a xy a a  b   bx   Chú ý rằng: 1) x0  1, x  0 2) Nếu chỉ xác định với mọi 2. Hàm số mũ: a. Định nghĩa: Hàm số mũ cơ số a  a  0 là hàm số được xác định bởi công thức y  a x x x 1 Ví dụ: y  2x , y    ,...  3 b. Các tính chất: + Hàm số y  a x liên tục tại mọi điểm x R . + a x  0 với mọi x R . + Nếu a  1 thì hàm số không đổi trên R : y  1. + Nếu a  1 thì hàm số đồng biến trên R . + Nếu 0  a  1 thì hàm số nghịch biến trên R . c. Từ các tính chất đơn điệu của hàm số mũ, ta suy ra với mọi a  0 thì:  a  1  a  1   M , N M  N M N M N  *a  a  * a a   a  1 0  a  1   M  N M  N  a  1  x  0 x * a 1  0  a  1   x  0  a  1  x  0 x * 0  a 1  0  a  1   x  0 Các tính chất trên thường dùng để giải các phương trình và bất phương trình mũ. d. Công thức đổi cơ số: Từ hàm số mũ cơ số a đổi sang hàm số cơ số b ta có công thức: Trang 4 a x  bx logb a  a, b  1 Ví dụ: 2x  3x log 2 ; a x  ex ln a ,… e. Đồ thị hàm số mũ: y  a x * Với a  1 : Bảng biến thiên: 3 x    0 y  ax 1 0 Đồ thị: * Với 0  a  1: Bảng biến thiên: x y  ax   0  1 0 Đồ thị: Trang 5 Nhận xét rằng: + Đồ thị hàm số y  a x luôn luôn đi qua điểm A  0,1 . + Đồ thị hàm số y  a x luôn luôn nằm phía trên trục hoành. x 1 + Các hàm số y  a và y    có đồ thị đối xứng nhau qua trục tung. a x B. Tóm tắt về hàm số Logarit: 1. Định nghĩa: Cho số thực a  0 và a  0 , logarit cơ số a của một số dương N là một số M sao cho M N  a . Kí hiệu là log a N . Ta có: loga N  M  N  aM . 1 1 Ví dụ: log 2 32  5 vì 25  32 ; 32  nên log3  2 . 9 9 2. Tính chất: + Cơ số a  0 và a  1. + log a N có nghĩa khi và chỉ khi N  0 . + loga 1  0 ; loga a  1 ; loga an  n . + loga aM  M , M  R ; aloga N  N, N  0 Ví dụ: log2  4  x2  xác định khi và chỉ khi 4  x2  0  2  x  2  x 1  0 x  1 1  x  5   log x1 5  x  xác định khi và chỉ khi  x  1  1   x  2   x  2 5  x  0  x  5   4 log3 2 3 1  2 ; log5 5  3 ; log 1 16  log 1    4 2 2  2 3 Trang 6 3. Các phép tính về logarit: Giả sử 0  a  1 ; A, B, N  0 , ta có các công thức sau: * loga  AB  loga A  loga B Mở rộng: loga  A1.A2 ...An   loga A1  loga A2  ...  loga An  A * loga    loga A  loga B  B 1 Hệ quả: loga     loga N N * loga N    loga N   R 1 * loga  n N  loga N n 4. Công thức đổi cơ số: Giả sử 0  a, b  1 ; c, x  0 ta có: * loga c  loga b.logb c Hệ quả: loga1 a2 .loga2 a3...logan2 an1.logan1 an  loga1 an * loga x  logb x logb a * loga x  1  * loga b  a logb a * log n a x  n loga x loga x * log 1 x   log a x * logab x  a 1 1 1  loga x logb x  x  1 5. Hàm số logarit: a. Định nghĩa: Hàm số logarit cơ số a  a  0, a  1 là hàm số xác định bởi công thức y  loga x . Ví dụ: y  log2 x , y  log 1 x . 3 b. Các tính chất: Trang 7 * Hàm số y  loga x có tập xác định là  0; * Hàm số y  loga x liên tục tại mọi điểm x  0 * Nếu a  1 thì hàm số y  loga x đồng biến trong khoảng  0; * Nếu 0  a  1 thì hàm số y  loga x nghịch biến trong khoảng  0; * Hàm số y  loga x có tập giá trị là R . c. Từ tính chất đơn điệu của hàm số logarit ta suy ra các đẳng thức và bất đẳng thức sau: M  N  * log a M  log a N   N  0 a  0, a  1   a  1  0  M  N * log a M  log a N   0  a  1  M  N  0  a  1  M  1 * log a M  0   0  a  1  0  M  1  a  1  0  M  1 * log a M  0   0  a  1  M  1 Các tính chất nầy thường được dùng để giải các phương trình và bất phương trình logarit. 6. Đồ thị của hàm số logarit: * Với a  1 : Bảng biến thiên: x 0 a 1 y  loga x 1 0  Đồ thị: Trang 8   * Với 0  a  1 Bảng biến thiên: x y  loga x 0  a 1  0 1  Đồ thị: Nhận xét: * Đồ thị hàm số y  loga x luôn luôn đi qua điểm A 1,0 . * Đồ thị hàm số y  loga x luôn luôn ở beeb phải trục tung. Trang 9 * Các hàm số y  loga x và y  log 1 x đối xứng nhau qua trục hoành. a * Vì y  loga x  x  a nên các hàm số y  loga x và y  a x là những hàm số ngược nên các đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường phân giác y  x . y Trang 10 Trang 11 CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ II.1 PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ Thường áp dụng các phép tính về lũy thừa hay phép tính về logarit để biến đổi. Để đồng hóa cơ số hoặc để khử biểu thức mũ chứa ẩn số, ta thường lấy mũ hai vế. Ta áp dụng các công thức sau: Với 0  a  1 ta có: + aM  aN  M  N + loga M  loga N  M  N  0 + loga N  M  N  aM Ví dụ 1: Giải phương trình: 52x  625 Giải Ta có: 5  625  5  5  2x  4  x  2 Vậy nghiệm của phương trình là x  2 Ví dụ 2: Giải phương trình 16x  821x Giải 2x 2x 4 Ta có: 16x  821 x  24 x  261 x  4x  6 1  x   10x  6  x  3 5 3 5 Vậy nghiệm của phương trình là x  Ví dụ 3: Giải phương trình: 5x1  5x  2x1  2x3 Giải Ta có: 5x1  5x  2x1  2x3  5.5x  5x  2.2 x  8.2x  4.5x  10.2x x 1 5 5        x 1 2 2 Vậy nghiệm của phương trình là x  1 Ví dụ 4: Giải phương trình: 4log2 x  x  6  0 Giải Điều kiện: x  0 Khi đó ta có: 4log x  x  6  0   2log 2 2  x 2  x  3  x  6  0  x2  x  6  0   x  2 Nhận nghiệm Vậy nghiệm của phương trình là x  2 Trang 12 Ví dụ 5: Giải phương trình: 2x  22 x  20 Giải Đặt t  2  0 . Khi đó phương trình đã cho tương đương với: x t  4 t 2  t  20   t  5 Do t  0 nên nhận t  4 . Suy ra: 2x  4  x  2 Vậy nghiệm của phương trình là x  2 II.2 PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA Để giải phương trình bằng phương pháp mũ hóa chúng ta phải nắm vững các tính chất đã nêu ở mục 1. Tuy nhiên trước khi mũ hóa chúng ta cần biến đổi để rút gọn cả hai vế của phương trình về dạng gọn nhất. Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 .2 x x 1 x 1  72 Giải Điều kiện: x  1 . Khi đó, lấy logarit thập phân hai vế ta dược: x  2 x 1 2 x lg3  lg 2  72  x lg3  x lg108  2lg12  0    x  lg12 x 1 lg3  lg12 Vậy nghiệm của phương trình là x  2; x  lg 3 Ví dụ 2: Giải phương trình: x lg 1 x  10 x 4 Giải Điều kiện: 0  x  1. Khi đó phương trình đã cho tương đương với: 4 1 lg x  lg10 x  x 4  x 4  1  x  1 lg x So sánh với điều kiện ban đầu, suy ra không có giá trị x thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Trang 13 II.3 PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ   Nếu một phương trình mũ sau khi rút gọn có dạng f a  x   0 trong đó   x  là một hàm số theo x ta sẽ đặt t    x   0 . Khi đó ta sẽ được phương trình đại số f t   0 , giải phương trình này nếu có nghiệm t ta sẽ tìm được nghiệm x . Phương pháp này được gọi là phương pháp đặt ẩn phụ. 1 x 1 x Ví dụ 1: Giải phương trình: 40  35  25 1 x Giải Điều kiện: x  0 1 Chia hai vế của phương trình cho 35 x , ta được: 1 1  7 x  5 x  1  5 7     1  7 x Đặt t     0 , ta được phương trình: 5 1 1 5 t 1   t 2  t 1  0  t  t 2 1 7  7  x 1 5  x  log1 5 Khi đó:    2 5 5 2 Vậy nghiệm của phương trình là x  log1 5 2 7 5 Ví dụ 2: Giải phương trình: 101 x 101 x  99 Giải 2 2 10 2  99 10x 2 Đặt t  10x  0 . Khi đó phương trình đã cho tương đương với: 10t 2  99t 10  0  t  10 2 Suy ra 10x  10  x2  1  x  1 Vậy nghiệm của phương trình là x  1 . Biến đổi phương trình đã cho về dạng: 10.10x  2  3 5 Ví dụ 3: Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn  ;  của phương trình 4cos2 x  4cos x  3 .  4 2 2 Giải Trang 14 Áp dụng công thức cos2x  2cos2 1 Biến đổi phương trình về dạng: 2 2 2 2 42cos x 2cos2 x 1 cos2 x 4 4 3  4cos x  3  0  42cos x 4.4cos x 12  0 4 cos2 x Đặt t  4 ; t  1 Khi đó phương trình tương đương với: t  6 t 2  4t  12  0   t  2 So sánh với điều kiện ta nhận nghiệm t  2 Suy ra:   x    k1 2 1  2 1 4 4cos x  2  4 2  cos2 x    ;  k1 , k2  Z  3 2  x     k 2 2  4  Hay x   k 2 ; k  Z 4 3 5 Do x   ;  nên chỉ có k  0; k  1 thỏa mãn.  4 2  3 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x  ; x  4 4 II.4 PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ Có một số phương trình không thể dùng thuần túy các phương pháp trên, đôi khi cần phải dùng các tính chất của bất đẳng thức để giải, hoặc phát hiện tập hợp chứa nghiệm rồi thử nghiệm, hoặc phát hiện nghiệm rồi chứng minh nghiệm đó là duy nhất hoặc sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số. Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x  sin x2 Giải Ta có nhận xét sau: x x 0   x  0 2  2  1 2  1 x 2  2  sin x      2 2 sin x  1 sin x  1 sin 0  1   Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x  3x  5x Trang 15 Giải Chia hai vế của phương trình cho 5 x ta được: x x  2  3  5    5   1 (1)     Nhận thấy rằng x  1 là nghiệm của phương trình đã cho. Ta sẽ chứng minh x  1 là nghiệm duy nhất của phương trình này. Thật vậy: x x  2  3 Đặt f  x        và g  x   1  5 5 Dễ dàng thấy rằng f  x  là hàm nghịch biến và g  x  là hàm hằng. Do đó đồ thị của hai hàm số này sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất và điểm đó có hoành độ là x  1 . Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm là x  1 . Ví dụ 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng c . Giải các phương trình: a. ax  bx  cx b. a2x  b2x  c2x Giải a. Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng c nên ta có: a2  b2  c2 Suy ra x  2 là một nghiệm của phương trình ax  bx  cx Ta lại có: Vì a b  1;  1 nên các hàm số c c x a c   x x b ;   nghịch biến. c x a b Suy ra, f  x        1 nghịch biến trên R . c c Hay x  2 là ngiệm duy nhất của phương trình ax  bx  cx . b. Đặt t  2x . Khi đó phương trình đã cho tương đương với: at  bt  ct Theo câu a phương trình này có duy nhất một nghiệm là t  2 Suy ra 2x  2  x  1. Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm là x  1 . Ví dụ 4: Tìm tất cả các cặp số thực x, y thỏa mãn 3 x2  2 x 3 log3 5 4 y  y 1   y  3  8 (2) 2 Giải Trang 16  5 x4 (1) và Ta có: 3 5 x4  3  3 log3 5  51  y  3 (*) Với y  3  y   y thay vào (2) ta được: x2 2 x 3 log 5 y 2  3 y  0  3  y  0 (**) Từ (*) và (**) ta có y  3  x  1  x  3  Thay vào (1) ta được   y  3  y  3 Vậy có hai cặp số thỏa mãn yêu cầu đề bài là  1; 3 và 3; 3 . Ví dụ 5: Tìm số nguyên x thỏa mãn xx3  1 Giải Với x  0 : Đây không là nghiệm của phương trình đã cho. Với x  0 : Lấy logarit thập phân hai vế ta có:  x  3 lg x  0  x  1 do x  3  0 Với x  0 : Nếu x là số nguyên chẵn thì x  3 là số lẻ, suy ra xx3  0 hay phương trình đã cho vô nghiệm. Do đó x phải là số nguyên lẻ. Ta thấy x  1; x  3 là hai nghiệm của phương trình. Xét x  5  x  5 , lúc này: 1 1 x 3 2 x x3  x  x  2  2 không thỏa. 5 x Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt là x  1; x  1; x  2 . *Những lưu ý: Khi giải các bài toán trắc nghiệm trong phần này chúng ta cần lưu ý một số mẹo nhỏ như sau để giải nhanh các bài toán trắc nghiệm: + Phép thử trực tiếp đối với các dạng câu hỏi trắc nghiệm khách quan tìm tập nghiệm. + Nhận xét xem phương trình đã cho là phương trình cơ bản dạng nào từ đó phán đoán dạng phương án nhiễu. + Việc sử dụng máy tính cầm tay cũng giúp cho chúng ta rất lớn trong dạng bài tập này. Do đó việc rèn luyện kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay là vô cùng quan trọng + Nắm vững các điều kiện có nghiệm của từng dạng phương trình là điều vô cùng cần thiết, giúp ích cho chúng ta trong quá trình loại bỏ phương án nhiễu. + Các ký năng biến đổi phương trình về dạng quen thuộc cúng vô cùng quan trọng, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững lý thuyết. + Các phương pháp giải phương trình đã nêu trên chỉ để giúp chúng ta định hướng nhanh hơn một số bài tập, từ đó có thể vận dụng vào bài tập trắc nghiệm nhanh hơn. Trang 17 II.5 PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Một số phương trình không thể dung các phép tính về hàm số mũ hoặc dung tính đơn điệu để giải trực tiếp ta thường chú ý vài cách như sau: + Dùng bất đẳng thức để giải: chẳng hạn như giải phương trình dạng A  B . Nếu A  C A  C B  C và B  C thì phương trình đã cho tương đương với hệ  + Phát hiện nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất hoặc chỉ có những nghiệm đó. + Có thể sử dụng đồ thị để giải. Ví dụ 1: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: 3x  x  5 Giải Theo đề bài ta có: 3x  x  5  3x  x  5  0 Đặt f  x   3x  x  5 là hàm liên tục trên R. Ta có: f  0   4  0 f  2  2  0 1 0 243 Suy ra phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng  5;0 và một f  5  nghiệm nằm trong khoảng  0;2  . Vẽ đồ thị của các hàm số y  3x ; y  x  5 : Trang 18 Đồ thị cho thấy các đường cắt nhau tại hai giao điểm nên phương trình đã cho có hai nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x1  4x  x 1 Giải Theo đề bài ta có: 2x1  4x  x 1  2x  2  2x   x 1 Thấy rằng x  1 thỏa mãn phương trình nên nó là một nghiệm. 2 x  2 2  2 x  0  Khi x  1 thì  vô lý hay phương trình vô nghiệm.  x 1  0  x 1  0 2 x  2 2  2 x  0  Khi x  1 thì  vô lý hay phương trình vô nghiệm.  x 1  0  x 1  0 Kết luận: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x  1 . Ví dụ 3: Giải phương trình: 2cos2 x2  x  2 x  2 x 6 Giải Ta có: 2 x2  x 2 x x cos  1  2cos 2 6 6 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương 2x ;2 x ta được: 2x  2 x  2 2x 2 x  2  2 x2  x 1 x x cos Suy ra 2cos2  2x  2 x    x0 6 6 2x  2 x  1  Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  0 . 2 II.6 PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ Ví dụ: Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm 9x  m.3x  m  3  0 Giải x Đặt u  3 ; u  0 . Khi đó ta đặt f u   u 2  mu  m  3 (1) Bài toán trở thành tìm m để bất phương trình (1) có nghiệm u  0 . Điều này xảy ra khi và chỉ khi: Trang 19    m2  4m  12  0   0  m  6    m  3  0 m  3  f  0  0   m  S   0   0  2  2 m  3  0   f  0   0 m  6 Vậy giá trị m thỏa mãn yêu cầu là  .  m  3 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Giải phương trình: a. 4x  3.2x 10  0 c. 51 x  51 x  24 2 b. 3x1  3x  3x1  9477 d. 91 x  31 x  6  0 2 2 e. 2 x  21 x  1 f. 2 2lg x 2   lg x  lg x  1 lg x  1 Bài 2: Giải phương trình: a. 4log9 x  6.2log9 x  2log3 27  0 b. 4log3 x  5.2log3 x  2log3 9  0 c. 9x 1  36.3x 3  3  0 2 d. 2  3   3 x 5 e. 4x  10 x2 2 1 x x10  5.2x1  1 x f. 2.4  6  3.9 Bài 3: Giải phương trình: 3 0 x2 2  6 1 x x 1 a. 5x.8 x  500 c. 8x 18x  2.27x 1 1 1 b. 49 x  35 x  25 x x2 d.  x2  1  1 e. ln  x  3  ln  x 1  ln  x2  2x  3 Bài 4: Giải phương trình: a. 4x  8.2x 12  0 Bài 5: Giải phương trình: a. 42 x  9.22 x  8  0 2 2 lg x1 c.  x 1  100  x  1 b. 3lg x  54  xlg3 b. x  1 lg2 x lg x2 d.  x2  x  1 Trang 20  x 1 x2 1 3
- Xem thêm -