Tài liệu Số rodon hurwitz của một số họ ma trận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ———————o0o——————– NGUYỄN THỊ MỸ HIỀN SỐ RADON-HURWITZ CỦA MỘT SỐ HỌ MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định, 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ———————o0o——————– NGUYỄN THỊ MỸ HIỀN SỐ RADON-HURWITZ CỦA MỘT SỐ HỌ MA TRẬN Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 8 46 01 04 Người hướng dẫn: TS.LÊ THANH HIẾU Bình Định, 2022 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn bởi TS Lê Thanh Hiếu. Các kết quả trong luận văn là kết quả được trình bày theo hiểu biết và logic riêng của tác giả trên cơ sở tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu khoa học các tác phẩm đã được công bố được trích dẫn trong luận văn. Luận văn đảm bảo tính khách quan, trung thực và khoa học và có trích dẫn rõ ràng. Nguyễn Thị Mỹ Hiền Lời cảm ơn Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Lê Thanh Hiếu, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ em thực hiện và hoàn thành luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ em trong quá trình học tập tại trường. Nguyễn Thị Mỹ Hiền Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục các kí hiệu Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian véctơ, không gian véctơ con . . . . . 1.2 Ma trận khả nghịch, ma trận xác định dương . . 1.3 Ma trận Quaternion . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Chéo hóa ma trận và điều kiện chéo hóa ma trận 1.5 Ánh xạ song tuyến tính thực . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Số Radon-Hurwitz của một số họ ma trận 2.1 Chùm ma trận và ánh xạ song tuyến tính . . . . . . . . . . 2.2 Số Radon Hurwitz cho họ các ma trận vuông tùy ý, ma Hermit và ma trận đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Số Radon-Hurwitz cho họ ma trận vuông tùy ý . . 2.2.3 Số Radon-Hurwitz cho họ ma trận Hermit . . . . . 2.2.4 Số Radon-Hurwitz cho họ ma trận đối xứng phức . 2.3 Số Radon-Hurwitz cho họ các ma trận phản giao hoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 10 10 12 14 17 . . . . 17 trận . . . . 21 . . . . 21 . . . . 24 . . . . 33 . . . . 39 . . . . 40 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU K Trường các số thực R, trường số phức C hay Quaternion Q Kn×n Tập các ma trận vuông cấp n với vác hệ số trong K Hn Tập các ma trận Hermit cấp n trên K RS n Tập các ma trận đối xứng thực cấp n trên K CS n Tập các ma trận đối xứng phức cấp n trên K KAn Tập các ma trận phản xứng cấp n trên K. Hn+ Tập các ma trận nửa xác định dương cấp n trên K. Hn++ Tập các ma trận xác định dương cấp n trên K i, j, k Các đơn vị ảo của tập Q các Quaternion AT Ma trận chuyển vị của ma rận A AH Ma trận chuyển vị liên hợp phức của ma trận A diag(a1 , a2 , ..., an ) Ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo a1 , a2 , ..., an K(n) Số nguyên dương lớn nhất sao cho tồn tại K(n) ma trận trong K(n) và có tính chất P Kh (n) Số nguyên dương lớn nhất sao cho tồn tại Kh (n) ma trận Hermit trong Kn×n và có tính chất P Ks (n) Số nguyên dương lớn nhất sao cho tồn tại K(n) ma trận đối xứng trong Kn×n và có tính chất P . 1 Lời mở đầu Ma trận là một công cụ cốt lõi để nghiên cứu nhiều bài toán không chỉ trong Đại số tuyến tính mà còn nhiều lĩnh vực khác của Toán học cũng như các ngành ứng dụng Toán học. Các nghiên cứu hiện đại trong Lý thuyết ma trận không chỉ nhằm phát hiện ra các kĩ thuật đại số (tuyến tính) mà còn phục vụ cho các lĩnh vực cần nhiều kỹ thuật tính toán ma trận như: Toán tổ hợp, Lý thuyết số, Lý thuyết đồ thị, Lý thuyết toán tử và các lĩnh vực khác. Một số bài toán nêu trên dẫn đến các phương trình ma trận Hurwitz, trong đó có xuất hiện khái niệm số Radon-Hurwitz của một họ các ma trận như: Ma trận Hermit, ma trận đối xứng, ma trận phản giao hoán. Đề tài nhằm mục đích tìm hiểu một số tính chất liên quan đến số RadonHurwitz của một số chùm ma trận cho trước như ma trận vuông, ma trận Hermit, đối xứng, phản giao hoán và mối liên hệ của chúng. Chúng tôi tập trung nghiên cứu về “tính chất P” của ma trận thực hoặc phức tùy ý, ma trận Hermit, và một tổ hợp tuyến tính của một họ hữu hạn các ma trận trên. Từ đó, chỉ ra được sự trùng nhau của ba định nghĩa về chùm ma trận có “tính chất P” và số Radon-Hurwitz cho họ các ma trận phản giao hoán là trường hợp đặc biệt, nó không đòi hỏi tính khả nghịch của các ma trận. Ngoài Lời mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn gồm có hai chương như sau. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho chương sau. Các kiến thức gồm không gian véctơ, không gian véctơ con, ma trận khả nghịch, ma trận xác định dương và ma trận Quaternion; phương pháp chéo hóa thông thường một ma trận trên một trường; và ánh xạ song tuyến tính. Chương 2. Số Radon-Hurwitz của một số họ ma trận. Trong chương này, chúng tôi trình bày số Radon-Hurwitz của một số họ ma trận: Ma trận vuông tùy ý, ma trận đối xứng thực, ma trận Hermit và họ các ma trận phản giao hoán. Mặc dù bản thân tác giả đã hết sức cố gắng, xong luận văn này khó tránh 2 khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Quy Nhơn, ngày 28 tháng 07 năm 2022. Học viên Nguyễn Thị Mỹ Hiền 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho chương sau như: Không gian véctơ, không gian véctơ con, ma trận khả nghịch, ma trận xác định dương và ma trận Quaternion; chéo hóa ma trận và điều kiện chéo hóa ma trận, và ánh xạ song tuyến tính. Nội dung chương này tham khảo chủ yếu từ [1] và [2]. Trong suốt luận văn này, K được hiểu là trường số thực R hay trường số phức C. Tập các ma trận cỡ m × n được ký hiệu là Km×n . Đôi khi, ta đồng nhất một véctơ trong Kn như là một ma trận cột trong Kn×1 . 1.1 Không gian véctơ, không gian véctơ con Một tập hợp V 6= ∅ được gọi là một K-không gian véctơ nếu V được trang bị hai phép toán cộng và phép nhân với vô hướng thỏa mãn 8 tiên đề sau đây: 1. Đối với phép cộng véctơ, ta có (a) (x + y) + z = x + (y + z), với mọi x, y, z ∈ V. (b) x + y = y + x, với mọi x, y ∈ V . (c) Trong V tồn tại phần tử trung hòa: tồn tại 0 ∈ V : x + 0 = 0 + x = x, với mọi x ∈ V . (d) Mọi phần tử trong V đều có phần tử đối: với mọi x ∈ V , tồn tại −x ∈ V sao cho x + (−x) = 0. Phần tử −x được gọi là véctơ đối của x. 2. Đối với phép nhân với vô hướng, ta có (a) (αβ)z = α(βz) với mọi α, β ∈ K và mọi z ∈ V . 4 (b) (α + β)z = αz + βz với mọi α, β ∈ K và mọi z ∈ V . (c) α(x + y) = αx + αy, với mọi α ∈ K và mọi x, y ∈ V. (d) 1x = x với mọi x ∈ V. Mệnh đề 1.1. Một tập con W của V là một không gian véctơ con của V nếu W đóng kín đối với phép cộng và nhân vô hướng. Tức là i x + y ∈ W, với mọi x, y ∈ W . ii ax ∈ W, với mọi a ∈ K và x ∈ W. Cho V là một K-không gian véctơ, một hệ x1 , x2 , ...xn ∈ V được gọi là: • Độc lập tuyến tính nếu thỏa mãn: Nếu có các phần tử α1 , α2 , ..., αn ∈ K sao cho α1 x1 + α2 x2 + ... + αn xn = 0 thì α1 = α2 = ... = αn = 0. • Phụ thuộc tuyến tính nếu không độc lập tuyến tính. • Hệ sinh của V nếu x ∈ V luôn biểu diễn được về dạng x = α1 x1 + α2 x2 + ... + αn xn với α1 , α2 , ..., αn ∈ K. • Cơ sở của V nếu chúng độc lập tuyến tính và đồng thời cũng là một hệ sinh trong V . Ta có một số ghi chú sau: • Một không gian véctơ V có thể có nhiều hơn một cơ sở và các cơ sở của nó có cùng số phần tử.. • Nếu không gian véctơ V có một cơ sở gồm n phần tử thì ta gọi n là số chiều của không gian véctơ V . Kí hiệu dim V = n. Trong luận văn này, ngoài các ma trận vuông trên R hoặc C, ta quan tâm đến một số tập ma trận sau đây: • Tập ma trận đối xứng thực: RSn = {A ∈ Rn×n |AT = A}, trong đó AT là ma trận chuyển vị của A. • Tập ma trận đối xứng phức: CSn = {A ∈ Cn×n |AT = A}. 5 • Tập các ma trận Hermit: Hn = {A ∈ Cn×n |AH = A}, trong đó AH là chuyển vị liên hợp của A. Chú ý rằng Hn ∩ Rn×n = RSn . • Tập các ma trận phản xứng: KAn = {A ∈ Kn×n |AT = −A}. • Tập các ma trận nửa xác định dương: Hn+ = {A ∈ Hn |z H Az ≥ 0, ∀z ∈ Cn }. • Tập các ma trận xác định dương: Hn++ = {A ∈ Hn |z H Az > 0, ∀z ∈ Cn \ {0}}. Chú ý rằng Hn++ ⊆ Hn+ . Hơn nữa ta thường viết Hn+ ∩ Rn×n =: RSn+ , Hn++ ∩ Rn×n =: RSn++ . Nếu A ∈ Hn+ (tương tự A ∈ Hn++ ) thì ta viết A  0 (tương tự A  0). Ví dụ 1.1. Ta có     1 7 3  1+i 7−i 3      3×3 3×3    A= ∈ RS , B = 7 4 5  7 − i 4 5  ∈ CS ,     3 5 6 3 5 6 Khi đó,    −1 2 + i 5 − 3i  C= 7 5i  2−i  5 + 3i vì −5i    ∈ H3   2  C H   −1 2 + i 5 − 3i  = 7 5i  2−i  5 + 3i −5i    = C.   2 Mệnh đề sau chỉ ra rằng các tập ma trận trên đây là các không gian véc tơ con của không gian các ma trận vuông. Mệnh đề 1.2. Các khẳng định sau đây là đúng. a) Các tập RSn và RAn là các R-không gian véctơ con của Rn×n với số chiều n(n−1) , . lần lượt là n(n+1) 2 2 6 b) Hn là một không gian véctơ con của R-không gian véctơ Cn×n ∼ = R2n×2n có số chiều n2 , nhưng không là một không gian véctơ con của C-không gian véctơ Cn×n . c) CSn , CAn là các R-không gian véctơ con của Cn×n với số chiều lần lượt là n(n + 1), n(n − 1). Chú ý rằng CSn , CAn là các C-không gian véctơ con của và n(n−1) . Cn×n với số chiều lần lượt là n(n+1) 2 2 Chứng minh. Gọi Eij là một trận vuông cấp n sao cho phần tử ở dòng i cột j bằng 1 và các phần tử còn lại đều bằng 0. Ta có nhận xét rằng: {Eij | 1 ≤ i, j ≤ n} là một hệ gồm n2 phần tử độc lập tuyến tính trong R-không gian véctơ Rn×n . Hơn nữa nó là một hệ sinh của Rn×n . a) RSn , RAn đều là tập con của Rn×n , và đóng kín đối với phép toán cộng “ +” các véctơ trong Rn×n và phép nhân với vô hướng trên R, do đó chúng là những R-không gian véctơ con của Rn×n . • Ta chứng minh tập sau là một cơ sở của RSn : {Eij + Eji | 1 ≤ i < j ≤ n} ∪ {Eii | 1 ≤ i ≤ n}. Hệ các ma trận trên là độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử có bộ số thực λij thỏa mãn X X λij (Eij + Eji ) + 1≤i - Xem thêm -