Tài liệu Sóng mặt và sóng trong các cấu trúc mỏng

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CƠ HỌC ——————– * ——————— NGUYỄN THỊ KHÁNH LINH SÓNG MẶT VÀ SÓNG TRONG CÁC CẤU TRÚC MỎNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ HÀ NỘI, 2013 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CƠ HỌC ——————– * ——————— NGUYỄN THỊ KHÁNH LINH SÓNG MẶT VÀ SÓNG TRONG CÁC CẤU TRÚC MỎNG Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 62 44 21 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ Người hướng dẫn khoa học PGS. TS Phạm Chí Vĩnh HÀ NỘI, 2013 LỜI CẢM ƠN Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Phạm Chí Vĩnh, người đã tận tình giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và thổi vào tâm hồn tôi niềm đam mê khoa học. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tôi xin bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Cơ khí, Ban chủ nhiệm Bộ môn Cơ học kỹ thuật và các đồng nghiệp - Trường Đại học Thủy lợi đã động viên, khuyến khích và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận án này. Tôi xin chân thành cảm ơn tới Khoa Đào tạo sau đại học – Viên Cơ học và các bạn trong nhóm sermina của Thầy Vĩnh đã hướng dẫn, chia sẻ kinh nghiệm, tạo điều kiện tốt cho tôi trong quá trình làm luận án. Cuối cùng tôi xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến gia đình đã động viên ủng hộ tôi trong thời gian làm luận án. Nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Khánh Linh i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Khánh Linh ii Mục lục LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT . . . . . . . . vi DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ BẢNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. TỔNG QUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Sóng mặt Rayleigh: Sự phát triển và các thành tựu . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Phương trình tán sắc của sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Công thức vận tốc sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Sóng trong bán không gian phủ một lớp mỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Sóng trong cấu trúc lớp mỏng tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Tình hình nghiên cứu trong nước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5. Mục tiêu của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chương 2. SÓNG MẶT RAYLEIGH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1. Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng, không nén được, chịu tác dụng của trọng trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1. Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2. Các công thức chính xác của vận tốc sóng mặt Rayleigh . . 16 2.1.3. Các công thức vận tốc xấp xỉ của sóng Rayleigh . . . . . . . . . . 22 2.1.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 iii iv 2.2. Sóng Rayleigh trong bản mỏng đàn hồi trực hướng, bán vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1. Các sóng chính Rayleigh trong bản mỏng đàn hồi trực hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1.1. Phương trình tán sắc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1.2. Công thức vận tốc chính xác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1.3. Công thức vận tốc xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2. Sóng không chính Rayleigh trong lớp mỏng đàn hồi trực hướng, bán vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.2.1. Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.2.2. Phương trình tán sắc dạng tường minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2.3. Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Chương 3. SÓNG RAYLEIGH TRONG BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI NẰM DƯỚI LỚP NƯỚC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1. Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.1. Phương trình tán sắc chính xác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.2. Điều kiện tồn tại của sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.3. Các phương trình tán sắc xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2. Các công thức vận tốc xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.1. Hai đại lượng δ và ε đều nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.2. Chỉ ε là nhỏ và δ tùy ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.3. Các xấp xỉ toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Chương 4. SÓNG RAYLEIGH TRONG BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI PHỦ LỚP MỎNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.1. Bán không gian đàn hồi trực hướng nén được phủ lớp mỏng . . 60 4.1.1. Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1.2. Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.1.3. Trường hợp đẳng hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.1.4. Công thức vận tốc xấp xỉ bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 v 4.2. Bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được phủ lớp mỏng 72 4.2.1. Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2.2. Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2.3. Trường hợp đẳng hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3. Bán không gian đàn hồi có ứng suất trước phủ lớp mỏng . . . . . 79 4.3.1. Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.3.2. Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.3.3. Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.3.3.1. Trường hợp không có ứng suất trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.3.3.2. Trường hợp biến dạng trước đẳng hướng trong mặt phẳng 89 4.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Chương 5. SÓNG TRONG CẤU TRÚC MỎNG TUẦN HOÀN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.1. Sóng SH trong môi trường vô hạn phân lớp tuần hoàn, các lớp đều mỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.1.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.1.2. Khai triển tiệm cận nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.1.3. Xác định Ωi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.1.3.1. Công thức tính Ω1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.1.3.2. Công thức tính Ω3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.1.4. Công thức truy hồi tính Ω2n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.2. Sóng Lamb trong môi trường vô hạn phân lớp tuần hoàn không nén được có biến dạng trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.2.1. Đặt bài toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2.2. Phương trình tán sắc dạng tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.2.3. Công thức tính Ωk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.2.4. Công thức truy hồi tính Ω2n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.2.5. Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT σij ui c k h ε g λ, µ p c2 = µ/ρ cij t ρ p ∂2 ∂t2 ∂1 γ . các thành phần ứng suất các thành phần chuyển dịch vận tốc sóng số sóng độ dày của lớp độ dày không thứ nguyên của lớp gia tốc trọng trường các hằng số Lame vận tốc sóng ngang các hằng số vật liệu thời gian mật độ khối lượng áp suất thủy tĩnh ∂ 2 /∂x21 ∂ 2 /∂t2 ∂/∂x1 µ/(λ + 2µ) đạo hàm theo biến thời gian vi DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ BẢNG Hình 2.1 Hình 2.2 Hình 2.3 Hình Hình Hình Hình Hình Hình Hình 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 Hình 2.11 Hình 2.12 Hình 2.13 Hình 3.1 Hình 3.2 Hình 3.3 Hình 4.1 Hình 4.2 Mô hình bài toán Đồ thị của hàm φ(x) được biểu diễn bằng phương trình (2.20) Sự phụ thuộc của vận tốc sóng Rayleigh vào các tham số trọng trường δ. Vận tốc chính xác xr , các vận tốc xấp xỉ x1 , x2 Mô hình bài toán sóng chính Rayleigh Sự phụ thuộc của x vào b1 ∈ [0, 0.5]. Sự phụ thuộc của x vào b2 ∈ [0.1, 0.9]. Sự phụ thuộc của x theo b3 ∈ [0.5, 4] Mô hình bài toán sóng không p chính Rayleigh √ Sự phụ thuộc của x = cR / B66 /ρ vào góc chỉ phương θ của các hướng vật liệu chính của vật liệu SE84LV p √ Sự phụ thuộc của x = cR / B66 /ρ vào góc chỉ phương θ của các vật liệu chính đối với vật liệu Fibredux p √ Sự phụ thuôc của x = cR / B66 /ρ vào góc chỉ phương θ của các trục vật liệu chính cho vật liệu Boron-Epoxy p √ Sự phụ thuộc của x = cR / B66 /ρ vào góc chỉ phương θ của các trục vật liệu chính cho vật liệu α-Fe Mô hình bài toán Các đồ thị của x(δ, 0.04) được vẽ từ (3.48), từ (3.61), (3.62) và từ (3.28) Đồ thị của x(ε, 0.04) Mô hình bài toán Sự phụ thuộc của vận tốc sóng Rayleigh không thứ √ nguyên x = c/c2 vào ε = k.h vii 14 17 20 23 25 31 31 31 32 40 40 40 40 43 56 57 60 69 viii Hình 4.3 Hình 4.4 Mô hình bài toán Sự phụ thuộc của vận tốc sóng Rayleigh không thứ nguyên vào ε Hình 4.5 Mô hình bài toán Hình 4.6 Sự phụ thuộc của vận tốc không thứ nguyên x vào ε Hình 5.1 Mô hình bài toán sóng SH Hình 5.2 Mô hình bài toán sóng Lamb p √ Bảng 2.1 Các giá trị của x = cR /cT (cT = B66 /ρ) tương ứng với các vật liệu được đề cập trong [21] 72 79 79 91 94 103 30 MỞ ĐẦU Tính thời sự của đề tài luận án Các bài toán truyền sóng trong các môi trường đàn hồi [5], [11], [18], [40], nổi bật là sóng mặt Rayleigh, là cơ sở lý thuyết cho nhiều ứng dụng khác nhau trong khoa học và công nghệ. Sóng mặt Rayleigh truyền trong môi trường đàn hồi đẳng hướng nén được, mà Rayleigh [64] tìm ra hơn 120 năm trước, vẫn đang được nghiên cứu một cách mạnh mẽ vì những ứng dụng to lớn của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và công nghệ như địa chấn học, âm học, địa vật lý, công nghệ truyền thông và khoa học vật liệu. Có thể nói rằng những nghiên cứu của Rayleigh về sóng mặt truyền trong bán không gian đàn hồi có ảnh hưởng sâu rộng đến cuộc sống hiện đại. Nó được sử dụng để nghiên cứu động đất, thiết kế mobile phone và nhiều thiết bị điện tử cực nhỏ..., như Adams và các cộng sự [8] đã nhấn mạnh. Đã có một số lượng nghiên cứu rất lớn về sóng mặt Rayleigh. Như đã viết trong [93], Google Scholar, một trong những công cụ tìm kiếm tài liệu khoa học mạnh nhất, cho chúng ta hơn một triệu đường links cho yêu cầu tìm kiếm "Rayleigh waves". Kết quả này thật đáng kinh ngạc! Nó chỉ ra rằng, lĩnh vực nghiên cứu sóng mặt Rayleigh có vị trí cao trong khoa học, và đang được sự quan tâm rất lớn của các nhà khoa học trên thế giới. Có thể nói rằng cấu trúc lớp mỏng đặt trên bán không gian đã và đang được sử dụng rộng rãi trong công nghệ hiện đại. Do vậy, việc đánh giá không phá hủy các tính chất cơ học của chúng, trước và trong quá trình sử dụng là quan trọng và có nhiều ý nghĩa [45]. Chú ý rằng có một tạp chí lớn “Thin Solid Films” dành riêng công bố các kết quả nghiên cứu liên quan đến cấu trúc lớp mỏng này. Để đánh giá không phá hủy các tính 1 2 chất cơ học của lớp và bán không gian, sóng mặt Rayleigh là công cụ tiện lợi [39]. Khi đó, phương trình tán sắc của chúng được sử dụng như là cơ sở lý thuyết để chắt lọc ra (xác định) các tính chất cơ học của cấu trúc từ các dữ liệu (các giá trị của vận tốc sóng) đo được trong thực nghiệm. Ngày nay, vật liệu composite, đặc biệt là composite cốt sợi, ngày càng được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành công nghiệp khác nhau, như chế tạo máy bay, tàu thủy, ô-tô... Để tạo ra chẳng hạn vỏ tầu thủy, các lớp cốt sợi (rất mỏng) với các góc định vị khác nhau, được dán với nhau một cách tuần hoàn, bằng nhựa êpôxy (chẳng hạn), đến một độ dầy cho trước. Như vậy, có thể xem vỏ tầu thủy (vỏ máy bay,. . . ) là một lớp dầy chứa một số rất lớn các nhân tuần hoàn, mà mỗi nhân này chứa một số lớp vật liệu khác nhau (tương ứng với góc định vị khác nhau của cốt sợi). Nếu độ dầy của lớp lớn hơn nhiều so với bước sóng của sóng truyền vào lớp (để xác định các tính chất cơ học của lớp vật liệu composite này), thì lớp vật liệu composite có thể xem như một “môi trường vô hạn có cấu trúc mỏng tuần hoàn”. Do đó bài toán truyền sóng trong các cấu trúc này rất cần được nghiên cứu và được sự quan tâm chú ý của nhiều tác giả [18], [40], [57]. Định hướng nghiên cứu 1. Áp dụng các công cụ mới để phát triển kết quả một số bài toán đã được nghiên cứu trước đây về sóng mặt Rayleigh. 2. Xây dựng các phương trình tán sắc xấp xỉ của sóng Rayleigh trong các bán không gian phủ một lớp mỏng. 3. Nghiên cứu sóng SH và sóng Lamb trong các cấu trúc mỏng tuần hoàn có ứng suất trước, cụ thể là mở rộng kết quả của Noris và Santosa [57]. Đối tượng nghiên cứu Sóng trong các bán không gian đàn hồi, sóng trong các bán không gian được phủ các lớp mỏng, sóng trong các cấu trúc tuần hoàn. Phạm vi nghiên cứu Tìm ra các phương trình tán sắc chính xác và xấp xỉ, các công thức vận tốc sóng. 3 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phương trình bậc ba, phương pháp bình phương tối thiểu, phương pháp điều kiện biên hiệu dụng và phương pháp tích phân đầu. Cấu trúc luận án Chương 1: Tổng quan Trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về sóng mặt và sóng trong các cấu trúc mỏng. Chương 2: Sóng mặt Rayleigh Áp dụng các phương pháp mới để tìm ra các kết quả mới của một số bài toán được nghiên cứu trước đây về sóng mặt Rayleigh. Chương 3: Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi nằm dưới lớp nước Khảo sát bài toán tổng quát (khi độ dầy của lớp và ảnh hưởng của trọng trường là tùy ý) của bài toán mà Bromwich [20] (giả thiết rằng lớp nước là mỏng (nông) và ảnh hưởng của trọng trường là nhỏ) đã khảo sát. Chương 4: Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng Tìm phương trình tán sắc xấp xỉ của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng (nén được, không nén được) phủ lớp mỏng trực hướng (nén được, không nén được) và trong bán không gian đàn hồi có ứng suất trước phủ một lớp mỏng có ứng suất trước. Chương 5: Sóng trong cấu trúc mỏng tuần hoàn Nghiên cứu sóng SH trong môi trường phân lớp tuần hoàn đẳng hướng nén được, và sóng Lamb trong môi trường đàn hồi đẳng hướng không nén được có ứng suất trước phân lớp tuần hoàn. Chương này là sự mở rộng nghiên cứu của Norris và Santosa [57]. Chương 1 TỔNG QUAN 1.1. Sóng mặt Rayleigh: Sự phát triển và các thành tựu 1.1.1. Phương trình tán sắc của sóng Đối với sóng Rayleigh, phương trình tán sắc dạng tường minh (dạng hiện) có ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Nó được sử dụng để giải bài toán thuận: khảo sát sự phụ thuộc của vận tốc sóng vào các tham số vật liệu, và đặc biệt, nó là cơ sở lý thuyết để giải bài toán ngược: xác định các tham số vật liệu từ các giá trị đo được của vận tốc sóng [76]. Do vậy, phương trình tán sắc dạng tường minh là mục tiêu đầu tiên và quan trọng nhất đối với các nghiên cứu liên quan đến sóng Rayleigh. Đối với các môi trường đàn hồi đẳng hướng hoặc trực hướng, phương trình tán sắc của sóng Rayleigh được tìm ra bằng phương pháp thông thường dựa vào phương trình đặc trưng của sóng [5], [11], [64]. Tuy nhiên, đối với các môi trường đàn hồi có tính dị hướng cao hơn, phức tạp hơn, chẳng hạn môi trường đàn hồi monoclinic, môi trường đàn hồi chịu ảnh hưởng của các yếu tố khác như điện trường, từ trường..., phương trình đặc trưng của sóng mất tác dụng, phương pháp thông thường không còn hiệu lực. Để tìm ra phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh đối với các môi trường phức tạp, các phương pháp mới đã được đề ra trong những năm gần đây là “phương pháp vectơ phân cực” [69] và “phương pháp tích phân đầu” [52]. Phương pháp vectơ phân cực do Taziev [69] đề ra vào năm 1989, và được phát triển bởi Ting [72, 73] và Destrade [25], [30]. Đối với phương pháp này, sử dụng các phương trình cơ bản có chứa véctơ phân cực, các tác giả thu được một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, và phương 4 5 trình tán sắc của sóng được rút ra bằng cách cho định thức của hệ bằng không. Chú ý rằng định thức này này không chứa các nghiệm của phương trình đặc trưng. Phương pháp tích phân đầu được Mozhaev [52] đưa ra vào năm 1995, sau đó Destrade [31] phát triển thành công cho sóng Rayleigh hai thành phần. Đối với sóng Rayleigh hai thành phần, để tìm phương trình tán sắc các tác giả xuất phát từ các phương trình đối với biên độ ứng suất. Từ các phương trình này các tác giả đi đến một phương trình ma trận với sự giúp đỡ của một tích vô hướng. Từ tính chất chất phản đối xứng của ba ma trận cấp hai có mặt trong phương trình, một hệ tuyến tính thuần nhất gồm ba phương trình ba ẩn số được rút ra. Định thức của hệ này bằng không cho ta phương trình tán sắc. Chú ý rằng định thức của hệ phương trình trên không phụ thuộc vào nghiệm của phương trình đặc trưng. Với các phương pháp mới nêu trên, hàng loạt các phương trình tán sắc dạng tường minh của sóng mặt Rayleigh đối với môi trường đàn hồi có tính dị hướng cao, môi trường đàn hồi phức tạp đã được tìm ra trong thời gian gần đây (hơn hai thập kỷ qua). 1.1.2. Công thức vận tốc sóng Các công thức chính xác Ngoài những thành tựu đạt được nêu trên trong hơn hai thập kỷ qua, cũng cần nói đến các tiến bộ trong việc tìm ra các công thức của vận tốc sóng Rayleigh. Đối với sóng Rayleigh, vận tốc của nó là đại lượng được các nhà nghiên cứu trong các lĩnh vực khoa học khác nhau quan tâm. Nó được nói đến trong hầu hết các sách chuyên khảo về sóng truyền trong các vật thể đàn hồi. Nó liên quan đến hàm Green trong nhiều bài toán động lực học của bán không gian đàn hồi, và là một công cụ thuận lợi cho đánh giá không phá hủy các đặc trưng cơ học của kết cấu trước và trong khi chịu tải. Do vậy, công thức dạng hiện của vận tốc sóng Rayleigh có ý nghĩa đặc biệt quan trọng về cả phương diện lý thuyết lẫn thực hành. Năm 1995, Rahman và Barber [63] đã tìm được công thức chính xác đầu tiên cho vận tốc sóng Rayleigh truyền trong vật thể đàn hồi đẳng hướng nén được bằng cách sử dụng lý thuyết phương trình bậc ba. Tuy 6 nhiên công thức này được biểu diễn bằng hai biểu thức khác nhau phụ thuộc vào dấu biệt thức của một phương trình bậc ba (là phương trình tán sắc của sóng Rayleigh sau khi hữu tỷ hóa) nên không thuận tiện khi sử dụng. Sử dụng lý thuyết bài toán Riemann, Nkemzi [56] đã dẫn ra công thức cho vận tốc sóng Rayleigh, nó là một hàm liên tục của γ = µ/(λ + 2µ) với λ, µ là các hằng số Lame. Công thức đó khá phức tạp [31], và kết quả cuối cùng trong bài báo của Nkemzi là không chính xác [50]. Malischewsky [50] đã tìm được công thức biểu diễn vận tốc sóng Rayleigh bằng cách sử dụng công thức Cardan, công thức lượng giác của nghiệm phương trình bậc ba và MATHEMATICA. Tuy nhiên Malischewsky [50] không chứng minh được công thức này. Đến năm 2004, Phạm Chí Vĩnh và Ogden [77] đã chứng minh một cách chặt chẽ công thức của Malischewsky, và tìm ra được một công thức khác. Đối với vật liệu trực hướng, không nén được, Ogden và Phạm Chí Vĩnh [81] đã đưa ra được công thức dạng hiện của vận tốc sóng dựa trên lý thuyết phương trình bậc ba. Sau đó, Phạm Chí Vĩnh và Ogden [78, 80] đã tìm được các công thức dạng hiện cho vận tốc sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi trực hướng, nén được. Ngày nay vật liệu ứng suất trước được sử dụng rất rộng rãi. Đánh giá không phá hủy ứng suất trước của kết cấu, trước và trong quá trình đặt tải là cần thiết và quan trọng, sóng Rayleigh là một công cụ thuận tiện cho công việc này (Makhort [48], Makhort và các cộng sự [49]; Hirao và các cộng sự [46]; Husson [47]; Delsanto và Clark [29]; Dyquennoy và các cộng sự [37, 38]; Hu và các cộng sự [42]). Trong những nghiên cứu trên, để đánh giá ứng suất trước bằng sóng Rayleigh, các tác giả đã thiết lập hoặc sử dụng công thức xấp xỉ vận tốc sóng Rayleigh (Tanuma [68] cũng như Song và Fu [66]), chúng phụ thuộc tuyến tính vào biến dạng trước (hoặc ứng suất trước) nên rất dễ sử dụng. Tuy nhiên, vì những công thức này được tìm ra bằng phương pháp nhiễu nên chúng chỉ sử dụng được khi biến dạng trước đủ nhỏ. Do vậy, việc tìm ra các công thức vận tốc sóng Rayleigh đúng cho biến dạng trước tùy ý là hết sức cần thiết và có ý nghĩa. Gần đây, Phạm Chí Vĩnh [82, 85] tìm ra các công thức chính xác xác định vận 7 tốc sóng Rayleigh trong môi trường có biến dạng trước nén được và không nén được và công thức này cho môi trường có biến dạng trước chịu ràng buộc trong đẳng hướng được Phạm Chí Vĩnh và Phạm Thị Hà Giang [87] tìm ra bằng phương pháp lý thuyết phương trình bậc ba. Các công thức xấp xỉ Nhiều ứng dụng thực tế đòi hỏi các công thức vận tốc của sóng mặt Rayleigh đơn giản, dễ sử dụng. Do vậy, việc tìm ra các công thức xấp xỉ của chúng là hết sức có ý nghĩa và cần thiết, vì chúng thường có biểu diễn đơn giản hơn nhiều so với công thức chính xác. Yêu cầu cơ bản cho các công thức xấp xỉ là độ chính xác toàn cục của chúng phải cao, ít nhất thỏa mãn các yêu cầu của người sử dụng và đòi hỏi thực tế. Đối với sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng, công thức xấp xỉ đầu tiên cho vận tốc sóng do Bergmann [12] thiết lập vào năm 1948 và được sử dụng rất rộng rãi. Sau đó, một số xấp xỉ khác được thiết lập bởi Achenbach [5], Brekhovskikh [17], Briggs [19] và Nesvijski [55]. Tuy nhiên, độ chính xác của các công thức này chưa cao. Gần đây, các công thức xấp xỉ với độ chính xác cao đươc thiết lập bởi Li [95], Phạm Chí Vĩnh và P. Malischewsky [88] - [90] dựa trên phương pháp bình phương tối thiểu. Đối với các môi trường đàn hồi phức tạp hơn có rất ít công thức xấp xỉ được thiết lập bởi vận tốc khi đó phụ thuộc vào nhiều tham số, do đó việc sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu gặp nhiều khó khăn về mặt toán học. Khi đó, phương pháp nhiễu được sử dụng và trở nên hữu hiệu hơn. Như vậy có thể nói rằng, trong hơn hai thập kỷ qua, lĩnh vực nghiên cứu về sóng mặt Rayleigh đã có những phát triển đáng kể, được trang bị thêm một số công cụ mới như: “Phương pháp véctơ phân cực”, “Phương pháp tích phân đầu”, “Phương pháp lý thuyết phương trình bậc ba”, “Phương pháp bài toán Riemann” (hay còn gọi là “Phương pháp hàm biến phức”), “Phương pháp bình phương tối thiểu” và “Phương pháp nhiễu”. Với sự giúp đỡ của những phương pháp này, nhiều bài toán mới được đặt ra và sẽ được giải quyết, một số bài toán cũ sẽ được hoàn thiện và phát triển. 8 1.2. Sóng trong bán không gian phủ một lớp mỏng Để tăng tuổi thọ, các chi tiết máy và nhiều vật dụng và thiết bị hiện đại được phủ một lớp vật liệu mỏng có tính chịu nhiệt, chịu ma sát cao, ít bị ăn mòn bởi môi trường xung quanh. Với sự phát triển của công nghệ hiện đại, các thiết bị siêu nhỏ, thường có cấu trúc một lớp mỏng gắn với một lớp dày, được mô hình hóa như là một lớp mỏng đặt trên bán không gian, ra đời và đang phát triển mạnh mẽ. Sử dụng giả thiết lớp mỏng, các phương trình tán sắc xấp xỉ được tìm ra bằng cách thay thế toàn bộ ảnh hưởng của lớp mỏng bằng một “điều kiện biên hiệu dụng”, bằng cách coi lớp như bản (mỏng) [6], [70], hoặc khai triển Taylor ứng suất tại mặt trên của lớp theo độ dầy của lớp (được giả thiết là nhỏ) [16], [67], [75]. Tiersten [70], Bovik [16] rút ra được các xấp xỉ bậc hai của phương trình tán sắc (chúng không trùng nhau). Trong khi đó Achenbach và Keshava [6] tìm ra được phương trình tán sắc xấp xỉ bậc bốn. Tuy nhiên, phương trình này chứa một hằng số chưa xác định nên không thuận tiện khi sử dụng. Tuan [75] rút ra xấp xỉ bậc hai từ phương trình tán sắc chính xác bằng cách khai triển Taylor phương trình theo độ dầy không thứ nguyên của lớp (kết quả cũng không trùng với xấp xỉ bậc hai của Tiersten và Bovik). Trong công trình [67], Steigmann giả thiết lớp mỏng là đẳng hướng ngang và có ứng suất dư, bán không gian là đẳng hướng và đã tìm được phương trình tán sắc xấp xỉ bậc hai bằng cách khai triển Taylor thế năng biến dạng đàn hồi theo độ dầy của lớp (mỏng). Đối với các môi trường phức tạp hơn, chẳng hạn như bán không gian đẳng hướng phủ một lớp dẫn điện [94], các phương trình xấp xỉ thu được chỉ dừng lại ở bậc một. Trong các nghiên cứu nêu trên, bán không gian được giả thiết là đàn hồi đẳng hướng và trừ xấp xỉ bậc bốn của Achenbach-Kesheva (còn phụ thuộc vào một hằng số chưa xác định) các xấp xỉ thu được có bậc cao nhất là bậc hai. Để tăng độ chính xác, cần thiết thiết lập các xấp xỉ bậc cao hơn và để mở rộng phạm vi ứng dụng cần xem xét các bán không gian dị hướng. 9 1.3. Sóng trong cấu trúc lớp mỏng tuần hoàn Cấu trúc mỏng tuần hoàn đang phát triển mạnh mẽ và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành công nghiệp khác nhau như đã nói ở phần mở đầu. Với giả thiết các lớp đều mỏng, tức là 0 < kh << 1, trong đó k là số sóng, h là độ dầy một chu kỳ, phương trình tán sắc xấp xỉ của sóng được biểu diễn dưới dạng tiệm cận: ω2 c = 2 = Ω1 + khΩ2 + (kh)2 Ω3 + ... k 2 (1.1) trong đó ω là tần số sóng, c là vận tốc sóng, Ωk là các hệ số cần xác định. Như đã chỉ ra trong [10, 15], ω 2 là hàm chẵn của k nên Ω2m = 0 ∀m ≥ 1. Do vậy, cần xác định Ω2m+1 ∀m ≥ 0. Norris và Santosa [57] nghiên cứu sự truyền sóng SH trong môi trường (cấu trúc) vô hạn tuần hoàn mỗi chu kỳ (nhân tuần hoàn) gồm N (N ≥ 2) lớp vật liệu đẳng hướng, nén được khác nhau được giả thiết đều mỏng. Các tác giả đã tìm được Ω1 , Ω3 . Để tăng độ chính xác của phương trình tán sắc xấp xỉ, cần xác định các hệ số bậc cao hơn trong khai triển tiệm cận (1.1) và mở rộng kết quả nghiên cứu cho sóng hai thành phần. 1.4. Tình hình nghiên cứu trong nước (i) Sóng mặt Rayleigh Ở Việt Nam, sóng mặt Rayleigh được tác giả Phạm Chí Vĩnh, Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường đại học Khoa học Tự nhiên nghiên cứu từ 2004. Các kết quả chính mà tác giả Phạm Chí Vĩnh cùng nhóm nghiên cứu đạt được là tìm ra các công của vận tốc sóng Rayleigh trong các môi trường đàn hồi khác nhau, các công thức chính xác [77]- [87] cũng như các công thức xấp xỉ [88]- [91]. (ii) Sóng trong các cấu trúc lớp mỏng đặt trên bán không gian Ở Việt Nam, các nghiên cứu về sự truyền sóng Rayleigh trong các cấu trúc lớp mỏng đặt trên bán không gian còn rất hạn chế. Tác giả Trần Thanh Tuấn [75] nghiên cứu tỷ số H/V của sóng Rayleigh truyền 10 trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng được phủ bởi một lớp đàn hồi đẳng hướng. (iii) Sóng trong các cấu trúc lớp mỏng tuần hoàn Các nghiên cứu về sự truyền sóng trong các cấu trúc lớp mỏng tuần hoàn được quan tâm nghiên cứu tại Việt Nam từ lâu bởi các tác giả Lê Minh Khanh [1] và Phạm Chí Vĩnh [79]. Các kết quả chính mà các tác giả đã thu được là tìm ra các phương trình tán sắc xấp xỉ bậc một khi các lớp giả thiết là mỏng. 1.5. Mục tiêu của luận án Từ sự phân tích tổng quan tình hình nghiên cứu sóng mặt Raleigh và sóng trong các cấu trúc lớp mỏng, luận án đặt ra các mục tiêu nghiên cứu của luận án như sau: • Mục tiêu thứ nhất Áp dụng các công cụ mới để phát triển kết quả của một số bài toán đã được nghiên cứu trước đây về sóng mặt và sóng Rayleigh. Cụ thể: i) Bài toán 1: Sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi đẳng hướng không nén được chịu ảnh hưởng của trọng trường. Bài toán này được nghiên cứu bởi Bromwich [20], Biot [13] và Kuipers [43]. Đối với bài toán này: các tác giả dừng lại ở việc rút ra phương trình tán sắc của sóng và khảo sát một vài ví dụ bằng số. Luận án đặt mục tiêu tìm công thức chính xác và các công thức xấp xỉ có độ chính xác cao cho vận tốc sóng bằng cách áp dụng “Phương pháp lý thuyết phương trình bậc ba”, “Phương pháp bình phương tối thiểu”. Khảo sát sự tồn tại và duy nhất của sóng. ii) Bài toán 2: Sóng Rayleigh trong bản mỏng đàn hồi, trực hướng, bán vô hạn. Bài toán này được Ohyoshi [62], Cerv [21], Cerv và các cộng sự [22] giải quyết vào những năm gần đây. Đối với bài toán này: Ohyoshi [62] đã tìm ra phương trình tán sắc của sóng. Tuy nhiên, phương trình này còn dưới dạng ẩn. Cerv [21], Cerv và