Tài liệu Suy diễn thống kê và dự báo từ mô hình hồi quy tuyến tính

Header Page 1 of 161. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Mai Thị Tuyết SUY DIỄN THỐNG KÊ VÀ DỰ BÁO TỪ MÔ HÌNH HỒI QUY TUYẾN TÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page 1 of 161. Header Page 2 of 161. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Mai Thị Tuyết SUY DIỄN THỐNG KÊ VÀ DỰ BÁO TỪ MÔ HÌNH HỒI QUY TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán ứng dụng KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Trần Trọng Nguyên Hà Nội – Năm 2016 Footer Page 2 of 161. Header Page 3 of 161. Mục lục Danh sách bảng vi Danh sách hình vẽ vii Lời mở đầu 1 1 MÔ HÌNH HỒI QUY TUYẾN TÍNH BỘI 3 1.1 1.2 1.3 Khái niệm và các giả thiết cơ bản . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Các giả thiết cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 4 Ước lượng các tham số bằng OLS cho mô hình hồi quy bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Phương pháp OLS . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Định lý Gauss- Markov . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Các tính chất của ước lượng OLS . . . . . . . . 10 1.2.4 Tính vững của ước lượng OLS . . . . . . . . . . 11 Hệ số xác định bội R2 và hệ số xác định hiệu chỉnh R̄2 13 2 SUY DIỄN THỐNG KÊ VÀ DỰ BÁO TỪ MÔ HÌNH HỒI QUY 18 i Footer Page 3 of 161. Header Page 4 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.1 Mai Thị Tuyết QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA MỘT SỐ THỐNG KÊ MẪU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 18 BÀI TOÁN XÂY DỰNG KHOẢNG TIN CẬY CHO CÁC HỆ SỐ HỒI QUY . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Khoảng tin cậy cho một hệ số hồi quy: đánh giá tác động khi một biến độc lập thay đổi . . . . . 2.2.2 20 20 Khoảng tin cậy cho biểu thức của hai hệ số hồi quy; đánh giá tác động khi hai biến độc lập cùng 2.3 2.4 thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.3 Ý nghĩa của khoảng tin cậy . . . . . . . . . . . 24 2.2.4 Các yếu tố ảnh hưởng đến độ đài khoảng tin cậy 25 BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ VỀ HỆ SỐ HỒI QUY . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1 Kiểm định giả thuyết về một hệ số hồi quy . . . 26 2.3.2 Kiểm định giả thuyết về một ràng buộc giữa các hệ số hồi quy - kiểm định T . . . . . . . . . . . 30 2.3.3 Giá trị xác suất P của các thống kê kiểm định . 31 2.3.4 Kiểm định giả thuyết về nhiều ràng buộc của các hệ số hồi quy-kiểm định F . . . . . . . . . . 33 2.3.5 Kiểm định về sự phù hợp của hàm hồi quy . . . 37 2.3.6 So sánh kiểm định T và kiểm định F . . . . . . 39 DỰ BÁO GIÁ TRỊ CỦA BIẾN PHỤ THUỘC VÀ SAI SỐ DỰ BÁO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4.1 Dự báo giá trị của biến phụ thuộc . . . . . . . . 41 2.4.2 Đánh giá sai số dự báo . . . . . . . . . . . . . . 42 ii Footer Page 4 of 161. Header Page 5 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Thị Tuyết Kết luận chung Footer Page 5 of 161. 45 iii Header Page 6 of 161. LỜI CẢM ƠN Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “Suy diễn thống kê và dự báo từ mô hình hồi quy tuyến tính” với sự cố gắng của bản thân và sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ Toán ứng dụng, các bạn sinh viên khoa Toán em đã hoàn thành khóa luận này. Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong tổ Toán ứng dụng, trường đại học sư phạm Hà Nội 2 và các bạn sinh viên đã tạo điều kiện cho em trong suốt thời gian làm khóa luận. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn PGS.TS Trần Trọng Nguyên, người đã tận tình và đóng góp ý kiến quý báu cho em trong quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Mai Thị Tuyết Footer Page 6 of 161. Header Page 7 of 161. LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài này là do em thực hiện. Trong quá trình nghiên cứu em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng biết ơn. Đề tài này không trùng với các kết quả của tác giả khác. Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Mai Thị Tuyết Footer Page 7 of 161. Header Page 8 of 161. Danh sách bảng 1.1 Bảng số liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1 Các cặp giả thuyết và điều kiện để bác bỏ H0 tương ứng 28 2.2 Các cặp giả thuyết và điều kiện để bác bỏ H0 tương ứng 30 Footer Page 8 of 161. vi Header Page 9 of 161. Danh sách hình vẽ 1.1 Kết quả EVIEWS cho ví dụ 1.3.1 . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Kết quả hồi quy cho ví dụ 1.3.1 . . . . . . . . . . . . . 16 2.1 Khoảng tin cậy với độ tin cậy 95% từ các mẫu khác nhau 25 2.2 Giá trị tqs và xác suất P tương ứng . . . . . . . . . . . 32 2.3 Kết quả ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4 Kết quả sai số dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Footer Page 9 of 161. vii Header Page 10 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Thị Tuyết Lời mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Suy diễn thống kê là việc nghiên cứu mối quan hệ giữa một tổng thể và một mẫu được lấy ra từ tổng thể đó. Suy diễn thống kê và dự báo từ mô hình hồi quy tuyến tính là một phần quan trọng trong phân tích hồi quy. Nó giúp cho người nghiên cứu kiểm chứng nhiều giả thuyết quan trọng và đưa ra các dự báo trên cở sở phân tích khoa học về các dữ liệu đã thu thập được để có thêm thông tin chắc chắn cho việc ra quyết định về chính sách hay giải pháp nào đó. Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, cùng sự giúp đỡ tận tình của PGS.TS Trần Trọng Nguyên, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài khóa luận tốt nghiệp: “Suy diễn thống kê và dự báo từ mô hình hồi quy tuyến tính”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu mô hình hồi quy tuyến tính (bội), phương pháp ước lượng OLS, bài toán suy diễn thống kê về giá trị của các hệ số hồi quy tổng thể và bài toán dự báo cho giá trị của biến phụ thuộc tại các giá trị cụ thể của biến độc lập với sự hỗ trợ của phần mềm Eviews. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: suy diễn thống kê và dự báo từ mô hình hồi quy tuyến tính. - Phạm vi nghiên cứu: mô hình hồi quy tuyến tính (bội), các phương pháp ước lượng và kiểm định giả thuyết về các hệ số của mô hình hồi quy ứng dụng trong việc trình bày bài toán suy diễn thống kê và bài toán dự báo trong phân tích hồi quy. 4. Phương pháp và công cụ nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tổng hợp tài liệu. Footer Page 10 of 161. 1 Header Page 11 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Thị Tuyết - Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm với dữ liệu thực tế. - Sử dụng phần mềm Eviews 4.0 5. Cấu trúc khóa luận Nội dung khóa luận gồm hai chương: Chương 1. Mô hình hồi quy tuyến tính bội: chương này trình bày một số khái niệm và kiến thức cơ bản sẽ được sử dụng trong chương sau. Chương 2. Suy diễn thống kê và dự báo từ mô hình hồi quy tuyến tính: chương này trình bày bài toán suy diễn thống kê và trình bày bài toán dự báo sử dụng mô hình hồi quy. Footer Page 11 of 161. 2 Header Page 12 of 161. Chương 1 MÔ HÌNH HỒI QUY TUYẾN TÍNH BỘI Mục đích của chương này là trình bày mô hình hồi quy tuyến tính dưới dạng tổng quát- còn được gọi là mô hình hồi quy bội. Trong mô hình hồi quy bội, biến phụ thuộc có thể được giải thích bởi nhiều biến độc lập, điều này cho phép đánh giá tác động riêng phần của một biến độc lập lên biến phụ thuộc- là một vấn đề cốt lõi khi đánh giá tác động trong kinh tế- xã hội, khi mà các biến số thường có tác động chồng chéo nhau. 1.1 1.1.1 Khái niệm và các giả thiết cơ bản Khái niệm Mô hình hồi quy tuyến tính k biến có thể viết dưới dạng sau: Y = β1 + β2 X2 + ... + βk Xk + u. (1.1) Trong đó Y là biến phụ thuộc và các Xj (j = 2, 3, ..., k) là các biến độc lập.Ta biết rằng dù có đưa bao nhiêu biến độc lập vào mô hình thì vẫn tồn tại những yếu tố có tác động đến biến phụ thuộc mà chúng Footer Page 12 of 161. 3 Header Page 13 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Thị Tuyết ta hoặc không có quan sát của chúng, hoặc không thể và cũng không muốn đưa vào mô hình như là các biến s, do đó với mô hình k biến vẫn tồn tại sai số ngẫu nhiên u, đại diện cho các yếu tố ngoài các biến Xj (j = 2 − k),có tác động đến Y nhưng không đưa vào mô hình như là biến số. Sai số ngẫu nhiên u trong mô hình hồi quy bội là yếu tố đại diện cho các yếu tố có tác động đến Y nhưng không đưa vào mô hình như các biến số. 1.1.2 Các giả thiết cơ bản Với mô hình (1.1), xét ra các giả thiết sau: Giả thiết 1 : Việc ước lượng được dựa trên cơ sở mẫu ngẫu nhiên. Giả thiết này tương tự như trong mô hình hồi quy hai biến: các cá thể được chọn một cách ngẫu nhiên, rồi từ đó thu thập các chỉ tiêu của các cá thể này. Chẳng hạn khi xem xét vấn đề năng suất lao động thì người lao động được lựa chọn một cách ngẫu nhiên từ tổng thể, sau đó thu thập các số liệu từ những người được chọn trong mẫu về năng suất, trình độ học vấn, tuổi ... Giả thiết 2 : Kỳ vọng của sai số ngẫu nhiên tại mỗi giá trị (X2i , ..., Xki ) bằng 0: E(ui |X2i ,...,Xki ) = 0 . Giả thiết 3 : Phương sai của sai số ngẫu nhiên tại các giá trị (X2i , ..., Xki ) đều bằng nhau:  V ar(u X2i ,...,Xki ) = σ 2 . Footer Page 13 of 161. 4 Header Page 14 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Thị Tuyết Giả thiết 4 : Giữa các biến độc lập Xj (j = 2, ..., k) không có mối quan hệ đa cộng tuyến hoàn hảo, nghĩa là không tồn tại các hằng số λ2 , ..., λk không đồng thời bằng 0 sao cho: λ2 X2 + ... + λk Xk = 0. Ý nghĩa của các hệ số hồi quy Các hệ số hồi quy trong mô hình hồi quy bội còn được gọi là hệ số hồi quy bội. Với giả thiết 2 ta có: E(Y |X2 ,...,Xk ) = β1 + β2 X2 + ... + βk Xk . Để tìm hiểu ý nghĩa các hệ số góc βj (j ≥ 2), ta lấy đạo hàm riêng hai vế biểu thức trên theo Xj (giả định Xj là biến liên tục):   ∂E(Y X2 ,..., Xk ) ∂Xj = βj , (j = 2, ..., k). Hệ số góc βj (j = 2 − k) thể hiện tác động riêng phần của biến Xj lên giá trị trung bình của biến phụ thuộc, là tác động của biến Xj lên giá trị trung bình của biến phụ thuộc khi các yếu tố Xs (s 6= j) là không đổi. Do đó trong mô hình hồi quy bội, các hệ số góc còn được gọi là hệ số hồi quy riêng (partial coefficient). Mô hình hồi quy bội cho phép đánh giá tác động của một biến độc lập lên biến phụ thuộc khi các biến số khác trong mô hình hồi là không đổi. Điều này cho thấy sự ưu việt quan trọng của mô hình hồi quy bội trong phân tích kinh tế xã hội: mặc dù trong thực tế, chúng ta không cần (và không thể) “giữ nguyên các yếu tố khác không đổi”, nhưng vẫn có thể ước lượng được tác động riêng phần của một biến số như trong điều kiện “giữ nguyên một số các yếu tố khác không đổi”. Footer Page 14 of 161. 5 Header Page 15 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.2 Mai Thị Tuyết Ước lượng các tham số bằng OLS cho mô hình hồi quy bội 1.2.1 Phương pháp OLS Xét mô hình k biến: Y = β1 + β2 X2 + ... + βk Xk + u. Giả sử có một mẫu quan sát với các giá trị thực tế là (Yi , X2i , ..., Xki (i = 1, 2, ..., n) và ta sẽ sử dụng thông tin từ mẫu này để xây dựng các ước lượng cho các hệ số βj (j = 1, 2, ..., k) ký hiệu bởi β̂j (j = 1, 2, ..., k) tương ứng. Từ các giá trị ước lượng này có thể viết hàm hồi quy mẫu như sau: Ŷ = β̂1 + β̂2 X2 + ... + β̂k Xk . Tại mỗi quan sát i, hàm hồi quy mẫu này được viết thành: Ŷi = β̂1 + β̂2 X2i + ... + β̂k Xki . Trong đó Ŷi là giá trị ước lượng cho Yi và sai lệch giữa hai giá trị này được gọi là phần dư: ei = Yi − Ŷi . Phương pháp OLS nhằm xác định các giá trị β̂j (j = 1, 2, ..., k) sao cho tổng bình phương các phần dư là bé nhất: n X e2i = X (Yi − β1 − β2 X2 − ... − βk Xk )2 (1.2) i=1 = M inβ̃1 ,...,β̃k Footer Page 15 of 161. nX 2 (Yi − β̃1 − β̃2 X2 − ... − β̃k Xk ) 6 o . Header Page 16 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Thị Tuyết Khi đó dễ thấy rằng các giá trị là nghiệm của hệ k phương trình sau:  P n   (Yi − β̂1 − β̂2 X2i − ... − β̂k Xki ) = 0   i=1   n    P X2i (Yi − β̂1 − β̂2 X2i − ... − β̂k Xki ) = 0 i=1    ......    n P    Xki (Yi − β̂1 − β̂2 X2i − ... − β̂k Xki ) = 0 i=1 1.2.2 Định lý Gauss- Markov Định lý 1.1. Khi các giả thiết 1- giả thiết 4 thỏa mãn thì các ước lượng thu được từ phương pháp OLS là các ước lượng tuyến tính, không chệch và có phương sai nhỏ nhất trong lớp các ước lượng tuyến tính không chệch. Khi các giả thiết 1- giả thiết 4 được thỏa mãn thì ước lượng OLS là ước lượng tốt nhất trong lớp các ước lượng tuyến tính không chệch và thường viết tắt là BLUE (best linear unbiased estimator). Ước lượng tuyến tính: β̃j được gọi là ước lượng tuyến tính cho hệ số hồi quy nếu nó được biểu diễn dưới dạng là tổ hợp tuyến tính của các giá trị của biến phụ thuộc: β̃j = w1 Y1 + ... + wn Yn . Trong đó wi là các hằng số nào đó và Yi là các giá trị trong mẫu của biến phụ thuộc. Như vậy định lý Gauss- Markov khẳng định rằng các ước lượng OLS là ước lượng tuyến tính. Ước lượng không chệch: Ước lượng β̃j được gọi là ước lượng không chệch của nếu βj E(β̃j ) = βj . Như vậy định lý Gauss- Markov khẳng định rằng: E(β̂j ) = βj , j = 2, 3, ..., k. Phương sai nhỏ nhất: Như đã chỉ ra phần trên, khi β̂j là ước lượng không chệch của βj , thì var(β̂j ) thể hiện độ chính xác của ước lượng, Footer Page 16 of 161. 7 Header Page 17 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Thị Tuyết var(β̂j ) càng nhỏ có nghĩa là độ chính xác càng lớn. Vì vậy trong các ước lượng không chệch, ước lượng có phương sai nhỏ hơn sẽ được ưa thích hơn. Định lý Gauss- Markov khẳng định rằng khi các giả thiết 1 − 4 thỏa mãn thì ước lượng thu được từ phương pháp OLS là có phương sai bé nhất trong số các ước lượng tuyến tính không chệch:   var(β̂j OLS ≤ var(β̃j ) với β̃j là ước lượng tuyến tính không chệch bất kỳ. Như vậy nếu các giả thiết 1 − 4 được thỏa mãn thì ước lượng OLS là ước lượng tốt nhất trong số các ước lượng có dạng tuyến tính và ta không cần tìm đến bất kỳ ước lượng tuyến tính nào khác. Điều này cũng có nghĩa là khi một trong các giả thiết này không được thỏa mãn thì các ước lượng OLS sẽ không còn là ước lượng tôt nhất nữa. Độ chính xác của các ước lượng Khi các giả thiết 1 − 4 thỏa mãn thì β̂j là các ước lượng không chệch của βj và var(β̂j ) chính là thước đo độ chính xác của các ước lượng này. Bây giờ xem xét công thức để ước lượng var(β̂j ). Phương sai của các hệ số ước lượng được tính theo công thức: σ2 P . var(β̂j ) = (1 − Rj2 ) x2ji (1.3) Trong đó Rj2 là hệ số xác định của mô hình hồi quy Xj theo hệ số chặn và các biến độc lập còn lại trong mô hình và xji = Xji − X̄j . Chẳng hạn Rj2 là hệ số xác định của mô hình hồi quy sau đây: X2 = α1 + α2 X3 + ... + αk Xk + v. Trong đó v là sai số ngẫu nhiên trong mô hình hồi quy phụ này. Footer Page 17 of 161. 8 Header Page 18 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Thị Tuyết Trong công thức R2 = r2 (Y, Ŷ ), do σ 2 là tham số chưa biết nên khi tính toán được thay bởi ước lượng (không chệch) của nó là σ̂ 2 , trong đó: n P σ̂ 2 = j=1 e2i n−k . (1.4) Với các giả thiết 1 − 4 thì được tính theo công thức (1.4) chính là ước lượng không chệch của tham số tổng thể σ 2 . Sai số chuẩn của se(β̂j ) được ký hiệu bởi se(β̂j ) và được tính bởi công thức: s se(β̂j ) = σ̂ 2 P = (1 − Rj2 ) x2ji s RSS/(n − k) P , j = (2, 3, ..., k). (1.5) (1 − Rj2 ) x2ji Các yếu tố xác định độ chính xác của ước lượng Từ công thức (1.3) ta thấy độ chính xác của các β̂j phụ thuộc vào ba thành phần sau đây: Thứ nhất, nó phụ thuộc vào phương sai của yếu tố ngẫu nhiên σ 2 , phương sai này càng bé thì độ chính xác của các ước ượng càng lớn. Ta biết rằng u thể hiện cho các yếu tố có tác động đến biến phụ thuộc Y nhưng không được đưa vào mô hình như là các biến số, vậy ta kỳ vọng rằng việc giảm bớt các thành phần trong u sẽ giúp giảm phương sai của nó. Điều này có nghĩa là việc đưa thêm các biến số thích hợp vào mô hình sẽ có khả năng giúp làm giảm σ 2 và do đó giúp làm tăng độ chính xác của các β̂j . Thành phần thứ hai trong (1.3) là 1 : (1−Rj2 ) khi Rj2 càng lớn thì giá trị này càng lớn và khi xấp Rj2 xỉ 1 thì giá trị này sẽ lớn rất nhanh, làm cho phương sai rất lớn và tiến dần đến +∞ một cách nhanh chóng, do đó thành phần này còn được gọi là nhân tử phóng đại phương sai ( VIF: Footer Page 18 of 161. 9 Header Page 19 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Thị Tuyết variance inflation factor) . V IFj = 1 . (1 − Rj2 ) (1.6) Nhớ lại rằng Rj2 là hệ số xác định trong mô hình hồi quy phụ của biến độc lập Xj theo hệ số chặn và theo các biến độc lập còn lại trong mô hình, nó thể hiện mối quan hệ tuyến tính giữa biến Xj và các biến độc lập còn lại. Do đó nếu quan hệ tuyến tính này càng chặt thì Rj2 càng lớn và độ chính xác của các ước lượng càng giảm. n P Thành phần còn lại trong công thức (1.3) là x2ji , giá trị này càng i=1 lớn thì độ chính xác của ước lượng càng lớn. Do đó nếu giá trị của biến Xj trong mẫu càng khác biệt thì phương sai của hệ số ước lượng càng nhỏ. Như vậy việc đưa thêm một biến độc lập bất kỳ vào mô hình thì thông thường sẽ làm thay đổi không chỉ vào giá trị ước lượng của các hệ số hồi quy mà còn vào phương sai của các ước lượng, thông qua cả ba thành phần trong công thức (1.3). Tuy nhiên cũng sẽ có một số trường hợp khi mà việc đưa thêm biến số vào không làm thay đổi kết quả ước lượng. 1.2.3 Các tính chất của ước lượng OLS Xét mô hình hồi quy bội: Y = β1 + β2 X2i + β3 X3i + ... + βk Xki + ui . Mô hình hồi quy bội có các tính chất sau: • Đường hồi quy bội đi qua điểm (Ȳ , X̄2 , X̄3 , ..., X̄k ). • ¯ˆY = Ȳ . • n P ui = 0. i=1 Footer Page 19 of 161. 10 Header Page 20 of 161. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Mai Thị Tuyết • ui không tương quan với Xpi , (p = 2, 3, ..., k), n P ui Xpi = 0. i=1 • Các ui không tương quan với Ŷi : n P ui Ŷi = 0. i=1 • Các β̂j là các ước lượng tuyến tính không chệch và có phương sai nhỏ nhất cho các βi (i = 1, k). 1.2.4 Tính vững của ước lượng OLS Định lý 1.2. Định lý Gauss – Markov cho ta biết rằng khi các giả thiết 1 − 4 thỏa mãn thì ước lượng OLS là các ước lượng tốt nhất trong lớp các ước lượng tuyến tính không chệch. Tính chất vững của ước lượng phản ánh chất lượng của ước lượng khi mẫu lớn, vì vậy tính chất này còn gọi là tính chất với mẫu lớn của ước lượng. Để làm rõ ý nghĩa ứng dụng của khái niệm này, hãy xem xét trường hợp khi mà θ̂ không phải là ước lượng vững của θ. Khi đó dù kích thước mẫu có lớn đến đâu thì chúng ta cũng không kỳ vọng rằng ước lượng θ̂ thu được từ mẫu đó là xấp xỉ với giá trị chưa biết θ. Về mặt lý thuyết, trong trường hợp ước lượng là không chệch thì vẫn có thể thu được giá trị gần đúng cho θ kể cả khi ước lượng là không vững, bằng cách lấy ngẫu nhiên nhiều mẫu cùng kích thước và lấy giá trị trung bình của các ước lượng θ thu được từ mẫu này: θ̂∗ = θ̂(1) +θ̂(2) +...+θ̂(m) . m Trong đó θ̂(j) là ước lượng không chệch cho thu được từ mẫu thứ j (j = 1, 2, ..., m). Khi m khá lớn thì theo định lý giới hạn trung tâm, θ̂∗ sẽ là một ước lượng tốt của θ. Tuy nhiên trong thực hành, các nhà kinh tế lượng thường chỉ có một mẫu, do đó tính vững của ước lượng vẫn là một yêu cầu cơ bản. Trong trường hợp ước lượng là chệch mà lại không vững thì θ̂∗ nói trên sẽ cũng không phải là ước lượng tốt, do đó yêu cầu về tính vững lại Footer Page 20 of 161. 11