Tài liệu Sử dụng phương pháp giải tích trong giải các bài toán đại số sơ cấp

Header Page 1 of 161. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II KHOA TOÁN **************** TỐNG THỊ HƯỜNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ SƠ CẤP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học Th.S. Nguyễn Huy Hưng Hà Nội - 2016 Footer Page 1 of 161. Header Page 2 of 161. Footer Page 2 of 161. Header Page 3 of 161. LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học này, em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán - Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã tận tình dạy dỗ em trong bốn năm học vừa qua và đã tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận này. Em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc của mình tới ThS. Nguyễn Huy Hưng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu này. Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 4 năm 2016 Sinh viên Tống Thị Hường Footer Page 3 of 161. Header Page 4 of 161. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận “Sử dụng phương pháp giải tích trong giải các bài toán đại số sơ cấp” là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của ThS. Nguyễn Huy Hưng. Nó không trùng với kết quả của bất kì tác giả nào khác. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, tôi có tham khảo tài liệu của một số nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 4 năm 2016 Sinh viên Tống Thị Hường Footer Page 4 of 161. Header Page 5 of 161. Mục lục Mở đầu 1 1 3 2 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. 6 Đạo hàm và vi phân của hàm số . . . . . . . . . . . . . Sử dụng đạo hàm trong giải các bài toán đại số sơ cấp 10 2.1. Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình, hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Sử dụng đạo hàm trong giải phương trình, bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3. Sử dụng đạo hàm trong giải hệ phương trình, hệ bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4. Sử dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức . . . 33 3 Sử dụng tính liên tục và tính khả vi của hàm số trong Footer Page 5 of 161. Header Page 6 of 161. giải các bài toán đại số sơ cấp 40 3.1. Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình, hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Các bài toán về chứng minh bất đẳng thức 4 . . . . . . . 40 48 Sử dụng một số định lí của giải tích trong giải các bài toán đại số sơ cấp 4.1. Một số định lí 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2. Sử dụng định lí Lagrange vào việc giải và chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình . . . . . . . . . . . . . 53 4.3. Sử dụng định lý Lagrange trong giải hệ phương trình . . 63 4.4. Sử dụng định lý Lagrange trong chứng minh bất đẳng thức 69 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo 75 Footer Page 6 of 161. Header Page 7 of 161. BẢNG KÍ HIỆU R tập số thực Z tập số nguyên Z+ tập số nguyên dương N∗ tập số tự nhiên khác 0 ∀x ∈ M với mọi x thuộc tập M ∃x tồn tại x đpcm điều phải chứng minh Footer Page 7 of 161. Header Page 8 of 161. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong chương trình toán THPT ta thường xuyên gặp các bài toán đại số sơ cấp. Lớp bài toán này luôn xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia hiện nay, cũng như trong các kì thi học sinh giỏi. Nó cũng đóng một vai trò quan trọng trong giáo dục học vấn toán học ở bậc THPT. Tuy nhiên việc giải các bài toán đại số sơ cấp không phải lúc nào cũng dễ dàng. Trong nhiều bài toán đại số sơ cấp (như giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hay chứng minh bất đẳng thức . . .) để đưa ra lời giải bài toán có nhiều phương pháp khác nhau, trong đó sử dụng giải tích trong giải bài toán sơ cấp là một phương pháp hay. Việc sử dụng các kiến thức giải tích (như đạo hàm, tính liên tục và khả vi của hàm số, sử dụng định lí Rolle và định lí Lagrange . . .) giúp chúng ta giải quyết được một số lượng lớn các bài toán đại số sơ cấp trong chương trình toán THPT hiện nay. Hơn thế, nhiều bài toán chỉ có được lời giải hay và đẹp khi ta sử dụng phương pháp này. Với mong muốn nắm chắc kiến thức ở bậc THPT, đồng thời có một cách nhìn tổng thể về phương pháp giải tích trong chương trình toán THPT để giải các bài toán đại số sơ cấp, cũng như tạo tiền đề cho việc ra trường dạy học giúp học sinh không chỉ đào sâu kiến thức mà còn thấy được vai trò quan trọng của phương pháp giải tích, được sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của ThS. Nguyễn Huy Hưng, cùng với lòng say mê nghiên cứu, em đã mạnh dạn chọn đề tài: “Sử dụng phương pháp giải tích trong giải các bài toán đại số Footer Page 8 of 161. Header Page 9 of 161. 2 sơ cấp”. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu, hệ thống hóa phương pháp giải tích để giải các bài toán đại số sơ cấp. - Giúp học sinh nắm được một số phương pháp giải tích để giải bài toán đại số sơ cấp như : Phương pháp đạo hàm; phương pháp sử dụng tính liên tục và khả vi của hàm số; phương pháp sử dụng định lí Rolle và định lí Lagrange . . . 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giải tích để giải các bài toán đại số sơ cấp. - Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức về giải tích và các bài toán đại số sơ cấp trong chương trình toán THPT. 4. Phương pháp nghiên cứu - Đọc tài liệu, nghiên cứu lý luận. - Phân tích, so sánh, tổng hợp kiến thức. Footer Page 9 of 161. Header Page 10 of 161. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Giới hạn của hàm số 1.1.1. Các định nghĩa về giới hạn của hàm số Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm số f (x) xác định trên K, có thể trừ điểm x0 ∈ K. Ta nói rằng hàm số f (x) có giới hạn là L (hay dần tới L) khi x dần tới x0 , nếu với mọi dãy số (xn ) (xn ∈ K, xn 6= x0 , ∀n ∈ N∗ ) sao cho khi xn dần tới x0 thì f (xn ) dần tới L. Ta viết lim f (x) = L hay f (x) → L khi x → x0 . x→x0 Định nghĩa 1.1.2. Ta nói rằng hàm số f (x) dần tới vô cực khi x dần tới x0 , nếu với mọi dãy số (xn ), (xn 6= x0 ) sao cho khi xn dần tới x0 thì f (xn ) dần tới ∞. Ta viết lim f (x) = ∞ hay f (x) → ∞ khi x → x0 . x→x0 Định nghĩa 1.1.3. Ta nói rằng hàm số f (x) có giới hạn là L (hay dần tới L) khi x dần tới ∞, nếu với mọi dãy số (xn ) sao cho khi xn dần tới Footer Page 10 of 161. 3 Header Page 11 of 161. 4 ∞ thì f (xn ) dần tới L. Ta viết lim f (x) = L hay f (x) → L khi x → ∞. x→x0 Định nghĩa 1.1.4. Số L được gọi là giới hạn bên phải (hoặc bên trái) của hàm số f (x) khi x dần tới x0 , nếu với mọi dãy số (xn ) với xn > x0 (hoặc xn < x0 ) sao cho khi xn dần tới x0 thì f (xn ) dần tới L. Ta viết lim+ f (x) = L hoặc lim− f (x) = L. x→x0 x→x0 Bằng cách tương tự, ta có thể định nghĩa cho giới hạn dạng: lim f (x) = +∞ (hoặc lim+ f (x) = −∞) x→x+ 0 x→x0 lim f (x) = +∞ (hoặc lim− f (x) = −∞) x→x− 0 x→x0 lim f (x) = +∞ (hoặc lim f (x) = −∞) x→+∞ x→+∞ lim f (x) = +∞ (hoặc lim f (x) = −∞) x→−∞ x→−∞ lim f (x) = L x→+∞ lim f (x) = L x→−∞ 1.1.2. Các định lí về giới hạn của hàm số Định lý 1.1.1. (Tính duy nhất của giới hạn) Nếu hàm số f (x) có giới hạn khi x dần tới x0 thì giới hạn đó là duy nhất. Định lý 1.1.2. (Định lí kẹp về giới hạn của hàm số) Cho ba hàm số f (x), g(x), h(x) cùng xác định trên một khoảng K chứa điểm x0 (có thể trừ điểm x0 ). Nếu với mọi x ∈ K\ {x0 } ta có g(x) 6 f (x) 6 h(x) và lim g (x) = lim h (x) = L thì lim f (x) = L. x→x0 Footer Page 11 of 161. x→x0 x→x0 Header Page 12 of 161. 5 Định lý 1.1.3. (Định lí về dấu của giới hạn hàm số) Nếu khi x dần tới x0 , hàm số f (x) có giới hạn L và nếu với mọi giá trị x đủ gần x0 mà f (x) > 0 (hoặc f (x) < 0) thì L > 0 (hoặc L 6 0). Định lý 1.1.4. Nếu lim f (x) = 0 (f (x) 6= 0, với mọi x đủ gần x0 ) thì x→x0 1 1 lim = ∞. Ngược lại, nếu lim f (x) = ∞ thì lim = 0. x→x0 f (x) x→x0 x→x0 f (x) Định lý 1.1.5. Điều kiện cần và đủ để lim f (x) = L là lim− f (x), x→x0 x→x0 lim f (x) đều tồn tại và bằng L. x→x+ 0 Hay lim f (x) = L ⇔ lim− f (x) = lim+ f (x) = L. x→x0 1.2. x→x0 x→x0 Hàm số liên tục 1.2.1. Định nghĩa hàm số liên tục Định nghĩa 1.2.1. Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b). Hàm số f (x) được gọi là liên tục tại x0 ∈ (a; b) nếu lim f (x) = f (x0 ). x→x0 Định nghĩa 1.2.2. Hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục phải tại x0 ∈ (a; b) nếu lim+ f (x) = f (x0 ). x→x0 Hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trái tại x0 ∈ (a; b) nếu lim− f (x) = f (x0 ). x→x0 Định nghĩa 1.2.3. Hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ấy. Footer Page 12 of 161. Header Page 13 of 161. 6 Định nghĩa 1.2.4. Hàm số f (x) xác định trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên (a; b) và lim+ f (x) = x→a f (a), lim− f (x) = f (b). x→b Định nghĩa 1.2.5. Nếu tại điểm x0 hàm số f (x) không liên tục thì nó được gọi là gián đoạn tại x0 và điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f (x). 1.2.2. Một số tính chất về hàm số liên tục Định lý 1.2.1. Tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu khác 0) của các hàm số liên tục tại một điểm là liên tục tại điểm đó. Định lý 1.2.2. Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xác định của chúng. Định lý 1.2.3. Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] thì nó đạt được giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất và mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đó. 1.3. Đạo hàm và vi phân của hàm số 1.3.1. Đạo hàm của hàm số Định nghĩa 1.3.1. (Đạo hàm tại một điểm) Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). f (x) − f (x0 ) Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim thì giới hạn đó x→x0 x − x0 Footer Page 13 of 161. Header Page 14 of 161. 7 được gọi là đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x0 và kí hiệu là f 0 (x0 ) (hoặc y 0 (x0 ) ), tức là: f (x) − f (x0 ) x→x0 x − x0 f 0 (x0 ) = lim Chú ý: • Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x0 thì hàm số liên tục tại điểm x0 . • Đại lượng ∆x = x − x0 được gọi là số gia của đối số tại x0 . Đại lượng ∆y = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. ∆y ∆x→0 ∆x Vậy f 0 (x0 ) = lim Định nghĩa 1.3.2. (Đạo hàm một phía) f (x) − f (x0 ) thì ta gọi x − x0 x→x0 giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y = f (x) tại điểm x0 và Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) bên phải lim+ kí hiệu là f 0 (x+ 0) . f (x) − f (x0 ) x − x0 x→x0 được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số y = f (x) tại điểm x0 và Tương tự, giới hạn (hữu hạn) bên trái (nếu tồn tại) lim− kí hiệu là f 0 (x− 0 ). Định nghĩa 1.3.3. (Đạo hàm trên một khoảng, một đoạn) Hàm số y = f (x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó. Hàm số y = f (x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a; b] nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a; b) và có đạo hàm bên phải tại a , đạo hàm bên trái tại b. Footer Page 14 of 161. Header Page 15 of 161. 8 Định lý 1.3.1. (Đạo hàm của hàm số hợp) Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u0x = g 0 (x) và hàm số y = f (u) có đạo hàm tại u = g(x) là yu0 = f 0 (u)thì hàm số hợp y = f [g(x)] có đạo hàm tại x là yx0 = yu0 .u0x 1.3.2. Vi phân của hàm số Định nghĩa 1.3.4. Giả sử hàm số f khả vi tại x0 ∈ (a; b) . Khi đó ánh xạ df (x0 ) : R → R ∆x → df (x0 )(∆x) = f 0 (x0 ).∆x được gọi là vi phân của hàm f tại x0 . 1.3.3. Đạo hàm và vi phân cấp cao Định nghĩa 1.3.5. Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a; b). Khi đó y 0 = f 0 (x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y 0 = f 0 (x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y 0 là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f (x) và kí hiệu là y 00 hoặc f 00 (x). Định nghĩa tương tự cho đạo hàm cấp 3, cấp 4, . . . Tổng quát: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp n − 1, kí hiệu là y (n−1) hoặc f (n−1) (x) với n ∈ N, n > 2 . Nếu hàm số y (n−1) = f (n−1) (x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f (x), kí hiệu là y (n) hoặc f (n) (x).
0 Vậy f (n) (x) = f (n−1) (x) . Footer Page 15 of 161. Header Page 16 of 161. 9 Định lý 1.3.2. Cho λ ∈ R và f, g là các hàm số xác định, khả vi n lần trên X, X ⊂ R. Khi đó ta có các hệ thức sau: • (f + g)(n) = f (n) + g (n) • (λ.f )(n) = λ.f (n) n P • (f g)(n) = Cnk f (k) g (n−k) k=0 • g(x) 6= 0 trên X thì f khả vi n lần trên X. g Định nghĩa 1.3.6. (Vi phân cấp cao) Nếu f khả vi đến cấp n tại x0 ∈ (a; b) thì biểu thức f (n) (x0 ). (∆x)n được gọi là vi phân cấp n của hàm f tại x0 , kí hiệu là dn f (x0 ). Vậy dn f (x0 ) = f n (x0 ). (∆x)n hay dn f (x0 ) = f n (x0 ).dxn Định lý 1.3.3. Nếu f, g khả vi đến cấp n trên (a; b) thì ta có: • dn (λ.f ) = λ.dn f • dn (f + g) = dn f + dn g n P n Cnk dk f.dn−k g • d (f g) = k=0 • g(x) 6= 0 trên (a; b) thì Footer Page 16 of 161. f có vi phân đến cấp n trên (a; b). g Header Page 17 of 161. Chương 2 Sử dụng đạo hàm trong giải các bài toán đại số sơ cấp 2.1. Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình, hệ phương trình 2.1.1. Phương pháp giải Muốn xét sự tồn tại nghiệm của phương trình f (x) = 0 trên D, ta làm như sau: i) Kiểm tra tính liên tục, khả vi của hàm số f (x) trên D. ii) Chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số f (x). iii) Chỉ ra được tập giá trị của f (x) đổi dấu (dựa vào xét các điểm cực trị của hàm số). Footer Page 17 of 161. 10 Header Page 18 of 161. 11 2.1.2. Các ví dụ Ví dụ 2.1.1. Cho các số c1 , c2 , c3 ∈ R thỏa mãn c1 > c2 > c3 . Chứng minh rằng phương trình √ x − c1 + √ x − c2 = √ x − c3 có nghiệm duy nhất. Bài giải Điều kiện: x ∈ [c1 , +∞) Phương trình trên tương đương với r r x − c1 x − c2 + =1 x − c3 x − c3 r r x − c1 x − c2 Xét hàm số f (x) = + − 1 với x ∈ [c1 , +∞) x − c3 x − c3 Khi đó f 0 (x) = c1 − c3 c2 − c3 r r + >0 x − c x − c 1 2 2(x − c3 )2 2(x − c3 )2 x − c3 x − c3 (do c1 > c2 > c3 ) Do đó hàm số f (x) đồng biến trên (c1 , +∞). r Mặt khác f (c1 ) = c1 − c2 − 1 = α < 0, lim f (x) = 1 x→+∞ c1 − c3 Ta có bảng biến thiên Footer Page 18 of 161. Header Page 19 of 161. 12 Từ bảng biến thiên chứng tỏ phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất x0 ∈ (c1 ; +∞). Ví dụ 2.1.2. Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình   ex − ey = ln(1 + x) − ln(1 + y) (1)  y−x=a (2) có nghiệm duy nhất. Bài giải Điều kiện: x > −1 , y > −1. Rút y từ phương trình (2) rồi thay vào phương trình (1), ta được: ex+a − ex + ln(1 + x) − ln(1 + a + x) = 0 Đặt f (x) = ex+a − ex + ln(1 + x) − ln(1 + a + x). Ta có a f 0 (x) = ex (ea − 1) + > 0 khi a > 0 và x > −1 (1 + x)(1 + a + x) Suy ra f (x) là hàm số liên tục, đồng biến trên (−1; +∞). Mặt khác lim f (x) = −∞; lim f (x) = +∞. x→−1 x→+∞ Do đó phương trình f (x) = 0 có một nghiệm trong khoảng (−1; +∞). Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a > 0. Footer Page 19 of 161. Header Page 20 of 161. 13 Chú ý: Học sinh dễ mắc sai lầm khi thấy hàm số đồng biến (nghịch biến) đã kết luận phương trình có nghiệm duy nhất. Ta chỉ có thể kết luận phương trình có nghiệm duy nhất khi hàm số đơn điệu, liên tục và trong giá trị của nó có cả các giá trị âm và dương. Ví dụ 2.1.3. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 = c2 . Chứng minh rằng phương trình ax + bx = cx có nghiệm duy nhất. Bài giải Từ điều kiện a2 + b2 = c2 và a > 0, b > 0, c > 0 a b Suy ra 0 < < 1, 0 < < 1 . c ca x  b x Ta có ax + bx = cx ⇔ + = 1 (1) c c Ta thấy x = 2 là nghiệm của phương trình (1). Ta đi chứng minh x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (1).  a x  b x trên R. Thật vậy, xét hàm số f (x) = + c c  x  a x a b b Ta có f 0 (x) = · ln + · ln < 0, ∀x ∈ R c c c c Từ đó suy ra hàm số f (x) nghịch biến trên R. Do đó • với x ∈ (−∞; 2) ⇒ f (x) > f (2) = 1 • với x ∈ (2; +∞) ⇒ f (x) < f (2) = 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2. Ví dụ 2.1.4. Chứng minh rằng với mọi a 6= 0, hệ phương trình  a2  2  2x = y + y (I) 2  a  2y 2 = x + x có nghiệm duy nhất. Bài giải Footer Page 20 of 161.