CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Loại 1: Phương trình thuần nhất với sin kx và cos kx
Dạng phương trình: a sin kx b cos kx c .
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho
a
a b
2
2
b
sin kx
2
a b
2
2
a 2 b 2 , ta được
cos kx
2
a
b
Do
1 nên đặt
2
2
2
2
a b a b
a
a 2 b2
c
a b2
2
.
b
cos
Khi đó phương trình trở thành cos sin x sin cos x
a 2 b2
c
a b
2
2
sin .
sin x
c
a b2
2
.
Đây là phương trình sơ cấp đã biết cách giải.
Điều kiện có nghiệm:
c
a b
2
2
1 a 2 b2 c2
2) Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc hai với sin x và cos x
Dạng phương trình: a.sin 2 x b.sin x cos x c.cos 2 x 0
Cách giải: Thực hiện 2 bước sau
- Bước 1: Kiểm tra cos x 0 có là nghiệm của phương trình hay không.
- Bước 2: Khi cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta thu được phương trình
a tan 2 x b tan x c 0 .
Đây là phương trình bậc hai đối với tan x mà ta đã biết cách giải.
Chú ý:
- Với phương trình dạng a.sin 2 x b.sin x cos x c.cos 2 x d ta làm như sau:
Phương trình a sin 2 x b sin x cos x c cos 2 x d.1
a sin 2 x b sin x cos x c cos 2 x d sin 2 x cos 2 x
a d sin 2 x b sin x cos x c d cos 2 x 0 .
- Ngoài cách giải trên ta có thể áp dụng công thức góc nhân đôi và công thức hạ bậc đưa về phương trình
đã xét ở loại 1.
Cụ thể, a.sin 2 x b.sin x cos x c.cos 2 x 0 a.
1 cos 2x 1
1 cos 2x
b.sin 2x c.
0
2
2
2
3) Loại 3: Phương trình đẳng cấp bậc ba với sin x và cos x
Dạng phương trình: a.sin 3 x b.sin 2 x.cos x c.sin x.cos 2 x d.cos 3 x 0
Cách giải: Thực hiện 2 bước sau
Trang 1
- Bước 1: Kiểm tra cos x 0 có là nghiệm của phương trình hay không.
- Bước 2: Khi cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos3 x ta thu được phương trình
a. tan 3 x b.tan 2 x c. tan x d 0 .
Chú ý:
Với phương trình đẳng cấp bậc ba khuyết hệ số chẵn (bậc 3-1) thì cách giải hoàn toàn tương tự.
a.sin 3 x b.sin x c.cos x d.cos 3 x 0 a.
sin 3 x
sin x
1
1
b
.
c.
d 0
3
2
cos x
cos x cos x
cos 2 x
a.tan 3 x b. tan x. 1 tan 2 x c. 1 tan 2 x d 0 .
4) Loại 4: Phương trình có chứa sin x cos x
Dạng phương trình: a. sin x cos x b.sin x.cos x c 0
Cách giải: Đặt t sin x cos x 2 sin x 2 t 2
4
Lại có t 2 1 2sin x.cos x sin x.cos x
t2 1
1 t2
hoặc sin x.cos x
.
2
2
t
Thay vào phương trình ta dễ dàng tìm được t, suy ra sin x
x
4
2
5) Loại 5: Phương trình có chứa tan x cot x
Dạng phương trình: a tan 2 x cot 2 x b tanx cotx c 0 .
Cách giải: Đặt t tanx cotx
sin x cos x
cos x sin x
1
2
sin x.cos x sin 2x
sin 2 x cos 2 x
cos 2x
sin x.cos x
sin 2x
Lại có t 2 tan 2 x cot 2 x 2 tan 2 x cot 2 x t 2 2
Thay vào phương trình ẩn t, tìm được t rồi suy ra x.
6) Loại 6: Một số các phương trình đối xứng tương tự
Dạng phương trình: a sin 4 x cos 4 x b sin 2x c 0
Dạng phương trình: a sin 4 x cos 4 x b cos 2x c 0
Dạng phương trình: a sin 6 x cos6 x b sin 2x c 0
Dạng phương trình: a sin 6 x cos 6 x b cos 2x c 0
Dạng phương trình: a sin 4 x b cos 4 x c.cos 2x d 0
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1: Phương trình thuần nhất đối với sin x và cos x
Trang 2
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
a) cos x 3 sin x 2
b) sin x cos x
6
2
Lời giải:
a) cos x 3 sin x 2
1
3
2
2
cos x
sin x
cos x
2
2
2
3 2
7
x 3 4 k2
x 12 k2
k Z .
x k2
x k2
3
4
12
b) sin x cos x
6
1
1
3
3
cos x
sin x
cos x
2
2
4 2
2
2
5
x 4 6 k2
x 12 k2
k Z
x k2
x k2
4
6
12
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
3 cos 3x sin 3x 2
a)
b) sin x cos x 2 sin 5x
Lời giải:
3 cos 3x sin 3x 2
a)
3
1
2
2
cos 3x sin 3x
cos 3x
2
2
2
6 2
5
2
3x 6 4 k2
x 36 k 3
k Z
3x k2 x k 2
6
4
36
3
b) sin x cos x 2 sin 5x
1
1
cos x
sin x sin 5x sin x sin 5x
4
2
2
x 16 k 2
5x x 4 k2
k Z
x 3 k
5x x 2k
4
24
3
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau
a)
3 1 sin x
3 1 cos x 3 1 0
b)
3 sin 2x sin 2x 1
2
Lời giải:
a)
3 1 sin x
3 1 cos x 3 1 0 3 sin x cos x sin x cos x 3 1 0
3 1
6 cos x 2 sin x 3 1 0 3 cos x sin x
4
4
4
4
2
Trang 3
6 2
6 2
cos x
cos x
4 6
4
12
4
5
x 3 k2
x 12 12 k2
k Z
x k2
x 5 k2
12
12
2
Vậy phương trình có nghiệm x
b)
k2 , x k2 , k Z .
3
2
1
3 sin 2x sin 2x 1 3 sin 2x cos 2x 1 cos 2x
3 2
2
x k
2x 3 3 k2
k Z
x k
2x k2
3
3
3
Vậy phương trình có nghiệm x k , x k , k Z
3
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau
a) 3sin 3x 3 cos 9x 1 4sin 3 3x
1
b) sin 4 x cos 4 x
4 4
Lời giải:
a) 3sin 3x 3 cos 9x 1 4sin 3 3x 3 cos 9x 3sin 3x 4sin 3 x 1
2
9x k2
x
k
1
6 3
54
9
3 cos 9x sin 9x 1 cos 9x
6 2
9x k2
x k 2
6
3
18
9
Vậy phương trình có nghiệm x
2
2
, x k
, k Z
k
54
9
18
9
1
1
1
4
b) Ta có sin 4 x cos 4 x sin 4 x cos x sin x
4 4
4
4
sin 2 x 1 cos 2 x
1 1
2
1 2sin x cos x
4 4
1
sin 2 x 1 cos 2 x .2sin x cos x 2 2sin x cos x
4
sin 2 x sin 2 x cos 2 x sin x cos x 1 sin x cos x
sin 2 x sinxcosx sinx cos x sin x 0 2 sin x cos x 0
4
sin x 0
x k
x k
cos x 0
x k
x k
4
4 2
4
Trang 4
Vậy phương trình có nghiệm x k , x
k , k Z
4
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau
a) cos 7x sin 5x 3 cos 5x sin 7x
b) tan x 3cot x 4 sin x 3 cos x
Lời giải:
a) cos 7x sin 5x 3 cos 5x sin 7x cos 7x 3 sin 7x 3 cos 5x sin 5x
7x 5x k2
x k
6
12
2 cos 7x 2 cos 5x
k Z
3
6
7x 5x k2
x
k
72
6
6
Vậy phương trình có nghiệm x
k , x
k , k Z
12
72
6
b) Điều kiện: sin x, cos x 0
PT tan x 3cot x 4 sin x 3 cos x
sin 2 x 3cos 2 x
4 sin x 3 cos x 0 sin x 3 cos x
sin x cos x
sin x
cos x
3
4 sin x 3 cos x 0
cos x
sin x
3 cos x
4 0
sinsinx x cos
x
cos x sin x sin 2x
2 sin x 4sin x cos x
6
3
3
0
2 cos x
0
6
sin
x
cos
x
sin
x
cos
x
x k
x k
6 2
3
cos x 6 0
2x x k2
x k2 (thỏa mãn)
3
3
sin x sin 2x 0
3
2x x k2
x 4 k 2
3
9
3
Vậy phương trình có nghiệm x
4
2
, k Z .
k , x k2 , x
k
3
3
9
3
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau
a)
3 1 cos 2x
cos x
2 sin x
b) sin 2x sin 2 x
1
2
Lời giải:
a) Điều kiện: sin x 0
PT
3 1 cos 2x
cos x 3 3 cos 2x 2sin x cos x sin 2x 3 cos 2x 3
2 sin x
2x k2
x k
3
6 6
cos 2x
k Z
x k
6 2
2x k2
6
6
6
Trang 5
Vậy phương trình có nghiệm x k , x k , k Z
6
b) sin 2x sin 2 x
1
1
1
1
sin 2x 1 2sin 2 x sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x 0
2
2
2
2
1
1
sin 2x 2 cos 2x 0 cos 2x 0 2x k x k
2
4 2
2
5
5
2
2
1
1
( Với sin
, cos 2 ). Vậy phương trình có nghiệm x k
4 2
2
5
5
2
2
k Z
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau
a) cos x 3 sin x
2 6
b) cos 7x 3 sin 7x 2 0, x ;
5 7
1
cos x
Lời giải:
a) ĐKXĐ: cos x 0
cos x 3 sin x
1
cos 2 x 1 3 sin x 0 3 sin x sin 2 x 0 sin x
cos x
3 sin x 0
sin x 0 x k k Z
Vậy phương trình có nghiệm k , k Z
3
5
x
k2
x
k2
2
3 4
12
b) cos 7x 3 sin 7x 2 0 cos x
3
2
x 3 k2
x 13 k2
3
4
12
5
2 6
5
Do x ; x . Vậy x
là nghiệm cần tìm.
12
5 7
12
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau
b) sin x 3 cos x
a) 2 sin15x 3 cos 5x sin 5x 0
6
4
sin x 3 cos x 1
Lời giải:
a) PT
3
1
cos 5x sin 5x sin15x sin 5x sin 15x
2
2
3
3 5x 15x k2
x
5x 15x k2
x
3
Vậy nghiệm của PT là: x
k
60 10
k
15 5
k
k
, x
, k Z
60 10
15 5
Trang 6
b) Đặt t sin x 3 cos x 2sin x t 2; 2 , t 1 ta có
3
PT t
t 1
6
4 t 2 t 6 4t 4 t 2 3t 2 0
tm
t 1
t 2
x k2
x
1
3 6
+ Với t 1 sin x
3 2
x 5 k2
x
3 6
k2
6
k2
2
+ Với t 2 sin x 1 x k2 x k2
3
3 2
6
Vậy PT có nghiệm là: x
k2, x k2 k Z
6
2
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau
a)
3 sin x cos x
3
3 sin x cos x 1
b)
cos x 2sin x.cos x
3
2 cos 2 x sinx 1
Lời giải:
a) Đặt t 3 sin x cos x 2sin x t 1, t 2; 2 ta có:
6
1 13
tm
t
3
1 13
2
2
PT t
t t 3 0
sin x
t 1
6
4
1 13
2 loai
t
2
1 13
k2
x arcsin
6
4
k Z
5
1 13
arcsin
k2
x
6
4
sin x 1
b) ĐK: 2 cos x sinx 1 2 sin x sinx 1 0
1
sin x
2
2
2
Với điều kiện trên
PT cos x sin 2x 3 cos 2x sin x cos x 3 sin x sin 2x 3 cos 2x
2
cos x cos 2x x k2, x
k
3
6
2
18
3
Kết hợp điều kiện: Vậy PT có nghiệm là: x
2
k
k Z
18
3
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau
a)
1 cos x cos 2x cos 3x 2
3 3 sin x
2 cos 2 x cos x 1
3
b) cos 2x 3 sin 2x 3 sin x cos x 4 0
Lời giải:
Trang 7
a) ĐK: cos x 1, cos x
PT
1
. Với ĐK trên:
2
1 cos 2x cos x cos 3x 2
cos 2x cos x
3
3
3 sin x
2 cos x cos x cos 2x 2
2 cos 2 x 2 cos 2x.cos x 2
3 3 sin x
3 3 sin x
cos 2x cos x
3
cos x cos 2x
3
x k2
3 cos x sin x 3 sin x sin
x k2 loai
3
3
3
Vậy nghiệm của PT là x k2 k Z .
b) PT cos 2x sin x 2 0 1 2 sin 2 x sin x 2 0
3
6
6
6
2 sin 2 x sin x 3 0 sin x 1 x k2
6
6
6
3
Vậy x
k2 k Z
3
Ví dụ 11. Giải các phương trình sau
a) sin 8x cos 6x 3 sin 6x cos8x
b) 2sin 2 x 3 sin 2x 3
Lời giải:
a) PT sin 8x 3cox8x 3 sin 6x cos 6x sin 8x sin 6x
3
6
8x 3 6x 6 k2
x 4 k
8x 6x k2
x k
12 7
3
6
Vậy nghiệm của PT là: x
k
k , x
4
12 7
k Z .
b) PT 2 sin 2 x 1 3 sin 2x 2 3 sin 2x cos 2x 2 sin 2x 1
6
2x
k2 x k
6 2
3
Vậy nghiệm của PT là: x
k k Z
3
Ví dụ 12. Giải các phương trình sau
a) 8 cos x
3
1
sin x cos x
b)
3 cos 2x sin 2x 2 sin 2x 2 2
6
Lời giải:
a) Đk: sin 2x 0 . Khi đó: PT 8cos x.sin x.cos x sin x 3 cos x
Trang 8
4 cos x.sin 2x sin x 3 cos x 2 sin 3x sin x sin x 3 cos x
2
3x x
k2
2
3
2sin 3x sin x 3 cos x sin 3x sin x
3
3x x k2
3
x 3 k
tm
x k
12 2
Vậy nghiệm của PT là: x
k
k , x
, k Z .
3
12 2
b) PT 2 cos 2x 2sin 2x 2 2 cos 2x cos
6
6
6 4
4
5
x 3 k
2x 12 4 k2
k Z
x k
2x k2
12
4
12
Ví dụ 13. Giải các phương trình sau
a)
3 sin 2x sin x cos 2x cos x 2
b) 8sin 2 2x.cos 2x 3 sin 2x cos 2x
Lời giải:
a) PT 3 sin 2x cos 2x 3 sin x cos x 2 cos 2x sin x 1
3
6
sin x 6 0
x
2
1 2sin x sin x 1
6
6
1
x
sin x
6
2
Vậy PT có nghiệm là: x
k
6
k2, x k2
3
k , x k2 , x k2 k Z
6
3
b) PT 4 sin 2x sin 4x 3 sin 2x cos 2x 2 cos 2x cos 6x 3 sin 2x cos 2x
6x 2x k2
3
3 sin 2x cos 2x 2 cos 6x cos 2x cos 6x
3
6x 2x k2
3
k
x 12 2
x k
24 4
Vậy nghiệm của PT là: x
k
k
, x
12 2
24 4
k Z
Trang 9
Dạng 2: Phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a) 2sin 2 x sin x.cos x 3cos 2 x 0
b) 2sin 2 x 3sin x.cos x cos 2 x 0
Lời giải:
a) PT 2 sin 2 x 2 sin x.cos x 3sin x.cos x 3cos 2 x 0
2sin x sin x cos x 3cos x sin x cos x 0
sin x cos x 2 sin x 3cos x 0
x k
tanx 1
sin
x
cos
x
4
k Z
3
tanx
x arctan 3 k
2 sin x 3cos x
2
2
b) PT 2sin 2 x 2sin x.cos x sin x.cos x cos 2 x 0
2 sin x sin x cos x cos x sin x cos x 0 sin x cos x 2sin x cos x 0
x k
tan x 1
sin x cos x
4
k Z
1
tanx
x arctan 1 k
2 sin x cos x
2
2
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a) sin 2 x 10 sin x.cos x 21cos 2 x 0
b) 2sin 2 x 5sin x.cos x 3cos 2 x 0
Lời giải:
a) PT sin 2 x 3sin x.cos x 7 sin x.cos x 21cos 2 x 0
sin x sin x 3cos x 7 cos x sin x 3cos x 0 sin x 3cos x sin x 7 cos x 0
x arctan 3 k
sin x 3cos x
tan x 3
k Z
2sin x 7 cos x
tan x 7
x arctan 7 k
b) PT 2sin 2 x 2sin x.cos x 3sin x.cos x 3cos 2 x 0
2sin x sin x cos x 3cos x sin x cos x 0 sin x cos x 2sin x 3cos x 0
x k
tan x 1
sin x cos x
4
k Z
3
tan x
x arctan 3 k
2 sin x 3cos x
2
2
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau
a) sin 2 x 1 3 sinx.cos x 3 cos 2 x 0
b) 3sin 2 x 4sin 2x 4 cos 2 x 0
Lời giải:
a) PT sin 2 x sin x.cos x
3 sin x.cos x 3 cos 2 x 0
Trang 10
sin x sin x cos x 3 cos x sin x cos x 0 sin x cos x sin x 3 cos x 0
x k
sin x cos x
tanx 1
4
k Z (Do cos x 0 không là nghiệm).
x k
sin x 3 cos x
tanx 3
3
b) Phương trình đã cho tương đương với
3sin 2 x 8sin x cos x 4 cos 2 x 0 3sin 2 x 6sinx .cosx 2 sin x.cos x 4 cos 2 x 0
3sin x sin x cos x 2 cos x sin x cos x 0 sin x cos x 3sin x 2 cos x 0
x k
tan x 1
sin x cos x
4
k Z
2
tan x
x arctan 2 k
3sin x 2 cos x
3
3
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau
a) 3sin 2 x 8sin x.cos x 8 3 9 cos 2 x 0
b) 3sin 2 x 4 sin x.cos x 5cos 2 x 2
Lời giải:
a) PT 3sin 2 x 9 cos 2 x 8sin x.cos x 8 3 cos 2 x 0
3 cos x 3sin x 3 3 8 cos x 0
3 sin x 3 cos x sin x 3 cos x 8cos x sin x 3 cos x 0
sin x
tanx 3
sin x 3 cos x
x 3 k
k Z
tanx 3 8
3sin x 3 3 8 cos x
x arctan 3 8 k
3
3
( Do cos x 0 không là nghiệm)
b) PT 3sin 2 x 4sin x.cos x 5cos 2 x 2 sin 2 x cos 2 x sin 2 x 4sin x.cos x 3cos 2 x 0
sin 2 x sin x.cos x 3sin x.cos x 3cos 2 x 0
sin x sin x cos x 3cos x sin x cos x 0
sin x cos x sin x 3cos x 0
x k
sin x cos x
tanx 1
4
k Z
sin x 3cos x
tanx 3
x arctan 3 k
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau
a) 4sin 2 x 3 3 sin x.cos x 2 cos 2 x 4
b) cos 2 x 3 sin 2x 1 sin 2 x
Lời giải:
a) PT 4sin 2 x 3 3 sin x.cos x 2 cos 2 x 4 sin 2 x cos 2 x 3 sin x.cos x 2 cos 2 x 0
Trang 11
x k
cos
x
0
2
k Z
x arctan 2 k
3 sin x 2 cos x
3
sin x 0
b) PT cos 2 x 3 sin 2x sin 2 x cos 2 x sin 2 x 3 sin x.cos x sin 2 x
sin x 3 cos x
x k
x k
k Z
x k
tan
x
3
3
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau
a) 4sin x 6 cos x
1
cos x
3
b) 4 sin x.cos x 4sin 2 x 2 sin x cos x 1
2
2
Lời giải:
a) ĐK: cos x 0
PT 4 sin x.cos x 6 cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x 4sin x.cos x 5 cos 2 x 0
tanx 1 x k
sin x cos x sin x 5 cos x 0
4
k Z
tanx 5
x arctan 5 k
b) PT 4sin 2 x 4sin 2 x 2 cos x cos x sin 2 x cos 2 x 7 sin 2 x cos 2 x 0 VN
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau
a) sin x 4 sin 3 x cos x 0
b) 2sin 3 x cos x
Lời giải:
a) Phương trình đã cho tương đương với
sinx cosx sin 2 x cos 2 x 4sin 3 x 0 3sin 3 x cos3 x sin x.cos 2 x sin 2 x.cos x 0
sin x cos x 3sin 2 x 2sin x.cos x cos 2 x 0
sin x cos x
2
2
2
2
2
2sin x sin x 2sin x.cos x cos x 0 2sin x sinx cosx 0 L
tanx 1 x
k k Z
4
b) PT 2 sin 3 x cos x sin 2 x cos 2 x 2sin 3 x sin 2 x.cos x cos 3 x 0
sin x cos x sin 2 x sin x.cos x cos 2 x 0 sin x cos x 0 x
k k Z
4
(Do sin 2 x sin x.cos x cos 2 x 0 )
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau
Trang 12
a) 2 cos3 x sin 3x
b) 4 cos3 x 2sin 3 x 3sin x 0
Lời giải:
a) Ta có 2 cos3 x sin 3x 2 cos3 x sin x.cos 2x cos x.sin 2x
sin x cos 2 x sin 2 x 2cos 2 x sin x cos x 0
cos x sin x sin 2 x sin x.cos x 2 cos 2 x 0 cos x sin x sin x 2 cos x 0
2
1
2
cos 2 x
sin x
cos x 0 cos 2 x cos x 0
4 5
4
5
x
cos
x
0
4
x
cos x 0
k
4
k Z
k
2
Vậy phương trình có họ nghiệm: x
k , x k , k Z
2
4
b) 4 cos3 x 2 sin 3 x 3sin x 0 4 cos x 4 cos x.sin 2 x 2sin x 2 sin x.cos 2 x 3sin x 0
4 cos x sin x 4 cos x.sin 2 x 2sin x.cos 2 x 0
cos x sin x 4cos x.sin x sin x cos x 3cos x 1 2sin x.cos x 0
cos x sin x 1 sin x.cos x 3cos 2 x 0 cos x sin x 4 cos 2 x sin x.cos x sin 2 x 0
cos x sin x 0 2 cos x 0 x k k Z
4
4
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau
a) sin x.sin 2x sin 3x 6 cos 3 x
b) cos3 x sin 3 x cos x sin x
Lời giải:
a) sin x.sin 2x sin 3x 6 cos3 x 2 sin 2 x cos x 3sin x 4 sin 3 x 6 cos x 1 sin 2 x
8sin 2 x.cos x 6 cos x 4sin 3 x 3sin x 0 2 cos x sin x 4sin 2 x 3 0
1
2
cos x
sin x 1 2 cos 2x 0 cos x 1 2 cos 2x 0
5
5
cos x 0
x 2 k
2
1
k Z với cos , sin
cos 2x 1
5
5
x k
2
3
Vậy phương trình có họ nghiệm x
k , x k , k Z
2
3
b) cos3 x sin 3 x cos x sin x cos x sin x cos 2 x sin x.cos x sin 2 x cos x sin x
cos x sin x 1 sin x.cos x cos x sin x sin x.cos 2 x sin x 1 sin x.cos x sin x
Trang 13
sin x 2 sin x.cos x cos 2 x 0 sin x 2sin 2 x sin x.cos x cos 2 x 0 sin x 0 x k k Z
Vậy phương trình có họ nghiệm x k k Z
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau
a) 6sinx 2 cos3 x 5sin 2x.cos x
b) cos3 x sin x 3sin 2 x.cos x 0
Lời giải:
a) 6sinx 2 cos3 x 5sin 2x.cos x cos3 x 5sin x.cos 2 x 3sin x 0
cos x 1 sin 2 x 5sin x.cos 2 x 3sin x 0
cos x sin x cos x.sin 2 x sin x.cos 2 x 4sin x.cos 2 x 2sin x 0
cos x sin x 1 3cos x.sin x 2sin 2 x 0 cos x sin x cos 2 x 3sin x.cos x 3sin 2 x 0
cos x sin x 0 2 cos x 0 x k k Z
4
4
Vậy phương trình có họ nghiệm x
k k Z
4
b) cos3 x sin x 3sin 2 x.cos x 0 cos x cos 2 x sin 2 x sin x 2sin x.cos x 1 0
cos x cos x sin x cos x sin x sin x cos x sin x 0
2
cos x sin x cos 2 x sin x.cos x sin x.cos x sin 2 x 0
cos x sin x 0 2 cos x 0 x k k Z
4
4
Vậy phương trình có họ nghiệm x
k k Z .
4
Ví dụ 11. Giải các phương trình sau
a) cos3 x 4sin 3 x 3cos x.sin 2 x sin x 0
b) 4sin 3 x 3cos3 x 3sin x sin 2 x cos x 0
Lời giải:
a) cos3 x 4 sin 3 x 3cos x.sin 2 x sin x 0 cos x 3sin x 4 sin x.cos 2 x 4 sin 2 x.cos x 0
3cos x 3sin x 4sin x.cos x sin x cos x 8sin 2 x.cos x 4 cos x 0
sin x cos x 3 4 cos 2 x 0 2 cos x 2 cos 2x 1 0
4
3
x
k
cos x 4 0
4
k Z
1
x k
cos 2x 2
6
Vậy phương trình có họ nghiệm x
3
k , x k , k Z
4
6
b) 4sin 3 x 3cos 3 x 3sin x sin 2 x cos x 0
4sin x 1 cos 2 x 3cos x 1 sin 2 x 3sin x sin 2 x.cos x 0
Trang 14
sin x 4 sin x.cos 2 x 3cos x 4 sin 2 x.cos x 0
sin x cos x 4sin x cos x sin x cos x 8sin 2 x cos x 4 cos x 0
sin x cos x 1 4 cos 2 x 0 2 cos x 2 cos 2x 1 0
4
cos x 4 0
1
cos 2x 2
x 4 k
k Z
x k
3
Vậy phương trình có họ nghiệm x
k , x k k Z .
4
3
Ví dụ 12. Giải các phương trình sau
a) tan x.sin 2 x 2sin 2 x 3 cos 2x sin x cos x b) 2sin x 2 3 cos x
3
1
cos x sin x
Lời giải:
a) Điều kiện: cos x 0
tan x.sin 2 x 2 sin 2 x 3 cos 2x sin x.cos x
sin 3 x 2 sin 2 x.cos x 3sin x.cos 2 x 3cos x cos 2 x sin 2 x 0
sin 3 x sin 2 x.cos x 3sin 2 x.cos x 3sin x.cos 2 x 3cos x cos 2 x sin 2 x 0
sin x cos x sin 2 x 3cos 2 x 0 2 cos x 2 cos 2x 1 0
4
cos x 4 0
1
cos 2x 2
3
x 4 k
k Z (thỏa mãn)
x k
3
Vậy phương trình có họ nghiệm x
b) 2 sin x 2 3 cos x
3
1
cos x sin x
3
k , x k , k Z
4
3
sin x, cos x 0
2sin x.cos x sin x 3 cos x 3 sin x cos x 2sin 2 x.cos x 2 3 sin x.cos 2 x 3 sin x cos x 0
cos 2 sin 2 x 1 3 sin x 2 cos 2 x 1 0 cos 2x cos x 3 sin x 0
cos 2x 0
x
cos 2x.cos x 0
cos x 0
6
x
6
Vậy phương trình có họ nghiệm x
k
4
2
k Z (thỏa mãn)
k
3
k , x k , k Z
4
2
3
Ví dụ 13. Giải các phương trình sau
Trang 15
a) 4 sin 3 x.cos 3x 4cos3 x.sin 3x 3 3 cos 4x 3 b) sin 3 x cos 3x cos 3 x.sin 3x sin 3 4x
Lời giải:
a) 4sin x.cos 3x 4 cos x.sin 3x 3 3 cos 4x 3
3
3
4sin 3 x.cos x 4 cos 2 x 3 4 cos3 x.sin x 3 4sin 2 x 3 3 cos 4x 3
12 sin x.cos x sin 2 x cos 2 x 3 3 cos 4x 3 2sin 2x.cos 2x 3 cos 4x 1
x
k
1
24
2
sin 4x 3 cos 4x 1 cos 4x
k Z
6
2
x k
8
2
Vậy phương trình có họ nghiệm x
k ; x k k Z
24
2
8
2
b) Ta có sin 3 x cos 3x cos3 x.sin 3x sin 3 4x
sin 3 x.cos x 4 cos 2 x 3 cos3 x.sin x 3 4sin 2 x sin 3 4x
3sin x.cos x sin 2 x cos 2 x 4sin 3 4x
3
3
sin 4x 4 sin 3 4x 2 sin 4x 2 sin 2 x 0
2
4
sin 4x 0
x k 4
1
2sin 4x cos 2x 0
k Z
cos 2x 1
4
x 1 arccos 1 k
4
2
4
Vậy phương trình có họ nghiệm x k
1
1
, x arccos k , k Z
4
2
4
Dạng 3: Phương trình đối xứng
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a) 2 sin x cos x sin 2x 1 0
b) sin x.cos x 6 sin x cos x 1
Lời giải:
a) 2 sin x cos x sin 2x 1 0 2 sin x cos x 2 sin x.cos x sin 2 x cos 2 x 0
sin x cos x sin x cos x 2 0 2 cos x . sin x cos x 2 0
4
cos x 0
4
sin x cos x 2
3
x 4 k k Z
sin x cos x 1 do sin x 1, cos x 1
Vậy phương trình có họ nghiệm x
3
k k Z
4
b) sin x.cos x 6 sin x cos x 1 2sin x.cos x 1 12 sin x cos x 13
cos x sin x 12 cos x sin x 13 0
2
Trang 16
cos x sin x 1
x k2
1
cos x
k Z
2
4
2
cos x sin x 13 loai
x k2
Vậy phương trình có họ nghiệm x k2 , x
k2 , k Z
2
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a) sin 2x 2 sin x 1
4
b) tan x 2 2 sin x 1
Lời giải:
2
a) sin 2x 2 sin x 1 sin x cos x 2 sin x 0
4
4
2sin 2 x 2 sin x 0 2 sin x 2 sin x 1 0
4
4
4
4
x k
sin
x
0
4
4
x 2k k Z
1
sin x
x 2k
4
2
2
Vậy phương trình có họ nghiệm x
k , x 2k , x 2k k Z .
4
2
b) ĐK: cos x 0
Ta có: tan x 2 2 sin x 1
sin x
2 2 sin x 1 sin x 2 2 sin x.cos x cos x 0
cos x
2
sin x cos x 2 sin x cos x 1 0 2 2 cos 2 x 2 cos x 2 0
4
4
x k2
4
cos x 4 1
5
2 cos x 1 2 cos x 1 0
x
k2 k Z
4
4
12
1
cos x
4
2
x 11 k2
12
Vậy phương trình có họ nghiệm x
5
11
k2 , x
k2 , x
k2 k Z
4
12
12
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau
a) 1 tan x 2sin x
1
cos x
b) sin x cos x
1
1
tan x cot x
Lời giải:
a) ĐK: cos x 0
1 tan x 2 sin x
1
cos x sin x 2sin x.cos x 1
cos x
Trang 17
cos x sin x cos x sin x 2 0
2
cos x 2 loai
4
cos x sin x 2
1
cos x sin x 1
cos x
4
2
Vậy phương trình có họ nghiệm x k2 , x
x 2 k2 k Z
x k2
k2 , k Z
2
b) ĐK: sin x, cos x 0
Ta có: sin x cos x
1
1
sin x cos x sin x.cos x sin 2 x cos 2 x
tan x cot x
sin x cos x 0
sin x cos x sin x.cos x sin x cos x 0
sin x.cos x sin x cos x 0
Xét sin x cos x 0 2 sin x 0 x k
4
4
Xét sin x.cos x sin x cos x 0 . Đặt t sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4
4
Khi đó t 2 1 2sin x.cos x phương trình có dạng: 1 t 2 2t 0 t 1 2
1 2
Đối chiếu điều kiện t 2 t 1 2 sin x
sin
4
2
x 4 k2
x k2
4
x
x
k2
4
5
k2
4
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau
a) sin x
1
1
10
cos x
sin x
cos x 3
b) 2sin x cot x 2sin 2x 1
Lời giải:
a) ĐK: sin x.cos x 0
sin x
1
1
10
sin x cos x 10
cos x
sin x cos x
sin x
cos x 3
sin x.cos x
3
3 sin x cos x sin x.cos x 1 10sin x.cos x 0
3
2
2
sin x cos x sin x cos x 1 5 sin x cos x 5 0
2
3 sin x cos x 10 sin x cos x 3 cos x sin x 10 0
3
2
sin x cos x 2 3 sin x cos x 4 sin x cos x 5 0
2
Trang 18
2 19
1
sin x cos x 2 loai do sin x cos x 2
sin x cos x
3
3 sin x cos x 2 4 sin x cos x 5 0
2 19
sin x cos x
3
2 19
1 loai
cos x
4
2 19
3 2
x arccos
k2 k Z (thỏa mãn)
4
3 2
2 19
cos x
4
3 2
Vậy phương trình có họ nghiệm x arccos
2 19
3 2
k2 k Z
4
b) ĐK: sin x 0
2 sin x cot x 2sin 2x 1 2 sin x
cos x
4 sin x.cos x 10 0
sin x
2sin 2 x cos x 4sin 2 x.cos x sin x 0 2sin x 1 sin x 2sin x.cos x cos x 0
2sin x 1 1 2sin x.cos x cos x sin x 1 0
2
2sin x 1 cos x sin x cos x sin x 1 0
2sin x 1 2 cos 2 x 2 cos x 1 0
4
4
1
sin x
x k2
2
6
10 2
5
cos x
1 loai x
k2
k Z
4
4
6
10 2
10 2
k2
cos x
x arccos
4
4
4
4
Vậy phương trình có họ nghiệm
x
5
10 2
k2 , x
k2 , x arccos
k2
6
6
4
4
k Z
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau
a) sin 3 x cos 3 x 2 sin x.cos x sin x cos x
b) 1 sin 3 x cos 3 x sin 2x
Lời giải:
a) Phương trình đã cho tương đương với sin 3 x cos 3 x 2sin x.cos x sin x cos x
sin x cos x 1 sin x.cos x sin x cos x 2sin x.cos x
2sin x.cos x sin x.cos x sin x cos x 0 sin x.cos x sin x cos x 2 0
sin 2 x 0 do sin x cosx 2 x k
Vậy phương trình có họ nghiệm x k
k Z
2
k Z
2
Trang 19
b) 1 sin 3 x cos3 x sin 2x cos x sin x 1 sin x.cos x 1 2sin x.cos x 0
cos x sin x 1 sin x.cos x cos x sin x
2
0 cos x sin x 1 sin x.cos x cos x sin x 0
cos x 4 0 1
cos x 1 sin x.cos x cos x sin x 0
4
1 sin x.cos x cos x sin x 0 2
Giải (1) x
k k Z
4
Giải (2) 3 1 2 sin x.cos x 2 cos x sin x 0 3 cos x sin x 2 cos x sin x 0
2
x k2
cos x sin x 1
1
cos x
k Z
x k2
cos
x
sin
x
3
loai
do
cos
x
sin
x
2
4
2
2
Vậy phương trình có họ nghiệm x k2 , x
k , x k2 k Z
4
2
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau
2 sin x cos x tan x cot x
a)
b) 1 sin x 1 cos x 2
Lời giải:
a) ĐK: sin x cos x 0
2 sin x cos x tan x cot x 2 sin x cos x
sin 2 x cos 2 x
sin x cos x
2
2 sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x cos x 2
sin x cos x sin x cos x 2 0
3
2
sin x cos x 2 sin x cos x 2 sin x cos x 1 0
sin x cos x 2 cos x 1 x k2 x k2 k Z
4
4
4
Vậy phương trình có họ nghiệm x
k2 k Z
4
b) 1 sin x 1 cos x 2 sin x cos x sin x cos x 1 0
2 sin x cos x 2 sin x cos x 1 3 0
2
2 sin x cos x sin x cos x 3 0 2 cos 2 x 2 2 cos x 3 0
4
4
2
cos x
x k2
4 2
k Z
x k2
3 2
cos x
2
0 loai
4
2
Trang 20
- Xem thêm -
.PDF 
44 
1 
62 
