10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC
Cho hàm số y = f ( x ) ,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) .
− Tính đạo hàm và giá trị f ' ( x0 ) .
− Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 .
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) có hệ số góc k = f ' ( x0 ) .
Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k .
− Giải phương trình: f ' ( x ) = k , tìm nghiệm x0 ⇒ y0 .
− Phương trình tiếp tuyến dạng: y = k ( x − x0 ) + y0 .
Chú ý: Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 , khi đó:
− Nếu d //∆ ⇒ ( d ) : y = ax + b ⇒ hệ số góc k = a.
1
a
− Nếu d ⊥ ∆ ⇒ ( d ) : y = ax + b ⇒ hệ số góc k = − .
Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A ( x A ; y A ) ∉ ( C ) .
− Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó ( d ) : y = k ( x − x A ) + y A
f ( x ) = k ( x − x A ) + y A
f ' ( x ) = k
− Điều kiện tiếp xúc của ( d ) và ( C ) là hệ phương trình sau phải có nghiệm:
Tổng quát: Cho hai đường cong ( C ) : y = f ( x ) và ( C ') : y = g ( x ) . Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với
f ( x ) = g ( x )
nhau là hệ sau có nghiệm.
.
f ' ( x ) = g ' ( x )
1. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2
a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C):
i. Tại điểm có hoành độ x = 2 .
ii. Tại điểm có tung độ y = 3.
iii. Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 : 24 x − y + 2009 = 0 .
iv. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d 2 : x + 24 y + 2009 = 0 .
2.
3.
− x2 − x + 3
có đồ thị là (C).
x +1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
i. Tại giao điểm của (C) với trục tung.
ii. Tại giao điểm của (C) với trụng hoành.
iii. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;−1).
iv. Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = −13.
x2 − x − 1
Cho hàm số y =
có đồ thị (C).
x +1
Cho hàm số y =
1
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0.
d. Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C).
x 2 + 3x + 3
4. Cho hàm số y =
có đồ thị (C).
x +1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b. Chứng minh rằng qua điểm M(−3;1) kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho hai tiếp tuyến đó
vuông góc với nhau.
x2
5. Cho hàm số: y =
có đồ thị (C).
x −1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm M ∈ (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua M và tâm
đối xứng của (C).
6. Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1),
B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là: x3 + mx2 + 1 = – x + 1 ⇔ x(x2 + mx + 1) = 0
(*)
Đặt g(x) = x2 + mx + 1 . d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt ⇔ g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.
∆g = m 2 − 4 > 0
m > 2
⇔
⇔
.
m < −2
g ( 0 ) = 1 ≠ 0
S = xB + xC = −m
Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0 ⇒
.
P = xB xC = 1
Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có: f ′ ( xC ) f ′ ( xB ) = −1
⇔ xB xC ( 3xB + 2m ) ( 3 xC + 2m ) = −1 ⇔ xB xC 9 xB xC + 6m ( xB + xC ) + 4m 2 = −1
⇔ 1 9 + 6m ( − m ) + 4m 2 = −1 ⇔ 2m 2 = 10 ⇔ m = ± 5
(nhận so với điều kiện)
x2 + 1
7. Cho hàm số y =
. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ để từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp
x
tuyến vuông góc.
Lời giải:
Gọi M(x0;y0). Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k là y = k(x – x0) + y0.
x2 + 1
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
= k ( x − x0 ) + y0 , ( kx ≠ 0 )
x
⇔ ( 1 − k ) x 2 − ( y0 − kx0 ) x + 1 = 0 ( *)
k ≠ 1
k ≠ 1
⇔ x02 k 2 + 2 ( 2 − x0 y0 ) k + y02 − 4 = 0
d tiếp xúc với (C): ⇔
2
∆ = ( y0 − kx0 ) − 4 ( 1 − k ) = 0
y ≠ kx
0
0
( I)
k1 , k2 ≠ 1
Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vuông góc với nhau khi (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:
k1k2 = −1
x ≠ 0
0
x0 ≠ 0
2
y0 − 4
⇔ 2 = −1 ⇔ x02 + y02 = 4 .
x0
y ≠ x
0
0
2
( y0 − x0 ) ≠ 0
2
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là một đường tròn: x 2 + y 2 = 4 loại bỏ bốn giao điểm của
đường tròn với hai đường tiệm cận.
2x
8. Cho hàm số y =
.
(ĐH Khối−D 2007)
x +1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác
1
OAB bằng
4
1
ĐS: M − ; −2 ÷ và M ( 1;1) .
2
x2 + x − 1
9. Cho hàm số y =
.
(ĐH Khối−B 2006)
x+2
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên.
ĐS: b. y = − x ± 2 2 − 5 .
1
m
1
10. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: y = x 3 − x 2 + (*)
(m là tham số).
(ĐH Khối−D 2005)
3
2
3
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m=2.
b. Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng −1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại M song song với
đường thẳng 5 x − y = 0
ĐS: m=4.
11. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 − x + 3m ( Cm ) . Định m để ( Cm ) tiếp xúc với trục hoành.
12. Cho hàm số y = x 4 + x 3 + ( m − 1) x 2 − x − m ( Cm ) . Định m để ( Cm ) tiếp xúc với trục hoành.
13. Cho đồ thị hàm số ( C ) : y =
x2 − 4
. Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được một tiếp
x +1
tuyến đến (C).
14. Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x3 − 3x 2 + 4 . Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể kẻ
được 3 tiếp tuyến với (C).
15. Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x 4 − 2 x 2 + 1 . Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến
đến (C).
16. Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x 3 − 3x + 2 . Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao cho từ đó có thể kẻ
được 3 tiếp tuyến với (C).
17. Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1)
(ĐH Khối−B 2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9).
y
f(x)=4x^3-6x^2+1
Lời giải:
a. D=R, y’ = 12x2 – 12x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = 1.
2
23
461=−+
yx
BBT :
x
y'
y
−∞
+
−∞
0
0
1
CĐ
−
1
0
+∞
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x
1
+
+∞
CT
−1
-2
-4
-6
b. Tiếp tuyến qua M(−1;−9) có dạng y = k(x + 1) – 9.
Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng :
3
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
4x3 – 6x2 + 1 = (12x2 – 12x)(x + 1) – 9.
⇔ 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1) ⇔ 2x3 – 3x2 + 5 = 6(x2 – x)(x + 1).
⇔ x = –1 hay 2x2 – 5x + 5 = 6x2 – 6x ⇔ x = –1 hay 4x2 – x – 5 = 0.
5
5 15
⇔ x = –1 hay x = ; y’(−1) = 24; y ' ÷ = .
4
4 4
15
21
Vậy phương trình các tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y =
x− .
4
4
Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
Cho hàm sô y = f ( x ) ,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:
− Nghiệm của phương trình f ' ( x ) = 0 là hoành độ của điểm cực trị.
f ' ( x0 ) = 0
thì hàm số đạt cực đại tại x = x0 .
f '' ( x0 ) < 0
− Nếu
f ' ( x0 ) = 0
thì hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 .
f '' ( x0 ) > 0
− Nếu
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
− Để hàm số y = f ( x ) có 2 cực trị
− Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành
− Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
− Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trên trục hoành
− Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành
− Để hàm số y = f ( x ) có cực trị tiếp xúc với trục hoành
a ≠ 0
⇔
.
∆ y ' > 0
⇔ yCĐ . yCT < 0 .
⇔ xCĐ .xCT < 0 .
yCĐ + yCT > 0
⇔
.
yCĐ . yCT > 0
yCĐ + yCT < 0
⇔
.
yCĐ . yCT > 0
⇔ yCĐ . yCT = 0 .
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Dạng 1: hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d
Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
ax 2 + bx + c
Dạng 2: Hàm số y =
dx + e
ax 2 + bx + c ' 2a
b
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng y =
=
x+
d
d
( dx + e ) '
(
1. Chứng minh rằng hàm số y =
(
)
)
x2 + m m2 − 1 x − m4 + 1
x−m
luôn có có cực trị với mọi m. Tìm m sao cho hai
cực trị nằm trên đường thẳng y=2x.
1
2. Cho hàm số y = x 3 − mx 2 + ( m + 2 ) x − 1 . Định m để:
3
a. Hàm số luôn có cực trị.
b.Có cực trị trong khoảng ( 0; +∞ ) .
c. Có hai cực trị trong khoảng ( 0; +∞ ) .
4
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
(
)
3. Định m để hàm số y = x 3 − 3mx 2 + m 2 − 1 x + 2 b 2 − 4ac đạt cực đại tại x = 2.
4. Cho hàm số y = x3−3x2+3mx+3m+4.
a. Khảo sát hàm số khi m = 0.
b.Định m để hàm số không có cực trị.
c. Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu.
5. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 9 x + 3m − 5 . Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.
x 2 + ( m + 1) x − m + 1
6. Cho hàm số y =
. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi
x−m
m. Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành.
7. Cho hàm số y = x 3 + ( 1 − 2m ) x 2 + ( 2 − m ) x + m + 2 . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời
hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
x 2 + 2mx + 1 − 3m 2
8. Cho hàm số y =
. Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai phía đối với trục
x−m
tung.
1
9. Cho hàm số y = x 3 − mx 2 + ( 2m − 1) x − m + 2 ( Cm ) . Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương.
3
x 2 + 2 ( m + 1) x + m 2 + 4m
10. Cho hàm số y =
(1).
(ĐH Khối−A năm 2007)
x+2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=−1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ
O tạo thành tam giác vuông tại O.
ĐS: m = −4 ± 2 6 .
(
)
3
2
2
2
11. Cho hàm số y = − x − 3x + 3 m − 1 x − 3m − 1 (1), m là tham số.
(ĐH Khối−B năm 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa
độ.
ĐS : b m = ±
1
.
2
(
)
4
2
2
12. Cho hàm số y = mx + m − 9 x + 10
(1) (m là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị.
f(x)=x^4-8x^2+10
10
y
(ĐH Khối−B năm 2002)
5
x
-30
-25
-20
-15
-10
-5
5
-5
m < −3
0 < m < 3
-10
-15
a.
b. ĐS :
x 2 + ( m + 1) x + m + 1
13. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y =
(*) (m là tham số)
x +1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
-20
5
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
b. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn có hai điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa
hai điểm đó bằng 20 .
y
f(x)=x+1+1/(x+1)
4
f(x)=x+1
x(t)=-1 , y(t)=t
2
x
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
-2
MN = L = 20
-4
-6
-8
-10
a.
b. CĐ(−2;m−3), CT(0;m+1)⇒
Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN− NGHỊCH BIẾN
Cho hàm sô y = f ( x ) có tập xác định là miền D.
− f(x) đồng biến trên D ⇔ f ' ( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ D .
− f(x) nghịch biến trên D ⇔ f ' ( x ) ≤ 0 , ∀x ∈ D .
(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)
Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai: f ( x ) = ax 2 + bx + c .
1. Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a.
b
b
2. Nếu ∆ = 0 thì f(x) có nghiệm x = −
và f(x) luôn cùng dấu với a khi x ≠ −
.
2a
2a
3. Nếu ∆ > 0 thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm f(x) cùng
dấu với a.
So sánh nghiệm của tam thức với số 0
∆ > 0
∆ > 0
* x1 < x2 < 0 ⇔ P > 0
* 0 < x1 < x2 ⇔ P > 0
S < 0
S > 0
* x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0
1. Cho hàm số y = x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 3 ( m + 1) x + 1 . Định m để:
a. Hàm số luôn đồng biến trên R.
b. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) .
2. Xác định m để hàm số y =
x3 mx 2
−
− 2x + 1 .
3
2
a. Đồng biến trên R.
b. Đồng biến trên ( 1; +∞ ) .
3. Cho hàm số y = x 3 − 3 ( 2m + 1) x 2 + ( 12m + 5 ) x + 2 .
a. Định m để hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) .
b. Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) .
4. Cho hàm số y =
mx 2 + 6 x − 2
. Định m để hàm số nghịch biến trên [1;+∞ ) .
x+2
6
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG
Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm
Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2). Khảo sát sự tương giao giữa hai đồ thị
(C1) và (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1). Số giao điểm của (C1) và
(C2) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1).
(1) vô nghiệm
⇔ (C1) và (C2) không có điểm chung.
(1) có n nghiệm
⇔ (C1) và (C2) có n điểm chung.
(1) có nghiệm đơn x1
⇔ (C1) và (C2) cắt nhau tại N(x1;y1).
(1) có nghiệm kép x0
⇔ (C1) tiếp xúc (C2) tại M(x0;y0).
1. Cho hàm số y =
( x − 1) 2
có đồ thị là (C).
x +1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
b.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 2 − ( m + 2 ) x − m + 1 = 0 .
2. Cho hàm số y = ( x + 1) ( x − 1) có đồ thị là (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
2
2
(
)
b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 2 − 1
2
− 2m + 1 = 0 .
3. Cho hàm số y = x 3 + kx 2 − 4 .
a. Khảo sát hàm số trên khi k = 3.
b. Tìm các giá trị của k để phương trình x3 + kx 2 − 4 = 0 có nghiệm duy nhất.
4. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 2 .
(ĐH Khối−D 2006)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại
ba điểm phân biệt.
15
ĐS: b. m > , m ≠ 24 .
4
− x 2 + 3x − 3
5. Cho hàm số y =
(1)
(ĐH Khối−A 2004)
2 ( x − 1)
a. Khảo sát hàm số (1).
b. Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB=1.
1± 5
ĐS: b. m =
.
2
mx 2 + x + m
6. Cho hàm số y =
(*) (m là tham số)
(ĐH Khối−A 2003)
x −1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=−1.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương.
1
ĐS: b. − < m < 0 .
2
x2 − 2 x + 4
7. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =
(1).
(ĐH Khối−D 2003)
x−2
b. Tìm m để đường thẳng d m : y = mx + 2 − 2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt.
ĐS: m>1.
8. Cho hàm số y = − x3 + 3mx2 + 3(1 − m2)x + m3 − m2 (1) (m là tham số)
(ĐH Khối−A 2002)
7
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đố thị của hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm k để phương trình − x3 + 3x2 + k3 − 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
−1 < k < 3
ĐS: b.
, c. y = 2 x − m 2 + m .
k
≠
0
∧
k
≠
2
Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
Các công thức về khoảng cách:
Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng): AB =
( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2
.
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 và điểm
Ax0 + By0 + C
M(x0;y0) khi đó d ( M ,.∆ ) =
.
A2 + B 2
1. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 − 3 x + 3m + 2 ( Cm ) . Định m để ( Cm ) có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng
cách giữa chúng là bé nhất.
2x + 2
2. Cho hàm số ( C ) : y =
. Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là
x −1
nhỏ nhất.
x2 − x + 1
3. Cho hàm số ( C ) : y =
. Tìm các điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận là nhỏ
x −1
nhất.
2x + 2
4. Cho hàm số ( C ) : y =
. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN
x −1
nhỏ nhất.
x2 + x + 1
5. Cho hàm số ( C ) : y =
. Tìm hai điểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN
x +1
nhỏ nhất.
x2 + 2x + 1
6. Cho hàm số ( C ) : y =
.
x −1
a. Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.
b.Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.
1
7. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: y = mx + (*) (m là tham số)
(ĐH Khối−A 2005)
x
1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = .
4
b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên
1
bằng
.
ĐS: m=1.
2
Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH
Phương pháp:
Từ hàm số y = f ( x, m ) ta đưa về dạng F ( x, y ) = mG ( x, y ) . Khi đó tọa độ điểm cố định nếu có là
F ( x, y ) = 0
nghiệm của hệ phương trình
.
G ( x, y ) = 0
1. Cho hàm số y = x 3 − 3 ( m − 1) x 2 − 3mx + 2 ( Cm ) . Chứng minh rằng ( Cm ) luôn đi qua hai điểm cố định
khi m thay đổi.
8
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
2. Cho hàm số ( Cm ) : y =
2 x2 + ( 6 − m) x + 4
mx + 2
. Chứng minh rằng đồ thị ( Cm ) luôn đi qua một điểm cố định
khi m thay đổi.
3. Cho hàm số ( Cm ) : y = ( 1 − 2m ) x 4 + 3mx 2 − ( m + 1) . Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên.
4. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ( m + 3) x 3 − 3 ( m + 3) x 2 − ( 6m + 1) x + m + 1 ( Cm ) luôn đi qua ba
điểm cố định.
Dạng 7: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
y = f ( x ) có đồ thị (C “)
y = f ( x ) có đồ thị (C’)
y = f(x) có đồ thị (C)
y = f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ D . Do đó ta phải
giữ nguyên phần phía trên trục Ox và lấy
đối xứng phần phía dưới trục Ox lên trên.
y
f(x)=x^3-2x^2-0.5
y = f ( x ) có f ( − x ) = f ( x ) ,
∀x ∈ D nên đây là hàm số chẵn do
đó có đồ thị đối xứng qua trục tung
Oy.
y
f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5)
f(x)=x^3-2x^2-0.5
y
f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5
f(x)=x^3-2x^2-0.5
(C')
(C)
x
(C'')
x
x
Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ
x2 + x
.
2x − 2
a. Khảo sát hàm số.
1. Cho hàm số ( C ) : y =
b.Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt.
6
f(x)=(x^2+x)/(2x-2)
y
x2 + x
2 x −2
=k.
y
f(x)=(x^2+x)/(2x-2)
x(t)=1 , y(t)=t
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=x/2+1
f(x)=x/2+1
4
4
f(x)=(x^2+abs(x))/(2abs(x)-2)
f(x)=-x/2+1
2
2
y=
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
x2 + x
2x − 2
y=
4
x2 + x
2x−2
x
x
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
x 2 + 3x + 3
.
x +1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Cho hàm số ( C ) : y =
x 2 + 3x + 3
=m.
b.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x +1
9
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
y
f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1)
y
f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1)
x(t)=-1 , y(t)=t
x(t)=-1 , y(t)=t
f(x)=x+2
f(x)=x+2
4
4
f(x)=(x^2+3x+3)/abs(x+1)
f(x)=-x-2
y=
x 2 + 3x + 3
x+1
2
2
y=
x
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
x 2 + 3x + 3
x+ 1
x
-2
2
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
4x − x2
3. Cho hàm số ( C ) : y =
.
x −1
a. Khảo sát hàm số.
b.Định m để phương trình x 2 + ( m − 4 ) x − m = 0 có bốn nghiệm phân biệt.
f(x)=(4x-x^2)/(x-1)
4
y
f(x)=(4x-x^2)/(x-1)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=-x+3
f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1)
f(x)=-x+3
2
y
4
x(t)=1 , y(t)=t
2
x
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
4x − x
x−1
y=
-2
4. Cho hàm số ( C ) : y =
1.
2.
x
2
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
2
y=
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
4 x − x2
x −1
x2 + x − 1
.
x+2
Khảo sát hàm số.
Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x 2 + ( 1 − m ) x − 2m − 1 = 0 .
5. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4 .
3
(ĐH Khối A−2006)
b. Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: 2 x − 9 x 2 + 12 x = m .
f(x)=2x^3-9x^2+12x
6
y
f(x)=2abs(x)^3-9x^2+12abs(x)
6
4
y
4
2
2
3
y
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
2
2
9
=
x
2
+
x
2
3
12
−
x
=
x
4
9
y
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
x
x
x
2
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
a.
12
+
−
x
ĐS: b. 40.
4. Cho hàm số y = −
x3
11
có đồ thị ( C ) . Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục
+ x 2 + 3x −
3
3
tung.
5. Cho hàm số y = x 3 + ax 2 + bx + c ( 1) . Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và đi
qua điểm M(1;−1).
6. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1)
(ĐH Khối D−2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của
hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Lời giải:
a. D = R.
y' = 3x2 − 6x = 3x(x − 2), y' = 0 ⇔ x = 0, x = 2.
y" = 6x − 6, y" = 0 ⇔ x = 1.
−∞
x
y'
y"
y
2.
+
0
0
1
2
− | − 0
− 0 +
−
y
f(x)=x^3-3x^2+4
4
2
+∞
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
+
+
4
CĐ
x
O
-16
2
-2
-4
+∞
-6
2
CT
−∞
U
0
d : y − 2 = k(x − 1) ⇔ y = kx − k + 2.
Phương trình hoành độ giao điểm: x3 − 3x2 + 4 = kx − k + 2 ⇔ x3 − 3x2 − kx + k + 2 = 0.
⇔ (x − 1)(x2 − 2x − k − 2) = 0 ⇔ x = 1 ∨ g(x) = x2 − 2x − k − 2 = 0.
Vì ∆' > 0 và g(1) ≠ 0 (do k > − 3) và x1 + x2 = 2xI nên có đpcm!.
-8
-10
Dạng 9: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN
f( x) = 1.7 x
1. Định nghĩa:
6
g ( x) = 0
h( y
0 MH
) = lim
⇔
(d) là tiệm cận của (C)
M →∞
( M ∈( C ) )
=0
2. Cách xác định tiệm cận
a. Tiệm cận đứng: lim f ( x ) = ∞ ⇒ ( d ) : x = x 0 .
y
(d)
4
(C)
x → x0
b. Tiệm cận ngang: limx→f∞( x ) = y 0 ⇒ ( d ) : y = y 0 .
2
M
H
c. Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=λx+µ trong đó:
f ( x)
λ = lim
; µ = lim [ f ( x ) − λx ] .
x →∞
x →∞
x
-10
-5
Các trường hợp đặc biệt:
x
5
11
-2
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
*Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến)
ax + b
y=
mx + n
n
+TXĐ: D= R\ −
m
n
+TCĐ: lim ny = ∞ ⇒ ( d ) : x = − m
x →−
* Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu tỷ)
ax 2 + bx + c
A
y=
= ( λx + µ ) +
mx + n
mx + n
n
+TXĐ: D= R\ −
m
n
+TCĐ: lim ny = ∞ ⇒ ( d ) : x = − m
x →−
a
a
+TCN: lim y = ⇒ ( d ) : y =
m
m
x →∞
+TCX: lim
m
m
x →∞
y
f(x)=x/(x-1)
f(x)=1
-14
-13
y=
f(x)=x/2+1/2
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-2
2
3
4
5
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-7
-8
-9
-9
-10
-10
-11
-11
mx 2 + ( 3m 2 − 2 ) x − 2
( 1) , với m là tham số thực.
x + 3m
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1.
b. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45 0.
Lời giải:
a. Khi m =1: y =
( x + 3)
(ĐH Khối A−2008)
x2 + x − 2
4
.
= x−2+
x+3
x+3
x = −1 ⇒ y ( −1) = −1
. y′ = 0 ⇔
x = −5 ⇒ y ( −5 ) = −9
y = ∞ ⇒ tiệm cận đứng: x = −3. lim
Tiệm cận: xlim
→−3
x →∞
4
= 0 ⇒ tiệm cận xiên: y = x – 2.
x+3
lim y = −∞, lim y = +∞ , lim− y = −∞, lim+ y = +∞ .
x →−∞
n
m
-6
-8
2
5
-5
-7
x2 + 6 x + 5
4
-4
-6
y′ =
3
-3
-5
{ −3}
2
x =−
-2
-4
TXĐ: D = R
1
-1
-3
1. Cho hàm số y =
x
-1
n
x =−
m
y = λx + µ
I
1
x
1
-1
2
T ?p h?p 1
I
1
-1
3
x(t)=1 , y(t )=t
2
a
m
y
f(x)=x^2/(2(x-1))
3
x(t)=1 , y(t )=t
T ?p h?p 1
A
= 0 ⇒ TCX: y=λx+µ
mx + n
x →+∞
x →−3
x →−3
f(x)=(x^2+x-2)/(x+3)
2
f(x)=x-2
Bảng biến thiên
y
Đồ thị: x(t)=-3 , y(t)=t
-16
x
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
-2
-4
-6
-8
b. y =
mx 2 + ( 3m 2 − 2 ) x − 2
x + 3m
= mx − 2 +
6m − 2
x + 3m
-10
-12
12
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
Gọi (Cm) là đồ thị hàm số. (Cm) có tiệm cận đứng d1 : x + 3m = 0 và tiệm cận xiên d 2 : mx − y − 2 = 0
1
m ≠ ∧ m ≠ 0 ÷.
3
m
m
2
0
⇔
=
Theo giả thuyết ta có: cos 45 =
⇔ m 2 = 1 ⇔ m = ±1 (nhận).
2
2
2
m +1
m +1
2. Cho hàm số y = f ( x ) =
mx 2 + ( m 2 − 1) x + 1 − m
x
. Tìm m sao cho đồ thị của hàm số f có tiệm cận xiên đi
qua gốc tọa độ.
ax 2 + (2a − 1).x + a + 3
( a ≠ −1, a ≠ 0 ) có đồ thị (C). Chứng minh rằng đồ thị của hàm số
x−2
này có tiệm cận xiên luôn đi qua một điểm cố định.
2 x 2 − 3x + 2
4. Cho hàm số y = f ( x) =
có đồ thị (C).
x −1
a. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (C) đến hai đường đường tiệm cận là một
số không đổi.
b. Tìm tọa độ điểm N thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ N đến hại tiệm cận nhỏ nhất.
2 x 2 + mx − 2
5. Cho hàm số y = f ( x) =
có đồ thị (Cm). Tìm m để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo
x −1
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.
x1 − x2 = 5
x +1
6. Tìm m để đồ thị hàm số y = 2
có hai tiệm cận đứng là x=x1 và x=x2 thỏa mãn 3
.
3
x + mx + 1
x1 − x2 = 35
x +1
7. Cho hàm số y =
có đồ thị (C).
x −1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.
2x + 1
8. Cho hàm số y =
có đồ thị (H).
2−x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (H) tại giao điểm với trục tung.
c. Tìm những điểm N (xN >1) thuộc (H) sao cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến ∆ ngắn nhất.
HD câu b, c.
* Gọi M klà giao điểm của (C) với trục tung⇒ M ( 0;1) . Phương trình tiếp tuyến là y = 3x + 1 hay
3. Cho hàm số y =
3x − y + 1 = 0 ( ∆ ) .
3
* Lấy N ( x0 ; y0 ) ∈ ( H ) ⇒ N x0 ; −2 +
÷, ( x0 > 1) . Khi đó
1 − x0
3
3 x0 + 2 −
+1
3
1 − x0
. Đặt g ( x0 ) = 3x0 + 3 −
.
1
−
x0
d ( N , ∆) =
10
d ( N , ∆ ) min ⇔ g ( x ) min .
* Khảo sát hàm g ( x0 ) = 3x0 + 2 −
y=3x+1
2
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=-2
M
Series 1
f(x)=-(1/3)x-13/3
3
trên khoảng ( 0; +∞ ) ,
1 − x0
x0 = 0
, g ' ( x0 ) = 0 ⇒
, (lập bảng biến thiên …)
( 1 − x0 )
x0 = 2
* Do x0 > 1 nên ta chỉ nhận nghiệm x0 = 2 thay vào N ta được
g ' ( x0 ) = 3 −
y
f(x)=(2x+1)/(1-x)
3
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
x
2
4
-2
H
-4
N(2;-5)
-6
-8
2
N ( 2; −5 ) . Vậy N ( 2; −5 ) thì d ( N , ∆ ) = 6 10 .
min
5
−−−−−−−−−−−−−−−−−
Dạng 10: DIỆN TÍCH− THỂ TÍCH
-10
-12
13
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
Ứng dụng tích phân (Dạng này thường xuất hiện nhiều trong các đề thi tốt nghiệp)
a. Diện tích
Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và
hai đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức:
y
f(x)
b
S=
∫ f ( x ) − g ( x ) dx
g(x)
a
O
a
Chú ý:
Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b
ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b.
b
xy
y
d
f(x)
b. Thể tích
Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi
{(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox
ξ(x)
O
b
a
b
x
2
được tính bởi công thức: V = π ∫ [ f ( x ) ] dx
c
x
O
a
Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi {(C): x=ξ(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy được tính bởi công thức:
d
V = π [ξ ( y ) ] dy
∫
2
c
Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox
∫ {[ f ( x ) ]
b
(f(x)≥g(x), ∀x∈[a;b]) được tính bởi công thức:
V =π
2
}
− [ g ( x ) ] dx
2
.
a
*
( 2m − 1) x − m
*
*
2
(1)
(m là tham số).
(ĐH Khối−D 2002)
x −1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m=−1.
b. Tính diện tích hình phẳng giới hạm bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ.
c. Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x.
4
ĐS: b. S = −1 + 4 ln , c m ≠ 1 .
3
x2 − x − 2
2. Cho hàm số y =
.
x−3
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b. Tính phần diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số và trục hoành.
1. Cho hàm số y =
Dạng 10 này sẽ được trình bày cụ thể hơn trong chuyên đề Tích phân−Ứng dụng.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN
I. Hệ phương trình đối xứng loại 1:
Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng.
14
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
− Phương trình n ẩn x1, x2, ..., xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay xi bởi xj; xj bởi xi thì phương trình
không thay đổi.
− Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:
x1 + x2 + ... + xn
x1x2 + x1x3 + ... + x1xn + x2x1 + x2x3 + ... + xn-1xn
...............................
x1x2 ... xn
− Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.
− Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét.
* Nếu đa thức F(x) = a0xn + a1xn− 1 +... an, a0 ≠ 0, ai ∈ P có nhgiệm trên P là c1, ..., cn thì:
a1
c1 + c2 + ... + cn = − a
0
a2
c1c2 + c1c3 + ... + c1cn + c2 c1 + c2 c3 + ... + cn -1cn =
a0
...............................
n an
c1c1 ... cn = ( −1) . a
0
(Định lý Viét tổng quát)
Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:
A. LÝ THUUYẾT
1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2:
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì:
b
S = x1 + x2 = − a
P = x .x = c
1 2
a
x1 + x2 = S
thì x1, x2 là nghệm của phương trình X2 − SX + P = 0.
x1 .x2 = P
Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 có
2. Định nghĩa:
f ( x, y ) = 0
f ( x, y ) = f ( y , x )
, trong đó
g ( x, y ) = 0
g ( x, y ) = g ( y , x )
3.Cách giải:
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S 2 ≥ 4 P .
15
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y.
Chú ý:
+ Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP.
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.
4. Bài tập:
Loại 1: Giải hệ phương trình
x 2 y + xy 2 = 30
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 3
.
3
x + y = 35
GIẢI
Đặt S = x + y, P = xy , điều kiện S 2 ≥ 4 P . Hệ phương trình trở thành:
ìï
ïï P = 30
ïìï SP = 30
ïìï S = 5
ïìï x + y = 5
ïìï x = 2 ïìï x = 3
ï
Û ïí æ S
Û
Û
Û
Úí
í
í
í
í
.
2
90 ö
ïï S(S - 3P) = 35
ïï ç 2
ïï P = 6
ïï xy = 6
ïï y = 3 ïï y = 2
÷
î
î
î
î
î
S
S
=
35
÷
ç
ïï ç
÷
Sø
ïî è
xy ( x − y ) = −2
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 3
.
3
x − y = 2
GIẢI
Đặt t = − y , S = x + t , P = xt , điều kiện S 2 ≥ 4 P Hệ phương trình trở thành:
ïìï xt(x + t) = 2
ïì SP = 2
ïì S = 2
ïì x = 1
ïì x = 1
.
Û ïí 3
Û ïí
Û ïí
Û ïí
í 3
3
ïï x + t = 2
ïï S - 3SP = 2
ïï P = 1
ïï t = 1
ïï y = - 1
î
î
î
î
î
x + y + 1 + 1 = 4
x y
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
.
x2 + y 2 + 1 + 1 = 4
x2 y 2
GIẢI
Điều kiện x ≠ 0, y ≠ 0 .
1ö æ
1ö
ïìï æ
x+ ÷
+ ç
y+ ÷
÷
÷
ç
ç
ïï ç
÷
÷= 4
ç
ç
è
xø è
yø
ï
Hệ phương trình tương đương với: í
2
2
ïï æ
æ
1ö
1ö
÷
ç
x+ ÷
+
y
+
÷
÷
ïï ç
ç
ç
÷ è
÷=8
ç
è
xø
yø
ïî ç
æ
1ö
x+ ÷
÷+
Đặt S = ç
ç
ç
÷
è
xø
æ
æ
1ö
1 öæ
1ö 2
ç
y+ ÷
x+ ÷
y+ ÷
÷, P = ç
֍
÷, S ³ 4P ta có:
ç
ç
ç
ç
ç
÷
֍
÷
è
è
yø
x øè
yø
16
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
ìï æ
ïï ç
x+
ìï S = 4
ìï S = 4
ç
ïç
è
ïí
ï
ï
Û í
Û í
ïï S2 - 2P = 8
ïï P = 4
ïï æ
î
î
çx +
ïï ç
è
ïî ç
æ
1ö
÷
+ ç
y
÷
ç
÷
ç
xø è
1 öæ
÷
y+
֍
֍
ç
x øè
ìï
1ö
÷
ïï x + 1 = 2
=4
÷
÷
ì
ø
ïï
y
x
ïíï x = 1 .
Û
Û
í
1
1ö
ïï
ïï y = 1
÷
î
=2
÷= 4
ïï y +
÷
y
yø
ïî
+
2
2
x + y + 2 xy = 8 2 (1)
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
.
(2)
x + y = 4
GIẢI
Điều kiện x, y ≥ 0 . Đặt t =
xy ≥ 0 , ta có:
xy = t 2 và (2) Þ x + y = 16 - 2t .
Thế vào (1), ta được:
t 2 - 32t + 128 = 8 - t Û t = 4
Suy ra:
ïìï xy = 16
ïì x = 4
Û ïí
í
.
ïï x + y = 8
ïï y = 4
î
î
Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm
Phương pháp giải chung:
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S 2 ≥ 4 P (*).
+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m.
Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v.
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
x + y =1
.
x x + y y = 1 − 3m
GIẢI
Điều kiện x, y ≥ 0 ta có:
ïìï x + y = 1
ïìï x + y = 1
Û í
í
ïï x x + y y = 1 - 3m
ïï ( x) 3 + ( y) 3 = 1 - 3m
îï
îï
Đặt S =
x +
y ³ 0, P =
xy ³ 0 , S2 ³ 4P. Hệ phương trình trở thành:
17
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
ïìï S = 1
ïì S = 1
Û ïí
í 3
.
ïï S - 3SP = 1 - 3m
ïï P = m
î
î
Từ điều kiện S ³ 0, P ³ 0, S2 ³ 4P ta có 0 £ m £
1
.
4
x + y + xy = m
Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình 2
có nghiệm thực.
2
x y + xy = 3m − 9
GIẢI
ìï x + y + xy = m
ì
ïí
ïíï (x + y) + xy = m .
Û
ïï x 2 y + xy 2 = 3m - 9
ïï xy(x + y) = 3m - 9
î
î
ìï S + P = m
Đặt S = x + y, P = xy, S2 ³ 4P. Hệ phương trình trở thành: ïí
.
ïï SP = 3m - 9
î
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình t 2 - mt + 3m - 9 = 0
ïì S = 3
ïì S = m - 3
Þ ïí
Ú ïí
.
ïï P = m - 3 ïï P = 3
î
î
é32 ³ 4(m - 3)
21
ê
Û
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
ê(m - 3)2 ³ 12 Û m £ 4 Ú m ³ 3 + 2 3 .
ê
ë
x − 4 + y −1 = 4
Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
có nghiệm.
x + y = 3m
GIẢI
Đặt u =
x - 4 ³ 0, v =
y - 1 ³ 0 hệ trở thành:
ïìï u + v = 4
ïìï u + v = 4
ï
Û
.
í 2
í
ïï u + v 2 = 3m - 5
ïï uv = 21 - 3m
î
ïî
2
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của t 2 - 4t +
21 - 3m
= 0 (*).
2
Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm.
ìï 3m - 13
ïìï D / ³ 0
ïï
³ 0
ïï
13
2
Û í S ³ 0 Û íï
Û
£ m £ 7.
ïï
ïï 21 - 3m
3
³
0
ïï P ³ 0
ïï
î
ïî
2
18
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
x 2 + y 2 + 4 x + 4 y = 10
Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
có nghiệm thực.
xy ( x + 4)( y + 4) = m
GIẢI
ìï x 2 + y 2 + 4x + 4y = 10
ìï (x 2 + 4x) + (y 2 + 4y) = 10
ïí
Û íï 2
.
ïï xy(x + 4)(y + 4) = m
ïï (x + 4x)(y 2 + 4y) = m
î
î
Đặt u = (x + 2)2 ³ 0, v = (y + 2)2 ³ 0 . Hệ phương trình trở thành:
ïìï u + v = 10
ïì S = 10
Û ïí
í
(S = u + v, P = uv).
ïï uv - 4(u + v) = m - 16
ïï P = m + 24
î
î
ìï S2 ³ 4P
ïï
Û - 24 £ m £ 1 .
Điều kiện ïí S ³ 0
ïï
ïï P ³ 0
î
Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.
Ví dụ. Giải phương trình:
3
x + 3 1− x =
3
.
2
GIẢI
3 x = u
Đặt: 3
. Vậy ta có hệ:
1 − x = v
3
3
u + v =
u + v = 2
2 ⇔
⇔
u 3 + v3 = 1
(u + v) (u + v) 2 − 3uv = 1
3
u+v = 2
u.v = 19
36
3
19
=0
u, v là hai nghiệm của phương trình: X 2 - X +
2
36
9+ 5
x =
u =
12
⇒
⇒
9- 5
u =
x =
12
9 + 5 3
Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} =
÷
÷;
12
3
9+ 5
÷
÷
12
3
9- 5
÷
÷
12
3
9 − 5
÷
÷ .
12
B. BÀI TẬP
I. Giải các hệ phương trình sau:
4
4
x + y = 1
1) 6
6
x + y = 1
2
2
x + y = 5
2) 4
2 2
4
x − x y + y = 13
x y + y x = 30
3)
x x + y y = 35
19
10 Chuyên đề ôn thi đại học môn toán cấp tốc
x + y = 4
4) 2
2
x + y + 2 xy = 8 2
2
2
x + x + y + y = 18
5)
xy ( x + 1)( y + 1) = 72
1
( x + y ) 1 + ÷ = 5
xy
6)
x 2 + y 2 1 + 1 = 49
÷
x2 y 2
1 1
x + y + x + y = 4
7)
x2 + y 2 + 1 + 1 = 4
x2 y 2
x
y
7
+
=
+1
x
x y
8) y
x xy + y xy = 78
x + y = 4
9) 2
2
3
3
x + y x + y = 280
(
)
(
)(
)
x 6 + y 6 = 2
10) 3
3
x − 3 x = y − 3 y
II. Gải hệ phương trình có tham số:
1. . Tìm giá trị của m:
5 ( x + y ) − 4 xy = 4
a)
có nghiệm.
x + y − xy = 1 − m
x + y + xy = m + 2
b) 2
có nghiệm duy nhất.
2
x y + xy = m + 1
( x + y ) 2 = 4
c) 2
có đúng hai nghiệm.
2
x + y = 2 ( m + 1)
x + xy + y = m
2
2
x + y = m
a. Giải hệ phương trình khi m = 5.
2.
(1II)
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
x + xy + y = m
2
2
x y + xy = 3m − 8
a Giải hệ phương trình khi m = 7/2.
3.
(7I)
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
x + xy + y = m + 1
2
2
x y + xy = m
a. Giải hệ phương trình khi m=2.
4.
(40II)
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0.
III. Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình:
1. Giải phương trình:
4
x − 1 + 4 18 − x = 3 .
2. Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:
20
- Xem thêm -
.PDF 
153 
628 
126 
