Tài liệu Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ năng giải toán vec-tơ và sử dụng phương pháp vec-tơ để giải toán

giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù Lời nói đầu. Trong chương trình Toán học học được giảng dạy ở trường phổ thông, Hình học bao giờ cũng là môn học khó khăn hơn đối với học sinh. Nắm được kiến thức cơ bản đã là một vấn đề khó, vận dụng kiến thức đó một cách linh hoạt để giải toán còn là một việc khó khăn hơn nhiều. Tìm ra mối liên quan giữa các nội dung đó để có được các cách giải toán hay, hiệu quả là một việc làm thiết thực. Trên cơ sở nội dung, chương trình làm việc của cá nhân và của tổ nhóm chuyên môn, bản thân tôi đã tìm ra được một vài hướng giải quyết một số vấn đề trong các bài giảng nhằm nâng cao chất lượng bài giảng cũng như tạo hứng thú cho học sinh trong việc học tập và nghiên cứu toán học. Những vấn đề nghiên cứu được, tôi tập hợp và viết lại trong báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này nhằm giúp cho bản thân và đồng nghiệp cũng như học sinh có thêm một tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy và học tập môn toán ở trường THPT. Nội dung sáng kiến có thể chưa thật đầy đủ so với nội dung của vấn đề mà tôi lựa chọn nhưng thiết nghĩ, có thể bổ sung vào hành trang của người giáo viên một công cụ mới có hiệu quả. Tôi xin chân thành cám ơn thầy giáo Nguyễn Danh Du – Phó hiệu trưởng, thầy giáo Hoàng Minh Hiển – Phó hiệu trưởng, thầy giáo Phạm Ngọc Bá – tổ trưởng chuyên môn cùng các thầy giáo, cô giáo trong tổ Toán – Tin học trường THPT Bỉm Sơn đã đọc trước bản thảo và đóng góp nhiều ý kiến sát thực tiễn để tôi hoàn thành đề tài này. Bỉm sơn, tháng 3 năm 2012. Người thực hiện đề Vò Quý Ph¬ng S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 0 Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù Phần I: giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông MỞ ĐẦU I- Lý do lựa chọn đề tài. I.1. Tính lịch sử. “Cùng với KHCN, giáo dục là quốc sách hàng đầu”. Chủ trương đó đã thể hiện rõ quan điểm, đường lối của Đảng và nhà nước ta, khẳng định tầm quan trọng của giáo dục đối với sự phát triển của đất nước, bởi lẽ giáo dục đóng vai trò quyết định trong việc đào tạo lực lượng sản xuất, đem đến sự thành công của công cuộc xây dựng đất nước, xây dựng CNXH. Ngành Giáo dục đã triển khai thực hiện công tác đổi mới giáo dục phổ thông bao gồm: Đổi mới cơ sở vật chất phục vụ cho dạy học, đổi mới chương trình sách giáo khoa, đổi mới công tác quản lý chỉ đạo, đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới cách kiểm tra đánh giá v.v... nhằm giúp học sinh phát triển một cách toàn diện. Năm học này, Bộ Giáo dục và đào tạo đưa ra khẩu hiệu “Xây dựng trường học thân thiện và học sinh tích cực” cũng chính là nhằm hướng học sinh đến sự phát triển toàn diện. Trong hệ thống các môn học được đưa vào đào tạo ở trường phổ thông, môn Toán đóng vai trò hết sức quan trọng, bởi lẽ qua học toán học sinh sẽ được phát triển một cách tốt nhất tư duy sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với mọi hoàn cảnh, phù hợp với xu thế phát triển của đất nước ta hiện nay. Học tốt môn toán sẽ giúp học sinh học tốt nhiều môn học khác. Xưa nay đây là môn học mà không ít học sinh phải ngại ngùng khi nhắc đến, việc học toán đối với nhiều học sinh luôn là một điều khó khăn. Trong các phân môn của toán học phổ thông thì Hình học luôn được coi là môn học khó khăn hơn cả. Tất cả những đánh giá trên có thể xuất phát từ những lý do khách quan và chủ quan như: Học sinh chưa nắm được phương pháp học tập, giáo viên còn ôm đồm kiến thức trong giảng dạy, khó khăn về một cơ sở lý luận trong việc dạy học bộ môn v.v... Học toán đồng nghĩa với giải toán. Muốn làm được S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 1 Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông bài tập, ngoài việc phải có vốn kiến thức từ các công thức, quy tắc, định nghĩa, khái niệm, định lý ... còn cần có một phương pháp suy luận đúng đắn. I.2. Tính cấp thiết. Bằng việc trao đổi với đồng nghiệp và kinh nghiệp dạy Hình học của bản thân, tôi nhận thấy chất lượng dạy và học hình học nói chung chưa cao: hầu hết học sinh đều ngại, sợ học Hình học, không biết cách giải một bài toán Hình học. Mà việc giải một bài tập Hình học không chỉ dựa vào việc có nắm được các kiến thức cơ bản hay không mà còn dựa rất nhiều vào việc nhận ra được mối liên quan giữa các kiến thức đó và vận dụng chúng như thế nào vào bài toán. I.3. Thực trạng. Đối với học sinh trường THPT Bỉm Sơn thì: - Đa số học sinh nắm vững và vận dụng tốt các kiến thức hình học cơ bản vào việc giải các bài tập. Tuy nhiên, còn có một vài lớp và một số học sinh rải rác ở các lớp vẫn không thể nắm vững và vận dụng được các kiến thức cơ bản của hình học vào việc giải các bài tập. - Nhiều học sinh không nắm được các kiến thức đã học, học trước quên sau. Kỹ năng vận dụng kiến thức cơ bản vào các hoạt động giải toán còn yếu. Về mặt kiến thức: Khái niệm vec-tơ là rất mới mẻ đối với học sinh lớp 10. Qua khảo sát kiến thức và kĩ năng của một số học sinh lớp 10 trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hóa, năm học 2011 – 2012 sau khi các em đã được học các kiến thức về vec-tơ tôi nhận thấy các em còn bỡ ngỡ và gặp nhiều lúng túng. Lấy ví dụ: Trong hai đề kiểm tra kiến thức về vec-tơ ở 2 lớp 10C4 và 10C7 có các bài toán như sau: Đề 1: Cho hai hình bình hành ABCD và AB'C'D' có chung đỉnh A. Chứng minh rằng: uuur uuur uuur a/ CC � .  BB�  DD� b/ Hai tam giác BC'D và B'CD' có cùng trọng tâm. S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 2 giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù uur r uur r Đề 2: Cho tam giác OAB. Đặt OA  a , OB  b và gọi C, D, E là các uuu r uur uuu r 1 uur uuu r 1 uur điểm sao cho AC  2 AB, OD  OB, OE  OA . 2 3 uuu r uuu r uuu r r r a/ Hãy biểu thị các vec-tơ OC, CD, DE qua các vec-tơ a , b . b/ Chứng minh rằng ba điểm C, D, E thẳng hàng. Qua khảo sát 98 học sinh của 2 lớp có được kết quả như sau: Làm được cả Số bài Đề 1 Đề 2 42 46 Không làm 2 câu Chỉ làm được câu nào Chỉ làm được câu b 25 (59,52%) 27 (58,70%) được câu a 9 (21,43%) 11 (23,91%) 7 (16,67%) 6 (13,04%) 1 (2,38%) 2 (4,35%) Qua bài làm của học sinh và qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy bộc lộ những nhược điểm chính ở học sinh như sau: - Không nắm vững kiến thức vec-tơ, không hiểu rõ và cũng không phân uuu r uuu r biệt chính xác các kí hiệu: AB, AB, | AB |, AB . - Không nắm vững các quy tắc cộng, trừ các vec-tơ, nhân một số với một vec-tơ, tích vô hướng của hai vec-tơ. Khi tính toán một số em tuỳ tiện bỏ kí hiệu vec-tơ, kĩ năng vận dụng kiến thức vec-tơ để giải toán còn yếu, nhất là các bài toán mà trong đó chưa viết rõ các quan hệ vec-tơ. - Thậm chí, với bài toán “Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M, N là hai điểm trên nửa đường tròn đó sao cho 2 dây cung uur uuur uur uur AM và BN cắt nhau tại I. Chứng minh: AI .AM  AI .AB .”, có học sinh đã uu r uuur uu r uuu r uuur uuu r uu r làm như sau: AI.AM  AI.AB � AM  AB (chia cả hai vế cho AI ) rồi suy ra đẳng thức không xảy ra. Điều đó chứng tỏ học sinh chưa hiểu rõ khái niệm về tích vô hướng của các vec-tơ. S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 3 Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông Trong rất nhiều nguyên nhân dẫn đến kết việc học sinh không tiếp thu tốt các kiến thức về vec-tơ, có một nguyên nhân là học sinh ít được thực hành các bài toán cơ bản về các khái niệm về vec-tơ. Có một lý do ở đây là thời lượng quy định cho mỗi bài học không đủ cho giáo viên và học sinh làm được việc này. Đặc biệt là đối với các học sinh không thực sự khá về môn Toán. Chính vì những lý do trên, nhằm giúp các em lĩnh hội tốt hơn về kiến thức vec-tơ, có kĩ năng giải bài tập về vec-tơ cũng như sử dụng vec-tơ như một công cụ tốt để giải toán tôi mạnh dạn lựa chọn và nghiên cứu vấn đề: “Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ năng giải toán vec-tơ và sử dụng phương pháp vec-tơ để giải toán.” II. Mục đích nghiên cứu. Không có phương pháp tốt, không thể có kết quả cao. Biết vận dụng các kiến thức cơ bản một cách phù hợp sẽ có được cách giải bài tập tốt hơn. Đặc biệt ở lớp 10, học sinh lần đầu tiên được va chạm với các kiến thức về vec-tơ, vì vậy mục đích đặt ra là thông qua việc dạy cho học sinh các vận dụng các kiến thức cơ bản về vec-tơ để giúp học sinh thấy được: - Các ký hiệu, bản chất các ký hiệu về vec-tơ. - Mối quan hệ giữa vec-tơ với các kiến thức khác trong hình học. - Chuyển đổi giữa các bài toán hình học thông thường với một bài toán vec-tơ. - Các phương pháp suy nghĩ để tìm lời giải một bài toán hình học nhờ phương pháp vec-tơ. Từ đó giúp học sinh vượt qua tâm lí ngại và sợ học hình học, đặc biệt là các bài toán về vec-tơ. III. Thời gian, địa điểm nghiên cứu. Sáng kiến kinh nghiệm này được nghiên cứu, áp dụng thực hiện trong năm học 2011 – 2012, tại hai lớp 10C4 và 10C7, trường THPT Bỉm Sơn, Thanh Hóa. Đây là hai lớp có điểm đầu vào bình quân thấp nhất khối 10. S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 4 Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông Nội dung sáng kiến được trình bày cho học sinh trong một số giờ học tự chọn của bộ môn Toán và một số buổi học bồi dưỡng (ngoài giờ học chính khóa). S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 5 giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù Phần II: NỘI DUNG I- Một số kiến thức cơ bản cần chú ý. I.1. Các định nghĩa về vec-tơ, các kí hiệu thường dùng. Cho 2 điểm A, B thì: - Ký hiệu AB chỉ độ dài đoạn thẳng AB. Như vậy ký hiệu AB và BA là như nhau. uuu r uuu r uuu r - Ký hiệu AB chỉ vec-tơ AB. Như vậy ký hiệu AB và BA , nói chung, là hai vec-tơ khác nhau. uuu r uuu r uuu r - Ký hiệu | AB | chỉ độ dài của vec-tơ AB . Như vậy | AB |  AB và, do uuu r uuu r đó, | AB |  | BA | . - Ký hiệu AB chỉ độ dài đại số của vec-tơ AB. I.2. Các phép toán về vec-tơ. I.2.1. Phép cộng các vec-tơ. uuu r uur uuu r - Quy tắc ba điểm: Với 3 điểm A, B, C thì: AB  BC  AC . - Quy tắc hình bình hành: Với ABCD là một hình bình hành thì: uuu r uuu r uuu r AB  AD  AC . - Tính chất trung điểm: Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì: uur uu r r + IA  IB  0 . uuur uuur uur + MA  MB  2MI , với điểm M bất kỳ. I.2.2. Phép trừ các vec-tơ. uuu r uuu r uuu r Với ba điểm O, A, B thì: OA  OB  BA . I.2.3. Phép nhân vec-tơ với một số. r r - Cho vec-tơ u và số k  . Vec-tơ ku được xác định bởi: r r + ku cùng hướng với vec-tơ u nếu k  0 và ngược hướng với r vec-tơ u nếu k < 0. r r + | ku |  | k | .| u | . S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 6 giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù r r r r - Cho b �0 và a cùng phương với b . Khi đó, tồn tại duy nhất một số r r thực k sao cho: a  kb . uuu r uuu r - Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB và AC là các vec-tơ cùng phương. I.2.4. Tích vô hướng của hai vec-tơ. r r - Cho trước hai vec-tơ a, b . Từ một điểm O cố định, dựng các vec-tơ uuu r r uuu r r r r � là góc giữa hai vec-tơ a, b . Ký hiệu: OA  a, OB  b . Khi đó góc AOB r r r r hoặc (a, � b) . (a, b) rr r r r r - Tích vô hướng của hai vec-tơ: a.b  | a | .| b | .cos(a, b) . r r rr - a  b � a.b  0 . rr r r - a.a  a 2  | a |2 . I.3. Tọa độ của vec-tơ và của điểm trong mặt phẳng. Xét hệ tọa độ Oxy. r r r r r - u(x; y) � u  (x; y) � u  x i  yj . uuur uuur r r - M(x; y)  OM  (x; y) � OM  x i  yj . r r ; y ) , k  : - Với u(x; y), v(x �� + + + + x  x� � r r uv�� �y  y� r r u �v  (x �x� ; y �y� ). r ku  (kx;ky) . rr u.v  xx�  yy� . r + | u |  x 2  y2 . rr u.v r r + cos(u, v)  | ur | .| vr |  S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 xx�  yy� 2 2 . x 2  y 2 . x�  y� Trang 7 Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông I.4. Học sinh cần được rèn luyện kĩ năng tổng hợp nhiều vec-tơ thành một vec-tơ và ngược lại, cần biết phân tích một vec-tơ thành nhiều vec-tơ khác (thường là phân tích một vec-tơ thành hai vec-tơ khác chung gốc nhưng không cùng phương hoặc phân tích thành hiệu hai vec-tơ khác chung gốc). Ở mỗi bài tập nên phân tích có những cách giải khác nhau giúp học sinh có những cách nhìn linh hoạt hơn về vec-tơ. I.5. Cần rèn cho học sinh biết cách chuyển từ ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ vec-tơ và ngược lại. Ví dụ: TT 1 2 3 4 5 6 7 Kiến thức hình học tổng hợp Vec-tơ uuur uuur r 1) MA  MB  0 M là trung điểm của đoạn uuur uuur 2) AM  MB thẳng AB uuu r uuu r uuur 3) OA  OB  2OM , với mọi điểm O uuu r uuu r uuu r r 1) GA  GB  GC  0 G là trọng tâm ΔABC uuu r uuu r uuu r uuur 2) OA  OB  OC  3OG , với O uuu r uuu r uuur AM là trung tuyến của ΔABC AB  AC  2AM Ba điểm A, B, C thẳng hàng uuu r uuu r AB  kAC (k  0) uuu r uuu r � AB  kCD (k �0) � AB // CD r uuu r �uuu AB �mAC (m ��) � uuu r uuu r AB  CD AB.CD  0 uuu r uuu r ABCD là hình bình hành AB  DC (A  DC) I- Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về vec-tơ. I.1. Các bài toán xác định vec-tơ. 1. Làm cho học sinh nắm vững hơn khái niệm vec-tơ cùng hướng, vec-tơ bằng nhau. Một trong những nguyên nhân khiến học sinh không giải được các bài toán về vec-tơ là không hiểu rõ khái niệm vec-tơ, không biết cách xác định S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 8 Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông một vec-tơ, không hiểu rõ hai vec-tơ bằng nhau, nhầm lần vec-tơ bằng nhau với đoạn thẳng bàng nhau ... Để giải quyết được điều này, tác giả đã cho học sinh làm lại và phân tích kỹ lời giải của học sinh qua hoạt động số 2 (§1, chương I, SGK Hình học r 10 nâng cao): Cho trước vec-tơ a và điểm O cố định. Xác định điểm A sao uur cho OA  ar . Có bao nhiêu điểm A như vậy. uuu r Tác giả vẽ lên bảng hình vẽ sau (tức vẽ sao cho AO  ar ): Và yêu cầu một học sinh xác định xem điểm A có thỏa mãn bài toán không. Sau đó phân tích cho học sinh thấy rõ rằng: Trong hình vẽ trên, vec-tơ uuu r uuu r r và vec-tơ có độ dài bằng nhau. Tuy nhiên, vec-tơ a OA OA có hướng từ r phải sang trái trong khi vec-tơ a có hướng từ trái sang phải. Do đó hai vec-tơ nay không bằng nhau nên điểm A như trên không thỏa mãn bài toán. Sau đó, tác giả yêu cầu học sinh xác định điểm A thỏa mãn bài toán: Đa số học sinh đã xác định được điểm A như hình vẽ sau: r Qua đó, tác giả nhấn mạnh cho học sinh rằng: nếu vec-tơ a được xác uuu r định bởi điểm đầu là M và điểm cuổi là N thì OA  ar khi và chỉ khi tứ giác S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 9 Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông MNAO là hình bình hành (cần chú ý chặt chẽ đến thứ tự các đỉnh của hình bình hành). Hơn nữa qua việc xác định như thế, học sinh nhận ra ngay luôn có một và chỉ một điểm A thỏa mãn bài toán. Ngoài ra, tác giả cũng đã đưa ra các tình huống sau để giúp học sinh rèn luyện và hiểu rõ hơn các khái niệm về vec-tơ: - Điểm O trùng với điểm M thì A là điểm nào? (A  N) - Điểm O trùng với điểm N thì A là điểm nào? (A đối xứng với M qua N hay N là trung điểm của MA) - Xác định vị trí điểm O để điểm A trùng với điểm M? (O đối xứng với N qua M hay M là trung điểm của ON) 2. Làm cho học sinh nắm vững hơn khái niệm tổng, hiệu hai vec-tơ. Việc xác định tổng, hiệu của các vec-tơ đối với nhiều học sinh cũng là một vấn đề khó khăn. Qua giảng dạy về vec-tơ, tác giả nhận thấy học sinh hầu như vẫn không phân biệt rõ dựng tổng của các vec-tơ với tổng hai cạnh của một tam giác. Để giúp học sinh nắm vững hươn khái niệm tổng hai vec-tơ và một số tiếp xúc của chúng, đặc biệt là quy tắc ba điểm và cách dựng vec-tơ tổng của hai vec-tơ, tác giả cho học sinh làm lại nội dung của hoạt động 4 (§2, chương I, SGK Hình học 10 nâng cao). Trước hết, tác giả vẽ lên bảng hình vẽ như sau: Yêu cầu học sinh: uuu r r uuu r r uur r - Xác định các điểm A, B, C sao cho: OA  a, AB  b, BC  c . S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 10 Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông r r r r - Dựng các vec-tơ a  b, b  c . Sau khi học sinh thực hiện yêu cầu và giáo viên chỉnh sửa những sai sót, được hình vẽ như sau: Sau khi học sinh đã nắm được các khái niệm về vec-tơ một cách tương đối chắc chắn, tác giả tiến hành cho học sinh rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vec-tơ vào giải toán thông qua một số ví dụ, bài toán cụ thể. Hơn nữa, với mỗi ví dụ, bài toán, tác giả luôn cố gắng hướng dẫn học sinh tìm nhiều cách giải khác nhau, qua đó vận dụng được nhiều kiến thức cơ bản và hiểu rõ thêm về bản chất của loại kiến thức mình áp dụng. * Trước hết, tác giả cho học sinh thực hành việc xác định tổng của các vec-tơ thông qua một bài toán cụ thể, qua đó củng cố thêm về khái niệm tổng của các vec-tơ, các quy tắc thường dùng của tổng các vec-tơ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho luôn uuu r uuu r uuu r uuu r có: BD = DE = EC. Hãy dựng vec-tơ ur  AB  AC  AD  AE . Giải: Cách 1: Gợi ý học sinh: - Trong phép dựng tổng của hai vec-tơ, với hai vec-tơ có chung gốc thì nên xem xét đến quy tắc nào? (Quy tắc hình bình hành) - Vận dụng quy tắc đó vào trong bài toán này cụ thể ra sao? (Nhóm mỗi 2 vec-tơ xác định bởi hai cạnh của hình bình hành lại với nhau) S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 11 Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được phép dựng và nêu lời giải như sau: Dựng hình bình hành ABIC thì ADIE cũng là hình bình hành. Từ quy tắc hình bình hành, ta có ngay: uuu r uuu r uu r uuu r uuu r uu r r uur AB  AC  AI, AD  AE  AI � u  2AI . uu r uuur Từ đó: Dựng K đối xứng với A qua I thì: ur  2AI  AK . Cách 2: Gợi ý học sinh: Có thể giải cách khác được không? uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r Học sinh đã biến đổi: ur  AB  AC  AD  AE  AB  AE  AC  AD . uuu r uuu r uuur Từ đó, dựng các hình bình hành ABME và ACND thì: AB  AE  AM , uuu r uuu r uuu r AC  AD  AN . uuur uuu r Như vậy: ur  AM  AN . uuur Vẫn cách suy nghĩ đó, dựng tiếp hình bình hành AMKN thì: ur  AK . S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 12 Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông Cách 3: Gợi ý học sinh: - Hãy phân tích đề bài theo một hướng khác: Với các giả thiết của đề bài, nhận xét gì về các điểm D, E trên cạnh BC? (D là trung điểm của BE và E là trung điểm của CD) - Với nhận xét đó, nhớ lại và xác định xem có thể vận dụng kiến thức nào để xác định tổng của hai vec-tơ? (tính chất trung điểm) Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được phép dựng và nêu lời giải như sau: uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r Biến đổi: ur  AB  AC  AD  AE  AB  AE  AC  AD . Do D là trung điểm của AE và E là trung điểm của CD nên ta có: uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r AB  AE  2AD, AC  AD  2AE . S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 13 Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông Từ đó, dựng M đối xứng với A qua D và N đối xứng với A qua E thì: uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r AB  AE  AM, AC  AD  AN . uuur uuu r Như vậy: ur  AM  AN . uuur Từ đó, dựng hình bình hành AMKN ta có: ur  AK . * Một trong các loại toán mà học sinh khá lúng túng là bài toán biểu diễn một vec-tơ qua các vec-tơ không cùng phương. Với loại toán này, nhiều học sinh lúng túng khi không thể áp dụng một quy tắc rất cơ bản của phép cộng và phép trừ hai vec-tơ: Với ba điểm O, A, B uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r bất kỳ, ta luôn có: AO  OB  AB, OA  OB  BA . Cả hai quy tắc đó, mấu chốt vẫn là quy tắc ba điểm của phép cộng các vec-tơ. Chính vì điều này, kết hợp với đối tượng học sinh yếu nên trước khi cho học sinh làm các bài toán cụ thể, tác giả đã cho học sinh thực hành khá nhiều việc lấy tổng, hiệu của hai vec-tơ, phân tích một vec-tơ thành tổng, hiệu của hai vec-tơ ... đại loại như: uuu r uuu r uuu r uur uuur uuur uur uur uur uuu r uur AO  OB  AB; MI  KM  KM  MI  KI; EF  EO  OF uuur uuu r uuur uuu r uu r uu r AM  AN  NM; CD  ID  IC ... uu r 1 uuur uuu r uuur uuu r uu r uuur uur uuu r AI  AM  AN ; EM  EN  2EI; KM  2KI  KN ... (Với I là trung 2   điểm của đoạn thẳng MN). Ngoài ra, cũng cần hướng dẫn học sinh xem xét phát hiện các vec-tơ cùng phương, cùng hướng trong bài toán để sử dụng vào việc biểu diễn. Để rèn luyện loại toán này, trước hết, tác giả đã cho học sinh thực hành qua một bài toán khá đơn giản sau đây. Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi E là trung điểm của BC. Đặt uuu r r uuu r r uuu r r r AB  a, AO  b . Hãy biểu diễn vec-tơ AE theo các vec-tơ a và b . Giải: S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 14 giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù Cách 1: Gợi ý học sinh: uuu r uuu r - Trong bài toán này, có các vec-tơ nào cùng với các vec-tơ AB, AO . uuu r - Hãy sử dụng quy tắc ba điểm của phép cộng để biểu diễn AE qua uuu r uuu r tổng hoặc hiệu của các vec-tơ cùng phương với các vec-tơ AB, AO (hoặc là chính các vec-tơ đó). Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau: uuu r uuu r uuu r uuu r 1 uuu r r 1r 1r r AE  AO  OE  AO  AB  b  a  a  b 2 2 2 Cách 2: Gợi ý học sinh: Trong cách giải trên đã vận dụng quy tắc ba điểm trong bước biến đổi đầu tiên. Hãy xem xét các giả thiết của bài toán để có thể biến đổi cách khác. Chú ý đến các yếu tố: trung điểm, song song, đối xứng ... Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau: uuu r 1 uuu r uuu r 1 uuu r uuu r 1 r r 1r r AE  AB  AC  AB  2AO  (a  2b)  a  b . 2 2 2 2     Tiếp theo, cho học sinh thực hành việc biểu diễn vec-tơ qua các vec-tơ không cùng phương bằng ví dụ: Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm là H. Đặt uuu r 1 r r r uuu r r uuu r r uuu r r HA  a,HB  b,HC  c . Chứng minh rằng: HO  (a  b  c) . 2 S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 15 Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông Giải: Cách 1: Gợi ý học sinh: - Trong bài toán này, có các vec-tơ nào cùng với các vec-tơ uuu r uuu r uuu r HA, HB, HC . Nếu chưa có thì cố gắng để tạo ra. Có thể thông qua các vectơ, điểm đã có hoặc các điểm đặc biệt liên quan đến giả thiết. (Lựa chọn các trung điểm của các cạnh) uuu r - Hãy sử dụng quy tắc ba điểm của phép cộng để biểu diễn HO qua uuu r tổng hoặc hiệu của các vec-tơ, trong đó có vec-tơ cùng phương với HA hoặc uuu r uuur uuur uuur uuu r  A� O) HB hoặc HC . (Biểu diễn được HO  HA� - Bước tiếp theo, làm tương tự để biểu diễn vec-tơ trong tổng (hoặc uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r hiệu đó) chưa cùng phương với HA, HB, HC theo HA, HB, HC hoặc các uuu r uuu r uuu r vec-tơ cùng phương với HA, HB, HC . r r r r - Chú ý đến tính chất: Nếu b �0 và a cùng phương với b thì luôn tồn r r r r tại duy nhất số k   để ar  kb . Hơn nữa, với ba vec-tơ a, b, c không cùng r phương cho trước thì mỗi vec-tơ u đều biểu diễn được duy nhất qua các vecr r r tơ a, b, c đó. Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau: uuu r uuur uuur Gọi A' là trung điểm của BC thì: HO  HA�  A� O S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 16 giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù uuur 1 uuu r uuu r 1 r r  HB  HC  (b  c) . Mặt khác: theo tính chất trung điểm: HA� 2 2 uuur r Hơn nữa OA' // AH nên A� O  ma . Do đó, ta có: uuu r uuur uuur 1 r r r r 1r 1r HO  HA�  A� O  (b  c)  ma  ma  b  c (1) 2 2 2   Tương tự: Gọi B', C' lần lượt là trung điểm của AC, AB thì: uuu r uuur uuur 1 r r 1r HO  HB�  B� O  a  nb  c (2) 2 2 uuu r uuur uuur 1 r 1 r r HO  HC�  C� O  a  b  pc (3) 2 2 uuu r 1 r r r 1 Từ (1), (2), (3) suy ra: m  n  p  . Vậy HO  (a  b  c) . 2 2 Cách 2: Gợi ý học sinh: - Vì đường tròn có tính đối xứng nên nếu xét điểm O ở vai trò trung điểm thì có thể có cách suy nghĩ khác không? - Muốn thế, hãy tìm cách tạo ra O là trung điểm của một đoạn thẳng có uuu r uuu r uuu r gắn với các vec-tơ HA, HB, HC . Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau: �  BCD �  90o Kẻ đường kính BD của đường tròn. Khi đó, ta có: BAD  CD // AH và AD // HC. uuu r uuu r uuu r Do đó tứ giác AHCD là hình bình hành. Vậy HA  HC  HD . S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 17 Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông uuu r uuu r uuu r Mặt khác: HB  HD  2HO . uuu r 1 r r r uuu r uuu r uuu r uuu r Suy ra: HA  HB  HC  2HO hay HO  (a  b  c) . 2 I.2. Các bài về độ dài của vec-tơ. Vấn đề tiếp theo mà học sinh khá lúng túng trong giải toán về vec-tơ là không phân biệt rõ ràng khái niệm vec-tơ với độ dài của vec-tơ. Chính vì thế, uuu r uur uuu r nhiều học sinh vẫn cho rằng AB  BC  AC (với ABC là một tam giác). Để khắc phục điều đó, trước hết, tác giả củng cố lại cho học sinh rằng độ dài của một vec-tơ là độ dài của đoạn thẳng xác định vec-tơ đó (khoảng cách từ điểm đầu tới điểm cuối của vec-tơ) và cho học sinh thực hành bằng các ví dụ rất đơn giản như sau: uuu r - Cho hai điểm phân biệt A và B. Hãy xác định độ dài các vec-tơ: AB , uuu r r uur uur BA, 0 . (Phải phân tích để học sinh hiểu rõ rằng AB  BA  AB ) uuu r - Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Hãy xác định độ dài các vec-tơ: AB , uuu r uur r uur uuu r AC, BC, u  BC  AB . (Phải phân tích, nhấn mạnh để học sinh hiểu rõ rằng uuu r uuu r uur uur uuu r uuu r r nên | u |  AC  AC . Hơn nữa, cần phân tích BC  AB  AB  BC  AC qua nhiều trường hợp bằng các hình vẽ khác nhau: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng bất kỳ; tạo thành tam giác cân, tam giác đều; thẳng hàng bất kỳ, thẳng hàng cách đều nhau ...) Tiếp theo, khi học sinh đã nắm vững khái niệm độ dài vec-tơ, tác giả củng cố lại cho học sinh rằng hai vec-tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng hướng và cùng độ dài, hai vec-tơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài. Đồng thời cho học sinh thực hành qua ví dụ sau: Ví dụ 4: Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. uuu r r uuu r r uuu r r uuu r r Đặt AB  a, BD  b, DC  c,CA  d . Chứng minh rằng: S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 18 Tröôøng THPT Bæm Sôn – Thanh Hoaù giaùo vieân: Vuõ Quyù Phöông r r r r r r r r r r |a  d| | b  d| | c  d|  |a | | b| | c | |d|. Giải: Gợi ý học sinh: - Từ giả thiết và quy tắc ba điểm của phép cộng, hãy đánh giá một trong ba độ dài ở vế trái. (Với hướng dẫn này, đa số học sinh đã đánh giá cả ba độ dài và đưa đến một kết quả không như mong muốn, giáo viên phải hướng dẫn thêm) r r r r - Hãy xem xét đến sự đặc biệt của các vec-tơ xác định nên a, b, c, d để đánh giá tổng của hai độ dài còn lại. Chú ý đến tính chất các cạnh của một tam giác. Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau: uuu r uuu r uuu r uuu r r r r r r r r r AB  BD  DC  CA  0 � a  b  c  d  0 � b  d và r r r r r r r r (1) a  c là các vec-tơ đối nhau  | b  d |  | a  c | �| a |  | c | uuu r uuu r uur uuu r uuu r uuur Mặt khác: CA  AB  CB, DC  CA  DA uur uuur r r r r  | a  d |  | c  d |  | CB |  | DA |  CB  DA  BC  AD . Ta có: Lại có: BC + AD < (OB + OC) + (OA + OD) = BD + AC r r r r r r  |a d||c d| |b||d| (2) r r r r r r r r r r Từ (1) và (2) ta có: | a  d |  | b  d |  | c  d |  | a |  | b |  | c |  | d | . * Với kiến thức về độ dìa vec-tơ, có thể hướng dẫn để học sinh vận dụng vào giải các bài toán khác. Sau khi cho học sinh rèn luyện thêm các bài tập để S¸ng kiÕn - Kinh nghiÖm d¹y häc, n¨m häc 2011-2012 Trang 19