CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Các hệ thức lượng giác cơ bản
* Hàm số y sin x D R
* Hàm số y cos x D R
* Hàm số y tan x D R \ k
2
* Hàm số y cot x D R \ k
* Hàm số y
* Hàm số y
u x
v x
điều kiện xác định là v x 0
u x
v x
điều kiện xác định là v x 0
2) Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
- Định nghĩa
Hàm số y f x có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số T 0 sao cho với
mọi x D ta có:
* x T D và x T D
* f x T f x
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.
Người ta chứng minh được rằng hàm số y sin x tuần hoàn với chu kì T 2 ; hàm số y cos x tuần
hoàn với chu kì T 2 ; hàm số y tan x tuần hoàn với chu kì T ; hàm số y cot x tuần hoàn với
chu kì T .
- Chú ý
* Hàm số y sin ax b tuần hoàn với chu kì T0
2
a
* Hàm số y cos ax b tuần hoàn với chu kì T0
2
a
* Hàm số y tan ax b tuần hoàn với chu kì T0
* Hàm số y cot ax b tuần hoàn với chu kì T0
a
a
Trang 1
* Hàm số y f1 x tuần hoàn với chu kì T1 và hàm số y f 2 x tuần hoàn với chu kì T2 thì hàm số
y f1 x f 2 x tuần hoàn với chu kì T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2 .
3) Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
- Định nghĩa
* Hàm số y f x có tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
x D x D
sau:
f x f x
* Hàm số y f x có tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
x D x D
sau:
f x f x
- Chú ý
* Các hàm số chẵn thường gặp: cos x; cos kx; sin 2 x; sin 2 kx ; cos 2 kx
* Các hàm số lẻ thường gặp: sin x; tan x; cot x; sin 3 x; tan 3 x...
* Hàm số f x chẵn và g x lẻ thì hàm f x .g x và
f x
g x
* Hàm số f x và g x đều là hàm lẻ thì hàm f x .g x và
đều là hàm số lẻ.
f x
g x
đều là hàm số chẵn.
4) Sự biến thiên và đồ thị các hàm số lượng giác
a) Hàm số y = sinx
* Tập xác định: D R
* Tập giá trị T 1; 1 , có nghĩa là 1 sin x 1
* Là hàm số tuần hoàn chu kì 2 , có nghĩa x k 2 sin x với k
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k 2 ; k 2 và nghịch biến trên mỗi khoảng
2
2
3
k 2 , k
k 2 ;
2
2
* Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số như hình vẽ bên
dưới.
Trang 2
b) Hàm số y = cosx
* Tập xác định: D R
* Tập giá trị T 1; 1 , có nghĩa 1 sin x 1
* Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa cos x k 2 cos x với k
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
k 2 ; k 2
và nghịch biến trên mỗi khoảng
k 2 ; k 2 , k
* Là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới
c) Hàm số y = tanx
* Tập xác định D \ k , k
2
* Tập giá trị T
* Là hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa tan x k tan x với k
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k ; k , k
2
2
* Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
Trang 3
d) Hàm số y = cotx
* Tập xác định D \ k , k
* Tập giá trị T
* Là hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa tan x k tan x với k
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k ; k , k
* Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
- Dạng 1: Tập xác định và Tập giá trị của hàm số lượng giác
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
2x
a) y sin
x 1
b) y sin x
Lời giải:
a) ĐK xác định: x 1 TXĐ: D \ 1
Trang 4
b) ĐK xác định: sin x 0 2k x 2k 1
Suy ra TXĐ: D 2k ; 2k 1
Ví dụ 2. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau:
a) y 1 cos 2 x
b) y
1
sin x 1
Lời giải:
a) ĐK xác định: 1 cos 2 x 0 (luôn đúng) TXĐ:
Lại có: 0 cos 2 x 1 0 1 cos 2 x 1 0 y 1 Tập giá trị là T 0, 1
b) ĐK xác định: sin x 1 0 sin x 1 sin x
Ta có: 0 sin x 1 2 y
2 k D R \ 2 k
2
2
1
1
Tập giá trị là T ,
2
2
Ví dụ 3. Tìm tập xác định D của hàm số y
1 sin x
cos x 1
a) D .
b) D \ k , k .
2
c) D \ k , k .
d) D \ k 2 , k .
Lời giải:
Hàm số xác định khi và chỉ khi cos x 1 0 cos x 1 x k 2 , k
Vậy tập xác định D \ k 2 , k . Chọn D
Ví dụ 4. Tìm tập xác định D của hàm số y
1
sin x
2
a) D \ k , k .
2
b) D \ k , k .
c) D \ 1 2k , k .
2
d) D \ 1 2k , k .
Lời giải:
Hàm số xác định sin x 0 x k x k , k
2
2
2
Vậy tập xác định D \ k , k . Chọn C
2
Ví dụ 5. Tìm tập xác định D của hàm số y
a) D .
1
sin x cos x
b) D \ k , k .
4
Trang 5
c) D \ k 2 , k .
4
d) D \ k , k .
4
Lời giải:
Hàm số xác định sin x cos x 0 tan x 1 x
4
k , k
Vậy tập xác định D \ k , k . Chọn D
4
Ví dụ 6. Tìm tập xác định D của hàm số y cot 2 x sin 2 x
4
a) D \ k , k .
4
b) D Ø .
c) D \ k , k .
2
8
d) D .
Lời giải:
k
Hàm số xác định sin 2 x 0 2 x k x
, k
4
4
8
2
Vậy tập xác định D \ k , k . Chọn C
8
2
x
Ví dụ 7. Tìm tập xác định D của hàm số y 3 tan 2
2 4
3
a) D \ k 2 , k .
2
b) D \ k 2 , k .
2
3
c) D \ k , k .
2
d) D \ k , k .
2
Lời giải:
x
3
x
Hàm số xác định cos 2 0 k x
k 2 , k
2 4 2
2
2 4
3
Vậy tập xác định D \ k 2 , k . Chọn A
2
Ví dụ 8. Tìm tập xác định D của hàm số y 1 sin 2 x 1 sin 2 x
a) D Ø .
b) D .
5
c) D k 2 ;
k 2 , k .
6
6
13
5
d) D k 2 ;
k 2 , k .
6
6
Lời giải:
1 sin 2 x 0
Ta có: 1 sin 2 x 1
, x .
1 sin 2 x 0
Vậy tập xác định D . Chọn B
Trang 6
Ví dụ 9. Tìm tập xác định D của hàm số y 5 2cot 2 x sin x cot x
2
k
a) D \ , k .
2
b) D \ k , k .
2
c) D .
d) D \ k , k .
Lời giải:
Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời
5 2 cot 2 x sin x 0, cot x xác định và cot x xác định.
2
2 cot 2 x 0
Ta có:
5 2 cot 2 x sin x 0, x
1
sin
x
1
5
sin
x
0
* cot x xác định sin x 0 x k x k , k
2
2
2
2
* cot x xác định sin x 0 x k , k
k
x k
Do đó hàm số xác định
x
, k
2
2
x k
k
Vậy tập xác định D \ , k . Chọn A
2
Ví dụ 10. Hàm số y tan x cot x
1
1
không xác định trong khoảng nào trong các khoảng
sin x cos x
sau đây?
a) k 2 , k 2 với k .
2
3
b) k 2 ,
k 2 với k .
2
c) k 2 , k 2 với k .
2
d) k 2 , 2 k 2 với k .
Lời giải:
sin x 0
k
Hàm số xác định
sin 2 x 0 2 x k x
, k .
2
cos x 0
Ta chọn k 3 x
3
3
nhưng điểm
thuộc khoảng k 2 ; 2 k 2 .
2
2
Vậy hàm số không xác định trong khoảng k 2 ; 2 k 2 . Chọn D
Dạng 2: Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Ví dụ 1. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau
a) y sin 2 x
b) y 2sin x 3
Trang 7
Lời giải:
a) f x sin 2 x sin 2 x f x . Suy ra hàm số đã cho là hàm lẻ.
b) Ta có f x 2sin x 3 2sin x 3 2sin x 3 9 f x 9
Suy ra hàm số đã cho không phải là hàm chẵn (lẻ)
Ví dụ 2. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau
a) y sin x cos
b) y tan x cot x
Lời giải:
a) f x sin x cos x sin x cos x sin x cos x 2 cos x f x 2 cos x
Suy ra hàm số đã cho không phải là hàm chẵn (lẻ)
b) f x tan x cot x
sin x
cos x
cos x
sin x
sin x cos x
cos
sin x
tan x cot x tan x cot x f x
Vậy hàm số đã cho là hàm lẻ .
Ví dụ 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau
a) y
sin x tan x
sin x cot x
b) y
cos3 x 1
sin 3 x
Lời giải:
a) Ta có f x
sin x tan x
sin x cot x
sin x tan x sin x tan x
f x
sin x cot x sin x cot x
Suy ra hàm số đã cho là hàm chẵn.
b) Ta có f x
cos3 x 1
sin 3 x
cos3 x 1
f x . Suy ra hàm số đã cho là hàm lẻ.
sin 3 x
Ví dụ 4. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn
a) y sin x
b) y cos x sin x
c) y cos x sin 2 x
d) y cos x sin x
Lời giải:
Tất cả các hàm số đề có TXĐ: D . Do đó x D x D .
Bây giờ ta kiểm tra f x f x hoặc f x f x
* Với y f x sin x . Ta có f x sin x sin x sin x
f x f x . Suy ra hàm số y sin x là hàm số lẻ.
* Với y f x cos x sin x . Ta có:..
f x f x , f x . Suy ra hàm số f x cos x sin x không chẵn không lẻ.
* Với y f x cos x sin 2 x . Ta có f x cos x sin 2 x
Trang 8
cos x sin x cos x sin x cos x sin 2 x
2
2
f x f x . Suy ra hàm số y cos x sin 2 x là hàm chẵn. Chọn C.
* Với y f x cos x sin x . Ta có f x cos x .sin x cos x sin x
f x f x . Suy ra hàm số y cos x sin x là hàm số lẻ.
Ví dụ 5. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
a) y sin 2 x
b) y x cos x
c) y cos x.cot x
d) y
tan x
sin x
Lời giải:
* Xét hàm số y f x sin 2 x .
TXĐ: D . Do đó x D x D .
Ta có f x sin 2 x sin 2 x f x f x là hàm số lẻ.
* Xét hàm số y f x x cos x .
TXĐ: D . Do đó x D x D .
Ta có: f x x .cos x x cos x f x f x là hàm số lẻ.
* Xét hàm số y f x cos x cot x
TXĐ: D \ k k . Do đó x D x D .
Ta có f x cos x .cot x cos x cot x f x f x là hàm số lẻ.
* Xét hàm số y f x
tan x
sin x
TXĐ: D \ k k . Do đó x D x D .
2
Ta có f x
tan x
sin x
tan x tan x
f x f x là hàm số chẵn. Chọn D.
sin x sin x
Ví dụ 6. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
a) y sin x
c) y
x
cos x
b) y x 2 sin x
d) y x sin x
Lời giải:
Dựa vào các dấu hiệu nhận biết hàm chẵn lẻ ở phần lí thuyết ta dễ dàng thấy rằng ở phương án A là hàm
số chẵn, các đáp án B, C, D là hàm số lẻ. Chọn A.
Ví dụ 7. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
Trang 9
a) y cos x sin 2 x .
b) y sin x cos x .
c) y cos x .
d) y sin x.cos 3 x .
Lời giải:
Dựa vào các dấu hiệu nhận biết hàm chẵn lẻ ở phần lí thuyết ta dễ dàng thấy rằng ở phương án A và C là
các hàm số chẵn. Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án D là hàm số lẻ. Chọn D.
Ví dụ 8. Cho hàm số f x sin 2 x và g x tan 2 x . Chọn mệnh đề đúng
a) f x là hàm số chẵn, g x là hàm số lẻ.
b) f x là hàm số lẻ, g x là hàm số chẵn.
c) f x là hàm số chẵn, g x là hàm số chẵn.
d) f x và g x đều là hàm số lẻ.
Lời giải:
* Xét hàm số f x sin 2 x .
TXĐ: D . Do đó x D x D .
Ta có f x sin 2 x sin 2 x f x f x là hàm số lẻ.
* Xét hàm số g x tan 2 x
TXĐ: D \ k k . Do đó x D x D .
2
Ta có g x tan x tan x tan 2 x g x f x là hàm số chẵn. Chọn B.
2
2
Ví dụ 9. Cho hai hàm số f x
sin 2 x cos 3x
cos 2 x
và g x
.
2
1 sin 3 x
2 tan 2 x
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) f x lẻ và g x chẵn.
b) f x và g x chẵn.
c) f x chẵn, g x lẻ.
d) f x và g x lẻ.
Lời giải:
* Xét hàm số f x
cos 2 x
1 sin 2 3 x
TXĐ: D . Do đó x D x D .
Ta có f x
cos 2 x
1 sin
* Xét hàm số g x
2
3x
cos 2 x
f x f x là hàm số chẵn.
1 sin 2 3x
sin 2 x cos 3 x
2 tan 2 x
.
TXĐ: D \ k k . Do đó x D x D .
2
Ta có g x
sin 2 x cos 3 x
2 tan
2
x
sin 2 x cos 3 x
2 tan 2 x
g x g x là hàm số chẵn.
Vậy f x và g x chẵn. Chọn B.
Trang 10
Dạng 3: Chu kì của hàm số lượng giác
Ví dụ 1. Mệnh đề nào sau đây là sai?
a) Hàm số y sin x tuần hoàn với chu kì 2 .
b) Hàm số y cos x tuần hoàn với chu kì 2 .
c) Hàm số y tan x tuần hoàn với chu kì 2 .
d) Hàm số y cot x tuần hoàn với chu kì .
Lời giải:
Vì hàm số y tan x tuần hoàn với chu kì . Chọn C.
Ví dụ 2. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không tuần hoàn?
a) y cos x .
b) y cos 2 x .
c) y x 2 cos x .
d) y
1
.
sin 2 x
Lời giải:
* Hàm số y cos x tuần hoàn với chu kì T 2 .
* Hàm số y cos 2 x tuần hoàn với chu kì T .
* Hàm số y
1
tuần hoàn với chu kì T .
sin 2 x
* Hàm số y x 2 cos x không phải là hàm tuần hoàn. Chọn C.
Ví dụ 3. Tìm chu kì T của hàm số y sin 5 x
4
a) T
c) T
2
5
b) T
d) T
2
5
2
8
Lời giải:
Hàm số y sin ax b tuần hoàn với chu kì T
2
.
a
2
Áp dụng: Hàm số y sin 5 x tuần hoàn với chu kì T
. Chọn A.
5
4
x
Ví dụ 4. Tìm chu kì T của hàm số y cos 2016
2
a) T 4
b) T 2
c) T 2
d) T
Lời giải:
Trang 11
Hàm số y cos ax b tuần hoàn với chu kì T
2
a
x
Áp dụng: Hàm số y cos 2016 tuần hoàn với chu kì T 4 . Chọn A.
2
x
Ví dụ 5. Tìm chu kì T của hàm số y cos 2 x sin .
2
a) T 4 .
b) T .
c) T 2 .
d) T
2
.
Lời giải:
Hàm số y cos 2 x tuần hoàn với chu kì T1
Hàm số y sin
2
.
2
x
2
tuần hoàn với chu kì T2
4
1
2
2
Suy ra hàm số y cos 2 x sin
x
tuần hoàn với chu kì T 4 . Chọn A.
2
Nhận xét. T là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2 .
Ví dụ 6. Tìm chu kì T của hàm số y cos 3 x cos 5 x .
a) T
b) T 3
c) T 2
d) T 5
Lời giải:
Hàm số y cos 3 x tuần hoàn với chu kì T1
2
.
3
Hàm số y cos 5 x tuần hoàn với chu kì T2
2
.
5
Suy ra hàm số y cos 3 x cos 5 x tuần hoàn với chu kì T 2 . Chọn C.
Ví dụ 7. Tìm chu kì T của hàm số y sin 2 x 2 cos 3 x .
3
4
a) T 2 .
b) T .
c) T 3 .
d) T 4 .
Lời giải:
2
Hàm số y sin 2 x tuần hoàn với chu kì T1
.
2
3
2
Hàm số y 2 cos 3x tuần hoàn với chu kì T2
.
3
4
Suy ra hàm số y sin 2 x 2 cos 3 x tuần hoàn với chu kì T 2 . Chọn A
3
4
Trang 12
Ví dụ 8. Tìm chu kì T của hàm số y tan 3 x cot x .
a) T 4 .
b) T .
c) T 3 .
d) T
3
.
Lời giải:
Hàm số y cot ax b tuần hoàn với chu kì T
a
Áp dụng: Hàm số y tan 3 x tuần hoàn với chu kì T1
.
3
Hàm số y cot x tuần hoàn với chu kì T2 .
Suy ra hàm số y tan 3 x cot x tuần hoàn với chu kì T . Chọn B.
Nhận xét. T là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2 .
Ví dụ 9. Tìm chu kì T của hàm số y cot
x
sin 2 x
3
a) T 4 .
b) T .
c) T 3 .
d) T
3
.
Lời giải:
Hàm số y cot
x
tuần hoàn với chu kì T1 3 .
3
Hàm số y sin 2 x tuần hoàn với chu kì T2 .
Suy ra hàm số y cot
x
sin 2 x tuần hoàn với chu kì T 3 . Chọn C.
3
Ví dụ 10. Tìm chu kì T của hàm số y 2sin 2 x 3cos 2 3 x
a) T .
b) T 2 .
c) T 3 .
d) T
3
.
Lời giải:
Ta có y 2.
1 cos 2 x
1 cos 6 x 1
3.
3cos 6 x 2 cos 2 x 5
2
2
2
Hàm số y 3cos 6 x tuần hoàn với chu kì T1
2
.
6
3
Hàm số y 2 cos 2 x tuần hoàn với chu kì T2 .
Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T . Chọn A.
Ví dụ 11. Tìm chu kì T của hàm số y tan 3 x cos 2 2 x
Trang 13
a) T .
c) T
2
b) T
3
.
d) T 2 .
.
Lời giải:
Ta có y tan 3 x
1 cos 4 x 1
2 tan 3 x cos 4 x 1 .
2
2
Hàm số y 2 tan 3x tuần hoàn với chu kì T1
Hàm số y cos 4 x tuần hoàn với chu kì T2
3
.
2
.
4
2
Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T . Chọn C.
Ví dụ 12. Hàm số nào sau đây có chu kì khác 2 ?
a) y cos3 x .
x
x
b) y sin cos .
2
2
c) y sin 2 x 2 .
x
d) y cos 2 1 .
2
Lời giải:
Hàm số y cos3 x
1
cos 3 x 3cos x có chu kì là 2 .
4
x
x 1
Hàm số y sin cos sin x có chu kì là 2 .
2
2 2
Hàm số y sin 2 x 2
1 1
cos 2 x 4 có chu kì là .
2 2
x 1 1
Hàm số y cos 2 1 cos x 2 có chu kì là 2 . Chọn C.
2 2 2
Ví dụ 13. Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau?
a) y cos x và y cot
c) y sin
x
.
2
x
x
và y cos .
2
2
b) y sin x và y tan 2 x .
d) y tan 2 x và y cot 2 x .
Lời giải:
Hàm số y cos x và y cot
x
có cùng chu kì là 2 .
2
Hàm số y sin x có chu kì là 2 , hàm số y tan 2 x có chu kì là
Hàm số y sin
2
và y cos
2
.
x
có cùng chu kì là 4 .
2
Trang 14
Hàm số y tan 2 x và y cot 2 x có cùng chu kì là
2
. Chọn B.
Dạng 4: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác
* Miền giá trị: 1 sin kx 1; 1 cos kx 1; 0 sin 2 kx 1; 0 cos 2 kx 1
* Với hàm số y a.sin x b.cos x a 2 b 2 y a 2 b 2
* Với hàm số y
a.sin x b.cos x c
nhân chéo và đưa về trường hợp trên để tìm miền giá trị.
m.sin x n.cos x p
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y 4sin 2 4sin x 3
b) y cos 2 x 2sin x 2
Lời giải:
a) y 4 sin 2 x 4sin x 3 2sin x 1 2
2
Ta có: 1 sin x 1 3 2sin x 1 1 0 2sin x 1 9 2 y 9
2
max y 9 sin x 1 x 2 2k
k,l
min y 2 sin x 1 x 2l , x 5 2l
2
6
6
b) y cos 2 x 2 sin x 2 sin 2 x 2sin x 3 4 sin x 1
2
Ta có: 1 sin x 1 2 sin x 1 0 0 2 sin x 1 4 0 y 4
2
max y 4 sin x 1 x 2 2k
k, l
min y 0 sin x 1 x 2l
2
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y sin 4 x 2 cos 2 x 1
b) y 3 sin 2 x cos 2 x
Lời giải:
a) y sin 4 x 2 cos 2 x 1 sin 4 x 2 sin 2 x 1 sin 2 x 1 2
2
Ta có: 0 sin 2 x 1 1 sin 2 x 1 2 1 sin 2 x 1 2 1 y 2
2
2
max y 2 sin x 1 x 2k
2
k,l
2
min y 1 sin x 0 x l
b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Trang 15
y2
3 sin 2 x cos 2 x
2
3
2
1
2
sin x cos x 4 2 y 2
2
2
sin 2 x cos 2 x
0 x k
max y 2
1
6
3
k,l
min y 2 sin 2 x cos 2 x 0 x k
1
6
3
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin x 3 cos x 3
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
sin x
3 cos x
2
1
2
3 sin
2
2
x cos 2 x 4 2 sin x 3 cos x 2 1 y 5
sin x cos x
max y 5 1 3 0 x 6 2k
k,l
min y 1 sin x cos x 0 x 5 2k
1
6
3
Ví dụ 4. Cho hàm số y 2 sin x 2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
3
a) y 4, x .
b) y 4, x .
c) y 0, x .
d) y 2, x .
Lời giải:
Ta có: 1 sin x 1 2 2 sin x 2
3
3
4 2sin x 2 0 4 y 0 . Chọn C.
3
Ví dụ 5. Hàm số y 5 4 sin 2 x cos 2 x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
Lời giải:
Ta có y 5 4 sin 2 x cos 2 x 5 2 sin 4 x .
Mà 1 sin 4 x 1 2 2 sin 4 x 2 3 5 2sin 4 x 7
y
3 y 7
y 3; 4; 5; 6; 7 nên y có 5 giá trị nguyên. Chọn C
Ví dụ 6. Hàm số y sin x sin x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
3
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
Lời giải:
Trang 16
Áp dụng công thức sin a sin b 2 cos
ab
a b
, ta có
sin
2
2
sin x sin x 2 cos x sin cos x
3
6
6
6
y
Ta có 1 cos x 1 1 y 1
1; 0; 1 . Chọn C
6
Ví dụ 7. Hàm số y sin 4 x cos 4 x đạt giá trị nhỏ nhất tại x x0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) x0 k 2 , k .
b) x0 k , k .
c) x0 k 2 , k .
d) x0
2
k , k .
Lời giải:
Ta có y sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x cos 2 x .
Mà 1 cos 2 x 1 1 cos 2 x 1 1 y 1
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.
Đẳng thức xảy ra cos 2 x 1 2 x k 2 x k k . Chọn B
Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y 4sin 2 x 2 sin 2 x .
4
a) M 2 .
b) M 2 1 .
c) M 2 1 .
d) M 2 2 .
Lời giải:
1 cos 2 x
Ta có y 4sin 2 x 2 sin 2 x 4
sin 2 x cos 2 x
4
2
sin 2 x cos 2 x 2 2 sin 2 x 2 .
4
Mà 1 sin 2 x 1 2 2 2 sin 2 x 2 2 2 .
4
4
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2 2 . Chọn D.
Ví dụ 9. Tìm tập giá trị T của hàm số y sin 6 x cos6 x
a) T 0; 2 .
1
b) T ; 1 .
2
1
c) T ; 1 .
4
1
d) T 0; .
4
Lời giải:
Ta có y sin 6 x cos6 x sin 2 x cos 2 x 3sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x
2
Trang 17
3
3 1 cos 4 x 5 3
1 3sin 2 x cos 2 x 1 sin 2 2 x 1 .
cos 4 x .
4
4
2
8 8
Mà 1 cos 4 x 1
1 5 3
1
cos 4 x 1 y 1 . Chọn C
4 8 8
4
Ví dụ 10. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 8sin 2 x 3cos 2 x . Tính
P 2M m 2 .
a) P 1 .
b) P 2 .
c) P 112 .
d) P 130 .
Lời giải:
Ta có y 8sin 2 x 3cos 2 x 8sin 2 x 3 1 2sin 2 x 2sin 2 x 3 .
Mà 1 sin 1 0 sin 2 x 1 3 2 sin 2 x 3 5
M 5
3 y 5
P 2 M m 2 1 . Chọn A.
m 3
Ví dụ 11. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y 2 sin 2 x 3 sin 2 x .
a) m 2 3 .
b) m 1 .
c) m 1 .
d) m 3 .
Lời giải:
Ta có y 2 sin 2 x 3 sin 2 x 1 cos 2 x 3 sin 2 x
3
1
3 sin 2 x cos 2 x 1 2
sin 2 x cos 2 x 1
2
2
2 sin 2 x cos sin cos 2 x 1 2sin 2 x 1
6
6
6
Mà 1 sin 2 x 1 1 1 2 sin 2 x 3 1 y 3 .
6
6
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1. Chọn B.
Trang 18
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y
1 sin x
cos x 1
A. D .
B. D \ k , k .
2
C. D \ k , k .
D. D \ k 2 , k .
Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y
1
sin x
2
A. D \ k , k .
2
B. D \ k , k .
C. D \ 1 2k , k .
2
D. D \ 1 2k , k .
Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số y cot 2 x sin 2 x .
4
A. D \ k , k .
4
B. D Ø .
C. D \ k , k .
2
8
D. D .
x
Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số y 3 tan 2 .
2 4
3
A. D \ k 2 , k .
2
B. D \ k 2 , k .
2
3
C. D \ k , k .
2
D. D \ k , k .
2
Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y
3 tan x 5
.
1 sin 2 x
A. D \ k 2 , k .
2
B. D \ k , k .
2
C. D \ k , k .
D. cos x 1 sin x 0 x k , k .
Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y sin x 2
A. D .
B. D 2; .
Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y
C. D 0; 2 .
D. D Ø .
1
1 sin x
Trang 19
A. D \ k , k .
B. D \ k , k .
2
C. D \ k 2 , k .
2
D. D Ø .
Câu 8. Tập xác định của hàm số y
1 cos x
là
sin x 1
A. \ k k .
2
B. \ k k .
C. \ k 2 k .
D. \ k 2 k .
2
Câu 9. Tập xác định của hàm số y
cot x
là
cos x 1
k
A. D \ , k .
2
k
B. D \
k , k .
2
C. D \ k , k .
D. D \ k 2 , k .
Câu 10. Tập xác định của hàm số f x
1
là
1 cos x
A. D \ 2k 1 , k .
2
B. D \
C. D \ k , k .
D. D \ k 2 , k .
2k 1 , k .
Câu 11. Tìm tập xác định D của hàm số y cot x sin 5 x cos x .
A. \ k k .
2
B. \ k 2 k .
2
C. \ k k .
D. \ k 2 k .
Câu 12. Tìm tập giá trị của hàm số y 2 cos 3 x 1 .
A. 3; 1 .
B. 3; 1 .
Câu 13. Tìm tập xác định D của hàm số y
C. 1; 3 .
D. 1; 3 .
3sin x
2 cos x 1
4
A. D \ k 2 ,
k 2 , k .
3
3
2
B. D \
k 2 , k .
3
5
C. D \
k 2 , k .
6
D. D \ k 2 , k .
3
Câu 14. Tìm điều kiện xác định của hàm số y
tan x
cos x 1
Trang 20
- Xem thêm -
.PDF 
40 
1 
135 
