Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
BÀI GiẢNG MÔN HỌC
SỨC BỀN VẬT LiỆU
GV: TRẦN HỮU HUY
Tp.HCM, tháng 10 năm 2009
(Lưu hành nội bộ)
1
CHƯƠNG 8:
ỔN ĐỊNH THANH THẲNG CHỊU NÉN
KHÁI NiỆM CHUNG
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI
PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH
CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
BÀI TẬP
2
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
1
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
KHÁI NiỆM CHUNG
Một trong những nhiệm vụ cơ bản của môn Sức bền vật
liệu là đề ra phương pháp tính toán độ ổn định của các bộ
phân công trình dưới tác dụng của ngoại lực.
Có thể hiểu, ổn định là khả năng duy trì hình thức biến
dạng ban đầu khi bị nhiễu. Trong thực tế, nhiễu có thể là
các yếu tố sai lệch so với sơ đồ tính như độ cong ban
đầu, sự nghiêng hoặc lệch tâm của lực tác dụng....
3
Để có khái niệm về ổn định, ta hãy xét ví dụ sau:
- Quả cầu đặt ở mặt lõm, nếu ta đẩy nó rời khỏi vị trí cân
bằng thì nó sẽ trở lại vị trí ban đầu ngay sau khi ta bỏ lực
đi. Ta nói quả cầu ở trạng thái cân bằng ổn định.
- Quả cầu đặt ở mặt lồi, khi ta đẩy nó ra khỏi vị trí cân
bằng thì nó không trở về vị trí ban đầu nữa. Ta nói quả
cầu ở trạng thái cân bằng không ổn định.
- Quả cầu nằm trên mặt phẳng, quả cầu đến vị trí mới và
giữ nguyên ở vị trí đó khi rời khỏi vị trí cân bằng cũ, ta nói
quả cầu ở trạng thái cân bằng phiếm định
4
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
2
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
KHÁI NiỆM CHUNG
P
Điều tương tự cũng xảy ra đối với một hệ đàn hồi:
Q
- Nếu lực P < Pth, thanh sẽ phục hồi lại trạng thái
biến dạng thẳng ban đầu. Sự cân bằng của trạng
thái biến dạng thẳng ban đầu được gọi là ổn định.
P
- Nếu P > Pth, chuyển vị ngang δ sẽ tăng lên và
thanh sẽ cong thêm. Sự cân bằng của biến dạng
thẳng ban đầu được gọi là không ổn định.
- Nếu lực P = Pth, thanh sẽ giữ nguyên chuyển vị δ
và biến dạng cong sau khi bị nhiễu. Sự cân bằng
của biến dạng ban đầu được gọi là phiếm định.
5
KHÁI NiỆM CHUNG
- Như vậy, nếu P > Pth, thì thanh cân bằng không ổn định,
thanh sẽ chuyển sang hình thức biến dạng mới bị uốn
cong, khác trước về tính chất, bất lợi về điều kiện chịu lực.
- Các kết cấu khác đều có thể bị mất ổn định như thanh
chịu nén, dầm chịu uốn, tấm vỏ chịu nén hoặc xoắn...
- Khi xảy ra mất ổn định dù chỉ một thanh cũng dẫn đến sự
sụp đổ của toàn bộ kết cấu. Tính chất phá hoại do mất ổn
định là đột ngột và nguy hiểm.
- Trong chương này chỉ giới thiệu bài toán ổn định thanh
chịu nén đúng tâm.
6
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
3
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Thanh hai đầu khớp
Xét thanh thẳng hai đầu liên kết khớp chịu lực nén đúng
tâm Pth. Khi bị nhiễu, thanh sẽ bị uốn cong trong mặt
phẳng có độ cứng nhỏ nhất. Ta xác định lực tới hạn đó.
Pth
h
1
y(z)
1
z
b
L
1-1
y(z)
Pth
M
Pth
z
7
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Thanh hai đầu khớp
- Từ điều kiện cân bằng của đoạn thanh, ta xác định
được mômen uốn trên mặt cắt đó:
(a)
M x ( z ) = Pth y ( z )
- Giả thiết rằng khi thanh mất ổn định, vật liệu thanh làm
việc trong giai đoạn đàn hồi và chuyển vị là bé. Gọi độ
cứng chống uốn trong mặt phẳng uốn cong là EImin.
- Phương trình vi phân đường đàn hồi:
y '' ( z ) = −
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
Mx (z)
EI min
(b)
8
4
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Thanh hai đầu khớp
- Thay (a) vào (b) ta được:
y '' ( z ) = −
Đặt:
α2 =
Pth y ( z )
P
⇒ y '' ( z ) + th y ( z ) = 0
EI min
EI min
Pth
Ta viết lại phương trình trên như sau:
EI min
(c)
y '' ( z ) + α 2 y ( z ) = 0
Nghiệm tổng quát của phương trình (c) có dạng:
y ( z ) = C1 sin αz + C 2 cosαz
(d)
9
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Thanh hai đầu khớp
Trong đó, C1 và C2 là các hằng số tích phân:
- Với: z = 0 ⇒ y ( z ) = y ( 0 ) = 0 ⇒ C1 = 0
- Với: z = L ⇒ y ( z ) = y ( L ) = 0 ⇒ C 2 sin αL = 0
Nếu C2 = 0 thì y(z) = 0 với mọi biến z, điều này sai.
Do đó: sin αL = 0 ⇒ αL = nπ
Với n = 1, 2, 3, …
10
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
5
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Thanh hai đầu khớp
Suy ra: α =
nπ
L
Với n = 1, 2, 3, …
⇒ Pth = α 2 EI min =
n 2 π2 EI min
L2
2
mà: α =
Pth
EI min
Với n = 1, 2, 3, … (8.1)
Trong thực tế, khi lực nén đạt đến giá trị tới hạn nhỏ nhất,
ứng với n=1 thì thanh đã bị cong. Do đó, các giá trị ứng
với n>1 không còn ý nghĩa. Nên, công thức viết lại như
sau:
π2 EI min
(8.2)
Pth =
2
L
11
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Thanh có liên kết khác
Khi xác định lực tới hạn cho các thanh có liên kết khác
nhau ở hai đầu bằng phương pháp bên trên, ta đều thu
được công thức có dạng chung giống công thức (8.1).
Pth =
n 2 π2 EI min
L2
Với n là số nửa sóng hình sin của đường đàn hồi khi
thanh bị mất ổn định
2
Đặt: μ = 1
n
⇒ Pth =
π EI min
( μL )
2
(8.3)
Trị số μL được gọi là chiều dài quy đổi của thanh.
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
12
6
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Thanh có liên kết khác
Sau đây là một số dạng mất ổn định và hệ số quy đổi của
thanh có liên kết khác nhau thường gặp:
μ
2
1
0,7
0,5
1
2
13
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Ứng suất tới hạn
Ứng suất trong thanh thẳng chịu nén đúng tâm bởi lực
Pth gọi là ứng suất tới hạn được xác định theo công thức:
Pth π2 EI min π2 E.i 2min
σ th =
=
=
2
A ( μL )2 A
( μL )
Trong đó:
i min =
(8.4)
I min
A
Bán kính quán tính của tiết diện theo phương có độ cứng
chống uốn là nhỏ nhất.
14
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
7
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Ứng suất tới hạn
Đặt:
λ=
μL
i min
Gọi là độ mảnh của thanh
Công thức (8.4) được viết lại như sau:
π2 E
σ th = 2
λ
(8.5)
Độ mảnh của thanh không có thứ nguyên, phụ thuộc vào
chiều dài thanh, điều kiện liên kết biên và đặc trưng hình
học của tiết diện, thanh có độ mảnh càng lớn thì càng dễ
mất ổn định.
15
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Giới hạn sử dụng công thức Euler
Công thức Euler được xây dựng trên cơ sở phương trình
vi phân đường đàn hồi, vì vậy chỉ áp dụng được khi vật
liệu còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi, tức là ứng suất
trong thanh nhỏ hơn giới hạn tỷ lệ:
π2 E
σ th = 2 ≤ σ tl
λ
Đặt λ 0 =
hay
λ≥
π2 E
Thì điều kiện áp dụng là
σ tl
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
π2 E
σ tl
λ ≥ λ0
16
8
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Giới hạn sử dụng công thức Euler
Trong đó λ0 được gọi là độ mảnh giới hạn và là một hằng
số đối với mỗi loại vật liệu:
- Đối với thép xây dựng λ0 = 100
- Đối với gỗ λ0 = 75
- Đối với gang λ0 = 80
Nếu thanh có λ > λ0 thì được gọi là thanh có độ mảnh
lớn. Do đó, công thức Euler chỉ áp dụng được cho thanh
có độ mảnh lớn.
17
ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI
Giới thiệu
Khi ứng suất tới hạn trong thanh lớn hơn giới hạn tỉ lệ thì
cần thiết phải có công thức khác để tính lực tới hạn.
σ
σch
Iasinski
σt l
Euler
0
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
λ1
λ0
λ
18
9
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI
Công thức thực nghiệm Iasinski
Nếu thanh có độ mảnh vừa λ1 < λ < λ0, thì áp dụng công
thức sau:
σ th = a − λb
Với a và b là hằng số phụ thuộc vào vật liệu, được xác
định bằng thực nghiệm
- Đối với thép a = 33,6(kN/cm2); b = 0,147 (kN/cm2)
- Đối với gỗ a = 2,93 (kN/cm2); b = 0,0194 (kN/cm2)
- Độ mảnh λ1 được xác định từ công thức:
σ1 =
a − σ tl
b
19
ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI
Công thức thực nghiệm Iasinski
Nếu thanh có độ mảnh bé λ < λ1, lúc này thanh không bị
mất ổn định mà đạt đến trạng thái phá hoại của vật liệu
Vì vậy:
- Với σ th = σ b
Đối với vật liệu giòn
- Với σ th = σch Đối với vật liệu dẻo
20
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
10
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI
Công thức lý thuyết môđun đàn hồi tiếp tuyến
Ta có đường cong quan hệ giữa ứng suất và biến dạng:
Môđun đàn hồi tiếp tuyến
được định nghĩa là độ dốc
của tiếp tuyến của đường
cong quan hệ ứng suất và
biến dạng.
Et =
dσ
dε
E1
σth
σch
A
σt l
E
B
ε
0
21
ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI
Công thức lý thuyết môđun đàn hồi tiếp tuyến
Khi vật liệu làm việc ngoài miền đàn hồi thì môđun tiếp
tuyến là một hàm theo ứng suất:
Bằng cách thiết lập công thức giống như cách của Euler
nhưng môđun đàn hồi E được thay bằng môđun đàn hồi
tiếp tuyến Et
π2 E I
Pth =
t min
2
( μL )
Ứng suất tới hạn được xác định qua công thức:
π2 E t
σ th = 2
λ
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
22
11
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN
ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
Phương pháp tính:
Một thanh chịu nén cần thỏa mãn hai điều kiện:
- Điều kiện bền:
P
σ
σ=
≤ [ σ ]n Với [ σ]n = 0
Ag
n
n: hệ số an toàn về bền. Ag: diện tích giảm yếu của t/diện.
- Điều kiện ổn định:
σ th
P
≤ [ σ ]od
Với [ σ]od =
k
A
23
k: hệ số an toàn về ổn định. A: diện tích nguyên của t/diện.
σ=
PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN
ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
Phương pháp tính:
Để thuận tiện cho tính toán thực hành, người ta đưa vào
khái niệm hệ số uốn dọc hoặc hệ số giảm ứng suất ϕ
được định nghĩa như sau:
ϕ=
Vì
σ th
<1
σ0
Và
Từ đó ta được:
[ σ]od
[ σ]n
n
<1
k
=
σ th n
σ0 k
nên
[ σ]od = ϕ [ σ]n
ϕ <1
hay
σ=
P
≤ [ σ ]n
ϕA
24
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
12
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN
ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
Bảng hệ số ϕ = ϕ(E, λ, k)
Trị số ϕ đối với
Độ mảnh λ
Thép số 2, 3,
4
Thép số 5
Thép CΠK
Gang
Gỗ
0
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
10
0,99
0,98
0,97
0,97
0,99
20
0,96
0,95
0,95
0,91
0,97
30
0,94
0,92
0,91
0,81
0,93
40
0,92
0,89
0,87
0,69
0,87
50
0,89
0,86
0,83
0,54
0,80
0,71
60
0,86
0,82
0,79
0,44
70
0,81
0,76
0,72
0,34
0,60
80
0,75
0,70
0,65
0,26
0,48
90
0,69
0,62
0,55
0,20
0,38
100
0,60
0,51
0,43
0,16
0,31
25
PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN
ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
Bảng hệ số ϕ = ϕ(E, λ, k)
Trị số ϕ đối với
Độ mảnh λ
Thép số 2, 3,
4
Thép số 5
Thép CΠK
Gang
Gỗ
110
0,52
0,43
0,35
0,25
120
0,45
0,36
0,30
0,22
130
0,40
0,33
0,26
0,18
140
0,36
0,29
0,23
0,16
150
0,32
0,26
0,21
0,14
160
0,29
0,24
0,19
0,12
170
0,26
0,21
0,17
0,11
180
0,23
0,19
0,15
0,10
190
0,21
0,17
0,14
0,09
200
0,19
0,16
0,13
0,08
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
26
13
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN
ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
Phương pháp tính:
Đối với bài toán ổn định cũng có ba bài toán cơ bản:
- Bài toán kiểm tra ổn định:
P
σ = ≤ ϕ [ σ]n
A
- Bài toán xác định tải trọng cho phép:
[ P ] ≤ ϕA [σ]n
Trong hai bai toán trên, vì tiết diện thanh đã biết bên có thể
tính được Imin, rồi từ đó tìm được λ, rồi tra bảng tìm được ϕ.
27
PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN
ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
Phương pháp tính:
Đối với bài toán ổn định cũng có ba bài toán cơ bản:
P
- Bài toán xác định kích thước tiết diện: A ≥
ϕ [ σ ]n
Việc tìm A phải tìm đúng dần, vì ta có hai biến A và ϕ chưa
biết. Ta có thể tiến hành như sau:
P
A
≥
⇒ λ0
0
Giả thiết ϕ0 = 0,5, tính được:
ϕ0 [ σ]n
Từ λ0 tra bảng được λ0’. Nếu λ0 khác λ0’ thì giả thiết lại λ1:
λ 0 + λ 0'
P
λ1 =
⇒ A1 =
⇒ λ1 ⇒ ϕ1'
2
ϕ1 [ σ]n
28
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
14
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN
ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
Chọn mặt cắt ngang và vật liệu hợp lý
Theo công thức tính lực tới hạn:
- Trong miền đàn hồi: Pth =
- Ngoài miền đàn hồi: Pth =
π2 EI min
( μL )
2
π2 E t I min
( μL )
2
Nếu như chiều dài là liên kết hai đầu thanh đã biết trước,
để tăng Pth ta có các cách sau:
29
PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN
ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
Chọn mặt cắt ngang và vật liệu hợp lý
Nếu như chiều dài là liên kết hai đầu thanh đã biết trước,
để tăng Pth ta có các cách sau:
- Chọn vậy liệu có môđun đàn hồi lớn, việc này chỉ áp
dụng đối với thanh làm việc ngoài miền đàn hồi.
- Cấu tạo mặt cắt ngang rỗng để tăng mômen quán tính của
tiết diện nhưng phải đảm bảo không để mất ổn định cục bộ.
- Nếu tiết diện có liên kết hai phương giống nhau thì cấu tạo
tiết diện có Ix = Iy. Đồng thời, nếu liên kết hai phương là
khác nhau thì nên cấu tạo sao cho λx = λy.
30
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
15
- Xem thêm -