CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Loại 1: Phương trình bậc hai, bậc ba theo một hàm số lượng giác
Với phương trình a.sin 2 kx b.sin kx c 0 thì ta đặt t sin kx với 1 t 1 , quy về phương trình
bậc hai: a.t 2 b.t c 0 t sin kx x
Với phương trình a.cos 2 kx b.cos kx c 0 thì ta đặt t cos kx với 1 t 1 , quy về phương
trình bậc hai: a.t 2 b.t c 0 t cos kx x
Với phương trình a.tan 2 kx b.tan kx c 0 thì ta đặt t tan kx quy về phương trình bậc hai:
a.t 2 b.t c 0 t tan kx x . Tương tự cho phương trình ẩn t cot kx
Chú ý: Với phương trình bậc ba theo một hàm số lượng giác thì cách giải tương tự!
Loại 2: Phương trình nhóm nhân tử chung
Với phương trình f x 0 , bằng các kĩ thuật phân tích, các công thức lượng giác đã học ta nhóm được
g x 0
nhân tử chung và quy về dạng g x .h x 0
h x 0
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a)
3 tan 2 x 1 3 tan x 1 0
b) 4cos 2 x 2
3 1 cos x 3 0
Lời giải:
a)
3 tan 2 x 1 3 tan x 1 0 tan x 1
3 tan x 1 0
tan x 1
x 4 k
tan x 1
x k
3
6
Vây phương trình có họ nghiệm x
b) 4cos 2 x 2
cos x
cos x
4
k , x
6
k ,
3 1 cos x 3 0 2 cos x 3 2 cos x 1 0
3
x 6 k 2
2
1
x k 2
3
2
Vây phương trình có họ nghiệm x
3
k 2 , x
6
k 2 ,
Trang 1
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a) 2 sin 4 x cos 4 x cos 2 x 0
2
b) sin 6 x cos 6 x cos 4 x
Lời giải:
2
a) 2 sin 4 x cos 4 x cos 2 x 0 2 sin 2 x cos 2 x 2sin 2 xcos 2 x sin 2 x 0
2
1
x k 2
sin x
6
2
2 sin 2 x sin 2 x 0 sin 2 x 1 sin 2 x 2 0
x 5 k 2
sin x 2 loai
6
Vây phương trình có họ nghiệm x
5
k 2 , x k 2 ,
6
6
b)
2
3
sin 2 x cos 2 x 3sin 2 xcos 2 x 2sin 2 2 x 1 0 sin 2 2 x 2sin 2 2 x 0
4
sin 2 x 0 x k
2
Vây phương trình có họ nghiệm x
k
,
2
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau
a) sin 4 x cos 4 x sin 2 x
1
2
b) sin 4
x
x
cos 4 1 2sin x
2
2
Lời giải:
a) sin 4 x cos 4 x sin 2 x
2
1
1
sin 2 x cos 2 x 2 sin 2 xcos 2 x sin 2 x 0
2
2
sin 2 2 x
3
1
sin 2 x 0 sin 2 x 1 sin 2 x 3 0
2
2
2
sin x 1
x k 2 ,
2
sin x 3 loai
Vây phương trình có họ nghiệm x
2
k 2 ,
2
b) sin 4
x
x
x
x
x
x
cos 4 1 2 sin x sin 2 cos 2 2sin 2 cos 2 1 2 sin x 0
2
2
2
2
2
2
sin x 0
sin 2 x
1
sin x 0 sin x sin x 2 0
x k ,
2
2
sin x 2 loai
Vậy phương trình có họ nghiệm x
k
,
2
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau
Trang 2
a)
2 sin 6 x cos 6 x sin x.cos x
2 2sin x
0
b) sin 4 x cos 4 x sin x.cos x 0
Lời giải:
3
a) Điều kiện: x k 2 ,
k 2
4
4
PT
2 sin 6 x cos 6 x sin x.cos x
2 2sin x
0 2 sin 6 x cos 6 x sin x.cos x 0
2
2 sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x 3sin 2 xcos 2 x sin xcosx 0
6 sin xcosx sin xcosx 2 0 3sin xcosx 2 2sin xcosx 1 0
2
2
4
sin xcosx 3
sin 2 x loai
x k ,
3
4
sin xcosx 1
sin 2 x 1
2
Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là x
4
2m 1
b) sin 4 x cos 4 x sin x.cos x 0 sin 2 x cos 2 x 2 sin xcosx sin xcosx 0
2
2
2 sin xcosx sin xcosx 1 0 sin xcosx 1 2 sin xcosx 1 0
2
sin xcosx 1
sin 2 x 2 loai
x k ,
1
sin xcosx
4
sin 2 x 1
2
Vây phương trình có họ nghiệm x
4
k ,
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau
b) cos 4 sin 2 x
a)
1
4
Lời giải:
a) ĐKXĐ: x
3
k 2
sinx 3 cos x 0 2cos x 0 x k x k ,
6
6 2
3
Kết hợp với ĐKXĐ suy ra phương trình có họ nghiệm x
3
k
với k lẻ
b)
Trang 3
Vây phương trình có họ nghiệm x
4
k
2
,
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau
sin 6 x cos 6 x 1
a)
tan 2 x
cos 2 x sin 2 x 4
b) sin 4
x
x 5
cos 4
3
3 8
Lời giải:
a) Với cos 2 x 0 , phương trình đã cho tương đương
sin 2 x cos 2 x 3sin 2 xcos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x
sin 6 x cos 6 x 1
tan 2 x
cos 2 x sin 2 x 4
cos 2 x
4cos 2 x
3
sin 2 x 1
sin 2 x 1 x k ,
sin 2 x 4 1
4
3
b) Phương trình đã cho tương đương với
2x 3
sin
3 4
2
4x
3 3 cos 4 x 1 4 x 2 k 2 x k 3 ,
2
4
3
2
3
3
2
2
1 cos
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau
x
x
a) sin 2 tan 2 x cos 2 0
2
2 4
b) cos3 x cos 2 x cos x 1 0
Lời giải:
a) Với điều kiện cos x 0 phương trình đã cho tương đương với
1
sin 2 x 1 cos x
1
cos
x
1 sin x sin 2 x 1 cos x cos 2 x
2
2
2 cos x
2
1 sin x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 sin x 1 sin x
1 sin x 1 cos x sin x cos x 0
cos 2 x 0
x k 2
cosx 1
,
cosx 1
x k 2
tan
x
1
tanx 1
4
b) Phương trình đã cho tương đương với
4cos 3 x 3cos x 2cos 2 x 1 cos x 1 0 4cos 3 x 2cos 2 x 4 cos x 2 0
2 cos 2 x 2 cos x 1 2 2 cos x 1 0 2 cos 2 x 1 2 cos x 1 0
Trang 4
x k 2
sinx 0
, k
x 2 k 2
cosx 1
3
2
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau
x
a) tan x cos x cos 2 x sin x 1 tan x.tan
2
b) 1 sin x cos x sin 2 x cos 2 x 0
Lời giải:
a) Điều kiện: cos x cos
x
0
2
x
sin
sin x
sin
x
2
Phương trình đã cho tương đương
cosx cos 2 x sin x 1
.
x
cos x
co
s
x
cos
2
b) Phương trình đã cho tương đương với 1 sin x cos x sin 2 x cos 2 x 0
sin x sin 2 x 1 cos x cos 2 x 0 sin x 2sin x cos x 1 cos x 2 cos 2 x 1 0
sin x 1 2 cos x cos x 1 2 cos x 0 1 2 cos x sin x cos x 0
2
1
x
k 2
cos x
3
,
2
x k
tan x 1
4
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau
a) sin 2 x sin 2 3x cos 2 2 x cos 2 4 x
b) sin 6 x cos 6 x cos 4 x
Lời giải:
a) Phương trình đã cho tương đương sin 2 x sin 2 3x cos 2 2 x cos 2 4 x
2 cos 5 x cos 3 x 2 cos 5 x cos x 0 cos 5 x cos x cos 3 x 0
k
x 10 5
cos 5 x 0
cos 5 x cos x cos 2 x 0 cos x 0 x k ,
2
cos 2 x 0
x k
4 2
b) Phương trình đã cho tương đương với
Trang 5
sin 6 x cos 6 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x 3sin 2 xcos 2 x sin 2 x cos 2 x cos 4 x
3
3
3
k
,
1 sin 2 2 x cos 4 x 1 1 cos 4 x cos 4 x cos 4 x 1 x
4
8
2
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau
a)
1
3 3 tan x 3 3 0
cos 2 x
b)
3
tan 2 x 9
cos x
Lời giải:
a) Với điều kiện cos x 0 phương trình đã cho tương đương với
1
3 3 tan x 3 3 0 1 tan 2 x 3 3 tan x 3 3 0
2
cos x
tan 2 x 3 3 tan x 3 2 0
3 3 20 2 3
tan x
tan m
x m k
2
,
x
n
k
tan x 3 3 20 2 3 tan n
2
b) Với điều kiện cos x 0 phương trình đã cho tương đương
3
3
1 cos 2 x
tan 2 x 9
9 3cos x 1 cos 2 x 9cos 2 x
cos x
cos x
cos 2 x
1
cos x
x 2k
2
2
10cos x 3cos x 1 0
,
3
cos x 1
x m k 2
5
Ví dụ 11. Giải các phương trình sau
a) 9 13cos x
4
0
1 tan 2 x
b)
1
cot x 3
sin 2 x
Lời giải:
a) Với điều kiện cos x 0 phương trình đã cho tương đương
9 13cos x
4
0 9 13cos x 4cos 2 x 0
1 tan 2 x
cos x 1
cos x 1 x k 2 ,
9
cos x 1
4
b) Với điều kiện sin x 0 phương trình đã cho tương đương
1
cot x 3 1 cot 2 x cot x 3 cot 2 x cot x 2 0
sin 2 x
cot x 1 x k
,
4
cot x 2
x
m
k
Trang 6
Ví dụ 12. Giải các phương trình sau
a) cos 2 x 3cos x 4cos 2
x
2
b)
Lời giải:
a) Phương trình đã cho tương đương với
cos 2 x 3cos x 4cos 2
x
2cos 2 x 1 3cos x 2 1 cos x
2
cos x 3 1
2 cos 2 x 5cos x 3 0
1 x k 2
cos
x
3
2
b) Với điều kiện sin 2 x 0 phương trình đã cho tương đương với
tan x 1
x k
tan
x
1
tan
2
x
1
4
,
tan
x
3
tan 2 x 3
x k
tan x 3
3
Ví dụ 13. Giải phương trình 2sin x 1 cos 2 x sin 2 x 1 2cos x
Lời giải:
PT 4sin xcos 2 x 2sin x cos x 1 2 cos x sin 2 x 2 cos x 1 1 2 cos x
2
1
x
k 2
cos x
3
1 2cos x sin 2 x 1 0
2
sin 2 x 1
x k
4
2
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm: x
k 2 ; k ,
4
3
x
Ví dụ 14. Giải phương trình cot x sin x 1 tan x tan 4
2
Lời giải:
sin x 0
k
sin 2 x 0
x
Điều kiện: cos x 0
2
x 2k
x 2k
x
cos 0
2
Phương trình tương đương:
x
x
x
sin x.sin 2 cos x.cos 2
cos 2 cos x sin x
cos x
cos x
sin x.
sin x.
4
4
x
x
sin x
sin x
cos x.cos sin x cos x
cos x.cos
2
2
Trang 7
x 12 k
1
cos x sin x 4sinxcosx 2sin 2 x sinx
5
2
x
k
12
2
2
5
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm: x k ;
k ,
12
12
Ví dụ 15. Giải phương trình cos 3 x sin 3 x 2sin 2 x 1
Lời giải:
PT sin x cos x 1 sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0
sin x cos x 0 1
sin x cos x 1 sin x cos x sin x cos x 0
1 sin x cos x sin x cos x 0 2
Giải 1 sin x 0 x k x k
4
4
4
1 t
Giải (2): Đặt sin x cos x t , t 2; 2 sin x cos x
ta có:
2
2 1
2
x k 2
1 t2
2
t 0 t 1 0 t 1 2sin x 1
3
k 2
2
4
x
2
3
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm: x k 2 ; k ; k 2 ,
4
2
Ví dụ 16. Giải phương trình cot x tan x
2 cos 4 x
sin 2 x
Lời giải:
Điều kiện: sin 2 x 0 x
PT
k
2
cos x sinx
cos 4 x
cos 2 x sin 2 x cos 4 x cos 2 x cos 4 x
sinx cos x sinx cos x
x k 2
cos x 1
cos 2 x 2 cos 2 x 1 cos x 1 2cos x 1 0
2
1
k 2
x
cos x
3
2
2
2
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm: x k ;
k 2 ,
3
Ví dụ 17. Giải phương trình
sin 2 x 2cos x sin x 1
0
tan x 3
Lời giải:
Trang 8
x 2 k
cos x 0
Điều kiện:
tan x 3
x k
3
Ta có phương trình sin 2 x 2cos x sin x 1 0 sin x 1 2 cos x 1 0
Kết hợp điều kiện, vậy phương trình có 2 họ nghiệm: x k 2 ; k 2 ,
3
2
sin x
3
Ví dụ 18. Giải phương trình tan
x
2
2
1 cos x
Điều kiện:
cot x
Lời giải:
sin x 0
x k
. Ta có phương trình tương đương:
cos x 1
x k 2
sin x
cos x
sin x
2
2 cos x cos 2 x sin 2 x 2sin x 2sin x cos x
1 cos x
sin x 1 cos x
x 6 k 2
1
cos x 1 2sin x 1 sin x
5
2
x
k 2
6
5
Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x k 2 ;
k 2 ,
6
6
Ví dụ 19. Giải phương trình
2 3 cos x 2 sin
2 cos x 1
2
x
2 4 1
Lời giải:
Điều kiện: cos x
1
x k 2 . Phương trình đã cho tương đương
2
3
x
x
2 3 cos x 2sin 2 2cos x 1 1 2sin 2 3 cos x 0
2 4
2 4
cos x 3 cosx 0 sin x 3 cos x 0 sin x 0 x k
2
3
3
Kết hợp điều kiện, suy ra nghiệm của phương trình là: x
Ví dụ 20. Giải phương trình
2
k 2 ,
3
2sin 2 x 3 2 sin x sin 2 x 1
1 0
sin 2 x 1
Lời giải:
Trang 9
Điều kiện: sin 2 x 1 x
4
k . Phương trình tương đương
2 sin 2 x 3 2 sin x sin 2 x 1 sin 2 x 1 0 2 sin 2 x 3 2 sin x 2 0
x 4 k 2
2
2 sin x 2 sin x 2 0 sin x
5
2
x
k 2
4
Kết hợp điều kiện, suy ra nghiệm của phương trình là: x
3
k 2 ,
4
sin 4 x cos 4 x 1
1
cot 2 x
5sin 2 x
2
8sin 2 x
Ví dụ 21. Giải phương trình
Lời giải:
Điều kiện: sin 2 x 0 x
k
. Phương trình tương đương:
2
4 4cos 2 2 x 20cos 2 x 5 4cos 2 2 x 20cos 2 x 9 0 2 cos x 1 2 cos x 9 0
cos x
1
x k 2 . Vậy phương trình có hai họ nghiệm là: x k 2 ,
2
3
3
Ví dụ 22. Giải phương trình tan
4
2 sin
x 1
2
2 x sin 3x
cos 4 x
Lời giải:
Điều kiện: cos x 0 x
2
k . Phương trình tương đương:
1
sin 4 x cos 4 x 2 sin 2 2 x sin 3 x 1 sin 2 2 x 2 sin 2 2 x sin 3 x
2
k 2 17 k 2
Vậy phương trình có hai họ nghiệm là: x
;
,
3 18
3
18
Ví dụ 23. Giải phương trình 2 cos x 1 cot x
Điều kiện:
3
2sin x
sin x cos x 1
Lời giải:
sin x 0
. Phương trình tương đương:
cos x 1
2 cos x 1 cos x 1 cos x 3 cos x 1 2 1 cos 2 x 2 cos 3 x cos 2 x 2 cos x 1 0
Trang 10
2 cos x 1 cos 2 x 1 0 cos x
1
x k 2
2
3
Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x
Ví dụ 24. Giải phương trình
3
k 2 ,
sin 2 x cos 2 x
tan x cot x
cos x
sin x
Lời giải:
Điều kiện: sin 2 x 0 x
k
. Phương trình tương đương:
2
sin 2 x.sin x cos 2 x.cos x sin 2 x cos 2 x 1 2cos 2 x cos x 1 2cos 2 x
cos x 1 2 cos x 1 0 cos x
1
x k 2
2
3
Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x
Ví dụ 25. Giải phương trình
3
k 2 ,
1 sin 2 x cos 2 x
2 sin x sin 2 x
1 cot 2 x
Lời giải:
Điều kiện: sin x 0 x k . Phương trình tương đương:
1 sin 2 x cos 2 x 2 sin x sin 2 x 1 cot 2 x 2 sin x sin 2 x.
1
2 2 cos x
sin 2 x
sin 2 x cos 2 x 2 2 cos x 1 0 sin x cos x cos 2 x 2 cos x 0
cos x 0
cos x sin x cos x 2
sin x cos x 2
k
Với cos x 0 x
Với sin x cos x 2 sin x 1 x k 2
4
4
2
Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x k ; k 2 ,
2
4
Ví dụ 26. Giải phương trình
Điều kiện:
cos x cos 5 x
8sin x sin 3 x
cos 3 x cos x
Lời giải:
cos x 0
. Phương trình tương đương:
cos 3 x 0
cos 2 x cos 5 x.cos 3 x 8sin x.cos x.sin 3 x.cos3 x cos 2 x cos 3 x.cos 5 x 2 sin 2 x.sin 6 x
1 cos 2 x cos8 x cos 2 x 2 cos 4 x cos 8 x cos 8 x 2 cos 4 x 1 0
Trang 11
k
x 8 4
4
x
k
cos 4 x 0
cos 4 x cos 4 x 0
2
k
4 x k 2
cos 4 x 1
x
2
2
k k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x ;
,
2 8 4
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Tìm nghiệm của phương trình sau sin 4 x cos 4 x 0
A. x
4
C. x
k
4
2
B. x
,
k 2 ,
Câu 2. Phương trình
A. 1
4
D. x k
k ,
2
,
2cos x 1 có số nghiệm thuộc đoạn 0; 2 là
3
B. 2
C. 0
D. 3
Câu 3. Số nghiệm của phương trình sin x 1 , x 5 là
4
A. 0
B. 2
C. 3
D. 1
3
Câu 4. Phương trình sin 3x
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
3
2
A. 3
B. 4
Câu 5. Cho phương trình sin 2 x
0; ?
2
C. 1
D. 2
3
. Gọi n là số các nghiệm của phương trình trong đoạn 0;3 thì
2
giá trị của n là
A. 2
B. 5
C. 6
D. 8
Câu 6. Số nghiệm của phương trình cos 2 x sin 3 x 0 thuộc 0; 2 là
A. 6
B. 4
C. 3
D. 5
Câu 7. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin x sin 2 x 0 trên đoạn 0; 2 .
A. 4
B. 5
C. 3
D. 2
Câu 8. Cho phương trình sin 2 x 2 cos x 0 , nghiệm của phương trình là
A. x
C. x
2
k ,
B. x
3
k 2 ,
4
8
D. x
k ,
6
k ,
Câu 9. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2sin x 2 2 sin x cos x 0 là
A.
B.
4
C.
D.
3
4
Trang 12
Câu 10. Phương trình sin 5 x sin x 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn 2018 ; 2018 ?
A. 16145
B. 20181
C. 16144
D. 20179
Câu 11. Phương trình cos x cos 2 x cos3 x 1 0 có mấy nghiệm thuộc nửa khoảng ;0 ?
A. 3
B. 1
C. 4
D. 2
3
Câu 12. Phương trình sin 2 x sin x
có tổng các nghiệm thuộc khoảng 0; bằng
4
4
A.
7
2
B.
C.
3
2
D.
4
Câu 13. Tìm số nghiệm thuộc khoảng ; của phương trình cos x sin 2 x 0
A. 4
B. 3
C. 1
D. 2
Câu 14. Tìm số nghiệm của phương trình sin cos x 0 trên đoạn x 0; 2
A. 0
B. 1
C. 2
D. Vô số.
Câu 15. Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos sin x 1 thuộc đoạn 0; 2
A. 2
C.
B. 0
D. 3
Câu 16. Tổng các nghiệm của phương trình sin 2 x sin 2 x cos 2 x 0 trên đoạn 0; 2018 là
A.
4071315
2
B.
C.
4075351
2
D.
8142627
2
Câu 17. Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y sin x trên đoạn 0; , các điểm C, D thuộc trục Ox
thỏa mãn ABCD là hình chữ nhật và CD
A.
2
2
B.
2
. Tính độ dài đoạn BC
3
1
2
C. 1
Câu 18. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình
A.
6
B.
5
6
3
sin 2 x
D.
3
2
3cot x 3 là
C.
2
D.
2
3
Câu 19. Nghiệm của phương trình lượng giác cos 2 x cos x 0 thỏa mãn điều kiện 0 x là
Trang 13
B. x
A. x 0
3
4
C. x
D. x
2
2
Câu 20. Phương trình cos 2 x 2 cos x 3 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0; 2019 ?
A. 320
B. 1009
C. 1010
D. 321
Câu 21. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 5 x cos 2 x 2sin 3 x.sin 2 x 0 trên đoạn 0;3
là
A.
16
3
B.
Câu 22. Cho phương trình
11
3
C.
25
3
D.
37
3
sin x
0 . Tính tổng tất cả các nghiệm trong đoạn 0; 2018
cos 2 x 3cos x 2
của phương trình trên.
A. 1018018
B. 1018080
Câu 23. Cho phương trình
2 1 3sin 2 x cos 2 x sin x cos x
2 2sin x
trên khoảng 0;100 và có dạng x0 a
A. 100
C. 1018081
b
0 có x0 là nghiệm dương lớn nhất
. Tính tổng a b
,
B. 101
D. 1020100
C. 102
D. 103
Câu 24. Số nghiệm của phương trình 3sin 2 2 x cos 2 x 1 0 trên nửa khoảng 0; 4 là
A. 8
B. 2
C. 4
D. 12
Câu 25. Gọi x0 là một nghiệm của phương trình sin 2 x cos x trên ; . Tính giá trị của biểu thức
2
S sin x0 sin 2 x0 sin 3x0 .. sin 2018 x0
A. S
1 3
2
B. S
1
2
D. S
C. S 0
Câu 26. Tính tổng các nghiệm của phương trình
1 3
2
2cos 2 x 5 sin 4 x cos 4 x 3 0
trong khoảng
0; 2018
A. 2010.2018
C. 20182
B. 1010.2018
D. 2016.2018
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1-A
2-B
3-B
4-D
5-C
6-A
7-B
8-A
9-D
10-B
11-D
12-B
13-A
14-C
15-D
16-A
17-B
18-C
19-C
20-D
21-D
22-C
23-D
24-D
25-D
26-C
27-
28-
29-
30-
Câu 1: sin 4 x cos 4 x 0 sin 2 x cos 2 x . sin 2 x cos 2 x 0
Trang 14
sin 2 x cos 2 x 0 cos 2 x 0 2 x
2
k x
4
k
2
. Chọn A.
x k 2
x
k 2
2
3 4
12
Câu 2: cos x
7
3 2
x k 2
x
k 2
3
4
12
TH1. Với 0 x 2 0
TH2. Với 0 x 2 0
12
k 2 2
1
25 k
k
k 1
24
24
7
7
31 k
k 2 2
k
k 1
12
24
24
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Chọn B.
Câu 3: sin x 1 x k 2 x k 2
4
4 2
4
Mà x 5
4
k 2 5
3
19
k
k 1; 2 . Chọn B.
8
8
2 k 2
3 x 3 3 k 2
x 9 3
3
Câu 4: sin 3 x
k 2
3
2
3 x k 2
x
3
3
3
3
2 k 2
0
4
9
3
2
Mà 0 x
x ; . Chọn D.
2
3 9
0 k 2
3
3
2
2 x k 2
x k
3
3
6
Câu 5: sin 2 x
2
2 x k 2
x k
3
3
7 13 4 7
Mà 0 x 3
x ; ;
;
;
; . Chọn C.
6 3 6 6 3 3
Câu 6: cos 2 x sin 3 x sin 3 x cos 3 x
2
x 2 k 2
3 x 2 2 x k 2
x k 2
3 x 2 x k 2
10
5
2
3 3 7 11 3 19
Mà x 0; 2 x ; ; ;
; ;
. Chọn A.
2 10 10 10 2 10
sin x 0
Câu 7: Phương trình sin x 2sin x cos x 0 sin x 1 2 cos x 0
1
cos x
2
Trang 15
x k
x 2 k 2
3
x 0
x k
TH1: Với
x
x 0; 2
x 2
x
2
2
TH2: Với x
k 2 ta giải 0
k 2 2
3
3
x
2
3
4
3
Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn 0; 2 là 5 . Chọn B.
cosx 0
Câu 8: sin 2 x 2 cos x 0 2 sin x cos x 2 cos x 0 2 cos x sin x 1 0
sin x 1
cosx 0 x
2
k ,
. Chọn A.
sin x 0
Câu 9: 2 sin x 2 2 sin x cos x 0 2sin x 1 2 cos x 0
1 2 cos x 0
x k
x k
3
cos x 1
x
k 2
2
4
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là
3
. Chọn D.
4
k
x
5 x x k 2
2
Câu 10: sin 5 x sin x
k
5
x
x
k
2
x
6 3
TH1: Với x
k
k
mà x 2018 ; 2018 2018
2018
2
2
có 4036 4036 1 8073 nghiệm k.
TH2: Với x
6
k
mà
3
12109 k 12107 k
12109
12107
k
6
3
6
2
2
k
có 6053 6054 1 12108 nghiệm k.
Vậy phương trình đã cho có 8073 12108 20181 nghiêm. Chọn B.
Câu 11: cos x cos 2 x cos3 x 1 0 cos x 2 cos 2 x 1 4 cos 3 x 3cos x 1 0
Trang 16
sinx 0
4 cos x 2 cos x 4 cos x 2 0 cos x 1 2 cos x 1 0
cos x 1
2
3
2
2
x k
mà
x 2 k 2
3
. Chọn D.
3
Câu 12: sin 2 x sin x
4
4
3
x k 2
2 x 4 x 4 k 2
k 2
3
x
2 x x
k 2
6
3
4
4
TH1. Với x k 2 mà x 0; 0 k 2
k 2 0
TH2. Với x
6
6
1
k
k 0
k
2
k 2
k 2
mà x 0; 0
3
6
3
k 2 5
1
15 k
5
k
k 0;1 x ;
3
6
4
12
6 6
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là . Chọn B.
Câu 13: cos x sin 2 x sin 2 x cos 2 x
2
x 2 k 2
2 x 2 x k 2
k 2
x
2 x x k 2
6
3
2
TH1. Với x
2
k 2
TH2. Với x
2
k
k 2 mà x ;
2
k 2
3
1
3 k
k
k 0 x
2
4
4
2
6
k 2
k 2
mà x ;
3
6
3
5 k 2 7
5
21 k
k
k 1; 0;1
6
3
6
12
12
Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm. Chọn A.
Câu 14: sin cos x 0 cos x k mà cos x 1;1
Suy ra 1 k 1
Do đó cos x 0 x
1
k
1
k
k 0
3
n. mà x 0; 2
x ; . Chọn C.
2
2 2
Trang 17
Câu 15: cos sin x 1 sin x k 2 mà sin x 1;1
Suy ra 1 k 2 1
1
1
k
k
k 0
2
2
Do đó sin x 0 x n. mà x 0; 2
x 0; ; 2 . Chọn D.
Câu 16: sin 2 x 1 2 x
Mà 0 x 2018
0
2
k 2 x
Do đó x A
6
4
k
k
1
8071
k 2018 k
4
4
4
Suy ra k 0;1; 2;...; 2017 x
Câu 17: Vì CD
4071315
. Chọn A.
2
2
CD
OD
xD D ;0
3
2
6
6
6
y A sin
6
1
1
1
A ; BC AD . Chọn B.
2
2
6 2
Câu 18: Phương trình 3 1 cot 2 x 3cot x 3 cot 2 x 3 cot x 0
. Chọn C.
x k
cos x 0
Câu 19: Phương trình cos 2 x cos x 0
2
x k 2
cos x 1
Với x
2
k mà 0 x
k
1
1
k k 0 x
2
2
2
Với x k 2 mà 0 x
9 k
1
k . Chọn C.
2
Câu 20: Phương trình 2cos 2 x 1 2 cos x 3 0 cos 2 x cos x 2 0
2019
cos x 1
cos x 1 x k 2 mà x 0; 2019 0 k
cos
x
2
l
2
Mặt khác k k 1; 2;...;321 nên có 321 nghiệm cần tìm. Chọn D.
Câu 21: Phương trình cos 5 x cos 2 x cos x cos 5 x 0 cos 2 x cos x
x k 2
2 x x k 2
k 2 mà x 0;3
x
2 x x k 2
3
3
5 7
37
. Chọn D.
x ;3 ; ; ;
;3
x
3 3 3
3
Trang 18
sin x 0
sin x 0
Câu 22: Phương trình 2
cos x 1
cos x 1
cos
x
3cos
x
2
0
Do đó cos x 1 x k 2 mà x 0; 2018
1
2017
k
2
2
1008
Mặt khác k
k 0;1; 2;...;1008 k 2 1018081 . Chọn C.
k 0
Câu 23: Điều kiện:
2 2sin x 0 sin x
2
2
Phương trình trở thành: 2 6sin 2 x cos 2 x sin x cos x 0 4 3sin 2 2 x sin 2 x 0
k
Với x 0;100
0
4
k 100
Mà k
kmax 99 x
4
1
399
k
4
4
99 (thỏa mãn) a b 99 4 103 . Chọn D.
Câu 24: Phương trình 3 1 cos 2 2 x cos 2 x 1 0 3cos 2 2 x cos 2 x 2 0
2 x k 2
x k
cos 2 x 1
1
2
2
2
2 x arccos k 2
x arccos k
cos 2 x
2
3
3
3
TH1. Với x k 0; 4 0 k 4
k 0;1; 2;3 nên có 4 nghiệm.
TH2. Với x
1
2
arccos k 0; 4 0,116 k 3,883
2
3
k 0;1; 2;3 nên có 4 nghiệm.
1
2
TH3. Với x arccos k 0; 4 0,116 k 4,116
2
3
nên có 4 nghiệm. Vậy phương trình có tổng 12 nghiệm. Chọn D.
k 2
x
2
x
x
k
2
6
3
2
Câu 25: Phương trình sin 2 x sin x
2
x k 2
2 x x k 2
2
2
Với x ;
x0 S sin sin 2. .. sin 2018.
6
6
6
2
6
Ta có sin x sin 2 x sin 3x ... sin nx
n 1
x
2 .sin nx
x
2
sin
2
sin
Trang 19
Với x
6
; n 2018
S
2019
.
2018.
2 6 .sin
6 1 : 3 1 1 3 . Chọn D.
2
2
2 2 2 2
sin
12
sin
Câu 26: Phương trình 2cos 2 x 5 sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x 3 0
cos 2 x. 2cos 2 x 5 3 0 2cos 2 2 x 5cos 2 x 3 0
1
2 x k 2
x k
cos 2 x
3
6
2
cos 2 x 3
2 x k 2
x k
3
6
TH1. Với x
6
k 0; 2018 0
1
12107
k 2018 k
6
6
6
2017
Mà k nên k 0;1; 2;...; 2017
k 2018. 2035153
6
k 0 6
TH2. Với x
6
k 0; 2018 0
6
k 2018
1
12109
k
6
6
2018
Mà k nên k 0;1; 2;...; 2017; 2018
k 2018. 2037171
6
6
k 0
Vậy tổng các nghiệm cần tính là 4072324 20182 . Chọn C.
Trang 20
- Xem thêm -
.PDF 
20 
1 
134 
