SKKN - Ph¸t huy sù s¸ng t¹o cña HS qua bµi to¸n ph©n tich ®a thøc thµnh
nh©n tö.
A. lêi nãi ®Çu
C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö cã
vai trß quan träng trong viÖc h×nh thµnh kÜ n¨ng cña häc sinh
THCS , nã lµ c¬ së ®Ó gi¶i quyÕt nhiÒu bµi to¸n
tr×nh THCS. ChÝnh v× vËy, mçi gi¸o viªn
häc sinh
biÕt ¸p dông c¸c ph¬ng ph¸p
thµnh nh©n tö ®Ó gi¶i to¸n
trong ch¬ng
kh«ng chØ d¹y cho
ph©n tÝch ®a thøc
mµ cßn ph¶i ®Þnh híng mçi häc
sinh ph¸t huy ®îc hÕt kh¶ n¨ng cña m×nh ®Ó t×m tßi , kh¸m
ph¸ nh÷ng kiÕn thøc, bµi to¸n liªn quan .
Trong ch¬ng tr×nh To¸n 8 cã 3 ph¬ng ph¸p ®a vµo d¹y cho
häc sinh trong giê häc lµ c¸c ph¬ng ph¸p: §Æt nh©n tö chung,
H»ng ®¼ng thøc, Nhãm c¸c h¹ng tö. Tuy nhiªn bªn c¹nh ®ã
chóng ta cßn thÊy rÊt nhiÒu ph¬ng ph¸p kh¸c ®Ó ph©n tÝch
mét ®a thøc thµnh nh©n tö mµ trong lÝ thuyÕt kh«ng ®Ò cËp
®Õn nhng l¹i cã rÊt nhiÒu trong bµi tËp tõ To¸n 8 ®Õn To¸n 9
( ®Æc biÖt lµ khi häc sinh líp 9 cha häc CT nghiÖm cña ph¬ng
tr×nh bËc 2, hoÆc gi¶i nh÷ng ph¬ng tr×nh bËc cao ®a ®îc vÒ
d¹ng ph¬ng tr×nh tÝch ) .
Nh»m môc ®Ých ph¸t huy kh¶ n¨ng häc To¸n cña mçi häc
sinh qua c¸c buæi d¹y thùc tÕ trªn líp, ®Æc biÖt lµ häc sinh
líp 8 . T«i m¹nh d¹n ®îc ra mét sè ý kiÕn còng nh kinh nghiÖm
rót ra ®îc tõ thùc tÕ gi¶ng d¹y cña b¶n th©n.
Tæ To¸n - Trêng THCS Nam Hng - Nam S¸ch - H¶i D¬ng Thùc
hiÖn n¨m 2004
-
-1-
SKKN - Ph¸t huy sù s¸ng t¹o cña HS qua bµi to¸n ph©n tich ®a thøc thµnh
nh©n tö.
B. néi dung
PhÇn I : c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch
I/ Ph¬ng ph¸p c¬ b¶n
1/ Ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung
( Dïng khi h¹ng tö cña ®a thøc cã nh©n tö chung )
a. C¸c bíc tiÕn hµnh :
Bíc 1 : Ph¸t hiÖn nh©n tö chung vµ ®Æt nh©n tö chung ra
ngoµi dÊu ngoÆc .
Bíc 2 : ViÕt c¸c h¹ng tö trong ngoÆc b»ng c¸ch chia tõng
h¹ng tö cña ®a thøc ph¶i ph©n tÝch cho nh©n tö chung .
Bíc 3: Trêng hîp nÕu kh«ng cã nh©n tö chung mµ cã nh©n
tö ®èi th× ph¶i tiÕn hµnh ®æi dÊu ®Ó xuÊt hiÖn nh©n tö chung
.
b.C¸c vÝ dô :
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
P= -17x3y-34x2y2+51xy3
Q= 16x2(x-y)-10y(y-x)
2. Ph¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc :
(Dïng khi c¸c h¹ng tö cña ®a thøc cÇn ph©n tÝch cã d¹ng h»ng
®¼ng thøc )
a. Häc sinh cÇn n¾m v÷ng 7 h»ng ®¼ng thøc ®¸ng
nhí .
Lu ý thªm c¸c h»ng ®¼ng thøc :
a. (A+B+C)2= A2+B
2
+C 2+2AB +2BC +2CA).
Tæ To¸n - Trêng THCS Nam Hng - Nam S¸ch - H¶i D¬ng Thùc
hiÖn n¨m 2004
-
-2-
SKKN - Ph¸t huy sù s¸ng t¹o cña HS qua bµi to¸n ph©n tich ®a thøc thµnh
nh©n tö.
b.
An-B n=(A-B)(An-1+ An-2.B +...+B
n-1
).
c. 1-xn = (1-x)(1+x+x2+... +xn-1)
..........
b. C¸c vÝ dô : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
P=(a2+4) 2-16a2
Q=(x+y)2-2(x+y)+1
R= a3+6a2+12a+8
3. Ph¬ng ph¸p nhãm nhiÒu h¹ng tö :
a. KÕt hîp nhiÒu h¹ng tö thÝch hîp cña ®a thøc cÇn ph©n
tÝch khi ®a thøc cã nh©n tö chung, hoÆc cha ¸p dông
®îc h»ng ®¼ng thøc, ta tiÕn hµnh theo c¸c bíc sau :
Bíc 1: Ph¸t hiÖn nh©n tö chung hoÆc dïng h»ng ®¼ng
thøc ®¸ng nhí ë tõng nhãm .
Bíc 2: Nhãm ®Ó ¸p dông ph¬ng ph¸p h»ng ®¼ng thøc vµ
nh©n tö chung tõng nhãm .
Bíc 3: §Æt nh©n tö chung cho toµn ®a thøc .
b. C¸c vÝ dô :
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö :
P= ax-bx + ab-x2
Q= x2-2xy+y2-2x+2y
4. Tr×nh tù suy nghÜ khi ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n
tö
a. Thêng suy nghÜ theo tr×nh tù sau :
Bíc 1: NghÜ
®Õn ®Æt nh©n tö chung hoÆc dïng h»ng
®¼ng thøc .
Bíc 2: NghÜ ®Õn nhãm c¸c h¹ng tö .
Bíc 3: NghÜ ®Õn c¸c ph¬ng ph¸p ®Æc biÖt .
b. C¸c vÝ dô :
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
P=3x3y-6x2y-3xy3-6axy2-3a2xy+3xy
Tæ To¸n - Trêng THCS Nam Hng - Nam S¸ch - H¶i D¬ng Thùc
hiÖn n¨m 2004
-
-3-
SKKN - Ph¸t huy sù s¸ng t¹o cña HS qua bµi to¸n ph©n tich ®a thøc thµnh
nh©n tö.
Q=x3+x2-2x-8.
II/ C¸c ph¬ng ph¸p kh¸c
1. Ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö :
a/ Trêng
hîp ®a thøc d¹ng : ax 2+bx+c (a,b,c Z ;
a,b,c 0)
*Néi dung :
+> KiÓm tra : b2-4ac :
NÕu b2-4ac < 0 : §a thøc kh«ng ph©n tÝch ®îc
NÕu b2-4ac = 0 : §a thøc chuyÓn vÒ d¹ng b×nh ph¬ng cña
mét nhÞ thøc
NÕu b2- 4ac > 0 : §Æt b2- 4ac = k2 (k
Q ), ®a thøc
ph©n tÝch ®îc trong tËp hîp Q .
Khi b2- 4ac k2 : ®a thøc ph©n tÝch ®îc trong tËp hîp
R.
C¸ch 1 :
- T×m tÝch ac
- Xem tÝch ac b»ng tÝch hai sè b1vµ b2 nµo mµ b1+b2 = b .
T¸ch bx = b1x+ b2x
- Nhãm ph©n tÝch theo c¸ch th«ng thêng
C¸ch2:
BiÕn ®æi ®a thøc ph¶i ph©n tÝch thµnh d¹ng : A 2 – B2
b»ng c¸ch gi÷ nguyªn 2 h¹ng tö ®Çu , t¸ch 2 h¹ng tö tù do .
*VÝ dô :
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö :
P = x2-6x + 8 = x2-2x-4x+8 = x( x-2)-4( x-2)= (x-2) ( x-4)
Q = 3x2+5x+2 = ( x + 1 )( x + 2/3 )
b/ Trêng hîp ®a thøc tõ bËc 3 trë lªn :
*Néi dung:
+ NhÈm nghiÖm cña ®a thøc
Tæ To¸n - Trêng THCS Nam Hng - Nam S¸ch - H¶i D¬ng Thùc
hiÖn n¨m 2004
-
-4-
SKKN - Ph¸t huy sù s¸ng t¹o cña HS qua bµi to¸n ph©n tich ®a thøc thµnh
nh©n tö.
- NÕu tæng hÖ sè cña c¸c h¹ng tö b»ng 0 th× ®a thøc cã
nghiÖm b»ng 1 .
- NÕu tæng hÖ sè cña c¸c h¹ng tö bËc ch½n víi hÖ sè ®èi cña
c¸c h¹ng tö bËc lÎ b»ng 0 th× ®a thøc cã nghiÖm b»ng -1 .
+ Lu ý ®Þnh lý : “ NÕu ®a thøc cã nghiÖm nguyªn th× nghiÖm
nguyªn ®ã ph¶i lµ íc cña h¹ng tö tù do .NÕu ®a thøc cã nghiÖm
h÷u tû P/Q th× P lµ
íc cña h¹ng tö tù do, Q lµ íc d¬ng cña hÖ
sè h¹ng tö cã bËc cao nhÊt”.
VÝ dô 1 :
Ph©n tÝch ®a thøc : x3+3x2-4
thµnh nh©n tö
Gi¶i
C¸ch 1 : x3+3x2-4 =x3-x2+4x2-4x+4x-4
=x2(x-1)+4x(x-1)+4(x-1)
= (x-1) ( x2+4x+4)
= (x-1) (x+2)2
C¸ch 2 : x3+3x2-4
= x3-x2+4x2-4
C¸ch 3: x3+3x2-4
= x3 -1 + 3x2 - 3
VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc 3x3+2x2+2x-1 thµnh nh©n
tö .
Gi¶i
NhÈm ®îc nghiÖm
Ta cã
1
x= 3
3x3+2x2+2x-1
= 3x3-x2+3x2+3x-x-1
= x2(3x-1) + 3x(x+1)-
(x+1)
= x2(3x-1)+(x+1)(3x-1)
= (3x-1) (x2+x+1)
Tæ To¸n - Trêng THCS Nam Hng - Nam S¸ch - H¶i D¬ng Thùc
hiÖn n¨m 2004
-
-5-
SKKN - Ph¸t huy sù s¸ng t¹o cña HS qua bµi to¸n ph©n tich ®a thøc thµnh
nh©n tö.
2. Ph¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö
* Néi dung :
Ph¶i thªm bít cïng mét h¹ng tö nµo ®ã ®Ó ®a thøc chuyÓn
d¹ng hiÖu hai b×nh ph¬ng , hoÆc ¸p dông ®îc ph¬ng ph¸p
nhãm .
*C¸c vÝ dô :
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
P = x4+4 = x4+4+ 4x2-4x2 = (x2+2)2- (2x)2 = (x2+2-2x)
( x2+2+2x)
Q= x2-6x+8 = x2-6x+8+1-1 = (x-3)2- 12 = (x-3-1) (x-3+1)
= (x-4)(x-2)
3. Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô
*Néi dung :
Ph¸t hiÖn sù gièng nhau cña c¸c biÓu thøc trong ®a thøc
ph©n tÝch ®Ó chän vµ ®Æt Èn phô thÝch hîp.
* VÝ dô : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
A= (x2 + x2)2 +4x2 +4x-12 = (x2+x)2 + 4 (x2 + x )- 12
§Æt x2+x=X ta cã
A = X 2 +4X -12 =X2 +4X+4 -16 = (X
+2)2 -42
A = (X+6) (X-2)
Thay X =x2 +x vµo ta cã
A = (x2 +x +6) (x2 +x - 2)
A = (x2 + x+6) (x-1) (x+2)
4. Ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh.
*Néi dung:
Trªn c¬ së bËc cña ®a thøc ph¶i ph©n tÝch x¸c ®Þnh c¸c
d¹ng kÕt qu¶,ph¸ ngoÆc råi ®ång nhÊt hÖ sè vµ gi¶i hÖ.
VÝ dô:
Ph©n tÝch ®a thøc B=2x3 -5x2 + 8x -3 (1) thµnh nh©n
tö
+NÕu ®a thøc B ph©n tÝch thµnh nh©n tö th× B cã d¹ng:
Tæ To¸n - Trêng THCS Nam Hng - Nam S¸ch - H¶i D¬ng Thùc
hiÖn n¨m 2004
-
-6-
SKKN - Ph¸t huy sù s¸ng t¹o cña HS qua bµi to¸n ph©n tich ®a thøc thµnh
nh©n tö.
B = ( ax +b)(cx2 +dx +m)
B = acx3 +(ad +bc)x2 +(am+bd)x+bm
(2)
§ång nhÊt hÖ sè cña (1) vµ (2) ta cã hÖ sau:
a 2
b 1
c 1
d 2
VËy B = 2x3 –5x2 +8x –3 = (2x –1)(x2 –2x +3)
5. Ph¬ng ph¸p gi¸ trÞ riªng.
*Néi dung : Ph¸t hiÖn tÝnh ®èi xøng cña ®a thøc
-LÇn lît chän c¸c ch÷ lµm biÕn ,t×m ngiÖm tÝnh chia hÕt
cña ®a thøc
-X¸c ®Þnh kÕt qu¶
-B»ng ph¬ng ph¸p gi¸ trÞ riªng ®Ó t×m kÕt qu¶
*VÝ dô:Ph©n tÝch ®a thøc P = ab(a-b)+ bc(b-c) + ca(c-a)
thµnh nh©n tö.
Gi¶i
P = ab (a-b) +bc (b-c) +ca (c-a)
Thay a = b
; p = 0 ; p = (a-b)
V× vai trß cña a vµ b nh nhau P = (a-b)(b-c)(c-a)
P = k (a-b)(b-c)(c-a)
Cho a = 2,b =1, c = 0 , k = -1
P = -(a-b)(b-c)(c-a)
6.Ph¬ng ph¸p vËn dông ®Þnh lÝ vÒ t×m nghiÖm cña tam
thøc bËc 2
*Néi dung : NhÈm nghiÖm cña ®a thøc
-¸p dông ®Þnh lý ®Ó ph©n tÝch : NÕu ®a thøc P =
ax2+bx+c cã nghiÖm x1,x2 th× P = a(x-x1)( x-x2).
VÝ dô :
Ph©n tÝch ®a thøc
P= 2a2 –b2 +ab-5a +b+2
Tæ To¸n - Trêng THCS Nam Hng - Nam S¸ch - H¶i D¬ng Thùc
hiÖn n¨m 2004
-
-7-
SKKN - Ph¸t huy sù s¸ng t¹o cña HS qua bµi to¸n ph©n tich ®a thøc thµnh
nh©n tö.
Thµnh nh©n tö. (Víi P lµ tam thøc bËc 2 biÕn a .)
Gi¶i
P = 2a2 + (b - 5)a - (b2 - b - 2)
P = (b - 5)2+4.2 (b2 - b - 2) = (3b -3)2
Tam thøc bËc 2
P cã nghiÖm : a1 = (b +1) : 2
; a2= 2- b
P = 2(a-a1)(a-a2) = 2[a-(b+1:2)](a-2+b) = (2a-b-1)(a+b-2)
PhÇn II : C¸c bµi tËp ¸p dông
1. Ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö :
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö :
P= x2-7xy+12y2= x2-3xy-4xy+12y2= x(x-3y)-4y(x-3y)= (x-3y)
(x-4y)
Q= x3-3x+2= x3-1-3x+3= (x-1)(x2+x+1)-3(x-1)=(x-1)(x2+x2)
2. Ph¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö :
VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc
P = x5 - 7xy + 12y2
Q = x4 + 64
thµnh nh©n tö.
Gi¶i
P = x5 - 7xy+12y2 = x2 - 3xy - 4xy+12y2 = x(x-3y) - 4y(x-3y) =
(x-3y) (x-4y)
= x3 (x2+x+1) - x2(x2+x+1) + (x2+x+1) = (x2+x+1) (x3-x2+1)
Q = x4+ 64 = x4 +16x2 + 64-16x2 = (x2 + 8)2- (4x)2 = (x2 +8- 4x)
(x2 + 8 + 4x)
3. Ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh:
a.
Ph©n tÝch ®a thøc
P= 3x2 –22xy –4x +8xy +7y2 +1
(1)
thµnh nh©n tö.
Gi¶i
NÕu ®a thøc P ph©n tÝch ®îc th× :
Tæ To¸n - Trêng THCS Nam Hng - Nam S¸ch - H¶i D¬ng Thùc
hiÖn n¨m 2004
-
-8-
SKKN - Ph¸t huy sù s¸ng t¹o cña HS qua bµi to¸n ph©n tich ®a thøc thµnh
nh©n tö.
P = (3x +ay +b)(x +cy +d)
P = 3x2 +(3c+a)xy +(3d+d)x +(ad+bc)y+acy2 +bd
(2)
§ång nhÊt hÖ sè cña (1) vµ (2) ta ®îc:
P =(3x -y -1)(x-7y-1)
b. Ph©n tÝch ®a thøc Q = 12x 2 +5x –12y2 +12y –10xy –3
(3)
thµnh nh©n tö.
Gi¶i
NÕu ®a thøc Q ph©n tÝch ®îc th×:
Q=(ax+by +3)(cx +dy -1)
Q=acx2+(ad+bc)xy+(3c-a)x +(3d-b)y +bdy2 –3 (4)
®ång nhÊt hÖ sè cña (3) vµ (4) ta cã:
Q=(4x-6y+3)(3x+2y-1)
4.Ph¬ng ph¸p gi¸ trÞ riªng
a. Ph©n tÝch ®a thøc P = (a+b+c)3 - (b+c-a)3 - (c+a-b)3 (a+b-c)3
thµnh nh©n tö.
Gi¶i
Thay a=0 P=0 P
a
Vai trß a,b,c nh nhau P a , b , c P = kabc
Cho a = b = c =1 P=24; k=24 P =24abc
b. Ph©n tÝch ®a thøc Q=(b-c)(b+c-2a)2 +(c-a)(c+a-2b)2+(ab)(c+b-2c)2
thµnh nh©n tö.
Gi¶i
Thay a=b Q =0 Q chia hÕt cho (a-b)
Tæ To¸n - Trêng THCS Nam Hng - Nam S¸ch - H¶i D¬ng Thùc
hiÖn n¨m 2004
-
-9-
SKKN - Ph¸t huy sù s¸ng t¹o cña HS qua bµi to¸n ph©n tich ®a thøc thµnh
nh©n tö.
Vai trß a,b,c nh nhau Q chia hÕt cho (a-b)(b-c)(c-a) Q
=k(a-b)(b-c)(c-a)
Cho a = 0 ;b =1 ;c = 2 k = -9
Q = -9 (a-b)(b-c)(c-a)
5/ Ph¬ng ph¸p ®æi biÕn
a. Ph©n tÝch ®a thøc P=(x 2 +x)2+3(x2+x)+2
thµnh nh©n
tö.
Gi¶i
§Æt x2+x =y ta cã P=y2+3y +2=y2+y+2y+2
P = y(y+1)+2(y+1)=(y+1)(y+2)
Thay y=x2+x ta cã P=(x2+x+1)(x2+x+2)
b. Ph©n tÝch ®a thøc Q=x2-2xy+y2+3x-3y-10=(x+y)2+3(xy)-10 thµnh nh©n tö.
Gi¶i
§Æt x+y = t ta cã Q = t2+3t-10 = t2-2t+5t-10 = t(t-2)+5(t-2)
= (t-2)(t+5)
Thay t=x+y ta ®îc :
Q = ( x + y -2 )( x + y + 5)
PhÇn III
Ph¸t huy trÝ tuÖ cña häc sinh qua viÖc gi¶i c¸c bµi
to¸n ¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
1. Bµi to¸n rót gän vµ tÝnh sè trÞ cña biÓu thøc
VÝ dô:
Cho
P=
5x 5
x 8x 7
2
a. Rót gän P
b.TÝnh sè trÞ cña P víi x=2004
Gi¶i
Tæ To¸n - Trêng THCS Nam Hng - Nam S¸ch - H¶i D¬ng Thùc -10hiÖn n¨m 2004
-
SKKN - Ph¸t huy sù s¸ng t¹o cña HS qua bµi to¸n ph©n tich ®a thøc thµnh
nh©n tö.
§©y lµ bµi to¸n ®îc ¸p dông vµ thùc hµnh rÊt nhiÒu khi häc
ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®êng lèi gi¶i lµ vËn dông tÝnh
chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc ®¹i sè ®Ó thu gän biÓu thøc . Ta
ph¶i tiÕn hµnh ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö sau ®ã rót
gän c¸c nh©n tö chung . ë ®©y c¬ b¶n lµ rÌn luyÖn kü n¨ng
ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, bªn c¹nh ®ã lµ sö dông kÕt
hîp mét sè tÝnh chÊt to¸n häc kh¸c ®Ó gi¶i bµi tËp . Sù kÕt hîp
cã t¸c dông rÌn trÝ tuÖ häc sinh gióp c¸c em thÊy sù liªn hÖ chÆt
chÏ gi÷a c¸c kiÕn thøc to¸n häc, ph¸t triÓn trÝ th«ng minh vµ
ph¬ng ph¸p t duy l«gÝc khoa häc ë c¸c em .
Ta cã:
a, P =
5
( x 7)
b,P=
5x 5
x 8x 7
2
5
x7
=
=
(x
5
2004 7
2
=
5( x 1)
x ) 7( x 1)
=
5( x 1)
( x 1)( x 7)
=
5
2011
*Lu ý : VÒ lo¹i rót gän vµ tÝnh sè trÞ biÓu thøc cÇn lu ý cho
c¸c em ghi nhí thay sè vµo c¸c bµi tËp ®· rót gän råi thùc hµnh
tÝnh to¸n kÕt qu¶ ë bµi tËp nµy
Bµi to¸n chøng minh biÓu thøc ph©n ®ång nhÊt víi biÓu
thøc ph©n ®¬n gi¶n h¬n .
Lo¹i to¸n nµy thùc chÊt lµ to¸n rót gän biÓu thøc ®· tr×nh
bµy ë trªn. ë ®©y 1 vÕ lµ biÓu thøc ®· cho, vÕ kia lµ biÓu thøc
kh¸c cã thÓ ®¬n gi¶n h¬n. Th«ng thêng ta biÕn ®æi rót gän
biÓu thøc phøc t¹p tríc . Nhng còng cã bµi to¸n ta biÕn ®æi rót
gän c¶ 2 vÕ nhng ®Òu ®i ®Õn mét kÕt qu¶ gièng nhau .
Chøng minh ®¼ng thøc sau :
VÝ dô: CMR
Tæ To¸n - Trêng THCS Nam Hng - Nam S¸ch - H¶i D¬ng Thùc -11hiÖn n¨m 2004
-
SKKN - Ph¸t huy sù s¸ng t¹o cña HS qua bµi to¸n ph©n tich ®a thøc thµnh
nh©n tö.
4x2 9x 5
4x 5
x2 8x 7
4( x 7 )
Gi¶i
VT =
5
5
( x 1)( x )
x
4x2 9x 5
4
4 4x 5
2
x 8x 7
( x 1)( x 7)
x7
4( x 7)
= VP
Häc sinh thêng thÝch thó víi lo¹i bµi tËp nµy v× lý do cho r»ng
®©y lµ bµi to¸n rót gän cã s½n kÕt qu¶ .
Bµi to¸n t×m gi¸ trÞ cña biÕn sè ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ
nguyªn .
§êng lèi chung ®Ó gi¶i bµi to¸n nµy lµ t¸ch phÇn nguyªn vµ
phÇn ph©n thøc cña biÓu thøc ®· cho . PhÇn lín c¸c bµi to¸n sau
khi rót gän th× kÕt qu¶ chØ cßn ph©n thøc tiÕp theo ta t×m gi¸
trÞ cña biÕn ®Ó ph©n thøc Êy cã gi¸ trÞ nguyªn . Muèn vËy tö
thøc ph¶i chia hÕt cho mÉu thøc hay mÉu thøc ph¶i lµ íc cña tö
thøc . Tõ ®ã ta t×m c¸c gi¸ trÞ cña biÓu thøc sè ph¶i tháa m·n
lËp luËn trªn .
VÝ dô: T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc P cã gi¸ trÞ nguyªn .
P=
5( x 1)
x 8x 7
2
Gi¶i
Ta cã:
5( x 1)
5
P = ( x 1)( x 7) = ( x 7)
VËy P nguyªn x+7 lµ íc cña 5.
Hay x+7= -1 ; 1 ; -5 ; 5
x + 7 = -1
x= - 8
x+ 7 = 1
x= - 6
x +7 = 5
x= - 2
x + 7= -5
x= - 12
Tæ To¸n - Trêng THCS Nam Hng - Nam S¸ch - H¶i D¬ng Thùc -12hiÖn n¨m 2004
-
SKKN - Ph¸t huy sù s¸ng t¹o cña HS qua bµi to¸n ph©n tich ®a thøc thµnh
nh©n tö.
VËy khi biÕn sè nhËn mét trong c¸c gi¸ trÞ
12;8;2;6
th× P ®¹t gi¸ trÞ nguyªn .
2. Bµi to¸n t×m gÝa trÞ cña biÕn sè ®Ó biÓu thøc lu«n
lu«n d¬ng, lu«n lu«n ©m hoÆc kh«ng ©m .
-Lo¹i to¸n nµy kÝch thÝch häc sinh t duy khi t×m ®êng lèi
ph¶i n¾m ®îc kiÕn thøc :
-BiÓu thøc lu«n d¬ng ( > 0 ) tö thøc vµ mÉu thøc cïng dÊu
.
-BiÓu thøc lu«n ©m ( < 0 ) tö thøc vµ mÉu thøc tr¸i dÊu .
-BiÓu thøc kh«ng ©m (
0
) biÓu thøc ®· cho b»ng lòy
thõa bËc ch½n cña biÓu thøc 0 ( ta thêng ®a vÒ b×nh ph¬ng
biÓu thøc nµo ®ã )
-Ngoµi ra ta cÇn chó ý víi trêng hîp biÓu thøc nguyªn ta xÐt
sù lu«n d¬ng hoÆc lu«n ©m cña biÓu thøc dùa theo dÊu c¸c
nh©n tö kÕt hîp víi quy t¾c nh©n dÊu trong sè nguyªn .
VÝ dô 1 : Cho
P=
P=
5x 5
x 8x 7
T×m x ®Ó P lu«n d¬ng, P lu«n ©m ?
2
5x 5
x 8x 7
2
P>0
P<0
Gi¶i
=
(x2
5( x 1)
5( x 1)
x ) (7 x 7 ) = x ( x 1) 7( x 1)
5( x 1)
5
= ( x 1)( x 7)
= x7
x+7 >0 x > -7
x+7 <0 x < -7
VÝ dô 2 : Cho P = 4x2-12x+9, CMR P 0 víi x .
Gi¶i
2
Cã P = 4x -12x+9 = (2x-3)2 0 x
Víi nh÷ng lo¹i bµi to¸n nµy khi gi¶i c¸c em ph¶i ph©n tÝch
®a thøc thµnh nh©n tö hoÆc rót gän biÓu thøc . Qua ®ã rÌn
Tæ To¸n - Trêng THCS Nam Hng - Nam S¸ch - H¶i D¬ng Thùc -13hiÖn n¨m 2004
-
SKKN - Ph¸t huy sù s¸ng t¹o cña HS qua bµi to¸n ph©n tich ®a thøc thµnh
nh©n tö.
luyÖn ®îc kü n¨ng ph©n tÝch vµ ph¸t triÓn ®îc nhiÒu kü n¨ng
kh¸c .
3. Bµi to¸n chøng minh sù chia hÕt .
VÝ dô: Cho
P = ( 4x + 3 )2 - 25.
CMR: P chia hÕt cho 8
Gi¶i
2
P = (4x +3) -25 = (4x+3-5)(4x+3+5)
= (4x-2)(4x+8) = 8(2x-1)(x+2).
V× x Z => 8(2x-1)(x+2) chia hÕt cho 8.
Hay P 8
Lo¹i to¸n nµy biÕn ®æi P thµnh ®a thøc ®· s¾p xÕp råi chia
hÕt cho 8 ®Ó chøng tá P chia hÕt cho 8 nhng c¸ch ®ã qu¸ dµi
vµ ®¬n ®iÖu. C¸ch lµm ë VÝ dô trªn nhanh vµ gän h¬n, th«ng
minh h¬n. Cô thÓ c¸c em biÕn ®æi ®a thøc thµnh mét tÝch khi
®ã biÓu thøc ®· cho sÏ chia hÕt cho nh©n tö trong tÝch ®ã.
Bµi to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh :
ë ®©y muèn nãi tíi viÖc gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh b»ng viÖc ¸p
dông kÕt qu¶ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, ë ch¬ng tr×nh
líp 8 c¸c em ®îc häc gi¶i ph¬ng tr×nh bËc 1 . Khi gÆp ph¬ng
tr×nh bËc cao h¬n (bËc 2 trë lªn) häc sinh kh«ng thÓ dïng quy
t¾c ®ã mµ dùa vµo kÕt qu¶ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
vµ ¸p dông tÝnh chÊt :
A 0
B 0
AB = 0
VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh (4x+3)2- 25 = 0
¸p dông kÕt qu¶ vÝ dô trªn ta cã :
8(2x-1)(x+2) = 0
2 x 1 0
x 2 0
1
x 2
x 2
Tæ To¸n - Trêng THCS Nam Hng - Nam S¸ch - H¶i D¬ng Thùc -14hiÖn n¨m 2004
-
SKKN - Ph¸t huy sù s¸ng t¹o cña HS qua bµi to¸n ph©n tich ®a thøc thµnh
nh©n tö.
VËy ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ( x = - 2 , x =
1
2
)
Häc sinh sÏ thÊy say mª høng thó h¬n khi thÊy ®îc ph©n
tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö lµ c«ng cô ®¾c lùc trong gi¶i ph¬ng
tr×nh bËc cao .
Trªn ®©y ®· tr×nh bµy 6 lo¹i bµi to¸n ¸p dông kü n¨ng
ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö . TÊt nhiªn kh«ng chØ cã 6
lo¹i bµi tËp nµy mµ cßn mét sè lo¹i bµi tËp kh¸c (kh«ng ®iÓn
h×nh ) cã vËn dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, víi
nh÷ng bµi tËp vËn dông nµy nã ®· gióp häc sinh ph¸t triÓn trÝ
tuÖ vµ ãc t×m tßi s¸ng t¹o khi t×m tßi ®êng lèi gi¶i. Nãi chung
lµ cÇn cã sù ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö råi sau ®ã vËn
dông kÕt hîp mét sè kiÕn thøc kh¸c ®Ó gi¶i bµi to¸n, tõ ®ã cµng
ph¸t triÓn ë c¸c em t duy logÝc khoa häc ph¸t triÓn, t×nh chÝnh
x¸c trong t duy to¸n häc .
Khi gi¶i c¸c bµi tËp nµy ®· kÝch thÝch ®îc høng thó vµ rÌn
luyÖn ®îc phÈm chÊt trÝ tuÖ cña häc sinh b»ng c¸ch yªu cÇu häc
sinh nhËn d¹ng vµ t×m ra yªu cÇu cña bµi tËp. Sau ®ã t×m ®êng lèi gi¶i b»ng c¸ch tr¶ lêi c©u hái: Muèn gi¶i quyÕt yªu cÇu
®ã ph¶i lµm g× ? Trong chõng mùc nµo ®ã gi¸o viªn ph¶i gióp
®ì häc sinh th¸o gì khã kh¨n bÕ t¾c trong c«ng viÖc (gi¸o viªn
nªn gîi ý theo s¬ ®å ph©n tÝch ®i lªn )
Gi¸o viªn ph¶i t¹o ra kh«ng khÝ tÝch cùc trong khi gi¶i
c¸c bµi tËp ®èi víi mäi ®èi tîng häc sinh. Muèn vËy gi¸o viªn ph¶i
t¸c ®éng ®Õn tõng ®èi tîng sao cho phï hîp. Ch¼ng h¹n häc sinh
trung b×nh nªn gîi ý tû mØ, häc sinh kh¸ giái cÇn nªu nÐt c¬ b¶n
híng c¸c em ®i theo con ®êng cÇn ®i ®Õn. Nªn ®Ó häc sinh
Tæ To¸n - Trêng THCS Nam Hng - Nam S¸ch - H¶i D¬ng Thùc -15hiÖn n¨m 2004
-
SKKN - Ph¸t huy sù s¸ng t¹o cña HS qua bµi to¸n ph©n tich ®a thøc thµnh
nh©n tö.
tÝch cùc t×m tßi s¸ng t¹o, cã nh vËy míi ph¸t triÓn ®îc t duy trÝ
tuÖ cña häc sinh.
Tãm l¹i: Qua c¸c bµi tËp vËn dông nµy kü n¨ng ph©n tÝch
®a thøc thµnh nh©n tö cña häc sinh ®îc rÌn luyÖn vµ cñng cè
v÷ng ch¾c, qua ®ã ph¸t triÓn kh¶ n¨ng tæng hîp vµ t duy logÝc
cña häc sinh .
c. kÕt luËn
Trªn ®©y lµ mét sè kinh nghiÖm cña b¶n th©n qua thùc
tÕ gi¶ng d¹y To¸n 8. Tuy nhiªn kh«ng thÓ bao qu¸t hÕt ®îc tÊt
Tæ To¸n - Trêng THCS Nam Hng - Nam S¸ch - H¶i D¬ng Thùc -16hiÖn n¨m 2004
-
SKKN - Ph¸t huy sù s¸ng t¹o cña HS qua bµi to¸n ph©n tich ®a thøc thµnh
nh©n tö.
c¶ c¸c vÊn ®Ò
cña nh÷ng bµi to¸n
tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
liªn quan tíi viÖc ph©n
trong c¸c ph¹m vi réng
dµnh cho
häc sinh giái cña líp 8 còng nh mét sè vÊn ®Ò liªn quan trong
To¸n §¹i sè THCS nãi chung. RÊt mong ®îc sù céng t¸c ®ãng gãp
ý kiÕn cña b¹n ®äc ®Ó viÖc d¹y cña gi¸o viªn vµ viÖc häc cña
häc sinh trong c¸c bµi to¸n liªn quan tíi ph¬ng ph¸p ph©n tÝch
®a thøc thµnh nh©n tö ®îc tèt h¬n, ph¸t huy tèi ®a kh¶ n¨ng
t duy vèn cã cña mçi häc sinh .
T«i còng xin ch©n thµnh c¶m ¬n sù ®ãng gãp cña c¸c b¹n
®ång nghiÖp trong Tæ Khoa häc tù nhiªn t«i trong gi¶ng d¹y
nãi chung vµ ®Æc biÖt lµ ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y cho häc sinh vÒ
c¸c ph¸p ph©n tÝch ®a tøc thµnh nh©n tö nãi riªng.
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy hoµn thµnh víi sù gióp ®ì cña
®ång nghiÖp vµ mét sè tµi liÖu tham kh¶o sau:
1- S¸ch gi¸o khoa vµ s¸ch bµi tËp To¸n 8
( Nhµ xuÊt b¶n gi¸o
dôc)
2- Nh÷ng bµi to¸n c¬ b¶n vµ n©ng cao chän läc
( TG: NguyÔn KiÕm- Hå Xu©n Th¾ng)
3- 500 bµi to¸n chän läc líp 8
( TG:NguyÔn Ngäc §¹m, NguyÔn Quang Minh , Ng« Long HËu
)
4 -To¸n §¹i Sè n©ng cao líp 8 (TG: NguyÔn VÜnh CËn)
5 - Ph¬ng ph¸p d¹y häc m«n To¸n (TG: Hoµng Chóng )
phô lôc
Néi dung
A. Lêi nãi ®Çu
Trang
01
Tæ To¸n - Trêng THCS Nam Hng - Nam S¸ch - H¶i D¬ng Thùc -17hiÖn n¨m 2004
-
SKKN - Ph¸t huy sù s¸ng t¹o cña HS qua bµi to¸n ph©n tich ®a thøc thµnh
nh©n tö.
B. Néi dung chÝnh
02
PhÇn I: LÝ thuyÕt
02
PhÇn II: C¸c d¹ng to¸n biÕn ®æi
02
biÓu thøc h÷u tØ
02
1- §¬n gi¶n biÓu thøc
04
2- Chøng minh ®¼ng thøc
05
3- Chøng minh gi¸ trÞ cña biÓu thøc kh«ng
phô thuéc vµo biÕn
06
4- TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
08
5 - T×m gi¸ trÞ nguyªn cña biÕn ®Ó gi¸ trÞ
cña biÓu thøc lµ mét sè nguyªn
10
6- T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt
C. KÕt luËn
12
Tæ To¸n - Trêng THCS Nam Hng - Nam S¸ch - H¶i D¬ng Thùc -18hiÖn n¨m 2004
-
- Xem thêm -
.DOC 
18 
104 
148 
