Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
A. Đặt vấn đề
Trong chương trình giải tích 12 chuyên đề hàm số là một phần quan trọng
đối với Học sinh. Việc giải các câu hỏi phụ về hàm số thường là vấn đề khó
đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp, đặc biệt phải biết phân loại từng
dạng một. Trong các dạng toán về câu hỏi phụ về hàm số bài toán về “ tiếp
tuyến” là một bài toán cơ bản đối với học sinh. Để có được cách nhìn tổng
quan về phần này đòi hỏi học sinh phải nắm được các kiến thức cơ bản và các
bài toán tổng quát cho từng dạng.
Đây cũng là một phần quan trọng trong các đề thi học kỳ ,thi tốt nghiệp và đại
học. phần lý thuyết đơn giản nhưng bài tập thì rất đa dạng đòi hỏi học sinh
phải có tính tư duy lôgic. Chính vì vậy tôi nghiên cứu đề tài “ Rèn luyện kỹ
năng giải bài tập về tiếp tuyến cho học sinh THPT” nhằm mục đích giúp HS
phân loại một số dạng toán để đưa ra cách giải nhanh hơn.
B. Nội dung
1. Thực trạng của vấn đề
Trong SGK đại số và giải tích lớp 11 đã đưa ra bài toán về tiếp tuyến khi
biết tiếp điểm. Nếu chưa biết tiếp điểm thì có phương pháp nào để viết được
phương trình tiếp tuyến không? Đây là vấn đề mà học sinh hay lúng túng khi
đi tìm cách giải, nếu ta không nắm vững kiến thức cơ bản thì rất khó có thể
làm được.
2. Giải pháp thực hiện
Đối với giáo viên: Xây dựng hệ thống bài tập với các phương pháp cụ thể
phù hợp cho từng loại, tổ chức cho học sinh hoạt động trong các tiết luyện tập
trên lớp và các tiết dạy bồi dưỡng.
Đối với học sinh: Nắm vững kiến thức cơ bản, các công thức hay sử dụng và
ôn luyện theo từng dạng.
3. Phạm vi thực hiện:
1
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Tổ chức học sinh thực hiện chuyên đề này sau khi học xong chương trình hàm
số.
4. Nội dung:
Cho đồ thị (C): y= f(x). Gọi M 0, M là hai điểm phân biệt và cùng thuộc đồ thị
(C). Nếu cố định M0 và cho M di chuyển trên (C) đến gần M 0 thì vị trí giới
( MM 0 )
hạn của cát tuyến (M0M) là tiếp tuyến (M0T) tại điểm M0. Tức là: Mlim
�M
0
= Tiếp tuyến M0T.
Ta thường gặp các bài toán về tiếp tuyến sau:
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua một điểm
cho trước.
Bài toán 4; Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại hai điểm
phân biệt. Từ đó viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại một điểm
và cắt đồ thị tại hai điểm khác.
Đối với hai bài toán 1 và 2 ta cần chú ý tới việc viết phương trình tiếp
tuyến tại tiếp điểm và bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một
điểm (có thể thuộc đồ thị hoặc không thuộc). Đối với bài toán 4 thì chỉ
xuất hiện ở đồ thị hàm số bậc 4.
Phương pháp giải bài toán 1:
Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại M0(x0;y0) (C):
y= f(x) có hệ số góc là f ‘(x). Nên phương trình tiếp tuyến tại M0(x0;y0) của
(C) là:
y= f ,(x0)(x- x0) + f(x0)
Phương pháp giải bài toán 2:
Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm có hoành
độ xi suy ra f,(xi) = k suy ra x=xi là nghiệm của f,(x) = k . Giải phương trình
f,(x) = k ta tìm được các xi và viết được phương trình tiếp tuyến
2
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Phương pháp giải bài toán 3:
Bài toán: Cho đồ thị (C): y= f(x) và điểm A(a;b) cho trước. Viết phương
trình tiếp tuyến đi qua A(a; b) đến đồ thị (C)
Để giải loại này có 2 phương pháp:
1.Phương pháp tìm tiếp điểm
Phương pháp này có 2 cách
Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a;b) tiếp xúc (C) tại tiếp điểm có hoành
độ xi suy ra phương trình tiếp tuyến có dạng: y= f ,(xi)(x- xi) + f(xi) (t)
Do A(a;b) (t) nên b= f ,(xi)(a- xi) + f(xi) suy ra x= xi là nghiệm của
phương trình b= f ‘(x)(a- x) + f(x) f ‘(x)(x-a) +b- f(x)=0(*)
Giải phương trình (*) suy ra nghiệm x
x , x ,...... x ,...... x
0
1
i
n
Phương trình tiếp tuyến tại x= xi là: y= f ,(xi)(x- xi) + f(xi)
Cách 2: Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình:
y= k(x-a) +b tiếp xúc với đồ thị (C): Hệ phương trình:
f ( x ) k ( x a ) b
,
có nghiệm
,
(
x
)
k
f
Giải hệ phương trình trên ta tìm được các nghiêm x=x i và viết được
phương trình tiếp tuyến: y= f ,(xi)(x- xi) + f(xi)
2.Phương pháp tìm điều kiện nghiệm kép.
Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình:
y= k(x-a) +b tiếp xúc với đồ thị (C): k(x-a) +b=f(x) có nghiệm bội
giải và biện luận ta tìm ra các giá trị của k từ đó viết được phương trình
tiếp tuyến đi qua A
Phương pháp giải bài toán 4
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C)y=ax 4+bx3+cx2+d (a 0) tiếp
xúc với đồ thị tại hai điểm phân biệt
3
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Phương pháp: Giả sử đường thẳng (a): y=kx+m tiếp xúc với (C) y=f(x)tại hai
điểm phân biệt có hoành độ là x1, x2 khi đó f(x)= kx+m (*)có hai nghiệm kép
phân biệt x1, x2 . Giải phương trình (*) bằng cách cho đồng nhất các hệ số ta
tìm được x1,x2 và phương trình tiếp tuyến.
Sau đây là các dạng toán cụ thể:
DẠNG 1: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 3
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=f(x)=x3-3x+5 khi biết:
1) Hoành độ của tiếp điểm là x1=-1; x2=2; x3=
3
2) Tung độ của tiếp điểm là y1=5; y2=3; y3=7
Giải:
Đạo hàm y’(x)=3x2 – 3
1) x1=-1
y1=
x
3
1
3 x1 5
; y’(-1)=0. Phương trình tiếp tuyến tại M(-1,7) là:
(t1): y=y’(-1) x 1 + y(-1) y = 7
3
x12 3
x
3
x
5
1
1
2) y1=5
x1
=0 x1 0,
=5
3
Tiếp tuyến tại x1=0 là (t1): y=y’(0)(x - 0) + 5 y = -3x + 5
Tiếp tuyến tại x1 = -
3
là (t2): y = y’(-
3
y = 6x + 6
Tiếp tuyến tại x 1 =
3
là (t3): y = y’(
3
)(x +
3
3
)+5
+5
)(x -
3
) + 5 y = 6x - 6
3
+
5
Bài 2: Cho (C): y = f(x) = 2x3 – 3x2 + 9x – 4. Viết phương trình tiếp tuyến của
(C) tại các giao điểm của (C) với các đồ thị sau:
1. Đường thẳng (d): y = 7x + 4
2. Parabol (p):
y = -x2 + 8x – 3
3. Đường cong (C): y = x3 – 4x2 + 6x – 7
Giải:
1. Hoành độ giao điểm của (C) với (d) là nghiệm của phương trình:
4
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
2x3 – 3x2 + 9x – 4 = 7x + 4 (x - 2)( 2x2 + x + 4)
(x
2
1
3
2
-2) x 2 x 3 4 0
x = 2.
Tiếp tuyến tại x = 2 có phương trình y = y’(2)(x - 2) + y(2)
= 21(x - 2) + 18 = 21x - 24
Làm tương tự ta cũng giải được các ý 2 và 3.
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x 3-3x2 biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng y=
1
3
x
Giải: Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=
1
3
x nên tiếp tuyến có hệ
số góc bằng -3. Gọi tiếp điểm có hoành độ x0 y’(x0)=3 x02 -6 x 0=-3
3(x0-1)2=0 x0=1. phương trình tiếp tuyến tại x0=1 là:
y= -3(x-1)+y(1) y= -3x+1
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x 3-3x2+1 biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng y= 9x+2012
Giải: Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x+2012 nên tiếp tuyến
có hệ số góc bằng 9. gọi tiếp điểm có hoành độ x0 y’(x0)=3 x02 -6x0=9
x02 -2x0-3=0 x0=-1 hoặc x0=3
Tiếp tuyến tại x0=-1 là y=9(x+1)-3 y= 9x+6
Tiếp tuyến tại x0=3 là y=9(x-3)+1 y= 9x-26
Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước đến đồ thị.
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(
19
; 4 ) đến đồ thị (C) có phương
12
trình: y=f(x)=2x3–3x2+5
Giải:
Đường thẳng đi qua A(
19
; 4 ) với hệ số góc k có phương trình
12
5
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
y = k(x -
nghiệm
19
4)
12
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
tiếp xúc với (C): y = f(x) Hệ
19
f ( x) f ' ( x) x
4
12
( x 1)(2 x 1) 6 x( x 1)( x
x1 1
x 2 2
1
x3
8
19
f
(
x
)
k
x 4
12
f ' ( x) k
2x3–3x2+5= 6x(x - 1)(x-
19
12
có
)+4
19
17
) ( x 1)(4 x 2
x 1) 0
12
2
Tiếp tuyến (t1): y = y’(1)(x-
19
) + 4 y 4
12
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;-1) đến C có phương trình:
y= 2x3+ 3(m-1)x2+ 6(m-2)x-1
Giải: Đường thẳng đi qua A với hệ số góc k có phương trình: y=kx-1 tiếp xúc
f ( x) kx 1
có nghiệm
f ' ( x ) k
với (C) y=f(x) Hệ
f ( x) f ' ( x ) x 1 f ' ( x) x 1
Từ
f
,
x1 0
f ( x) 0 x [4x+3(m-1)]=0
3(1 m)
x2
4
2
( x) =6x2 +6(m-1)x+ 6(m-2) suy ra
Với x1= 0 f’(0)=6(m-2) Tiếp tuyến (t1): y= 6(m-2)x-1
Với x2=
y=
3(1 m)
4
3
(3m2
8
f
,
3(1 m) 3
=
(3m2-22m+35)
4
8
-22m+35)x-1
6
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Bài 3: Cho hàm số (C) y=f(x) =x3-3x2+2
a. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(
23
; 2 )
9
đến (C).
b. Tìm trên đường thẳng y=-2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông
góc với nhau.
Giải: a. Đường thẳng đi qua A(
y= k(x-
23
)-2
9
với hệ số góc k có phương trình:
tiếp xúc với (C) y= f(x) Hệ phương trình:
23
f
(
x
)
k
(
x
) 2
9
f , ( x ) k
f , ( x)( x
23
; 2 )
9
có nghiệm
23
) 2 f ( x) 0
9
f ( x) f , ( x)( x
23
) 2
9
3x3-16x2+23x-6=0 (1)
1
Giải phương trình (1) ta được x=2; x=3 và x= 3
Với x=2 suy ra tiếp tuyến (t1): y=y’(2)(x-
23
)-2
9
y=-2
Với x=3 suy ra tiếp tuyến (t2): y=y’(3)(x-
23
)-2
9
y=9x-25
1
1
Với x= 3 suy ra tiếp tuyến (t3): y=y’( 3 )(x-
23
)-2
9
y=
5
61
x
3
27
b. Lấy bất kì M(m;-2) thuộc đường thẳng y=-2 đường thẳng đi qua M(m;-2)
với hệ số góc k có phương trình: y=k(x-m)-2 tiếp xúc với (C): y= f(x) Hệ
f ( x ) k ( x m) 2
phương trình:
có nghiệm
f ' ( x ) k
f ( x) f , ( x )( x m) 2
f , ( x)( x m) 2 f ( x) 0
7
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
x 2
(x-2)[2x2-(3m-1)x+2]=0
2
g ( x ) 2 x (3m 1) x 2 0
Do không thể có tiếp tuyến nào vuông góc với tiếp tuyến y=-2 song song với
Ox
Nên để từ M(m; -2) kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với (C) thì g(x)=0 phải có
2 nghiệm phân biệt x1;x2 và các tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ x 1;x2
vuông góc với nhau.
Ta có:-1= y’(x1).y’(x2) = (3x 1 2 - 6x1)( 3x 2 2 - 6x2) = 9x1x2[x1x2 – 2(x1+x2) + 4]
= 9[1 – (3m - 1) + 4] = 9[6 – 3m] = 54 -27m
m=
Với m =
55
27
55
27
thì g = (3m - 1)2 – 16 > (3.2 - 1)2 – 16 = 9 > 0
55
Vậy điểm M( 27 ; 2 )
Bài 4: Cho hàm số y = -x3 + 3x + 2 (C). Tìm trên trục hoành các điểm kẻ
được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Giải:
Lấy bất kỳ A(a;0) �Ox . Đường thẳng đi qua A(a;0) với hệ số góc k có
phương trình y = k(x - a) tiếp xúc với (C): y = f(x) Hệ phương trình:
f ( x ) k ( x a )
có nghiệm f(x) = f’(x)(x - a)
f ' ( x) k
f(x) – f’(x)(x- a) = 0 2x3 – 3ax2 + 3a + 2 = 0
(x + 1)[2x2 – (3a + 2)x + 3a + 2] = 0 (x + 1).g(x) = 0
8
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Từ điểm A(a;0) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) g(x) = 0 có 2 nghiệm phân
a 2
(3a 2)(3a 6) 0
biệt và khác (-1)
2
g( )1 6(a )1 0 1 a
3
Bài 5: Cho (C): y = x3 -12x + 12. Tìm trên đường thẳng y = -4 các điểm có
thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Giải:
Lấy bất kì M(m;-4) đường y = -4. Đường thẳng đi qua M(m;-4) với hệ số
góc k có phương trình y = k(x - m) – 4 tiếp xúc với đồ thị (C) Hệ phương
trình
f ( x ) k ( x m) 4
có nghiệm
f ' ( x ) k
f(x)= f’(x)(x-m) – 4 f(x)(x - m) – f(x) – 4 = 0
(x - 2)[2x2 – (3m - 4)x – (6m - 8)] = 0 (x - 2)g(x) = 0
Từ M(m; -4) kẻ được 3 tiếp tuyến đi qua (C) g(x) = 0 có 2 nghiệm phân
biệt và khác 2
m 4
(3m 4)(3m 12) 0
4
g(2) 24 12m 0 m 2
3
Bài 6: Cho (C): y = x3 – 6x2 + 9x -1
9
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Từ 1 điểm bất kỳ trên đường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến
(C).
Giải:
Lấy bất kỳ M(2; m) đường thẳng x = 2. Đường thẳng đi qua M(2;m) với
hệ số góc k có phương trình y = k(x - 2) + m tiếp xúc với đồ thị (C): y = f(x).
Hệ
f ( x) k ( x 2) m
f ' ( x) k
có nghiệm f(x) = f’(x)(x - 2) + m
f(x) – f’(x)(x - 2) = m g(x) = -2x3 + 12x2 – 24x + 17 = m
Ta có g’(x) = -6(x - 2)2 0 Bảng biến thiên
-
x
2
+
,
g ( x)
0
g(x)
+
-
Nghiệm của phương trình tìm tiếp điểm cũng là hoành độ giao điểm của
đường thẳng y = m với đồ thị y = g(x). Nhìn bảng biến thiên suy ra g(x) = m
chỉ có đúng 1 nghiệm. Vậy từ M(2;m) bất kỳ đường thẳng x = 2 chỉ kẻ
được duy nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y = f(x).
Bài 7: Tìm trên đồ thị (C): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)
Các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Giải:
Lấy bất kỳ điểm M(m;f(m)) (C): y = f(x). Đường thẳng đi qua M(m;f(m))
với hệ số góc k có phương trình: y = k(x-m) + f(m) tiếp xúc với (C).
10
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Hệ
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
f ( x ) k ( x m) f ( m)
f ' ( x) k
có nghiệm f(x) = f’(x)(x-m) + f(m)
f’(x)(x-m) – [f(x) – f(m)] = 0
(3ax2 + 2bx + c)(x-m) – [a(x3 – m3)] + b(x2 – m2) + c(x - m)] = 0
(x - m)[2ax2 – (am – b)x – m(am + b)] = 0
x1 m
(x - m) [2ax + (am + b)] = 0
x 2 am b
2a
2
Từ điểm M(m,f(m)) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)
x1 = x2 m
b
Vậy M( 3a
, f(
(am b)
b
3am b m
2a
3a
b
))
3a
(C) là điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C).
b
�3a
�
Nhận xét : f’(x) = 6ax + 2b = 0 Điểm uốn U � ; f (
b �
)�
3a �
Vậy trên đồ thị hàm bậc 3 điểm uốn là điểm duy nhất kẻ được đúng 1 tiếp
tuyến đến đồ thị.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số: y x3 3 x 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y
1
x 1.
9
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y x3 3 x 2 2 biết tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng 5y-3x+4=0
Bài 3: Cho hám số: y x 3 3x 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=-9x+1
DẠNG 2: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 4
Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị.
11
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
(C ) : y f ( x) ( x 1) 2 ( x 1) 2
Bài 1: Cho 2 đồ thị
(P) : y g ( x) 2 x 2 m
a. Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc nhau.
b. Viết phương trình tiếp tuyến chung tại các điểm chung của (C) với (P).
Giải:
a. (C) và (P) tiếp xúc nhau
f ( x) g ( x)
f ' ( x) g ' ( x)
có nghiệm
42 2 42
x 2x 21 x m mx 4x 1 x0,m1
3 2 2
4x 4x4x 4x( 2 0) x 2,m3
Vậy với m = -3 hoặc m = 0 thì (C) và (P) tiếp xúc nhau.
b. Xét m = 1, x0 = 0 (P): y = g(x) = 2x2 + 1
Phương trình tiếp tuyến chung tại x0 = 0: y = g’(0)(x - 0) + g(0) y = 1
+ Xét m = -3, x0 =
2
(P): y = g(x) = 2x2 – 3
Phương trình tiếp tuyến chung tại x0 =
y = g’(
2
)(x-
2
)+g(
+ Xét m = -3, x0 = -
2
2
)= 4
2
2
)(x+
2
)+g(
:
x-7
(P) = y = g(x) = 2x2 – 3
Phương trình tiếp tuyến chung tại x0 =y = g’(-
2
2
)=4
2
2
:
x-7
Bài 2: Cho đồ thị (C): y = -x 4 + 2mx2 – 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyên với
đồ thị tại A(1;0), B(-1;0) với nhau.
Giải:
12
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Do A(1;0) (C); B(-1;0) (C) nên các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với
nhau y’(1).y’(-1) = (4m - 4)(-4m + 4) = -1
-16m2 + 32m – 15 = 0 m =
5
4
hoặc m =
3
4
.
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước.
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y =
1 4 1 3 1 2
x x x x 5 biết
4
3
2
tiếp
tuyến song song với đường thẳng y = 2x – 1.
Giải:
Đạo hàm y’(x) = x3 – x2 + x + 1
Giả sử tiếp tuyến (t) song song y = 2x – 1 tiếp xúc với (C) tại x0
y’(x0) = 2 x03 – x02 + x0 + 1 = 2 (x0 - 1)(x02 + 1) = 0
67
x0 = 1 Phương trình (t): y = 2(x – 1) + y(1) y = 2x 12
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x 4 – 2x2 + 4x – 1 biết tiếp
1
tuyến vuông góc với đường thẳng y = - 4 x 3
Giải:
Đạo hàn y’(x) = 4x3 – 4x + 4
1
Do tiếp tuyến (t) vuông góc với y = - 4 x 3 nên (t) có hệ số góc k = 4.
Giả sử (t) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x0 y’(x0) = 4
4x03 – 4x0 + 4 = 4 4x0(x02 - 1) = 0 x0 = 0; x0 = 1
Tại x0 = 0 Tiếp tuyến (t1): y = 4x + y(0) = 4x – 1
Tại x0 = -1 Tiếp tuyến (t2): y = 4(x + 1) + y(-1) = 4x – 2
Tại x0 = 1 Tiếp tuyến (t3): y = 4(x - 1) + y(1) = 4x – 2
13
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Do (t2) = (t3) nên chỉ có 2 tiếp tuyến là y = 4x – 1 và y = 4x – 2
Bài 3: Cho (Cm): y = x3 + mx2 – m – 1.
Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng y = 2x với A
là điểm cố định có hoành độ dương của (Cm).
Giải:
Xét phương y0 = x03 + mx02 – m – 1 m m(x02 - 1) + (x04 – 1 – y0) = 0
m
2
�
�x0 �1
�x 0 1 0
��
� Điểm cố định A(1;0)
�4
4
y
x
1
0
�
0
0
�x0 1 y0 0
Tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với y = 2x y’(1) = 2
4 + 2m = 2 m = -1.
Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước.
Bài 1: Cho đồ thị (C): y = f(x) =
1 4 1 2
x x .
2
2
Viết phương trình tiếp tuyến đi
qua O(0;0) đến đồ thị (C).
Giải: Đường thẳng đi qua O(0;0) với hệ số góc k có phương trình y = kx tiếp
xúc với đồ thị (C): y = f(x)
f ( x) kx
f ' ( x) k
có nghiệm f(x) = f’(x).x
1
2
f’(x).x – f(x) = 0 (2x3 - x)x - ( x 4
1 2
x )
2
=0
14
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
3
3 4 1 2
1
3
x x 0 x 2 (3x 2 1) 0 x 0;
,
2
2
2
3
3
Tại x1 = 0 Tiếp tuyến (t1): y = f’(0).x y = 0
Tại x2 =
Tại x3 =
3
Tiếp tuyến (t2): y = f’(
3
3
3
Tiếp tuyến (t3): y = f’(
3
3
3
3
).x =
).x =
3
9
x
3
x
9
Bài 2: Cho đồ thị (C): y = f(x) = (2 – x2)2
Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;4) đến đồ thị (C).
Giải:
Đường thẳng đi qua A(0;4) với hệ số góc k có phương trình y = kx + 4 tiếp
xúc với đồ thị (C): y = f(x) Hệ
f ( x) kx 4
f ' ( x ) k
có nghiệm
f(x) = f’(x)x + 4 f’(x).x + 4 – f(x) = 0
(4x3 – 8x)x + 4 – (4 – 4x2 + x4 ) = 0 x2(3x2 - 4) = 0
x1 0
x 2 3
2
3
2 3
x3
3
Tại x1 = 0 tiếp tuyến: y = f(0).x + 4 y = 4
Tại x2 =
2 3
3
tiếp tuyến: y = f( 2
Tại x3 =
2 3
3
3
3
tiếp tuyến: y = f(
)x + 4 y =
2 3
3
16 3
x4
9
)x + 4 y =
16 3
x4
9
15
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Bài toán 4: Phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại 2 điểm phân
biệt.
Bài 1: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x4 – 4x3 + 3
Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại 2 điểm phân biệt và tìm
hoành độ của 2 tiếp điểm.
Giải:
Đường thẳng y = kx + m tiếp xúc với đồ thị (C): y = f(x) tại 2 điểm phân biệt.
f(x) = kx + m có 2 nghiệm kép x1, x2 phân biệt.
x4 – 4x3 –kx + 3 – m = 0 có 2 nghiệm kép x1, x2 phân biệt.
x4 – 4x3 –kx + 3 – m = (x-x1)2(x-x2)2 x
x4 – 4x3 –kx + 3 – m =[x2-Sx+P]2 x (S=x1+x2, P= x1.x2)
x4 – 4x3 –kx + 3 – m =x4- 2Sx3+(S2+2P)x2-2SPx+P2 x
2 S 4
2
S 2 P 0
2
SP
k
P 2 3 m
S x1 x2 2
P x x 2
1 2
k
2
SP
8
m 3 P 2 1
x1 1 3
x2 1 3
PTTT :
y 8 x 1
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số: y x 4 4 x 2 4 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi
qua điểm A(0;4)
1
2
3
2
Bài 2: Cho hàm số: y x 4 3 x 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
3
2
đi qua điểm A(0; )
DẠNG 3: TIẾP TUYẾN CỦA HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT/BẬC NHẤT.
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị.
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
y
2x 1
x 1
tại tiếp điểm
có hoành độ bằng 1
Giải: Tiếp tuyến có dạng:y= f ‘(x0)(x- x0) + f(x0)
16
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
3
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
1
Ta có f ‘(1)= 4 ;f(1)= 2
3
4
PTTT: y ( x 1)
1
3
1
y x
4
4
2
Bài 2: Tìm a,b để đồ thị (C): y =
ax b
x 1
cắt Oy tại A(0;-1) đồng thời tiếp
tuyến tại A có hệ số góc bằng 3.
Giải:
a.0b
y(0) 0 1 1 b 1 b 1
Yêu cầu bài toán
( a b)
y'(0) 2 3 a b 3 a 4
(0 1)
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc k cho trước.
Bài 1: Cho (C): y =
4x 5
2x 1
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song
( ): y=3x+2.
Giải:đường thẳng y=3x+m tiếp xúc (C) 3x+m=
4x 5
2x 1
có nghệm kép
(3x+m)(2x+1)=-4x-5 có nghiệm kép
6x2+(2m+7)x+(m+5)=0 có nghiệm kép =(2m+7)2-24(m+5)=0
4m2+4m-92=0 m2+m-23=0 m=
Vậy hai tiếp tuyến là: y 3x
2x 3
4
Bài 2: Cho (C): y 5 x
Giải:Đường thẳng
1 93
2
1 � 93
2
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) () :y=-2x
1
y xm
2
tiếp xúc (C)
1
2x 3
xm
2
5x 4
có nghiệm kép
17
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
(x + 2m)(5x - 4) = 2(2x - 3) có nghiệm kép
5x2 + 2(5m - 4)x – (8m - 6) = 0 có nghiệm kép
= (5m - 4)2 + 5(8m - 6) = 0
25m2 – 14 = 0 m =
Vậy có hai tiếp tuyến
14
() :
/5
y = -2x là y =
1
x ( 14 / 5)
2
Bài toán 3: Phương tình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước.
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;1) đến đồ thị (C): y =
4x 3
2x 1
Giải:
Đường thẳng đi qua A(0;1) với hệ số góc k có phương trình y = kx + 1 tiếp
xúc với đồ thị (C): y =
4x 3
2x 1
4x 3
kx + 1 =
có nghiệm kép
2x 1
(kx + 1)(2x - 1) = -4x + 3 có nghiệm kép
2kx2 – (k - 6)x – 4 = 0 có nghiệm kép
k 0 và = (k - 6)2 + 32k = k2 + 20k + 36 =
0
k = - 2; k = -18
Vậy có 2 tiếp tuyến là y = -2x + 1 và y = -18x + 1
Bài 2: Tìm trên đường thẳng x=3 các điểm kẻ được tiếp tuyến đến (C):
y=
2x 1
x 2
Giải:
Lấy bất kỳ điểm A(3,a) thuộc đừng thẳng x = 3. Đường thẳng đi qua A(3;a)
với hệ số góc k có phương trình y = k(x - 3) + a tiếp xúc với (C): y =
2x 1
x 2
2x 1
phương trình k(x - 3) + a =
có nghiệm kép
x 2
[kx – (3k - a)](x -2) = 2x + 1 có nghiệm kép
kx2 – [5k – (a - 2)]x + [6k – (2a + 1)] = 0 có nghiệm kép
18
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
k 0 và = [5k – (a -2)]2 – 4k[6k – (2a + 1)] = 0
g(k) = k2 – 2(a - 12)k + (a - 2)2 = 0 và k 0
Qua A(3,a) kẻ được ít nhất1 tiếp tuyến đến (C) g(k) = 0 có nghiệm k 0
140 20a 0
a 7
140 20a 0
a 7 a 7
g(0) (a 2)2 0
Bài 3: Tìm trên Oy những điểm kẻ đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y =
x 1
x 1
Giải:
Lấy bất kỳ A(0,a) Oy. Đường thẳng đi qua A(0,a) với hệ số góc k có
phương trình y = kx + a tiếp xúc với (C): y =
x 1
x 1
x 1
kx + a =
có
x 1
nghiệm kép
(kx + a)(x - 1) = x + 1 có nghiệm kép
kx2 – [k – (a - 1)x – (a + 1)]x – (a + 1) = 0 có nghiệm kép
k 0 và = [k – (a -1)2] + 4(a + 1)k = 0
k 0 và g(k) = k2 + 2(a + 3)k + (a - 1)2 = 0
Qua A(0,a) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) g(k) = 0 có đúng 1 nghiệm
k 0
' 8( a 1) 0
' 8( a 1) 0
và g(0)= (a - 1)2 = 0
a 1
0 1
a2
và g(0) = (a -1)
a 1
a 1
Vậy từ các điểm A1(0,-1), A2(0,1) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C).
Bài 4: Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm kẻ được tiếp tuyến đến (C):y=
3x 4
4x 3
Giải:
19
Sáng kiến kinh nghiệm
Giáo viên: Đinh Văn Ba
Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Lấy bất kỳ A(a,2) thuộc đường thẳng y = 2. Đường thẳng đi qua A(a,2) với hệ
số góc k có phương trình y = k(x - a) + 2 tiếp xúc với (C): y =
3x 4
4x 3
3x 4
k(x -a) + 2 =
hay [kx – (ak - 2)](4x - 3) = 3x + 4 có nghiệm kép
4x 3
4kx2 – [(4a + 3)k - 5]x + (3ak - 10) = 0 có nghiệm kép
k 0 và = g(k) = (4a - 3)2k2 – 10(4a - 13)k + 25 = 0
Qua A(a,2) kẻ được tiếp tuyến đến (C) g(k) = 0 có nghiệm k 0
' 2000( a 2) 0
�
a2
�
�
' 2000(a 2) 0 �۳�
�
�
a2
�
�
�
�g (0) 25 �0
�
a
2
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số y
x2
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
x2
biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-6;5)
Bài 2: Cho hàm số y
x2
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
x 1
tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
DẠNG 4: TIẾP TUYẾN HÀM PHÂN THỨC BẬC 2/BẬC 1
Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị
Bài 1: Cho đồ thị (Cm): y =
x 2 2mx m
xm
a. Chứng minh rằng: nếu (Cm) cắt Ox tại x 0 thì tiếp tuyến (Cm) tại điểm đó có
2 x0 2m
hệ số góc là k0 = x m
0
b. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm và tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với
nhau.
Giải:
20
Sáng kiến kinh nghiệm
- Xem thêm -
.DOC 
26 
191 
124 
