Tài liệu Tập kì dị của toán tử của toán tử thế vị trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN TRỊNH THỊ LỆ XUÂN TẬP KÌ DỊ CỦA TOÁN TỬ THẾ VỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN TRỊNH THỊ LỆ XUÂN TẬP KÌ DỊ CỦA TOÁN TỬ THẾ VỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TH.S NGUYỄN QUỐC TUẤN Hà Nội – Năm 2017 Lời cảm ơn Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, tôi đã nhận được sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy cô trong tổ giải tích nói riêng và khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung cùng với sự hỗ trợ, giúp đỡ của các bạn sinh viên. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã tận tình giúp đỡ tôi trong bốn năm học vừa qua và đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa luận này. Đặc biệt, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sấu sắc đến thầy giáo ThS. Nguyễn Quốc Tuấn đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này. Do còn hạn chế về trình độ và thời gian nên những vấn đề trình bày trong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự giúp đỡ và góp ý của thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của tôi có thể hoàn thiện hơn nữa. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 8 tháng 5 năm 2017 Tác giả khóa luận Trịnh Thị Lệ Xuân Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp này của tôi, được hình thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo ThS. Nguyễn Quốc Tuấn cùng với đó là sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên cứu tôi đã tham khảo và kế thừa những thành quả nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn. Tôi xin cam đoan những nghiên cứu trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các tác giả khác. Hà Nội, Ngày 8 tháng 5 năm 2017 Tác giả khóa luận Trịnh Thị Lệ Xuân Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Bảng kí hiệu Lời mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Nón lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 Toán tử Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5 Khả vi Gâteaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Điểm tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Định nghĩa hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Hàm nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 Hàm nửa liên tục dưới yếu . . . . . . . . . . . . 11 Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.5 Trịnh Thị Lệ Xuân Hàm Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Tập kỳ dị của toán tử thế vị 12 13 2.1 Tập kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Tính chất của tập kì dị 14 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . Tính chất phi σ-compact của các tập SΦ và Φ(SΦ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 2.2.3 14 Tính chất phi σ-compact của các tập ŜΦ|(X\B) và tập Φ(ŜΦ|(X\B) ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Tính chất của tập ŜΦλ∗ . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Ứng dụng 24 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân DANH MỤC KÍ HIỆU C1 tập tất cả các hàm số có đạo hàm cấp 1 liên tục C2 tập tất cả các hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục span(A) bao tuyến tính của tập A dist(x0 , L) khoảng cách từ điểm x0 đến tập L ess sup |u(x)| cận dưới lớn nhất các hằng số k sao cho |u(x)| ≤ k Ω L1 (Ω) không gian các hàm khả tích bậc 1 trong Ω L∞ (Ω) không gian các hàm bị chặn và đo được theo Lebesgue với chuẩn ky(x)kL∞ (Ω) = ess sup |y(x)| x∈Ω meas(A) độ đo của tập A H10 không gian Sobolev thông thường ∇u(x) Gradient của u tại x L(X, Y ) không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân Lời mở đầu Toán học là một trong những ngành khoa học cơ bản cổ xưa nhất của nhân loại. Nó có sức cuốn hút mãnh liệt, đã và đang là niềm đam mê của rất nhiều thế hệ các nhà khoa học, chứa đựng trong nó là cả một kho tàng vô tận những bí ẩn cũng như khả năng ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của cuộc sống. Trong đó, Giải tích là một lĩnh vực đóng vai trò quan trọng và có ứng dụng mạnh mẽ trong thực tiễn. Vào năm 1978, R. A. Plastock đã nghiên cứu về các điểm kì dị của ánh xạ phi tuyến Fredholm với chỉ số không. Đến năm 1980, ông cùng với M. S. Berger cũng đã nghiên cứu bài toán trên với toán tử phi tuyến Fredholm với chỉ số dương. Cùng với hướng nghiên cứu về các điểm kì dị của ánh xạ phi tuyến, Biagio Ricceri lại nghiên cứu về tập điểm kì dị của toán tử thế vị. Các kết quả mà Biagio Ricceri nghiên cứu được trình bày trong hai bài báo [8] năm 2007 và [9] năm 2015. Khóa luận này được hoàn thành chủ yếu dựa trên nội dung bài báo [8] của Biagio Ricceri. Giả sử X là một không gian Hilbert và J là một phiếm hàm C 1 (X) xác định như sau J : X −→ R. Với mỗi λ > 0 ta xác định toán tử Φλ : X −→ X, Φλ (x) = x + λJ 0 (x) với mọi x ∈ X. Khi đó, điểm x0 ∈ X được gọi là điểm kì dị của Φλ nếu Φ không là phép đồng phôi địa phương tại điểm x0 . Tập các điểm kì dị của Φ ta kí hiệu là SΦ . Ta dễ thấy SΦ là tập đóng. Dưới các giả thiết hàm J nửa liên tục dưới yếu theo dãy, không tựa lồi, thuần nhất dương với bậc α khác 2, không âm với bậc α > 2 và Φ đóng, Định lý 2.1 đã khẳng 1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân định hai tập SΦ và Φ(SΦ ) phi σ-compact. Phần cuối của khóa luận tôi đưa ra ứng dụng của tính chất trên (Định lý 2.1) cùng với Định lý 2.3 cho bài toán Dirichlet    −∆u = f (x, u)   u = 0 trong Ω (Pf ) trên ∂Ω với Ω ⊂ Rn là một miền bị chặn với biên trơn, u = u(x1 , x2 , ..., xn ) thuộc H01 (Ω) (H01 (Ω) là không gian Sobolev thông thường), f là một hàm cho trước. Một ứng dụng điển hình được đưa ra với các giả thiết của Định lý 2.3 thì tồn tại λ∗ > 0 sao cho các hàm u ∈ H01 (Ω) là nghiệm của bài toán Dirichlet    −∆v = λ∗ β(x)ψ 0 (u(x))v   v trong Ω = 0 trên ∂Ω. có một nghiệm yếu khác không chứa một điểm tụ. Do hạn chế về trình độ và thời gian thực hiện đề tài nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót. Tôi kính mong quý thầy cô và bạn đọc góp ý để khóa luận này hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 8 tháng 5 năm 2017 Tác giả khóa luận Trịnh Thị Lệ Xuân 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong phần này tôi sẽ liệt kê một số định nghĩa, định lý, tính chất cần thiết.Ta luôn giả thiết X là một không gian Hilbert thực và A, B là các tập con của X, x là một điểm thuộc X. 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Một số khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.1. Cho không gian tuyến tính X trên trường R. Ta gọi tích vô hướng trên không gian X là mọi ánh xạ từ X × X vào trường R, ký hiệu h·, ·i thỏa mãn các tiên đề: i. Với mọi x, y ∈ X, hx, yi = hy, xi; ii. Với mọi x, y, z ∈ X, hx + y, zi = hx, zi + hy, zi; iii. Với mọi x, y ∈ X, ∀α ∈ R, hαx, yi = αhx, yi; iv. Với mọi x ∈ X, hx, xi > 0 nếu x 6= 0 (với 0 là phần tử không), hx, xi = 0 nếu x = 0. 3 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân Định nghĩa 1.2. Ta gọi một tập X 6= ∅ gồm những phần tử x, y, z, ... nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập X thỏa mãn các điều kiện i. X là không gian tuyến tính trên trường R; ii. X được trang bị một tích vô hướng h·, ·i, iii. X là không gian Banach với chuẩn kxk = p hx, xi, ∀x ∈ X. Định nghĩa 1.3. Một tập A trong không gian X được gọi là compact nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc A đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc A. Tập A được gọi là compact địa phương nếu với mọi điểm a ∈ A tồn tại lân cận U của a sao cho U ∩ A là tập compact. Một tập là σ-compact nếu nó là hợp của một họ đếm được các tập compact. Định lý 1.1. Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ liên tục và A ⊆ X. Khi đó, nếu A compact thì f (A) compact. Nếu f : X −→ Y là một song ánh liên tục giữa các không gian X và Y thì ánh xạ ngược f −1 : Y −→ X được xác định nhưng có thể không liên tục. Nếu f −1 cũng liên tục thì ta nói f là một phép đồng phôi. Định nghĩa 1.4. Cho A và B là hai tập con của X. Tập A được gọi là trù mật trong B nếu B ⊂ A. Nếu A = X thì A được gọi là trù mật khắp nơi trong X. Định nghĩa 1.5. Không gian X gọi là không gian tách được nếu tập X chứa tập con đếm được trù mật khắp nơi trong không gian X. 4 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân Định nghĩa 1.6. Một phiếm hàm f : X −→ R xác định trên không gian Hilbert X được gọi là bức (coercive) nếu thỏa mãn lim f (x) = +∞. kxk→+∞ 1.1.2 Tập lồi Định nghĩa 1.7. Một tập hợp C ⊆ X được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ C và λ ∈ (0, 1) ta có λx + (1 − λ)y ∈ C. Trong không gian hữu hạn chiều, mặt phẳng, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác, hình cầu cho ta các hình ảnh về tập lồi. Trong khi mặt cầu, đường cong nói chung không phải là tập lồi. Mệnh đề 1.1. Giao của một họ bất kì các tập lồi là tập lồi. Định nghĩa 1.8. Giả sử A ⊂ X. Giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi của tập A và ký hiệu là co A. Nhận xét 1.1. Tập bao lồi co A của A là một tập lồi và là tập lồi nhỏ nhất chứa A. Định nghĩa 1.9. Vectơ x được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x1 , x2 , ..., xm m X thuộc X nếu tồn tại λi ≥ 0 (i = 1, ..., m) thỏa mãn λi = 1, sao cho x = m X i=1 λi xi . i=1 Mệnh đề 1.2. i. Một tập lồi thì chứa mọi tổ hợp lồi của các vectơ của nó,  ii. Tập co A = x | là tổ hợp lồi của các vectơ thuộc A , 5 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân iii. Tập C là tập lồi khi và chỉ khi C = co C. Mệnh đề 1.3. i. Cho A, B ⊆ X là các tập lồi, α ∈ R. Khi đó, các tập A + B và αA đều là các tập lồi, ii. Ảnh và nghịch ảnh của một tập lồi qua một ánh xạ tuyến tính là tập lồi. Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh i. Thật vậy, lấy các phần tử a1 , a2 ∈ A, b1 , b2 ∈ B và λ ∈ (0, 1). Do A và B là các tập lồi nên λa1 + (1 − λ)a2 ∈ A và λb1 + (1 − λ)b2 ∈ B. Ta có λ(a1 +b1 )+(1−λ)(a2 +b2 ) = [λa1 +(1−λ)a2 ]+[λb1 +(1−λ)b2 ] ∈ A+B, λ(αa1 ) + (1 − λ)(αa2 ) = α(λa1 + (1 − λ)a2 ) ∈ αA. Vậy A + B và αA là các tập lồi. Tiếp theo ta chứng minh ii. Giả sử F ∈ L(X, Y ) (L(X, Y ) là không gian các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y ) và A ⊆ X, B ⊆ Y là các tập lồi. Với mọi x1 , x2 ∈ A và λ ∈ (0, 1) ta có λF (x1 ) + (1 − λ)F (x2 ) = F (λx1 + (1 − λ)x2 ) ∈ F (A), suy ra F (A) là tập lồi. Với mọi x1 , x2 ∈ F −1 (B) (tức F (x1 ), F (x2 ) ∈ B) và λ ∈ (0, 1) thì F (λx1 + (1 − λ)x2 ) = λF (x1 ) + (1 − λ)F (x2 ) ∈ B suy ra λx1 + (1 − λ)x2 ∈ F −1 (B). Vậy F −1 (B) cũng lồi. 6 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.1.3 Trịnh Thị Lệ Xuân Nón lồi Một tập K ⊆ X được gọi là nón nếu với mọi điểm k ∈ K và λ > 0 ta có λk ∈ K. Hơn nữa, nếu K là tập lồi thì nó sẽ được gọi là nón lồi. Mệnh đề 1.4. i. Giao của một họ bất kì các nón (nón lồi) là nón (nón lồi), ii. Nếu K, L là các nón (nón lồi) thì K + L cũng là nón (nón lồi). 1.1.4 Toán tử Fredholm Cho X và Y là hai không gian Hilbert trên trường R. Một toán tử tuyến tính liên tục T : X −→ Y được gọi là toán tử Fredholm nếu số chiều dim ker T của ker T và số đối chiều codim T của R(T ) là hữu hạn. Trong đó R(T ) là ảnh của toán tử T hay R(T ) = T (X) = {T x : x ∈ X}. Ta kí hiệu chỉ số của toán tử Fredholm T là index T và được định nghĩa như sau index T = dim ker T − codim T. Khi index T = 0 ta gọi T là toán tử Fredholm với chỉ số 0. 1.1.5 Khả vi Gâteaux Cho X là không gian Hilbert, hàm f : X −→ (−∞, +∞] và x0 thuộc dom f . Với mỗi d ∈ X ta định nghĩa đạo hàm của f theo hướng d, kí hiệu f 0 (x0 ; d), là giới hạn sau (nếu nó tồn tại, hữu hạn hoặc vô hạn) f (x0 + λd) − f (x0 ) . λ→0+ λ f 0 (x0 ; d) := lim 7 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân Hàm f gọi là khả vi Gâteaux tại x0 nếu tồn tại x∗ ∈ X ∗ (X ∗ là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X) sao cho f (x0 + λd) − f (x0 ) = hd, x∗ i, ∀d ∈ X. λ→0 λ lim (1.1) Phiếm hàm x∗ như trên, nếu có, là duy nhất và được gọi là đạo hàm Gâteaux của f tại x0 , kí hiệu fG0 (x0 ). Nếu sự hội tụ trong (1.1) là đều theo d trong một tập bị chặn bất kì của X thì x∗ được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x0 và kí hiệu là f 0 (x0 ). 1.2 Điểm tụ Định nghĩa 1.10. Một hình cầu mở tâm a, bán kính r(r > 0) trong một không gian Hilbert X là tập B(a, r) = {x : kx − ak < r} . Hình cầu mở B(a, r) được gọi là một r−lân cận của điểm a. Định nghĩa 1.11. Một điểm x được gọi là điểm tụ của một tập A khi mọi lân cận của x đều chứa vô số điểm của A (x có thể thuộc A hoặc không thuộc A). Mệnh đề 1.5. Một điểm x là điểm tụ của tập A khi và chỉ khi mỗi lân cận của x có chứa ít nhất một điểm của A khác x. Chứng minh. Thật vậy, nếu x là điểm tụ của A thì rõ ràng nó thỏa mãn điều kiện trên. Ngược lại giả sử một điểm x thỏa mãn điều kiện đó và cho B1 là một lân cận bất kỳ của x. Trong B1 có một điểm 8 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân x1 ∈ A, x1 6= x. Ta có thể chọn một lân cận B2 của x đủ nhỏ để không chứa x1 (chỉ cần lấy một r−lân cận của x có r bé hơn kx − x1 k). Trong B2 có một điểm x2 ∈ A, x2 6= x (và x2 6= x1 ). Ta lại chọn một lân cận B3 của x đủ nhỏ để không chứa x1 và x2 . Trong B3 có một điểm x3 ∈ A, x3 6= x (và x3 6= x2 , x3 6= x1 ), v.v... Cứ tiếp tục như thế mãi, ta sẽ thu được trong B1 vô số điểm của A khác với x là x1 , x2 , x3 , .... Vậy x đúng là điểm tụ của A. 1.3 1.3.1 Hàm lồi Định nghĩa hàm lồi Định nghĩa 1.12. Cho X là một không gian Hilbert, A là một tập con khác rỗng của X và phiếm hàm nhận giá trị thực mở rộng trên A f : A −→ R := [−∞, ∞]. Các tập hợp dưới đây: dom f := {x ∈ A | f (x) < ∞} epi f := {(x, γ) ∈ A × R | f (x) ≤ γ} lần lượt được gọi là miền hữu hiệu và tập trên đồ thị của f . Ngoài ra, với mỗi α ∈ R, ta gọi tập mức dưới của hàm f (với mức α) là C(f ; α) := {x ∈ A | f (x) ≤ α} Ta dễ thấy tập C(f ; α) cũng bằng {x ∈ A | (x, α) ∈ epi f } . 9 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân Hàm f được gọi là chính thường nếu tập dom f 6= ∅ và f (x) > −∞ với mọi x ∈ A, được gọi là hàm lồi trên A nếu tập epi f là tập lồi và được gọi là hàm lõm nếu hàm −f là hàm lồi. Hàm f được gọi là tựa lồi nếu tập C(f ; α) lồi với mọi α ∈ R. Định nghĩa 1.13. Hàm f xác định trên X được gọi là thuần nhất dương nếu với mọi x ∈ X, λ ∈ (0, +∞) ta có f (λx) = λf (x). 1.3.2 Hàm nửa liên tục dưới Một hàm f : X −→ R được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 nếu lim inf f (x) ≥ f (x0 ). x→x0 Nói cách khác, với mọi  > 0 tồn tại lân cận V của x0 sao cho f (x0 ) −  ≤ f (x), ∀x ∈ V, (khi f (x0 ) < ∞), f (x) ≥ , ∀x ∈ V, (khi f (x0 ) = +∞) thì hàm f được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi x ∈ X. Chú ý 1.1. Hàm f được gọi là nửa liên tục trên tại x0 nếu f (x) ≤ f (x0 ) + , ∀x ∈ V, (khi f (x0 ) < +∞), f (x) ≤ −, ∀x ∈ V, (khi f (x0 ) = −∞). 10 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.3.3 Trịnh Thị Lệ Xuân Hàm nửa liên tục dưới yếu Phiếm hàm f : X → R được gọi là hàm nửa liên tục dưới yếu theo dãy nếu f (x) ≤ lim inf f (xn ) với mọi dãy {xn } trong X hội tụ yếu đến n→∞ x ∈ X. Mệnh đề 1.6. Cho f : X −→ R, ba mệnh đề sau là tương đương i. Hàm f nửa liên tục dưới, ii. Tập C(f ; α) đóng với mọi α ∈ R, iii. Tập epi f là tập đóng trong X × R. 1.4 Định lý giá trị trung bình Định nghĩa 1.14. Cho phiếm hàm f trên không gian Hilbert X. Ta nói x0 ∈ X là điểm cực tiểu địa phương của f trên X nếu tồn tại lân cận gốc V sao cho f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ x0 + V, (1.2) f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ X, (1.3) còn nếu ta có thì ta nói x0 là điểm cực tiểu toàn cục của f . Rõ ràng, một điểm cực tiểu toàn cục cũng là cực tiểu địa phương. Trong trường hợp hàm f lồi thì hai khái niệm này trùng nhau. Thật vậy, giả sử (1.2) thỏa mãn. Với mọi x ∈ X ta chọn λ > 0 đủ nhỏ sao 11 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Thị Lệ Xuân cho λ(x − x0 ) ∈ V . Lúc đó f (x0 ) ≤ f (x0 + λ(x − x0 )) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (x0 ), suy ra f (x0 ) ≤ f (x). Vậy (1.3) cũng thỏa mãn. Định lý 1.2. Cho f : X −→ R là phiếm hàm trên không gian lồi địa phương X, khả vi Gâteaux trên tập mở A ⊆ X. Với mọi x, y ∈ X, x khác y sao cho [x, y] ⊆ A tồn tại z ∈ (x, y) thỏa mãn f (y) − f (x) = hy − x, fG0 (z)i. 1.5 Hàm Carathéodory Cho M là một σ-đại số những tập con của một tập hợp X. Hàm µ : M −→ [0, ∞] là một độ đo. Khi đó bộ ba (X, M, µ) là một không gian đo được và A, B là hai không gian topo. Ta nói hàm f : X × A −→ B là một hàm Carathéodory nếu: i. Với mỗi x ∈ A, hàm f (·, x) : X −→ B là đo được, ii. Với mỗi t ∈ X, hàm f (t, ·) : A −→ B là liên tục. Trong các phần tiếp theo, ta kí hiệu A là họ tất cả các hàm Caratheodory f : Ω × R −→ R sao cho |f (x, ξ)| < +∞. (x,ξ)∈Ω×R 1 + |ξ| sup 12 Chương 2 Tập kỳ dị của toán tử thế vị Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu với (X, h· , ·i) là một không gian Hilbert thực và J : X −→ R là một hàm C 1 . Với mỗi λ > 0, ta định nghĩa toán tử Φλ : X −→ X được xác định như sau Φλ (x) = x + λJ 0 (x), ∀x ∈ X. Trong đó J 0 (x) là đạo hàm Fréchet của hàm J tại x. Để đơn giản cho việc kí hiệu chúng ta sẽ viết Φ thay cho Φ1 khi λ = 1. 2.1 Tập kỳ dị Cho một toán tử T : X −→ X, ta nói T là một phép đồng phôi địa phương tại điểm x0 ∈ X nếu có một lân cận U của x0 và một lân cận V của T (x0 ) sao cho thu hẹp của T trên U là một phép đồng phôi giữa U và V . Nếu T không là một đồng phôi địa phương tại x0 thì ta nói x0 là một điểm kỳ dị của T . Tập tất cả các điểm kì dị của T được gọi là tập kì dị của T và kí hiệu là ST . Ta thấy tập ST là đóng. 13