Tài liệu Skkn kinh nghiệm giảng dạy một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆN GIẢNG DẠY MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Người thực hiện: Nguyễn Thị Thức Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán. THANH HÓA NĂM 2013 1 A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong các kì thi Tốt nghiệp và Đại học (ĐH), Cao đẳng (CĐ) các khối A, B, D môn Toán đóng một vai trò quan trọng. Trang bị những kiến thức, phương pháp, kĩ năng và phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh là mục tiêu hàng đầu trong các mục tiêu dạy học môn Toán nói chung và chương trình lớp 11, 12 phần phương trình tiếp tuyến nói riêng. Phương trình tiếp tuyến (Pttt) của đồ thị hàm số y = f(x) là một phần quan trọng trong chương trình toán THPT có thể phát triển khả năng tư duy Toán học cho học sinh, được áp dụng nhiều trong các kì thi Tốt nghiệp và ĐH-CĐ, nhưng thời lượng nội dung này rất ít, học sinh còn lúng túng khi lựa chọn một phương pháp phù hợp để giải một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Từ những kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chuyên môn, phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 12, luyện thi Tốt nghiệp, ĐH-CĐ, tôi đã lựa chọn và phân dạng cho mỗi bài toán về phương trình tiếp tuyến từ đơn giản đến phức tạp, để giúp cho mọi đối tượng học sinh không bị thụ động vì sự đa dạng của bài toán, là liều thuốc bình tĩnh để học sinh dựa vào chính mình trong hoạt động học tập và khảo thí. Từ đó, tôi đã lựa chọn đề tài "kinh nghiệm giảng dạy một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)" mong muốn giúp học sinh yêu thích môn Toán, học sinh đang học lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp và ĐH-CĐ làm tài liệu tham khảo đển ôn luyện kiểm tra kiến thức của mình, vững vàng, tự tin, thành công trong học tập và khảo thí... Tôi xin giới thiệu một số bài toán về "phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)" là những bài toán tôi tham khảo, tổng hợp, tích lũy trong các kì thi và quá trình giảng dạy lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp, Đại học - Cao đẳng. II. PHẠM VI ĐỀ TÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Phạm vi đề tài - Tập trung vào đối tượng học sinh lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp THPT và Đại học Cao đẳng. - Chỉ chủ yếu đề cập đến phương pháp giải một số bài toán về phương trình (pt) tiếp tuyến của đồ thị hàm số và một số bài tập có liên quan. 2. Phương pháp nghiên cứu - Kinh nghiệm giảng dạy. - Tổng hợp, tích lũy. 2 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. CƠ SỞ LÍ LUẬN Ở trường THPT, dạy toán là dạy hoạt động Toán học, với học sinh việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Khi thực hành giải bài tập cần chuẩn bị phương pháp thích hợp, là công cụ giải toán làm cho lời giải rõ ràng, mạch lạc, súc tích, ngắn gọn, có lôgic, dễ hiểu và hiệu quả của việc giải toán được tốt hơn, tiết kiệm được thời gian, tạo hứng thú tích cực học tập cho học sinh. Rồi từ đó lựa chọn phương pháp phù hợp với mọi đối tượng học sinh, với những dạng toán cụ thể giúp các em định hướng được phương pháp giải nhanh nhất và có hiệu quả nhất. II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Sau nhiều năm trực tiếp tham gia giảng dạy môn Toán lớp 12 ở trường THPT Triệu Sơn 2, Tôi nhận thấy trình độ nhận thức, kĩ năng thực hành, phương pháp tư duy,...của một số học sinh về các bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số còn yếu, do một số nguyên nhân sau: - Học sinh học kém, nắm kiến thức cơ bản không vững, chưa chủ động học tập một cách tích cực, ngại phát hiện và giải quyết những vấn đề mới dựa trên nền tảng kiến thức cũ,... - Thời lượng dành cho nội dung này rất ít. - Tài liệu tham khảo còn chung chung... Dựa trên tình hình thực tế đó tôi đã nghiên cứu, tìm tòi, tích lũy và đưa ra phương pháp chia thành bốn bài toán về phương trình tiếp tuyến để mọi đối tượng học sinh dễ tiếp cận, dễ tiếp thu, chủ động, tích cực trong học tập... Sau đây là một số bài toán về "phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)" và phương pháp giải mà tôi đã tích lũy được từ kinh nghiệm giảng dạy và đã sử dụng để dẫn dắt học sinh thực hiện trong thời gian qua. 1. Cơ sở lí thuyết - Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng dạng y = kx + b, k là hệ số góc. - Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại tiếp điểm là k = f ' ( x0 ) x0: là hoành độ tiếp điểm - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại tiếp điểm M 0 (x0; f (x0)) là: y = f ' ( x0 ) (x - x0) + f(x0) 2. Bài toán 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại một điểm 2.1. Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0; y0) a. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0; y0) Cách giải: + Tính f ' (x ), f ' ( x0 ) ; + Thay x0; y0; f ' ( x0 ) vào y = f ' ( x 0 ) (x - x0) + y0 ta được pt tiếp tuyến cần tìm. Ví dụ 1. Cho hàm số y = x2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) x −1 3 a) Tại điểm O(0; 0); b) Tại điểm M(2; 4). 2 x − 2x Giải. Ta có y ' = ; (x − 1)2 a) Tại O(0; 0) ⇒ y'(0) = 0; Phương trình tiếp tuyến là: y = 0; b) Tại M(2; 4) ⇒ y'(2) = 0; Phương trình tiếp tuyến là: y = 4. 3 Ví dụ 2. Cho hàm số y = x - 3x2 + 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M(-1; -2). ĐS: y = 9x + 7 4 2 Ví dụ 3. Cho hàm số y = x - 8x + 10 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M(-1; 3). ĐS: y = 12x + 15. b) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M thỏa mãn tính chất P cho trước Cách giải: + Lập hệ thức M thỏa mãn tính chất P, tìm x0; y0 + Tính f ' ( x ) , f ' ( x0 ) + Thay x0; y0; f ' ( x0 ) vào y = f ' ( x0 ) (x - x0) + y0 ta được pt tiếp tuyến cần tìm. x −1 Ví dụ 1. Cho hàm số y = (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) x +1 tại giao điểm của đồ thị với trục tung . Giải. Gọi M là giao điểm của đồ thị(C) với trục tung; x −1   y = −1 y = Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:  x +1 ⇔  x = 0  x = 0 2 ⇒ M(0; -1). Ta có f ' ( x ) = ⇒ f ' (0) = 2 . Pt tiếp tuyến là y = 2x - 1. (x + 1)2 Ví dụ 2. Cho hàm số y = (1 - x)2(4 - x) (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. Giải. Hàm số (C) viết lại là: y = -x3 + 6x2 - 9x + 4 Tọa độ giao điểm của (C) với trục hoành là nghiệm của hệ phương trình:  x = 1  y = −x3 + 6x2 − 9x + 4  M (1;0 )  ⇔  x = 4 ⇒  1 , y'(1) = 0; y'(4) = - 9.  M ( 4 ; 0 )  2 y = 0 y = 0  Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y = 0 và y = -9x +36. x−3 Ví dụ 3. Cho hàm số y = (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại 2−x các giao điểm của đồ thị hàm số (C) đường thẳng d: x + 2y + 3 = 0. Giải. Tọa độ giao điểm của (C) với đường thẳng d là nghiệm của hệ phương x−3  1 3 y = trình:  . Có hai tiếp tuyến cần tìm là y = − x − , y = - x - 1. 2− x 4 2  x + 2 y + 3 = 0 4 1 Ví dụ 4. Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + 3x (C). Viết phương trình tiếp tuyến d 3 của đồ thị (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. (Trích đề thi ĐH, CĐ khối B năm 2004). Giải. * Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (C) tại điểm uốn 8  2 Điểm uốn của (C) là I  2;  , y'(2) = - 1. Pt tiếp tuyến là y = − x + . 3  3 * Chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất Gọi k1 là hệ số góc của tiếp tuyến d ⇒ k1 = -1. Gọi k2 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại mọi x ⇒ k2 = y'(x) = x2 - 4x + 3 Xét hiệu k1 - k2 = - 1 - (x2 - 4x + 3) = - (x - 2)2 ≤ 0, ∀x ⇒ k1 ≤ k2, ∀x . Dấu " = " xảy ra ⇔ x = 2 (là hoành độ tiếp điểm) ⇒ k1 là bé nhất. Vậy tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. Ví dụ 5. Cho hàm số y = - x3 + 3x2 + 4 (C). a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi hàm số (C) tại điểm uốn. b) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất. Đáp số (ĐS). * Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm uốn là y = 3 x + 3 . * Tương tự ví dụ 4 ⇒ k1 = 3 và k2 = y'(x) = -3x2 + 6x ; k1 - k2 = 3(x - 1)2 ≥ 0, ∀x ⇒ k1 ≥ k2 ∀x ⇒ k1 là lớn nhất. Vậy tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất. Chú ý: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0 ) * Nếu a > 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc bé nhất. * Nếu a < 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất. 2.2. Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) tại điểm có hoành độ x0 Cách giải: + Tính f ' ( x ) ⇒ f ' ( x0 ) + Thay x0 vào (C) tìm y0 + Thay x0; y0; f ' ( x0 ) vào y = f ' ( x0 ) (x - x0) + y0 rồi kết luận. Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 - 3x + 5 (C). Hãy viết phương trình của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ x0 = 1. Giải. Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ' ( x0 ) (x - x0) + f(x0) +) Ta có f ' ( x ) = 3x2 - 3 ⇒ f ' (1) = 0 +) Thay x0 = 1 vào (C), ta được y0 = f(1) = 3 +) Do đó, phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = 0(x - 1) + 3 ⇔ y = 3 3x + 5 Ví dụ 2. Cho hàm số y = , ta có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến 2x + 2 5 của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. ĐS: y = - 1 9 x+ . 4 4 x3 Ví dụ 3. Cho hàm số y = + 2x2 - 3x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của 3 đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0, biết rằng f ' ' ( x0 ) = 6. Giải. Ta có f ' ( x ) = - x2 + 4x - 3; f ' ' (x ) = - 2x + 4 ⇒ f ' ' ( x0 ) = -2x0 + 4 Từ giả thiết, ta có f ' ' ( x 0 ) = 6 ⇒ - 2x0 + 4 = 6 ⇔ - 2x0 = 2 ⇔ x0 = - 1 8 16 ⇒ y0 = , và f ' (− 1) = - 8. Vậy phương trình tiếp tuyến là y = - 8x - . 3 3 2.3. Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có tung độ y0 Cách giải: + Thay y0 vào (C) tìm x0. + Tính y' = f ' ( x ) , f ' ( x0 ) + Thay x0; y0; f ' ( x0 ) vào y = f ' ( x0 ) (x - x0) + y0 ta được kết quả. 2x − 3 Ví dụ. Cho hàm số y = f(x) = (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ x +1 thị (C) tại điểm có tung độ bằng 1. 2 x0 − 3 5 Giải. Từ giả thiết, ta có y0 = 1 ⇒ = 1 ⇔ x0 = 4. f ' ( x ) = x0 + 1 ( x + 1) 2 1 1 1 1 ⇒ f ' (4 ) = . Phương trình tiếp tuyến là y = (x - 4) + 1 ⇔ y = x + 5 5 5 5 Một số bài tập liên quan đến bài toán 1 2x − 3 Bài 1. Cho hàm số y = (C). Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến x−2 của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.  2x − 3  −1  ∈ (C), x0 ≠ 2 . Giải. Ta có y ' = . Giả sử M  x0 ; 0 2 x − 2 (x − 2 )  0  2x − 3 −1 ( x − x0 ) + 0 . Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M là y = 2 x0 − 2 ( x 0 − 2)  2x − 2   ; B( 2 x 0 − 2;2) . Gọi A, B là giao điểm của d với hai tiệm cận, nên A 2; 0  x0 − 2  Ta có: x A + x B = 2 + 2 x0 − 2 = 2.x0 = 2.x M 2x − 2 2x − 3 ⇒ M là trung điểm của AB. y A + yB = 0 + 2 = 2. 0 = 2. y M x0 − 2 x0 − 2 Giao điểm của hai tiệm cận là I(2; 2). Tam giác IAB vuông tại I, nên IM là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB. Diện tích của đường tròn ngoại 6 2     2 x − 3 2 tiếp tam giác IAB là: S = π .IM 2 = π ( x 0 − 2 ) +  0 − 2   ;   x0 − 2     1 1 2 2 S = π ( x 0 − 2) + ≥ 2π . Dấu " = " xảy ra khi ( x0 − 2) = 2  ( x 0 − 2 )2 (x 0 − 2)    x0 = 1 ⇔  . Vậy có hai điểm M cần tìm là M1(1; 1) và M2(3; 3).  x0 = 3 x−3 Bài 2. Cho hàm số y = (C). x −1 a) M là điểm có hoành độ x0 thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B. Chứng minh rằng: * M là trung điểm của đoạn thẳng AB. * Diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao điểm hai tiệm cận của (C). * Tìm tọa độ điểm M sao cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm vừa tìm được. b) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm của hai tiệm cận. c) Chứng minh rằng trên đồ thị (C) có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm đó song song với nhau, đồng thời đường nối các cặp điểm đó đồng quy.  x −3 2  ; x0 ≠ 1 Giải. Ta có: y ' = . Vì M ∈ (C) ⇒ M  x0 ; 0 2 x0 − 1  (x − 1)  a) Tiệm cận đứng của (C) là ∆1 : x = 1, tiệm cận ngang của (C) là ∆ 2 : y = 1. x −3 2 Phương trình tiếp tuyến d tại M là y = ( x − x0 ) + 0 . 2 x0 − 1 (x0 − 1) Gọi {A} = d ∩ ∆1 ⇒ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình x A = 1  5 − x0    . x 0 − 3 ⇒ A1; 2 y = ( x − x ) + 1 − x A A 0  0   x0 − 1 (x0 − 1)2  Gọi {B} = d ∩ ∆ 2 ⇒ Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:  yB = 1  yB = 1  ⇒ B(2x0 - 1; 1). x0 − 3 , x0 ≠ 1 ⇔  2 1 = ( x − x ) + x = 2 x − 1 B 0 2  B 0  ( x − 1) x0 − 1  0 * Ta có: xA + xB = 1 + 2x0 - 1 = 2x0 = 2 xM 5 − x0 x −3 ⇒ M là trung điểm của AB. yA + yB = + 1 = 2. 0 = 2 yM 1 − x0 x0 − 1 1 * Vì ∆1 ⊥ ∆ 2 tại I ⇒ tam giác IAB vuông tại I, nên ta có: S ∆IAB = IA.IB , 2 7 4 1 4 , IB = 2 x0 − 1 ⇒ S ∆IAB = . .2 x0 − 1 = 4 ⇒ S ∆IAB không đổi. x0 − 1 2 x0 − 1 * Gọi C là chu vi tam giác IAB, ta có: C = IA + IB + AB = IA + IB + IA 2 + IB 2 ≥ 2 IA.IB + 2.IA.IB 4 ⇒ C ≥ 2 + 2 IA.IB . Dấu ''='' xảy ra ⇔ IA = IB ⇔ = 2 x0 − 1 . x0 − 1 IA = ( ) ( ) ( ) 2 ). Ta có: y ' (1 ± 2 ) = 1 Giải ra ta được x 0 = 1 ± 2 ⇒ M 1 1 − 2 ;1 + 2 ; M 2 1 + 2 ;1 − 2 cần tìm. ( Khi đó: C min = 2 + 2 ) ( IA 2 = 4 1 + Phương trình tiếp tuyến tại M1; M2 là y = x ± 2 2 . b) Phương trình qua giao điểm I(1; 1) của hai tiệm cận là d1: y = k(x - 1) + 1. x − 3  x − 1 = k ( x − 1) + 1(1) d1 là tiếp tuyến của (C) ⇔ Hệ  có nghiệm. Thay (2) vào (1) 2  = k (2)  ( x − 1) 2 x−3 2 ta được: = (x − 1) + 1 ⇔ x − 3 = x + 1 ⇒ phương trình vô nghiệm. x − 1 ( x − 1)2 Vậy không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm của hai tiệm cận. c) Tâm đối xứng của (C) là giao điểm I(1; 1) của hai tiệm cận của (C). * Gọi M là điểm bất kì thuộc đồ thị (C) có hoành độ là xM = x0. Gọi M' đối xứng với M qua I ⇒ M' ∈ (C), Ta có xM' + xM = 2 xI = 2 ⇒ xM' = 2 - x0 I 2 ; Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k1 = y (/x0 ) = (x0 − 1)2 O 2 / (C) Hệ số góc của tiếp tuyến tại M' là k 2 = y (2− x0 ) = (2 − x0 − 1)2 2 2 ⇒ k 2 = y(/2− x0 ) = = = k ⇒ Hai tiếp tuyến tại M và M' song 2 (1 − x0 ) (x0 − 1)2 1 song với nhau. Vậy trên đồ thị (C) có vô số cặp điểm như vậy đối xứng nhau qua giao điểm I của hai tiệm cận, tiếp tuyến tại hai điểm đó song song với nhau và đường nối các cặp điểm trên đồng quy tại I. Lưu ý: Với hai số dương a, b thỏa mãn ab = S (không đổi) thì biểu thức C = a + b + a 2 + b 2 nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b. Vì C = a + b + a 2 + b 2 ≥ 2 ab + 2ab = ( 2 + 2 ) ab = (2 + 2 ) S . Dấu (( = )) khi và chỉ khi a = b. x2 Bài 3. Cho hàm số y = (C). x −1 8