Tài liệu Ths36.001_đặc trưng của các tính chất (d n d z) và (wd z) trong lớp các không gian frechet

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN DUY PHAN ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC TÍNH CHẤT ( D N D Z ) VÀ ( WD Z ) TRONG LỚP CÁC KHÔNG GIAN FRECHET LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2007 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Viết thuê luận văn thạc sĩ [email protected] - 0972.162.399 http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYẾN DUY PHAN ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC TÍNH CHẤT (D N D Z ) VÀ ( WD Z ) TRONG LỚP CÁC KHÔNG GIAN FRECHET Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2007 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Viết thuê luận văn thạc sĩ [email protected] - 0972.162.399 http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Chương 1. Đặc trưng của các tính chất (D N D Z ) và ( WD Z ) 4 trong lớp các không gian frechet 1.1. Một số khái niệm cơ bản. 4 1.2. Đặc trưng của tính chất (DNDZ ) . 7 1.2.1. Tính chất (DNDZ ) và Định lý chẻ tame. 7 1.2.2. Đặc trưng của tính chất (DNDZ ) . 11 1.3. Đặc trưng của tính chất (WDZ ) . 12 1.3.1. Tính chất (WDZ ) và định lý chẻ tame. 12 1.3.2. Đặc trưng của tính chất (WDZ ) . 15 Chương 2. Đặc trưng của các tính chất (D N D Z ) và ( WD Z ) 25 trong lớp các không gian frechet 2.1. Các tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) . 25 2.2. Đặc trưng của các tính chất (DNDZ ) . 27 2.3. Đặc trưng của các tính chất (WDZ ) . 35 2.4. Tính ổn định của các tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) đối với 46 không gian đối ngẫu thứ hai. KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 Viết thuê luận văn thạc sĩ [email protected] - 0972.162.399 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Như đã biết, các bất biến tôpô tuyến tính của các không gian Frechet có vai trò rất quan trọng trong lý thuyết các không gian Frechet, nói riêng, trong các định lý phân rã. Các bất biến tôpô tuyến tính (DN ) và (W) đã được D.Vog giới thiệu và nghiên cứu sâu sắc. Vog đã sử dụng các bất biến tôpô tuyến tính đó để chứng minh định lý phân rã đối với các không gian Frechet trong trường hợp không gian hạch và trường hợp không gian Frechet Hilbert. Đồng thời đã cho đặc trưng đầy đủ của các bất biến tôpô tuyến tính (DN ) và (W) . Từ năm 1990 M.Poppenberg đã giới thiệu và nghiên cứu các tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) trong lớp các không gian Frechet phân bậc. Ông đã giới thiệu khái niệm ánh xạ tuyến tính tame giữa các không gian Frechet phân bậc và thiết lập định lý phân rã trong phạm trù các không gian Frechet phân bậc và các ánh xạ tuyến tính tame. Tiếp theo, trong trường hợp không gian hạch, Poppenberg đã cho đặc trưng đầy đủ của các tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) . Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài : " Đặc trưng của các tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) trong lớp các không gian Frechet ". Theo chúng tôi đề tài này có tính hiện đại và tính thời sự được nhiều người quan tâm nghiên cứu. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu. Luận văn nghiên cứu về đặc trưng của các tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) trong lớp các không gian Frechet phân bậc. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu. Trên cơ sở mục đích đã đặt ra, luận văn tập trung vào các nhiệm vụ sau đây: 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Viết thuê luận văn thạc sĩ [email protected] - 0972.162.399 http://www.lrc-tnu.edu.vn - Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) trong lớp các không gian Frechet phân bậc cùng đặc trưng của các tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) . - Chứng minh chi tiết một số kết quả về các tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) trong lớp các không gian Frechet phân bậc cùng đặc trưng của các tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) . 3. Phương pháp nghiên cứu Để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra chúng tôi đã tiến hành: - Đọc tham khảo các tài liệu trong và ngoài nước, trao đổi, tham khảo và học tập các chuyên gia cùng lĩnh vực nghiên cứu. - Áp dụng các phương pháp truyền thống của giải tích hàm, giải tích hiện đại và các phương pháp của lý thuyết về các bất biến tôpô tuyến tính. Cụ thể ở đây chúng tôi đã kế thừa các kết quả và phương pháp gần đây của Vogt, M.Poppenberg để giải quyết các bài toán cụ thể đã nêu ra ở trên. 4. Bố cục của luận văn. Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1 của luận văn trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) trong lớp các không gian Frechet phân bậc cùng đặc trưng của các tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) . Chương 2 của luận văn cũng là chương cuối với nội dung chính là trình bày chứng minh chi tiết các kết quả của N.V.Khuê, L.M.Hải và B.Đ.Tắc về các tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) trong lớp các không gian Frechet phân bậc cùng đặc trưng của các tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) . Phần cuối cùng của chương này dành cho việc trình bày các kết quả về tính ổn định của các tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) đối với không gian đối ngẫu thứ hai. 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Viết thuê luận văn thạc sĩ [email protected] - 0972.162.399 http://www.lrc-tnu.edu.vn Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. Bản luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, các thầy cô giáo trong trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, trường Cao Đẳng kỹ thuật mỏ Quảng Ninh cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong suốt quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 09 năm 2007 Tác giả Nguyễn Duy Phan 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Viết thuê luận văn thạc sĩ [email protected] - 0972.162.399 http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG 1 ĐẶC TRƢNG CỦA CÁC TÍNH CHẤT (D N D Z ) VÀ ( WD Z ) TRONG LỚP CÁC KHÔNG GIAN FRECHET Trước tiên chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả về các tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) là cơ sở để trình bày đặc trưng của các tính chất (DNDZ ) , (WDZ ) . 1.1. Một số khái niệm cơ bản. 1.1.1. Định nghĩa. Một dãy khớp các không gian lồi địa phương và ánh xạ tuyến tính liên tục là một dãy hữu hạn hay vô hạn f g ×××® E ¾ ¾® F ¾ ¾® G ® ××× sao cho ảnh của ánh xạ tuyến tính vào bằng hạt nhân của ánh xạ tuyến tính ra. 1.1.2. Định nghĩa. Một dãy các không gian lồi địa phương và ánh xạ tuyến tính liên tục có dạng f g 0 ® E ¾ ¾® F ¾ ¾® G® 0 được gọi là dãy khớp ngắn nếu Kerf = {0}, imf = kerg và img = G . f g 1.1.3. Định nghĩa. Dãy khớp ngắn 0 ® E ¾ ¾® F ¾ ¾® G® 0 được gọi là chẻ nếu xảy ra một trong hai điều kiện tương đương sau : i ) f có ngược trái. ii ) g có ngược phải. Khi đó F = E Å G ( Å là tổng trực tiếp tô pô của E và G ). Bây giờ xét phạm trù tame với các vật là các không gian Frechet phân bậc E , F ,... ( trên K = ¡ hoặc £ ), tức là các không gian Frechet được trang bị dãy các nửa chuẩn cố định . 0 £ . 1 £ . 2 £ ... 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Viết thuê luận văn thạc sĩ [email protected] - 0972.162.399 http://www.lrc-tnu.edu.vn xác định tôpô; dãy được gọi là bậc. Các không gian con và không gian thương được trang bị các nửa chuẩn cảm sinh. Các cấu xạ là các ánh xạ tuyến tính tame giữa các không gian Frechet phân bậc. 1.1.4. Định nghĩa. Ánh xạ tuyến tính A : E ® F được gọi là tame nếu tồn tại b ³ 0 và các hằng số cn > 0 ( có thể phụ thuộc vào n ) sao cho Ax n £ cn x với mọi n ³ 0 và x Î E . n+b 1.1.5. Định nghĩa. Ánh xạ tuyến tính A : E ® F được gọi là đẳng cấu tame nếu A là song ánh và A, A - 1 đều là tame. Hai bậc trên E được gọi là tương đương tame nếu phép đồng nhất là đẳng cấu tame. 1.1.6. Định nghĩa. Dãy khớp ngắn các không gian Frechet phân bậc i q 0 ® E ¾ ¾® F ¾ ¾® G® 0 được gọi là khớp tame nếu các ánh xạ chính tắc i : E ® iE và q%: F / iE ® G là các đẳng cấu tame. 1.1.7. Định nghĩa. E được gọi là tổng trực tiếp tame của F , nếu tồn tại các ánh xạ tuyến tính tame i : E ® F và L : F ® E sao cho L o i là phép đồng nhất trên E . Với mỗi j Î E ¢ ta định nghĩa j * n = sup {j (x ) : x U n = {x Î E : x n n £ 1}Î ¡ È {+ ¥ }, £ 1}, U n0 = {j Î E ¢: j * n } £ 1 . Các không gian Frechet sau đây là các không gian phân bậc một cách & & tự nhiên, tức là không gian dãy Kothe l p (a ) và không gian các chuỗi luỹ thừa kiểu hữu hạn L ¥p (a ) : l p (a ) = {x = (x j )¥j = 1 Î K ¥ : x n < + ¥ , " n }, 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Viết thuê luận văn thạc sĩ [email protected] - 0972.162.399 http://www.lrc-tnu.edu.vn 1/ p x n æ¥ ö p ÷ = çççå x j a jp,n ÷ ÷ ÷ çè j = 1 ø x n = sup j = 1,2,..., ¥ nếu 1 £ p < + ¥ , x j a j ,n nếu p = ¥ , trong đó a = (a j ,n )¥j = 1,n = 0 là ma trận thoả mãn 0 £ a j ,n £ a j ,n + 1 với mọi j , n và sup a j ,n > 0 với mọi j . n Đối với dãy bất kỳ 0 £ a 1 £ a 2 £ ... Z + ¥ , L ¥p (a ) = l p (a) với a j ,n = e na j . Đối với e > 0 bất kỳ, s ep = L ¥p (e log j ) = l p (a ) với a j .n = j en , l (a ) = l 1(a ), L ¥ ( a ) = L 1¥ ( a ), s e = s e1, s = s1 . Ta trang bị cho w = K ¥ (tương ứng (s ep ) ¥ ) các bậc n x n = å i= 1 x i (tương ứng (x 0, x 1,...) n = { n å i= 1 x i n , x i Î s ep ). } Trang bị cho D [a, b]= f Î C ¥ ( ¡ ) : supp f Í [a, b ] với bậc f n = sup sup f (i ) (x ) . i = 0,n x Î [a ,b] Nếu H là không gian Frechet và  . 1   . 2  ...   .n  ... là hệ tăng các nửa chuẩn liên tục trong H , H k là không gian Banach kết hợp với nửa chuẩn . k ; wk : H ® H k và wn ,k : H n ® H k (n > k ) là các ánh xạ chính tắc. Tương tự , nếu E là không gian Frechet phân bậc thì ta ký hiệu En là không gian Banach kết hợp với nửa chuẩn . n , tức là không gian nhận được bằng cách bổ sung (E / ker . n ) đối với . n . Ký hiệu s không gian các dãy giảm nhanh với hệ các nửa chuẩn tương đương: x k = sup {x j j k : j Î ¥ } với mọi x = (x 1, x 2,...) Î s . 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Viết thuê luận văn thạc sĩ [email protected] - 0972.162.399 http://www.lrc-tnu.edu.vn Với mỗi k cố định đặt: sk = {x = (x 1, x 2,...) Î s : x k = sup x j j k < + ¥ }. 1.1.8. Định nghĩa. Cho E là không gian Frechet phân bậc. i ) Cho e > 0 bất kỳ, E được gọi là (e) - hạch tame nếu E đẳng cấu tame với không gian con của (s e2 )¥ . ii ) E được gọi là hạch tame nếu tồn tại e > 0 sao cho E là (e) - hạch tame, hoặc tương đương: tồn tại e > 0, q ³ 0 và các hằng số ck ,m > 0 sao cho an (E k + m ® E k ) £ ck ,m (n + 1)- e(m - q ) với mọi m ³ q, k ³ 0 và n ³ 0 , ở đó an (k , k + m ) = an (E k + m ® E k ) là các số xấp xỉ của các ánh xạ chính tắc E k + m ® E k . Với không gian tuyến tính E bất kỳ và các tập con tuyệt đối lồi A Ð B Ð E ta ký hiệu dn (A, B ) := inf {d(A, B , F ) : F Ð E , dimF £ n } là số Kolmogorov thứ n , mà trong đó với bất kỳ không gian con F Ð E d(A, B , F ) = inf {d > 0 : A Ð dB + F } 1.2. Đặc trƣng của tính chất (D N D Z ) . 1.2.1. Tính chất (D N D Z ) và Định lý chẻ tame. Trong [11], [15] D.Vog đã chứng minh rằng không gian Frechet hạch E đẳng cấu tôpô với không gian con của s nếu E có tính chất (DN ) , tức là . n2 £ . n - 1 . . n + 1 với mọi n . Trong trường hợp này, với mỗi 0 £ i £ n và k ³ 0 ta có . kn + i £ . kn - i . . in + k , từ đó bằng cách lấy minimum theo r với mọi r > 0 ta nhận được 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Viết thuê luận văn thạc sĩ [email protected] - 0972.162.399 http://www.lrc-tnu.edu.vn . n £ r i . n- i + 1 . n+k , rk và theo định lý song pô la với mọi r > 0 ta có U n0 Ð r iU n0- i + 1 0 Un + k . rk 1.2.1.1. Định nghĩa. Cho E là không gian Frechet phân bậc . Ta nói rằng E có tính chất (DNDZ ) Nếu tồn tại b, p ³ 0 và các hằng số cn > 0, cn ,k > 0 sao cho æn - b ö ÷ U n0 Ð cn ççç I r i + pU n0- 1 ÷ ÷+ èi = - p ø÷ æ¥ C n ,k 0 ö÷ çç I k - p U n + k ø÷÷÷. èçk = p r Khi b = p = 0 , E gọi là có tính chất (DND ) . 1.2.1.2. Mệnh đề [5]. Nếu không gian Frechet phân bậc E đẳng cấu tame với không gian con phân bậc của L ¥ (a ) thì E có tính chất (DNDZ ) . 1.2.1.3. Mệnh đề. Giả sử i q 0 ¾ ¾® L ¥¥ (a ) ¾ ¾® E%¾ ¾® E ¾ ¾® 0 là dãy khớp tame các không gian Frechet phân bậc và E có tính chất (DNDZ ) . Khi đó dãy khớp là chẻ tame, tức là q có ngược phải tame. Chứng minh. Bỏ đi một số hữu hạn các nửa chuẩn trong E% và trang bị cho E các nửa chuẩn thương, ta giả sử với x Î L ¥¥ (a ) và y Î E : x n £ ix n , y n = inf {x n : x Î E%, qx = y }, và E có tính chất (DNDZ ) với b = 0 , tức là với n ³ 0, r > 0 æn + p ö U n0 Ð cn çç I cm ,n r n + p - mU m0 ÷ + ÷ ÷ çèm = 0 ø æ ¥ ö n + p- m 0÷ çç ÷ c r U m ÷. çèm =In + p m ,n ÷ ø Theo định lý Hahn - Banach ta thác triển hàm toạ độ thứ f j Î L ¥¥ (a )¢, f j (x ) = x j tới hàm Fjn Î E%¢ sao cho Fjn * n j = e - n a j . Chọn 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Viết thuê luận văn thạc sĩ [email protected] - 0972.162.399 http://www.lrc-tnu.edu.vn G jn Î 2e - na j U n0+ 1 Ð E ¢ sao cho G jn o q = Fjn + 1 - Fjn , và chọn 1 £ ck £ ck + 1 với Dm := 2m - p cmm sup k cm ,k < +¥ . ck Áp dụng điều kiện (DNDZ ) trên G jn với r = 1 aj e , ta chọn gnj Î E ¢ sao 2cn + 1 cho gnj * m £ Dm 2- n e G jn - gnj ¥ Chuỗi g j := å * m ( p + 1- m ) a j £ Dm 2- n e với mọi m £ n + p , ( p + 1- m ) a j với mọi m > n + p . g nj hội tụ trong E ¢, nên ta đặt n= 0 0 m+1 j j j := Fj + (gj o q) = F íïï m - ì å (G jn - gnj ) ïîï n = 0 ü n ïï g å j ýï o q . n= m+1 ï þ ¥ Ta có j * j m + p+ 1 £ e - ( m + 1) a j ¥ + Dm + p + 1 å 2- n e - maj £ (1 + 2Dm + p + 1 )e - maj . n= 0 Ta định nghĩa ánh xạ j : E%® L ¥¥ (a ) , xác định bởi j x = (j j x )¥j = 1 , và nhận được jx m = sup j j x e maj 1£ j £ ¥ £ (1 + 2Dm + p + 1 ) x m + p+ 1 . Từ đó, j là ngược trái tame của i . 1.2.1.4. Hệ quả. Nếu E có tính chất (DNDZ ) và L ¥ (a ) là hạch thì mỗi dãy khớp tame 0 ® L ¥ (a ) ® E%® E ® 0 đều chẻ tame. 1.2.1.5. Mệnh đề. Giả sử không gian Frechet phân bậc E là hạch và có tính chất (DNDZ ) . Khi đó E là hạch tame. 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Viết thuê luận văn thạc sĩ [email protected] - 0972.162.399 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh. Giả sử E có tính chất (DNDZ ) với b = 0 . Ký hiệu B k = U k0 và lấy 1 £ k + p £ m . Khi đó với mọi r > 0 ta có æ 1 ö B k Ð cl ,k ,m ççr k - l + pB l + m - k - p B m ÷ . ÷ è ø r Lấy F Ð E ¢ là không gian con và d > d(Bl , B m ; F ) . Khi đó æ 1 ö B k Ð cl ,k ,m ççr k - l + pd + m - k - p ÷ B + F với mọi r > 0 , ÷ è ø m r Từ đó æ 1 ö d (B k , B m ; F ) £ cl ,k ,m ççr k - l + pd (B l , B m ; F ) + m - k - p ÷ ÷. è ø r Lấy minimum theo tất cả r > 0 ta nhận được d(B k , B m ; F )m - 1 £ cl,k ,md(Bl , B m ; F )m - k - p . (*) Nói riêng, với mọi n ³ 1, k ³ q ³ p ta nhận được d(B k , B k + nq ; F )nq + q £ ck ,nd(B k - q , B k + nq ; F )nq- p £ ck , nd (B k - q , B k ; F )nq- p d (B k , B k + nq ; F ) nq - p . Từ đó suy ra với mọi n ³ 1, k ³ q ³ p ta có d (B k , B k + nq ; F ) £ ck , nd (B k - q , B k ; F ) nq - p p+ q (**) Theo (*) với mọi k ³ q ³ p và m ³ p ta có d(B k , B k + m ; F )k + m - q £ ck ,md(Bq , B k + m ; F )m - p £ ck ,m d (B q , B k ; F )m - p d (B k , B k + m ; F )m - p . Thêm nữa, với mọi k ³ q ³ p và m ³ p ta có d (B k , B k + m ; F ) £ ck , m d (B q , B k ; F ) m- p k - q+ p (***) ék ù Từ (**) và (***) với q ³ p , k ³ 3p + 3q, m ³ p với n := ê ú ta nhận được êëq úû 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Viết thuê luận văn thạc sĩ [email protected] - 0972.162.399 http://www.lrc-tnu.edu.vn d ( B k , B k + m ; F ) £ ck , m d ( B q , B k ; F ) £ ck ,m d (B 0, B q ; F ) m- p k - q+ p £ ck ,m d (B q , B nq ; F ) m - p k - p - 2q × k - q+ p p+ q m- p k - q+ p £ ck ,m d (B 0, B q ; F ) 1 m- p × 2 q+ p . Lấy infimum của vế trái theo tất cả F Ð E ¢ với dimF £ n ta nhận được d n ( B k , B k + m ) £ ck , m d n ( B 0 , B q ) m- p 2q + 2 p với q ³ p , k ³ 3p + 3q, m ³ p . Sử dụng tính hạch của E ta chọn q ³ p với dn (B 0, Bq ) £ c(n + 1)- 2 . Đặt e = 1 . Khi đó với k ³ 0 và m ³ 6p + 5q ta được p+q an (k, k + m ) £ (n + 1)dn (U k + m ,U k ) £ (n + 1)2dn (U k0,U k0+ m ) 2 £ ck ,m (n + 1) (n + 1) æm - 4 p - 3q ö ÷ ÷ - çç ÷ ÷ çè p + q ø £ ck ,m (n + 1)- e(m - 6 p - 5q ) . 1.2.2. Đặc trƣng của tính chất (D N D Z ) . 1.2.2.1. Bổ đề [12 và 18]. Với mỗi e > 0 tồn tại dãy khớp tame 0 ® s e ® s e ® (s e ) ¥ ® 0 1.2.2.2. Định lý. Nếu E là không gian Frechet phân bậc (e) - hạch tame có tính chất (DNDZ ) thì E đẳng cấu tame với không gian con phân bậc của s e . Chứng minh. Do bổ đề 1.2.2.1 tồn tại dãy khớp tame 0 ® s e ® E%® E ® 0 với không gian con phân bậc E% của s e . Áp dụng hệ quả 1.2.1.4 ta có điều phải chứng minh. 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Viết thuê luận văn thạc sĩ [email protected] - 0972.162.399 http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2.2.3. Định lý. Với mỗi không gian Frechet hạch phân bậc E , các mệnh đề sau là tương đương: i ) E có tính chất (DNDZ ) . ii ) Tồn tại e > 0 sao cho E đẳng cấu tame với không gian con phân bậc của s e . iii ) E là hạch tame và mỗi dãy khớp tame i q 0 ¾ ¾® L ¥¥ (a ) ¾ ¾® E%¾ ¾® E ¾ ¾® 0 là chẻ tame. Chứng minh. i ) Þ iii ) do định lý 1.2.1.3 và mệnh đề 1.2.1.5. iii ) Þ ii ) do bổ đề 1.2.2.1. ii ) Þ i ) do mệnh đề 1.2.1.2. 1.3. Đặc trƣng của tính chất ( WD Z ) . 1.3.1. Tính chất ( WD Z ) và định lý chẻ tame. 1.3.1.1.Định nghĩa. Cho E là không gian Frechet phân bậc . Ta nói rằng E có tính chất (WDZ ) Nếu tồn tại b, p ³ 0 và các hằng số cn > 0, cn ,k > 0 sao cho với mọi n ³ b + p và r > 0 æn - b i - p ö ç ÷ U n Ð cn ççI r U n - 1 ÷ + ÷ ÷ èi = p ø æ ¥ C n ,k ö÷ çç ÷. çèk I= - p r k + p U n + k ø÷ ÷ Khi b = p = 0 , E gọi là có tính chất (WD ) . 1.3.1.2. Mệnh đề. Nếu không gian Frechet phân bậc E đẳng cấu tame với không gian thương phân bậc của L ¥p (a ) thì E có tính chất (WDZ ) . 1.3.1.3. Mệnh đề. Giả sử i q 0 ® E ¾ ¾® G ¾ ¾® H® 0 là dãy khớp tame các không gian Frechet phân bậc và E có tính chất (WDZ ) , H đẳng cấu tame với không gian con của L ¥ (a ) . Khi đó dãy khớp là chẻ tame, tức là q có ngược phải tame. Chứng minh. 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Viết thuê luận văn thạc sĩ [email protected] - 0972.162.399 http://www.lrc-tnu.edu.vn Giả sử E Í G và H Í L ¥ (a ) là các không gian con phân bậc và E có tính chất (WDZ ) với b = 0 , tức là với mọi n ³ p và mọi r > 0 ta có æn - p n - p - m ö U n Ð çç I r Um ÷ + ÷ ÷ çèm = 0 ø æ ¥ ö n - p- m ÷ çç ÷ c r U . I m , n m ÷ çèm = n - p ÷ ø Ký hiệu . n , . n theo thứ tự là bậc của L 1¥ (a ) , L 2¥ (a ) và . n: là bậc cảm sinh bởi các nửa chuẩn thương trên H . Chọn b, d cố định sao cho với y Î H bất kỳ, ta có y : n £ cn¢ y n + b £ cn¢ y n + d và å e - 2d a j < +¥ , j do đó x n £ c ¢x n + d , x Î L ¥ ( a ) . Ký hiệu H n là là bao đóng của H trong l 2(e p n : l 2 (e na j na j ) = {x = (x 1, x 2,...) : x n < + ¥ }, ) ® H n là phép chiếu chính tắc; E n , G n (tương ứng H%n ) là bổ sung của E ,G (tương ứng H ) đối với . Gn (tương ứng . n: ) và nhận được dãy khớp in qn 0 ® En ¾ ¾ ® Gn ¾ ¾¾ ® H%n ® 0 . Ký hiệu e j Î L ¥ (a ) là véc tơ đơn vị thứ n , và chọn d jn Î G n sao cho qnd jn = pn + be j , d jn n £ cn¢e ( n + b) a j . Đặt R nx = ¥ å x jd jn , x Î L ¥ (a ) . j=1 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Viết thuê luận văn thạc sĩ [email protected] - 0972.162.399 http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta nhận được R n Î L(H ,Gn ) , R n x £ cn¢ x n + b . n Vì qn o R n = id , nên ta có S n := R n + 1 - R n Î L(H , E n ) và S n Î L (H n + b + d + 1, E n ) , bằng cách thác triển liên tục đến H n + b+ d + 1 . Đặt T n = S n o p n + b + d + 1 . Khi đó T jn = T ne j , và T jn Chọn (n + a )a j T%jn Î cn¢¢e Un Í E £ cn¢¢e n sao (n + a )a j , a := b + d + 1 . T jn - T%jn £ 2- n , cho 1 £ cn £ cn + 1 sao cho Dm := 2m + p cmm ++ pp + 1 sup n cm ,ncn¢¢ < +¥ , cn và chọn m ³ 0. a Áp dụng điều kiện (WDZ ) cho T%jn với r = (2cne j )- 1 , ta được t jn Î E : t jn m £ 2- n Dme T%jn - t jn ¥ Từ đó, t j = (m + a + p )a j £ 2- n Dme m với mọi m < n - p, (m + a + p )a j với mọi m ³ n - p . (t jn + (T jn - T%jn )) hội tụ trong E n . å n= 0 Đặt ¥ 0 Rx = R x + å x Î H Í L ¥ (a ) ta nhận được R Î L (H ,G 0 ) . t jx j , j=1 Vì Rx = R m + p+ 1 m+p x- å n T x+ n= 0 = R å t jx j j=1 æm + p n x - å çççå (T%j - T jn ) èn = 0 j=1 ç m + p+ 1 nên ta có Rx ¥ m ¥ £ cm¢+ p + 1 x m + a+ p ö n n n ÷ % ÷ ( t + ( T T )) x , å j j j ÷ ÷ j ø n = m + p+ 1 ¥ + 3Dm x m +a+ p , x Î H . Từ đó, R x Î G m với mọi m và ta có ánh xạ tuyến tính tame R : H ® G sao cho q o R = id . 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Viết thuê luận văn thạc sĩ [email protected] - 0972.162.399 http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.3.1.4. Hệ quả. Nếu E có tính chất (WDZ ) , H là hạch và có tính chất (DNDZ ) , thì mỗi dãy khớp tame 0 ® E ® G ® H ® 0 đều là chẻ tame. 1.3.2. Đặc trƣng của tính chất ( WD Z ) . 1.3.2.1. Mệnh đề. Cho E là không gian Frechet hạch phân bậc. i ) Nếu E có tính chất (DNDZ ) , thì tồn tại dãy khớp tame 0 ® E ® s e ® F ® 0, F Í s d không gian con phân bậc. ii ) Nếu E có các tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) , thì E là tổng trực tiếp tame của s e , e > 0 . Chứng minh. Theo định lý 1.2.2.2 tồn tại dãy khớp tame p 0 ® E ® s t ¾ ¾® Q ® 0, t > 0. Vì Q là hạch tame nên tồn tại dãy khớp tame q 0 ® s d ® F ¾ ¾® Q ® 0, F Í s d không gian con phân bậc, d > 0 . Đặt H = {(x , y ) Î F ´ s t : qx = py } ta nhận được các dãy khớp tame i2 p1 0 ® E ¾ ¾® H ¾ ¾¾ ® F ® 0, i1 p2 0 ® sd ¾ ¾ ® H ¾ ¾¾ ® st ® 0 . Như vậy, ta có đẳng cấu tame H @ s d ´ s t @ s min( d, t ) . Từ đó suy ra i ) . Cuối cùng định lý chẻ 1.3.1.3 suy ra ii ) . 1.3.2.2. Hệ quả. Nếu E là không gian Frechet hạch phân bậc có tính chất (DNDZ ) , thì tồn tại dãy khớp tame 0 ® E ® s e ® s e ® 0, e > 0. Chứng minh. 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Viết thuê luận văn thạc sĩ [email protected] - 0972.162.399 http://www.lrc-tnu.edu.vn Không gian F xuất hiện trong mệnh đề 1.3.2.1 có tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) , nên F đẳng cấu tame với L ¥ (a ) . Vì F Í s d và s d đẳng cấu tame với không gian con phân bậc của F , nên suy ra F đẳng cấu tame với s d, d ³ e . Từ đó thay ánh xạ q ´ id : s e ´ s e ® s d ´ s e đối với ánh xạ q : s e ® s d , ta nhận được dãy khớp tame cần tìm. 1.3.2.3. Định lý. Với mỗi không gian Frechet phân bậc E , các mệnh đề sau là tương đương: i ) E có tính chất (DNDZ ) và (WDZ ) . ii ) E đẳng cấu tame với không gian các chuỗi luỹ thừa kiểu hữu hạn L ¥ (a ) . iii ) E là tổng trực tiếp của s e , e > 0 nào đó. iv ) E đẳng cấu tame với không gian với không gian con phân bậc của s e , e > 0 , và đẳng cấu tame với không gian thương của s d, d > 0 nào đó. Bây giờ chúng ta sẽ giới thiệu điều kiện (WD *Z ) của dãy khớp tame, là điều kiện đủ đối với (WDZ ) - tính chất ba không gian. Chú ý rằng trong chứng minh đặc trưng của không gian thương của s trong trường hợp tôpô, 'tính chất ba không gian" đã được áp dụng cho dãy tiêu chuẩn [19] 0 ® s ® E%® E ® 0 j 1.3.2.4. Định nghĩa. Cho 0 ® F ® E%¾ ¾® E ® 0 là dãy khớp các không gian Frechet phân bậc, U n := {x Î E%: x n £ 1}. i ) Dãy khớp ( hoặc j ) có tính chất (WD *Z ) , nếu tồn tại s ³ 0 và các hằng số cn > 0 sao cho với mọi n ³ s, k ³ - s và cn ,k > 0 tồn tại c% n ,k > 0 sao cho với mọi 0 < r < 1 thì (*) và (**) xảy ra: 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Viết thuê luận văn thạc sĩ [email protected] - 0972.162.399 http://www.lrc-tnu.edu.vn æn i - s ö ÷ ç r j ( U ) Í c j r U ÷ ç I n- i n n - i ÷, çèIi = 1 ø i= 0 (*) æ ¥ c%n ,k ö cn ,k ç j ( U ) Í j U ÷ çç I k + s n + k ÷ Ik = 0 r k n + k ÷. èk = - s r ø (**) n i ¥ ii ) Dãy ( hoặc j ) có tính chất (WD * ) , nếu với s = 0 (*) và (**) xảy ra với mọi r > 0 . j 1.3.2.5. Mệnh đề. Cho 0 ® F ® E%¾ ¾® E ® 0 là dãy khớp tame các không gian Frechet phân bậc. Dãy có tính chất (WD *Z ) , E và F có tính chất (WDZ ) . Khi đó E% cũng có tính chất (WDZ ) . Chứng minh. Giả sử {U n }n Ð E% . Ta xét dãy tương đương tame {U n Æ F }n Ð F , tương ứng {j (U n )}n Ð E , và giả sử F có tính chất (WDZ ) với b = 0 và q , E với b = 0 và p . Lấy p ³ s + p + q, 0 < r < 1, x Î U n . Áp dụng tính chất (WD *Z ) cho n - p , ta nhận được æn i- p ö ÷ j (x ) Î j (U n ) Í cn ççI r j (U n - i )÷ + ÷ ÷ çèi = p ø æ ¥ cn , k ö÷ çç j ( U ) I k + p n + k ø÷÷÷ èçk = - p r æn - p i - s ö æ ¥ c%n ,k ö ÷ ÷ ç çç I Í c%n j ç I r j (U n - i - p )÷ + j j ( U ) n - p+ k ÷ ÷ ÷ èç i = s ø èçk = - s r k + s ø æ n ö æ ¥ ö÷ c%n ,k çç ÷ = c%n j ççç I r i - s - pj (U n - i )÷ + j j ( U ) I k + s + p n + k ø÷÷÷. ÷ ÷ èi = s + p ø èçk = - s - p r Từ đó, ta được x = a + b + z với z Î F , và n I a Î c%n ( r i - s - p- q U n - i ) , i= s + p+ q ¥ bÎ I c%n ,k k + s + p+ q k = - s - p- q r Un + k , 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Viết thuê luận văn thạc sĩ [email protected] - 0972.162.399 http://www.lrc-tnu.edu.vn