Mô tả:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC CẦN THƠ
TIỂU LUẬN
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Giảng viên hướng dẫn:
Sinh viên thực tập: Võ Hoàng Ân
Cần Thơ, tháng 04/2015
Trang 2
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................................................. 3
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: ................................................................................................................... 3
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: .......................................................................................................... 3
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: ...................................................................................................... 3
IV. PHẠM VI NGHIÊM CỨU: ........................................................................................................... 3
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: ................................................................................................. 3
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT..................... 4
A. Tóm tắt về lũy thừa và hàm số mũ: ................................................................................................. 4
B. Tóm tắt về hàm số Logarit: ............................................................................................................. 6
CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ ..................................... 12
II.1 PHƯƠNG PHÁP 1 : PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ .............................................. 12
II.2 PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA ...................................................................... 13
II.3 PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ............................................................... 14
II.4 PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG..................................................................... 15
TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ............................................................................................................ 15
II.5 PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC ........... 18
II.6 PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA
THAM SỐ.......................................................................................................................................... 19
BÀI TẬP VẬN DỤNG...................................................................................................................... 20
CHƯƠNG III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT........................ 23
III.1 PHƯƠNG PHÁP 1 : PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ ............................................. 23
III.2 PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA .......................................................... 24
III.3 PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ............................................................. 26
III.4 PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ................................................................... 28
TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ............................................................................................................ 28
III.5 PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC.......... 30
II.6 PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
CHỨA THAM SỐ ............................................................................................................................. 31
BÀI TẬP VẬN DỤNG...................................................................................................................... 32
KẾT LUẬN........................................................................................................................................... 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................................... 37
Trang 3
MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Có thể nói rằng, hàm số mũ và hàm số logarit cùng với các bài toán liên quan đến hai
hàm số này là phần kiến thức khá khó trong phân phối chương trình Toán phổ thông. Khi tìm
hiểu phần kiến thức này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng rất nhiều kiến thức có liên quan để giải
quyết các dạng toán. Nhiều dạng bài tập, thường gặp phải nhiều sai lầm khi giải toán nhưng
mũ và logarit vẫn có những nét đẹp riệng của chúng.
Là sinh viên nghành Toán, tôi nhận thức được cái khó của mũ và logarit và thông qua
tiểu luận này tôi muốn tìm hiểu thêm để phục vụ cho việc giảng dạy ở trường THPT sau này.
Do đó, tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình Mũ và Logarít”. Trong đề tài
này, tôi trình bày sơ lược các kiến thức cơ bản về hàm số mũ và logarit cũng như các dạng
toán điển hình của phần này qua đó tích lũy thêm kinh nghiệm cũng như kiến thức phục vụ
cho việc giảng dạy sau này.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Mục tiêu chính của đề tài mà tôi chọn là có thể tổng hợp tất cả các dạng toán có liên
quan về muc và logarit như tìm tập xác định, tính và rút gọn các biểu thức, chứng minh đẳng
thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình
cũng như các bài toán biện luận.
Tôi hy vọng trong khuôn khổ hạn hẹp của đề tài, tôi có thể giới thiệu đầy đủ các dạng
toán trong phần kiến thức này.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Trong đề tài này, tôi xây dựng xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit mà trong đó
trọng tâm là phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và
logarit. Theo đó, các phương pháp giải các dạng toán trên cũng được tôi đề cập đến trong đề
tài của mình.
IV. PHẠM VI NGHIÊM CỨU:
Phạm vi nghiên cứu của đề tài chỉ xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit đã nêu ở trên
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích và bài tập giải minh họa, tham khảo ý kiến
của cán bộ hướng dẫn.
Trang 4
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ
LOGARIT
A. Tóm tắt về lũy thừa và hàm số mũ:
1. Các phép tính về lũy thừa với hàm số mũ thực:
a b x y, , Định lý: Gọi l;à những số thực dương; là những số thực tùy ý. Ta có:
.
x
x y x y x y
y
y x
x xy x x
x
x
a
a a a a
a
a a ab a b
a a
b b
x x0 1, 0 Chú ý rằng: 1)
2) Nếu chỉ xác định với mọi
2. Hàm số mũ:
a a y a 0 x a. Định nghĩa: Hàm số mũ cơ số là hàm số được xác định bởi công thức
2 , ,...1 Ví dụ:
3
x
x
y y
b. Các tính chất:
x y a R x + Hàm số liên tục tại mọi điểm .
x a x R 0 + với mọi .
a y R 1 1 + Nếu thì hàm số không đổi trên : .
a R 1 + Nếu thì hàm số đồng biến trên .
0 1 R a + Nếu thì hàm số nghịch biến trên .
a 0 c. Từ các tính chất đơn điệu của hàm số mũ, ta suy ra với mọi thì:
*
1,1
M N
a
M N
a a
a
M N
*
1
0 1
M N
a
M N
a a
a
M N
*
10
1
0 1
0
x
ax
a
a
x
*
10
0 1
0 1
0
x
ax
a
a
x
Các tính chất trên thường dùng để giải các phương trình và bất phương trình mũ.
d. Công thức đổi cơ số:
b a Từ hàm số mũ cơ số đổi sang hàm số cơ số ta có công thức:
Trang 5
a b a bx x alogb , 1
2 3 ;x x x a x log 23 a e ln Ví dụ: ,…
y a x e. Đồ thị hàm số mũ:
a 1 * Với :
Bảng biến thiên:
0 x
x
y a
1
0
Đồ thị:
0 1 a * Với :
Bảng biến thiên:
0 x
x
y a
1
0
Đồ thị:
Trang 6
Nhận xét rằng:
A y a 0,1 x + Đồ thị hàm số luôn luôn đi qua điểm .
y a x + Đồ thị hàm số luôn luôn nằm phía trên trục hoành.
y y a 1 x x + Các hàm số và
a
có đồ thị đối xứng nhau qua trục tung.
B. Tóm tắt về hàm số Logarit:
1. Định nghĩa:
a a M N a 0 0 Cho số thực và , logarit cơ số của một số dương là một số sao cho
M
log N a a N . Kí hiệu là .
loga N M N a M Ta có: .
log 32 5 3 2 325 2 2 1 Ví dụ: vì ;
9
nên
3
1
log 2
9
.
2. Tính chất:
a a 0 1 + Cơ số và .
log N a N 0 + có nghĩa khi và chỉ khi .
log 1 0 ; log 1; loga a a a a nn + .
log , ; , 0a a M M a N NM R loga N +
Ví dụ:
4 0 2 2 log 4 x x2 2 x2 xác định khi và chỉ khi
log 5x1 x xác định khi và chỉ khi
1 0 1
1 5
1 1 2
2
5 0 5
x x
x
x x
x
x x
3
4
log 2 3
5 1 1
2 2
1
3 2 ; log 5 3 ; log 16 log 4
2
Trang 7
3. Các phép tính về logarit:
0 1 A B N, , 0 a Giả sử ; , ta có các công thức sau:
log log loga a a AB A B *
log . ... log log ... loga n a a a n A A A A A A1 2 1 2 Mở rộng:
log log loga a aA A B *
B
log loga a1 N Hệ quả:
N
log loga aN N R *
log loga an N N1 *
n
4. Công thức đổi cơ số:
0 , 1 c x , 0 a b Giả sử ; ta có:
log log .loga a bc b c *
Hệ quả:
log .log ...log .log loga a a n a n a n1 2 2 1 1a a a a a2 3 1n n
log log *
log
b
a
b
x
x
a
log *
a logb
a
b
a
log log1 a *
a
x x
log logn a *
a
x n x
*
log log1 a
a
log 1 x x 1 1 1 *
log log
ab
a b
x x
x x
5. Hàm số logarit:
a a a 0, 1 a. Định nghĩa: Hàm số logarit cơ số là hàm số xác định bởi công thức
y x loga .
y x log2 1 Ví dụ: ,
3
y x log .
b. Các tính chất:
Trang 8
y x 0; log a * Hàm số có tập xác định là
y x x log 0 a * Hàm số liên tục tại mọi điểm
y x a 0; log a 1 * Nếu thì hàm số đồng biến trong khoảng
0 1 y x 0; log a a * Nếu thì hàm số nghịch biến trong khoảng
y x R loga * Hàm số có tập giá trị là .
c. Từ tính chất đơn điệu của hàm số logarit ta suy ra các đẳng thức và bất đẳng thức
sau:
log log 0 *
0, 1
a a
M N
M N N
a a
*
1
0
log log
0 1
0
a a
a
M N
M N
a
M N
*
1
1
log 0
0 1
0 1
a
aM
M
aM
*
1
0 1
log 0
0 1
1
a
a
M
M
a
M
Các tính chất nầy thường được dùng để giải các phương trình và bất phương trình
logarit.
6. Đồ thị của hàm số logarit:
a 1 * Với :
Bảng biến thiên:
1 0 a x
y x loga
1
0
Đồ thị:
Trang 9
0 1 a * Với
Bảng biến thiên:
1 0 a x
y x loga
0
1
Đồ thị:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC CẦN THƠ
TIỂU LUẬN
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Giảng viên hướng dẫn:
Sinh viên thực tập:
Võ Hoàng Ân
Cần Thơ, tháng 04/2015
Trang 1
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................................................. 3
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: ................................................................................................................... 3
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: .......................................................................................................... 3
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: ...................................................................................................... 3
IV. PHẠM VI NGHIÊM CỨU: ........................................................................................................... 3
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: ................................................................................................. 3
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT..................... 4
A. Tóm tắt về lũy thừa và hàm số mũ: ................................................................................................. 4
B. Tóm tắt về hàm số Logarit: ............................................................................................................. 6
CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ ..................................... 12
II.1 PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ .............................................. 12
II.2 PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA ...................................................................... 13
II.3 PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ............................................................... 14
II.4 PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ..................................................................... 15
TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ............................................................................................................ 15
II.5 PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC ........... 18
II.6 PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA
THAM SỐ.......................................................................................................................................... 19
BÀI TẬP VẬN DỤNG ...................................................................................................................... 20
CHƯƠNG III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ........................ 23
III.1 PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ ............................................. 23
III.2 PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA .......................................................... 24
III.3 PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ............................................................. 26
III.4 PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ................................................................... 28
TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ............................................................................................................ 28
III.5 PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC.......... 30
II.6 PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
CHỨA THAM SỐ ............................................................................................................................. 31
BÀI TẬP VẬN DỤNG ...................................................................................................................... 32
KẾT LUẬN ........................................................................................................................................... 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................................... 37
Trang 2
MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Có thể nói rằng, hàm số mũ và hàm số logarit cùng với các bài toán liên quan đến hai
hàm số này là phần kiến thức khá khó trong phân phối chương trình Toán phổ thông. Khi tìm
hiểu phần kiến thức này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng rất nhiều kiến thức có liên quan để giải
quyết các dạng toán. Nhiều dạng bài tập, thường gặp phải nhiều sai lầm khi giải toán nhưng
mũ và logarit vẫn có những nét đẹp riệng của chúng.
Là sinh viên nghành Toán, tôi nhận thức được cái khó của mũ và logarit và thông qua
tiểu luận này tôi muốn tìm hiểu thêm để phục vụ cho việc giảng dạy ở trường THPT sau này.
Do đó, tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình Mũ và Logarít”. Trong đề tài
này, tôi trình bày sơ lược các kiến thức cơ bản về hàm số mũ và logarit cũng như các dạng
toán điển hình của phần này qua đó tích lũy thêm kinh nghiệm cũng như kiến thức phục vụ
cho việc giảng dạy sau này.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Mục tiêu chính của đề tài mà tôi chọn là có thể tổng hợp tất cả các dạng toán có liên
quan về muc và logarit như tìm tập xác định, tính và rút gọn các biểu thức, chứng minh đẳng
thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình
cũng như các bài toán biện luận.
Tôi hy vọng trong khuôn khổ hạn hẹp của đề tài, tôi có thể giới thiệu đầy đủ các dạng
toán trong phần kiến thức này.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Trong đề tài này, tôi xây dựng xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit mà trong đó
trọng tâm là phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và
logarit. Theo đó, các phương pháp giải các dạng toán trên cũng được tôi đề cập đến trong đề
tài của mình.
IV. PHẠM VI NGHIÊM CỨU:
Phạm vi nghiên cứu của đề tài chỉ xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit đã nêu ở trên
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích và bài tập giải minh họa, tham khảo ý kiến
của cán bộ hướng dẫn.
Trang 3
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ
LOGARIT
A. Tóm tắt về lũy thừa và hàm số mũ:
1. Các phép tính về lũy thừa với hàm số mũ thực:
Định lý: Gọi a, b l;à những số thực dương; x, y là những số thực tùy ý. Ta có:
ax
x y
x y
a a a
a x y
y
a
a
x y
x
ab x a x .b x
a xy
a a
b bx
Chú ý rằng: 1) x0 1, x 0
2) Nếu chỉ xác định với mọi
2. Hàm số mũ:
a. Định nghĩa: Hàm số mũ cơ số a a 0 là hàm số được xác định bởi công thức y a x
x
x
1
Ví dụ: y 2x , y ,...
3
b. Các tính chất:
+ Hàm số y a x liên tục tại mọi điểm x R .
+ a x 0 với mọi x R .
+ Nếu a 1 thì hàm số không đổi trên R : y 1.
+ Nếu a 1 thì hàm số đồng biến trên R .
+ Nếu 0 a 1 thì hàm số nghịch biến trên R .
c. Từ các tính chất đơn điệu của hàm số mũ, ta suy ra với mọi a 0 thì:
a 1
a 1
M , N
M N
M
N
M
N
*a a
* a a
a 1
0 a 1
M N
M N
a 1
x 0
x
* a 1
0 a 1
x 0
a 1
x 0
x
* 0 a 1
0 a 1
x 0
Các tính chất trên thường dùng để giải các phương trình và bất phương trình mũ.
d. Công thức đổi cơ số:
Từ hàm số mũ cơ số a đổi sang hàm số cơ số b ta có công thức:
Trang 4
a x bx logb a
a, b 1
Ví dụ: 2x 3x log 2 ; a x ex ln a ,…
e. Đồ thị hàm số mũ: y a x
* Với a 1 :
Bảng biến thiên:
3
x
0
y ax
1
0
Đồ thị:
* Với 0 a 1:
Bảng biến thiên:
x
y ax
0
1
0
Đồ thị:
Trang 5
Nhận xét rằng:
+ Đồ thị hàm số y a x luôn luôn đi qua điểm A 0,1 .
+ Đồ thị hàm số y a x luôn luôn nằm phía trên trục hoành.
x
1
+ Các hàm số y a và y có đồ thị đối xứng nhau qua trục tung.
a
x
B. Tóm tắt về hàm số Logarit:
1. Định nghĩa:
Cho số thực a 0 và a 0 , logarit cơ số a của một số dương N là một số M sao cho
M
N a . Kí hiệu là log a N .
Ta có: loga N M N aM .
1
1
Ví dụ: log 2 32 5 vì 25 32 ; 32 nên log3 2 .
9
9
2. Tính chất:
+ Cơ số a 0 và a 1.
+ log a N có nghĩa khi và chỉ khi N 0 .
+ loga 1 0 ; loga a 1 ; loga an n .
+ loga aM M , M R ; aloga N N, N 0
Ví dụ:
log2 4 x2 xác định khi và chỉ khi 4 x2 0 2 x 2
x 1 0
x 1
1 x 5
log x1 5 x xác định khi và chỉ khi x 1 1 x 2
x 2
5 x 0 x 5
4
log3 2
3
1
2 ; log5 5 3 ; log 1 16 log 1 4
2
2 2
3
Trang 6
3. Các phép tính về logarit:
Giả sử 0 a 1 ; A, B, N 0 , ta có các công thức sau:
* loga AB loga A loga B
Mở rộng: loga A1.A2 ...An loga A1 loga A2 ... loga An
A
* loga loga A loga B
B
1
Hệ quả: loga loga N
N
* loga N loga N R
1
* loga n N loga N
n
4. Công thức đổi cơ số:
Giả sử 0 a, b 1 ; c, x 0 ta có:
* loga c loga b.logb c
Hệ quả: loga1 a2 .loga2 a3...logan2 an1.logan1 an loga1 an
* loga x
logb x
logb a
* loga x
1
* loga b
a
logb a
* log n a x n loga x
loga x
* log 1 x log a x
* logab x
a
1
1
1
loga x logb x
x 1
5. Hàm số logarit:
a. Định nghĩa: Hàm số logarit cơ số a a 0, a 1 là hàm số xác định bởi công thức
y loga x .
Ví dụ: y log2 x , y log 1 x .
3
b. Các tính chất:
Trang 7
* Hàm số y loga x có tập xác định là 0;
* Hàm số y loga x liên tục tại mọi điểm x 0
* Nếu a 1 thì hàm số y loga x đồng biến trong khoảng 0;
* Nếu 0 a 1 thì hàm số y loga x nghịch biến trong khoảng 0;
* Hàm số y loga x có tập giá trị là R .
c. Từ tính chất đơn điệu của hàm số logarit ta suy ra các đẳng thức và bất đẳng thức
sau:
M N
* log a M log a N N 0
a 0, a 1
a 1
0 M N
* log a M log a N
0 a 1
M N 0
a 1
M 1
* log a M 0
0 a 1
0 M 1
a 1
0 M 1
* log a M 0
0 a 1
M 1
Các tính chất nầy thường được dùng để giải các phương trình và bất phương trình
logarit.
6. Đồ thị của hàm số logarit:
* Với a 1 :
Bảng biến thiên:
x
0
a
1
y loga x
1
0
Đồ thị:
Trang 8
* Với 0 a 1
Bảng biến thiên:
x
y loga x
0
a
1
0
1
Đồ thị:
Nhận xét:
* Đồ thị hàm số y loga x luôn luôn đi qua điểm A 1,0 .
* Đồ thị hàm số y loga x luôn luôn ở beeb phải trục tung.
Trang 9
* Các hàm số y loga x và y log 1 x đối xứng nhau qua trục hoành.
a
* Vì y loga x x a nên các hàm số y loga x và y a x là những hàm số
ngược nên các đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường phân giác y x .
y
Trang 10
Trang 11
CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
II.1 PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
Thường áp dụng các phép tính về lũy thừa hay phép tính về logarit để biến đổi.
Để đồng hóa cơ số hoặc để khử biểu thức mũ chứa ẩn số, ta thường lấy mũ hai vế. Ta
áp dụng các công thức sau:
Với 0 a 1 ta có:
+ aM aN M N
+ loga M loga N M N 0
+ loga N M N aM
Ví dụ 1: Giải phương trình: 52x 625
Giải
Ta có: 5 625 5 5 2x 4 x 2
Vậy nghiệm của phương trình là x 2
Ví dụ 2: Giải phương trình 16x 821x
Giải
2x
2x
4
Ta có: 16x 821 x 24 x 261 x 4x 6 1 x 10x 6 x
3
5
3
5
Vậy nghiệm của phương trình là x
Ví dụ 3: Giải phương trình: 5x1 5x 2x1 2x3
Giải
Ta có:
5x1 5x 2x1 2x3 5.5x 5x 2.2 x 8.2x 4.5x 10.2x
x
1
5 5
x 1
2 2
Vậy nghiệm của phương trình là x 1
Ví dụ 4: Giải phương trình: 4log2 x x 6 0
Giải
Điều kiện: x 0
Khi đó ta có: 4log x x 6 0 2log
2
2
x 2
x 3
x 6 0 x2 x 6 0
x 2
Nhận nghiệm
Vậy nghiệm của phương trình là x 2
Trang 12
Ví dụ 5: Giải phương trình: 2x 22 x 20
Giải
Đặt t 2 0 .
Khi đó phương trình đã cho tương đương với:
x
t 4
t 2 t 20
t 5
Do t 0 nên nhận t 4 .
Suy ra: 2x 4 x 2
Vậy nghiệm của phương trình là x 2
II.2 PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA
Để giải phương trình bằng phương pháp mũ hóa chúng ta phải nắm vững các tính chất đã nêu
ở mục 1. Tuy nhiên trước khi mũ hóa chúng ta cần biến đổi để rút gọn cả hai vế của phương
trình về dạng gọn nhất.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 .2
x
x 1
x 1
72
Giải
Điều kiện: x 1 .
Khi đó, lấy logarit thập phân hai vế ta dược:
x 2
x 1
2
x lg3
lg 2 72 x lg3 x lg108 2lg12 0
x lg12
x 1
lg3
lg12
Vậy nghiệm của phương trình là x 2; x
lg 3
Ví dụ 2: Giải phương trình: x
lg
1
x
10 x
4
Giải
Điều kiện: 0 x 1.
Khi đó phương trình đã cho tương đương với:
4
1
lg x lg10 x x 4 x 4 1 x 1
lg x
So sánh với điều kiện ban đầu, suy ra không có giá trị x thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Trang 13
II.3 PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Nếu một phương trình mũ sau khi rút gọn có dạng f a x 0 trong đó x là một hàm số
theo x ta sẽ đặt t x 0 . Khi đó ta sẽ được phương trình đại số f t 0 , giải phương trình
này nếu có nghiệm t ta sẽ tìm được nghiệm x . Phương pháp này được gọi là phương pháp đặt
ẩn phụ.
1
x
1
x
Ví dụ 1: Giải phương trình: 40 35 25
1
x
Giải
Điều kiện: x 0
1
Chia hai vế của phương trình cho 35 x , ta được:
1
1
7 x
5 x
1
5
7
1
7 x
Đặt t 0 , ta được phương trình:
5
1
1 5
t 1 t 2 t 1 0 t
t
2
1
7
7 x 1 5
x log1 5
Khi đó:
2
5
5
2
Vậy nghiệm của phương trình là x log1
5
2
7
5
Ví dụ 2: Giải phương trình: 101 x 101 x 99
Giải
2
2
10
2 99
10x
2
Đặt t 10x 0 . Khi đó phương trình đã cho tương đương với:
10t 2 99t 10 0 t 10
2
Suy ra 10x 10 x2 1 x 1
Vậy nghiệm của phương trình là x 1 .
Biến đổi phương trình đã cho về dạng: 10.10x
2
3 5
Ví dụ 3: Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn ; của phương trình 4cos2 x 4cos x 3 .
4 2
2
Giải
Trang 14
Áp dụng công thức cos2x 2cos2 1
Biến đổi phương trình về dạng:
2
2
2
2
42cos x
2cos2 x 1
cos2 x
4
4
3
4cos x 3 0 42cos x 4.4cos x 12 0
4
cos2 x
Đặt t 4 ; t 1
Khi đó phương trình tương đương với:
t 6
t 2 4t 12 0
t 2
So sánh với điều kiện ta nhận nghiệm t 2
Suy ra:
x k1 2
1
2
1
4
4cos x 2 4 2 cos2 x
; k1 , k2 Z
3
2
x k 2
2
4
Hay x k 2 ; k Z
4
3 5
Do x ; nên chỉ có k 0; k 1 thỏa mãn.
4 2
3
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x ; x
4
4
II.4 PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG
TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ
Có một số phương trình không thể dùng thuần túy các phương pháp trên, đôi khi cần
phải dùng các tính chất của bất đẳng thức để giải, hoặc phát hiện tập hợp chứa nghiệm rồi thử
nghiệm, hoặc phát hiện nghiệm rồi chứng minh nghiệm đó là duy nhất hoặc sử dụng tính chất
đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x sin x2
Giải
Ta có nhận xét sau:
x
x
0
x 0
2 2 1
2 1
x
2
2
sin
x
2
2
sin x 1
sin x 1 sin 0 1
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x 3x 5x
Trang 15
Giải
Chia hai vế của phương trình cho 5 x ta được:
x
x
2 3
5 5 1 (1)
Nhận thấy rằng x 1 là nghiệm của phương trình đã cho.
Ta sẽ chứng minh x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình này.
Thật vậy:
x
x
2 3
Đặt f x và g x 1
5 5
Dễ dàng thấy rằng f x là hàm nghịch biến và g x là hàm hằng. Do đó đồ thị của hai
hàm số này sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất và điểm đó có hoành độ là x 1 .
Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm là x 1 .
Ví dụ 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng c . Giải các
phương trình:
a. ax bx cx
b. a2x b2x c2x
Giải
a. Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng c nên ta có:
a2 b2 c2
Suy ra x 2 là một nghiệm của phương trình ax bx cx
Ta lại có:
Vì
a
b
1; 1 nên các hàm số
c
c
x
a
c
x
x
b
; nghịch biến.
c
x
a b
Suy ra, f x 1 nghịch biến trên R .
c c
Hay x 2 là ngiệm duy nhất của phương trình ax bx cx .
b. Đặt t 2x . Khi đó phương trình đã cho tương đương với:
at bt ct
Theo câu a phương trình này có duy nhất một nghiệm là t 2
Suy ra 2x 2 x 1.
Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm là x 1 .
Ví dụ 4: Tìm tất cả các cặp số thực x, y thỏa mãn 3
x2 2 x 3 log3 5
4 y y 1 y 3 8 (2)
2
Giải
Trang 16
5 x4 (1) và
Ta có:
3
5 x4 3
3 log3 5 51 y 3 (*)
Với y 3 y y thay vào (2) ta được:
x2 2 x 3 log 5
y 2 3 y 0 3 y 0 (**)
Từ (*) và (**) ta có y 3
x 1 x 3
Thay vào (1) ta được
y 3 y 3
Vậy có hai cặp số thỏa mãn yêu cầu đề bài là 1; 3 và 3; 3 .
Ví dụ 5: Tìm số nguyên x thỏa mãn xx3 1
Giải
Với x 0 : Đây không là nghiệm của phương trình đã cho.
Với x 0 : Lấy logarit thập phân hai vế ta có:
x 3 lg x 0 x 1 do x 3 0
Với x 0 : Nếu x là số nguyên chẵn thì x 3 là số lẻ, suy ra xx3 0 hay phương trình
đã cho vô nghiệm. Do đó x phải là số nguyên lẻ.
Ta thấy x 1; x 3 là hai nghiệm của phương trình.
Xét x 5 x 5 , lúc này:
1
1
x 3
2
x x3 x x 2 2 không thỏa.
5
x
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt là x 1; x 1; x 2 .
*Những lưu ý:
Khi giải các bài toán trắc nghiệm trong phần này chúng ta cần lưu ý một số mẹo nhỏ
như sau để giải nhanh các bài toán trắc nghiệm:
+ Phép thử trực tiếp đối với các dạng câu hỏi trắc nghiệm khách quan tìm tập
nghiệm.
+ Nhận xét xem phương trình đã cho là phương trình cơ bản dạng nào từ đó phán
đoán dạng phương án nhiễu.
+ Việc sử dụng máy tính cầm tay cũng giúp cho chúng ta rất lớn trong dạng bài
tập này. Do đó việc rèn luyện kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay là vô cùng quan trọng
+ Nắm vững các điều kiện có nghiệm của từng dạng phương trình là điều vô
cùng cần thiết, giúp ích cho chúng ta trong quá trình loại bỏ phương án nhiễu.
+ Các ký năng biến đổi phương trình về dạng quen thuộc cúng vô cùng quan
trọng, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững lý thuyết.
+ Các phương pháp giải phương trình đã nêu trên chỉ để giúp chúng ta định
hướng nhanh hơn một số bài tập, từ đó có thể vận dụng vào bài tập trắc nghiệm nhanh hơn.
Trang 17
II.5 PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG
MẪU MỰC
Một số phương trình không thể dung các phép tính về hàm số mũ hoặc dung tính đơn
điệu để giải trực tiếp ta thường chú ý vài cách như sau:
+ Dùng bất đẳng thức để giải: chẳng hạn như giải phương trình dạng A B . Nếu A C
A C
B C
và B C thì phương trình đã cho tương đương với hệ
+ Phát hiện nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất hoặc chỉ có những nghiệm
đó.
+ Có thể sử dụng đồ thị để giải.
Ví dụ 1: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: 3x x 5
Giải
Theo đề bài ta có:
3x x 5 3x x 5 0
Đặt f x 3x x 5 là hàm liên tục trên R.
Ta có:
f 0 4 0
f 2 2 0
1
0
243
Suy ra phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng 5;0 và một
f 5
nghiệm nằm trong khoảng 0;2 .
Vẽ đồ thị của các hàm số y 3x ; y x 5 :
Trang 18
Đồ thị cho thấy các đường cắt nhau tại hai giao điểm nên phương trình đã cho có hai
nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x1 4x x 1
Giải
Theo đề bài ta có:
2x1 4x x 1 2x 2 2x x 1
Thấy rằng x 1 thỏa mãn phương trình nên nó là một nghiệm.
2 x 2
2 2 x 0
Khi x 1 thì
vô lý hay phương trình vô nghiệm.
x 1 0 x 1 0
2 x 2
2 2 x 0
Khi x 1 thì
vô lý hay phương trình vô nghiệm.
x 1 0 x 1 0
Kết luận: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x 1 .
Ví dụ 3: Giải phương trình: 2cos2
x2 x
2 x 2 x
6
Giải
Ta có:
2
x2 x
2 x x
cos
1 2cos
2
6
6
2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương 2x ;2 x ta được:
2x 2 x 2 2x 2 x 2
2 x2 x
1
x x
cos
Suy ra 2cos2
2x 2 x
x0
6
6
2x 2 x 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 0 .
2
II.6 PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG
TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ
Ví dụ: Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm 9x m.3x m 3 0
Giải
x
Đặt u 3 ; u 0 . Khi đó ta đặt f u u 2 mu m 3 (1)
Bài toán trở thành tìm m để bất phương trình (1) có nghiệm u 0 . Điều này xảy ra khi
và chỉ khi:
Trang 19
m2 4m 12 0
0
m 6
m 3 0
m 3
f 0 0 m
S
0
0
2
2
m 3 0
f 0 0
m 6
Vậy giá trị m thỏa mãn yêu cầu là
.
m 3
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Giải phương trình:
a. 4x 3.2x 10 0
c. 51 x 51 x 24
2
b. 3x1 3x 3x1 9477
d. 91 x 31 x 6 0
2
2
e. 2 x 21 x 1
f.
2
2lg x
2
lg x
lg x 1
lg x 1
Bài 2: Giải phương trình:
a. 4log9 x 6.2log9 x 2log3 27 0
b. 4log3 x 5.2log3 x 2log3 9 0
c. 9x 1 36.3x 3 3 0
2
d.
2
3 3
x
5
e. 4x
10
x2 2
1
x
x10
5.2x1
1
x
f. 2.4 6 3.9
Bài 3: Giải phương trình:
3 0
x2 2
6
1
x
x 1
a. 5x.8 x 500
c. 8x 18x 2.27x
1
1
1
b. 49 x 35 x 25 x
x2
d. x2 1 1
e. ln x 3 ln x 1 ln x2 2x 3
Bài 4: Giải phương trình:
a. 4x 8.2x 12 0
Bài 5: Giải phương trình:
a. 42 x 9.22 x 8 0
2
2
lg x1
c. x 1
100 x 1
b. 3lg x 54 xlg3
b. x 1
lg2 x lg x2
d. x2 x 1
Trang 20
x 1
x2
1
3
- Xem thêm -