Tài liệu Tích phân (phương pháp & bài tập có lời giải )

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh TÍCH PHÂN A. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ a; b] . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì: b ∫ f ( x )dx = [ F ( x )]a = F (b) − F (a) b ( Công thức NewTon - Leiptnitz) a 2. Các tính chất của tích phân: a • • • • • Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : anh Tính chất 2: a b a ∫ f ( x )dx = −∫ f ( x)dx a b b ∫ cdx = c(b − a) Tính chất 3: Với c là hằng số thì a Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên [ a; b] và f ( x ) ≥ 0 thì leâ b ∫ f ( x )dx ≥ 0 a Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ a; b] và f ( x ) ≥ g( x ) ,∀x ∈ a;b  b Thì ∫ a • ∫ f ( x )dx = 0 b f ( x )dx ≥ ∫ g( x )dx a Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên [ a; b] và m ≤ f ( x ) ≤ M ( m,M laø hai haèng soá) thì b vaên m(b − a) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a) a • Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ a; b] thì b b b a a ∫ [ f ( x ) ± g( x )] dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx a • Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ a; b] và k là một hằng số thì b b a a ∫ k. f ( x )dx = k.∫ f ( x )dx • Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ a; b] và c là một hằng số thì b ∫ a • c b a c f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên [ a; b] cho trước không phụ thuộc vào biến số , b nghĩa là : ∫ a http://www.anhlevan.tk b b a a f ( x )dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u)du = ... 1 Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : b 1) DẠNG 1: Tính I = ∫ f[u(x)].u' (x)dx bằng cách đặt t = u(x) a Công thức đổi biến số dạng 1: b u (b ) a u(a) ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt (1) Cách thực hiện: anh t = u ( x) ⇒ dt = u ' ( x)dx x=b t = u (b) ⇒ Bước 2: Đổi cận : x=a t = u (a) Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được Bước 1: Đặt b u (b ) a u (a) I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) b 2) DẠNG 2: Tính I = ∫ f(x)dx bằng cách đặt x = ϕ(t) a Công thức đổi biến số dạng 2: b β a α leâ I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt Cách thực hiện: x = ϕ (t ) ⇒ dx = ϕ ' (t )dt x=b t=β ⇒ Bước 2: Đổi cận : x=a t =α Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được Bước 1: Đặt b β a α I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) Chú ý: • • • vaên Nếu f(x) có chứa:  −π π  (a 2 − x 2 )n thì đặt x = a . sin t với t ∈  ;  , hoặc x = a .cos t với t ∈ [0; π] .  2 2   −π π  (a 2 + x 2 )n thì đặt x = a . tan t với t ∈  ; , hoặc x = a . cot t với t ∈ (0; π) .  2 2  n a a hoặc x = . (x2 − a 2 ) thì đặt x = sin t cos t http://www.anhlevan.tk 2 Giải tích 12NC II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần: b Thầy: Lê Văn Ánh b ∫ u ( x).v' ( x)dx = [u ( x).v( x)]a − ∫ v( x).u ' ( x)dx b a a b b ∫ udv = [u.v ]a − ∫ vdu Hay: b a a Cách thực hiện: Bước 1: Đặt anh du = (?)'.dx u = ? ⇒  dv = (coøn laïi ) v ∈ ∫ (coøn laïi) (thöôøng choïn C = 0) b b Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : ∫ udv = [u.v ]a − ∫ vdu a Bước 3: Tính [u.v ] b a b và ∫ vdu a b Chú ý: Giả sử cần tính tích phân ∫ f(x)g(x)dx ta thực hiện a b a leâ vaên Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân du = u/ (x)dx b không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân ∫ vdu phải tính được. a Đặc biệt: b i/ Nếu gặp b b ∫ P(x) sin axdx, ∫ P(x) cos axdx, ∫ e a a ax .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt u = P(x) . a b ii/ Nếu gặp ∫ P(x).ln (ax + b)dx n a b iii/ Nếu gặp ∫e thì đặt u = ln n (ax + b) . b αx . sin axdx , a http://www.anhlevan.tk ∫e αx .cos axdx thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt u = LG . a 3 Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh C. PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN I. TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC 1. Dạng bậc lẻ với hàm sin. Phương pháp chung: Đặt t = cosx khi đó dt = - sinx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo biến t. Chú ý: sin2 x = 1 − cos2 x = 1 − t2 . (sin x)2n+1 = (sin2 x)n . sin x = (1 − t2 )n . sin x π 2 Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I = ∫ cos 2 anh x sin 3 xdx . 0 Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1, x = ⇒ t = 0 2 π 2 ⇒I= ∫ cos Giải 0 2 0 1 x(1 − cos x) sin xdx = −∫ t (1 − t )dt = 2 2 2 1 2. Dạng bậc lẻ với hàm cos. Phương pháp chung: ∫ 0  t3 t5  2 (t − t )dt =  −  = . 3 5 0 15 2 1 4 leâ Đặt t = sinx khi đó dt = cosx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo biến t. Chú ý: cos2 x = sin2 x = 1 − t2 . vaên (cos x)2n+1 = (cos2 x)n .cosx = (1 − t2 )n .cosx π 2 Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I = ∫ cos 5 xdx . 0 Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = π 2 ⇒I= ∫ π 2 cos xdx = 5 0 ∫ Giải π ⇒t=1 2 1 (1 − sin x) cos xdx = 2 2 0 ∫ 0  2t3 t5  8 +  = (1 − t2 )2 dt =  t − .  3 5 0 15 1 3. Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos. Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc Chú ý: 1 + cos 2x 1 − cos 2x ; sin2 x = 2 2 n 1 2n sin x. cos x = sin 2x ; sin x = sin2 x 2 cos2 x = ( http://www.anhlevan.tk 4 ) Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh π 2 Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I = ∫ cos 4 x sin2 xdx . 0 π 2 I= ∫ cos Giải π 2 4 x sin2 xdx = 0 π 2 π 2 1 1 1 cos2 x sin2 2xdx = (1 − cos 4x)dx + ∫ cos 2x sin2 2xdx ∫ ∫ 4 0 16 0 4 0 π π π 2 2 x 1 1 1 sin 3 2x  2 π 2  = (1 − cos 4x)dx + sin 2xd(sin 2x) . = − + sin 4x  =  ∫ ∫  16 64 16 0 8 0 24  0 32 π 2 Ví dụ 4. Tính tích phân I = ∫ 0 dx . cos x + sin x + 1 ( ) Giải x 1 x 2dt ⇒ dt = tg2 + 1 dx ⇒ dx = 2 2 2 2 t +1 π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒ t = 1 2 t = tg Đặt: 1 ⇒I= ∫ 0 1 1 − t2 2t + +1 2 1+ t 1 + t2 4. Dạng liên kết π Ví dụ 5. Tính tích phân I = ∫ 0 2dt = . 1 + t2 1 ∫ 0 anh dt = ln t + 1 t+1 ⇒ I = −∫ π (π − t)dt = sin(π − t) + 1 π π = ∫ 2 0 dt ( sin t t + cos 2 2 ) 2 π ( π ) vaê( n) π dt π dt π t ∫ sin t + 1 − sin t + 1 dt = π∫ sin t + 1 − I ⇒ I = 2 ∫ sin t + 1 0 0 0 t π π π d − π π t π π π dt 2 4 = ∫ = tg − = π. = ∫ 2 0 cos2 t − π 2 2 4 0 4 0 cos2 t − π 2 4 2 4 Vậy I = π . ( ( ) ( Tổng quát: π ∫ 0 http://www.anhlevan.tk = ln 2 . leâ xdx . sin x + 1 Giải Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt Đổi cận: x = 0 ⇒ t = π, x = π ⇒ t = 0 0 1 0 π π xf(sin x)dx = ∫ f(sin x)dx . 2 0 5 ) ) Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh π 2 Ví dụ 6. Tính tích phân I = sin2007 x dx . sin2007 x + cos2007 x ∫ 0 Giải π Đặt x = − t ⇒ dx = −dt 2 π π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = 0 2 2 π 2007 0 sin −t 2 ⇒ I = −∫ dx = π π π sin 2007 − t + cos2007 −t 2 2 2 ( π 2 anh Mặt khác I + J = π 2 I − 3J = ∫ 0 leâ • 2 ∫ sin x + π 6 ) π 6 π 2 ∫ π 2 ⇒ I+J = ∫ 0 cos2007 t dx = J (1). sin2007 t + cos2007 t ∫ 0 sin2 x dx và J = sin x + 3 cos x ∫ 0 π . 4 cos n x π dx = , n ∈ Z+ . n n sin x + cos x 4 π 6 ∫ 0 cos2 x dx . sin x + 3 cos x Giải 2 3 cos x π 6 dx = ∫ (sin x − ( 3 cos x)dx = − cos x − 3 sin x 0 ) π 6 0 = 1 − 3 (1) π 6 dx 1 dx dx = ∫ 2 0 sin x + π sin x + 3 cos x 0 3 π Đặt t = x + ⇒ dt = dx 3 π π π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = 3 6 2 I+J= π 2 (2). Từ (1) và (2) suy ra I = sin x dx = n sin x + cosn x sin x − 3 cos x 0 ( n Ví dụ 7. Tính tích phân I = • π ∫ dx = 2 ) 0 Tổng quát: π 6 ) ( vaên ( π 2 π 2 3 3 ) π 2 ( ) d(cos t) 1 dt 1 sin tdt 1 1 1 1 = ∫ = ∫ = ∫ − d(cos t) 2 2 ∫ 2 π sin t 2 π sin t 2 π cos t − 1 4 π cos t − 1 cos t + 1 3 = 1 cos t − 1 ln 4 cos t + 1 π 2 π 3 3 = 1 ln 3 (2). 4  3 1− 3  I =  I − 3J = 1 − 3 ln 3 + 16 4 . ⇔  Từ (1) và (2) ⇒   1  I + J = ln 3  1 1− 3 ln 3 −  J =  4  16 4 3 1− 3 1 1− 3 Vậy I = ln 3 + , J= ln 3 − . 16 4 16 4 http://www.anhlevan.tk 6 Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh 1 Ví dụ 8. Tính tích phân I = ln(1 + x) dx . 1 + x2 ∫ 0 Giải Đặt x = tgt ⇒ dx = (1 + tg2 t)dt Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t = π 4 ⇒I= ∫ 0 ln(1 + tgt) ( 1 + tg2 t ) dt = 2 1 + tg t π 4 π 4 ∫ ln(1 + tgt)dt . 0 π Đặt t = − u ⇒ dt = −du 4 π π Đổi cận: t = 0 ⇒ u = , t = ⇒ u = 0 4 4 π 4 ⇒I= 0 0 π 4 = ∫ 0 anh π ∫ ln(1 + tgt)dt = −∫ ln  1 + tg ( 4 − u )  du 1 − tgu   ln  1 + du =  1 + tgu  π 4 Ví dụ 9. Tính tích phân I =  π 4 π 4  π 4 π 4 2 π   ln  du = ∫ ln 2du − ∫ ln ( 1 + tgu ) du = ln 2 − I .   1 + tgu  4 0 0 π Vậy I = ln 2 . 8 ∫ 0 leâ cos x dx . x +1 ∫ 2007 π − 4 Giải Đặt x = −t ⇒ dx = −dt π π π π Đổi cận: x = − ⇒ t = , x = ⇒ t = − 4 4 4 4 − π 4 ⇒ I = −∫ π 4 π 4 = cos(−t) dt = 2007−t + 1 4 π 4 = − 4 t 1 π 4 ∫ ( 1 − 2007 1 π − 4 π 4 t +1 ) cos tdt π 4 ∫ cos tdt − I ⇒ I = 2 ∫ cos tdt = ∫ cos tdt = − Tổng quát: 2007 t cos t ∫π 1 + 2007 t dt (1 + 2007 ) − 1 cos tdt = 1 + 2007 t π ∫ − π 4 π 4 − π 4 0 vaên 2 . 2 Với a > 0 , α > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [ −α; α ] thì α f(x) ∫ a x + 1 dx = −α http://www.anhlevan.tk 7 α ∫ f(x)dx . 0 Giải tích 12NC Ví dụ 10. Cho hàm số f(x) liên tục trên » và thỏa f(−x) + 2f(x) = cos x . Thầy: Lê Văn Ánh π 2 Tính tích phân I = ∫ f(x)dx . − Giải π 2 ∫ f(−x)dx , x = −t ⇒ dx = −dt Đặt J = − π 2 π 2 Đổi cận: x = − anh π π π π ⇒t= , x= ⇒t=− 2 2 2 2 π 2 π 2 − π 2 − π 2 Vậy I = − π 2 0 leâ . 2 . 3 Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. * Chú ý: π2 4 Ví dụ 4. Tính tích phân I = ∫ cos xdx . 0 Giải Đặt t = x ⇒ x = t ⇒ dx = 2tdt π2 π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒t= 4 2 2 π 2 π ⇒ I = 2 ∫ t cos tdt = 2 ( t sin t + cos t ) 02 = π − 2 . 0 Vậy I = π − 2 . e Ví dụ 5. Tính tích phân I = ∫ sin(ln x)dx . 1 Giải Đặt t = ln x ⇒ x = e ⇒ dx = e dt Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 0, x = e ⇒ t = 1 t 1 ∫ e t sin tdt = 0 Vậy I = π 2 ∫ f(−t)dt = J ⇒ 3I = J + 2I = ∫ [ f(−x) + 2f(x) ] dx = ∫ cos xdx = 2∫ cos xdx = 2 ⇒I= ⇒I= π 2 t ( sin t − cos t ) e t 2 1 = 0 (sin1 − cos1)e + 1 . 2 (sin1 − cos1)e + 1 . 2 http://www.anhlevan.tk 8 vaên Giải tích 12NC II. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Thầy: Lê Văn Ánh Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 b ∫ Giả sử cần tính tích phân I = f(x) dx , ta thực hiện các bước sau a Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: a x f(x) b Bước 2. Tính I = ∫ + x1 f(x) dx = a x1 0 x2 − 0 x2 + b ∫ f(x)dx − ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx . a x1 x2 2 Ví dụ 1. Tính tích phân I = ∫ anh b x 2 − 3x + 2 dx . −3 Giải Bảng xét dấu −3 x 2 x − 3x + 2 + 1 I= ∫ (x ∫ 2 − 0 2 −3 π 2 Ví dụ 2. Tính tích phân I = 1 0 2 leâ − 3x + 2 ) dx − ∫ ( x 2 − 3x + 2 ) dx = 1 59 . 2 5 − 4 cos2 x − 4 sin xdx . 0 Giải π 2 I= ∫ π 2 4 sin2 x − 4 sin x + 1dx = 0 2 sin x − 1 dx . 0 Bảng xét dấu x I = −∫ ( 2 sin x − 1 ) dx + 0 π 6 0 0 2 sin x − 1 π 6 ∫ vaên π 2 − + π 2 ∫ ( 2 sin x − 1) dx = 2 π 6 3 −2− π . 6 2. Dạng 2 b Giả sử cần tính tích phân I = ∫ [ f(x) ± g(x) ] dx , ta thực hiện a Cách 1. b Tách I = ∫ [ f(x) b ± g(x) ] dx = a ∫ a b f(x) dx ± ∫ g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên. a Cách 2. Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). http://www.anhlevan.tk 9 Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh 2 Ví dụ 1. Tính tích phân I = Cách 1. anh ∫(x − x − 1 ) dx . −1 Giải 2 I= leâ 2 ∫(x − x − 1 ) dx = −1 0 = −∫ xdx + −1 x =− 2 Cách 2. Bảng xét dấu −1 x x x–1 I= x dx − ∫ x − 1 dx −1 2 1 ∫ xdx + ∫ (x − 1)dx − ∫ (x − 1)dx 0 2 2 x + 2 0 −1 1 x  x  2 +  − x  −  − x  = 0 . 2  −1  2 1 2 –1 vaên 0 ∫ −1 2 2 0 2 0 0 – – + – 1 2 1 2 + + 0 1 2 ∫ ( −x + x − 1) dx + ∫ ( x + x − 1) dx + ∫ ( x − x + 1) dx −1 = −x 0 −1 0 1 + (x − x) 0 + x Vậy I = 0 . 1 2 2 1 = 0. 3. Dạng 3 b Để tính các tích phân I = b ∫ max { f(x), g(x) } dx và J = a ∫ min { f(x), g(x) } dx , ta thực hiện các bước a sau: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) = f(x) − g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. + Nếu h(x) > 0 thì max { f(x), g(x) } = f(x) và min { f(x), g(x) } = g(x) . + Nếu h(x) < 0 thì max { f(x), g(x)} = g(x) và min { f(x), g(x)} = f(x) . 4 Ví dụ 1. Tính tích phân I = ∫ max { x 2 + 1, 4x − 2 } dx . 0 Giải Đặt h(x) = ( x 2 + 1 ) − ( 4x − 2 ) = x 2 − 4x + 3 . Bảng xét dấu x h(x) 0 + 1 I= ∫ (x 0 1 0 3 0 – 3 2 + 1 ) dx + 4 ∫ ( 4x − 2 ) dx + ∫ ( x 1 3 Vậy I = http://www.anhlevan.tk 4 + 10 80 . 3 2 + 1 ) dx = 80 . 3 Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh 2 Ví dụ 2. Tính tích phân I = ∫ min { 3 , x 4 − x } dx . 0 Giải Đặt h(x) = 3x − ( 4 − x ) = 3x + x − 4 . Bảng xét dấu x h(x) 1 I= 2 ∫3 0 x dx + ∫ 0 – 2 + 3x 1  x2  2 5 ( 4 − x ) dx = +  4x −  = + . ln 3 0  2 1 ln 3 2 2 anh 1 1 0 Vậy I = 2 5 + . ln 3 2 III. TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ DẠNG HÀM VÔ TỈ. 1.Tích phân dạng: ∫ dx leâ ax 2 + bx + c Cách làm: (với a ≠ 0) Biến đổi ax 2 + bx + c về một trong các dạng ,sau đó thực hiện phép đổi biến tương ứng ta sẽ đưa về việc tính tích phân của hàm hữu tỉ.  π π a) a 2 + t 2 Đặt t = a.tgu (hoặc a.cotgu) với u ∈ − ;  (hoặc u ∈ (0; π) ).  2 2   π π b) a 2 − t 2 Đặt t = a.Sinu(hoặc a.Cosu) với u ∈ − ;  (hoặc u ∈ [0; π] .  2 2  π  π π a a c) t 2 − a 2 Đặt t = (hoặc t = ) với u ∈ [0; π] -   (hoặc u ∈ − ;  - {0} )  2  Cosu Sinu  2 2  Chú ý công thức: ∫ dx x +a 2 = ln x + x 2 + a +C vaên (C là hằng số tuỳ ý) Chứng minh:  t.dx x  x 2 + a ⇒ dt = 1 +  dx = 2 x2 + a x +a  dt dx dx dt = Vậy : ∫ = ∫ = ln t + C = ln x + x 2 + a + C (ĐPCM) Từ đó ta có : 2 2 t t x +a x +a du = ln u + u 2 + a + C (*)Trong đó u = u(x). Với hàm hợp: ∫ 2 u +a Đặt t = x + 3 2 Ví dụ 1:Tính ∫ I = 1 3 2 I = ∫ 1 dx 2x − x 2 dx 1 − ( x − 1) 2 http://www.anhlevan.tk 11 Giải tích 12NC Đặt Thầy: Lê Văn Ánh . Đổi cận: x =1 ⇒ t = 0 x - 1 = sint Π 6 vậy I = cos tdt ∫ 1 − sin t 2 0 3 Ví dụ 2:Tính J = Π 6 = ∫ dt = t Π 6 0 = 0 , x= 3 π ⇒t = 2 6 và dx = cost.dt π 6 dx ∫ 4x + 4x − 3 1 dx = ln x + x 2 + k + C (*) ( Đổi biến số ) Công thức: ∫ 2 x +k 3 3 dx dx Áp dụng công thức (*) ta có: J = ∫ = ∫ 4x 2 + 4x − 3 (2 x + 1) 2 − 3 2 2 2 2 3 3 1 d (2 x + 1) 1 1  7 + 45  . = ln 2 x + 1 + 4 x 2 + 4 x − 3 = ln = ∫ 2 2 (2 x + 1) 2 − 4 2 2  5 + 21  2 1+ 2 2 dx ∫ Ví dụ 3: Tính K = 1+ 2 2 4x 2 − 4x + 3 1 2 = ∫ 1 2 dx (2 x − 1) 2 + 2 Cách 1: Áp dụng công thức (*) ta có: 1+ 2 2 K= ∫ 1 2 anh 1 = ln 2 x + 1 + 4 x 2 − 4 x + 3 2 2 (2 x − 1) + 2 dx Cách 2: Đặt 2x - 1 = 1+ 2 2 = ln 1 + 2 . 1 2 2 tan t Chú ý: leâ Nếu mẫu thức có thể khai căn được thì ta có thể giải bài toán một cách đơn giản hơn như sau: 0 dx Ví dụ 4: Tính M = ∫ 2 −2 4 x − 4 x + 1 0 M= dx ∫ 2x − 1 = −2 dx 1 d (1 − 2 x) 1 ∫−21 − 2 x = − 2 −∫2 1 − 2 x = − 2 ln 1 − 2 x 2.Tích phân dạng: ∫ ( Ax2 + B)dx Với a.A ≠ 0 ax + bx + c Cách làm: 0 0 = 1 = - ln 5 2 −2 0 vaên Tách tích phân đã cho thành hai tích phân có chung mẫu là ax 2 + bx + c ,một tích phân có tử là đạo hàm của tam thức bậc hai,một tích phân có tử là hằng số. ( Ax + B)dx 2ax + b M .dx Tức là tách: ∫ = ∫ dx + ∫ ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c ( x + 4)dx Ví dụ 1:Tính I = ∫ x2 + 2x − 3 http://www.anhlevan.tk 12 Giải tích 12NC Ta có: Thầy: Lê Văn Ánh 1 2 I= ∫ ( 2 x + 2) + 6  1  (2 x + 2)dx 6dx +∫ ∫ = 2  x 2 + 2x − 3 x 2 + 2x − 3  dx = x 2 + 2x − 3 x 2 + 2 x − 3 + 3 ln x + 1 + x 2 + 2 x − 3 + C = 0 ∫ Ví dụ 2:Tính J = −1 0 ∫ Ta có: J = −1 0 1 = 2 ∫ ( x + 2)dx x 2 + 2x + 2 ( x + 2)dx x 2 + 2x + 2 (2 x + 2)dx ( 2 x + 2) + 2 0 ∫ x 2 + 2x + 2 −1 0 x + 2x + 2 dx dx +∫ 2 −1 1 2 = x + 2x + 2 2 −1 0 =  x 2 + 2 x + 2 + ln x + 1 + x 2 + 2 x + 2  = 2 − 1 + ln(1 + 2)   −1 dx 3.Tích phân dạng: ∫ (Với α .a ≠ 0 ) (αx + β ) ax 2 + bx + c 1 Cách làm: Đặt αx + β = chuyển tích phân cần tính về tích phân dạng (a). t 1 dx Ví dụ 1: Tính I = ∫ 2 0 ( x + 1) x + 2 x + 2 1 1 dt và dx = - 2 . Đặt x + 1 = . Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t = t 2 t anh 1 Ta có: I = dt ∫ t +1 2 1 2 3 Ví dụ 2: Tính J = = ln t + t 2 + 1 1 = ln 2(1 + 2) 1+ 5 1 2 dx ∫ ( x − 1) x2 +1 1 t +1 Đặt x -1 = ⇔ x = t t 2 Đổi cận: x = 2 thì t = 1 , x = 3 thì t = 1 2 Tích phân cần tính là: I = ∫ 1 = 1 2 1 ∫ 1 2 − 1  1 t +  + 4  2 http://www.anhlevan.tk 2 = 1  t +1  +1  t  t   1 d t +   2 2 dt t2 = 1 2 ln t + 1 2 1 leâ và dx = 1 ∫ 2 1 2 dt t2 dt t2 + t + 1 + t2 + t + 2 13 1 2 1 1 2 = 1 2 vaên  3 + 10   ln 2  2 + 5  1 Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh ln 2 Ví dụ 3: Tính K = ∫ (1 + e x e dx ) 1 − e x + e2x x = 0 ⇒ t = 1 ; x = ln2 ⇒ t = 2 Đặt t = ex ⇒ dt = exdx. Đổi cận: 2 dt Ta có: K = ∫ 2 1 (1 + t ) 1 − t + t dt 1 du 1 ta có: du = − Đặt u= ⇒ dt = − 2 và t = − 1 2 1+ t u (1 + t ) u 0 Vậy K = 1 1  du −  2  1 2 ∫ 3 1 3 x = 2 1 1  u −  + 2  12  Π 2 Ví dụ 4: Tính N = ∫ Π 6 Π 2 Ta có : N = ∫ Π 6 anh cot gxdx Sin 2 x + 2 Π 2 cot gxdx =N= Sin 2 x + 2 1 2 1 3 leâ Sin 2 x + 2 1 1 N= ∫ Lại đặt u = thì N = 2 t 2 1 t t +2 dt 2 = 4. Tích phân dạng: ∫ 1 ln u + u 2 + 2 f ( x)dx 3 ln 3 6 = cos xdx ∫ Sinx Π 6 1 Đặt t = sin x thì : 2 1 1 1  ln u − +  u −  + 2 2  12 3  1 1 2 2 = 2 ∫ 1 1 u + 2 = 2  2 2 +3   ln 2  2 + 3  1 vaên 1 du Với a ≠ 0 bậc f(x) ≥ 2,f(x) là đa thức. ax 2 + bx + c f ( x)dx dx = g(x). ax 2 + bx + c + λ ∫ Cách làm:Tách ∫ ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c Với g(x) là đa thức , bậc g(x)+1 = bậc f(x). Tìm các hệ số của g(x) và số λ bằng phương pháp hệ số bất định. ( x 2 + 1)dx Ví dụ 1: Tính M = ∫ x 2 + 2x + 3 dx ( x 2 + 1)dx = ( Ax + B ) x 2 + 2 x + 3 + λ ∫ Tách : ∫ 2 2 x + 2x + 3 x + 2x + 3 2 λ ( Ax + B)( x + 1) x +1 Lấy đạo hàm hai vế ta có: = A. x 2 + 2 x + 3 + + 2 2 2 x + 2x + 3 x + 2x + 3 x + 2x + 3 1 3 Đồng nhất hệ số ta có : A = ; B = − ; λ = 1 2 2 dx x−3 2 x−3 2 x + 2x + 3 + ∫ = x + 2 x + 3 + ln x + 1 + x 2 + 2 x + 3 + C Vậy M = 2 2 2 x + 2x + 3 http://www.anhlevan.tk 14 Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh Ví dụ 2: Tính N = ∫ x − x +1 3 dx x2 + 2x + 2 dx x3 − x +1 Ta có : ∫ dx = ( Ax 2 + Bx + C ) x 2 + 2 x + 2 + λ ∫ (1) 2 2 x + 2x + 2 x + 2x + 2 Lấy đạo hàm hai vế của (1) và quy đồng ta có: x3-x +1 = (2A.x+B)(x2+2x+2) +(Ax2+Bx+C)(x-1) +D Đồng nhất hệ số ta có  1 A = 3  3 A = 1  B = −5   A B 5 2 0 + =  6 ⇔  4 A + 3B + C = −1 C = 1 2 B + C + D = 1  6  D = 5 2  dx 1 5 + Vậy có: M = 2x 2 − 5x + 1 x 2 + 2 x + 2 ∫ 2 6 2 x + 2x + 2 ( anh ) ( ) 1 5 2 x 2 − 5 x + 1 x 2 + 2 x + 2 + ln x + 1 + x 2 + 2 x + 2 + C 6 2 0 x(x − 1)( x + 1) dx Ví dụ 3: Tính P = ∫ x 2 + 2x + 2 −1 Để áp dụng được ví dụ 2 ta làm như sau:Tách tích phân cần tính thành hiệu của hai tích phân: 0 0 0 0 x(x − 1)( x + 1) x3 − x + 1 x3 − x dx P= ∫ dx = ∫ dx - ∫ dx = ∫ 2 2 2 x 2 + 2x + 2 −1 −1 x + 2 x + 2 −1 x + 2 x + 2 −1 x + 2x + 2 = 0 =N- dx ∫ = x 2 + 2x + 2 1 4 3 2 − + ln 1 + 2 . = 6 3 2 ( −1 ( leâ ) 1 3 2 x 2 − 5 x + 1 x 2 + 2 x + 2 + ln x + 1 + x 2 + 2 x + 2 6 2 dx 5. Tích phân dạng: ∫ n (ax + b) m (cx + d ) 2 n − m với m, n ∈ N * , a.c ≠ 0 m  ax + b  Cách làm:Đặt t =   ta sẽ đưa về tính tích phân của hàm hữu tỉ.  cx + d  n 1 Ví dụ : Tính I = ∫ 0 dx (3 x + 1) 3 (5 x + 4) Ta thấy m = 3; n = 2 đặt t =  3x + 1     5x + 4  3  3x + 1  ⇒t =   5x + 4  2 2 7 dx 2dt dx  3x + 1  ⇒ 2tdt = 3. ⇒ = 3  . 2 2 (5 x + 4) 21 t  5 x + 4  (5 x + 4) 1 8 Đổi cận: x=0⇒t = ; x =1⇒ t = 8 27 http://www.anhlevan.tk 15 3 ) 0 vaên −1 Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh 1 ∫ Vậy : I = 1 dx (3 x + 1) 3 (5 x + 4) 0 = ∫ 0 8 27 dx (5 x + 4)2  3x + 1     5x + 4  8 27 2dt 4 − 2 2 = ∫ = t 3 dt = − 3 ∫ 3 21 1 7 t 1 21t. t 3 8 8 27 8 ax + b dx Với (a.c ≠ 0 ) cx + d ax + b Cách làm: Cách 1: Đặt t = cx + d Cách 2: Đặt t = cx + d Với cách đặt trên ta sẽ đưa tích phân cần tính thành tích phân đơn giản hơn. 1 1+ x dx Ví dụ :Tính J = ∫ 3− x 0 dx dx ⇒ = −2dt Ta thực hiện theo cách đặt 2: Đặt t = 3 − x ⇒ dt = − 3− x 2 3− x 6. Tích phân dạng: ∫ anh Khi đó x = −t 2 + 3 ⇒ 1 + x = 4 − t 2 1 Vậy J = ∫ 0 2 1+ x dx = − 2 ∫ 4 − t 2 dt 3− x 3 Đặt t = 2siny leâ t= 3⇒y= Đổi cận: π 4 π ; t= 2⇒y= 3 π 4 π π 3 π 1 + cos2 y dy 2 π 4 4 vaên 3 dt = 2.cosydy Vậy : J = −2 ∫ 4 − 4sin2 y .2cosydy = 4.∫ 2cos 2 ydy = 8∫ π 3 π = ( 4 y + 2sin2 y ) 3 π 4 7. Tích phân dạng: ∫ R[x; n u ; m u ]dx = π 3 + 3 −2 Cách làm: Đặt t = k u Với k là BCNN của m và n. 0 Ví dụ1 :Tính I = 1− x +1 ∫1+ −1 3 x +1 dx Đặt t = x + 1 ⇒ t 6 = x + 1(t ≥ 0) ⇒ 6t 5 dt = dx 6 0 I= 1− x +1 ∫1+ −1 3 x +1 1 dx = ∫ 6t 5 0 1− t3 dt 1+ t2 1 6t 6   = ∫  − 6t 6 + 6t 4 + 6t 3 − 6t 2 + 6t + 6 + 2 − 2 dt + + t t 1 1   0 Tích phân này dễ dàng tính được. http://www.anhlevan.tk 16 = 1 8 1 7 Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh x +1 − 2 3 Ví dụ 2 : Tính J = ∫x + 2x + x + 1 + 1 2 0 dx Đặt t = x + 1 ⇒ 2tdt = dx x +1 − 2 3 2(t − 2)tdt ∫0 x 2 + 2 x + x + 1 + 1 1 t 4 + t = Đồng nhất hệ số ta có: A = −2; B = 2; C = −2 J= 2 dx = ∫ Bt + C  2t − 4  A ∫1 t 3 + 1 dt = ∫1  t + 1 + t 2 − t + 1 dt 2 2  1 d t −  2 d (t − t + 1) 2t − 2 2 2 2 = 2 ln + ln t 2 − t + 1 + L dt = 2 ln + ∫ 2 − ∫ 2 Vậy J = − 2 ln t + 1 + ∫ 2 3 1 t − t +1 3 1 1 t − t +1 1 t − t +1 2 Tính L bằng cách đặt t − 2 2 2 1 3 4 π = tgu Ta có đáp số là: I = ln − . 3 3 3 2 2 anh 8.Tích phân dạng: ∫ x r (a + bx p ) q dx s (p,q,r là các phân số) a)Nếu q nguyên đặt x= t với s là BCNN của mẫu số r và p. r +1 b)Nếu nguyên đặt a + bx p = t s với s là mẫu của phân số q. p r +1 c) Nếu +q nguyên đặt ax − p + b = t s với s là mẫu số của phân số q. p dx Ví dụ1 : Tính I = ∫ 4 x ( x − 1) 3 leâ −3 1   4   Viết tích phân cần tính ở dạng sau: I = ∫ = x 1 x − + ∫ 3   dx x (4 x − 1)   4 3 Vì q=-3 nguyên nên đặt x= t ta có dx=4t dt  1   1 1  1 1 4t 3 dt tdt − − I= ∫ 2 = 4∫  + − ln t − 1  + C =4 ∫  dt = 4 − 3 3 3 2 2 t − 1 (t − 1) t −1 t (t − 1) (t − 1)  (t − 1)  2(t − 1)  dx x 5 dx (a − x 2 ) a − x 2 1 2 vaên . Ví dụ 2 : Tính J = ∫ − (a > 0) −3 r +1 5 +1 = = 3 nguyên nên đặt a-x2 = t2 p 2 4 2 2 ⇒ x = (a − t ) ⇒ −2 xdx = 2tdt ⇒ xdx = −tdt Ta có: J = Vậy J = − ∫ 5 2 ∫ x (a − x ) 2 dx Vì (a − t ) tdt Ví dụ 3 : Tính N = 2 2 t3 ∫ 3 = -∫ t 4 − 2at 2 + a 2 1 3 a2 = t at dt − + 2 + +C. 3 t t3 ax − x 3 dx 1 Ta có: N = ∫ 3 ax − x 3 dx = 1 2 ∫ x 3 (a − x ) 3 dx r +1 1 1 vì + q = 1 nguyên nên ta đặt ax −2 − 1 = t 3 hay Do r = ; p = 2; q = p 3 3. http://www.anhlevan.tk 17 Giải tích 12NC a a 3at 2 dt 3 2 2 t x dx − 1 = ⇔ = ⇒ = − x2 t3 +1 (t 3 + 1) 2 Thầy: Lê Văn Ánh 1  3at 2  t 3 dt 3a 1 3 a 2 Vậy N = ∫ − 1dx = ∫ t − 3 =  dt = − ∫ 3 2 (t + 1) 2 2  (t + 1) 2  2 x2 = at a dt a  1  − ∫ 3 (Tích phân này dễ dàng tính được). td  2  = 2 ∫ 2 2(t + 1) 2 t + 1  t + 1 9.Các phép thế Euler: a) Đặt ax 2 + bx + c = ± a .x + t Nếu a >0 b) Đặt ax 2 + bx + c = x.t ± c c) Đặt ax 2 + bx + c = t ( x − x0 ) 1 Ví dụ 1 :Tính M = anh dx ∫ x 2 + 6x + 5 0 Nêú c>0 Nếu x0 là nghiệm của TTB2 a=1 >0 Sử dụng phép thế thứ nhất đặt x 2 + 6 x + 5 = a .x + t = x + t t2 −5 ⇒ x 2 − 6x + 5 = (x + t) 2 ⇔ x = − 2t − 6 2 2(−t + 6t − 5) dx = Suy ra: dt (2t − 6) 2 leâ − t 2 + 6t − 5 x + 6x + 5 = − 2t + 6 x=0⇒t = 5 2 Với x = 1 ⇒ t = 2 3 −1 2 3 −1 Ta có: ∫ I= 5 dt −t +3 −2 Ví dụ 2 :Tính P = (Chú ý rằng x + t > 0 ) 2 3 −1 = - ln − t + 3 5  3− 5   = ln  − 2 3 2   x − x + 3x + 2 ∫ x+ 2 vaên dx x 2 + 3x + 2 Tam thức bậc hai x2+3x+2 có nghiệm là -1.Theo phép thế thứ ba,đặt −5 x 2 + 3 x + 2 = t ( x + 1) ; t ≤ 0∀x ∈ [− 2;−1] ⇒ x + 2 = t 2 ( x + 1) ⇒ x = −2 Khi đó: P = x − x 2 + 3x + 2 ∫ x+ −5 = 1 3 − dt 5 ∫ (t + 1) 3 + 18 3 2 vậy dx = − 2t 2 − 4t ∫ (t − 2)(t − 1)(t + 1) 3 dt 3 − 2 0 − − 2tdt (t 2 − 1) 2 0 dx = x 2 + 3x + 2 0 −t2 + 2 t 2 −1 dt 17 ∫ (t + 1) 2 - 108 3 2 0 − 3 dt ∫ t + 1 dt + 4 3 2 0 − 16 dt ∫ t − 1 dt - 27 3 2   1 5 17 3 16 ln t + 1 − ln t − 1 + ln t − 2  + + =  2 18(t + 1) 108 4 27   6(t + 1) http://www.anhlevan.tk 18 3 − 2 . 0 0 ∫ − dt dt − 2 t 3 2 Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh 7 − 2 dx ∫ Ví dụ 3 :Tính L = − x 2 − 3x + 4 Vì c = 4 >0 có thể sử dụng phép thế thứ hai. −3 Đặt − x 2 − 3 x + 4 = xt + c = xt + 2 0 ∫t Chuyển việc tính tích phân trên về việc tính tích phân −1 dt +1 2 10.Một số bài toán khác: Ngoài các dạng trên thì có những bài có thể áp dụng trực tiếp công thức tích phân,hoặc sử dụng một số phép biến đổi đơn giản.Sau đây là một số ví dụ: −3 dx Ví dụ 1: Tính I1 = ∫ Đặt t = 1 − x −8 x 1 − x 1 Ví dụ 2: Tính I2 = ∫x 3 x + 1dx Đặt t = 3 x + 1 0 7 2 Ví dụ 3: Tính I3 = ∫ dx 3 0 2x + 1 anh Đặt t = 3 2 x + 1 7 2 1 − 1 Có thể trình bày như sau: I3 = ∫ (2 x + 1) 3 d (2 x + 1) = 20 1 Ví dụ 4: Tính I4 = ∫ 0 dx x +1 − x 1 2 Ta có : I4 = ∫ ( x + 1 + x )dx =  3 0 (x + 1)3 + 3 (2 x + 1) 2 3 leâ ∫ = 0 4 − x 2 dx 0 Cách1: Sử dụng phương pháp lấy tích phân từng phần u = 4 − x2 dv = dx Cách 2: Đặt x =2Sint (Vì đây là tích phân dạng 1-b) Đặt Đáp số: 3 + 2Π 3 vaên n Ví dụ 6: Tính ∫ x 2 − a 2 dx m Dùng phương pháp lấy tích phân từng phần với u = x 2 − a 2 ; dv = dx . x 2 a2 x − a2 − ln x + x 2 − a 2 Ta có kết quả là :  2 2 dx Ví dụ 7: Tính ∫ (0 < a ≠ 1) 1+ a x http://www.anhlevan.tk n  m 19 9 4 4 2 2 3 1 x  = 3 3 0 1 Ví dụ 5: Tính 7 2 Giải tích 12NC Đặt t = a ∫ Ví dụ 8: Tính Thầy: Lê Văn Ánh x − 2 ta có: ∫ x.e x dx 1+ e x dx 1+ a x x x.e dx 1+ ex Đặt t = 1 + e x Ta có: ∫ (t > 1) =− 2 2 dt =− ln t + 1 + t 2 + C ∫ 2 ln a 1 + t ln a anh = 2 ∫ ln(t 2 − 1)dt = 2 ∫ ln(t − 1)dt + 2 ∫ ln(t + 1)dt = 2(t − 1) ln(t − 1) + 2(t + 1) ln(t + 1) − 4t + C Vậy : ∫ x x.e dx 1+ e Ví dụ 9: Tính = 2( x − 2) 1 + e x + 4 ln(1 + 1 + e x ) − 2 x + C x ∫ x 2 n +1 dx 1− x2 Đặt t = 1 − x 2 Ta có: ( x < 1) leâ vaên n x 2 n +1 dx 1 x 2 n dx 2 2 n = − ( 1 − t ) dt = − ( −1) k C nk t 2 k dt = ∫ 1− x2 2 ∫ 1− x2 ∫ ∫∑ k =0 2 k +1 2 k +1 n n C nk t k = − ∑ (− 1) C nk + C = ∑ (−1) k +1 (1 − x 2 ) 2 + C ./ 2k + 1 2k + 1 k =0 k =0 muoán hoïc toát tích phaân thì hoïc daïng & ñoïc thaät nhieàu baøi giaûi saün http://www.anhlevan.tk 20