CHƯƠNG 6. CUNG LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯƠNG GIÁC
BÀI 1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẰM
I – KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác
Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta chọn một
chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều
âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng
hồ làm chiều dương.
+
A
-
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M
di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ
A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm
cuối B.
Với hai điểm A , B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô
số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy
D
M
O
C
đều được kí hiệu là AB .
2. Góc lượng giác
Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác CD Một điểm M chuyển động trên đường
tròn từ C tới D tạo nên cung lượng giác CD nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị
trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC , tia cuối là OD. Kí
hiệu góc lượng giác đó là (OC , OD ).
3. Đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng tâm O bán
kính R = 1 .
Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm
A (1;0 ), A ' (-1;0 ), B (0;1), B ' (0; -1).
+
Ta lấy A (1;0 ) làm điểm gốc của đường tròn đó.
O
Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác
(gốc A ).
II – SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
1. Độ và radian
a) Đơn vị radian
Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad.
b) Quan hệ giữa độ và radian
10 =
p
rad
180
0
æ180 ö÷
÷ .
è p ÷ø
và 1rad = ççç
c) Độ dài của một cung tròn
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 456
Trên đường tròn bán kính R , cung nửa đường tròn có số đo là p rad và có độ dài là p R . Vậy cung
có số đo a rad của đường tròn bán kính R có độ dài
= Ra.
2. Số đo của một cung lượng giác
Số đo của một cung lượng giác AM ( A ¹ M ) là một số thực âm hay dương.
Kí hiệu số đo của cung AM là sđ AM .
Ghi nhớ
Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2p.
Ta viết
sđ A M = a + k 2p, k Î .
trong đó a là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A , điểm cuối là M .
3. Số đo của một góc lượng giác
Số đo của góc lượng giác (OA , OC ) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng.
Chú ý Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các
cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó
cũng đúng cho góc và ngược lại.
4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
Chọn điểm gốc A (1;0 ) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để
biểu diễn cung lượng giác có số đo a trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của
cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđ AM = a.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng toán 1 : xác định các yếu tố liên quan đến cung và góc lượng giác.
1. Phương pháp
Ngoài việc sử dụng định nghĩa góc và cung lượng giác, công thức tính độ dài cung tròn khi
biết số đo, mối liên hệ giữa đơn vị độ, rađian và hệ thức salơ chúng ta cần lưu ý đến kết quả sau:
Nếu một góc(cung) lượng giác có số đo a 0 (hay a rad ) thì mọi góc(cung) lượng giác cùng
tia đầu(điểm đầu), tia cuối(điểm cuối) với nó có số đo dạng dạng a 0 + k 3600 (hay a + k 2p rad ,
k Î Z ), mỗi góc(cung) ứng với mỗi giá trị của k . Từ đó hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia
cuối thì sai khác nhau một bội của 2p
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: a) Đổi số đo của các góc sau ra rađian: 720 , 6000 , - 37 0 45 ' 30 '' .
b) Đổi số đo của các góc sau ra độ:
5p 3p
, ,- 4 .
18 5
Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 457
a) Vì 10 =
p
p
2p
p
10p
rad nên 720 = 72.
=
, 6000 = 600.
=
,
180
180
5
180
3
0
0
0
æ 45 ö
æ 30 ö÷
æ 4531 ö÷
4531 p
.
-37 45 ' 30 '' = -37 - çç ÷÷ - çç
» 0, 6587
÷ = çç
÷ =
çè 60 ÷ø
çè 60.60 ø÷
çè 120 ø÷
120 180
0
0
0
0
0
æ 180 ö÷
5p æç 5p 180 ö÷
3p çæ 3p 180 ö÷
=ç .
=ç .
b) Vì 1 rad = çç
÷ = 50o ,
÷ = 108o ,
÷ nên
÷
ç
çè 5 p ø÷
çè p ÷ø
18
5
è 18 p ø
0
0
æ 180 ö÷
æ 720 ö÷
-4 = - çç 4.
÷ = - çç
÷ » -22600 48 ' .
çè p ÷ø
çè p ÷ø
Ví dụ 2: Một đường tròn có bán kính 36m . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là
a)
3p
4
b) 510
c)
1
3
Lời giải
Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có l = Ra =
a) Ta có l = Ra = 36.
b) Ta có l =
pa
.R nên
180
3p
= 27 p » 84, 8m
4
pa
p51
51p
.R =
.36 =
» 32, 04m
180
180
5
c) Ta có l = Ra = 36.
1
= 12m
3
Ví dụ 3: Cho hình vuông A0A1A2A4 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh được sắp xếp theo chiều
þ
þ
(
ngược chiều quay của kim đồng hồ). Tính số đo của các cung lượng giác A0Ai , AA
i j
i, j = 0,1, 2, 3, 4, i ¹ j ).
A1
A0
Lời giải
þ
=
0
Ta có AOA
nên
sđ
A
A = k 2p , k Î Z
0
0
0 0
O
A2
A3
þ
p
p
= nên sđ A0A1 = + k 2p , k Î Z
AOA
0
1
2
2
þ
AOA
= p nên sđ A0A1 = p + k 2p , k Î Z
0
2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 458
þ
p
3p
p
AOA
= nên sđ A0A3 = 2p - + k 2p =
+ k 2p , k Î Z
0
3
2
2
2
þ
Như vậy sđ A0Ai =
ip
+ k 2p , i = 0,1, 2, 3 , k Î Z
2
þ
þ
þ
Theo hệ thức salơ ta có sđ AA
=sđ A0Aj - sđ A0Ai + k 2p = ( j - i ) .
i j
p
+ k 2p , k Î Z .
2
Ví dụ 4: Tìm số đo a của góc lượng giác (Ou,Ov ) với 0 £ a £ 2p , biết một góc lượng giác
cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:
a)
33p
4
b) -
291983p
3
c) 30
Lời giải
a) Mọi góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo là
Vì 0 £ a £ 2p nên 0 £
-
33p
+ k 2p, k Î Z
4
33p
33
+ k 2p £ 2p, k Î Z 0 £
+ k 2 £ 2, k Î Z
4
4
33
25
£ k £ - , k Î Z k = -4
8
8
Suy ra a =
33p
p
+ ( -4 ) .2p =
4
4
b) Mọi góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo là Vì 0 £ a £ 2p nên 0 £ -
291983p
+ k 2p, k Î Z
3
291983p
291983
+ k 2p £ 2p, k Î Z 0 £ + k 2 £ 2, k Î Z
3
3
291983
291989
£k £
,k ÎZ k =
6
6
Suy ra a = -
291983p
p
+ 48664.2p =
3
3
c) Mọi góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo là 30 + k 2p, k Î Z
Vì 0 £ a £ 2p nên 0 £ 30 + k 2p £ 2p, k Î Z 0 £
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
15
+ k £ 1, k Î Z
p
Trang 459
-
15
p - 15
£k £
, k Î Z k = -4
p
p
Suy ra a = 30 + ( -4 ) .2p = 30 - 8p » 4, 867 .
29p
22 6p 41p
p
Vi dụ 5: Cho góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo - . Trong các số ,
; - ;
;
7
7
7
7
7
những số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho?
Lời giải
Hai góc có cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau một bội của 2p do đó
Vì
-
29p çæ p ö÷
- ç - ÷÷ = ( -2 ) .2p ,
çè 7 ø
7
-
22 æç p ö÷
- ç - ÷ = -3 p ,
7 çè 7 ÷ø
6p æç p ö÷
- ç - ÷÷ = p
çè 7 ø
7
và
41p æç p ö÷
29p 41p
là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia
;
- ç - ÷÷ = 3.2p nên các số çè 7 ø
7
7
7
cuối với góc đã cho.
Ví dụ 6: Cho sđ (Ou, Ov ) = a và sđ (Ou ', Ov ' ) = b . Chứng minh rằng hai góc hình học
uOv, u 'Ov ' bằng nhau khi và chỉ khi hoặc b - a = k 2p hoặc b + a = k 2p với k Î Z .
Lời giải
Ta có sđ (Ou, Ov ) = a và sđ (Ou ', Ov ' ) = b suy ra tồn tại a0 , p < a0 £ p , f0 , p < b0 £ p và
số nguyên k 0 , l 0 sao cho a = a 0 + k 0 2p, b = b0 + l 0 2p .
Khi đó a0 là số đo của uOv và b0 là số đo của u 'Ov ' .
é a = b0
Hai góc hình học uOv, u 'Ov ' bằng nhau khi và chỉ khi a0 = b0 êê 0
êë a0 = -b0
b - a = k 2p hoặc b + a = k 2p với k Î Z .
C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về '' đường tròn định hướng '' ?
A. Mỗi đường tròn là một đường tròn định hướng.
B. Mỗi đường tròn đã chọn một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng.
C. Mỗi đường tròn đã chọn một chiều chuyển động và một điểm là gốc đều là một đường
tròn định hướng.
D. Mỗi đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều
ngược lại được gọi là chiều âm là một đường tròn định hướng.
Lời giải
Chọn D
Dựa vào SGK cơ bản trang 134 ở dòng 2.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 460
Câu 2:
Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là:
A. Luôn cùng chiều quay kim đồng hồ.
B. Luôn ngược chiều quay kim đồng hồ.
C. Có thể cùng chiều quay kim đồng hồ mà cũng có thể là ngược chiều quay kim đồng
hồ.
D. Không cùng chiều quay kim đồng hồ và cũng không ngược chiều quay kim đồng hồ.
Lời giải
Chọn B
Theo SGK cơ bản trang 134 ở dòng 6, ta chọn B.
Câu 3:
Trên đường tròn định hướng, mỗi cung lượng giác AB xác định:
A. Một góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB .
B. Hai góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB .
C. Bốn góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB .
D. Vô số góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB .
Lời giải
Chọn D
Theo SGK cơ bản trang 134 ở dòng cuối, ta chọn D.
Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về '' góc lượng giác '' ?
A. Trên đường tròn tâm O bán kính R = 1 , góc hình học AOB là góc lượng giác.
B. Trên đường tròn tâm O bán kính R = 1 , góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A
và điểm cuối B là góc lượng giác.
C. Trên đường tròn định hướng, góc hình học AOB là góc lượng giác.
D. Trên đường tròn định hướng, góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A và điểm
cuối B là góc lượng giác.
Lời giải
Chọn D
Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về '' đường tròn lượng giác '' ?
A. Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác.
B. Mỗi đường tròn có bán kính R = 1 là một đường tròn lượng giác.
C. Mỗi đường tròn có bán kính R = 1 , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng
giác.
D. Mỗi đường tròn định hướng có bán kính R = 1 , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường
tròn lượng giác.
Lời giải
Chọn D
Câu 4:
Câu 5:
Câu 6:
Câu 7:
þ
Trên đường tròn cung có số đo 1 rad là?
A. Cung có độ dài bằng 1.
B. Cung tương
0
ứng với góc ở tâm 60 .
C. Cung có độ dài bằng đường kính.
D. Cung có độ dài bằng nửa đường kính.
Lời giải
Chọn D
Cung có độ dài bằng bán kính (nửa đường kính) thì có số đó bằng 1 rad.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. p rad = 10.
B. p rad = 600.
C. p rad = 1800.
D.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 461
0
æ180 ö÷
p rad = çç
.
çè p ÷÷ø
Lời giải
Chọn C
p rad tướng ứng với 1800 .
Câu 8:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 1 rad = 10.
B. 1 rad = 60 0.
C. 1 rad = 1800.
D.
0
æ180 ö÷
1 rad = çç
.
çè p ø÷÷
Lời giải
Chọn D
Ta có p rad tướng ứng với 1800 .
Suy ra 1 rad tương ứng với x 0 . Vậy x =
Câu 9:
180.1
.
p
Nếu một cung tròn có số đo là a0 thì số đo radian của nó là:
B.
A. 180 pa.
180 p
.
a
C.
ap
.
180
D.
p
.
180a
D.
60
.
ap
D.
7
.
18p
Lời giải
Chọn C
Áp dụng công thức a =
a.p
với a tính bằng radian, a tính bằng độ.
180
Câu 10: Nếu một cung tròn có số đo là 3a0 thì số đo radian của nó là:
A.
ap
.
60
B.
ap
.
180
C.
180
.
ap
Lời giải
Chọn A
Áp dụng công thức a =
a.p
với a tính bằng radian, a tính bằng độ.
180
Trong trường hợp này là 3a ¾¾
a =
3a.p ap
.
=
180
60
Câu 11: Đổi số đo của góc 700 sang đơn vị radian.
A.
70
.
p
B.
7
.
18
C.
7p
.
18
Lời giải
Chọn C
Cách 1. Áp dụng công thức a =
Ta có a =
a.p
180
với a tính bằng radian, a tính bằng độ.
a.p 70 p 7 p
.
=
=
180 180 18
Cách 2. Bấm máy tính:
Bước 1. Bấm shift mode 4 để chuyển về chế độ rad.
Bước 2. Bấm 70 shift DRG 1 =
Câu 12: Đổi số đo của góc 1080 sang đơn vị radian.
A.
3p
.
5
B.
p
.
10
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
C.
3p
.
2
D.
p
.
4
Trang 462
Lời giải
Câu 13:
Chọn A
Tương tự như câu trên.
Đổi số đo của góc 450 32 ' sang đơn vị radian với độ chính xác đến hàng phần nghìn.
A. 0,7947.
B. 0,7948.
C. 0,795.
D. 0,794.
Lời giải
Chọn C
Áp dụng công thức a =
a.p
180
với a tính bằng radian, a tính bằng độ.
æ
è
Trước tiên ta đổi 450 32 ' = ççç45 +
0
32 ö÷
÷
60 ø÷
.
æ
ö
çç45 + 32 ÷÷.p
çè
60 ø÷
Áp dụng công thức, ta được a =
= 0,7947065861.
180
Cách 2. Bấm máy tính:
Bước 1. Bấm shift mode 4 để chuyển về chế độ rad.
Bước 2. Bấm 450320 shift DRG 1 =
Câu 14: Đổi số đo của góc 400 25' sang đơn vị radian với độ chính xác đến hàng phần trăm.
A. 0,705.
B. 0,70.
C. 0,7054.
D. 0,71.
Lời giải
Chọn D
Cách 1. Áp dụng công thức a =
æ
è
Trước tiên ta đổi 40 0 25' = ççç40 +
a.p
180
với a tính bằng radian, a tính bằng độ.
0
25 ö÷
÷
60 ø÷
.
æ
ö
çç40 + 25 ÷÷.p
çè
97p
60 ø÷
=
= 0,705403906.
Áp dụng công thức, ta được a =
180
432
Cách 2. Bấm máy tính:
Bước 1. Bấm shift mode 4 để chuyển về chế độ rad.
Bước 2. Bấm 400 250 shift DRG 1 =
Câu 15: Đổi số đo của góc -1250 45¢ sang đơn vị radian.
A. -
503p
.
720
B.
503p
.
720
C.
251p
.
360
D. -
251p
.
360
Lời giải
Chọn A
Tương tự như câu trên.
Câu 16: Đổi số đo của góc
A. 150.
p
rad sang đơn vị độ, phút, giây.
12
B. 100.
C. 6 0.
D. 50.
Lời giải
Chọn A
0
Cách 1. Từ công thức a =
æ a.180 ö÷
a.p
¾¾
a = çç
çè p ÷ø÷
180
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
với a tính bằng radian, a tính bằng độ.
Trang 463
0
0
æ a.180 ö
æp
ö
ç .180 ÷÷
÷÷
ççç 12
÷ = 150 .
=ç
è p ø÷
÷÷
Ta có a = ççç
è p ø÷
Cách 2. Bấm máy tính:
Bước 1. Bấm shift mode 3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.
Bước 2. Bấm (shift 12 ) shift DRG 2 =
Màn hình hiện ra kết quả bất ngờ.
Câu 17: Đổi số đo của góc -
3p
rad
16
A. 330 45'.
sang đơn vị độ, phút, giây.
B. -290 30 '.
Lời giải
C. -330 45'.
D. -320 55.
Chọn C
0
0
æ a.180 ö
æ 3p
ö
çç - .180 ÷÷
0
÷÷
æ 135 ö÷
çç 16
÷÷ = çç=ç
= -330 45'.
÷
çè 4 ÷ø
è
ø
p
÷÷
Ta có a = ççç
è p ÷ø
Cách 2. Bấm máy tính:
Bước 1. Bấm shift mode 3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.
Bước 2. Bấm (shift 3 16 ) shift DRG 2 =
Câu 18: Đổi số đo của góc -5 rad sang đơn vị độ, phút, giây.
A. -286 0 44 ' 28''.
B. -286 0 28 ' 44 ''.
C. -2860.
Lời giải
Chọn B
0
æ a.180 ö
D. 286 0 28 ' 44 ''.
0
æ -5.180 ö
÷÷ = çç
÷ = -286 0 28 ' 44 ''.
Cách 1. Ta có a = ççç
çè p ø÷÷
è p ø÷
Cách 2. Bấm máy tính:
Bước 1. Bấm shift mode 3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.
Bước 2. Bấm 5 shift DRG 2 =
Câu 19: Đổi số đo của góc
A. 420 97 ¢18¢¢.
3
rad sang đơn vị độ, phút, giây.
4
B. 420 58¢.
C. 420 97 ¢.
D. 420 58¢18¢¢.
Lời giải
Chọn D
Tương tự như câu trên.
Câu 20: Đổi số đo của góc -2 rad sang đơn vị độ, phút, giây.
A. -114 0 59 ¢15¢¢.
B. -114 0 35¢.
Lời giải
C. -114 0 35¢29 ¢¢.
D. -114 0 59 ¢.
Chọn C
Tương tự như câu trên.
Câu 21: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Số đo của cung tròn tỉ lệ với độ dài cung đó.
B. Độ dài của cung tròn tỉ lệ với bán kính của nó.
C. Số đo của cung tròn tỉ lệ với bán kính của nó.
D. Độ dài của cung tròn tỉ lệ nghịch với số đo của cung đó.
Lời giải
Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 464
Từ công thức = Ra ¾¾
và a tỷ lệ nhau.
Câu 22: Tính độ dài của cung trên đường tròn có bán kính bằng 20cm và số đo
A. = 3, 93cm.
B. = 2, 94cm.
Lời giải
C. = 3, 39cm.
p
.
16
D. = 1, 49cm.
Chọn A
Áp dụng công thức = R a = 20.
p
» 3, 93cm.
16
Câu 23: Tính độ dài của cung trên đường tròn có số đo 1,5 và bán kính bằng 20 cm .
A. 30 cm .
B. 40 cm .
C. 20 cm .
D. 60 cm .
Lời giải
Chọn A
Ta có = a R = 1, 5.20 = 30 cm.
Câu 24: Một đường tròn có đường kính bằng 20 cm . Tính độ dài của cung trên đường tròn có số
đo 350 (lấy 2 chữ số thập phân).
A. 6, 01cm .
B. 6,11cm .
C. 6, 21cm .
D. 6, 31cm .
Lời giải
Chọn B
Cung có số đo 350 thì có số đó radian là a =
Bán kính đường tròn R =
Suy ra = a R =
20
= 10 cm.
2
7p
.10 » 6,11 cm.
36
Câu 25: Tính số đo cung có độ dài của cung bằng
A. 1,5rad .
ap
35p 7 p
.
=
=
180 180 36
40
cm
3
B. 0, 67rad .
Lời giải
trên đường tròn có bán kính 20 cm .
C. 800 .
D. 880 .
Chọn B
40
2
Ta có = a R a = = 3 = » 0, 67 rad.
R
20 3
Câu 26: Một cung tròn có độ dài bằng 2 lần bán kính. Số đo radian của cung tròn đó là
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn B
= aR a =
2R
=
= 2 rad.
R
R
Câu 27: Trên đường tròn bán kính R , cung tròn có độ dài bằng
đo (tính bằng radian) là:
A. p / 2 .
B. p / 3 .
1
độ dài nửa đường tròn thì có số
6
C. p / 4 .
D. p / 6 .
Lời giải
Chọn D
1
pR
p
= .
Ta có = a R a = = 6
R
R
6
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 465
Câu 28: Một cung có độ dài 10 cm , có số đo bằng radian là 2,5 thì đường tròn của cung đó có bán
kính là:
A. 2, 5cm .
B. 3, 5cm .
C. 4cm .
D. 4, 5cm .
Lời giải
Chọn C.
Ta có l = R a R =
10
l
=
=4.
a 2, 5
Câu 29: Bánh xe đạp của người đi xe đạp quay được 2 vòng trong 5 giây. Hỏi trong 2 giây, bánh
xe quay được 1 góc bao nhiêu?
A.
8
p.
5
B.
5
p.
8
C.
3
p.
5
D.
5
p.
3
Lời giải
Chọn A.
Trong 2 giây bánh xe đạp quay được
2.2 4
=
5
5
vòng tức là quay được cung có độ dài là
4
8
l = .2p R = p R .
5
5
8
pR
l
8
Ta có l = R a a = = 5
= p.
R
R
5
Câu 30: Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là:
A. 300.
B. 400.
C. 500.
D. 600.
Lời giải
Chọn C.
72 răng
có chiều dài là 2p R nên 10 răng có chiều dài l =
10.2 p R 5p
=
R
72
18
.
5
5
180. p
pR
180
a
l
5
18 = 50 0 .
=
= p mà a =
Theo công thức l = R a a = = 18
R
R
18
p
p
Cách khác: 72 răng tương ứng với 360 0 nên 10 răng tương ứng với
10.360
= 50 0 .
72
Câu 31: Cho góc lượng giác (Ox , Oy ) = 22 0 30 '+ k 360 0. Với giá trị k bằng bao nhiêu thì góc
(Ox , Oy ) = 1822 0 30 ' ?
A. k Î Æ.
B. k = 3.
C. k = –5.
D. k = 5.
Lời giải
Chọn D.
22 0 30 '+ k.360 0 = 1822 0 30 ' ¾¾
k = 5.
Theo đề (Ox , Oy ) = 1822 0 30 ' ¾¾
p
2
Câu 32: Cho góc lượng giác a = + k 2p . Tìm k để 10 p < a < 11p.
A. k = 4.
B. k = 5.
C. k = 6.
D. k = 7.
Lời giải
Chọn B.
Ta có 10p < a < 11p ¾¾
19p
21p
< k 2p <
¾¾
k = 5.
2
2
Câu 33: Một chiếc đồng hồ, có kim chỉ giờ OG chỉ số 9 và kim phút OP chỉ số 12 . Số đo của góc
lượng giác (OG , OP ) là
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 466
A.
p
+ k 2 p, k Î .
2
B. - 270 0 + k 360 0 , k Î .
C. 270 0 + k 360 0 , k Î .
D.
9p
+ k 2 p, k Î .
10
Lời giải
Chọn A.
Góc lượng giác (OG, OP ) chiếm
1
1
đường tròn. Số đo là .2 p + k 2 p , k Î .
4
4
Câu 34: Trên đường tròn lượng giác có điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung
lượng giác AM có số đo 450 . Gọi N là điểm đối xứng với M qua trục Ox , số đo cung
lượng giác AN bằng
A. - 450 .
B. 3150 .
C. 450 hoặc 3150 .
D.
- 450 + k 360 0 , k Î .
Lời giải
Chọn D.
= 450 , N là điểm đối xứng với M qua trục Ox
Vì số đo cung AM bằng 450 nên AOM
= 450 . Do đó số đo cung AN bằng 45o nên số đo cung lượng giác AN có số đo
nên AON
là - 45o + k 360 o , k Î .
Câu 35: Trên đường tròn với điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác
AM có số đo 60 0 . Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy , số đo cung AN là:
A. 120 o .
B. - 240 0 .
C. - 120 0 hoặc 240 0 .
D.
120 0 + k 360 0 , k Î .
Lời giải
Chọn A.
= 60 0
Ta có AOM = 60 0 , MON
= 120 0 . Khi đó số đo cung AN bằng 1200 .
Nên AON
Câu 36: Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung
lượng giác AM có số đo 750 . Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ O , số
đo cung lượng giác AN bằng:
A. 2550 .
B. - 1050 .
C. - 1050 hoặc 2550 .
D. - 1050 + k 360 0 , k Î .
Lời giải
Chọn D.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 467
= 750 , MON
= 180 0
Ta có AOM
Nên cung lượng giác AN có số đo bằng -1050 + k 360 0 , k Î .
Câu 37: Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng): a = -
5p
p
, b=
6
3
Các cung nào có điểm cuối trùng nhau?
A. a và b ; g và d .
B. b và g ; a và d .
C. a, b, g .
D. b, g, d .
, g=
25p
19p
, d=
3
6
.
Lời giải
Chọn B.
Cách 1. Ta có d - a = 4 p hai cung a và d có điểm cuối trùng nhau.
Và g - b = 8p hai cung b và g có điểm cuối trùng nhau.
Cách 2. Gọi A, B, C, D là điểm cuối của các cung a, b, g, d
Biểu diễn các cung trên đường tròn lượng giác ta có B º C, A º D.
Câu 38: Các cặp góc lượng giác sau ở trên cùng một đường tròn đơn vị, cùng tia đầu và tia cuối.
Hãy nêu kết quả SAI trong các kết quả sau đây:
A.
p
3
và -
35p
3
.
B.
p
10
và
152 p
5
.
C. -
p
3
và
155p
3
.
D.
p
7
và
281p
7
.
Lời giải
Chọn B.
Cặp góc lượng giác a và b ở trên cùng một đường tròn đơn vị, cùng tia đầu và tia cuối.
a-b
.
2p
p 152 p
5 = - 303 Ï .
Dễ thấy, ở đáp án B vì k = 10
2p
20
Khi đó a = b + k 2 p , k Î hay k =
Câu 39: Trên đường tròn lượng giác gốc A , cung lượng giác nào có các điểm biểu diễn tạo thành
tam giác đều?
A.
k 2p
3
.
B. k p .
C.
kp
.
2
D.
kp
3
.
Lời giải
Chọn A.
Tam giác đều có góc ở đỉnh là 60 o nên góc ở tâm là 120o tương ứng
k 2p
3
.
Câu 40: Trên đường tròn lượng giác gốc A , cung lượng giác nào có các điểm biểu diễn tạo thành
hình vuông?
A.
kp
.
2
B. k p .
C.
k 2p
3
.
D.
kp
3
.
Lời giải
Chọn A.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 468
là 45o nên góc ở tâm là 90 o tương ứng kp .
Hình vuông CDEF có góc DCE
2
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 469
BÀI 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC MỘT CUNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG a
1. Định nghĩa
Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ A M (còn viết A M )
·
Tung độ y = OK của điểm M gọi là sin của
a
và kí hiệu là sin a.
sin a = OK .
·
Hoành độ x = OH của điểm M gọi là côsin của
a
y
B
M
K
A x
A'
và kí hiệu là cos a.
O
H
cos a = OH .
·
sin a
Nếu cos a ¹ 0, tỉ số
gọi là tang của
cos a
tan a =
·
a
B'
và kí hiệu là tan a (người ta còn dùng kí hiệu tg a )
sin a
.
cos a
cos a
Nếu sin a ¹ 0, tỉ số
gọi là côtang của
sin a
) cot a =
a
và kí hiệu là cot a (người ta còn dùng kí hiệu cotg a
cos a
.
sin a
Các giá trị sin a, cos a, tan a, cot a được gọi là các giá trị lượng giác của cung a.
Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin
2. Hệ quả
1) sin a và cos a xác định với mọi a Î . Hơn nữa, ta có
sin (a + k 2p ) = sin a, "k Î ;
cos (a + k 2p ) = cos a, "k Î .
2) Vì -1 £ OK £ 1; - 1 £ OH £ 1 nên ta có
-1 £ sin a £ 1
-1 £ cos a £ 1.
3) Với mọi m Î mà -1 £ m £1 đều tồn tại
a
và b sao cho sin a = m và cos b = m.
4) tan a xác định với mọi a ¹ p + k p (k Î ).
2
5) cot a xác định với mọi a ¹ k p (k Î ).
6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc
đường tròn lượng giác.
a
phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM = a trên
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 470
Góc phần tư
I
II
III
IV
cos a
+
-
-
+
sin a
+
+
-
-
tan a
+
-
+
-
cot a
+
-
+
-
Giá trị lượng giác
3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
a
0
p
6
p
4
p
3
p
2
sin a
0
1
2
2
2
3
2
1
cos a
1
3
2
2
2
1
2
0
tan a
0
cot a
Không xác định
1
3
3
1
1
3
1
3
Không xác định
0
II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG
1. Ý nghĩa hình học của tan a
Từ A vẽ tiếp tuyến t 'At với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách
chọn gốc tại A .
Gọi T là giao điểm của OM với trục t ' At.
tan a được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ AT trên trục t 'At. Trục t 'At được gọi là trục
tang.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 471
y
t
M
A x
O
T
t'
2. Ý nghĩa hình học của cot a
Từ B vẽ tiếp tuyến s 'Bs với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách
chọn gốc tại B .
Gọi S là giao điểm của OM với trục s 'Bs
cot a được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ BS trên trục s 'Bs Trục s 'Bs được gọi là trục
côtang.
y
s'
S s
B
M
x
O
III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
1. Công thức lượng giác cơ bản
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau
sin 2 a + cos2 a = 1
1 + tan 2 a =
1
p
, a ¹ + k p, k Î
2
cos a
2
1 + cot 2 a =
1
, a ¹ kp, k Î
sin 2 a
tan a.cot a = 1, a ¹
kp
, k Î
2
2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
1) Cung đối nhau:
a
và
-a
cos (-a ) = cos a
sin (-a ) = - sin a
tan (-a ) = - tan a
cot (-a ) = - cot a
2) Cung bù nhau:
a
và
p-a
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 472
sin (p - a ) = sin a
cos (p - a ) = - cos a
tan (p - a ) = - tan a
cot (p - a ) = - cot a
3) Cung hơn kém
p
:
a
và (a + p )
sin (a + p ) = - sin a
cos (a + p ) = - cos a
tan (a + p ) = tan a
cot (a + p ) = cot a
4) Cung phụ nhau:
a
æp
ö
và ççç - a÷÷÷
è2
ø
æp
ö
sin çç - a÷÷÷ = cos a
çè 2
ø
æp
ö
cos çç - a÷÷÷ = sin a
çè 2
ø
æp
ö
tan çç - a÷÷÷ = cot a
çè 2
ø
æp
ö
cot çç - a÷÷÷ = tan a
çè 2
ø
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng toán 1: biểu diễn góc và cung lượng giác.
1. Phương pháp giải.
Để biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác ta thường sử dụng các kết quả sau
Góc a và góc a + k 2p, k Î Z có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
k 2p
( với k là số
m
nguyên và m là số nguyên dương) là m. Từ đó để biểu diễn các góc lượng giác đó ta lần
Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng a +
lượt cho k từ 0 tới ( m - 1) rồi biểu diễn các góc đó.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo sau:
a)
p
4
b) -
11p
2
c) 1200
d) -7650
Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 473
p
1
a) Ta có 4 = . Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau.
2p
8
Khi đó điểm M 1 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo
b) Ta có -
-
y
B
M2
p
.
4
13p
p
= - + ( -3 ) .2p do đó điểm biểu diễn bởi góc
2
2
A'
p
11p
trùng với góc - và là điểm B ' .
2
2
M1
A
O
x
M3
B'
120
1
c) Ta có
= . Ta chia đường tròn thành ba phần bằng nhau.
360
3
Khi đó điểm M 2 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 1200 .
d) Ta có -7650 = -450 + ( -2 ) .3600 do đó điểm biểu diễn bởi góc -7650 trùng với góc -450 .
45
1
= . Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau (chú ý góc âm )
360
8
Khi đó điểm M 3 (điểm chính giữa cung nhỏ AB ' ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo -7650 .
Ví dụ 2 : Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với k là
số nguyên tùy ý).
x2 =
x 1 = kp ;
p
+ kp ;
3
x3 = -
p
+ kp
3
Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào?
Lời giải
Ta có x 1 =
k 2p
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x 1 = k p
2
Với k = 0 x 1 = 0 được biểu diễn bởi điêm A
k = 1 x 1 = p được biểu diễn bởi A '
x2 =
p 2k p
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có
+
3
2
số đo dạng x 2 =
p
+ kp
3
y
p
k = 0 x 2 = được biểu diễn bởi M 1
3
k =1x =
4p
được biểu diễn bởi M 2
3
B
M4
A'
M1
A
O
Trang 474
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
M2
B'
M3
x
x3 = -
p k 2p
p
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x 3 = - + k p
+
3
3
2
k = 0 x3 = k = 1 x6 =
p
được biểu diễn bởi M 3
3
2p
được biểu diễn bởi M 4 .
3
Do các góc lượng giác x 1, x 2 , x 3 được biểu diễn bởi đỉnh của đa giác đều AM 1M 4A ' M 2M 3
nên các góc lượng giác đó có thể viết dưới dạng một công thức duy nhất là x =
kp
.
3
Dạng toán 2 : xác định giá trị của biểu thức chứa góc đặc biệt, góc liên quan đặc biệt và dấu
của giá trị lượng giác của góc lượng giác.
1. Phương pháp giải.
Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác
Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt
Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của góc liên quan đặc biệt
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm ngọn của
cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các giá trị lượng
giác.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = sin
b) B =
7p
5p
7p
+ cos 9p + tan(- ) + cot
6
4
2
1
2 sin 2550 cos(-188)
+
tan 368
2 cos 638 + cos 98
c) C = sin2 25 + sin2 45 + sin2 60 + sin2 65
d) D = tan2
p
3p
5p
. tan . tan
8
8
8
Lời giải
æ
æ
æp
ö
pö
pö
a) Ta có A = sin çç p + ÷÷÷ + cos ( p + 4.2p ) - tan çç p + ÷÷÷ + cot çç + 3p ÷÷÷
çè 2
6ø
4ø
èç
èç
ø
A = - sin
p
p
p
1
5
+ cos p - tan + cot = - - 1 - 1 + 0 = 6
4
2
2
2
b) Ta có B =
2 sin ( 300 + 7.360 ) cos(8 0 + 180)
1
+
tan ( 8 0 + 360 ) 2 cos ( -900 + 8 0 + 2.360 ) + cos ( 900 + 8 )
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133
Trang 475
- Xem thêm -
.PDF 
110 
1 
133 
