PHßNG GI¸O DôC Vµ §µO T¹O TH¹NH TRÞ
TR¦êNG thcs l©m t©n
❦
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
RÌn kü n¨ng gi¶i to¸n
Ph©n tÝch ®a thøc
thµnh nh©n tö
(
)(
)
x 3 + xy2 + 2x 2y − x = ...?... = x x + y − 1 x + y + 1
N¨m häc: 2010 – 2011
PHßNG GI¸O DôC Vµ §µO T¹O TH¹NH TRÞ
TR¦êNG thcs l©m t©n
❦
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
RÌn kü n¨ng gi¶i to¸n
Ph©n tÝch ®a thøc
thµnh nh©n tö
Ng−êi thùc hiÖn: Gi¸o viªn Liªu Na Rinh
Chuyªn ngµnh:
To¸n – VËt lý
N¨m vµo ngµnh: 2007
N¨m häc: 2010 – 2011
Reøn kyõ naêng giaûi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
1. §Æt vÊn ®Ò.
To¸n häc lµ bé m«n khoa häc ®−îc coi lµ chñ lùc, bëi tr−íc hÕt To¸n häc
h×nh thµnh cho c¸c em tÝnh chÝnh x¸c, tÝnh hÖ thèng, tÝnh khoa häc vµ tÝnh
logic, v× thÕ nÕu chÊt l−îng d¹y vµ häc to¸n ®−îc n©ng cao th× cã nghÜa lµ chóng
ta tiÕp cËn ®−îc víi nÒn kinh tÕ tri thøc khoa häc hiÖn ®¹i, giµu tÝnh nh©n v¨n
cña nh©n lo¹i.
Cïng víi sù ®æi míi ch−¬ng tr×nh vµ s¸ch gi¸o khoa, t¨ng c−êng sö dông ®å
dïng, thiÕt bÞ d¹y häc, ®æi míi ph−¬ng ph¸p d¹y häc nãi chung vµ ®æi míi
ph−¬ng ph¸p d¹y vµ häc to¸n nãi riªng trong tr−êng THCS hiÖn nay lµ tÝch cùc
ho¸ ho¹t ®éng häc tËp, ho¹t ®éng t− duy, ph¸t huy tÝnh tù gi¸c, ®éc lËp, s¸ng
t¹o cña häc sinh, kh¬i dËy vµ ph¸t triÓn kh¶ n¨ng tù häc, nh»m n©ng cao n¨ng
lùc ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò, rÌn luyÖn vµ h×nh thµnh kü n¨ng vËn dông
kiÕn thøc mét c¸ch khoa häc, s¸ng t¹o vµo thùc tiÔn.
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö lµ mét trong nh÷ng d¹ng to¸n ®ßi
hái rÊt nhiÒu t− duy, bëi v× d¹ng to¸n nµy cã nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau.
Song song ®ã l¹i tån t¹i nhiÒu häc sinh yÕu trong tÝnh to¸n, kÜ n¨ng quan s¸t,
nhËn xÐt, biÕn ®æi vµ thùc hµnh gi¶i to¸n, phÇn lín do mÊt kiÕn thøc c¨n b¶n ë
c¸c líp d−íi, nhÊt lµ ch−a chñ ®éng häc tËp ngay tõ ®Çu ch−¬ng tr×nh líp 8, do
chay l−êi trong häc tËp, û l¹i, trong nhê vµo kÕt qu¶ ng−êi kh¸c, ch−a nç lùc tù
häc, tù rÌn, ý thøc häc tËp yÕu kÐm. DÉn ®Õn kÕt qu¶ häc tËp thÊp, häc sinh
ch−a rÌn luyÖn ®−îc kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
D¹ng to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö lµ néi dung hÕt søc quan träng
trong ch−¬ng tr×nh To¸n 8, viÖc ¸p dông d¹ng to¸n nµy rÊt phong phó, ®a d¹ng
cho viÖc häc sau nµy nh−: Rót gän ph©n thøc, Quy ®ång mÉu thøc nhiÒu ph©n
thøc, Gi¶i ph−¬ng tr×nh, ...
Nh»m ®¸p øng yªu cÇu ®æi míi ph−¬ng ph¸p gi¶ng d¹y vµ gióp häc sinh
th¸o gì vµ gi¶i quyÕt tèt nh÷ng khã kh¨n, v−íng m¾c trong häc tËp; thÊy ®−îc
tÇm quan träng cña d¹ng to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®ång thêi nh»m
n©ng cao chÊt l−îng bé m«n To¸n, b¶n th©n ®−a ra mét sè gi¶i ph¸p nh»m “RÌn
luyÖn kü n¨ng gi¶i to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö”.
Ngöôøi thöïc hieän: Lieâu Na Rinh
Trang
1
Reøn kyõ naêng giaûi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
2. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò.
2.1. C¸c gi¶i ph¸p nh»m rÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc
thµnh nh©n tö.
Tr−íc khi cung cÊp c¸c ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, gi¸o viªn
cÇn ph¶i lµm cho häc sinh hiÓu thÕ nµo lµ ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö.
“Ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö lµ biÕn ®æi ®a thøc ®ã thµnh mét tÝch cña
nh÷ng ®a thøc kh¸c”. ViÖc häc sinh ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cã triÖt ®Ó
(kh«ng ph©n tÝch ®−îc n÷a) hay kh«ng tïy thuéc vµo kh¶ n¨ng cña mçi em, gi¸o
viªn cÇn h−íng dÉn häc sinh khai th¸c c¸c ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch ®Ó c¸c em
ph©n tÝch triÖt ®Ó. §èi víi häc sinh yÕu kÐm nªn dõng l¹i ë ph©n tÝch thµnh
nh©n tö kh«ng yªu cÇu häc sinh ph©n tÝch triÖt ®Ó.
§Ó häc sinh chiÕm lÜnh ®−îc c¸c ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh
nh©n tö khi d¹y gi¸o viªn cÇn sö dông ph−¬ng ph¸p vÊn ®¸p gëi më, ®Æt c©u hái
cã vÊn ®Ò tõ ®ã gióp häc sinh cã gîi ý ®Ó gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò ®· ®Æt ra.
Gi¸o viªn cÇn chó träng rÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n
tö cho tõng ph−¬ng ph¸p (®Æt nh©n tö chung, dïng h»ng ®¼ng thøc, nhãm h¹ng
tö) nh»m t¹o ®µ cho d¹ng to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch phèi
hîp nhiÒu ph−¬ng ph¸p trªn vµ c¸c ph−¬ng ph¸p n©ng cao. §Ó rÌn luyÖn ®−îc
kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö gi¸o viªn cÇn ®−a c¸c bµi tËp trong
tr−êng hîp cô thÓ, kh«ng qu¸ phøc t¹p vµ theo møc ®é tõ ®¬n gi¶n ®Õn n©ng
cao.
2.1.1. D¹ng to¸n cñng cè kiÕn thøc c¬ b¶n
§©y lµ d¹ng to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö c¬ b¶n chØ dïng mét
ph−¬ng ph¸p ®Ó ph©n tÝch thµnh nh©n tö. C¸c ph−¬ng ph¸p:
- §Æt nh©n tö chung.
- Dïng h»ng ®¼ng thøc.
- Nhãm h¹ng tö.
Ba ph−¬ng ph¸p nµy Sgk tr×nh bµy rÊt chi tiÕt ë mçi xo¾n riªng vµ thùc
hiÖn mçi xo¾n trong 1 tiÕt häc.
Ngöôøi thöïc hieän: Lieâu Na Rinh
Trang
2
Reøn kyõ naêng giaûi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
Ph−¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung.
Ta th−êng lµm ph−¬ng ph¸p nµy nh− sau:
- T×m nh©n tö chung cña c¸c hÖ sè, tøc lµ t×m ¦CLN cña c¸c hÖ sè.
- T×m nh©n tö chung cña c¸c biÕn (hay biÓu thøc), mçi biÕn (biÓu thøc)
chung lÊy víi sè mò nhá nhÊt.
L−u ý: NhiÒu khi ®Ó lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung ta ph¶i ®æi dÊu c¸c h¹ng tö.
VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc 3x 3 − 6x + 9x 2 thµnh nh©n tö.
☞ Gi¸o viªn gîi ý.
- T×m nh©n tö chung cña c¸c hÖ sè 3, 6, 9
¦CLN(3, 6, 9) = 3
- T×m nh©n tö chung cña c¸c biÕn x 3 , x , x 2
x
⇝ Nh©n tö chung cña c¸c h¹ng tö trong ®a thøc ®· cho lµ 3x
☞ Gi¶i.
(
3x 3 − 6x + 9x 2 = 3x .x 2 − 3x .2 + 3x .3x = 3x x 2 − 2 + 3x
)
VÝ dô 2. Ph©n tÝch ®a thøc 14x 2y − 21xy 2 + 28x 2y 2 thµnh nh©n tö.
☞ Gi¶i.
(
14x 2y − 21xy 2 + 28x 2y 2 = 7xy.2x − 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy 2x − 3y + 4xy
(
)
(
)
)
VÝ dô 3. Ph©n tÝch ®a thøc 10x x − y − 6y y − x thµnh nh©n tö.
☞ Gi¸o viªn gîi ý. §æi dÊu x − y hoÆc y − x .
☞ Gi¶i.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
10x x − y − 6y y − x = 10x x − y + 6y x − y = 2 x − y 5x + 3y
)
Qua c¸c vÝ dô, bµi tËp gi¸o viªn cÇn cñng cè cho häc sinh.
- C¸ch t×m nh©n tö chung cña c¸c h¹ng tö.
- Quy t¾c ®æi dÊu vµ c¸ch ®æi dÊu cña c¸c nh©n tö trong mét tÝch.
Ph−¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc.
Sö dông c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí d−íi ®Ó ph©n tÝch thµnh nh©n tö.
Ngöôøi thöïc hieän: Lieâu Na Rinh
Trang
3
Reøn kyõ naêng giaûi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
(
)
= ( A − B )( A + B )
A2 ± 2AB + B 2 = A ± B
A2 − B 2
2
(
A3 ± 3A2B + 3AB 2 ± B 3 = A ± B
(
)(
A3 ± B 3 = A ± B A2 ∓ AB + B 2
)
3
)
(
)
− 2AB − 2BC + 2CA = ( A − B + C )
− 2AB + 2BC − 2CA = ( A − B − C )
A2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2BC + 2CA = A + B + C
2
A2 + B 2 + C 2
2
A2 + B 2 + C 2
2
(
VÝ dô 4. Ph©n tÝch ®a thøc x + y
) − (x − y )
2
2
thµnh nh©n tö.
☞ Gi¸o viªn gîi ý. §a thøc trªn cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc nµo ? → A2 − B 2 .
☞ Gi¶i.
(x + y ) − (x − y )
2
2
(
(
) (
) (
) (
)
)
= x +y − x −y x +y + x −y
= x +y −x +y x +y +x −y
= 2y.2x
)(
= 4xy
VÝ dô 5. Ph©n tÝch ®a thøc 8x 3 + 12x 2y + 6xy 2 + y 3 thµnh nh©n tö.
(
)
3
☞ Gi¸o viªn gîi ý. §a thøc trªn cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc nµo ? → A + B .
☞ Gi¶i.
( )
8x 3 + 12x 2y + 6xy 2 + y 3 = 2x
VÝ dô 6. Ph©n tÝch ®a thøc
3
( )
2
( )
(
+ 3. 2x y + 3. 2x y 2 + y 3 = 2x + y
)
3
a2 b2 c2
+ + + ab + bc + ca thµnh nh©n tö.
2
2 2
(
)
2
☞ Gi¸o viªn gîi ý. §a thøc trªn cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc nµo ? → A + B + C .
☞ Gi¶i.
(
)
a2 b2 c2
1
1
+ + + ab + bc + ca = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca = a + b + c
2
2 2
2
2
Ngöôøi thöïc hieän: Lieâu Na Rinh
(
)
Trang
4
2
Reøn kyõ naêng giaûi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
Qua c¸c vÝ dô, bµi tËp gi¸o viªn cÇn cñng cè cho häc sinh.
Thuéc c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí, kü n¨ng nhËn d¹ng h»ng ®¼ng thøc qua
bµi to¸n (dùa vµo sè l−îng h¹ng tö, sè mò cña c¸c h¹ng tö).
Ph−¬ng ph¸p nhãm h¹ng tö.
CÇn khÐo lÐo lùa chän c¸c h¹ng tö thÝch hîp ®Ó kÕt hîp thµnh mét nhãm nh»m
lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung hoÆc h»ng ®¼ng thøc cña nhãm ®ã.
L−u ý:
Khi kÕt hîp thµnh mét nhãm th×
- Mçi nhãm ®Òu ph©n tÝch ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung hoÆc
ph−¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc.
- Sau khi ph©n tÝch thµnh nh©n tö ë mçi nhãm th× qu¸ tr×nh ph©n tÝch thµnh
nh©n tö cña bµi to¸n ph¶i tiÕp tôc thùc hiÖn ®−îc n÷a.
VÝ dô 7. Ph©n tÝch ®a thøc x 2 − xy + x − y thµnh nh©n tö.
☞ Gi¸o viªn gîi ý.
- §a thøc ®· cho kh«ng cã nh©n tö chung vµ kh«ng sö dông ®−îc h»ng ®¼ng
thøc nµo → do ®ã ph¶i dïng ph−¬ng ph¸p nhãm ®Ó sö dông ®−îc 2 ph−¬ng ph¸p
nµy.
- C¸ch nhãm:
(
+ C¸ch 2: ( x
) (
+ C¸ch 1: x 2 − xy + x − y
2
) (
)
+ x + −xy − y
)
☞ Gi¶i.
(
− xy + x − y = ( x
) (
)
(
) (
) (
)(
)
C¸ch 1: x 2 − xy + x − y = x 2 − xy + x − y = x x − y + x − y = x − y x + 1
C¸ch 2: x 2
2
) (
)
(
)
(
) (
)(
+ x + −xy − y = x x + 1 − y x + 1 = x + 1 x − y
)
VÝ dô 8. Ph©n tÝch ®a thøc x 2 − 2x + 1 − y 2 thµnh nh©n tö.
☞ Gi¸o viªn gîi ý. x 2 − 2x + 1 cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc b×nh ph−¬ng cña mét
hiÖu. Do ®ã ta nhãm chóng l¹i.
(
)
(
)
2
(
)(
☞ Gi¶i. x 2 − 2x + 1 − y 2 = x 2 − 2x + 1 − y 2 = x − 1 − y 2 = x − y − 1 x + y − 1
Ngöôøi thöïc hieän: Lieâu Na Rinh
)
Trang
5
Reøn kyõ naêng giaûi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
VÝ dô 9. Ph©n tÝch ®a thøc x 2 − 2x − 4y 2 − 4y thµnh nh©n tö.
☞ Gi¸o viªn gîi ý. x 2 − 4y 2 cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc hiÖu hai b×nh ph−¬ng;
−2x − 4y cã nh©n tö chung lµ −2 .
☞ Gi¶i.
(
) (
x 2 − 2x − 4y 2 − 4y = x 2 − 4y 2 + −2x − 4y
(
)(
) (
= ( x + 2y )( x − 2y − 2 )
)
= x − 2y x + 2y − 2 x + 2y
)
Qua c¸c vÝ dô, bµi tËp gi¸o viªn cÇn cñng cè cho häc sinh.
- C¸ch nhãm c¸c h¹ng tö ®Ó dïng ®−îc ph−¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung vµ dïng
h»ng ®¼ng thøc.
- CÈn thËn ®Æt dÊu “ − ” hoÆc dÊu “ + ” tr−íc dÊu ngoÆc khi thùc hiÖn nhãm c¸c
h¹ng tö.
2.1.2. D¹ng to¸n vËn dông vµ ph¸t triÓn, rÌn luyÖn kü n¨ng.
D¹ng to¸n nµy lµ sù phèi hîp nhuÇn nhuyÔn cña c¸c ph−¬ng ph¸p ®Æt
nh©n tö chung, dïng h»ng ®¼ng thøc, nhãm h¹ng tö; lµ sù tæng hîp kü n¨ng
riªng lÎ ®Ó h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn kü n¨ng míi. §©y míi thùc sù lµ yªu cÇu
cña d¹ng to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cña ch−¬ng tr×nh to¸n 8.
Ph−¬ng ph¸p phèi hîp nhiÒu ph−¬ng ph¸p.
§Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch phèi hîp nhiÒu ph−¬ng
ph¸p ta cÇn thùc hiÖn theo thø tù −u tiªn cña c¸c ph−¬ng ph¸p.
i.
§Æt nh©n tö chung
ii .
Dïng h»ng ®¼ng thøc
iii .
Nhãm h¹ng tö.
VÝ dô 10. Ph©n tÝch ®a thøc x 4 − 9x 3 + x 2 − 9x thµnh nh©n tö.
☞ Gi¸o viªn gîi ý.
- §a thøc cã nh©n tö chung kh«ng ? NÕu cã th× ®Æt nh©n tö chung.
Ngöôøi thöïc hieän: Lieâu Na Rinh
Trang
6
Reøn kyõ naêng giaûi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
- §a thøc cã d¹ng cña h»ng ®¼ng thøc kh«ng ? NÕu cã th× dïng h»ng ®¼ng thøc.
- NÕu kh«ng cã hai d¹ng nµy h·y nhãm h¹ng tö.
☞ Gi¶i.
(
x 4 − 9x 3 + x 2 − 9x = x x 3 − 9x 2 + x − 9
(
) (
) (
)
)
)
= x x 3 + x + −9x 2 − 9
= x x x 2 + 1 − 9 x 2 + 1
= x x2 + 1 x − 9
(
(
)(
)
(Ñaët nhaân töû chung)
(Nhoùm haïng töû)
(Ñaët nhaân töû chung)
(Ñaët nhaân töû chung)
VÝ dô 11. Ph©n tÝch ®a thøc x 3 + xy 2 + 2x 2y − x thµnh nh©n tö.
☞ Gi¸o viªn gîi ý.
- §a thøc cã nh©n tö chung kh«ng ? NÕu cã th× ®Æt nh©n tö chung.
- §a thøc cã d¹ng cña h»ng ®¼ng thøc kh«ng ? NÕu cã th× dïng h»ng ®¼ng thøc.
- NÕu kh«ng cã hai d¹ng nµy h·y nhãm h¹ng tö.
☞ Gi¶i.
(
x 3 + xy 2 + 2x 2y − x = x x 2 + y 2 + 2xy − 1
(
)
)
(Ñaët nhaân töû chung)
= x x 2 + y 2 + 2xy − 1
2
= x x + y − 1
= x x +y −1 x +y +1
(
(
)
)(
)
(Nhoùm haïng töû)
(Duøng haèng ñaúng thöùc)
(Duøng haèng ñaúng thöùc)
Qua c¸c vÝ dô, bµi tËp gi¸o viªn cÇn cñng cè cho häc sinh.
- Cñng cè l¹i c¸c ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö dïng h»ng
®¼ng thøc, ®Æt nh©n tö chung, nhãm h¹ng tö.
- Khi ph©n tÝch cÇn theo thø tù −u tiªn cña c¸c ph−¬ng ph¸p.
- CÇn ph¶i lµm nhiÒu bµi tËp ®Ó rÌn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
2.1.3. D¹ng to¸n ph¸t triÓn t− duy.
Trong Sgk To¸n 8 hiÖn hµnh chØ giíi thiÖu 3 ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc
thµnh nh©n tö ®ã lµ: §Æt nh©n tö chung, dïng h»ng ®¼ng thøc, nhãm h¹ng tö.
Tuy nhiªn trong bµi tËp l¹i ®−a ra nh÷ng bµi to¸n kh«ng thÓ gi¶i ngay b»ng 3
ph−¬ng ph¸p ®· häc (Bt 53 sgk tr24, Bt 57 Sgk tr25). ChÝnh v× vËy trong tiÕt
Ngöôøi thöïc hieän: Lieâu Na Rinh
Trang
7
Reøn kyõ naêng giaûi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
luyÖn tËp gi¸o viªn cÇn giíi thiÖu thªm vµi ph−¬ng ph¸p n©ng cao nh−: Ph−¬ng
ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö, ph−¬ng ph¸p thªm bít cïng mét
h¹ng tö, ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô.
Ph−¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö.
Ph−¬ng ph¸p nµy th−êng gÆp trong c¸c ®a thøc cã d¹ng tam thøc bËc 2
ax 2 + bx + c .
Ta th−êng lµm ph−¬ng ph¸p nµy nh− sau: Chän h¹ng tö bx ®Ó t¸ch, t¸ch
b x + bj x = bx
bx thµnh hai h¹ng tö bi x vµ bj x ph¶i tháa m·n: i
bibj = ac
VÝ dô 12. Ph©n tÝch ®a thøc x 2 + 5x + 6 thµnh nh©n tö.
2x + 3x = 5x
☞ Gi¸o viªn gîi ý.
2.3 = 1.6
(
) (
)
(
)
(
) (
)(
☞ Gi¶i. x 2 + 5x + 6 = x 2 + 2x + 3x + 6 = x x + 2 + 3 x + 2 = x + 2 x + 3
)
VÝ dô 13. Ph©n tÝch ®a thøc 2x 2 − 5x − 7 thµnh nh©n tö.
2x − 7x = −5x
☞ Gi¸o viªn gîi ý.
2. −7 = 2. −7
( )
( )
(
) (
)
(
)
(
) (
)(
☞ Gi¶i. 2x 2 − 5x − 7 = 2x 2 + 2x + −7x − 7 = 2x x + 1 − 7 x + 1 = x + 1 2x − 7
)
L−u ý:
- NÕu ®a thøc f (x ) = ax 2 + bx + c cã b 2 − 4ac ≈ 0 ta cã thÓ ph©n tÝch theo c«ng
thøc:
−b + b 2 − 4ac
b + b 2 − 4ac
x +
ax 2 + bx + c = a x −
2a
2a
- Ta cã thÓ ph©n tÝch f (x ) = ax 2 + bx + c theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau.
VÝ dô 14. Ph©n tÝch ®a thøc x 2 − 6x + 8 thµnh nh©n tö.
☞ Gi¶i:
Ngöôøi thöïc hieän: Lieâu Na Rinh
Trang
8
Reøn kyõ naêng giaûi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
(
) (
(
)
)
(
)
(
) (
)(
C¸ch 1: x 2 − 6x + 8 = x 2 − 2x + −4x + 8 = x x − 2 − 4 x − 2 = x − 2 x − 4
(
C¸ch 2: x 2 − 6x + 8 = x 2 − 6x + 9 − 1 = x − 3
(
− 6x + 8 = ( x
− 6x + 8 = ( x
) (
)
2
(
)(
)
(
) (
−1 = x − 4 x − 2
) (
)
2
)
)(
C¸ch 3: x 2 − 6x + 8 = x 2 − 4x + 4 + −2x + 4 = x − 2 − 2 x − 2 = x − 2 x − 4
C¸ch 4: x 2
C¸ch 5: x 2
2
2
)
) ( )( ) ( ) ( )( )
) (
− 16 ) + ( −6x + 24 ) = ( x − 4 )( x + 4 ) − 6 ( x − 4 ) = ( x − 4 )( x − 2 )
− 4 + −6x + 12 = x − 2 x + 2 − 6 x − 2 = x − 2 x − 4
6 + 62 − 4.8
−6 + 62 − 4.8
x +
= x −4 x −2
C¸ch 6: x − 6x + 8 = x −
2
2
(
2
)(
)
Ph−¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö.
Sö dông ph−¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö ®Ó nhãm ®−îc c¸c h¹ng tö
nh»m lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung hoÆc cã d¹ng mét h»ng ®¼ng thøc.
VÝ dô 15. Ph©n tÝch ®a thøc x 4 + 4 thµnh nh©n tö.
☞ Gi¸o viªn gîi ý. §a thøc x 4 + 4 kh«ng cã nh©n tö chung, kh«ng cã d¹ng cña
h»ng ®¼ng thøc còng kh«ng nhãm ®−îc. Do ®ã cÇn ph¶i thªm vµ bít h¹ng tö 4x 2
nh»m lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc.
(
)
(
) ( ) = (x
2
☞ Gi¶i. x 4 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4 − 4x 2 = x 2 + 2 − 2x
2
2
)(
− 2x + 2 x 2 + 2x + 2
)
VÝ dô 16. Ph©n tÝch ®a thøc x 5 + x + 1 thµnh nh©n tö.
☞ Gi¸o viªn gîi ý. §a thøc x 5 + x + 1 kh«ng cã nh©n tö chung, kh«ng cã d¹ng
cña h»ng ®¼ng thøc còng kh«ng nhãm ®−îc. Do ®ã cÇn ph¶i thªm vµ bít h¹ng tö
x 3 ®Ó nhãm ®Æt nh©n tö chung vµ dïng h»ng ®¼ng thøc.
☞ Gi¶i.
(
) ( )
= x ( x + x + 1 ) + (1 − x ) (1 + x + x )
= ( x + x + 1)( x − x + 1)
x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 + 1 − x3
3
2
2
Ngöôøi thöïc hieän: Lieâu Na Rinh
2
3
Trang
9
Reøn kyõ naêng giaûi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
Ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô.
Ph−¬ng ph¸p nµy ®−îc dïng nh»m lµm cho bµi to¸n trë nªn ®¬n gi¶n h¬n khi ®ã
viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö víi biÕn míi trë nªn dÔ dµng h¬n. Ta sö
dông ph−¬ng ph¸p nµy khi trong ®a thøc cã nhiÒu biÓu thøc gièng nhau mµ
kh«ng ®Æt nh©n tö chung ®−îc.
Ta th−êng lµm ph−¬ng ph¸p nµy nh− sau: §Ó ph©n tÝch ®a thøc f (x )
thµnh nh©n tö, ta ®Æt y = g(x ) lµ biÓu thøc trong f (x ) . Khi ®ã viÖc ph©n tÝch ®a
thøc f (x ) thµnh nh©n tö ®−îc quy vÒ viÖc ph©n tÝch ®a thøc f (y ) thµnh nh©n tö.
Khi f (y ) ®· cã d¹ng nh©n tö ta chØ cÇn thay y bëi g(x ) .
L−u ý: Khi thay y bëi g(x ) vµo d¹ng nh©n tö cña f (y ) th× f (x ) cã d¹ng nh©n tö,
nÕu d¹ng nh©n tö nµy cßn ph©n tÝch ®−îc n÷a th× ta ph©n tÝch tiÕp tôc, nÕu
kh«ng ph©n tÝch ®−îc th× f (x ) ®· ®−îc ph©n tÝch triÖt ®Ó.
VÝ dô 17. Ph©n tÝch ®a thøc f (x ) = x 4 − 1
(*) thµnh nh©n tö.
☞ Gi¸o viªn gîi ý. NÕu biÕn ®æi ®a thøc x 4 − 1 trë thµnh d¹ng y 2 − 1 th× ta ®−îc
h»ng ®¼ng thøc quen thuéc. Do ®ã ta cÇn biÕn ®æi x 4 vÒ d¹ng y 2 b»ng c¸ch ®Æt
y = x2.
☞ Gi¶i.
§Æt y = x 2 .
(
)(
§a thøc (*) trë thµnh: f (y ) = y 2 − 1 = y − 1 y + 1
(
)(
) (
)(
)(
VËy: f (x ) = x 2 − 1 x 2 + 1 = x − 1 x + 1 x 2 + 1
(
VÝ dô 18. Ph©n tÝch ®a thøc f (x ) = x 2 + 2x
)
2
)
)
(
)
− 2 x 2 + 2x − 3
(**) thµnh
nh©n tö.
☞ Gi¸o viªn gîi ý. ViÖc ph©n tÝch f (x ) trùc tiÕp rÊt phøc t¹p. MÆt kh¸c, trong
f (x ) l¹i cã nhiÒu biÓu thøc gièng nhau do ®ã ta ®Æt y = x 2 + 2x .
Ngöôøi thöïc hieän: Lieâu Na Rinh
Trang 10
Reøn kyõ naêng giaûi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
☞ Gi¶i.
§Æt y = x 2 + 2x .
§a thøc (**) trë thµnh:
(
) (
)
(
) (
) (
)(
f (y ) = y 2 − 2y − 3 = y 2 + y − 3y + 3 = y y + 1 − 3 y + 1 = y + 1 y − 3
)
VËy:
(
)(
f (x ) = x 2 + 2x + 1 x 2 + 2x − 3
) (
) (
) ( ) (
) ( )( )
(
(
(
)
2
)
)
= x + 1 x 2 − x + 3x − 3
2
= x + 1 x x − 1 + 3 x − 1
2
= x +1 x −1 x + 3
2.2. Mét sè sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i to¸n ph©n tÝch ®a thøc
thµnh nh©n tö.
Khi ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö häc sinh th−êng m¾c ph¶i mét sè sai
lÇm d−íi ®©y:
- Bá sãt h¹ng tö sau khi ®Æt nh©n tö chung.
(
) (
)
VÝ dô 19. Ph©n tÝch ®a thøc x 2 x + y − x + y thµnh nh©n tö.
☞ Gi¶i.
(
) (
) (
)
x 2 x + y − x + y = x + y (x 2 −
0
)
Boû soùt soá 1
- §æi dÊu sai.
(
)
(
)
(
)
(
)
VÝ dô 20. Ph©n tÝch ®a thøc 9x x − y − 10 y − x
☞ Gi¶i.
(
)
(
9x x − y − 10 y − x
)
2
= 9x x − y +10 x − y
2
thµnh nh©n tö.
2
Ñoåi daáu sai
- ThiÕu dÊu ngoÆc khi khai triÓn h»ng ®¼ng thøc.
(
VÝ dô 21. Ph©n tÝch ®a thøc x + y
☞ Gi¶i.
(x + y ) − (x − y )
2
2
) − (x − y )
2
2
= (x + y + x − y )(x + y −
thµnh nh©n tö.
x −y
)
Thieáu daáu ngoaëc
Ngöôøi thöïc hieän: Lieâu Na Rinh
Trang 11
Reøn kyõ naêng giaûi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
- Nhãm h¹ng tö kh«ng thÝch hîp hoÆc t¸ch h¹ng tö sai dÉn ®Õn kh«ng ph©n tÝch
®−îc thµnh nh©n tö.
VÝ dô 22. Ph©n tÝch ®a thøc x 2 + 2x + 1 − y 2 thµnh nh©n tö.
☞ Gi¶i.
(
) (
)
(
) (
)(
x 2 + 2x + 1 − y 2 = x 2 + 2x + 1 − y 2 = x x + 2 + 1 − y 1 + y
)
Khoâng phaân tích ñöôïc nöõa
Nhoùm khoâng thích hôïp
VÝ dô 23. Ph©n tÝch ®a thøc x 2 + 5x − 6 thµnh nh©n tö.
☞ Gi¶i.
x 2 + 5x − 6 = (x 2
(
+2x ) + (3x
)
(
− 6) = x x + 2 + 3 x − 2
Taùch haïng töû khoâng phuø hôïp
)
Khoâng phaân tích ñöôïc nöõa
- Sai ë quy t¾c lÊy dÊu ngoÆc, quy t¾c bá dÊu ngoÆc.
VÝ dô 24. Ph©n tÝch ®a thøc x 2 − 2x − 4y 2 − 4y thµnh nh©n tö.
☞ Gi¶i.
(
) (
x 2 − 2x − 4y 2 − 4y = x 2 − 4y 2 − 4y 2 − 4y
)
Ñaët daáu ngoaëc sai
Häc sinh bÞ m¾c sai lÇm do kh«ng n¾m v÷ng c¸c quy t¾c, tÝnh chÊt; ch−a
häc kü h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí; ch−a rÌn luyÖn ®−îc kü n¨ng ph©n tÝch ®a
thøc thµnh nh©n tö ë 3 ph−¬ng ph¸p c¬ b¶n. V× thÕ trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y
gi¸o viªn cÇn h−íng dÉn thËt kü, ph¶i h×nh thµnh ®−îc kü n¨ng gi¶i to¸n cho
häc sinh vµ lu«n c¶nh b¸o nh÷ng lçi mµ häc sinh th−êng m¾c ph¶i khi gi¶i bµi
tËp.
2.3. TÇm quan träng cña viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cã vai trß rÊt quan träng trong ch−¬ng tr×nh
§¹i sè 8. D¹ng to¸n nµy cã thÓ ®−îc coi lµ nÒn t¶n khi thùc hiÖn rót gän ph©n
thøc vµ quy ®ång mÉu nhiÒu ph©n thøc (Ch−¬ng II. Ph©n thøc ®¹i sè) ®ång thêi
còng lµ mét biÖn ph¸p h÷u hiÖu khi gi¶i ph−¬ng tr×nh tÝch (Ch−¬ng III. Ph−¬ng
tr×nh bËc nhÊt mét Èn).
Khi quy ®ång nhiÒu mÉu thøc, ®Ó t×m mÉu thøc chung cña c¸c mÉu
thøc ta ph¶i ph©n tÝch c¸c mÉu thøc ®ã thµnh nh©n tö råi míi lÊy mÉu thøc
chung.
Ngöôøi thöïc hieän: Lieâu Na Rinh
Trang 12
Reøn kyõ naêng giaûi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
VÝ dô 25. Lµm tÝnh céng
x −1
x
+
x2 + x x2 − 1
☞ Gi¶i.
(
)
x2 − 1 = x − 1 x + 1
x2 + x = x x + 1
Ta cã:
(
)(
)
(
)(
⇒ MTC : x x + 1 x − 1
)
x −1
x
x −1
x
+ 2
=
+
2
x +x x −1 x x +1
x +1 x −1
( ) ( )( )
(x − 1)(x − 1) +
x .x
=
x ( x + 1)( x − 1) x ( x + 1)( x − 1)
x 2 − 2x + 1 + x 2
=
x x +1 x −1
(
=
)(
)
)(
)
2x − 2x + 1
x x +1 x −1
2
(
§Ó ®−a mét ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng ph−¬ng tr×nh tÝch ta ph¶i ph©n tÝch
®a thøc thµnh nh©n tö.
VÝ dô 26. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x 2 + x − 2 = 0
☞ Gi¶i.
x2 + x − 2 = 0
(
(*)
) (
)
⇔ x ( x − 1) + 2 ( x − 1) = 0
⇔ ( x − 1)( x + 2 ) = 0
⇔ x 2 − x + 2x − 2 = 0
⇔ x −1 = 0
⇔x =1
hoaëc
hoaëc
x +2 = 0
x = −2
{
}
VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh (*) lµ: S = −2;1 .
3. KÕt qu¶, hiÖu qu¶ thùc hiÖn.
Tõ thùc tÕ gi¶ng d¹y khi ¸p dông c¸c gi¶i ph¸p nh»m rÌn luyÖn kü n¨ng
ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. T«i nhËn thÊy:
- §a sè häc sinh n¾m ®−îc c¸c ph−¬ng ph¸p mµ gi¸o viªn ®· h−íng dÉn.
Ngöôøi thöïc hieän: Lieâu Na Rinh
Trang 13
Reøn kyõ naêng giaûi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
- Häc sinh gi¶i ®−îc c¸c bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö trong Sgk vµ
mét sè bµi to¸n n©ng cao.
- Häc sinh rÌn luyÖn ®−îc kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö thÓ hiÖn
qua sù linh ho¹t vµ s¸ng t¹o khi quan s¸t, nhËn d¹ng bµi to¸n vµ ®−a ra sù lùa
chän c¸ch gi¶i tèi −u nhÊt.
- §a sè häc sinh gi¶i ®−îc mét bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö theo
nhiÒu c¸ch kh¸c nhau.
- Häc sinh cã sù linh ho¹t, n¨ng ®éng vµ s¸ng t¹o h¬n khi häc ®Õn ch−¬ng Ph©n
thøc ®¹i sè vµ ch−¬ng Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn.
KÕt qu¶ kh¶o s¸t.
Líp ¸p dông
gi¶i ph¸p
KÕt qu¶
Néi dung
kh¶o s¸t
Líp ®èi chøng
TS
bµi
Trªn
Tb
D−íi
Tb
TS
bµi
Trªn
Tb
D−íi
Tb
KiÓm tra 1 tiÕt ch−¬ng
PhÐp nh©n vµ phÐp chia
c¸c ®a thøc
37
89,2%
10,8%
40
60,0%
40,0%
KiÓm tra 1 tiÕt ch−¬ng
Ph©n thøc ®¹i sè
37
86,5%
13,5%
40
57,5%
42,5%
KiÓm tra 1 tiÕt ch−¬ng
Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt
mét Èn
37
91,9%
8,1%
40
62,5%
37,5%
4. Bµi häc kinh nghiÖm.
Th«ng qua viÖc nghiªn cøu vµ tõ thùc tÕ gi¶ng d¹y khi ¸p dông c¸c gi¶i ph¸p
trªn, b¶n th©n ®· rót ra ®−îc mét sè bµi häc kinh nghiÖm sau:
- §Ó h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn tèt c¸c kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö,
trong qu¸ tr×nh d¹y häc ë c¸c líp d−íi gi¸o viªn cÇn chó ý d¹y tèt c¸c phÐp to¸n
vµ tÝnh chÊt cña nã; c¸c phÐp biÕn ®æi, tÝnh chÊt vÒ dÊu vµ quy t¾c dÊu ngoÆc.
Ngay tõ ®Çu ch−¬ng tr×nh §¹i sè 8 gi¸o viªn cÇn tæ chøc tèt c¸c ho¹t ®éng d¹y
häc ®Ó häc sinh chiÕm lÜnh ®−îc kiÕn thøc míi vµ rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i to¸n,
Ngöôøi thöïc hieän: Lieâu Na Rinh
Trang 14
Reøn kyõ naêng giaûi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
ph¶i lµm cho häc sinh n¾m v÷ng ch¾c c¸c kiÕn thøc vÒ nh©n, chia ®¬n, ®a thøc;
vËn dông thµnh th¹o c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí.
- CÇn ph¶i h×nh thµnh kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ë mçi ph−¬ng
ph¸p c¬ b¶n (®Æt nh©n tö chung, dïng h»ng ®¼ng thøc, nhãm h¹ng tö) vµ xem
®©y lµ tiÒn ®Ò cña viÖc rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh
nh©n tö, ®ång thêi chó träng kÕt hîp «n cò gi¶ng míi.
- Khi ®· ®−îc trang bÞ ®Çy ®ñ c¸c ph−¬ng ph¸p, khi ph©n tÝch mét ®a thøc
thµnh nh©n tö häc sinh cÇn quan s¸t ®Æc ®iÓm bµi to¸n, nhËn d¹ng bµi to¸n, tõ
®ã lùa chän ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch thÝch hîp. Qua viÖc lµm nµy sÏ gióp häc
sinh tÝch lòy kinh nghiÖm gi¶i to¸n. §ång thêi gi¸o viªn cÇn ®−a ra nhiÒu d¹ng
bµi tËp tõ ®¬n gi¶n nhÊt (s¸t víi tõng ph−¬ng ph¸p) ®Õn d¹ng bµi tËp n©ng cao,
phøc t¹p (®ßi hái cÇn ph¶i cã sù linh ho¹t cña t− duy, cã s¸ng t¹o trong viÖc t×m
h−íng ph©n tÝch vµ lùa chän c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i). TÊt c¶ nh»m ®Ó häc sinh
n¾m v÷ng ch¾c kiÕn thøc vµ rÌn luyÖn kü n¨ng. Khi ®· ®−îc trang bÞ ®ñ vÒ kiÕn
thøc kü n¨ng, häc sinh sÏ cã thãi quen tù häc, tù t×m tßi, nghiªn cøu, ... tõ ®ã
häc sinh sÏ chñ ®éng trong häc tËp vµ ph¸t triÓn t− duy mét c¸ch toµn diÖn.
- Trong qu¸ tr×nh ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö gi¸o viªn cÇn chó ý söa ch÷a
nh÷ng sai lÇm mµ häc sinh th−êng hay m¾c ph¶i nh− nãi ë trªn.
- Gi¸o viªn th−êng xuyªn kiÓm tra møc ®é tiÕp thu vµ vËn dông kiÕn thøc cña
häc sinh trong qu¸ tr×nh d¹y häc ®Ó cã sù ®iÒu chØnh vÒ c¸ch häc vµ ph−¬ng
ph¸p d¹y häc sao cho phï hîp nhÊt víi tõng ®èi t−îng häc sinh. Song song ®ã
cÇn ph¶i tù nghiªn cøu ®Ó cËp nhËt nh÷ng th«ng tin míi nhÊt, ®ång thêi lu«n
häc hái kinh nghiÖm tõ c¸c ®ång nghiÖp vµ ®æi míi ph−¬ng ph¸p d¹y häc theo
h−íng hiÖn ®¹i lµ ph¸t huy tÝnh tÝch cùc, tù gi¸c, chñ ®éng, s¸ng t¹o cña häc
sinh trong häc tËp. Nh− thÕ c¸c ph−¬ng ph¸p d¹y häc sÏ phï hîp h¬n víi ®Æc
®iÓm t×nh h×nh ®Þa ph−¬ng, víi xu thÕ ph¸t triÓn cña ®Êt n−íc vµ thÕ giíi.
L©m T©n, ngµy 15 th¸ng 04 n¨m 2011
Ng−êi viÕt
Liªu Na Rinh
Ngöôøi thöïc hieän: Lieâu Na Rinh
Trang 15
Reøn kyõ naêng giaûi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
ý KIÕN CñA HéI §ång khoa häc
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
DuyÖt CñA HéI §ång khoa häc
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
Ngöôøi thöïc hieän: Lieâu Na Rinh
Trang 16
- Xem thêm -
.PDF 
18 
97 
127 
