Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
BÀI GiẢNG MÔN HỌC
SỨC BỀN VẬT LiỆU 2
GV: TRẦN HỮU HUY
Tp.HCM, tháng 10 năm 2009
1
CHƯƠNG 6:
XOẮN THUẦN TÚY THANH THẲNG
KHÁI NiỆM CHUNG
XOẮN THANH TiẾT DiỆN TRÒN
XOẮN THANH TiẾT DiỆN CHỮ NHẬT
ĐiỀU KiỆN BỀN VÀ ĐiỀU KiỆN CỨNG
BÀI TẬP
2
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
1
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
KHÁI NiỆM CHUNG
Thanh chịu xoắn thuần túy khi trên mọi mặt cắt ngang của
thanh chỉ có một thành phần nội lực là mômen xoắn Mz
Quy ước dấu: Mz mang dấu dương khi nhìn vào mặt cắt
thấy quay thuận chiều kim đồng hồ và ngược lại.
Trong trường hợp chỉ có mômen xoắn ngoại lực tác
dụng, ta thấy dấu của nội lực là dương khi nhìn vào đầu
thanh thấy mômen xoắn ngoại lực quay thuận chiều kim
đồng hồ.
3
KHÁI NiỆM CHUNG
Ngoại lực gây xoắn là mômen xoắn phân bố, mômen
xoắn tập trung tác dụng trong mặt phẳng thẳng góc với
trục thanh.
Biểu đồ mômen xoắn
A
B
10(kNm)
1m
10
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
+
C
15(kNm)
1m
+
25 M (kNm)
z
4
2
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
KHÁI NiỆM CHUNG
Khi tính toán các trục truyền động, thường ta chỉ biết
công suất truyền của motơ bằng mã lực hay bằng kilowat
và tốc độ quay (vòng/phút), do đó cần chuyển đổi công
suất truyền ra ngẫu lực xoắn tác dụng lên trục.
Giả sử ngẫu lực xoắn M0(Nm) tác dụng làm trục quay
một góc α(rad) trong thời gian t(s).
Công sinh ra: A = M 0 α
Công suất (Nm/s):
W=
ω: vận tốc gốc (rad/s)
A M 0α
=
= M 0ω
t
t
5
KHÁI NiỆM CHUNG
Mà:
ω=
2πn πn
=
60
30
Từ đó ta có: W = M 0
n: số vòng quay / phút
πn
30W
⇒ M0 =
πn
30
- T/hợp công suất tính bằng mã lực: 1 mã lực = 750 Nm/s.
M0 =
30.750.W
W
W
= 7162 ( Nm ) = 7,162 ( kNm )
πn
n
n
- T/hợp công suất tính bằng kilowat: 1kW = 1020 Nm/s.
M0 =
30.1020.W
W
W
= 9740 ( Nm ) = 9, 74 ( kNm )
πn
n
n
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
6
3
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN
Thí nghiệm thanh tròn chịu xoắn
Xét thanh tròn chịu xoắn thuần túy như hình vẽ.
Mz
Mz
Sau khi thanh chịu xoắn bởi ngoại lực Mz , thanh bị biến
dạng, người ta nhận thấy những đường tròn trước và sau
khi biến dạng vẫn vuông góc với trục thanh.
7
XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN
Các giả thiết:
Từ những nhận xét đó, người ta đề ra các giả thiết sau:
- Trong quá trình biến dạng, mặt cắt ngang vẫn phẳng và
thẳng góc với trục thanh.
- Trong quá trình biến dạng, các mặt cắt ngang không
chuyển vị theo phương trục thanh, mọi bán kính vẫn thẳng
và có chiều dài không đổi.
- Ngoài ra, người ta còn thừa nhận rằng vật liệu làm việc
trong giai đoạn đàn hồi và tuân theo định luật Hooke.
8
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
4
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN
Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn
Có thể nhận thấy rằng, thanh chịu uốn thuần túy chỉ là sự
xoay tương đối giữa các mặt cắt ngang quanh trục z.
Để xét biến dạng xoắn của một phân tố tại một điểm bất kỳ
cách tâm một bán kính ρ, ta tách bởi ba cặp mặt cắt sau:
- Hai mặt cắt (1-1) và (2-2) thẳng góc với trục thanh, cách
nhau một đoạn dz.
- Hai mặt cắt chứa trục hợp nhau một góc dα.
- Hai mặt cắt trụ song song trục z, bán kính ρ và (ρ+dρ).
9
XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN
Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn
1
2
1
2
dϕ
B'
0
F
γ
E
A
C'
C
G
1
2
dz
D'
H
ρ
B
A'
z
0
dρ
D
Gọi dϕ là góc hợp giữa OAB và OA’B’ (góc xoắn tương đối
10
giữa hai tiết diện lân cận cách nhau một đoạn dz).
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
5
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN
Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn
Gọi góc B’FB là biến dạng trượt γ của phân tố.
γ ≈ tgγ =
BB ' dϕ.ρ
dϕ
=
=ρ
FB
dz
dz
Theo giả thiết mặt cắt ngang không chuyển vị theo phương
dọc trục thanh nên ta thấy không có ứng suất pháp tác
dụng lên các mặt của phân tố.
Đồng thời, giả thiết các bán kích có chiều dài không đổi nên
cũng không có ứng suất tiếp hướng tâm trên mặt ABEF
11
XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN
Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn
Theo giả thiết trong quá trình biến dạng mặt cắt ngang vẫn
phẳng và vuông góc với trục thanh nên các góc vuông tại
HGCD và EFBA không thay đổi nên không có ứng suất tiếp
hướng tâm trên mặt ABEF
Như vậy trên mặt cắt ngang của thanh chịu xoắn thuần túy
chỉ tồn tại ứng suất tiếp theo phương bán kính gọi là τρ và
phân tố đang xét là trượt thuần túy.
Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng trượt:
τρ = G.γ = G.ρ
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
dϕ
dz
(a)
12
6
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN
Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn
Gọi dA là vi phân diện tích tại một điểm đang xét trên mặt
cắt ngang của thanh
M z = ∫ τρ dA.ρ = G
A
dϕ 2
dϕ
dϕ M z
ρ dA = G
=
Ip ⇒
∫
dz A
dz
dz GI p
Thay (b) vào (a) ta được:
τρ =
(b)
Mz
ρ
Ip
13
XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN
Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn
Ta thấy τρ phân bố theo quy luật bậc nhất, có phương
vuông góc với bán kính và có cùng chiều quay với Mz, có
giá trị bằng không tại tâm của tiết diện và cực đại tại biên
của tiết diện.
1
2
Ứng suất tiếp cực trị:
Mz
τmax =
τρ
Mz
τρ
τ max
1
2
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
Mz
M
M
R= z = z
Ip
Ip
Wp
R
14
7
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN
Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn
Với Wp = Ip/R được gọi là mômen chống xoắn của tiết diện
πD 4
πD3
Wp = =
=
≈ 0, 2D3
R 32. D
16
2
Ip
- Đối với tiết diện tròn
- Đối với tiết diện vành khăn
πD 4
Wp = =
R 32. D
Ip
πD3
(1 − η ) = 16 (1 − η4 ) ≈ 0, 2D3 (1 − η4 )
4
2
Với:
η=
d
D
15
XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN
Công thức tính biến dạng khi xoắn
Gọi θ là góc xoắn trên một đơn vị chiều dài hay còn gọi là
góc xoắn tỉ đối (rad/m). θ = dϕ / dz
Ta có:
M
dϕ M z
=
⇒ dϕ = z dz
dz GI p
GI p
⇒ϕ=∫
L
0
n
Mz
ML
dz = ∑ z i
GI p
GI p
1
Công thức trên chỉ áp dụng khi Mz / GIp là hằng số.
16
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
8
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
DẠNG ĐỨT GÃY KHI XOẮN
Nghiên cứu trạng thái ứng suất của trục tròn chịu xoắn, ta
thấy tại một điểm trên mặt ngoài, phân tố ở trạng thái trượt
thuần túy và ứng suất đạt giá trị cực đại. Ở trạng thái này,
góc phá hoại theo hai phương nghiêng 450 so với trục ứng
suất kéo chính và nén chính.
- Qua thí nghiệm ta cũng biết vật liệu dẻo chịu kéo và nén
tốt như nhau, còn chịu cắt thì kém hơn. Do đó, khi bị xoắn
trục thép sẽ bị gãy theo mặt cắt ngang.
- Đối với vật liệu giòn, trục gãy theo góc nghiêng 450
17
XOẮN THANH TiẾT DiỆN CHỮ NHẬT
Thí nghiệp xoắn thanh tiết diện chữ nhật cho thấy những
đường song song và thẳng góc với trục không còn song
song và thẳng góc với trục, tiết diện bị vênh, giả thiết mặt
cắt phẳng không thể áp dụng được nữa. Do đó, không thể
dựa trên các giả thiết để đơn giản hóa bài toán được.
Từ đó, ta thừa nhận một số kết quả tìm được bằng lý
thuyết đàn hồi.
Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất tiếp và luật phân bố
như trên hình vẽ bên dưới. Quy luật biến thiên của τ
18
không còn là bậc nhất như đối với mặt cắt tròn.
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
9
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
XOẮN THANH TiẾT DiỆN CHỮ NHẬT
Ứng suất tiếp bằng không tại các góc và lớn nhất tại trung
điểm cạnh dài:
τmax
τ1
Mz
=
αhb 2
Mz
Với b và h là kích thước cạnh
ngắn và cạnh dài của tiết diện
chữ nhật
Ứng suất tiếp tại điểm giữa cạnh
ngắn:
h
τ max
τ1 = γτmax
Góc xoắn tỷ đối:
θ=
Mz
Gβ hb3
b
19
XOẮN THANH TiẾT DiỆN CHỮ NHẬT
Bảng giá trị α, β, γ
h/b
1
1,5
1,75
2
2,5
3
α
0,203
0,231
0,239
0,246
0,258
0,267
β
0,141
0,196
0,214
0,229
0,249
0,263
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
γ
1,000
0,859
0,820
0,795
0,766
0,753
h/b
4
6
8
10
∞
α
0,282
0,299
0,307
0,313
0,333
β
0,281
0,299
0,307
0,313
0,333
γ
0,745
0,743
0,742
0,742
0,742
20
10
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
ĐiỀU KiỆN BỀN – ĐiỀU KiỆN CỨNG
Điều kiện bền:
Tìm ứng suất chính ta được:
σ max = σ1 = τmax ; σ min = σ3 = −τmax
- Đối với vật liệu dẻo:
Theo TB ƯS tiếp lớn nhất:
Theo TB TNBĐHD:
σ1 − σ3 ≤ [ σ ]
σ12 + σ 22 + σ32 + σ1σ 2 + σ 2σ3 + σ3σ1 ≤ [ σ]
[ σ]
[ σ]
⇒ τmax ≤
⇒ τmax ≤
3
2
- Đối với vật liệu giòn:
Áp dụng thuyết bền TTƯS tới hạn (thuyết bền Mohr)
⎛ [ σ]k ⎞
[σ]k
σ1 +
σ3 ≤ [ σ]k ⇒ τmax ⎜1 +
≤ σ
⎜ [ σ] ⎟⎟ [ ]k
21
[σ]n
⎝
n ⎠
ĐiỀU KiỆN BỀN – ĐiỀU KiỆN CỨNG
Điều kiện cứng:
θmax ≤ [ θ]
Cần lưu ý đơn vị trong tính toán:
rad
π 1
=
m 180 m
Ba bài toán cơ bản:
- Bài toán kiểm tra bền, kiểm tra cứng.
- Bài toán xác định kích thước tiết diện.
- Bài toán xác định tải trọng cho phép.
22
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
11
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
BÀI TẬP:
Bài 1: Cho thanh hai đầu ngàm chịu xoắn như hình vẽ.
(
)
Biết: G = 8.103 kN / cm 2 ; [ θ] = 0,8
A
0
/m ) ; [ τ] = 8 ( kN / cm 2 )
10(kNm)
D
1m
B
C
1m
D
30(kNm)
(
1m
Yêu cầu:
- Vẽ biểu đồ mômen xoắn.
- Xác định đường kính trục tròn theo điều kiện bền và điều
kiện cứng.
- Tính góc xoắn ϕAD
23
BÀI LÀM:
Vẽ biểu đồ mômem xoắn
Bỏ ngàm A và thay vào đó bằng phản lực MA
Sau đó vẽ biểu đồ mômen xoắn theo MA ta được biểu đồ
như hình vẽ.
30(kNm)
MA
10(kNm)
D
(30+M A )
MA
+
B
C
+
(20+ M A)
+
24
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
12
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
BÀI LÀM:
Vẽ biểu đồ mômem xoắn
Điều kiện chuyển vị:
ϕAB = 0 ⇒
M A 100 ( 30 + M A )100 ( 20 + M A )100
+
+
=0
GI p
GI p
GI p
⇒ 300M A + 5000 = 0 ⇒ M A = −16, 67 ( kNm )
Từ đó ta vẽ được biểu đồ mômen xoắn như sau:
13,33
+
16,67
+
-
3,33 M z(kNm)
25
BÀI LÀM:
Xác định đường kích trục tròn
Theo điều kiện bền:
Mz
D≥ 3
=
0, 2 [ τ]
3
1667
= 10,14 ( cm )
0, 2.8
Theo điều kiện cứng:
0,5.3,14
( rad / cm ) = 0,87 ( rad / cm )
[θ] = 0,5 ( 0 /m ) =
180.100
D≥
4
Mz
1667
=4
= 12, 44 ( cm )
0,1.G.[ θ]
0,1.8.103.0,87.10−4
Từ hai điều kiện trên, chọn D=12,44(cm).
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
26
13
Bài giảng Sức bền vật liệu
GV Trần Hữu Huy
BÀI LÀM:
Tính góc xoắn ϕAD
Mômen quán tính độc cực của tiết diện
I P = 0,1D 4 = 0,1.12, 444 = 2395 ( cm 4 )
Góc xoắn ϕAD =
−16, 67.100.100
= −8.10−3 ( rad )
3
8.10 .2395
27
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT
14
- Xem thêm -