Tài liệu Skkn ứng dụng, khai thác một bất đẳng thức

A- §Æt vÊn ®Ò Trong gi¶ng d¹y m«n to¸n, ngoµi viÖc gióp häc sinh n¨m ch¾c kiÕn thøc c¬ b¶n, th× viÖc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh ®Ó khai th¸c thªm c¸c bµi to¸n míi tõ nh÷ng bµi to¸n ®iÓn h×nh, ®ång thêi biÕt øng dông c¸c bµi to¸n ®¬n gi¶n vµo viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n phøc t¹p lµ ®iÒu rÊt cÇn thiÕt cho c«ng t¸c båi dìng häc sinh giái. Chóng ta ®Òu biÕt mét bµi to¸n dï cã khã, phøc t¹p ®Õn ®©u lêi gi¶i cña nã còng cã thÓ ®a ®îc vÒ mét chuçi h÷u h¹n c¸c bíc suy luËn ®¬n gi¶n, viÖc gi¶i bµi to¸n phøc t¹p ®Òu cã thÓ ®a vÒ viÖc ¸p dông, tiÒn ®Ò lµ c¸c bµi to¸n ®¬n gi¶n. Nªn viÖc thêng xuyªn øng dông, khai th¸c c¸c bµi to¸n ®¬n gi¶n ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n khã lµ mét c¸ch n©ng cao dÇn kh¶ n¨ng suy luËn, t duy s©u cho häc sinh. Qua mét sè n¨m gi¶ng d¹y, t«i ®· häc hái ®îc ë c¸c ®ång nghiÖp vµ víi kinh nghiÖm cña b¶n th©n t«i lu«n gióp häc sinh khai th¸c, øng dông nhiÒu bµi to¸n, nhÊt lµ c¸c bµi to¸n vÒ chøng minh bÊt ®¼ng thøc, trªn c¬ së ®ã t«i viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiÖm. “øng dông, khai th¸c mét bÊt ®¼ng thøc “. Dï ®· cã nhiÒu cè g¾ng, song s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy cha ph¶i lµ hoµn chØnh, cßn cã thiÕu sãt. T«i rÊt mong ®îc Héi ®ång khoa häc vµ c¸c ®ång nghiÖp bæ sung thªm ý kiÕn ®ãng gãp cho t«i, ®Ó trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y sau nµy, t«i sÏ gióp ®îc häc sinh cña m×nh nhiÒu h¬n n÷a trong lÜnh vùc t×m tßi vµ chiÕm lÜnh c¸c tri thøc, kh¸m ph¸ m«n to¸n häc . B- Néi dung I- C¬ së lý thuyÕt 1. §Þnh nghÜa bÊt ®¼ng thøc Cho hai sè a vµ b. Ta nãi : a lín h¬n b, ký hiÖu a > b, nÕu a - b > 0 a nhá h¬n b, ký hiÖu a < b, nÕu a - b < 0 2. Mét sè tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc +a>b  bb,b>c  a>c 3 + a  b   ac bd c  d + a  b   a.c  b.c c  0 + a  b   a.c  b.c c  0 + a  b  0   a.c  b.d c  d  0 3. Mét sè h»ng bÊt ®¼ng thøc + a 2 0 ;  a 2 0 x¶y ra ®¼ng thøc khi a = 0. + a 0 . X¶y ra ®¼ng thøc khi a = 0 4. Mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc 4.1. Dïng ®Þnh nghÜa §Ó chøng minh A > B, ta xÐt hiÖu A - B vµ chøng minh r»ng A - B > 0 4.2. Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng §Ó chøng minh A > B ta biÕn ®æi t¬ng ®¬ng A  B  A1  B1  A2  B2  ...  An  Bn . Trong ®ã bÊt ®¼ng thøc An > Bn lu«n ®óng, do qu¸ tr×nh biÕn ®æi lµ t¬ng ®¬ng nªn ta suy ra A > B lµ ®óng. 4.3. Dïng bÊt ®¼ng thøc phô §Ó chøng minh A > B, ta xuÊt ph¸t tõ mét h»ng bÊt ®¼ng thøc hoÆc mét bÊt ®¼ng thøc ®¬n gi¶n (gäi lµ b®t phô) vµ biÕn ®æi t¬ng ®¬ng suy ra A > B. II- C¸c nhËn xÐt vµ c¸c bµi to¸n minh ho¹ cho viÖc øng dông, khai th¸c mét bÊt ®¼ng thøc líp 8 NhËn xÐt :Trong ch¬ng tr×nh to¸n T.H.C.S cã mét bÊt ®¼ng thøc quen thuéc mµ viÖc øng dông cña nã trong khi gi¶i c¸c bµi tËp ®¹i sè vµ h×nh häc rÊt cã hiÖu qu¶. Ta thêng gäi ®ã lµ “bÊt ®¼ng thøc kÐp”. §ã lµ bÊt ®¼ng thøc sau : 2 Víi mäi a, b ta lu«n cã : a 2  b 2  (a  b) 2ab (*) 2  2(a 2  b 2 ) (a  b) 2 .......(1)  NhËn thÊy (*)   (a  b) 2 4ab.................(2)  2 2  a  b 2ab..................(3) C¶ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ®Òu t¬ng ®¬ng víi h»ng bÊt ®¼ng thøc (a  b) 2 0 vµ do ®ã chóng x¶y ra ®¼ng thøc khi a = b. ý nghÜa cña bÊt ®¼ng thøc (*) lµ nªu nªn quan hÖ gi÷a tæng hai sè víi tÝch hai sè vµ víi tæng c¸c b×nh ph¬ng cña hai sè ®ã. Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô minh ho¹ viÖc vËn dôngvµ khai th¸c bÊt ®¼ng thøc (*). Bµi to¸n 1: 4 Cho a + b = 1 . Chøng minh r»ng: a2  b2  1 2 ; a4  b4  1 1 ; a8  b8  8 128 * Gi¶i : ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (1) vµ gi¶ thiÕt a + b = 1 ta cã: 1 ( )2 ( a  b) 2 1 ; 2 2 2 (a  b ) 1 a b   4 4  2  2 2 a b  2 2 8 2 2 1 ( )2 (a  b ) 1 .§¼ng thøc x¶y ra khi a = b = 1/2. a8  b8   8  2 2 128 * Khai th¸c bµi to¸n NhËn xÐt 1: NÕu tiÕp tôc ¸p dông b®t (1) vµ t¨ng sè mò cña biÕn ta thu ®îc c¸c kÕt qu¶ nh: 4 4 2 1 2 ( ) (a  b ) 1 16 16 128 a b    15 ......... 2 2 2 Tæng qu¸t ta cã bµi to¸n sau: Bµi to¸n 1.1: 8 8 2 n n 1 Cho a + b = 1 . Chøng minh r»ng: a 2  b 2  2n  1 2 C¸ch gi¶i bµi to¸n 1.1 ta ¸p dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc vµ lµm t¬ng tù bµi to¸n 1. NhËn xÐt 2: TiÕp tôc kh¸i qu¸t bµi to¸n 1.1 khi thay gi¶ thiÕt a + b = 1 bëi gi¶ n thiÕt a + b = k , lµm t¬ng tù nh trªn ta cã a 2n  b 2n  kn 22  1 VËy cã bµi to¸n 1.2 nh sau: Bµi to¸n 1.2: Cho a + b = k . Chøng minh: n n kn a 2  b2  n 22  1 NhËn xÐt 3: Tõ bµi to¸n 1.2 nÕu ta thay gi¶ thiÕt a + b = k bëi b = k - a ta ®îc Bµi to¸n 1.3: n Chøng minh : a 2n  (k  a) 2n  kn 22  1 víi mäi k . * Khai th¸c s©u bµi to¸n NhËn xÐt 1: NÕu ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (1) liªn tiÕp 2 lÇn ta cã kÕt qu¶: 5 2   a  b 2    4 2 2 2 2 ( a  b )  a  b   4 4 a b    2 2 23 Tæng qu¸t ta cã bµi to¸n sau: Bµi to¸n1.4: Chøng minh : a) a 4  b 4   a  b  23 4 b) a 2n  b 2n  a  nb 2n 22  1 NhËn xÐt 2: NÕu ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (1) liªn tiÕp nhiÒu lÇn vµ t¨ng sè biÕn ta cã: 2 2   a  b 2    c  d  2      2 2 2 2 2 2 2 2  ( a  b )  ( c  d )    4 4 4 4 a b c d    2 2 4 ( a  b ) 4  (c  d ) 4  a  b  c  d    8 8.23 a4  b4  c4  d 4 a  b  c  d   a b c d      3 4 4 4.8.2   4 4 . VËy cã bµi to¸n 1.5: 4 4 4 4 a  b  c  d  a b c d  Chøng minh:   4 4   4 Cø tiÕp tôc suy luËn s©u h¬n n÷a ta thu ®îc nhiÒu bµi to¸n tæng qu¸t h¬n. Bµi to¸n 2: Cho a, b, c > 0.Chøng minh r»ng: (a  b).(b  c).(c  a ) 8abc.  (a  b) 2 4ab  * Gi¶i: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (2) ta cã :  (c  b) 2 4cb  (a  c) 2 4ac  2   (a  b)(b  c)(c  a) 64a 2 b 2 c 2 (v× a, b, c > 0)  (a  b)(b  c)(c  a ) 8abc ( v× (a+b)(b+c)(c+a) > 0 vµ 8abc > 0). §¼ng thøc x¶y ra khi a = b = c . * Khai th¸c bµi to¸n NhËn xÐt 1: NÕu cho a, b, c > 0 vµ a + b + c = 1. Khi ®ã ta cã 1 - a, 1- b, 1 - c > 0 vµ cã 1 + c = 1 + 1 - a - b = (1 - a ) + (1 - b ). ¸p dông bµi to¸n 2 ta ®îc : (1  a)(1  b)(1  c) 8(1  a)(1  b)(1  c) 6 VËy cã bµi to¸n 2.1: Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c = 1. Chøng minh: (1  a )(1  b)(1  c) 8(1  a)(1  b)(1  c) NhËn xÐt 2: Ta tiÕp tôc khai th¸c s©u h¬n bµi to¸n b»ng c¸ch cho a + b + c = n > 0 . Khi ®ã t¬ng tù nh bµi to¸n 2.1 ta cã Bµi to¸n 2.2: Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c = n > 0. Chøng minh : (n  a )(n  b)(n  c) 8(n  a )(n  b)(n  c) Bµi to¸n 3: Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c ta cã : a 2  b 2  c 2 ab  bc  ca * Gi¶i :  a 2  b 2 2ab  ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (3) ta cã :  c 2  b 2 2cb  a 2  c 2 2ac   2(a 2  b 2  c 2 )  2(ab  bc  ca)  ®.p.c.m Cã ®¼ng thøc khi a = b = c. * Khai th¸c bµi to¸n NhËn xÐt 1 : NÕu ¸p dông bµi to¸n 3 vµ t¨ng sè mò lªn, gi÷ nguyªn sè biÕn ta cã a 4  b 4  c 4 a 2 b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 (*) l¹i ¸p dông bµi to¸n 3 lÇn n÷a ta cã a 2 b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 abc(a  b  c) (**) . Tõ (*) vµ (**) ta thu ®îc kÕt qu¶ lµ a 4  b 4  c 4 abc(a  b  c) . VËy cã bµi to¸n 3.1: Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c ta cã : a 4  b 4  c 4 abc(a  b  c) . NhËn xÐt 2: NÕu t¨ng sè biÕn vµ gi÷ nguyªn sè mò cña biÕn víi c¸ch lµm nh bµi to¸n 3 ta cã Bµi to¸n 3.2: Chøng minh r»ng: a1 2  a 2 2  ...  a n 2 a1 a 2  a 2 a3  ...  a n  1 a n  a n a1 Víi mäi a1 ; a 2 ;...; a n Bµi to¸n 4 : Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c, d ta cã : a 4  b 4  c 4  d 4 4abcd * Gi¶i : ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (3) ta cã : 7 a 4  b 4  c 4  d 4 2a 2 b 2  2c 2 d 2 2(a 2 b 2  c 2 d 2 ) 4abcd ®.p.c.m Cã ®¼ng thøc khi a = b = c = d * Khai th¸c bµi to¸n NhËn xÐt 1: NÕu thay b = c = d = 1 ta cã b®t a 4  3 4a  a 4  4a  3 VËy cã bµi to¸n 4.1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = a 4  4a NhËn xÐt 2: NÕu khai th¸c bµi to¸n 4 theo híng t¨ng sè biÕn, sè mò lªn, ta Cã bµi to¸n tæng qu¸t sau: Bµi to¸n 4.2: Chøng minh r»ng víi mäi sè a1 2n  a2 2n  a3 2n  ...  a n 2 a1; a 2 ; a3 ;...; a n 2 2n víi n  N * ta cã: n  2 a1a 2 a 3 ...a n 2 . Bµi to¸n 5 : Cho a + b + c + d = 2 . Chøng minh : a 2  b 2  c 2  d 2 1 * Khai th¸c bµi to¸n NhËn xÐt 1: NÕu thay h»ng sè 2 ë gi¶ thiÕt bëi sè k ta ®îc kÕt qu¶ k 2 . VËy cã bµi to¸n tæng qu¸t h¬n nh sau: a b c d  4 Bµi to¸n 5.1: 2 2 2 2 2 Cho a + b + c + d = k . Chøng minh : a 2  b 2  c 2  d 2  k 4 NhËn xÐt 2: Ta cßn cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n 5.1 ë møc ®é cao h¬n b»ng c¸ch t¨ng sè biÕn cña bµi to¸n . Khi ®ã bµi to¸n 5.1 chØ lµ trêng hîp riªng cña bµi to¸n sau: Bµi to¸n 5.2: 2 Cho a1  a2  ...  an = k . Chøng minh: a1 2  a 2 2  ...  a n 2  k víi n  N * n §Ó gi¶i bµi to¸n nµy th× c¶ hai c¸ch lµm cña bµi to¸n 5 ë trªn ®a vµo ¸p dông kh«ng hîp lý, ta sÏ lµm nh sau: 2 2 ¸p dông b®t (3) ta cã: a1 2  k 2 2a1 . k ; a 2 2  k 2 2a 2 . k ; … ; n n n n an 2 k2 k  2 2 a n . n n 8 2 2 2 2  a1  a 2  ...  a n 2 k2 k  n 2 2 (a1  a 2  ...  a n ) (v× a1  a 2  ...  a n k ) n n 2  a1  a 2  ...  a n  k2 k2 2 n n 2 2 2  a1  a 2  ...  a n  k 2 (®.p.c.m). n Tõ ®ã suy ra : 2 2 a1  a 2  ...  a n 2  a1  a 2  ...  a n   2 víi n n N* (1.1) VËy cã bµi to¸n 5.3: 2 Chøng minh: a1 2  a 2 2  ...  a n 2   a1  a 2  a3  ...  a n  víi n  N * . n §Æc biÖt ho¸ víi n = 5, n = 7, ta ®îc nh÷ng bµi to¸n nh : Chøng minh : 2 2 2 a1  a 2  ...  a5  2 2 a1  a 2  ...  a7 2  a1  a 2  a3  ...  a5  2 5  a1  a 2  a3  ...  a7  2 .  7 Râ rµng nh÷ng b®t nµy nÕu sö dông ph¬ng ph¸p dïng ®Þnh nghÜa hoÆc biÕn ®æi t¬ng ®¬ng th× rÊt khã gi¶i quyÕt . * Khai th¸c s©u bµi to¸n NÕu tiÕp tôc n©ng sè mò lªn cao h¬n theo c¸ch khai th¸c cña bµi to¸n 1.4 ta thu ®îc kÕt qu¶ tæng qu¸t h¬n n÷a ch¼ng h¹n: Bµi to¸n 5.4: Chøng minh: a) a1  a 2  ...  a n  4 4 4  a1  a 2  a3  ...  a n  4 b) a1  a 2  ...  a n  8 c) a1 2n 8  a2 8 2n n 3 víi n  N *  a1  a 2  a3  ...  an  8  ...  a n 2 n 2n  7 víi n  N * a1  a2  a3  ...  a2n 2n n n 2 1 2  víi n N* (1.2) Râ rµng c¸c bÊt ®¼ng thøc nµy cßn chÆt h¬n c¶ b®t C« Si vµ còng kh«ng cÇn ®iÒu kiÖn g× cña biÕn. TiÓu kÕt 1: 9 Trªn ®©y ta ®· khai th¸c vµ ph¸t triÓn tõ nh÷ng bµi to¸n ®¬n gi¶n ®Ó thu ®îc nh÷ng bµi to¸n míi, nh÷ng kÕt qu¶ míi tæng qu¸t h¬n. BÊt ®¼ng thøc (1.1) lµ trêng hîp tæng qu¸t cña bÊt ®¼ng thøc (1) khi ta khai th¸c theo híng t¨ng sè biÕn cña bµi to¸n. BÊt ®¼ng thøc (1.2) lµ trêng hîp tæng qu¸t cña bÊt ®¼ng thøc (1) khi ta khai th¸c theo híng t¨ng c¶ sè mò vµ sè biÕn. TiÓu kÕt 2: §Ó khai th¸c, ph¸t triÓn mét bµi to¸n vÒ bÊt ®¼ng thøc ta cã thÓ ®i theo mét sè híng nh sau: Híng thø nhÊt : Tæng qu¸t ho¸ c¸c h»ng sè cã trong bµi to¸n, vÝ dô nh c¸c bµi to¸n 1.2; 2.2; 5.1; 6.1; 8.1; 9.1; 10.2; 12.1 Híng thø hai : Gi÷ nguyªn sè biÕn vµ t¨ng sè mò cña c¸c biÕn dÉn ®Õn tæng qu¸t ho¸ sè mò, vÝ dô c¸c bµi to¸n 1.1; 1.4 Híng thø ba : Gi÷ nguyªn sè mò vµ t¨ng sè biÕn cña c¸c biÕn dÉn ®Õn tæng qu¸t ho¸ sè biÕn, vÝ dô c¸c bµi to¸n 1.5; 3.1; 6.3; 9.2; 10.3 Híng thø t : Tæng qu¸t ho¸ c¶ vÒ sè mò vµ sè biÕn, vÝ dô nh c¸c bµi to¸n 4.2; 5.2; 5.4 Híng thø n¨m : §æi biÕn, ®Æc biÖt ho¸ tõ bµi to¸n tæng qu¸t, vÝ dô nh c¸c bµi to¸n 2.1; 4.1; 5.3; 6.2 Trªn ®©y lµ c¸c vÝ dô vËn dông b®t (*) vµo viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n ®¹i sè vµ mét sè ph¬ng híng ®Ó khai th¸c mét bµi to¸n. KÕt qu¶ thu ®îc sau khi khai th¸c b®t (1) lµ b®t : 2 2 2 a1  a 2  ...  a n   a1  a2  ...  a n  2 n víi n  N * (1.1) Vµ b®t: a1 2n  a2 2n  ...  a n 2 2n  a1  a2  a3  ...  a2n 2n 2 n  2n  1 víi n  N * (1.2) Hoµn toµn t¬ng tù nh trªn ( Chøng minh b»ng quy n¹p to¸n häc ) ta còng cã kÕt qu¶ khi khai th¸c b®t (2) nh sau: 10 a1  a2  a3  ...  a2n 2n 2 n  2n  1 n  2 a1a 2 ...a víi n  N * (2.1) 2n Tõ b®t (1.2) vµ b®t (2.1) ta cã b®t tæng qu¸t cña b®t (*) nh sau: a1 2n  a2 2n  ...  a n 2 2n  a1  a2  a3  ...  a2n 2n 2 n  2n  1 n  2 a1a 2 ...a víi n  N * (*.1) 2n Nh vËy khi lµm xong mét bµi to¸n dï lµ bµi to¸n dÔ , ngêi lµm to¸n kh«ng nªn tho¶ m·n ngay víi lêi gi¶i cña m×nh mµ cÇn tiÕp tôc suy xÐt nh÷ng vÊn ®Ò xung quanh bµi to¸n, t×m ra c¸c bµi to¸n míi hay h¬n, tæng qu¸t h¬n, sau ®ã ®Æc biÖt ho¸ bµi to¸n tæng qu¸t ®Ó cã ®îc nh÷ng bµi to¸n ®éc ®¸o h¬n, thó vÞ h¬n. §iÒu ®ã lµm cho ngêi häc to¸n ngµy cµng say mª bé m«n, ®ång thêi còng lµ c¸ch rÌn luyÖn t duy, nghiªn cøu ®Ó chiÕm lÜnh kho tµng tri thøc cña nh©n lo¹i. III- Bµi tËp ®Ò nghÞ IV- KÕt qu¶ thùc hiÖn s¸ng kiÕn kinh nghiÖm V- §iÒu kiÖn ¸p dông s¸ng kiÕn kinh nghiÖm. VI- Nh÷ng ®iÓm cßn tån t¹i, h¹n chÕ VII- Bµi häc kinh nghiÖm VIII- §Ò xuÊt hø¬ng nghiªn cøu tiÕp C- KÕt luËn Sau mét qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y nhiÒu n¨m, th«ng qua c¸c tµi liÖu tham kh¶o, còng nh häc hái ë c¸c ®ång nghiÖp. T«i ®· hÖ thèng l¹i ®îc rÊt nhiÒu bµi to¸n h×nh häc vµ ®¹i sè cã thÓ øng dông bÊt ®¼ng thøc (*) ®Ó gi¶i, mÆc dï cã nh÷ng bµi to¸n mµ trong tµi liÖu tham kh¶o ph¶i sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc lín nh bÊt ®¼ng thøc C«Si cho 3 sè, cho 4 sè, bÊt ®¼ng thøc Bunhiacèpski… ®Ó gi¶i, c¸c c¸ch gi¶i nµy hiÖn nay kh«ng phï hîp víi ch¬ng tr×nh to¸n T.H.C.S. Trong khi ®ã bÊt ®¼ng thøc (*) hÇu hÕt häc sinh líp 8 vµ líp 9 ®Òu chøng minh ®îc vµ thêng sö dông, h¬n n÷a viÖc øng dông bÊt ®¼ng thøc (*) mang l¹i hiÖu qu¶ kh«ng ph¶i lµ nhá. Th«ng qua s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy t«i mong muèn ®ùoc ®ãng gãp mét phÇn nhá bÐ c«ng søc trong viÖc híng dÉn häc sinh øng dông vµ khai th¸c bÊt ®¼ng thøc (*) khi lµm to¸n, rÌn luyÖn tÝnh tÝch cùc, ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o cho häc sinh, g©y høng thó cho c¸c em khi häc to¸n. Tuy nhiªn, do 11 thêi gian cã h¹n, tr×nh ®é b¶n th©n cßn h¹n chÕ, nªn t«i rÊt mong ®îc sù ®ãng gãp bæ sung cña Héi ®ång khoa häc c¸c cÊp vµ cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó kinh nghiÖm cña t«i ®îc hoµn chØnh h¬n, ®ång thêi còng gióp ®ì t«i tiÕn bé h¬n trong gi¶ng d¹y. T«i xin tr©n träng c¶m ¬n ! 12