Tài liệu Tài liệu tự học môn toán lớp 11 tập giá trị và max min của hàm số lượng giác

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 TẬP GIÁ TRỊ VÀ MAX - MIN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP 1. Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Cho hàm số y  f  x  xác định trên miền D  R .  f  x   M , x  D a. Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên D nếu  x0  D, f  x0   M  f  x   m, x  D b. Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên D nếu  x0  D, f  x0   m 2. Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này  1  sin x  1  0  sin 2 x  1 a) Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn :   2  1  cos x  1 0  cos x  1 b) Bảng biến thiên của hàm số lượng giác. c) Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay.  MỨC ĐỘ 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đồ thị hàm số y  3  sin x Lời giải Tập xác định D   . Ta có: 1  sin x  1 x    1   sin x  1 x    3  1  3  sin x  3   1 x    4  y  2 x   Ta có: y  4 khi sin x  1 và y  2 khi sin x  1 Vậy min y  2 và max y  4 . Bài 2. Tìm tập giá trị T của hàm số y  3cos 2 x  5 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 1 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Lời giải Tập xác định D   . Ta có: 1  cos 2 x  1  3  3cos 2 x  3  3  5  3cos 2 x  5  3  5  8  y  2 Vậy tập giá trị của hàm số y  3cos 2 x  5 là T   8; 2 Bài 3. Tìm tập giá trị T của hàm số y  sin 2 x  2 cos 2 x  1 trên khoảng  Lời giải Ta có: y  sin 2 x  2 cos 2 x  1  sin 2 x  2 1  sin 2 x   1  3  sin 2 x Với x   thì 0  sin 2 x  1  0   sin 2 x  1  3  3  sin 2 x  3  1  2 Vậy tập giá trị của hàm số y  sin 2 x  2 cos 2 x  1 trên  là T   2 ; 3 Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  1 cos x  1 Lời giải ĐKXĐ: cos x  -1  x    k2 . TXĐ: D   /   k 2  Ta có: x  D : 1  cos x  1  0  1  cos x  2  Ta có: y  1 1  1  cos x 2 1 khi cos x  1 . 2 Vậy, min y  1 . 2   Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 sin  x    1 3  Lời giải       Ta có: sin  x    1  2 sin  x    2  2 sin  x    1  1 3 3 3      Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi sin  x    1 . 3  Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 1 . LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 2 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 10   Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  2017 cos8  x    2016 2017   A. min y  1; maxy  4033 B. min y  1 ; maxy  4033 C. min y  1 ; maxy  4022 D. min y  1; max y  4022 Lời giải Chọn B Hàm số xác định trên  10   Ta có 1  cos8  x    1, x   2017   10    2017  2016  2017 cos8  x    2016  2017  2016, x   . 2017   10    1  2017 cos8  x    2016  4033, x   2017   10  10    Ta có y  1 khi cos 8  x    1 ; y  4033 khi cos8  x    1. 2017  2017    Vậy min y  1 ; maxy  4033 . Câu 2. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y  4 cos x là: A. 0 và 4. B.  4 và 4. C. 0 và 1. Lời giải D.  1 và 1. Chọn B Tập xác định: D   0 ;    . Ta có: 1  cos x  1 , x   0 ;     4  4 cos x  4 , x   0 ;    Ta có y  4 khi cos x  1 và y  4 khi cos x  1 . Vậy min y  4 ; max y  4   Câu 3. Cho hàm số y  sin  x   . Giá trị lớn nhất của hàm số là: 4  B. 0 . A. 1 . C. 1 . D.  4 . Lời giải Chọn C     Ta có: 1  sin  x    1 . Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số y  sin  x   là 1. 4 4   Câu 4. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  1  cos 2 x  2 là: A. 0 và 2 1. B. 1 và 2 1. C. 2 và 1 D. 1 và 1 Lời giải LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 3 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Chọn C Ta có y  1  cos 2 x  2  sin 2 x  2  sin x  2 Mặt khác 0  sin x  1  2  sin x  2  1  2  y  1 Ta có: y  2 khi sin x  0 và y  1 khi sin x  1 Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là 2 và 1 .   Câu 5. Cho hàm số y  2sin  x    2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 3  A. y  4 , x   B. y  4 , x   C. y  0 , x   D. y  2 , x  Lời giải Chọn C   Ta có 1  sin  x    1 , x   3     2  2sin  x    2 , x   3     4  2sin  x    2  0 , x   3      Ta có: y  4 khi sin  x    1 và y  0 khi sin  x    0 3 3   Suy ra chọn đáp án C.  MỨC ĐỘ 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN 10   Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  2017 cos  8 x    2016 . 2017   Lời giải Cách 1: Hàm số xác định trên  . 10   Ta có : 1  cos  8 x    1 , x   2017   10    2017  2017 cos  8 x    2017 , x   2017   10    1  2017 cos  8 x    2016  4033 , x   2017   10  10    Ta có y  1 khi cos  8 x    1 ; y  4033 khi cos  8 x    1. 2017  2017    Vậy min y  1; maxy  4033 . Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  2 cos 2 x  sin 2 x  5 . LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 4 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Lời giải   Ta có y  2 cos 2 x  sin 2 x  5  cos 2 x  sin 2 x  6  2 cos  2 x    6 . 4      Do  2  2 cos  2 x    2 nên  2  6  2 cos  2 x    6  2  6 . 4 4   2 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 cos x  sin 2 x  5 là 6  2 . Bài 3. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x  cos x . Tính P  M  m . Lời giải   Ta có y  sin x  cos x  2 sin  x   . 4   M  2     Mà 1  sin  x    1   2  2 sin  x    2   P2 2. 4 4   m   2 Vậy P  2 2 . Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x  1 . cos x  2 Lời giải Cách 1 : cos x  2  0 , x   . Vậy y  sin x  1  sin x  1  y  cos x  2  cos x  2  sin x  y cos x  1  2 y  0 . 2 2 Ta có 12    y   1  2 y   y 2  1  4 y 2  4 y  1  3 y 2  4 y  0  0  y  4 . 3 Vậy min y  0 min. sin x  1  0  y  0  min y  0  sin x  1 . Cách 2 : Ta có  cos x  2  0 Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  2 cos 2 x  2 3 sin x cos x  1 . Lời giải Cách 1: y  2 cos 2 x  2 3 sin x cos x  1  2 cos 2 x  1  3 sin 2 x  2  cos 2 x  3 sin 2 x  2 1   3   2  cos 2 x  sin 2 x   2  2 cos  2 x    2 . 2 3  2    Mặt khác 0  2 cos  2 x    2  4 , x    0  y  4 , x   . 3  Cách 2: y  2 cos 2 x  2 3 sin x cos x  1  2 cos 2 x  1  3 sin 2 x  2  cos 2 x  3 sin 2 x  2 * Ta có  1  3  2  y  1  3  2  0  y  4 . LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 5 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  sin 2 x  2 cos 2 x . A. M  2 , m  0 . B. M  2 , m  1 . C. M  3 , m  1 . D. M  3 , m  0. Lời giải Chọn B Ta có: y  sin 2 x  2 cos 2 x   sin 2 x  cos 2 x   cos 2 x  1  cos 2 x . Câu 2. M  2 Do 1  cosx  1  0  cos2 x  1  1  cos2 x  2 . Suy ra  . m  1 Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  8sin 2 x  3cos 2 x . Tính Tính P  2M  m2 . A. P  1 . B. P  2 . D. P  130 . C. 112 . Lời giải Chọn A Ta có: y  8sin 2 x  3cos 2 x  8sin 2 x  3 1  2 sin 2 x   2 sin 2 x  3 . M  5 Mà 1  sinx  1  0  sin 2 x  1  3  2sin 2 x  3  5  3  y  5 . Suy ra:  . m  3 Câu 3. Do đó: P  2M  m2  1 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3sin x  4 cos x  1 . A. max y  8 , min y  6 . B. max y  4 , min y  6 . C. max y  6 , min y  8 . D. max y  6 , min y  4 . Lời giải Chọn B Ta có y  3sin x  4 cos x  1  3sin x  4 cos x  y  1 * Ta coi * như là phương trình cổ điển với a  3 , b  4 , c  y  1 . 2 Phương trình * có nghiệm khi và chỉ khi a 2  b 2  c 2  9  16   y  1  6  y  4 . Vậy max y  4 , min y  6 . Chú ý: Ta có thể áp dụng bất đẳng thức BCS như sau: y  1  3sin x  4 cos x  Câu 4. 3 2  42  sin 2 x  cos 2 x   5 . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y  sin 2 x  sin x  2 . 7 7 A. min y  ; max y  4 . B. min y  ; max y  2 . 4 4 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 6 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU C. min y  1; max y  1 . TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 1 D. min y  ; max y  2 . 2 Lời giải Chọn A Đặt sin x  u ; u   1;1 . Xét hàm số: y  u 2  u  2 trên  1;1 . Ta có: b 1    1;1 . Từ đây có bảng biến thiên 2a 2 7 và max y  4  u  1 . 1;1 1;1 4 7 1 Hay min y   sin x  và max y  4  sin x  1 . 4 2 sin x  2 cos x  3 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  2  cos x 2 2 A. min y   ; max y  2 B. min y  ; max y  2 . 3 3 1 3 1 3 B. min y  ; max y  . D. min y   ; max y  . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có cos x  2  0 , x   . sin x  2 cos x  3  sin x  2 cos x  3  2 y  y cos x  sin x   2  y  cos x  3  2 y  0 . y 2  cos x 2 2 2 Ta có: 12   2  y    3  2 y   4 y 2  12 y  9  y 2  4 y  4  1  0  3 y 2  8 y  4  0   y  2 . 3 Cách 2 : sử dụng máy tính cầm tay sin x  2 cos x  3 Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE:  2 thì phương trình 2  cos x có nghiệm. Do 2 là số lớn nhất trong các phương án A; B; C; D nên ta không cần thử trường hợp 3 max  . 2 2 Lúc này chỉ còn A và B. Thử với min y   thì không có nghiệm. 3 Ta kết luận: min f  u   Câu 5. LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 7 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11  MỨC ĐỘ 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN   Bài 1. Tìm tập giá trị của các hàm số sau: y  3cos  x    2 3  Lời giải     Vì 1  cos  x    1 nên 3  3cos  x    3  3  2  y  3  2  1  y  5 . 3 2   Vậy tập gái trị của hàm số là  1;5 . Bài 2. Tìm tập giá trị của các hàm số sau: y  3  2 sin 2 x . Lời giải Ta có: 1  sin 2 x  1  2  2 sin 2 x  2  1  3  2sin 2 x  5  1  3  2 sin 2 x  5 . Vậy tập giá trị của hàm số là 1; 5  . Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y  4sin x cos x  1 . Lời giải Ta có y  2sin 2 x  1 . Do 1  sin 2 x  1  2  2sin 2 x  2  1  2sin 2 x  1  3  1  y  3 . * y  1  sin 2 x  1  2 x   * y  3  sin 2 x  1  x   4  2  k 2  x    4  k .  k . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 , đạt được khi x  giá trị nhỏ nhất bằng 1 , đạt được khi x    4  4  k .  k . Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y  4  3sin 2 2 x . Lời giải Ta có: 0  sin 2 x  1  1  4  3sin 2 x  4 . * y  1  sin 2 x  1  cos x  0  x   2  k . LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 8 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 * y  4  sin 2 x  0  x  k . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 , đạt được khi x  k . giá trị nhỏ nhất bằng 1, đạt được khi x   2  k . Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2 sin x  3 . Lời giải Ta có 1  2 sin x  3  5  1  y  5 . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng max y  5 , đạt được khi sin x  1  x  Giá trị nhỏ nhất bằng min y  1 , đạt được khi x  1  x    2  2  k 2 .  k 2 . BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM   Câu 1. Tìm tập giá trị hàm số sau y  1  3sin  2 x   . 4  A.  2; 4 . B.  2; 2 . C.  1; 4 . D.  2;3 . Lời giải Chọn A       Ta có: 1  sin  2 x    1  3  3sin  2 x    3  2  1  3sin  2 x    4 . 4 4 4     2  y  4 . Vậy tập giá trị của hàm số là  2; 4 .   Câu 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2 cos  3 x    3 3  A. min y  2 , max y  5 . B. min y  1 , max y  4 . C. min y  1 , max y  5 . D. min y  1 , max y  3 . Lời giải Chọn C       Ta có: 1  cos  3 x    1  2  2 cos  3 x    2  1  2 cos  3 x    3  5  1  y  5 . 3 3 3    4 2 min y  1 đạt được khi x  . k 9 3  2 max y  5 đạt được khi x   k . 9 3 Câu 3. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  1  2 cos 2 x  1 A. max y  1 , min y  1  3 . B. max y  3 , min y  1  3 . C. max y  2 , min y  1  3 . D. max y  0 , min y  1  3 . LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 9 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Lời giải Chọn D Ta có 1  2 cos 2 x  1  3  1  3  y  0 .   k . 2 Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng min y  1  3 , đạt được khi x  k . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng max y  0 , đạt được khi x    Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  1  3sin  2 x   . 4  A. min y  2 , max y  4 . B. min y  2 , max y  4 . C. min y  2 , max y  3 . D. min y  1 , max y  4 . Lời giải Chọn A   Ta có: 1  sin  2 x    1  2  y  4 4      y  2  sin  2 x    1  x    k  min y  2 4 8   3   y  4  sin  2 x    1  x   k  max y  4 4 8  Câu 5. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3  2 cos 2 3 x A. min y  1 , max y  2 . B. min y  1 , max y  3 . C. min y  2 , max y  3 . D. min y  1 , max y  3 . Lời giải Chọn C Ta có: 0  cos 2 3 x  1  1  y  3 .  y  1  cos 2 3 x  1  x   y  3  cos 2 3 x  0  x  k  min y  1 . 3  6  k  max y  3 . 3 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11  MỨC ĐỘ 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1.    Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  3sin 2  x    4 12   Lời giải          Ta có sin 2  x    1  3sin 2  x    3  3sin 2  x    4  7 . 12  12  12     Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 7 . Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f  x   2sin 2 x  sin 2 x  10 . Lời giải   Ta có f  x   2sin 2 x  sin 2 x  10  11  sin 2 x  cos 2 x  11  2 sin  2 x   . 4        Do 1  sin  2 x    1   2  2 sin  2 x    2 nên 11  2 sin  2 x    11  2 . 4 4 4     3  Dấu "  '' xảy ra khi sin  2 x    1  x    k ,  k    . Vậy max f  x   11  2 . 4 8  Bài 3. 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2cos x  sin 2 x  5 . Lời giải   Ta có y  2cos2 x  sin 2 x  5  cos 2 x  sin 2 x  6  2 cos  2 x    6 . 4      Do  2  2 cos  2 x    2 nên  2  6  2 cos  2 x    6  2  6 . 4 4   2 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2cos x  sin 2 x  5 là 6  2 . Bài 4.   Giả sử M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2  3 sin x  cos x . Tính M m. Lời giải Ta có:  2  3 2    1  2  3 sin x  cos x  2  3 2 1 . Vậy M  m  0 . Bài 5. Cho hàm số y  12   5  có giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên đoạn   ; . Tìm 7  4sin x  6 6  M ,m. Lời giải Ta có:   6  x 5 1 1    sin x  1  1   sin x   4  4 sin x  2  3  7  4 sin x  9 6 2 2 4 12 4   4 . Hay  y  4 . 3 7  4sin x 3 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 11 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Vậy M  4 , m  Bài 6. TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 4 . 3   5  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2sin x trên đoạn   ;  .  6 6  Lời giải y   2 cos x  0  x   2  k , k   .    5  Với x    ;  suy ra: x  . 2  6 6       5  y     1 , y    2 , y   1.  6 2  6  Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1 . BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  MỨC ĐỘ 2 Câu 1. Tìm tập giá trị của hàm số y  3 sin x  cos x  2 . A.  2; 3  . B.   3  3; 3  1 . C.  4;0 . D.  2;0 . Lời giải Chọn C      Xét y  3 sin x  cos x  2  2  sin x.cos  cos x.sin   2  2 sin  x    2 . 6 6 6       Ta có 1  sin  x    1  4  2sin  x    2  0  4  y  0 với mọi x   . 6 6   Vậy tập giá trị của hàm số là  4;0 . Câu 2. Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y  A. m   1 ; M 1. 2 B. m  1 ; M  2 . sin x  2 cos x  1 là sin x  cos x  2 C. m  2 ; M  1 . D. m  1 ; M  2 . Lời giải Chọn C Ta có y  sin x  2 cos x  1   y  1 sin x   y  2  cos x  1  2 y * . sin x  cos x  2 2 2 2 Phương trình * có nghiệm   y  1   y  2   1  2 y   y 2  y  2  0  2  y  1 . Vậy m  2 ; M  1 . Câu 3. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  12 trên đoạn 7  4sin x LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/   5    6 ; 6  là Trang 12 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A. M  12 4 ; m . 5 3 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 B. M  4 ; m  4 . 3 C. M  12 12 ; m . 5 7 D. M  4 ; m  12 . 11 Lời giải Chọn B 12   5   1  Do x    ;   sin x    ;1  y  0; 7  4 sin x  6 6   2  y 12 7 y  12  1  4   7 y  4 y sin x  12  sin x     ;1  y   ; 4  . 7  4sin x 4y  2  3   1 4 Do đó M  max f  t   f 1  4 và m  min f  t   f     . 1 1      2 3  2 ;1   2 ;1  Câu 4.       Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x trên đoạn   ;   lần lượt là  2 3 A.  3 1 ;  . 2 2 B.  3 ; 1 . 2 C.  3 ; 2 . 2 D.  2 3 ;  . 2 2 Lời giải Chọn B Ta có:   x 2 3     .  sin     sin x  sin     1  sin x   3 2  2  3  3     Vậy max y  sin      ; min y  sin     1 .    2   ;    3  2  2 ; 3  2 3  Câu 5.    Gọi M , m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  nào sau đây đúng? A. M  9m  0 . B. 9 M  m  0 . C. 9 M  m  0 . Lời giải 2 cos x  1 . Khẳng định cos x  2 D. M  m  0 . Chọn C Ta có y  2 cos x  1 5 .  2 cos x  2 cos x  2 1  cos x  1  3  cos x  2  1   Mà 5 5 1 5   5   2   3  3 cos x  2 3 cos x  2 1  y  3 . 3 Vậy M  1 và 1  cos x  1  9 M  m  0 . 3 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 13 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11  MỨC ĐỘ 3 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. 10   Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  2020 cos  8 x    2021 . 2019   Lời giải 10   Ta có 1  cos  8 x    1, x   . 2019   10  10    Nên 2020  2020 cos  8 x    2020  1  2020 cos  8 x    2021  4041 . 2019  2019    10   Vậy min y  1 đạt được khi cos  8 x    1 , 2019   10   max y  4041 đạt được khi cos  8 x    1. 2019   Bài 2. Tìm GTNN của hàm số y  cos x  2  cos 2 x . Lời giải Ta có cos x  1 , dấu “  ” xảy ra khi cos x  1 . (1) Mặt khác 0  cos 2 x  1  1   cos 2 x  0  1  2  cos 2 x  2 .  2  cos 2 x  1 , dấu “  ” xảy ra khi cos x  1 . (2) Từ (1) và (2) ta có cos x  2  cos 2 x  0 . Suy ra min y  0 , đạt được khi cos x  1  x    k 2  k    . Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  cos 2 x  3 sin 2 x  2 . Lời giải Ta có 1  3 y  cos 2 x  3 sin 2 x  2  2  cos 2 x  sin 2 x   2 2 2         2  cos cos 2 x  sin sin 2 x   2  2 cos  2 x    2 . 3 3 3          Mặt khác 1  cos  2 x    1  2  2 cos  2 x    2  0  2 cos  2 x    2  4 . 3 3 3        Vậy min y  0 đạt được khi cos  2 x    1 , max y  4 đạt được khi cos  2 x    1 . 3 3   Bài 4.  7  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 cos 2 x  2 3 sin x.cos x  1 trên đoạn 0;  .  12  LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 14 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Lời giải   Ta có y  cos 2 x  3 sin 2 x  2  2 cos  2 x    2 . 3  Đặt t  2 x   7    3  . Theo giả thiết x   0;   t   ;  . 3  12  3 2     3  Ta lập BBT của hàm số f  t   2cos t  2 trên  ;  . 3 2  Từ bảng biến thiên ta có min y  min f  t   0 , đạt được khi t    x   7  0; 12  đạt được khi t  Bài 5.   3   3 ; 2   3 max y  max f  t   3 ,  7  0; 12      3   3; 2      x0 3 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y  cos 2 x  cos x  2 . Lời giải Đặt cos x  t ; t   1;1 Xét hàm số bậc hai: f  t   t 2  t  2 trên  1;1 . Ta b 1    1;1 . 2a 2 có: Ta kết luận: min y  min f  t   1;1 Từ đây có bảng biến thiên 7 1 , đạt được khi cos x  ; 2 4 max y  max f  t   4 , đạt được khi cos x  1 . 1;1 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 15 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2sin 2 x  cos 2 2 x . 3 A. max y  4 , min y  . B. max y  3 , min y  2 . 4 C. max y  4 , min y  2 . D. max y  3 , min y  3 . 4 Lời giải Chọn D Đặt t  sin 2 x, 0  t  1  cos 2 x  1  2t . 2  y  2t  1  2t  2 1 3   4t  2t  1   2t    . 2 4  2 2 1 1 3 1 9 3  Cách 1: Do 0  t  1    2t    0   2t      y  3 . 4 2 2 2 2 4  1 Cách 2: Có y '  8t  2  y   0  t    0;1 . 4 1 3 Ta có: y  0   1 ; y    ; y 1  3 . 4 4  Vậy max y  3 đạt được khi x   k . 2 3 1 1  cos 2 x 1 min y  đạt được khi sin 2 x    . 4 4 2 4 1    cos 2 x   2 x    k 2  x    k . 2 3 6 Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  tan 2 x  cot 2 x  3  tan x  cot x   1 . A. min y  2 . B. min y  4 . C. min y  5 . D. min y  1 . Lời giải Chọn C 2 Ta có: y   tan x  cot x   3  tan x  cot x   3 . Đặt t  tan x  cot x  2  t  2. sin 2 x Suy ra y  t 2  3t  3  f  t  . Bảng biến thiên Vậy min y  5 đạt được khi x    4  k . LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 16 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 3. TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  sin x  2  sin 2 x là M , m . Tính M  m . A. 3 . B. 4 . C. 6 . D. 2 . Lời giải Chọn D Ta có y  1  sin x  0 , x và y 2  2  2sin x 2  sin 2 x . Mà 2 sin x 2  sin 2 x  sin 2 x  2  sin 2 x  2 . Suy ra 0  y 2  4  0  y  2 . Vậy min y  0 đạt được khi x   max y  2 đạt được khi x   2  2  k 2 .  k 2 . Vậy M  2, m  0 hay M  m  2 . Câu 4. sin x  2 cos x  3 . 2  cos x 2 B. min y  ; max y  2 . 3 1 3 D. min y   ; max y  . 2 2 Lời giải Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  2 A. min y   ; max y  2 . 3 1 3 C. min y  ; max y  . 2 2 Chọn B Cách 1: Ta có cos x  2  0 , x   . y sin x  2 cos x  3  sin x  2 cos x  3  2 y  y cos x  s in x   2  y  cos x  2 y  3 2  cos x Ta có  2 y  3 2 2    s in x   2  y  cos x   1   2  y  2  s in 2 x  cos 2 x   5  4 y  y 2  4 y 2  12 y  9  y 2  4 y  5  0  3 y 2  8 y  4  0  2  y2 3 Cách 2: (dùng sau khi học xong bài phương trình bậc nhất theo sin và cos). Ta có cos x  2  0 , x   . y sin x  2 cos x  3  sin x  2 cos x  3  2 y  y cos x  sin x   2  y  cos x  3  2 y  0 2  cos x 2 2 Ta có 12   2  y    3  2 y   4 y 2  12 y  9  y 2  4 y  4  1  0  3 y 2  8 y  4  0  2  y2 3 . Cách 3: sử dụng máy tính cầm tay. LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 17 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 sin x  2 cos x  3  2 thì phương trình 2  cos x có nghiệm. Do 2 là số lớn nhất trong các phương án A; B; C; D nên ta không cần thử trường hợp 3 max  . 2 Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE: Lúc này chỉ còn A và B Thử với min y   2 thì không có nghiệm. 3 Từ đây chọn B. Câu 5. Cho hàm số h  x   sin 4 x  cos 4 x  2m sin x.cos x . Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xác định với mọi số thực x (trên toàn trục số) là 1 1 1 1 1 A.   m  . B. 0  m  . C.   m  0 . D. m  . 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 2 2 Xét hàm số g  x    sin 2 x    cos 2 x   m sin 2 x 2   sin 2 x  cos 2 x   2sin 2 x cos 2 x  m sin 2 x 1  1  sin 2 2 x  m sin 2 x . 2 Đặt t  sin 2 x  t   1;1 . 1 Hàm số h  x  xác định với mọi x    g  x   0, x     t 2  mt  1  0, t   1;1 2  t 2  2mt  2  0, t   1;1 . Đặt f  t   t 2  2mt  2 trên  1;1 . Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị trên. Ta thấy max f  t   f 1 hoặc max f  t   f  1 . 1;1 Ycbt 1;1 f  t   t 2  2mt  2  0 , t   1;1  f 1  0  1  2m  0   max f  t   0   1;1  1  2m  0  f  1  0 1 1  m . 2 2 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 18 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11  MỨC ĐỘ 4 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x cos x  cos x sin x . Lời giải sin x  0 . Điều kiện xác định:   cos x  0 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm sin x cos x và cos x sin x ta có : 1 1 sin 2 x sin 2 x  0 . 2 2 k Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi sin 2 x  0  2 x  k , k    x  ,k  . 2 sin x cos x  cos x sin x  2 sin x cos x sin x cos x  y  2 Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  s inx  2 cos x  3 . 2  cos x Lời giải Ta có: cos x  2  0, x  R . s inx  2 cos x  3 Khi đó: y   s inx  2 cos x  3  2 y  y cos x  s inx   2  y  cos x  3  2 y  0 2  cos x 2 2 Phương trình * có nghiệm  12   2  y    3  2 y   4 y 2  12 y  9  y 2  4 y  4  1  0  3 y 2  8 y  4  0  * 2  y 2. 3 2 Vậy min y  ; max y  2 . 3 Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  cot 4 a  cot 4 b  2 tan 2 a. tan 2 b  2 . Lời giải Ta có: 2 P   cot 2 a  cot 2 b   2 cot 2 a.cot 2 b  2 tan 2 a.tan 2 b  2 2   cot 2 a  cot 2 b   2  cot 2 a.cot 2 b  tan 2 a.tan 2 b  2   6 2   cot 2 a  cot 2 b   2  cot 2 a.cot 2 b  tan 2 a.tan 2 b  2 cot a.cotb.tan a.tan b   6 2 2   cot 2 a  cot 2 b   2  cot a.cot b  tan a.tan b   6  6 cot 2 a  1 cot 2 a  cot 2 b  k  2 ab  , ( k  ) . Vậy min y  6 , đạt được khi  4 2 cot a.cot b  tan a.tan b cot b  1 1 1 5  2sin 2 x . Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  1  cos 2 x  2 2 Lời giải LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 19 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 1 1 1 5 1 2 5  2sin 2 x  y  1  cos 2 x   sin x Ta có y  1  cos 2 x  2 2 2 4 2 1 5 1 2  sin x ta có: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho 4 số: 1; 1; 1  cos 2 x ; 2 4 2 1 5 1 1 5 1 9 1 22 1. 1  cos 2 x  1.  sin 2 x  12  12 . 1  cos 2 x   sin 2 x  2.   . 2 4 2 2 4 2 4 2.1 2 1 5 1  22 Vậy min y  , xảy ra khi 1  cos 2 x   sin 2 x  x    k , k   . 2 2 4 2 6 4 4 Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  sin x  cos x  sin x cos x . Lời giải 1 1 Ta có y  sin 4 x  cos 4 x  sin x cos x  y  1  2sin 2 x cos 2 x  sin x cos x  y  1  sin 2 2 x  sin 2 x 2 2 2 2 1  1  1 9 1 1 9  y  1   sin 2 x      y    sin 2 x    . 2  2  4  8 2 2 8 1 9 Vậy max y  , đạt được khi sin 2 x  . 8 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho x, y , z  0 và x  y  z   . Tìm giá trị lớn nhất của 2 y  1  tan x.tan y  1  tan y.tan z  1  tan z.tan x A. ymax  1  2 2 . B. ymax  3 3 . C. ymax  4 . Lời giải D. ymax  2 3 . Chọn D tan x  tan y 1     z  tan  x  y   tan   z   1  tan x.tan y tan z 2 2 2   tan x. tan z  tan y. tan z  1  tan x. tan y  tan x. tan z  tan y. tan z  tan x. tan y  1 Ta thấy tan x.tan z; tan y.tan z; tan x.tan y lần lượt xuất hiện trong hàm số đề bài cho. Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có: 1. 1  tan x.tan y  1. 1  tan y.tan z  1. 1  tan z.tan x  Ta có x  y  z    x y    12  12  12 . 1  tan x.tan z   1  tan y.tan z   1  tan x.tan y   3 3   tan x.tan z  tan y.tan z  tan x.tan y   2 3 . Vậy ymax  2 3 . Câu 2:  3 1  tan 2 x 2 Hàm số y  3cot 2 x  A. 1 . tan x B. 3  2 3 .  đạt giá trị nhỏ nhất là C. 2  2 2 . Lời giải D. 0 . Chọn A Ta có cot 2 x  1  tan 2 x . 2 tan x 2 Từ đó suy ra y  3cot 2 x   2 3 1  tan 2 x 2 tan x   3cot 2 2 x  2 3 cot 2 x LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 20