Tài liệu Tác động của toán tử milnor trên các bất biến của nhóm tuyến tính và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRƯƠNG MỘNG NI TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ MILNOR TRÊN CÁC BẤT BIẾN CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRƯƠNG MỘNG NI TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ MILNOR TRÊN CÁC BẤT BIẾN CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Ngành : Đại số và Lý thuyết số Mã số 8460104 : LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: GS.TS. NGUYỄN SUM Bình Định - Năm 2022 LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn. Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực không trùng lặp với đề tài khác. Đề tài “Tác động của toán tử Milnor trên các bất biến của nhóm tuyến tính và ứng dụng” là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Sum và chưa từng được công bố trong bất cứ công trình khoa học nào khác cho đến thời điểm hiện tại. Tôi cũng xin cam đoan rằng các kết quả được trình bày trong luận văn có tài liệu tham khảo được trích dẫn rõ ràng, đảm bảo tính trung thực, chính xác. Bịnh Định, tháng 7 năm 2022 Tác giả Trương Mộng Ni i Mục lục Lời cam đoan Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 1 4 1.1 Nhóm tuyến tính tổng quát và các nhóm con . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Đại số trên một trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Toán tử Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Toán tử Milnor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Tác động của nhóm tuyến tính trên đại số ngoài và đại số đa thức 15 1.6 Bất biến Dickson và cấu trúc đại số các bất biến . . . . . . . . . . 16 1.7 Bất biến Mùi và cấu trúc đại số các bất biến của nhóm tam giác trên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 2: Tác động của các toán tử Milnor nguyên thủy trên các bất biến modular 2.1 22 Một số kiến thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ii 2.2 Tác động của các toán tử Milnor nguyên thủy trên các bất biến Dickson và Mùi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Tác động của các toán tử St∆i trên các bất biến Dickson Qn,s và bất biến Mùi Vn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 Tác động của các toán tử Milnor nguyên thủy trên các bất (d) biến Mùi Mn;s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1 ,...,sk 2.3 Biểu diễn bất biến định thức theo các bất biến Dickson và Mùi . 43 2.3.1 Biểu diễn các định thức theo các bất biến Mùi . . . . . . . 43 2.3.2 Biểu diễn các định thức theo các bất biến Dickson . . . . . 45 Chương 3: Một số ứng dụng 3.1 51 Giả thuyết Pengelley-Sinha đối với đồng điều Margolis mod-2 của đại số Dickson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Một số phần tử hit trong một A (p)-module con của A (p)-module Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1 Mở đầu Cho p là một số nguyên tố. Ký hiệu GLn := GL(n, Fp ) là nhóm tuyến tính tổng quát trên trường nguyên tố Fp có p phần tử và      F [y , y , . . . , y ], 2 1 2 n nếu p = 2, Pn :=     E[x1 , x2 , . . . , xn ] ⊗ Fp [y1 , y2 , . . . , yn ], nếu p > 2, trong đó E[x1 , x2 , . . . , xn ] là đại số ngoài trên Fp với các biến x1 , x2 , . . . , xn , mỗi biến có bậc 1 và Fp [y1 , y2 , . . . , yn ] là đại số đa thức trên Fp với các biến y1 , y2 , . . . , yn mỗi biến có bậc 2 nếu p > 2 và có bậc 1 nếu p = 2. Lý thuyết bất biến modular của nhóm tuyến tính tổng quát GLn do nhà toán học Dickson đề xướng vào những năm 1910 và trong thập niên này nó đã phát triển mạnh mẽ với tư cách là một ngành đại số thuần túy. Đến năm 1975, Huỳnh Mùi đã phát triển thêm đối với một số nhóm con G nào đó của GLn và ứng dụng để nghiên cứu đại số đối đồng điều của các nhóm đối xứng thì lý thuyết bất biến modular mới trở thành một công cụ hữu hiệu trong ngành Tôpô - Đại số. Ký hiệu A (p) là đại số Steenrod mod-p được sinh bởi các toán tử Steenrod P i , i ≥ 0, và toán tử Bockstein β với p > 2. Ta biết rằng đại số Pn là đối đồng điều của nhóm Abel sơ cấp hạng n nên nó có cấu trúc module trên đại số Steenrod A (p). Tác động của A (p) trên Pn được xác định bởi các công thức Cartan cùng 2 với các công thức tường minh βxj = yj , βyj = 0, P 0 xj = xj , P i xj = 0 với i > 0 và     yj , nếu i = 0,      P i (yj ) := yjp , nếu i = 1,         0, các trường hợp khác, với j = 1, 2, . . . , n. Ta chú ý rằng toán tử P i = Sq i là bình phương Steenrod khi p = 2. Vì các tác động của GLn và A (p) trên Pn giao hoán với nhau nên có một tác động cảm sinh của A (p) trên đại số các bất biến PnG với G là một nhóm con bất kỳ của nhóm tuyến tính tổng quát GLn . Bài toán nghiên cứu tác động của đại số Steenrod trên đại số các bất biến PnG với G là các nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát GLn là một bài toán cơ bản có tính thời sự, nó có nhiều ứng dụng trong các bài toán trong ngành Tôpô - Đại số. Việc tìm hiểu và nghiên cứu đề tài này giúp chúng tôi tiếp cận với một hướng nghiên cứu có tính thời sự trong chuyên ngành. Mục đích của luận văn là tìm hiểu về lý thuyết bất biến modular của các nhóm tuyến tính và trình bày chi tiết các kết quả trong các bài báo [14] và [15] về tác động của các toán tử Milnor nguyên thủy trên các bất biến của các nhóm tuyến tính. Luận văn cũng trình bày một số ứng dụng các kết quả trên để nghiên cứu đồng điều Margolis của đại số Dickson trong Hưng [3] và trình bày một số kết quả trong Hải [2] về các đơn thức hit trong đại số Pn . Nội dung chính của luận văn gồm ba chương. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức chuẩn bị cho các chương chính bao gồm các kiến thức về đại 3 số trên một trường, đại số Steenrod, cấu trúc module trên đại số Steenrod của đại số đa thức, cơ sở Milnor của đại số Steenrod và các toán tử Milnor nguyên thủy. Chương 2. Tác động của các toán tử Milnor nguyên thủy trên các bất biến modular. Trong chương này, chúng tôi trình bày chi tiết các kết quả trong các bài báo Sum [14, 15] về tác động của các toán tử Milnor nguyên thủy trên các bất biến của các nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát GLn . Chương 3. Một số ứng dụng. Trong chương này, chúng tôi trình bày các kết quả trong Hải [2] và Hưng [3] về các ứng dụng của các kết quả trong Chương 2 trong việc nghiên cứu đồng điều Margolis của đại số Dickson và các phần tử hit trong một đại số con của đại số Pn . Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TS. Nguyễn Sum. Xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy. Thầy đã tận tình giúp đỡ, truyền đạt những kiến thức quý báu và kinh nghiệm trong quá trình làm luận văn này. Cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau Đại học, Khoa Toán và Thống kê cùng quý thầy (cô) giảng dạy lớp Đại số và Lý thuyết số khóa 23 (2020 – 2022) đã tận tình giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành đề tài. 4 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức chuẩn bị cho các chương chính, bao gồm các kiến thức về nhóm tuyến tính trên trường nguyên tố Fp , đại số trên một trường và các toán tử Steenrod trên đối đồng điều của một không gian tôpô với hệ số trên trường Fp ; nhắc lại tác động cơ bản của nhóm tuyến tính trên đại số ngoài và đại số đa thức; trình bày cấu trúc đại số các bất biến xác định bởi Dickson và Mùi. 1.1 Nhóm tuyến tính tổng quát và các nhóm con Cho V là một không gian vectơ n-chiều trên trường K. Ký hiệu GL(V ) là tập hợp tất cả các tự đẳng cấu tuyến tính của V . Tập hợp GL(V ) cùng với phép hợp thành ánh xạ lập thành một nhóm gọi là nhóm tuyến tính tổng quát trên V . Phần tử đơn vị của GL(V ) là đồng cấu đồng nhất idV . Phần tử nghịch đảo của f ∈ GL(V ) là đẳng cấu ngược f −1 . Nhóm GL(V ) là Abel nếu và chỉ nếu dim V = 1. Giả sử đã cho một cơ sở của không gian vectơ V . Khi đó, mỗi đẳng cấu tuyến 5 tính của V được đặt tương ứng với một ma trận của nó trong cơ sở đã chọn. Ma trận M (f.g) bằng tích ma trận M (f ) của f với ma trận M (g) của g . Do đó, ta có thể đồng nhất nhóm GL(V ) với nhóm GLn := GL(n, K) gồm tất cả các ma trận vuông cấp n khả nghịch với các phần tử lấy trong trường K. Phép hợp thành trong GLn là phép nhân ma trận thông thường, phần tử đơn vị của GLn là ma trận đơn vị cấp n, phần tử nghịch đảo của X ∈ GLn là ma trận nghịch đảo X −1 . Với mỗi 1 ≤ i ≤ n, i ∈ N, xét ánh xạ  q : GLi → GLn ,  X 0  X 7→  , 0 In−i ∀X ∈ GLi , trong đó, In−i là ma trận đơn vị cấp n − i và 0 là ma trận không. Khi đó, q là một đơn cấu. Do đó, ta có thể xem các nhóm GLi là nhóm con của nhóm GLn . Bây giờ, ta xét một số nhóm con của nhóm GL(n, Fp ), trong đó Fp là trường nguyên tố có p phần tử. Nhóm GL(n, Fp ) chứa một số nhóm con đặc biệt sau: 1. Nhóm con đặc biệt. Với mỗi 1 ≤ d ≤ p − 1, d ∈ N, ký hiệu SLdn (Fp ) = {w ∈ GL(n, Fp ) | (det w)d = 1}. Khi đó, SLdn (Fp ) là nhóm con của GL(n, Fp ) và SLnp−1 (Fp ) = GL(n, Fp ). Ta gọi SLdn (Fp ) là nhóm con tuyến tính đặc biệt bậc d của GL(n, Fp ). 2. Nhóm con tam giác. Gọi Tn là tập hợp tất cả các ma trận tam giác trên với 6 các phần tử trên đường chéo chính bằng 1. Tức là, các ma trận có dạng   1   0   0   .  ..   ∗ ∗ . . . ∗   1 ∗ . . . ∗   0 1 . . . ∗   .. .. . . ..  . . . .   0 0 0 ... 1 trong đó, * dùng để chỉ một phần tử bất kỳ trong Fp . Rõ ràng, Tn là nhóm con của GL(n, Fp ). Ta gọi Tn là nhóm con tam giác trên của GL(n, Fp ). Tương tự, ta cũng có nhóm con tam giác dưới của GL(n, Fp ). Đặc biệt, nhóm Tn là p-nhóm con Sylow của GL(n, Fp ). 1.2 Đại số trên một trường Định nghĩa 1.2.1. Một đại số trên trường K là một tập hợp A 6= ∅ cùng với ba phép toán: i) Phép cộng: + : A × A → A, (x, y) 7→ x + y, ii) Phép nhân: · : A × A → A, (x, y) 7→ xy, 7 iii) Phép nhân với vô hướng: · : K × A → A; (a, x) 7→ ax. thỏa mãn các điều kiện sau đây: (1) A cùng với hai phép toán cộng và nhân lập thành một vành. (2) A cùng với phép cộng và phép nhân với vô hướng lập thành một không gian vectơ trên K . (3) Hai cấu trúc vành và không gian vectơ liên hệ với nhau bởi điều kiện a(xy) = (ax)y = x(ay), với mọi a ∈ K , x, y ∈ A. Tập hợp S ⊂ A được gọi là đại số con của A nếu S vừa là vành con vừa là không gian vectơ con của A. Cho X ⊂ A, giao của tất cả các đại số con của A chứa X gọi là đại số con của A sinh bởi X . Tập hợp B ⊂ A được gọi là iđean của đại số A nếu nó vừa là một iđean của vành A vừa là một không gian vectơ con của A. Khi đó, vành thương A/B có cấu trúc đại số: (x + B) + (y + B) = (x + y) + B, (x + B)(y + B) = (xy) + B, a(x + B) = (ax) + B, 8 trong đó x, y ∈ A, a ∈ K ; gọi là đại số thương A/B . Cho A, A0 là các đại số trên trường K . Ánh xạ ϕ : A → A0 được gọi là một đồng cấu đại số nếu nó vừa là một đồng cấu vành vừa là một đồng cấu K -không gian vectơ. Các khái niệm đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu được định nghĩa tự nhiên. 1.3 Toán tử Steenrod Cho X là không gian tôpô và p là số nguyên tố. • Trường hợp p = 2: Với mỗi i ≥ 0, Steenrod xây dựng toán tử đối đồng điều ổn định Sq i : H n (X; F2 ) → H n+i (X; F2 ), deg Sq i = i được gọi là bình phương Steenrod. Các toán tử này thỏa mãn các tiên đề sau: i) Sq 0 = 1 là đồng cấu đồng nhất. ii) Sq i (x + y) = Sq i (x) + Sq i (y), với mọi x, y ∈ H n (X; F2 ). iii) Sq 1 = β là đồng cấu Bockstein liên kết với dãy khớp ngắn 0 → Z2 → Z4 → Z2 → 0 iv) Nếu dim x < i thì Sq i (x) = 0. v) Nếu dim x = i thì Sq i (x) = x2 . vi) Công thức Cartan: Sq n (x ^ y) = n X i=0 tích cup trong đối đồng điều. Sq i (x) ^ Sq n−i (y) , trong đó ^ là
9 Các toán tử squaring Sq i có liên hệ nội tại thông qua các quan hệ Adem như sau a Sq a Sq b =  [2]  X b−1−j j=0 a − 2j Sq a+b−j Sq j , với 0 < a < 2b và Sq 0 = 1. Cấu trúc của tập hợp các toán tử đối đồng điều được làm rõ bởi Serre vào năm 1952. Serre chứng minh rằng với phép cộng thông thường và phép hợp thành của các ánh xạ, các bình phương Steenrod sinh ra tất cả các toán tử đối đồng điều ổn định. Đại số các toán tử đối đồng điều ổn định với hệ số trong F2 được gọi là đại số Steenrod mod-2 và thường được ký hiệu là A = A (2). Đại số Steenrod mod-2, A trên F2 được định nghĩa một cách thuần túy đại số như là thương của F2 -đại số kết hợp, tự do, phân bậc sinh bởi các ký hiệu Sq i , i ≥ 0 bậc i theo ideal hai phía sinh bởi quan hệ Sq 0 = 1 và các quan hệ Adem a Sq a Sq b =  [2]  X b−1−k k=0 a − 2k Sq a+b−k Sq k , 0 < a < 2b. Đại số A là một đại số phân bậc có bổ sung, tức là có một toàn cấu F2 -đại số phân bậc tự nhiên  : A → F2 xác định bởi      1 nếu i = 0, (Sq i ) =     0 nếu i > 0. Mệnh đề 1.3.1 (Steenrod-Epstein [8]). Với mỗi k ≥ 0, các toán tử Sq k không phân tích được khi và chỉ khi k là lũy thừa của 2. Tập hợp k {Sq 2 | k ≥ 0} ∪ {Sq 0 = 1} là một tập sinh cực tiểu của F2 -đại số A . 10 Một đơn thức bất kỳ trong A có dạng Sq I = Sq i1 Sq i2 . . . Sq is , với I = (i1 ; . . . ; is ), it ≥ 0 và bậc của đơn thức Sq I định nghĩa bởi deg Sq I = deg(Sq i1 Sq i2 . . . Sq is ) = i1 + i2 + . . . + is . Đơn thức Sq I được gọi là chấp nhận được nếu it ≥ 2it+1 với mọi t. • Trường hợp p > 2: Với mỗi i ≥ 0, Steenrod xây dựng toán tử đối đồng điều ổn định P i : H n (X; Fp ) → H n+2i(p−1) (X; Fp ), deg P i = 2i(p − 1) được gọi là toán tử Steenrod hay lũy thừa Steenrod. Các toán tử này thỏa mãn các tiên đề sau: (i) P 0 : H n (X; Fp ) → H n (X; Fp ) là đồng cấu đồng nhất. (ii) P i (x + y) = P i (x) + P i (y), với mọi x, y ∈ H n (X; Fp ). (iii) Nếu dim x < 2i thì P i (x) = 0. (iv) Nếu dim x = 2i thì P i (x) = xp . (v) Công thức Cartan: P n (x ^ y) = n X P i (x) ^ P n−1 (y) .
i=0 Các lũy thừa Steenrod P i thỏa mãn các hệ thức sau đây gọi quan hệ Adem: i (i) P i P j = [p] X (−1) t=0 i+t   (p − 1)(j − t) − 1 P i+j−t P t , i < pj. i − pt 11 i (ii) P i βP j = [p] X (−1)i+t t=0   (p − 1)(j − t) βP i+j−t P t i − pt [ i−1 p ] + X (−1) i+t   (p − 1)(j − t) − 1 P i+j−t βP t , i ≤ pj, i − pt − 1 t=0 trong đó, β : H n (X; Fp ) → H n+1 (X; Fp ) là đồng cấu Bockstein liên kết với dãy khớp ngắn 0 → Zp → Zp2 → Zp → 0. Đồng cấu Bockstein này có các tính chất sau (i) β 2 = 0. (ii) β(x ^ y) = β(x) ^ y + (−1)deg x x ^ β(y). Với p > 2 thì đại số Steenrod mod-p, ký hiệu A (p) là đại số thương của Fp -đại số kết hợp, tự do phân bậc sinh bởi các ký hiệu β bậc 1 và P i (i ≥ 0) bậc 2i(p − 1) theo ideal hai phía sinh bởi hệ thức P 0 = 1 và các quan hệ Adem như trên. Đại số A (p) là một đại số phân bậc có bổ sung, tức là có một toàn cấu Fp -đại số phân bậc tự nhiên  : A (p) → Fp xác định bởi      1 nếu i = 0, (P i ) =     0 nếu i > 0. Mệnh đề 1.3.2 (Steenrod-Epstein [8]). Tập hợp i {P p : i = 0, 1, 2, . . .} ∪ {β}. là một tập sinh cực tiểu của Fp -đại số A (p). 12 Một đơn thức bất kỳ trong A (p) có dạng β 0 P s1 β 1 . . . P sk β k , với i = 0, 1, si ≥ 0, i = 1, k, k ≥ 0. Đơn thức β 0 P s1 β 1 . . . P sk β k được gọi là chấp nhận được nếu si ≥ psi+1 + i , ∀1 ≤ i ≤ k − 1. Mệnh đề 1.3.3 (Steenrod-Epstein [8]). Tập hợp tất cả các đơn thức chấp nhận được là một cơ sở của đại số Steenrod A (p), xem như không gian vectơ phân bậc trên Fp . 1.4 Toán tử Milnor Xét A (p) là không gian vectơ phân bậc trên Fp . Ký hiệu, A (p)∗ là không gian đối ngẫu của A (p). Với mỗi đơn thức θ ∈ A (p), ký hiệu θ∗ là đối ngẫu của θ đối với cơ sở chấp nhận được của Ap . Nói riêng, ta đặt  i−1  ps−1 ξi = P p τs = P Pp P i−2 ps−2 . . . P 1P 0 1 ∗ 0 ...P P β , i ≥ 1, ∗ , s ≥ 0. Phần tử ξi có bậc là 2pi − 2 và phần tử τs có bậc là 2ps − 1. Trong [4], Milnor chứng minh rằng A (p)∗ ∼ = Λ [τ0 , τ1 , . . .] ⊗Fp Fp [ξ1 , ξ2 , . . .] Do đó, A (p)∗ có cơ sở gồm tất cả các đơn thức rm τS ξ R = τs1 . . . τsk ξ1r1 . . . ξm , 13 trong đó, S = (s1 , . . . , sk ), 0 ≤ s1 < . . . < sk và R = (r1 , . . . , rm ), ri ≥ 0, m ≥ 1. Ta ký hiệu StS,R = (τs ξ R )∗ ∈ A (p) là đối ngẫu của τs ξR đối với cơ sở đơn thức của (A (p))∗ . Khi đó tập hợp tất cả các toán tử StS,R là một cơ sở cộng tính của đại số A (p). Cơ sở này được gọi là cơ sở Milnor của A (p). Chú ý rằng, nếu S = ∅, R = (r) thì St∅,(r) = P r ; còn nếu S = (0), R = (0) thì St(0),(0) = β . Toán tử StS,R được gọi là toán tử Milnor kiểu (S, R). Đặt S = (s1 , . . . , sk ), 0 ≤ s1 < . . . < sk . Xét S1 , S2 sao cho S = S1 ∪ S2 . Ta viết S1 = (s11 , . . . , s1t ) với 0 ≤ s11 < . . . < s1t và S2 = (s21 , . . . , s2r ) với 0 ≤ s21 < . . . < s2r . Nếu S1 ∩ S2 6= ∅ thì ta định nghĩa (S : S1 , S2 ) = 0. Nếu S1 ∩ S2 = ∅ thì ta định nghĩa    s1 . . . st st+1 . . . st+r  (S : S1 , S2 ) = sign  . s11 . . . s1t s21 . . . s2r Huỳnh Mùi đã chứng minh trong [6, 7] rằng, StS,R là một toán tử đối đồng điều ổn định và nó thỏa mãn các tính chất sau: • St(0),(0) = β, St∅,(r) = P r . • Công thức Cartan X StS,R (uv) = (−1)(dim u+`(S1 ))·`(S2 ) (S : S1 , S2 ) StS1 ,R1 (u)StS2 ,R2 (v), S1 ∪S2 =S R1 +R2 =R trong đó, R = (ri ), R1 = (r1i ), R2 = (r2i ), R1 + R2 = (r1i + r2i ), `(Sj ) là độ dài của Sj , j = 1, 2. Mệnh đề sau cho ta công thức tác động của các toán tử StS,R trên các phần tử sinh của đại số ngoài và đại số đa thức. 14 Mệnh đề 1.4.1 (Sum [13]). Cho α là một số nguyên không âm và  = 0, 1, ta có StS,R (xk y`α ) =           α R α+|R|
xk y` α R y`
nếu S = ∅, pi +α+|R|       0 nếu S = (i), i ≥ 0, các trường hợp khác, trong đó   α R =      α! (α − u1 − u2 − . . . − um )!u1 !u2 ! . . . um !    0 khi u1 + u2 + . . . + um ≤ α, các trường hợp khác, |R| = (p − 1)u1 + (p2 − 1)u2 + . . . + (pm − 1)um . Chú ý rằng, khi R = (r) thì α R
= α r
là hệ số nhị thức. Ta quy ước α r
=0 khi r > α. Trong trường hợp riêng của mệnh đề trên, với S = ∅, R = (r), ta có P r y`n   = n n+(p−1)r y . r ` Từ hệ thức (1.1), cho n = pe , ta được kết quả sau đây. Mệnh đề 1.4.2. Với mọi số nguyên không âm r, e, ta có    pe  y nếu r = 0,   `    e P r y`p = pe+1 y`        0 nếu r = pe , các trường hợp khác. (1.1) 15 1.5 Tác động của nhóm tuyến tính trên đại số ngoài và đại số đa thức Cho G là một nhóm con của GL(n, Fp ). Nhóm này tác động trên đại số đa thức Pn theo công thức sau: Nếu f = f (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ) ∈ Pn và w = (wij ) ∈ G thì (wf )(x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ) = f (wx1 , . . . , wxn , wy1 , . . . , wyn ), trong đó wxj = n X wij xi , ∀j = 1, 2, . . . , n, wij yi , ∀j = 1, 2, . . . , n. i=1 wyj = n X i=1 Một đa thức f ∈ Pn được gọi là bất biến của G (hay G-bất biến) nếu w(f ) = f , với mọi w ∈ G, và f ∈ Pn được gọi là bất biến tương đối của G (hay G-bất biến tương đối) nếu w(f ) = c(w)f , với mọi w ∈ G, và c(w) ∈ F∗p . Tập hợp tất cả các phần tử G-bất biến của Pn được ký hiệu là PnG . Rõ ràng, PnG là đại số con của Pn . Hơn nữa, các tác động của A (p) và G lên đại số Pn là giao hoán với nhau nên đại số các bất biến PnG cũng là một A (p)-module. Chú ý 1.5.1. Đại số đa thức Fp [y1 , . . . , yn ] dưới tác động của mọi nhóm G ⊂ GL(n, Fp ) là một G-module. Vì tác động của A (p) và G lên đại số Fp [y1 , . . . , yn ] là giao hoán với nhau nên Fp [y1 , . . . , yn ]G là A (p)-module con của PnG .