SỬ DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC GIẢI BÀI
TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY
A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Kiến thức về hình học giải tích là một bộ phận quan trọng trong chương trình
môn Toán ở bậc THPT. Bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy là một bài
toán tổng hợp, gây ra nhiều khó khăn, lúng túng cho học sinh khi tìm hướng giải
quyết. Trong những năm gần đây, trong các đề thi ĐH – CĐ, câu hỏi hình học giải
tích trong mặt phẳng luôn luôn là câu phân loại học sinh khá, giỏi. Để giải quyết tốt
bài toán này cần sử dụng khá nhiều kiến thức tổng hợp trong hình học và quan
trọng nhất là tìm ra được “nút thắt” của bài toán.
Hệ thức lượng trong tam giác có mối liên hệ mật thiết với các bài toán hình
học phẳng nói chung, và các bài toán hình học giải tích phẳng nói riêng. Việc sử
dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính độ dài các đoạn thẳng, tính góc giữa các
đường thẳng, tính diện tích của các hình, … sẽ giúp chúng ta có những định hướng
để tìm ra “nút thắt” của bài toán hình học giải tích Oxy.
Nhằm giúp các em học sinh có định hướng tốt khi tìm lời giải, cũng như giải
quyết được bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy một cách trọn vẹn, rõ
ràng và mạch lạc, tôi chọn nghiên cứu chuyên đề:
“ SỬ DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC GIẢI BÀI
TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY ”
2. Mục đích nghiên cứu
Chuyên đề cung cấp cho học sinh một phương pháp để giải quyết bài toán
hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy, rèn luyện cho học sinh khả năng nhận dạng
và hình thành các kỹ năng sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vào giải bài
toán hình học giải tích phẳng.
3. Phương pháp nghiên cứu
+ Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học.
+ Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những băn khoăn, lúng túng của học sinh
trong quá trình giải quyết bài toán hình học giải tích Oxy. Từ đó, đề xuất phương
án giải quyết, tổng kết thành kinh nghiệm.
4. Phạm vi nghiên cứu
Trong bài toán hình học giải tích Oxy: Các bài toán về phương trình đường
thẳng và phương trình đường tròn. Song ở đây, tôi chỉ tập trung nghiên cứu các bài
toán sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính độ dài đoạn thẳng và tính góc
giữa hai đường thẳng. Trong chuyên đề, tôi tổng hợp và đúc rút những kinh
nghiệm từ thực tế giảng dạy vấn đề này cho học sinh lớp 10 và học sinh lớp 12 ôn
thi ĐH – CĐ.
1
5. Điểm mới của chuyên đề
+ Chuyên đề tập trung rèn luyện cho học sinh khả năng nhận dạng các bài
toán, kĩ năng sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để giải quyết bài toán hình học
giải tích Oxy.
+ Chuyên đề tổng hợp được số lượng bài tập đủ lớn để học sinh rèn luyện
phương pháp nêu ra.
+ Đặc biệt, chuyên đề đã xây dựng một phương pháp giải toán hiệu quả đối
với một lượng lớn các bài toán hình học giải tích Oxy và giải quyết hầu hết các
dạng toán đặt ra.
2
B. NỘI DUNG
I. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH h và có BC a , CA b ,
AB c .
Gọi BH c ' và CH b ' . Khi đó, ta có các hệ thức
a 2 b2 c2
b2 ab '
c 2 ac '
c
h2 b ' c '
ah bc
1
1 1
2 2
2
h
b
c
sin B cos C
1.2 Định lí cosin
A
B
b
c
; sin C cos B
a
a
c'
b
h
b'
H
tan B cot C
C
b
c
; cot B tan C .
c
b
Trong tam giác ABC bất kì với BC a , CA b , AB c ta có:
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b2 a 2 c 2 2ac cos B
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
b2 c2 a 2
cos A
2bc
a 2 c 2 b2
cos B
2ac
a 2 b2 c 2
cos C
.
2ab
Hệ quả
1.3 Định lí sin
Trong tam giác ABC bất kì với BC a , CA b , AB c và R là bán kính
đường tròn ngoại tiếp, ta có:
a
b
c
2R .
sin A sin B sin C
3
II. SỬ DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TÍNH ĐỘ DÀI CÁC ĐOẠN
THẲNG
2.1 Bài toán cơ sở
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A 1; 2 và đường thẳng : 2 x y 1 0
. Xác định tọa độ điểm B thuộc đường thẳng sao cho AB 65 .
Lời giải.
Cách 1: Điểm B thuộc đường thẳng nên tọa độ điểm B t ; 2t 1 .
Ta có:
t 3
AB 65 t 1 2t 1 65 5t 6t 63 0 21 .
t
5
21 47
Vậy có hai điểm thỏa mãn B 3; 5 hoặc B ; .
5 5
Cách 2: Ta có: AB 65 nên điểm B thuộc đường tròn C có tâm A 1; 2 và bán
2
2
2
kính R 65 . Phương trình đường tròn C :
x 1 y 2
2
2
65
Mặt khác điểm B thuộc đường thẳng : 2 x y 1 0 .
Do đó, tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
2 x y 1 0
.
2
2
x 1 y 2 65
65
A
C
B
Giải hệ trên thu được hai điểm thỏa mãn B 3; 5 hoặc B ; .
5 5
Nhận xét:
Để xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ta tính độ dài đoạn thẳng
MN , với điểm N x0 ; y0 cố định. Tính độ dài đoạn thẳng MN bằng cách sử
dụng các hệ thức lượng trong tam giác đã nêu ở trên. Khi đó, điểm M sẽ
thuộc đường tròn C có tâm là điểm N x0 ; y0 và bán kính R MN :
21 47
C : x x0 y y0
2
2
R2 .
Có thể mở rộng bài toán trên bằng cách thay giả thiết “ điểm M thuộc
đường thẳng ’’ bởi “ điểm M thuộc đường tròn C ' hoặc thuộc elip E
,…’’. Khi đó, tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình tương giao
4
C
C
hoặc
.
C '
E
Chúng ta sẽ tìm hiểu việc sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác để tính độ
dài đoạn thẳng qua các ví dụ sau:
2.2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1.(ĐH – A 2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng
: x y 2 0 và đường tròn C : x 2 y 2 4 x 2 y 0 . Gọi I là tâm của C ,
M là điểm thuộc . Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến C ( A và B là
các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
Nhận xét: Đường tròn C có tâm I 2;1 là điểm cố định và M là điểm thuộc
Tính độ dài đoạn thẳng MI .
Lời giải.
Đường tròn C có tâm I 2;1 và có bán kính R IA 5 .
Vì MA , MB là các tiếp tuyến của đường tròn C nên
tam giác MAI vuông tại A và có diện tích
S MAI
Mặt khác, S MAI
A
R
1
S MAIB 5 .
2
I
M
1
5
MA.IA
MA . Do đó
2
2
B
5
MA 5 MA 2 5 .
2
2 5 5
Trong tam giác vuông MAI , ta có MI MA2 IA2
2
2
5.
Khi đó, điểm M thuộc đường tròn C ' có tâm I và bán kính R ' 5 . Phương trình
đường tròn C ' :
x 2 y 1
2
Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ phương trình
5
2
25 .
x 2
x y 2 0
y x 2
y x 2
y 4
2
.
2
2
2
2
x 3
x x 6 0
x 2 y 1 25
x 2 x 3 25
y 1
Vậy có hai điểm thỏa mãn: M 2; 4 hoặc M 3;1 .
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 1; 3 , B 5;1 .
Điểm M nằm trên đoạn BC sao cho MC 2 MB . Tìm tọa độ điểm C biết rằng
MA AC 5 .
Nhận xét:
Ta có CA 5 nên điểm C thuộc đường tròn C tâm A và có bán kính R 5
.
Điểm B cố định Tính độ dài đoạn thẳng CB .
Lời giải.
Ta có AC 5 nên điểm C thuộc đường tròn C
có phương trình là:
2
2
x 1 y 3 25 .
Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng MC .
A
Vì AM AC nên tam giác AMC cân tại A ,
suy ra AH BC . Mặt khác, MC 2MB nên
MB MH HC a 0 .
5
5
Trong tam giác vuông AHB có
a
a
a
AH 2 AB 2 BH 2 52 4a 2 . B
C
H
M
Trong tam giác vuông AHC có
AH 2 AC 2 a 2 25 a 2 .
Do đó, 52 4a 2 25 a 2 3a 2 27 a 3 (Do a 0 ).
Suy ra, BC 3a 9 nên C thuộc đường tròn C ' có phương trình
x 5 y 1
2
2
81.
Vậy tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình
x 1 2 y 3 2 25
x 2 y 2 2 x 6 y 15 0
3 x 2 y 10 0
.
2
2
2
2
2
2
x
y
2
x
6
y
15
0
x
y
10
x
2
y
55
0
x
5
y
1
81
Giải hệ trên ta thu được hai điểm thỏa mãn C 4;1 hoặc C
20 95
; .
13 13
Ví dụ 3. (ĐH – A 2014) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có
điểm M là trung điểm của đoạn AB và điểm N thuộc đoạn AC sao cho
AN 3NC . Viết phương trình đường thẳng CD , biết rằng M 1;2 và N 2; 1 .
6
Nhận xét:
Điểm M và N cố định
Tính độ dài đoạn thẳng MA và NA .
Lời giải.
A
M
x
450
B
* Ta có: MN 10 .
Đặt AM x . ĐK: x 0 . Khi đó, AB 2 x AC 2 x 2 .
Vì AN 3NC nên AN
Xét tam giác AMN có
3
3x 2
AC
.
4
2
MN 2 AM 2 AN 2 2 AM . AN .cos MAC
9 x2
3x 2
x2
2 x.
.cos 450 10
2
2
2
5x
10 x 2 .
2
Suy ra: MA 2 và NA 3 2 .
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
x 1, y 2
x 12 y 2 2 4
13
16 .
2
2
x
,
y
x
2
y
1
18
5
5
13 16
Vậy A 1; 2 hoặc A ;
5 5
* Gọi P là giao điểm của MN và CD . Ta có:
C
D
A
M
B
N
D
P
MN AN
3 MN 3 NP
NP NC
Ta có: MN 1; 3 , NP xP 2; y P 1 . Do đó
N
7
3 xP 2 1
xP
7
3 P ; 2 .
3
3 y P 1 3
y P 2
13 16
8 6
2
Với A ; : AM ; 4;3 . Phương trình đường thẳng CD là
5
5 5
5 5
7
3 x 4 y 2 0 3 x 4 y 15 0
3
Với A 1; 2 : AM 2;0 . Phương trình đường thẳng CD là
y 2 0.
7
C
Ví dụ 4. (ĐH – A 2012) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD .
Gọi M là trung điểm của cạnh BC , N là điểm trên cạnh CD sao cho CN 2 ND .
11 1
Giả sử M ; và đường thẳng AN có phương trình 2 x y 3 0 . Tìm tọa độ
2 2
điểm A .
Nhận xét:
Điểm M cố định và điểm A thuộc đường
thẳng AN có phương trình 2 x y 3 0
Tính độ dài đoạn MA .
Lời giải
Đặt độ dài cạnh hình vuông AB a a 0 .
Khi đó,
S AMN S ABCD S ABM S MCN S ADN
a 2 a 2 a 2 5a 2
1
4 6
6
12
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AN là
1
11 3
3 5
2
MH
.
2
5
B
M
C
a2
1
2
Suy ra, S AMN .MH . AN
Từ 1 và 2 , ta có
3 5
a 2 5 2a
. a2
4
9
4
5a 2 5 2 a
a3 2.
12
4
9 3 10
Vậy MA AB 2 BM 2 18
.
2
2
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
2
2
11
1
45
x 4, y 5
x y
.
2
2
2
x
1,
y
1
2 x y 3 0
Vậy A 4;5 hoặc A 1; 1 .
8
A
2 .
H
N
D
Ví dụ 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D ,
CD 2 AB , đỉnh B 8;4 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên AC , điểm
82 6
M ; là trung điểm của CH , phương trình đường thẳng chứa cạnh AD là
13 13
x y 2 0 . Tìm tọa độ A, C , D .
Nhận xét:
A là hình chiếu vuông góc của điểm
B lên đường thẳng AD A (cố định)
Điểm A cố định và điểm D thuộc
đường thẳng AD Tính độ dài
đoạn AD .
Lời giải
Phương trình đường thẳng AB là
x y 12 0 .
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
A
H
B
M
D
x y 2 0
x 5
A 5;7 .
x y 12 0
y 7
17 26
10 26
Khi đó: MA
, MB
, AB 3 2 .
13
13
A
Trong tam giác ABM có
2
2
2
AB AM MB 3
cos BAM
2 AB. AM
13
Vì AB / / CD nên
cos ACD
3 .
ACD BAM
13
Xét tam giác vuông ACD có
D
CD
AC
2 26
cos
ACD
C
N
H
B
M
N
AD AC 2 CD 2 4 2 .
Do đó, tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình
x y 2 0
x 9, y 11
.
2
2
x 1, y 3
x 5 y 7 32
17 85
17
Ta có: AM ; 1; 5 . Phương trình đường thẳng AC là
13 13 13
5 x 5 y 7 0 5 x y 32 0 .
Với D 9;11 : Phương trình CD là x y 20 0 .
9
C
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
5 x y 32 0
x 3
C 3;17
x y 20 0
y 17
(Loại vì B , C khác phía đối với đường
thẳng AD )
Với D 1;3 : Phương trình CD là x y 4 0 .
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
5 x y 32 0
x 7
C 7; 3 .
x y 4 0
y 3
Vậy A 5;7 , C 7; 3 và D 1;3 .
2.3 Một số bài toán tương tự (Xét các bài toán dưới đây trong mặt phẳng tọa độ
Oxy )
Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A 2;3 , có AB 2 AC . Gọi M là trung điểm
của cạnh AB , hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng BC là điểm H 4;9
. Tìm tọa độ các đỉnh B và C .
Bài 2 Cho hình chữ nhật ABCD có AB AD 2 , tâm I 1; 2 . Gọi M là trung
điểm của cạnh CD , H 2; 1 là giao điểm của hai đường thẳng AC và BM . Tìm
tọa độ các điểm A, B .
Bài 3 Cho hình vuông ABCD có phương trình cạnh AD là 3 x 4 y 7 0 . Gọi E
1500 . Viết
là điểm nằm trong hình vuông sao cho tam giác EBC cân và góc BEC
phương trình cạnh AB , biết E 2; 4 .
Bài 4 Cho hình thoi ABCD có đỉnh A 1;0 , đường chéo BD có phương trình
x y 1 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B , C , D của hình thoi biết khoảng cách từ tâm I
8
.
5
Bài 5 Cho đường tròn C : x 2 y 2 8 x 6 y 21 0 và đường thẳng d : x y 1 0 .
đến đường thẳng BC bằng
Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn C biết
đỉnh A thuộc d .
Bài 6 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 48, đỉnh D 3;2 . Đường phân
có phương trình x y 7 0 . Tìm tọa độ đỉnh B , biết đỉnh A có
giác của góc BAD
hoành độ dương.
Bài 7 (CĐ - 2012) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn
C : x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 và đường thẳng d : 4 x 3 y m 0 . Tìm m để đường
thẳng d cắt C tại hai điểm A, B sao cho
AIB 1200 , với I là tâm của C .
Bài toán có thể mở rộng cho trường hợp
AIB , 0 1800 .
10
Bài 8 Cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB , AD tiếp xúc với đường tròn
2
2
C : x 2 y 3 4 , đường chéo AC cắt đường tròn C tại các điểm
16 23
M ; và N thuộc trục Oy . Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
5 5
ABCD , biết A có hoành độ âm, D có hoành độ dương và diện tích tam giác AND
bằng 10.
2
2
Bài 9 Cho đường thẳng d : x y 3 0 và đường tròn C : x 2 y 1 4 .
Qua điểm A thuộc đường thẳng d kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn C
tại B và C . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Tìm tọa độ điểm A , biết
AG 2 .
Bài 10 Cho hình chữ nhật ABCD có AB 4 2 , điểm A có hoành độ âm. Đường
thẳng AB có phương trình x y 2 0 , đường chéo BD có phương trình 3 x y 0
. Viết phương trình các cạnh BC , CD, DA .
11
III. SỬ DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TÍNH GÓC GIỮA HAI
ĐƯỜNG THẲNG
3.1 Bài toán cơ sở
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A 1; 2 và đường thẳng
: x 3 y 3 0 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và tạo với
đường thẳng một góc 600 .
Lời giải.
Gọi VTPT của đường thẳng d là n1 a; b . Điều kiện: a 2 b 2 0 .
VTPT của đường thẳng là n2 1; 3 .
Góc giữa hai đường thẳng d và bằng 600 nên ta có
a 3b
n
1.n2
3
3
cos
2
2
n1 . n2
a 0
3
.
2a 2 2 3ab 0
2
a 3b
2 a 2 b2
Với a 0 , chọn b 1 . Suy ra, phương trình của đường thẳng d
0 x 1 1 y 2 0 y 2 0 .
Với a 3b , chọn b 1 a 3 . Suy ra, phương trình của đường thẳng d
3 x 1 1 y 2 0 3 x y 2 3 0 .
Nhận xét:
3.2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A . Phương trình
các cạnh AB , BC lần lượt là 2 x y 2 0 và y 2 0 . Tìm tọa độ các A biết
điểm M 1;0 là trung điểm của cạnh AC .
A
Nhận xét:
Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng .
Đường thẳng AC đi qua điểm M 1;0 và tạo với
đường thẳng BC một góc
Viết phương trình AC .
M
Lời giải
Góc giữa hai đường thẳng AB và BC là
2.0 1.1
1
.
5.1
5
Vì tam giác ABC cân tại A nên
ACB
ABC .
cos
B
12
C
Gọi VTPT của đường thẳng AC là n1 a; b . Điều kiện: a 2 b 2 0 .
VTPT của đường thẳng BC là n2 0;1 .
Góc giữa hai đường thẳng AC và BC bằng
ACB nên ta có
n1.n2
1
1
cos
5
5
n1 . n2
b
a 2b
1
.
a 2 4b 2 0
a
2
b
5
a2 b2
Với a 2b , chọn b 1 a 2 . Suy ra, phương trình của đường thẳng AC
2x y 2 0 .
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
2 x y 2 0
x 0
A 0; 2 .
2 x y 2 0
y 2
Với a 2b , chọn b 1 a 2 . Suy ra, phương trình của đường thẳng AC
2x y 2 0 .
Trường hợp này không xảy ra vì AC / / AB .
Vậy A 0; 2 .
Các ví dụ tiếp theo , chúng ta sẽ không trình bày lại bài toán cơ sở đã nêu mà chỉ
đưa ra kết quả!
Ví dụ 7. (ĐH – D 2012) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD .
Các đường thẳng AD và AC lần lượt có phương trình là x y 4 0 và x 3 y 0 ;
đường thẳng BD đi qua điểm M ;1 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
3
ABCD .
Nhận xét:
Góc giữa hai đường thẳng AD và AC A
bằng .
Đường thẳng BD đi qua điểm
M
1
1
M ;1 và tạo với đường thẳng
3
AD một góc
Viết phương trình BD .
D
I
B
Lời giải.
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
x y 4 0
x 3
A 3;1 .
x 3y 0
y 1
13
C
Góc giữa hai đường thẳng AD và AC là cos
.
Ta có:
ADB DAC
Từ đó, phương trình của BD là
A
3 x y 0
x 3 y 8 0 (Loại vì BD//AC)
3
1
.
5
D
I
M
C
B
Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình
3 x y 0
x 1
D 1;3 .
x y 4 0
y 3
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD I 0;0 .
Từ đó, C 3; 1 và B 1; 3 .
Ví dụ 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có A 1;3 ,
điểm C thuộc đường thẳng : x y 6 0 , phương trình đường thẳng
BD : x 2 y 2 0 và tan BAC
1
. Xác định tọa độ các đỉnh B , C , D .
2
Nhận xét:
d C , d A, C
Đường thẳng AB đi qua điểm A và tạo với đường thẳng AC một góc
BAC
Viết phương trình AB .
Lời giải
Điểm C thuộc đường thẳng : x y 6 0
B
C t;6 t .
C
Do ABCD là hình bình hành nên
d A, BD d C , BD
t 12 2t 2
5
5
I
A
C 5;1
t 5
5 5 13
t
(Loại vì A, C cùng phía với đường thẳng BD)
C ;
3 3
3
Ta có: AC 6; 2 . Phương trình đường thẳng AC là: x 3 y 8 0 .
Mặt khác, tan BAC
1
2 .
cos BAC
2
5
14
D
nên
Đường thẳng AB đi qua điểm A và tạo với đường thẳng AC một góc BAC
có phương trình là
Trường hợp 1: AB : x y 2 0
x y 2 0
x 7 y 22 0 .
x y 2 0
2 4
B ; .
3 3
x 2 y 2 0
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD I 2;2 D
10 8
; .
3 3
Trường hợp 2: AB : x 7 y 22 0 . Tương tự: B 6; 4 và D 2;0 .
Ví dụ 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có BD 2 AC ,
phương trình đường thẳng BD : x y 0 . Gọi M là trung điểm của CD , hình
chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng BM là điểm H 2; 1 . Viết phương
trình đường thẳng AH .
Nhận xét:
Đường thẳng BM đi qua điểm H 2; 1 và tạo với BD một góc MBD
Tính . Từ đó, viết phương trình đường thẳng BM .
Lời giải
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD .
A
Đặt IA x
x 0 .
Vì BD 2 AC nên IB 2 x .
x
Xét tam giác vuông ABI có
AB IA2 IB 2 x 5
I
2x
B
Trong tam giác BCD có
BD 2 BC 2 CD 2
H
BM 2
2
4
2
37 x
.
C
4
Xét tam giác MBD có
BM 2 BD 2 MD 2
6
.
cos MBD
2 BM .BD
37
5 x 7 y 17 0
Từ đó, phương trình đường thẳng BM là
.
7
x
5
y
19
0
D
M
5 x 7 y 17 0
Đường thẳng AH vuông góc với BM có phương trình là
.
7 x 5 y 19 0
15
Ví dụ 10. (ĐH – A 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng
d1 : 3x y 0 và d 2 : 3 x y 0 . Gọi T là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A , cắt
d 2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B . Viết phương trình của
T , biết tam giác
ABC có diện tích bằng
3
và điểm A có hoành độ dương.
2
Nhận xét:
Góc giữa hai đường thẳng d1 và d 2 bằng .
d1 d 2 K cố định Tính KA .
Lời giải
Gọi K d1 d2 K 0;0 .
Góc giữa hai đường thẳng d1 và d 2 là
3 1 1
cos
600 .
4
2
Suy ra, ACB 300 .
Đặt AC 2 R . Khi đó
AB R và BC 3R .
Vì diện tích tam giác ABC bằng
1
3
AB.BC
R 1
2
2
d1
A
I
K
B
C
d2
3
nên
2
KA
2
.
KA
AC
3
4
1
2
2
x y
x
3
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
3 (Do x A 0
3 x y 0 y 1
Trong tam giác vuông KAC có tan ACK
).
Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với d1 nên có phương trình
3x 3 y 4 0 .
3
2
1
; .
Suy ra, C ; 2 I
3
2 3 2
1
3
Vậy phương trình đường tròn T là x
y 2 1.
2 3
2
16
2
3.3 Một số bài toán tương tự (Xét các bài toán dưới đây trong mặt phẳng tọa độ
Oxy )
1
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD có
ACD với cos
, điểm H thỏa mãn điều
5
kiện HB 2 HC , K là giao điểm của hai đường thẳng AH và BD . Cho biết
1 4
H ; , K 1; 0 và điểm B có hoành độ dương. Tìm tọa độ các điểm A, B , C , D .
3 3
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi M là điểm thuộc đoạn thẳng AC thỏa
mãn AB 3 AM . Đường tròn tâm I 1; 1 đường kính CM cắt BM tại điểm D M .
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng BC đi qua điểm N ;0 ,
4
3
phương trình cạnh CD : x 3 y 6 0 và điểm C có hoành độ dương.
Bài 3. Cho hình vuông ABCD có đỉnh C 3; 3 và điểm A thuộc đường thẳng
d : 3x y 2 0 . Gọi M là trung điểm của BC , đường thẳng DM có phương trình
x y 2 0 . Xác định tọa độ các đỉnh A, B , D .
Bài 4. Cho hình thoi ABCD có phương trình đường chéo BD : x y 0 , đường
thẳng AB đi qua điểm P 1; 3 , đường thẳng CD đi qua điểm Q 2; 2 3 . Tìm
tọa độ các đỉnh của hình thoi, biết AB AC và điểm B có hoành độ lớn hơn 1.
Bài 5. Cho hình vuông ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB
1
CD . Biết M ;2 và đường thẳng BN có phương trình 2 x 9 y 34 0 .
2
Tìm tọa độ các điểm A và B , biết điểm B có hoành độ âm.
Bài 6. Cho hình thoi ABCD có AC 2 BD . Đường thẳng AC có phương trình
2 x y 1 0 , đỉnh A 3;5 và đỉnh B thuộc đường thẳng d : x y 1 0 . Xác định
tọa độ các đỉnh B , C , D của hình thoi ABCD .
Bài 7. Cho đường tròn C đường kính BC , điểm A thuộc đường tròn C sao cho
khoảng cách từ A đến đường thẳng BC là lớn nhất. Biết đường thẳng AB có
phương trình x y 1 0 , trọng tâm của tam giác ABC là G 3;2 và A có tung độ
và
lớn hơn 3 . Lập phương trình đường tròn C .
Bài 8. Cho hình vuông ABCD . Gọi E là trung điểm của cạnh AD , H ; là
5 5
11
2
hình chiếu vuông góc của B trên CE và M ; là trung điểm của đoạn BH .
5 5
Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết A có hoành độ âm.
Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh D 7; 3 và BC 2 AB . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của AB và BC . Tìm tọa độ đỉnh C biết phương trình đường
thẳng MN là x 3 y 16 0 .
3
17
6
Bài 10. Cho hình vuông ABCD , đỉnh A 1; 2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của AD và DC , E là giao điểm của BN với CM . Viết phương trình đường tròn
ngoại tiếp tam giác BME biết phương trình đường thẳng BN : 2 x y 8 0 và B có
hoành độ lớn hơn 2 .
18
IV. MỘT SỐ CHÚ Ý KHI ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ VÀO THỰC
TẾ
Khi áp dụng chuyên đề vào thực tế giảng dạy có thể nảy sinh một số vấn đề cần
chú ý như sau
1/ Phương pháp sử dụng hệ thức lượng giác có giải quyết hết các bài toán
hình học giải tích trong mặt phẳng tọa độ Oxy không? Còn dạng toán nào mà
phương pháp này chưa giải quyết được?
Mỗi bài toán đều có nhiều cách giải quyết khác nhau. Phương pháp sử dụng
hệ thức lượng giác chỉ cung cấp cho chúng ta một phương pháp có hiệu quả, tìm ra
“nút thắt’’ để giải quyết bài toán hình học giải tích phẳng.
Trong quá trình giải các bài toán hình học giải tích phẳng, chúng ta còn sử
dụng tới các tính chất hình học xuất hiện trong bài toán. Vì vậy, để giải quyết trọn
vẹn các bài toán trong phần này, chúng ta cần rèn luyện them cho học sinh các kiến
thức hình học phẳng liên quan.
2/ Qui trình giải bài toán hình học giải tích phẳn bằng phương pháp sử
dụng hệ thức lượng giác là thế nào?
Qua các ví dụ cụ thể trong chuyên đề, chúng ta có thể trình bày qui trình của
việc giải bài toán hình học giải tích phẳng bằng cách sử dụng hệ thức lượng giác
như sau:
Bước 1. Dựa vào giả thiết bài toán tìm các các yếu tố cố định. Từ đó, liên hệ tới các
yếu tố cần tìm, tìm ra “nút thắt” của bài toán.
Bước 2. Tính độ dài đoạn thẳng, tính góc giữa hai đường thẳng, giải quyết “nút
thắt” của bài toán .
Bước 3. Sử dụng các kiến thức hình học xuất hiện trong bài toán, kiến thức hình
học giải tích phẳng để giải quyết trọn vẹn bài toán.
V. HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA CHUYÊN ĐỀ
Trong chuyên đề mới chỉ đề cập đến việc sử dụng hệ thức lượng giác giải
quyết các bài toán trong đó, việc tìm ra “nút thắt” của bài toán được tìm bằng cách:
Tính độ dài đoạn thẳng hoặc tính góc giữa hai đường thẳng. Chuyên đề sẽ tiếp tục
nghiên cứu việc giải quyết các bài toán hình học giải tích phẳng mà cách giải là sự
kết hợp cả hai phương pháp trên, các bài toán kết hợp giữa sử dụng hệ thức lượng
giác và các tính chất hình học xuất hiện trong bài toán.
19
C. KIỂM NGHIỆM QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY
Trong quá trình giảng dạy, tôi đã đem vấn đề trên áp dụng vào 3 buổi dạy
tăng cường dành cho các học sinh ôn thi ĐH – CĐ. Kết quả cụ thể như sau:
Nội dung kiểm tra
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy , cho tam giác ABC
vuông tại A 2;3 , có
AB 2 AC . Gọi M là
trung điểm của cạnh AB ,
hình chiếu vuông góc của
M trên đường thẳng BC
là điểm H 4;9 . Tìm tọa
độ các đỉnh B và C .
(Thời gian: 30 phút)
Lớp 12A14
(Chưa được học tăng
cường)
Không có học sinh nào
giải quyết trọn vẹn bài
toán.
Lớp 12A4
(Đã được học tăng
cường)
28/38 học sinh giải quyết
trọn vẹn bài toán.
25/40 học sinh tính được
độ dài AH 2 10 , viết
được phương trình AH .
Sau đó, gọi tọa độ điểm
B x; y nhưng không tìm
được điều kiện để lập hệ
phương trình.
15/40 học sinh không tìm
được mối liên hệ nào giữa
giả thiết và kết luận.
10/38 học sinh tính được
20
AH 2 10
AB
2
và cos B
BC
3
Nhưng không tính được
AB và HB để tìm tọa độ
điểm B .
28/38 học sinh giải quyết
trọn vẹn bài toán từ việc
tính được độ dài các đoạn
thẳng AB và HB .
- Xem thêm -
.PDF 
22 
283 
98 
