Tài liệu Thiết kế các hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng ở lớp 11 theo định hướng phát triển năng lực

Header Page 1 of 161. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Nguyễn Thị Phƣơng Nga THIẾT KẾ CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC THUỘC CHỦ ĐỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Ở LỚP 11 THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội - 2016 Footer Page 1 of 161. Header Page 2 of 161. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Nguyễn Thị Phƣơng Nga THIẾT KẾ CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC THUỘC CHỦ ĐỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG LỚP 11 THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC Chuyên nghành: Phƣơng pháp dạy học Toán KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. PHẠM THỊ DIỆU THÙY Hà Nội - 2016 Footer Page 2 of 161. Header Page 3 of 161. Lời cảm ơn Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phương pháp dạy học và các bạn sinh viên trong khoa. Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô trong tổ phương pháp dạy học và đặc biệt là cô giáo Phạm Thị Diệu Thùy- người đã định hướng, chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thiện khóa luận tốt nghiệp này. Do thời gian và kiến thức có hạn, khóa luận không tránh khỏi có những hạn chế và thiếu sót nhất định. Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Phƣơng Nga Footer Page 3 of 161. Header Page 4 of 161. Lời cam đoan Tên em là: Nguyễn Thị Phương Nga Sinh viên lớp: K38D- Sư phạm Toán Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em dưới sự chỉ đạo của giáo viên hướng dẫn. Và nó không trùng với kết quả của bất cứ tác giả nào khác. Hà Nội, tháng 5 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Phƣơng Nga Footer Page 4 of 161. Header Page 5 of 161. Mục lục Lời mở đầu ......................................................................................................1 Chƣơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn............................................................3 1.1 Năng lực và năng lực Toán học ...........................................................3 1.2 Định hƣớng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông ........................................................................................5 1.3. Dạy học khái niệm toán học ở trƣờng phổ thông .............................7 1.3.1. Đại cƣơng về định nghĩa khái niệm .............................................7 1.3.2. Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm ................ 11 1.3.3. Một số hình thức định nghĩa khái niệm thƣờng gặp ở trƣờng phổ thông ............................................................................................... 12 1.3.4. Các quy tắc định nghĩa khái niệm ............................................ 14 1.3.5. Những con đƣờng tiếp cận khái niệm ...................................... 16 1.3.6. Hoạt động củng cố khái niệm .................................................... 19 1.3.7. Dạy học phân chia khái niệm .................................................... 23 Chƣơng 2: Ứng dụng thiết kế hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề phép biến hình ở lớp 11 theo định hƣớng phát triển năng lực .................................................................................................................. 25 2.1. Phân tích nội dung của phép biến hình ở trƣờng phổ thông....... 25 2.2. Ứng dụng thiết kế các hoạt động dạy học các khái niệm phép biến hình theo định hƣớng phát triển năng lực học sinh ............................. 27 2.2.1. Khái niệm về phép biến hình..................................................... 27 2.2.2. Khái niệm về phép tịnh tiến ...................................................... 30 2.2.3. Khái niệm về phép dời hình ...................................................... 32 2.2.4. Khái niệm về phép đối xứng trục.............................................. 33 2.2.5. Khái niệm về phép quay ............................................................ 35 2.2.6. Khái niệm về phép đối xứng tâm .............................................. 36 2.2.7. Khái niệm về hai hình bằng nhau ............................................. 37 2.2.8. Khái niệm về phép vị tự ............................................................. 40 2.2.9. Khái niệm về hai hình đồng dạng ............................................. 43 Kết luận chung............................................................................................. 46 Tài liệu tham khảo ...................................................................................... 47 Footer Page 5 of 161. Khóa luận nghiệp Đại học Header Page 6 oftốt161. NGUYỄN THỊ PHƢƠNG NGA Lời mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Công cuộc đổi mới của đất nước ta, thực hiện công nghiệp hóa, hiện đại hóa gắn liền với phát triển tri thức, tích cực chủ động hội nhập quốc tế sâu rộng đã và đang đặt ra cho ngành giáo dục và đào tạo nhiệm vụ to lớn và hết sức nặng nề là đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao. Để thực hiện được nhiệm vụ đó, sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới về cả mục tiêu, nội dung chương trình và phương pháp dạy học. Phương pháp dạy học phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, kĩ năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên. Do đó, phương pháp dạy học cần xây dựng theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh. Trong đó, phương pháp dạy học môn toán giữ một vị trí quan trọng vì toán học là công cụ để học những môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau và là công cụ để hoạt đông trong thực tế. Tuy nhiên, đối với học sinh đây là môn học có tính trừu tượng cao và là môn học khó, các khái niệm là nguồn gốc của những khó khăn trở ngại đó. Trong việc dạy học Toán, điều quan trọng bậc nhất là hình thành cho học sinh thông hiểu một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức Toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng khả năng vận dụng những kiến thức đã học. Phép biến hình là một khái niệm quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong giải toán. Tuy nhiên, phép biến hình lại là một khái niệm khá mới mẻ đối với học sinh và là một phần khó trong chương trình hình học ở lớp 11. Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là“Thiết kế các hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng ở lớp 11 theo định hướng phát triển năng lực” Footer Page 6 of 161. 1 Khóa luận nghiệp Đại học Header Page 7 oftốt161. NGUYỄN THỊ PHƢƠNG NGA 2.Mục đích nghiên cứu Định hướng chung phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông Thiết kế hoạt động dạy học khái niệm toán học thuộc chủ đề phép biến hình ở lớp 11 trường THPT theo hướng phát triển năng lực học sinh, góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy học môn toán ở phổ thông hiện nay 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu về lí luận: + Năng lực và năng lực toán học của học sinh + Định hướng phát triển năng lưc của học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông + Dạy học khái niệm toán học và nội dung dạy học khái niệm trong chủ đề phép biến hình ở lớp 11 trường THPT. - Ứng dụng thiết kế hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề phép biến hình ở lớp 11 trường THPT. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Các khái niệm Toán học thuộc chủ đề phép biến hình ở lớp 11 trường THPT. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận về năng lực, năng lực toán học của học sinh, về phương pháp dạy học khái niệm môn toán. Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh. Nghiên cứu nội dung chương trình, sách giáo khoa môn Toán thuộc chủ đề phép biến hình ở lớp 11 trường THPT Footer Page 7 of 161. 2 Khóa luận nghiệp Đại học Header Page 8 oftốt161. NGUYỄN THỊ PHƢƠNG NGA Chƣơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn 1.1 Năng lực và năng lực Toán học 1.1.1 Năng lực Theo quan điểm của những nhà tâm lý học Năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu, đặc trưng của một hoạt động, nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao. Các năng lực hình thành trên cơ sở của các tư chất tự nhiên của cá nhân mới đóng vai trò quan trọng, năng lực của con người không phải hoàn toàn do tự nhiên mà có, phần lớn do công tác, do tập luyện mà có. Tâm lý học chia năng lực thành các dạng khác nhau như năng lực chung và năng lực chuyên môn. + Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác nhau như năng lực phán xét tư duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lực luyện tập, năng lực tưởng tưởng + Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trưng trong lĩnh vực nhất định của xã hội như năng lực tổ chức, năng lực âm nhạc, năng lực kinh doanh, hội hoạ, năng lực toán học... Năng lực chung và năng lực chuyên môn có quan hệ qua lại hữu cơ với nhau, năng lực chung là cơ sở của năng lực chuyên môn, nếu chúng càng phát triển thì càng dễ thành đạt được năng lực chuyên môn. Ngược lại sự phát triển của năng lực chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hưởng đối với sự phát triển của năng lực chung. Trong thực tế mọi hoạt động có kết quả và hiệu quả cao thì mỗi người đều phải có năng lực chung phát triển ở trình độ cần thiết và có một vài năng lực chuyên môn tương ứng với lĩnh vực công việc của mình. Năng lực còn được hiểu theo một cách khác, năng lực là tính chất tâm sinh lý của con người chi phối quá trình tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo tối thiểu là cái mà người đó có thể dùng khi hoạt động. Footer Page 8 of 161. 3 Khóa luận nghiệp Đại học Header Page 9 oftốt161. NGUYỄN THỊ PHƢƠNG NGA Trong điều kiện bên ngoài như nhau những người khác nhau có thể tiếp thu các kiến thức kỹ năng và kỹ xảo đó với nhịp độ khác nhau có người tiếp thu nhanh, có người phải mất nhiều thời gian và sức lực mới tiếp thu được, người này có thể đạt được trình độ điêu luyện cao còn người khác chỉ đạt được trình trung bình nhất định tuy đã hết sức cố gắng. Thực tế cuộc sống có một số hình thức hoạt động như nghệ thuật, khoa học, thể thao ... Những hình thức mà chỉ những người có một số năng lực nhất đinh mới có thể đạt kết quả. Để nắm được cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của năng lực ta cần phải xem xét trên một số khía cạnh sau: - Năng lực là sự khác biệt tâm lý của cá nhân người này khác người kia, nếu một sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng như ai thì không thể nói về năng lực. - Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực hiện một hoạt động nào đó chứ không phải bất kỳ những sự khác nhau cá biệt chung chung nào. - Năng lực con người bao giờ cũng có mầm mống bẩm sinh tuỳ thuộc vào sự tổ chức của hệ thống thần kinh trung ương, nhưng nó chỉ được phát triển trong quá trình hoạt động, phát triển của con người, trong xã hội có bao nhiêu hình thức hoạt động của con người thì cũng có bấy nhiêu loại năng lực, có người có năng lực về quản lý kinh tế, có người có năng lực về Toán học, có người có năng lực về kỹ thuật, có người có năng lực về thể thao ... - Cần phân biệt năng lực với tri thức, kỹ năng, kỹ xảo: Tri thức là những hiểu biết thu nhân được từ sách vở, từ học hỏi và từ kinh nghiệm cuộc sống của mình. Kỹ năng là sự vận dụng bước đầu những kiến thức thu lượm vào thực tế để tiến hành một hoạt động nào đó. Kỹ xảo là những kỹ năng được lắp đi lặp lại nhiều lần đến mức thuần thục cho phép con người không phải tập trung nhiều ý thức vào việc mình đang làm. Còn năng lực là một tổ hợp phầm chất tương đối ổn đinh, cơ bản của cá nhân, cho phép nó thực hiện Footer Page 9 of 161. 4 Khóa luận tốt nghiệp Header Page 10 of 161. Đại học NGUYỄN THỊ PHƢƠNG NGA có kết quả một hoạt động. Như vậy năng lực chỉ làm cho việc tiếp thu các kiến thức kỹ năng, kỹ xảo trở nên dễ dàng hơn. 1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm năng lực toán học được hiểu dưới hai bình diện sau: Năng lực nghiên cứu toán học là năng lực sáng tạo, các năng lực hoạt động toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và quý giá. Năng lực toán học của học sinh là năng lực học tập giáo trình phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng. - Năng lực toán học của học sinh: Từ khái niệm về năng lực, ta có thể đi đến khái niệm về năng lực toán học của học sinh: “Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lí đáp ứng được yêu cầu hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh chóng, dễ dàng, sâu sắc trong những điều kiện như nhau” - Cấu trúc về năng lực toán học của học sinh: + Năng lực tính toán, giải toán + Năng lực tư duy toán học + Năng lực giao tiếp toán học + Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn + Năng lực giải quyết vấn đề + Năng lực sáng tạo toán học 1.2 Định hƣớng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông 1.2.1 Dạy học theo hƣớng tiếp cận nội dung và hƣớng tiếp cận năng lực Tiếp cận nội dung là cách nêu ra một danh mục đề tài, chủ đề của một lĩnh vực môn học nào đó. Tức là tập trung xác định và trả lời câu hỏi: Chúng Footer Page 10 of 161. 5 Khóa luận tốt nghiệp Header Page 11 of 161. Đại học NGUYỄN THỊ PHƢƠNG NGA ta muốn người học cần biết cái gì? Cách tiếp cận này người giáo viên chủ yếu dựa vào yêu cầu nội dung học vấn của một khoa học bộ môn để thiết kế nội dung dạy học. Vì vậy nội dung dạy học thường mang tính "hàn lâm", nặng về lý thuyết và ít chú trọng đến vận dụng vào thực tiễn cuộc sống, nhất là khi người thiết kế ít chú ý đến tiềm năng, các giai đoạn phát triển, nhu cầu, hứng thú và điều kiện của người học. Tiếp cận năng lực là cách tiếp cận nêu rõ kết quả - những khả năng hoặc kĩ năng mà người học mong muốn đạt được vào cuối mỗi giai đoạn học tập trong nhà trường ở một môn học cụ thể. Nói cách khác, cách tiếp cận này nhằm trả lời câu hỏi: Chúng ta muốn người học biết và có thể làm được những gì? Theo cách tiếp cận này thì người giáo viên phải thiết kế nội dung dạy học đảm bảo tinh giản, cơ bản, hiện đại, giảm tính hàn lâm, tăng tính thực hành và vận dụng kiến thức và kĩ năng vào thực tiễn cuộc sống. Định hướng trên cũng hạn chế được tính hàn lâm, xa rời cuộc sống. 1.2.2 Phƣơng pháp dạy học môn toán theo định hƣớng phát triển năng lực học sinh Phương pháp dạy học theo định hướng tiếp cận nội dung chủ yếu yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi: Biết cái gì (know-what). Nghĩa là yêu cầu học sinh chỉ cần ghi nhớ tri thức và hiểu tri thức, chưa chú ý tới yêu cầu vận dụng tri thức đó. Phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực luôn đặt ra câu hỏi: Biết làm gì từ những điều đã biết. Nói cách khác, nói đến năng lực là phải nói đến khả năng thực hiện, là phải biết làm (know-how), chứ không chỉ biết và hiểu (know-what). Như vậy, tiếp cận năng lực chủ trương giúp người học không chỉ biết học thuộc, ghi nhớ mà còn phải biết làm thông qua các hoạt động cụ thể, sử dụng những tri thức học được để giải quyết các tình huống do cuộc sống đặt ra. Nói cách khác, tiếp cận năng lực là dạy cho học sinh không chỉ biết và hiểu kiến thức mà phải biết làm gì từ những điều đã biết về kiến thức đó. Footer Page 11 of 161. 6 Khóa luận tốt nghiệp Header Page 12 of 161. Đại học NGUYỄN THỊ PHƢƠNG NGA Như vậy, việc dạy học toán theo định hướng phát triển năng lực học sinh là phù hợp với quan điểm “dạy học thông qua hoạt động và bằng hoạt động” [1], đồng thời chú ý gắn hoạt động học với thực tiễn đời sống. Vì vậy, trong dạy học việc đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh được hiểu như sau: Dạy cho học sinh cách suy nghĩ tìm ra kiến thức mới, tìm ra cách giải quyết vấn đề mới; đồng thời chú trọng vào các hoạt động vận dụng kiến thức đó, cách giải quyết vấn đề đó để giải quyết nhiều tình huống đặt ra trong thực tiễn và trong đời sống 1.3. Dạy học khái niệm toán học ở trƣờng phổ thông 1.3.1. Đại cƣơng về định nghĩa khái niệm a. Khái niệm Khái niệm là hình thức của tư duy trừu tượng, phản ánh một lớp các đối tượng (sự vật, quá trình và hiện tượng) thông qua các đặc trưng, các dấu hiệu cơ bản của các đối tượng đó. Trong trường hợp cần phân biệt rõ hơn khái niệm với các hình thức khác của tư duy cũng phản ánh đối tượng thông qua các đặc trưng cơ bản của nó: Khái niệm là hình thức của tư duy trừu tượng, là kết quả của quá trình khái quát hóa và tách biệt (trong tư tưởng) các đối tượng thuộc về một lớp nào đó theo một số dấu hiệu đặc trưng nhất định của các đối tượng này. Một khái niệm có thể được xem xét theo hai phương diện: bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên, còn toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của khái niệm đó. Ví dụ: “Cấp số cộng” là khái niệm phản ánh lớp đối tượng các dãy số như {1, 2, 3, 4, ...}; {0, 2, 4, 6, 8, ...}; {-3, 0, 3, 6, 9, 12, ...}.  {1, 2, 3, 4, ...}; {0, 2, 4, 6, 8, ...}; {-3, 0, 3, 6, 9, 11, ...}; ... là những đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm “cấp số cộng”. Footer Page 12 of 161. 7 Khóa luận tốt nghiệp Header Page 13 of 161. Đại học NGUYỄN THỊ PHƢƠNG NGA  Nội hàm của khái niệm “cấp số cộng” là: Mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai trở đi đều bằng số hạng đứng ngay trước đó cộng với một số không đổi. Giữa nội hàm và ngoại diên có một mối liên hệ mang tính quy luật, nội hàm càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại. Thật vậy, nếu ta mở rộng nội hàm của khái niệm hình bình hành , chẳng hạn bằng cách bổ sung đặc điểm “có một góc vuông” thì ta sẽ được lớp các hình chữ nhật là một bộ phận thực sự của lớp các hình bình hành. Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì khái niệm A được gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B được gọi là một khái niệm loại của A. Ví dụ: Cấp số cộng là khái niệm chủng của khái niệm dãy số. Dãy số là khái niệm loại của khái niệm cấp số cộng. Lăng trụ đứng là khái niệm chủng của khái niệm lăng trụ. Lăng trụ là khái niệm loại của khái niệm lăng trụ đứng. b. Khái niệm đối tượng và khái niệm quan hệ Ở trên có nêu khái niệm phản ánh một lớp đối tượng. Điều đó có gì sai hay không, trong khi có những tác giả phân biệt khái niệm về một đối tượng, chẳng hạn “hình chóp” với khái niệm về một quan hệ, chẳng hạn “chia hết”? Thật ra, dưới góc độ Toán học, một quan hệ n ngôi là một tập con của tích Đềcac của n tập hợp. Quan hệ chia hết là một tập con A của tích Đềcac N  N : A   m, n  /  q : n  mq  , với N là tập số tự nhiên, còn m, n, q  và m ≠ 0. Đối tượng được xem xét về mối quan hệ này là những phần tử của tích Đềcac  , chẳng hạn: Footer Page 13 of 161. 8 Khóa luận tốt nghiệp Header Page 14 of 161. Đại học NGUYỄN THỊ PHƢƠNG NGA + Đối tượng (3, 12) là một phần tử của A (hay ta còn nói “số 3 chia hết 12”), bởi tồn tại số tự nhiên 4 sao cho 12  4  3. + Đối tượng (3, 25) không phải là một phần tử của A (hay ta còn nói “số 3 không chia hết 25”), bởi vì không tồn tại bất cứ một số tự nhiên q nào sao cho 25  3  q Tuy về mặt toán học, khái niệm về một quan hệ cũng là một trường hợp riêng của khái niệm về một đối tượng, nhưng trong dạy học, sự phân biệt giữa khái niệm về đối tượng với khái niệm về quan hệ lại là cần thiết dưới góc độ sư phạm, nhất là trong tình hình hiện nay học sinh còn mơ hồ về khái niệm quan hệ khi họ nói về “phương trình tương đương”, “phương trình hệ quả” . c. Định nghĩa khái niệm Định nghĩa một khái niệm là một thao tác lôgic nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác, thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó. Các định nghĩa thường có các cấu trúc sau: Từ mới (biểu thị khái (Những) từ chỉ miền đối Tân từ (diễn tả khác biệt niệm mới) tượng đã biết (loại) về chủng) Ví dụ: “Hình vuông là một hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau”. Trong định nghĩa này, từ mới là hình vuông, loại hay miền đối tượng là hình chữ nhật, còn sự khác biệt về chủng là hai cạnh liên tiếp bằng nhau. Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chủng tạo thành đặc trưng của khái niệm. Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để xác định khái niệm đó. Nói chung, có nhiều cách nêu đặc trưng của cùng một khái niệm, tức có thể định nghĩa một khái niệm theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, hình vuông ngoài định nghĩa đã nêu trong ví dụ trên, còn có thể được định nghĩa theo một cách khác ví dụ như “hình vuông là hình thoi có một góc vuông”. Footer Page 14 of 161. 9 Khóa luận tốt nghiệp Header Page 15 of 161. Đại học NGUYỄN THỊ PHƢƠNG NGA Khi xét một đối tượng xem có thuộc ngoại diên của một khái niệm nào đó hay không, người ta thường quan tâm những thuộc tính của đối tượng đó: những thuộc tính nào nằm trong nội hàm của khái niệm đang xét thì được coi là thuộc tính bản chất, còn những thuộc tính nào không thuộc nội hàm của khái niệm đó thì được coi là thuộc tính không bản chất đối với khái niệm đang xét.Giả sử cho tứ giác ABCD (hình vẽ). A B Nếu xét xem ABCD có phải là một hình vuông hay không thì “AB = BC” là một trong các thuộc tính bản chất, còn nếu xét xem tứ D C giác đó có phải là hình bình hành hay không thì thuộc tính đó không là bản chất. Trong định nghĩa theo cấu trúc đã nêu ở đầu mục này, từ chỉ miền đối tượng hay loại phải tương ứng với một khái niệm đã biết. Một khả năng vi phạm điều kiện này là đưa ra những định nghĩa vòng quanh, ví dụ “phép cộng là phép tìm tổng của hai hay nhiều số”; “tổng của hai hay nhiều số là kết quả thực hiện phép cộng”. d. Khái niệm không định nghĩa Định nghĩa một khái niệm mới thường dựa vào một hay nhiều khái niệm đã biết. Ví dụ để định nghĩa hình vuông ta cần định nghĩa hình chữ nhật; để định nghĩa hình chữ nhật, ta cần định nghĩa hình bình hành; để định nghĩa hình bình hành ta cần định nghĩa tứ giác,… Tuy nhiên, quá trình trên không thể kéo dài vô hạn, tức là phải có khái niệm không được định nghĩa, được thừa nhận làm điểm xuất phát, gọi là những khái niệm nguyên thuỷ, chẳng hạn người ta thừa nhận điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những khái niệm nguyên thuỷ. Ở trường phổ thông, chúng ta thấy có một số khái niệm cũng không được định nghĩa vì lí do sư phạm, mặc dù chúng có thể định nghĩa trong toán học. Footer Page 15 of 161. 10 Khóa luận tốt nghiệp Header Page 16 of 161. Đại học NGUYỄN THỊ PHƢƠNG NGA Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, cần mô tả, giải thích thông qua những ví dụ cụ thể để học sinh hình dung được những khái niệm này, hiểu được chúng một cách trực giác. 1.3.2. Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm a. Vị trí của dạy học khái niệm Trong việc dạy học toán cũng như dạy học bất cứ một khoa học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức Toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học. Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm toán học. b. Yêu cầu của dạy học khái niệm Trong dạy học khái niệm Toán học ở trường phổ thông phải làm cho học sinh đạt được các yêu cầu sau: - Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm. - Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm. - Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa khái niệm bằng nhiều cách khác nhau. - Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và ứng dụng thực tiễn. - Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm. Các yêu cầu trên đây có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Song vì lí do sư phạm, các yêu cầu trên không phải lúc nào cũng được được đặt ra với mức độ như nhau đối với mọi khái niệm. Footer Page 16 of 161. 11 Khóa luận tốt nghiệp Header Page 17 of 161. Đại học NGUYỄN THỊ PHƢƠNG NGA Ví dụ, đối với những khái niệm như “hình bình hành”, “đạo hàm”, … học sinh phải phát biểu được định nghĩa một cách chính xác và vận dụng được các định nghĩa đó trong khi giải bài tập, còn đối với khái niệm “chiều” của vectơ, chương trình lại không đòi hỏi học sinh phải nêu định nghĩa tường minh mà chỉ cần hình dung định nghĩa này một cách trực giác dựa vào kinh nghiệm sống của bản thân. 1.3.3. Một số hình thức định nghĩa khái niệm thƣờng gặp ở trƣờng phổ thông a. Định nghĩa theo phương pháp loài - chủng. * Nội dung: Định nghĩa theo phương pháp loài-chủng là một hình thức định nghĩa nêu lên khái niệm loài và đặc tính của chủng. Khái niệm được định nghĩa = Khái niệm loài + Đặc tính của chủng. - Ví dụ 1: “Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau”. Trong định nghĩa này : + Hình bình hành là khái niệm loài. + Hai cạnh liên tiếp bằng nhau là đặc tính của chủng. - Ví dụ 2: “Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó”. Trong định nghĩa này : + Số tự nhiên là khái niệm loài. + Chỉ có hai ước số là 1 và chính nó là đặc tính của chủng. - Ví dụ 3: Trong mặt phẳng, cho một điểm O cố định và một số k không đổi khác 0, phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho OM '  kOM được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k. Kí hiệu V(O,k). Ở định nghĩa trên, ta thấy: + Phép biến hình là khái niệm loài. + Số k không đổi khác 0, O cố định, OM '  kOM là đặc trưng của chủng. b. Định nghĩa bằng quy ước Footer Page 17 of 161. 12 Khóa luận tốt nghiệp Header Page 18 of 161. Đại học NGUYỄN THỊ PHƢƠNG NGA * Nội dung: Định nghĩa bằng quy ước là hình thức định nghĩa gán cho đối tượng cần định nghĩa một đối tượng cụ thể nào đó. - Ví dụ: a 0  1 (Đối tượng cần định nghĩa là ao.). an  1 an  n  N , a  0 Chú ý: Khi dạy học định nghĩa bằng quy ước, giáo viên không giải thích tại sao lại quy ước được như vậy mà chỉ đặt vấn đề quy ước như vậy có hợp lý hay không. - Ví dụ a 0  1 là định nghĩa hợp lý vì 1  am  a mm  a 0 m a c. Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề * Nội dung: Người ta chọn ra một số đối tượng cơ bản, quan hệ cơ bản và thừa nhận chúng gọi là các tiên đề. Từ đó đi định nghĩa các khái niệm khác, chứng minh các tính chất khác bằng suy luận hợp lôgic. - Ví dụ 1: Quan hệ tương đương được định nghĩa như sau: Quan hệ R trên tập A được gọi là quan hệ tương đương nếu nó có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu. - Ví dụ 2: Ta định nghĩa khái niệm nhóm như sau: Tập X  X    cùng phép toán hai ngôi “*” được gọi là nhóm nếu: *: XX X  a, b  c thoả mãn: i) Phép toán “*” có tính chất kết hợp; ii) Có phần tử đơn vị e  X sao cho x  X : x * e  e * x  x; iii) Tồn tại phần tử nghịch đảo x  X , x1  X : x * x 1  x 1 * x  e d. Định nghĩa bằng phương pháp mô tả * Nội dung: Định nghĩa bằng phương pháp mô tả là hình thức định nghĩa chỉ ra những đối tượng trong thực tiễn có hình ảnh gần gũi với đối tượng cần định nghĩa, quan hệ cần định nghĩa hoặc chỉ ra quy trình tạo ra chúng (mô tả theo kiểu kiến thiết). Footer Page 18 of 161. 13 Khóa luận tốt nghiệp Header Page 19 of 161. Đại học NGUYỄN THỊ PHƢƠNG NGA - Ví dụ 1: Các khái niệm “điểm trong mặt phẳng, đường thẳng, mặt phẳng” là các khái niệm không định nghĩa tường minh, chúng được định nghĩa theo phương pháp mô tả. - Ví dụ 2: Góc lượng giác trong Đại số 10 (định nghĩa theo quy trình tạo ra chúng). Cho hai tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia đầu Ou đến trùng với tia cuối Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov. 1.3.4. Các quy tắc định nghĩa khái niệm a. Quy tắc 1: Định nghĩa phải tương xứng Định nghĩa phải tương xứng nghĩa là phạm vi của khái niệm định nghĩa và khái niệm được định nghĩa phải bằng nhau. Định nghĩa không tương xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm quá hẹp hay quá rộng so với khái niệm được định nghĩa. - Ví dụ 1: “Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn” là định nghĩa đúng, phù hợp, định nghĩa tương xứng. - Ví dụ 2: “Số vô tỉ là căn số của những số hữu tỉ trong trường hợp những số này không thể khai căn đúng được”. Định nghĩa trên là không tương xứng vì khái niệm được định nghĩa có phạm vi hẹp hơn so với phạm vi khái niệm định nghĩa, ví dụ số e và số π là những số vô tỉ nhưng không là kết quả của phép khai căn nào. - Ví dụ 3: “Số vô tỉ là số thập phân vô hạn”. Định nghĩa này là không tương xứng vì khái niệm được định nghĩa có phạm vi rộng hơn khái niệm định nghĩa, chẳng hạn có những số thập phân vô hạn như 1 , 1 ,... nhưng 3 9 chúng không phải số vô tỉ mà là các số hữu tỉ. b. Quy tắc 2: Định nghĩa phải xác định (Định nghĩa không được vòng quanh) Định nghĩa phải xác định nghĩa là định nghĩa phải dựa vào khái niệm đã biết, đã được định nghĩa. Footer Page 19 of 161. 14 Khóa luận tốt nghiệp Header Page 20 of 161. Đại học NGUYỄN THỊ PHƢƠNG NGA - Ví dụ 1: Định nghĩa về số đo góc “Độ là 1 của góc vuông, góc 90 vuông là góc có số đo 90o ”. Hai định nghĩa về “góc vuông” và về “độ” vi phạm vòng quanh. - Ví dụ 2: “Góc nhị diện là góc tạo bởi hai nhị diện đi qua một đường thẳng” là định nghĩa không đúng vì khái niệm góc không xác định. Vì thế, ta phải định nghĩa khái niệm góc nhị diện như sau: “Góc nhị diện là phần không gian giới hạn bởi hai nửa mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng” c. Quy tắc 3: Định nghĩa phải tối thiểu Định nghĩa phải tối thiểu nghĩa là trong nội dung khái niệm định nghĩa không chứa những thuộc tính có thể suy ra từ những thuộc tính còn lại. - Ví dụ 1: Định nghĩa “hình bình hành là tứ giác phẳng có các cạnh đối song song và bằng nhau” vi phạm quy tắc này vì ở định nghĩa thừa một trong hai điều kiện song song hoặc bằng nhau. - Ví dụ 2: Định nghĩa “số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó” thừa điều kiện “lớn hơn một” và “là 1 và chính nó” nhưng vì lí do sư phạm nên người ta đưa vào trong định nghĩa để học sinh hiểu rõ hai ước đó là hai ước cụ thể nào. d. Quy tắc 4: Định nghĩa không dùng lối phủ định khái niệm khác nếu chúng không loại trừ nhau (Hai khái niệm loại trừ nhau nếu chúng cùng chung một loài, đồng thời phạm vi của chúng giao với nhau bằng rỗng và hợp với nhau đúng bằng phạm vi của khái niệm loài (tức là khái niệm loài không bao gồm hai khái niệm mâu thuẫn) - Ví dụ 1: “Hình thoi không phải là hình tam giác” là định nghĩa chỉ nêu lên dấu hiệu xem xét một hình không phải là hình tam giác, chưa chỉ ra được đặc trưng của hình thoi. - Ví dụ 2: “Số siêu việt là những số thực không đại số” là định nghĩa đúng vì khái niệm loài là tập số được phân chia thành hai tập hợp gồm tập Footer Page 20 of 161. 15