Tài liệu Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích

Ñeà taøi: Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích Lôøi Caûm Taï ∗∗∗∗∗ Ñöôïc söï phaân coâng cuûa boä moân cuøng vôùi nieàm höùng thuù cuûa baûn thaân, toâi nhaän ñeà taøi luaâïn vaên toát nghieäp töø nhöõng ngaøy ñaàu naêm hoïc. Ñaây laø moät vaán ñeà töông ñoái môùi laï, suoát moät thôøi gian daøi, nguoàn taøi lieäu maø toâi tìm ñöôïc vaãn coøn nhieàu haïn cheá. Coù nhöõng luùc toâi nghó raèng mình phaûi boû cuoäc vì khoâng bieát phaûi tieáp tuïc nhö theá naøo, nhöng roài ñöôïc caùc thaày coâ nhieät tình chæ daïy vaø baïn beø ñoâïng vieân uûng hoä, toâi ñaõ quyeát taâm ñi heát chaüng ñöôøng dang dôû. Ñeán nay luaän vaên “Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích” ñaõ ñöôïc hoaøn thaønh. Em xin baøy toû loøng bieát ôn saâu saéc ñeán caùc Thaày Coâ trong boä moân Toaùn ñaõ cung caáp cho em nhöõng kieán thöùc quí baùu trong boán naêm ôû tröôøng ñaïi hoïc. Ñaüc bieät, em xin ghi nhôù coâng ôn cuûa thaày Leâ Hoàng Ñöùc ñaõ taän tình höôùng daãn, dìu daét em trong suoát thôøi gian thöïc hieän ñeà taøi. Ñoàng thôøi, em cuõng chaân thaønh caûm ôn coâ Traàn Thò Thanh Thuùy ñaõ söûa chöõa nhöõng sai soùt trong baûn luaän vaên vaø coâ Laïi Thò Caåm ñaõ ñoäng vieân, giuùp ñôõ em. Xin caûm ôn caùc anh chò, caùc baïn sinh vieân ñaõ nhieät tình uûng hoä toâi hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Traàn Hoaøi Ngoïc Nhaân Ñeà taøi: Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích PHAÀN MÔÛ ÑAÀU I/ LÍ DO CHOÏN ÑEÀ TAØI: Giaûi tích haøm laø moät moân hoïc ñöôïc quan taâm nhieàu trong chöông trình giaûi tích ôû ñaïi hoïc. Giaûi tích haøm thöôøng xem xeùt ñeán caùc tính chaát cuûa caùc hoï aùnh xaï naøo ñoù. Trong khi xem xeùt ñeán caùc tính chaát cuûa caùc aùnh xaï ta thöôøng môû roäng mieàn xaùc ñònh ñeå töø ñoù xaùc ñònh ñöôïc caùc aùnh xaï môùi vöøa baûo toaøn ñöôïc caùc tính chaát voán coù cuûa aùnh xaï ñaõ cho vöøa ñöôïc xaùc ñònh treân caùc taäp hôïp lôùn hôn, thaäm chí treân caû khoâng gian. Vieäc môû roäng ñeå ñöôïc caùc aùnh xaï môùi treân cô sôû caùc aùnh xaï ñaõ cho thöôøng ñöôïc goïi laø thaùc trieån caùc aùnh xaï.Trong vieäc thaùc trieån caùc aùnh xaï, chuùng ta thaáy ngöôøi ta thöôøng quan taâm ñeán vieäc thaùc trieån caùc aùnh xaï lieân tuïc. Vì muoán xem xeùt moät caùch toaøn dieän theo moät trình töï phöùc taïp cuûa caùc khoâng gian chöùa taäp xaùc ñònh cuûa aùnh xaï ban ñaàu neân em ñaõ quyeát ñònh choïn ñeà taøi “Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích”. II/ VAÁN ÑEÀ NGHIEÂN CÖÙU: Taäp trung nghieân cöùu khaû naêng thaùc trieån cuûa caùc aùnh xaï. Trong nhöõng ñieàu kieän naøo thì caùc aùnh xaï coù thaùc trieån baûo toaøn tính lieân tuïc? ÖÙng duïng cuûa vieäc thaùc trieån ? Heä thoáng vieäc thaùc trieån lieân tuïc trong caùc khoâng gian baét ñaàu töø khoâng gian caùc soá thöïc ñeán khoâng gian meâtric, khoâng gian toâpoâ vaø khoâng gian ñònh chuaån ñeå thaáy ñöôïc söï so saùnh trong caùc khoâng gian. III/ NHIEÄM VUÏ NGHIEÂN CÖÙU: Luaän vaên ñaõ saép xeáp, heä thoáng laïi caùc keát quaû veà thaùc trieån caùc aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian töø ñôn giaûn ñeán phöùc taïp nhaèm ñöa ra moät caùch nhìn toaøn dieän hôn veà quaù trình thaùc trieån caùc aùnh xaï lieân tuïc. Cuï theå caùc vaán ñeà ñaõ ñöôïc trình baøy theo moät quan ñieåm thoáng nhaát: ² Xaây döïng moät heä thoáng lí thuyeát veà thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian. ² Chöùng minh vaø laøm saùng toû moät soá chöùng minh, caùc keát quaû ñaõ bieát. ² Baøi taäp ñöôïc giôùi thieäu sau moãi chöông coù moái lieân keát chaët cheõ vôùi lí thuyeát vaø taïo thaønh moät chuoãi, baøi sau söû duïng keát quaû cuûa baøi tröôùc. ² Caùc keát quaû phoå bieán nhieàu saùch ñaõ trình baøy, sinh vieân chæ nhaéc laïi hoaëc neâu höôùng chöùng minh. IV/ PHÖÔNG PHAÙP VAØ PHÖÔNG TIEÄN NGHIEÂN CÖÙU: Phöông phaùp nghieân cöùu: Caùc phöông phaùp chính ñöôïc söû duïng laø toång hôïp, phaân tích vaø so saùnh. Ñeà taøi: Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích ² Toång hôïp: Toång hôïp caùc kieán thöùc töø nhieàu nguoàn taøi lieäu khaùc nhau, trình baøy laïi theo caùch rieâng. ² Phaân tích: Treân cô sôû kieán thöùc ñaõ hoïc vaø ñoïc taøi lieäu ñi saâu phaân tích laøm roõ vaán ñeà. ² So saùnh: Söû duïng phöông phaùp so saùnh ñeå thaáy ñöôïc söï khaùc bieät cuûa vaán ñeà thaùc trieån lieân tuïc trong töøng khoâng gian cuï theå. Phöông tieän nghieân cöùu: Caùc saùch veà giaûi tích cuûa caùc taùc giaû trong vaø ngoaøi nöôùc, tìm kieám caùc keát quaû ñöôïc coâng boá töø internet. V/ CAÙC BÖÔÙC THÖÏC HIEÄN: ² Toång hôïp kieán thöùc töø nhieàu nguoàn taøi lieäu khaùc nhau, toùm taét caùc caùc keát quaû coù lieân quan. ² Phaân loaïi theo töøng nhoùm, soaïn daøn yù vaø tham khaûo yù kieán cuûa giaùo vieân höôùng daãn ñeå vieát thaønh ñeà cöông. ² Tieáp tuïc tham khaûo taøi lieäu ñeå boå sung, ñoàng thôøi phaân tích laøm roõ, daàn hoaøn chænh theo töøng phaàn. VI/ CAÙC THUAÄT NGÖÕ ÑÖÔÏC DUØNG TRONG LUAÄN VAÊN: Caùc thuaät ngöõ trong luaän vaên chuû yeáu ñöôïc söû duïng töø caùc giaùo trình. Ñeå thoáng nhaát, sinh vieân duøng töø haøm ñeå chæ moät aùnh xaï coù taäp ñích laø taäp hôïp soá (thöïc hoaëc phöùc), töø haøm soá chæ moät aùnh xaï coù taäp nguoàn vaø taäp ñích ñeàu laø caùc taäp hôïp soá. VII/ NOÄI DUNG LUAÄN VAÊN: Luaän vaên goàm coù 4 chöông, sau moãi chöông laø phaàn baøi taäp coù lieân quan ² Chöông môû ñaàu. Kieán thöùc chuaån bò. Nhaéc laïi moät soá khaùi nieäm, ñònh lí ñaõ ñöôïc hoïc trong giaûi tích coå ñieån, trong khoâng gian meâtric, khoâng gian toâpoâ vaø khoâng gian ñònh chuaån, taïm thôøi chaáp nhaän moät vaøi ñònh lí maø caùch chöùng minh quaù phöùc taïp. ² Chöông 1. Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong giaûi tích coå ñieån. Trình baøy moät soá keát quaû thaùc trieån lieân tuïc trong giaûi tích coå ñieån. ² Chöông 2. Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong khoâng gian meâtric. Trình baøy moät soá keát quaû thaùc trieån lieân tuïc ñaëc tröng cuûa khoâng gian meâtric. Trong chöông naøy ta nghieân cöùu, chöùng minh ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå coù theå thaùc trieån moät aùnh xaï lieân tuïc (lieân tuïc ñeàu), tröôøng hôïp ñaëc bieät laø caùc ñònh lí cuûa Tietze Ñeà taøi: Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích vaø Uryson veà thaùc trieån moät haøm lieân tuïc, bò chaën treân moät khoâng gian con ñoùng. Phaàn baøi taäp seõ toång quaùt moät soá noäi dung ñaõ ñöôïc nghieân cöùu trong chöông 1. ² Chöông 3. Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong khoâng gian toâpoâ. Nhieàu söï kieän trong khoâng gian meâtric khoâng phuï thuoäc vaøo khoaûng caùch maø chæ phuï thuoäc vaøo hoï caùc taäp hôïp môû trong khoâng gian aáy. Vì vaäy ta seõ thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong moâït khoâng gian toång quaùt lôùn hôn khoâng gian meâtric, ñoù laø khoâng gian Toâpoâ. Ta tìm toâpoâ cho khoâng gian nguoàn hoaëc khoâng gian ñích laøm cho aùnh xaï lieân tuïc, ñieàu kieän ñeå moät aùnh xaï lieân tuïc treân taäp con ñoùng (hay truø maät) cuûa khoâng gian coù thaùc trieån lieân tuïc, nhôø vaøo söï compact hoùa theo Alecxandrop ñeå thaùc trieån lieân tuïc, böôùc ñaàu laøm quen vôùi söï compact hoùa theo Stone − Cech. ² Chöông 4. Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong khoâng gian ñònh chuaån. Tìm hieåu vieäc thaùc trieån trong khoâng gian ñònh chuaån baûo toaøn tính tuyeán tính lieân tuïc, löôùt qua caùch chöùng minh ñònh lí Hahn −Banach, chuû yeáu nghieân cöùu caùc öùng duïng vaø môû roäng, ñoàng thôøi cuõng tìm hieåu vieäc thaùc trieån moät aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc khoâng aâm. VIII/ GIÔÙI HAÏN CUÛA ÑEÀ TAØI: Noäi dung luaän vaên taäp trung nghieân cöùu caùc vaán ñeà cô baûn nhaát, nhieàu öùng duïng roäng raõi cuûa caùc vaán ñeà lí thuyeát vaøo töøng tröôøng hôïp cuï theå ñaõ bò boû qua vaø vieäc toång quaùt caùc keát quaû cuõng döøng laïi ôû moät möùc ñoäï nhaát ñònh. Ñeà taøi: Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích MUÏC LUÏC Chöông môû ñaàu. Kieán thöùc chuaån bò. 1 1. Trong giaûi tích coå ñieån 2. Khoâng gian meâtric 3. Khoâng gian toâpoâ. 4. Khoâng gian ñònh chuaån. Chöông 1. Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong giaûi tích coå ñieån. Baøi taäp chöông 1. Chöông 2. Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong khoâng gian meâtric. §1. Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc. §2. Thaùc trieån haøm lieân tuïc. §3. Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc ñeàu. Baøi taäp chöông 2. Chöông 3. Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong khoâng gian toâpoâ. §1. Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc. §2. Thaùc trieån haøm lieân tuïc. §3. Compact hoùa theo Alecxandrop. Baøi taäp chöông 3. Chöông 4. Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong khoâng gian ñònh chuaån. §1. Thaùc trieån toaùn töû tuyeán tính lieân tuïc. §2. Ñònh lí Hahn − Banach. §3. Môû roäng ñònh lí Hahn – Banach. §4. Thaùc trieån aùnh xaï tuyeán tính lieân tuïc khoâng aâm. Baøi taäp chöông 4. 1 1 5 8 14 17 18 18 21 26 27 31 31 35 40 42 51 51 54 58 61 66 Ñeà taøi: Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích PHAÀN NOÄI DUNG Chöông môû ñaàu KIEÁN THÖÙC CHUAÅN BÒ Chöông naøy seõ trình baøy sô löôïc caùc khaùi nieäm cô baûn vôùi noäi dung toái thieåu caàn thieát cho caùc chöông sau. Caùc chöùng minh ñeàu khoâng ñöôïc ñöa vaøo, ngöôøi ñoïc coù theå tìm thaáy trong caùc taøi lieäu tham khaûo. 1/ Trong giaûi tích coå ñieån : 1.1/ Haøm soá lieân tuïc: Ñònh nghóa: Cho haøm soá f : A → R ² f ñöôïc goïi laø lieân tuïc taïi ñieåm x0 ∈ A neáu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ A, |x − x0| ≤ δ ta coù |f(x) − f(x0)| ≤ ε. ² f ñöôïc goïi laø lieân tuïc treân A neáu f lieân tuïc taïi moïi ñieåm x0 ∈ A. 1.2/ Haøm soá lieân tuïc ñeàu: Ñònh nghóa: Haøm soá f : A → R ñöôïc goïi laø lieân tuïc ñeàu treân A neáu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x, x’ ∈ A, |x − x’| ≤ δ ta coù |f(x) − f(x’)| ≤ ε. 1.3/ Ñöôøng thaúng soá môû roäng: Ñònh nghóa: Ta theâm vaøo R hai phaàn töû phaân bieät khoâng thuoäc R, kyù hieäu laø + ∞ vaø − ∞. Ta môû roäng caùc pheùp toaùn +, . vaø quan heä thöù töï ≤ leân R = R ∪ {+ ∞} ∪ {− ∞} nhö sau: ∀x ∈ R: x + (+ ∞) = (+ ∞) + x = + ∞ x + (− ∞) = (− ∞) + x = − ∞ (+ ∞) + (+ ∞) = + ∞, (− ∞) + (− ∞) = − ∞ ∀x ∈ R *+ : x(+ ∞) = (+ ∞)x = + ∞, x(− ∞) = (− ∞)x = − ∞ ∀x ∈ R *− : x(+ ∞) = (+ ∞)x = − ∞, x(− ∞) = (− ∞)x = + ∞ (+ ∞)(+ ∞) = (− ∞)(− ∞) = + ∞, (+ ∞)(− ∞) = (− ∞)(+ ∞) = − ∞ ∀x ∈ R: − ∞ < x < + ∞, − ∞ ≤ − ∞, + ∞ ≤ + ∞ R ñöôïc goïi laø ñöôøng thaúng soá môû roäng. 2/ Khoâng gian meâtric: 2.1/ Meâtric treân moät taäp hôïp: 1 Ñeà taøi: Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích Ñònh nghóa: Cho taäp hôïp X tuøy yù. AÙnh xaï d : X × X → R ñöôïc goïi laø moät meâtric (khoaûng caùch) trong X neáu: i/ d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X d(x, y) = 0 ⇔ x = y ii/ d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X iii/ d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X Taäp X vôùi meâtric d trang bò treân X ñöôïc goïi laø moät khoâng gian meâtric. Kyù hieäu: (X, d). 2.2/ Khoaûng caùch giöõa caùc taäp hôïp: Ñònh nghóa: Cho khoâng gian meâtric (X, d) vaø A, B laø hai taäp con khaùc roãng cuûa X . Khi ñoù: d(A, B) = inf{d(x, y): x ∈ A, y ∈ B} ñöôïc goïi laø khoaûng caùch giöõa caùc taäp A vaø B. 2.3/ Khoâng gian con: Ñònh nghóa: Cho khoâng gian meâtric (X, d), E ⊂ X, E ≠ φ. Vôùi moãi caëp phaàn töû x, y ∈ E ta ñaët dE(x, y) = d(x, y). Khi ñoù dE laø moät meâtric treân E ñöôïc goïi laø meâtric treân E caûm sinh bôûi meâtric d. Khoâng gian meâtric (E, dE) ñöôïc goïi laø khoâng gian meâtric con cuûa khoâng gian meâtric (X, d). 2.4/ Khoâng gian meâtric tích: Ñònh nghóa: Cho hai khoâng gian meâtric (X, dX) vaø (Y, dY) Khi ñoù X × Y = {(x, y): x ∈ X, y ∈ Y} laø khoâng gian meâtric vôùi meâtric d((x1, y1), (x2, y2)) = d 2X ( x1 ; x 2 ) + d 2Y ( x1 ; x 2 ) , trong ñoù (x1, y1), (x2, y2) ∈ X × Y. Khoâng gian meâtric X × Y ñöôïc goïi laø khoâng gian meâtric tích cuûa caùc khoâng gian meâtric X vaø Y 2.5/ Söï hoäi tuï trong khoâng gian meâtric: 2.5.1/ Ñònh nghóa: Cho khoâng gian meâtric (X, d). Daõy {xn} ⊂ X ñöôïc goïi laø hoäi tuï veà moät ñieåm a ∈ X neáu limd(xn, a) = 0. Khi ñoù x ñöôïc goïi laø giôùi haïn cuûa daõy {xn}. Kyù hieäu: limxn = a hoaëc xn → a. 2.5.2/ Ñònh lyù: Giôùi haïn cuûa moät daõy neáu coù laø duy nhaát. 2.6/ Laân caän: Ñònh nghóa: Cho khoâng gian meâtric (X, d), x0 ∈ X, ε > 0. ² Taäp S(x0, ε ) = {x ∈ X : d(x, x0) < ε }ñöôïc goïi laø hình caàu môû taâm x0 baùn kính ε. 2 Ñeà taøi: Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích ² Taäp S[x0, ε] = {x ∈ X : d(x, x0) ≤ ε }ñöôïc goïi laø hình caàu ñoùng taâm x0 baùn kính ε. ² Cho A ⊂ X. Taäp A ñöôïc goïi laø moät laân caän cuûa ñieåm x ∈ X neáu toàn taïi ε > 0 sao cho S(x, ε) ⊂ A. 2.7/ Caùc loaïi ñieåm: Ñònh nghóa: Cho khoâng gian meâtric (X, d), x ∈ X, A ⊂ X. ² x ñöôïc goïi laø ñieåm trong cuûa taäp A neáu ∃ε > 0 : S(x, ε) ⊂ A. ² x ñöôïc goïi laø ñieåm dính cuûa taäp A neáu ∀ε > 0 : S(x, ε) ∩ A ≠ φ. ² x ñöôïc goïi laø ñieåm giôùi haïn cuûa taäp A neáu toàn taïi ε > 0 sao cho S(x, ε) ∩ (A \ {x}) ≠ φ 2.8/ Taäp môû, taäp ñoùng: 2.8.1/ Ñònh nghóa: Cho khoâng gian meâtric (X, d), A ⊂ X. ² A ñöôïc goïi laø taäp môû neáu moïi ñieåm x ∈ A ñeàu laø ñieåm trong cuûa A. ² A ñöôïc goïi laø taäp ñoùng neáu X \ A laø taäp môû. 2.8.2/ Ñònh lyù: x laø ñieåm dính cuûa taäp A ⇔ toàn taïi daõy {xn} ⊂ A thoûa maõn xn → x. 2.8.3/ Ñònh lyù: A laø taäp ñoùng ⇔ A chöùa moïi ñieåm giôùi haïn cuûa A. 2.8.4/ Ñònh lyù: (Tính chuaån taéc cuûa khoâng gian) Vôùi moïi caëp taäp hôïp ñoùng rôøi nhau A vaø B trong khoâng gian meâtric (X, d) ñeàu toàn taïi caëp taäp hôïp môû G vaø H rôøi nhau sao cho A ⊂ G vaø B ⊂ H. 2.9/ Phaàn trong, bao ñoùng: 2.9.1/ Ñònh nghóa: Cho khoâng gian meâtric (X, d), A ⊂ X. ² Phaàn trong cuûa taäp A laø taäp hôïp taát caû caùc ñieåm trong cuûa A. Kyù hieäu: IntA. ² Taäp ñoùng beù nhaát trong X chöùa A ñöôïc goïi laø bao ñoùng cuûa A. Kyù hieäu: A . 2.9.2/ Ñònh lyù: d(x, A) = 0 ⇔ x ∈ A . 2.10/ Taäp hôïp truø maät: Ñònh nghóa: Cho khoâng gian meâtric (X, d), A ⊂ X, B ⊂ X. ² Neáu B ⊂ A thì A ñöôïc goïi laø truø maät trong B. ² Neáu A = X thì A ñöôïc goïi laø truø maät khaép nôi trong X. 2.11/ Khoâng gian ñaày: Ñònh nghóa: Cho khoâng gian meâtric (X, d). 3 Ñeà taøi: Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích ² Daõy {xn} ⊂ X ñöôïc goïi laø daõy Cauchy khi vaø chæ khi vôùi moïi ε > 0, toàn taïi N sao cho: ∀m, n > N ⇒ d(xm, xn) < ε ² Khoâng gian meâtric X ñöôïc goïi laø khoâng gian ñaày neáu moïi daõy Cauchy trong X ñeàu hoäi tuï. ² Taäp E ⊂ X ñöôïc goïi laø khoâng gian ñaày neáu khoâng gian con (E, dE) laø khoâng gian ñaày. 2.12/ AÙnh xaï lieân tuïc: 2.12.1/ Ñònh nghóa: Cho hai khoâng gian meâtric (X, dX), (Y, dY) vaø aùnh xaï f : X → Y. ² f ñöôïc goïi laø lieân tuïc taïi x0 ∈ X neáu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ X, dX(x, x0) < δ ⇒ dY(f(x), f(x0)) < ε ² f ñöôïc goïi laø lieân tuïc treân X neáu f lieân tuïc taïi moïi ñieåm x thuoäc X. ² f ñöôïc goïi laø lieân tuïc ñeàu neáu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x, x’∈ X, dX(x, x’) < δ ⇒ dY(f(x), f(x’)) < ε 2.12.2/ Ñònh lyù: Cho hai khoâng gian meâtric (X, dX), (Y, dY) vaø aùnh xaï f : X → Y. Khi ñoù f lieân tuïc taïi x0 khi vaø chæ khi: ∀{xn} ⊂ X, xn → x0 ⇒ f(xn) → f(x0) 2.12.3/ Ñònh lyù: Cho aùnh xaï f : X → Y. Khi ñoù caùc meänh ñeà sau laø töông ñöông: a/ f lieân tuïc treân X. b/ Neáu G laø taäp môû trong Y thì f−1(G) laø taäp hôïp môû trong X. c/ Neáu G laø taäp ñoùng trong Y thì f−1(G) laø taäp hôïp môû trong X. tuïc ñeàu. 2.12.4/ Ñònh lyù: Vôùi moïi taäp hôïp A ≠ φ, haøm khoaûng caùch d(x, A) lieân 2.12.5/ Ñònh lyù: Giôùi haïn cuûa moät daõy aùnh xaï lieân tuïc hoäi tuï ñeàu laø moät aùnh xaï lieân tuïc. 2.12.6/ Ñònh lyù: Cho {Xi}i laø caùc khoâng gian meâtric vaø aùnh xaï f:T→ ∞ ∏ Xi xaùc ñònh treân khoâng gian T. Ñaët f(t)= (x1(t), x2(t),… , xi(t),… ) thì i =1 xm laø aùnh xaï töø T tôùi Xm. Khi ñoù ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå aùnh xaï f lieân tuïc laø caùc aùnh xaï xm lieân tuïc vôùi moïi m = 1, 2,… 2.13/ AÙnh xaï ñoàng phoâi: Ñònh nghóa: Cho hai khoâng gian meâtric (X, dX), (Y, dY). Neáu aùnh xaï f : X → Y laø moät song aùnh, f lieân tuïc vaø f−1 lieân tuïc thì f ñöôïc goïi laø moät pheùp ñoàng phoâi töø X vaøo Y. 4 Ñeà taøi: Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích Khi ñoù caùc khoâng gian X vaø Y ñöôïc goïi laø ñoàng phoâi vôùi nhau 2.14/ AÙnh xaï k − Lipsit: Ñònh nghóa: Cho hai khoâng gian meâtric (X, dX), (Y, dY). AÙnh xaï f : X → Y ñöôïc goïi laø aùnh xaï k − Lipsit neáu: ∀x, x’ ∈ X , dX(x, x’) < δ ⇒ dY(f(x), f(x’)) < k.dX(x, x’). 2.15/ Taäp bò chaën: Ñònh nghóa: Cho M ⊂ (X, d). M ñöôïc goïi laø bò chaën neáu toàn taïi S(x, ε) ⊃ M. 3/ Khoâng gian toâpoâ: 3.1/ Khoâng gian toâpoâ: Ñònh nghóa: Cho moät taäp hôïp X ≠ φ . Hoï τ caùc taäp con naøo ñoù cuûa X ñöôïc goïi laø moät toâpoâ treân X neáu: i/ φ ∈ τ, X ∈ τ. ii/ {Gα}α∈ I ⊂ τ ⇒ Υ G α ∈ τ. α∈τ toâpoâ thoâ. iii/ ∀G1, G2 ∈ τ ⇒ G1 ∩ G2 ∈ τ. Taäp hôïp X cuøng vôùi toâpoâ treân X ñöôïc goïi laø moät khoâng gian toâpoâ. Kyù hieäu: (X, τ). ² Hoï τ = {φ, X} laø moät toâpoâ treân X. (X, τ) ñöôïc goïi laø khoâng gian ² Hoï τ = {A | A ⊂ X} laø moät toâpoâ treân X. (X, τ) ñöôïc goïi laø khoâng gian toâpoâ rôøi raïc. 3.2/ So saùnh caùc toâpoâ: Ñònh nghóa: Cho τ1, τ2 laø hai toâpoâ treân X. Ta noùi τ1 laø yeáu (nhoû, thoâ) hôn τ2, hay noùi caùch khaùc τ2 laø maïnh (lôùn, mòn) hôn τ1 neáu τ1 ⊂ τ2. Kyù hieäu: τ1 ≤ τ2. 3.3/ Taäp môû, taäp ñoùng, laân caän: 3.3.1/ Ñònh nghóa: Cho (X, τ) laø khoâng gian toâpoâ. ² Taäp G ⊂ X ñöôïc goïi laø taäp môû trong (X, τ) neáu G ∈ τ. ² Taäp F ⊂ X ñöôïc goïi laø taäp ñoùng trong (X, τ) neáu X\F ∈ τ. ² Cho A ⊂ X vaø V ⊂ X. V ñöôïc goïi laø moät laân caän cuûa taäp hôïp A neáu toàn taïi G ∈ τ : A ⊂ G ⊂ V. Neáu A = {x} thì V ñöôïc goïi laø moät laân caän cuûa ñieåm x. Neáu V laø taäp môû thì V laø laân caän môû cuûa A. ² Hoï taát caû caùc laân caän cuûa x trong (X, τ) ñöôïc goïi laø heä laân caän cuûa x. 5 Ñeà taøi: Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích Kyù hieäu: Vx . 3.3.2/ Ñònh lyù: G laø taäp môû neáu vaø chæ neáu G laø laân caän cuûa moïi ñieåm thuoäc G. 3.4/ Caùc loaïi ñieåm, phaàn trong, bao ñoùng: 3.4.1/ Ñònh nghóa: Cho khoâng gian meâtric (X, d), x ∈ X, A ⊂ X. ² x ñöôïc goïi laø ñieåm trong cuûa taäp A neáu toàn taïi G ∈ τ : x ∈ G ⊂ A. ² x ñöôïc goïi laø ñieåm ngoaøi cuûa taäp A neáu toàn taïi G ∈ τ : x ∈ G ⊂ X\A. ² x ñöôïc goïi laø ñieåm bieân cuûa taäp A neáu vôùi moïi V ∈ Vx ⇒ V ∩ A ≠ φ vaø V ∩ (X\A) ≠ φ. ² Phaàn trong cuûa taäp hôïp A laø taäp hôïp taát caû caùc ñieåm trong cuûa A. Kyù hieäu: intA. ² Taäp ñoùng beù nhaát trong X chöùa A ñöôïc goïi laø bao ñoùng cuûa A. Kyù hieäu: A . 3.4.2/ Ñònh lyù: Cho (X, τ), A ⊂ X, x ∈ X a/ intA laø taäp môû lôùn nhaát chöùa trong A. b/ x ∈ A ⇔ x laø ñieåm dính cuûa A. 3.5/ Taäp hôïp truø maät: Ñònh nghóa: Cho (X, τ), A ⊂ X, B ⊂ X. ² Neáu B ⊂ A thì A ñöôïc goïi laø truø maät trong B. ² Neáu A = X thì A ñöôïc goïi laø truø maät khaép nôi trong X. 3.6/ Cô sôû toâpoâ: Ñònh nghóa: Cho (X, τ). Hoï B ⊂ τ ñöôïc goïi laø moät cô sôû toâpoâ cuûa X neáu nhö vôùi moïi x ∈ X, vaø moïi V ∈ Vx ñeàu toàn taïi B ∈ B : x ∈ B ⊂ V. Cô sôû toâpoâ B ñöôïc goïi laø ñeám ñöôïc neáu B goàm moät soá ñeám ñöôïc (hay khoâng quaù ñeám ñöôïc) nhöõng taäp môû. 3.7/ Caùi phuû: Ñònh nghóa: Hoï U caùc taäp hôïp naøo ñoù ñöôïc goïi laø moät caùi phuû cuûa taäp B neáu hôïp taát caû caùc taäp thuoäc U chöùa B. Neáu taát caû caùc taäp thuoäc U laø môû (ñoùng) thì U ñöôïc goïi laø moät phuû môû (ñoùng) cuûa taäp B. 3.8/ AÙnh xaï lieân tuïc: 3.8.1/ Ñònh nghóa: Cho hai khoâng gian toâpoâ (X, τX), (Y, τY) vaø aùnh xaï f : X → Y. 6 Ñeà taøi: Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích ² f ñöôïc goïi laø lieân tuïc taïi x0 ∈ X neáu vôùi moãi laân caän W cuûa f(x0) (trong Y) ñeàu toàn taïi moät laân caän V cuûa x0 (trong X) sao cho f(V) ⊂ W. ² f ñöôïc goïi laø lieân tuïc treân X neáu f lieân tuïc taïi moïi ñieåm x thuoäc X. 3.8.2/ Ñònh lyù: Cho hai khoâng gian toâpoâ (X, τX), (Y, τY) vaø aùnh xaï f : X → Y. Khi ñoù caùc meänh ñeà sau laø töông ñöông: a/ f lieân tuïc. b/ Neáu G laø taäp môû trong Y thì f−1(G) laø taäp hôïp môû trong X. c/ Neáu G laø taäp ñoùng trong Y thì f−1(G) laø taäp hôïp môû trong X. d/ Vôùi moïi taäp hôïp A ⊂ X ta ñeàu coù: f( A ) ⊂ f ( A ) . 3.8.3/ Ñònh lyù: Cho ba khoâng gian toâpoâ (X, τX), (Y, τY), (Z, τZ) vaø hai aùnh xaï lieân tuïc f : X → Y, g : Y → Z. Khi ñoù aùnh xaï tích h = g o f : X → Z laø aùnh xaï lieân tuïc. 3.9/ AÙnh xaï ñoàng phoâi: Ñònh nghóa: Cho hai khoâng gian toâpoâ (X, dX), (Y, dY). AÙnh xaï f : X → Y ñöôïc goïi laø moät pheùp ñoàng phoâi töø X vaøo Y neáu f laø moät song aùnh, f lieân tuïc vaø f−1 lieân tuïc. Khi ñoù caùc khoâng gian X vaø Y ñöôïc goïi laø ñoàng phoâi vôùi nhau 3.10/ Caùc tieân ñeà taùch: Ñònh nghóa: ² Khoâng gian toâpoâ X ñöôïc goïi laø T0 − khoâng gian (khoâng gian Komogorov) neáu vôùi moïi caëp ñieåm khaùc nhau cuûa khoâng gian luoân toàn taïi laân caän cuûa moät trong hai ñieåm khoâng chöùa ñieåm kia. ² Khoâng gian toâpoâ X ñöôïc goïi laø T1 − khoâng gian (khoâng gian Frechet) neáu vôùi moïi caëp ñieåm x, y khaùc nhau cuûa khoâng gian luoân toàn taïi moät laân caän cuûa x khoâng chöùa y vaø moät laân caän cuûa y khoâng chöùa x. ² Khoâng gian toâpoâ X ñöôïc goïi laø T2 − khoâng gian (khoâng gian Housdorff, khoâng gian taùch) neáu vôùi moïi caëp ñieåm baát kì khaùc nhau cuûa khoâng gian luoân coù caùc laân caän rôøi nhau. ² Khoâng gian toâpoâ X ñöôïc goïi laø khoâng gian chính qui neáu vôùi moãi ñieåm x thuoäc X vaø moãi taäp ñoùng F khoâng chöùa x luoân toàn taïi laân caän U cuûa x vaø laân caän V cuûa F sao cho U ∩ V = φ. Neáu X laø khoâng gian chính qui vaø X laø T1 − khoâng gian thì X ñöôïc goïi laø T3 − khoâng gian. ² Khoâng gian toâpoâ X ñöôïc goïi laø khoâng gian chuaån taéc neáu vôùi hai taäp ñoùng baát kì A, B rôøi nhau trong X luoân toàn taïi taäp U môû chöùa A vaø taäp V môû chöùa B sao cho U ∩ V = φ. 7 Ñeà taøi: Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích Neáu X laø khoâng gian chuaån taéc vaø X laø T1 − khoâng gian thì X ñöôïc goïi laø T4 − khoâng gian. 3.11/ Khoâng gian compact: 3.11.1/ Ñònh nghóa: Cho khoâng gian toâpoâ (X, τ) vaø A ⊂ X ² X ñöôïc goïi laø khoâng gian compact neáu moïi phuû môû cuûa X ñeàu toàn taïi phuû con höõu haïn. ² A ñöôïc goïi laø taäp compact neáu moïi phuû môû cuûa A ñeàu toàn taïi phuû con höõu haïn. 3.11.2/ Ñònh lyù: Moãi taäp con ñoùng cuûa khoâng gian compact ñeàu laø compact. 3.12/ Khoâng gian compact ñòa phöông: Ñònh nghóa: Khoâng gian toâpoâ (X, τ) ñöôïc goïi laø khoâng gian compact ñòa phöông neáu moãi x thuoäc X ñeàu toàn taïi moät laân caän ñoùng vaø compact. 3.13/ Khoâng gian lieân thoâng: Ñònh nghóa: Khoâng gian toâpoâ (X, τ) ñöôïc goïi laø khoâng gian lieân thoâng neáu chæ coù φ vaø X laø hai taäp vöøa ñoùng vöøa môû trong X. 4/ Khoâng gian ñònh chuaån: 4.1/ Khoâng gian toâpoâ tuyeán tính: 4.1.1/ Ñònh nghóa: Taäp X ñöôïc goïi laø moät khoâng gian toâpoâ tuyeán tính treân tröôøng soá thöïc R hoaëc treân tröôøng soá phöùc C, neáu: i/ X laø moät khoâng gian tuyeán tính, ii/ X laø moät khoâng gian toâpoâ (vôùi toâpoâ τ ), iii/ Vôùi toâpoâ τ, pheùp coäng vaø pheùp nhaân vôùi moät soá cuûa tröôøng R hoaëc C laø lieân tuïc. Töø ñaây ta kyù hieäu K laø tröôøng soá thöïc R hoaëc tröôøng soá phöùc C. 4.1.2/ Ñònh lyù: Vôùi moãi x 0 ∈ X, pheùp tònh tieán: f(x) = x + x0 laø moät pheùp ñoàng phoâi cuûa X leân chính noù. Ñaëc bieät neáu U laø moät cô sôû laân caän cuûa goác, thì U + x0 laø cô sôû laân caän cuûa x0. 4.1.3/ Ñònh nghóa: Giaû söû A laø moät taäp con cuûa khoâng gian tuyeán tính X. i/ A ñöôïc goïi laø loài neáu ∀x ∈ A, ∀y ∈ A, ∀λ, µ ≥ 0 : λ + µ = 1, ta ñeàu coù λx + µy ∈ A . ii/ A ñöôïc goïi laø caân neáu ∀x ∈ A , ∀λ : λ ≤ 1, ta ñeàu coù λx ∈ A , iii/ A ñöôïc goïi laø tuyeät ñoái loài neáu A laø loài vaø caân, 8 Ñeà taøi: Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích iiii/ A ñöôïc goïi laø huùt neáu ∀x ∈ X, ∃λ > 0 sao cho x ∈ µA (∀µ : µ ≥ λ ) Nhaän xeùt: A tuyeät ñoái loài ⇔ vôùi moïi x, y ∈ A vaø λ, µ ∈ K, λ + µ ≤ 1 , ta coù λx + µy ∈ A . 4.1.4/ Ñònh nghóa: a/ Bao loài cuûa taäp A laø taäp taát caû caùc toå hôïp tuyeán tính (höõu haïn) ∑ λ i x i vôùi λ i ≥ 0, ∑ λ i = 1, x i ∈ A. i i b/ Bao tuyeät ñoái loài cuûa A laø taát caû caùc toå hôïp tuyeán tính (höõu haïn) ∑ λ i x i vôùi ∑ λ i ≤ 1, x i ∈ A. i i 4.1.5/ Ñònh lyù: Giaû söû A ≠ 0, tuyeät ñoái loài. Khi ñoù: Ø 0 ∈ A, Ø λ ≤ µ ⇒ λA ⊂ µA , Ø n ∑ (λ i A ) = (∑ λ i )A (∀ λi ∈ K). i=1 4.1.6/ Ñònh lyù: Giaû söû U laø moät cô sôû cuûa goác trong khoâng gian toâpoâ tuyeán tính X. Khi ñoù vôùi moãi U ∈ U , ta coù: i/ U laø huùt. ii/ ∃V ∈ U : V + V ⊂ U . iii/ Toàn taïi moät laân caän W ⊂ U. 4.1.7/ Ñònh nghóa: Moät khoâng gian toâpoâ tuyeán tính X ñöôïc goïi laø moät khoâng gian loài ñòa phöông neáu X coù moät cô sôû goàm caùc laân caän loài cuûa ñieåm goác. 4.1.8/ Ñònh nghóa: Moät sô chuaån treân khoâng gian tuyeán tính X laø moät aùnh xaï p : X → R thoûa maõn : i/ p( α x) = α p(x) (∀x ∈ X, ∀α > 0 ) , ii/ p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) (∀x, y ∈ X ) . 4.1.9/ Ñònh nghóa: Moät nöûa chuaån treân khoâng gian tuyeán tính X laø moät aùnh xaï p : X → R thoûa maõn : i/ p( α x) = α p(x) (∀x ∈ X, ∀α ∈ K ) , ii/ p(x + y) ≤ p(x) + p(y) (∀x, y ∈ X ) . 4.1.10/ Ñònh lyù: Giaû söû p vaø q laø caùc nöûa chuaån treân X thoûa maõn ñieàu kieän “ p(x) ≤ 1 ⇒ q(x) ≤ 1". Khi ñoù q(x) ≤ p(x) (∀x ∈ X) 4.1.11/ Ñònh lyù: 9 Ñeà taøi: Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích a/ Giaû söû p laø moät nöûa chuaån treân X. Khi ñoù, vôùi moïi α > 0, caùc taäp hôïp {x : p(x) < α } vaø {x : p(x) ≤ α } laø tuyeät ñoái loài vaø huùt. b/ Vôùi moãi taäp A tuyeät ñoái loài vaø huùt, ñeàu töông öùng vôùi nöûa chuaån p ñöôïc xaùc ñònh bôûi: p(x) = inf {λ : λ > 0, x ∈ λA} vaø ñoàng thôøi {x : p(x) < 1} ⊂ A ⊂ {x : p(x) ≤ 1}. 4.1.12/ Ñònh nghóa: Nöûa chuaån p xaùc ñònh bôûi p(x) = inf {λ : λ > 0, x ∈ λA}, töông öùng vôùi taäp tuyeät ñoái loài vaø huùt A ñöôïc goïi laø haøm côõ hoaëc phieám haøm Minkowski cuûa taäp A. 4.1.13/ Ñònh lyù: a/ Giaû söû p laø moät nöûa chuaån treân khoâng gian loài ñòa phöông X. Khi ñoù p lieân tuïc ⇔ p lieân tuïc taïi 0. b/ Giaû söû p laø haøm côõ cuûa taäp tuyeät ñoái loài vaø huùt U. Khi ñoù: p lieân tuïc treân X ⇔ U laø moät laân caän cuûa 0. Ñoàng thôøi, intU = {x : p(x) < 1 }, U = {x : p(x) ≤ 1 }, 4.2/ Khoâng gian ñònh chuaån: 4.2.1/ Ñònh nghóa: Giaû söû X laø moät khoâng gian tuyeán tính treân tröôøng soá thöïc hay phöùc K, p laø moät nöûa chuaån xaùc ñònh treân X. Neáu p thoûa maõn theâm ñieàu kieän: p(x) = 0 ⇒ x = 0, thì p ñöôïc goïi laø moät chuaån xaùc ñònh treân X. Khi ñoù, ta kyù hieäu x thay cho p(x). Nhö vaäy, moät chuaån . thoûa maõn ba ñieàu kieän: i / x ≥ 0 (∀x ∈ X ); x = 0 ⇔ x = 0; ii / λx = λ x iii / x + y =≤ x (∀x ∈ X, ∀λ ∈ K ); + y (∀x, y ∈ X ) 4.2.2/ Ñònh nghóa: Khoâng gian tuyeán tính thöïc (hay phöùc) cuøng vôùi moät chuaån xaùc ñònh treân X ñöôïc goïi laø moät khoâng gian ñònh chuaån thöïc (hay phöùc). Chuù yù: Khoâng gian ñònh chuaån laø khoâng gian loài ñòa phöông vaø taùch. 4.2.3/ Ñònh nghóa: Giaû söû X laø moät khoâng gian ñònh chuaån. Vôùi moïi x, y ∈ X, ta ñaët: 10 Ñeà taøi: Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích d (x, y ) = x − y , thì d laø moät khoaûng caùch trong X. Vì vaäy, moät khoâng gian ñònh chuaån cuõng laø moät khoâng gian meâtric, vaø do ñoù lyù thuyeát caùc khoâng gian meâtric aùp duïng ñöôïc cho caùc khoâng gian ñònh chuaån. 4.2.4/ Ñònh nghóa: Daõy {xn} trong khoâng gian ñònh chuaån X ñöôïc goïi laø hoäi tuï ñeán x0 ∈ X, neáu: lim x n − x 0 = 0; Kyù hieäu: x n → x 0 hoaëc lim x n = x 0 . 4.2.5/ Ñònh nghóa: Daõy {xn} trong khoâng gian ñònh chuaån X ñöôïc goïi laø daõy Cauchy, neáu lim x n − x m = 0. m ,n→∞ 4.2.6/ Ñònh nghóa: ² Chuaån . 1 ñöôïc goïi laø maïnh hôn chuaån . ² Caùc chuaån . 1 vaø . 2 2 neáu τ 1 ≥ τ2. ñöôïc goïi laø töông ñöông vôùi nhau, neáu τ1 = τ2 4.2.7/ Ñònh lyù: Giaû söû X laø moät khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån, A laø moät taäp loài môû chöùa ñieåm O, p laø phieám haøm Minkowski cuûa taäp A. Khi ñoù: A = {x ∈ X : p(x) < 1}. 4.3/ Toaùn töû tuyeán tính: Giaû söû X vaø Y laø hai khoâng gian tuyeán tính treân cuøng moät tröôøng soá K, aùnh xaï A : X → Y. 4.3.1/ Ñònh nghóa: A ñöôïc goïi laø moät aùnh xaï tuyeán tính, hoaëc toaùn töû tuyeán tính, hay goïi taét laø toaùn töû, neáu vôùi moïi x ∈ X, y ∈ Y, ∀α, β ∈ K, ta coù: A(αx + βy) = αAx + βAy. ² Toaùn töû f : X → K ñöôïc goïi laø phieám haøm tuyeán tính treân X. 4.3.2/ Ñònh nghóa: Giaû söû A : X → Y laø toaùn töû tuyeán tính. i/ Haït nhaân cuûa A laø taäp hôïp : KerA = A−1(0) = {x∈ X : Ax = 0}, ii/ AÛnh cuûa A laø taäp hôïp: imA = A(X) = {y∈ Y : y = Ax, x∈ X}. 4.3.3/ Ñònh nghóa: Toaùn töû tuyeán tính A : X → Y ñöôïc goïi laø moät ñaúng caáu tuyeán tính cuûa X leân Y, neáu KerA = {0} vaø imA = Y. 4.3.4/ Ñònh nghóa: ² Taäp hôïp A ñöôïc goïi laø moät ña taïp tuyeán tính neáu vôùi moïi x, y ∈ A ta coù αx + (− α)y ∈ A. 11 Ñeà taøi: Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích ² Cho khoâng gian ñònh chuaån X vaø moät phieám haøm tuyeán tính f ≠ 0 treân X, c laø soá thöïc tuøy yù . Khi ñoù ña taïp tuyeán tính {x : f(x) = c} ñöôïc goïi laø moät sieâu phaúng trong X. 4.3.5/ Ñònh lyù: Neáu moät ña taïp tuyeán tính V trong moät khoâng gian ñònh chuaån thöïc X maø khoâng caét taäp hôïp loài môû D thì coù moät sieâu phaúng ñoùng chöùa V maø khoâng caét D. 4.4/ Toaùn töû tuyeán tính lieân tuïc: 4.4.1/ Ñònh nghóa: Toaùn töû tuyeán tính A : X → Y ñöôïc goïi laø bò chaën. neáu toàn taïi M > 0 sao cho: Ax ≤ M x vôùi moïi x ∈ X. Soá M nhoû nhaát thoûa maõn ñieàu kieän treân ñöôïc goïi laø chuaån cuûa A. Kyù hieäu: ||A||. 4.4.2/ Ñònh lyù: Caùc meänh ñeà sau ñaây töông ñöông : i/ A lieân tuïc (töùc laø A lieân tuïc taïi moïi ñieåm cuûa X), ii/ A lieân tuïc taïi moïi ñieåm xo∈ X, iii/ A lieân tuïc taïi 0, iiii/ A bò chaën. 4.5/ Khoâng gian lieân hôïp: Ñònh nghóa: ² Khoâng gian L(X, K) taát caû caùc phieám haøm tuyeán tính lieân tuïc xaùc ñònh treân X ñöôïc goïi laø khoâng gian lieân hôïp hay khoâng gian ñoái ngaãu cuûa X. Kyù hieäu: X*. ² Khoâng gian lieân hôïp cuûa X* ñöôïc goïi laø khoâng gian lieân hôïp thöù hai cuûa X, kyù hieäu laø X**. Khoâng gian lieân hôïp cuûa X** ñöôïc goïi laø khoâng gian lieân hôïp thöù ba cuûa X, kyù hieäu laø X*** … 4.6/ Toaùn töû ngöôïc: Ta chuù yù: Neáu X vaø Y laø hai khoâng gian tuyeán tính treân cuøng moät tröôøng soá K, A : X → Y laø moät song aùnh tuyeán tính, thì toàn taïi aùnh xaï ngöôïc A−1 : Y → X vaø A−1 cuõng laø moät toaùn töû tuyeán tính. ² Neáu X, Y laø caùc khoâng gian ñònh chuaån vaø A : X → Y laø song aùnh tuyeán tính lieân tuïc töø X leân Y, thì toàn taïi toaùn töû tuyeán tính A−1, nhöng A−1 coù theå khoâng lieân tuïc. 4.6.1/ Ñònh nghóa: Giaû söû A laø moät toaùn töû tuyeán tính lieân tuïc töø khoâng gian ñònh chuaån X leân khoâng gian ñònh chuaån Y vaø aùnh xaï ngöôïc A−1 lieân tuïc. Khi ñoù, ta noùi A−1 laø toaùn töû ngöôïc cuûa A. Ñoàng thôøi, A ñöôïc goïi laø pheùp ñoàng phoâi tuyeán tính X leân Y vaø X, Y goïi laø hai khoâng gian ñoàng phoâi tuyeán tính vôùi nhau. 12 Ñeà taøi: Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích 4.6.2/ Ñònh nghóa: Giaû söû X vaø Y laø caùc khoâng gian ñònh chuaån vaø toaøn aùnh ϕ : X → Y thoûa maõn: ϕ(αx + βy) = αϕ(x) + βϕ(y) (∀ x, y ∈ X; ∀ α, β ∈ K) ||ϕ (x)|| = ||x|| (∀ x ∈ X) Khi ñoù ϕ laø moät song aùnh tuyeán tính, ñöôïc goïi laø moâït pheùp ñaúng caáu tuyeán tính töø X ñeán Y, vaø X, Y ñöôïc goïi laø hai khoâng gian ñònh chuaån ñaúng caáu vôùi nhau. 4.6.3/ Ñònh lyù: Neáu X laø khoâng gian ñònh chuaån n chieàu thì ² X laø khoâng gian Banach. ² X* laø khoâng gian ñònh chuaån n chieàu ñoàng phoâi tuyeán tính vôùi X. 4.6.4/ Ñònh lyù: Hai khoâng gian ñònh chuaån ñoàng phoâi tuyeán tính coù theå ñoàng nhaát vôùi nhau. 4.7/ Khoâng gian Hilbert: 4.7.1/ Ñònh nghóa: Khoâng gian tuyeán tính X xaùc ñònh treân tröôøng soá K (K = R hoaëc C) ñöôïc goïi laø khoâng gian tieàn Hilbert neáu vôùi moïi x, y ∈ K, xaùc ñònh moät soá (x, y) thoûa maõn caùc tieân ñeà sau: i/ (x, x) ≥ 0 (∀ x ∈ X) (x, x) = 0 ⇔ x = 0 ii/ (x, y) = (y, x) (∀ x,y ∈ X) iii/ (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (∀ x,y, z ∈ X, ∀λ, µ ∈ K) 4.7.2/ Ñònh lyù: Khoâng gian tieàn Hilbert laø khoâng gian tuyeán tính ñònh chuaån vôùi chuaån (x, x) . 4.7.3/ Ñònh nghóa: Khoâng gian tieàn Hilbert ñaày ñuû ñöôïc goïi laø khoâng gian Hilbert. 4.7.4/ Ñònh nghóa: ² Hai vectô x, y ∈ X ñöôïc goïi laø tröïc giao neáu (x, y) = 0. Kyù hieäu: x ⊥ y ² Heä S ⊂ X ñöôïc goïi laø moät heä tröïc giao neáu caùc vectô cuûa S tröïc giao vôùi nhau töøng ñoâi moät 4.7.5/ Ñònh lyù: (Riesz) Giaû söû f laø phieám haøm tuyeán tính lieân tuïc treân khoâng gian Hilbert X. Khi ñoù toàn taïi x0 ∈ X sao cho: f(x) = (x, x0) (x ∈ X) Phaàn töû x0 ñöôïc xaùc ñònh duy nhaát vaø x 0 = f . 13 Ñeà taøi: Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích Chöông 1 THAÙC TRIEÅN AÙNH XAÏ LIEÂN TUÏC TRONG GIAÛI TÍCH COÅ ÑIEÅN 1/ Thaùc trieån haøm soá lieân tuïc: Giaû söû f laø moät haøm soá lieân tuïc treân X, vaø A ⊂ X. Hieån nhieân haøm soá fA thu heïp cuûa f leân A laø lieân tuïc. Ta ñaët baøi toaùn ngöôïc laïi: Cho A ⊂ X vaø haøm soá h lieân tuïc treân A. Toàn taïi hay khoâng haøm soá f xaùc ñònh treân X sao cho h = fA ? Neáu toàn taïi haøm soá f nhö vaäy thì f ñöôïc goïi laø thaùc trieån cuûa h treân X, ngoaøi ra neáu f lieân tuïc thì f ñöôïc goïi laø thaùc trieån lieân tuïc cuûa h treân X. Ví duï 1.1: Xeùt hai haøm soá f : R → R x α f(x) = vaø thì roõ raøng h = fR + . h : R+ → R x α f(x) = x x Ví duï sau ñaây seõ chöùng toû khoâng phaûi moïi aùnh xaï lieân tuïc treân moät khoâng gian con ñeàu thaùc trieån lieân tuïc ñöôïc: Ví duï 1.2: Cho A = (0, 1] ⊂ X = [0, 1] vaø caùc aùnh xaï lieân tuïc f : (0, 1] → R g : (0, 1] → R x α f(x) = 1 / x x α g(x) = sin(1 / x) ta thaáy khoâng theå thaùc trieån lieân tuïc f vaø g treân toaøn boä ñoaïn [0, 1]. * Trong moät tröôøng hôïp khaùc baøi toaùn thaùc trieån cuõng khoâng coù lôøi giaûi: Ñònh lyù 1.3: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc nhöng khoâng lieân tuïc ñeàu treân taäp bò chaën E ⊂ R thì haøm soá naøy khoâng theå thaùc trieån lieân tuïc treân R. Chöùng minh Giaû söû f ñöôïc thaùc trieån treân R thì noù cuõng ñöôïc thaùc trieån treân E , luùc ñoù thaùc trieån cuûa f seõ lieân tuïc ñeàu treân E vaø do ñoù cuõng lieân tuïc ñeàu treân E ⊂ E (traùi giaû thieát). Nhö vaäy: Moät haøm soá khoâng lieân tuïc ñeàu treân taäp bò chaën E ⊂ R thì khoâng theå thaùc trieån lieân tuïc treân R. * Ñeå baøi toaùn thaùc trieån coù lôøi giaûi, caàn phaûi ñaët moät soá ñieàu kieän ñoái vôùi haøm soá ban ñaàu: 14 Ñeà taøi: Thaùc trieån aùnh xaï lieân tuïc trong caùc khoâng gian giaûi tích Ñònh lyù 1.3: Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc ñeàu treân taäp bò chaën E ⊂ R thì coù theå thaùc trieån lieân tuïc treân R. Chöùng minh Tröôùc heát ta chöùng minh haøm soá f(x) coù theå thaùc trieån lieân tuïc treân bao ñoùng E cuûa taäp E. Giaû söû x0 ∈ E \ E. Do f lieân tuïc ñeàu treân E, neân ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x, x’ ∈ E, | x−x’| < δ ta coù | f(x) − f(x’) | < ε . Ta chöùng minh f(x) coù giôùi haïn khi x → x0. Cho {xk} ⊂ E, xk → x0. Xeùt daõy {f(xk)}, daõy naøy laø daõy Cauchy trong R vì lim | f(x) − f(x0) | = 0. Suy ra {f(xk)} coù giôùi haïn vaø giôùi haïn naøy khoâng phuï x→x 0 thuoäc caùch choïn daõy {xk} hoäi tuï ñeán x0. Ñaët f (x 0 ) = lim f (x) khi ñoù haøm soá lieân tuïc x0. x→ x0 Nhö vaäy haøm soá f(x) ñöôïc thaùc trieån lieân tuïc treân E . Ñeå thaùc trieån lieân tuïc haøm soá naøy treân R ta caàn thaùc trieån tuyeán tính noù treân moïi khoaûng keà. Neáu khoaûng keà (α, β) höõu haïn: Ñaët: x−α (f(β) − f(α)) vôùi moïi x ∈ (α, β) f (x) = f(α) + β−α Neáu khoaûng keà (α, β) voâ haïn (chaúng haïn (α , + ∞)): Ñaët: f (x) = f(α) Deã thaáy haøm soá f xaùc ñònh, lieân tuïc khaép nôi treân (− ∞, + ∞) vaø f E = f, suy ra f laø thaùc trieån lieân tuïc cuûa f treân R. * 2/ Thaùc trieån ñoàng thôøi caùc haøm soá lieân tuïc : Giaû söû ta ñaõ coù thaùc trieån f , g cuûa hai haøm soá f vaø g, trong moät mieàn naøo ñoù ta laïi coù f = g . Nhö vaäy thaùc trieån moät haøm soá daãn tôùi khaùi nieäm thaùc trieån ñoàng thôøi nhieàu haøm soá. Vaán ñeà 2.1: Cho E, F laø hai taäp ñoùng khoâng giao nhau treân R, f : E → R, g : F → R laø hai haøm soá lieân tuïc treân R. Ta xaây döïng haøm soá f lieân tuïc, vöøa laø thaùc trieån cuûa f vöøa laø thaùc trieån cuûa g. Vì E, F laø hai taäp hôïp ñoùng, E ∩ F = φ neân E, F khoâng coù ñieåm dính chung, suy ra d(x, F) + d(x, E) ≠ 0 Ñaët f (x)d(x, F) + g(x)d(x, E) f (x ) = d (x, F ) + d (x, E ) 15